Experiências na Matemática, blog do Instituto ProMath

Estatística na conquista do Ouro Olímpico, Futebol Masculino

2016-08-21T12:41:00.000-03:00

Acabei de assistir uma entrevista do goleiro Weverton no esporte espetacular que me chamou muito a atenção.

Ele mostrou o papel da estatística na conquista do primeiro ouro olímpico do futebol masculino brasileiro, Rio 2016.

Espero conseguir depois o vídeo da entrevista, por enquanto vou descrever o que ele contou.

O pênalti defendido foi do principal batedor alemão, que por isso foi devidamente estudado:

Levantamento dos dados. O alemão havia feito em outras competições 8 cobranças, 4 para esquerda, 4 para direita. Ou seja, a análise quantitativa não ajudou.

Como a quantidade de dados é pequena, a análise precisa ser qualitativa. Eles analisaram que em competições menos importantes ou mais tranquilas, o jogador alemão batia para a esquerda; e em grandes decisões ele batia do lado direito.

Pronto! Os dados qualitativos mostraram que o melhor lado ou lado preferido do jogador alemão é o lado direito!

Parabéns estatística! :D

Potência Relativa e Mobilidade

2016-08-13T19:45:00.001-03:00

Off topic. Publiquei esta postagem em outro blog dia 5 de novembro de 2013. Como vou excluir o outro blog e não quero perder este trabalho, vou alocar a postagem aqui.

Necessidade de locomoção: uma reflexão sobre como lidamos com este problema. O número de mortes no trânsito mostra que o problema é grave. As principais causas são velocidade e álcool. Sobre a velocidade, uma boa medida que pode ser implantada imediatamente nas cidades é a criação de Zonas 30, onde a velocidade máxima permitida é de 30 km/h (saiba mais aqui e no blog Ir e Vir de Bike).

Mas há uma coisa crucial neste assunto que dificilmente alguém fala: nossos veículos são excessivamente potentes (e pesados)! Campanhas educativas e multas não se mostram eficazes para pessoas que possuem o poder de movimentar uma tonelada de ferro em alta velocidade.

Esta postagem destina-se a mostrar que não há necessidade prática de existir veículos com este poder. Desde criança me questionava, se a maior velocidade permitida nas estradas é 110 km/h, por que os veículos são capazes de atingir 150 km/h? 200 km/h? Alguns até 300 km/h?

Qual a potência relativa necessária para o deslocamento urbano?

A velocidade factível e segura para deslocamentos urbanos é com velocidade máxima por volta dos 30 km/h e uma média de 20 km/h, que é mais ou menos o que eu faço de bicicleta. Se alguém acha que isso é muito lento para os carros, sugiro que estude os dados sobre velocidade média em cidades grandes (veja aqui um exemplo), que muitas vezes não chega a 15 km/h. Sei que este assunto não é simples, mas não é agora que quero discuti-lo, vou apenas usar as velocidades 20/30 como referência.

A potência relativa que falo é watts (W) por quilograma (kg), ou seja, quero saber qual é a potência necessária para transportar um quilograma de massa. Assim podemos comparar a potência relativa de veículos bem distintos.

Se eu tivesse um medidor de potência na bicicleta já saberia de antemão qual é a potência necessária, pois sei que a minha potência é suficiente para qualquer deslocamento urbano nas velocidades 20/30 (assim como a maioria das pessoas acostumadas a transportar-se de bicicleta).

Na falta desses dados, vejamos qual é a potência relativa média de um ciclista, digamos, Fabian Cancellara. Segundo este link, em 2007, no prólogo do Tour de France (prova no total de 7,9 km), ele atingiu uma potência média de 543 W.

$$\frac{potência\ do\ Cancellara}{peso\ do\ Cancellara + bicicleta}=\frac{543}{82+8}=6,03\ W/kg.$$

Como ele é um dos melhores ciclistas do mundo na modalidade Contra Relógio Individual, fica claro que a potência relativa de 6 watts para cada quilograma é mais do que suficiente para deslocamentos urbanos. Para se ter uma ideia, ele completou aquela prova com 53,59 km/h de velocidade média, bem acima da velocidade que assumi como adequada para deslocamentos urbanos.

Uma boa crítica agora seria de que estou considerando a potência média ao invés da máxima. De fato, em algumas situações é necessário um pouco mais de potência (numa arrancada ou subida). Apesar de já estar trabalhando com sobra por considerar ciclistas profissionais, vou pegar a referência máxima de potência em bicicleta: Mark Cavendish, um dos melhores velocistas da história do ciclismo de estrada. Segundo este link, a potência máxima que ele já atingiu foi 1580 W. Com esta potência ele consegue passar dos 70 ou até 80 km/h em terreno plano.

$$\frac{potência}{Cavendish + bicicleta}=\frac{1580}{69+8}=20,52\ W/kg.$$

Ou seja, 20 watts para cada kg já é muito mais do que o necessário para transporte urbano.

Eficiência

É claro que o assunto não se extingue na relação potência/peso, há vários outros fatores que influem no desempenho dos veículos (energia dissipada, aerodinâmica). É aí que entra a questão da eficiência.

Por exemplo, bicicletas super aerodinâmicas não precisam do Cavendish para passar dos 80 km/h. Na Associação Internacional de Veículos a Propulsão Humana há listados vários recordes (em terreno plano), dos quais resumo alguns na tabela abaixo para exemplificar o que é um veículo eficiente (certamente estes recordistas não são tão potentes quanto Cavendish em distâncias curtas, nem tão potentes quanto Cancellara em distâncias mais longas, e certamente a carenagem deixa a bicicleta mais pesada, mesmo assim as velocidades são muito superiores):

Distância	Velocidade média	Tempo
200 m	133,78 km/h	5,382 s
1 km	128,4 km/h	28,037 s
90,6 km	90,6 km/h	1 hora
364,57 km	60,76 km/h	6 horas
1041,25 km	43,39 km/h	24 horas

Veículos pesados

Como pretendo comparar as potências relativas mostradas acima com as dos carros convencionais, alguém pode ficar incomodado com a diferença do porte dos veículos, pois bicicleta é muito mais leve que carro e fica a impressão que poderia ter uma distorção dos números por fatores não previstos. Para mostrar que a comparação não é injusta, vamos dar uma olhada na ordem da carga pesada (embora o objetivo final seja avaliar o transporte de pessoas em automóveis).

O Mercedes-Benz Actros 2546 LS Multiuso tem potência máxima de 456 cv (ou 335388 W) e a legislação de pesos para esta configuração de veículo prevê carga máxima total de 48500 kg:

$$\frac{335388}{48500}=6,92\ W/kg.$$

Além disso, se a mesma conta for feita para a capacidade máxima do caminhão, $$\frac{335388}{60000}=5,59\ W/kg,$$ temos uma relação potência/peso menor que a do Cancellara, e ninguém duvida que o caminhão seja capaz de se transportar, não é mesmo?

Qual a potência relativa que usamos para nos transportar?

Agora sim, vamos ver qual é a potência relativa dos carros convencionais, que circulam às centenas de milhares por aí. Fiz a conta para vários carros, mas o que deu a menor potência relativa foi o Fiat Siena 1.0, que encontrei nesta postagem: os 10 carros com as piores relações peso/potência do Brasil. Ele tem 990 kg e potência máxima de 61 cavalos (ou 44865,5 W):

$$\frac{44865,5}{990+70}=42,3\ W/kg.$$

Veja que a potência relativa de um dos carros “mais fracos” do mercado é mais que o dobro da potência relativa do Cavendish. É um exagero explícito. Mesmo se entupirmos o carro com 5 pessoas de 100 quilos, 50 quilos de gasolina e mais 100 quilos de bagagens, a potência relativa ainda fica acima da potência do Cavendish: $$\frac{44865,5}{990+5\times 100+50+100}=27,36\ W/kg.$$

Outro veículo apontado na internet como tendo uma relação peso/potência ruim é a Kombi Standard 1.4 Flex, com 80 cv (58840 W) e 1260 kg:

$$\frac{58840}{1260+70}=44,2\ W/kg.$$

Se a Kombi for carregada com 9 pessoas de 100 kg mais gasolina e bagagem, a potência continua sendo excessiva:

$$\frac{58840}{1260+9\times 100+50+100}=25,5\ W/kg.$$

O mesmo acontece no caso das motos. Vejamos uma das motos mais básicas do mercado, uma CG 125, que tem 11,6 cv (8531,8 w) e 105 kg:

$$\frac{8531,8}{105+70}=48,75\ W/kg.$$

E se for com duas pessoas de 100 kg, $$\frac{8531,8}{105+2\times 100}=27,97\ W/kg.$$

Agora, se isso já é um exagero, vamos ver outra postagem: Os 10 carros com a melhor relação peso/potência do Brasil. O carro que tem a maior potência relativa neste texto é o Opala SS, com 171 cv (125770,5) e 1172 kg:

$$\frac{125770,5}{1172+70}=101,26\ W/kg.$$

É um absurdo existir monstros como esse rodando por aí.

Mas calma, tem coisa pior: Ducati 1199 Panigale. Com 195 cv (143422,5 W) e 164 kg:

$$\frac{143422,5}{164+70}=612,92\ W/kg.$$

Esta moto assume proporções totalmente fora do padrão. É surpreendente o fato de uma coisa dessas ser permitida de trafegar nas ruas.

Para se ter uma ideia, ela é muito mais potente que um carro de Stock Car, com 480 hp (357936 W) e 1320 kg:

$$\frac{357936}{1320}=271,16\ W/kg.$$

A Ducati chega a ser comparável a um carro de Fórmula Indy, que é capaz de atingir até 380 km/h, com 650 cv (478075 W) e 694 kg:

$$\frac{478075}{694+70}=625,75\ W/kg.$$

Considerações finais

Nós não precisamos nem da metade da potência relativa que é usada atualmente nos veículos convencionais, mesmo pegando os mais fracos como referência. Inclusive, para a segurança de todos, não deveria ser permitido trafegar com veículos muito potentes, ou não deveria ser permitido fabricar veículos tão potentes para as ruas.

Claro, a necessidade psicológica de mais potência foi colocada na cabeça das pessoas ao longo de um século de propagandas, e agora é a opinião do povo que sustenta esta necessidade. Quem nunca ouviu alguém falar que carro 1.0 é muito fraco?

Todo aquele que fala "odeio carro 1.0" tem a sua parcela de culpa nos problemas de trânsito (especialmente as inúmeras mortes). Mesmo que a pessoa dirija com cuidado, esta opinião sustenta o fato de outras pessoas (possivelmente não tão cuidadosas) possuírem o poder de movimentar uma tonelada de ferro em alta velocidade.

O Mito do Carro Elétrico Ineficiente

2016-08-13T19:33:00.003-03:00

Off topic. Publiquei esta postagem em outro blog dia 12 de outubro de 2013. Como vou excluir o outro blog e não quero perder este trabalho, vou alocar a postagem aqui.

O mito de que o carro elétrico é inviável já completou o seu primeiro século (espero que seja o único). Meu objetivo neste post é juntar alguns fatos e argumentos para tentar diminuir a força deste mito.

Existem muitos aspectos que este assunto abrange --- economia, política, ecologia, tecnologia, sustentabilidade, etc --- mas agora vou discutir apenas um aspecto: sobre a eficiência ou o potencial de eficiência do carro elétrico. Nós podemos deixar de usar a gasolina (ou outro combustível semelhante) sem abrir mão de qualquer “benefício” que isso traga?

A inspiração para escrever sobre o assunto

A minha grande inspiração foi o excelente documentário “Quem matou o carro elétrico?”, que aconselho a assistir inteiro, apesar de ser grande. Veja com legenda em português:

Quem matou o carro elétrico? - Who killed the electric car? (2006) Legendado PT from MDDVTM TV4 on Vimeo.

Pretendo escrever outras postagens sobre carro elétrico, em todas este documentário estará presente, uma vez que o assunto é tratado de forma bastante abrangente. Por ora, para não dispersar, vamos citar apenas alguns trechos dele.

Primeiras observações

Há quem associe carro elétrico à inovação tecnológica, à uma modernidade quase alcançada, como se faltasse alguma coisa para que os carros elétricos sejam viáveis. A verdade é que existem carros elétricos desde que existem carros, e eles sempre foram viáveis.

O motor elétrico foi inventado em 1828. Os carros, em sentido convencional e comercial, apareceram nos anos 1890, e lá estava o carro elétrico. Na virada do século, havia mais carros elétricos do que à gasolina. Isso não deve causar surpresa, motores elétricos são muito mais simples do que à gasolina, a questão é que esta informação não é divulgada (alguém sabe por quê?). Mais detalhes históricos aqui.

Por que, então, o carro elétrico perdeu o seu espaço e praticamente sumiu?

Super carros elétricos

Primeiramente eu gostaria de deixar claro que não sou a favor da utilização de super carros para deslocamentos comuns (inclusive considero os carros convencionais rápidos demais, mas isso é outro assunto).

O que pretendo mostrar com os exemplos a seguir é o potencial de aceleração, velocidade máxima, autonomia e durabilidade dos carros elétricos em comparação com os de combustão, uma vez que isto é utilizado como argumento contra os carros elétricos.

O Tzero, feito por Alan Cocconi, apresentado no vídeo a seguir, vai de zero a 90 km/h em 3,6 segundos e pode com uma carga percorrer cerca de 480 km a uma velocidade de 120 km/h. As baterias são as mesmas utilizadas em laptops.

Veja o Tzero sendo testado contra uma ferrari:

Outro exemplo é o X1 electric car:

Conheça também o carro elétrico mais rápido do mundo que é legalizado para andar na rua:

Ainda há um ponto crucial nestes exemplos acima: os carros a combustão já tem uma longa história de pesquisas e investimentos que os desenvolveram bastante. Enquanto que os carros elétricos são feitos, em geral, no improviso, na garagem de algum entusiasta, com as baterias à disposição, que foram criadas para outro propósito. Imagine se houver um investimento sério em desenvolver baterias com maior autonomia e durabilidade, ainda tem muito o que melhorar!

Em outras proporções, o motor elétrico também é mais eficiente. Veja alguns exemplos de karts elétricos:

Conheça o Linde eletric kart, o mais rápido do mundo na aceleração de 0 a 100 km/h, com 3,45 segundos:

Último exemplo, o carro de controle remoto mais rápido do mundo é elétrico, atingiu 258,8 km/h:

Simplicidade vs Complexidade

Nos vídeos acima já foram mostrados alguns aspectos da simplicidade do motor elétrico, como o fato de podermos girá-los com os dedos e de que o motor trabalha a uma temperatura muito menor que os motores a combustão, o que mostra que há menos desperdício de energia. Esta é uma das vantagens da simplicidade sobre a complexidade.

Outra vantagem é a construção e manutenção, que são obviamente muito mais fáceis. Por exemplo, você pode construir um brinquedo elétrico para seu filho:

Ainda há mais uma vantagem do simples: é mais preciso! Compare nos próximos dois vídeos o funcionamento do menor motor a combustão do mundo (na verdade é a ar comprimido, mas o funcionamento é o mesmo) e um motor elétrico de tamanho equivalente. Qual você prefere?

Só o fato de existir motor elétrico menor que estes já mostra que o elétrico é mais preciso, mas também é mostrado na aceleração ainda em baixa rotação dos carros elétricos, muito superior aos carros movidos a gasolina.

Repare em quantas peças compõem o motor a combustão, só para movimentar tudo aquilo já é energia jogada fora, agora imagine quantos são os possíveis problemas que precisariam de manutenção especializada.

Fórmula E

A FIA anunciou a Fórmula E Championship para 2014. Veja o vídeo de apresentação:

Eu vejo isso com muita desconfiança. A Fórmula E será uma competição justa que incentive o desenvolvimento tecnológico de carros elétricos, apenas com limitações de segurança (mais ou menos como é a fórmula 1), ou será uma competição super limitada por regras obscuras que não permitam seu desenvolvimento pleno, para que sirva de argumento contra os carros elétricos?

Em qualquer caso, esta competição trará o assunto à tona, e ficará cada vez mais difícil para as indústrias petrolífica e automobilística lutarem contra a ascenção dos carros elétricos.

Por fim

Respondendo a pergunta do início, se podemos deixar de usar a gasolina sem abrir mão de qualquer “benefício”, é evidente que sim, não há um aspecto sequer em que a gasolina seja mais indicada que a eletricidade. Só há uma coisa que pode sustentar o uso do motor a combustão: o sistema monetário. Isto e outros benefícios de trocar veículos a gasolina por elétricos serão assuntos de futuras postagens.

Opções de veículos elétricos no mercado brasileiro:
http://www.abve.org.br/links/ListaLinks.asp?classe=0

Clube do carro elétrico:
http://clubedocarroeletrico.com.br/

Vídeo: Professor de matemática que não gosta de matemática

2014-06-19T16:14:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Repercussão Cerebral da ansiedade matemática

2014-06-19T16:11:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Paradoxo: ensino de matemática serve para melhorar a qualidade de vida, mas pode causar fobia

2014-06-19T16:10:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Por que os prof. de matemática têm dificuldade de dar exemplos do cotidiano?

2014-06-19T16:08:00.001-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Os homens são melhores que as mulheres na matemática?

2014-06-19T16:06:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Ciclo dos períodos piagetianos

2014-06-19T16:04:00.003-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Malefícios do medo da matemática - Como superar o medo da matemática?

2014-06-19T15:58:00.001-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Veja também Como Aprender Matemática (dicas).

Vídeo: Ensinar matemática mostrando o desenvolvimento histórico dos conceitos

2014-06-19T15:56:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Educação emocional da matemática

2014-06-19T15:54:00.003-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Didática em Matemática - Abstração matemática

2014-06-19T15:53:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Dificultadores do aprendizado da matemática intrínsecos à matemática

2014-06-19T15:48:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Analfabetismo Numérico - Ensino viciado, centrado nas tabuadas e algoritmos

2014-06-19T15:44:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Autoproteção contra frustração perante a matemática

2014-06-19T15:29:00.000-03:00

Trecho retirado da Tertúlia 3034: Matematicofobia:

Vídeo: Lógica, Teoria da Computação, Direito. Newton da Costa

2014-06-13T19:47:00.001-03:00

Newton da Costa - Como assim não conhece?

Discutindo Curiosidades Matemáticas 2

2013-12-06T15:25:00.000-02:00

Demorei mas vou seguir a discussão iniciada no post Discutindo Curiosidades Matemáticas 1, pois o leitor Lucas Bonfim forneceu uma boa referência para o tema, obrigado pela contribuição; um texto escrito pelo professor Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu), do IMPA: Números Mágicos e Contas de Dividir.

Lembrando da Curiosidade

A curiosidade era o padrão cíclico destas multiplicações:

$$142857\times 2=285714.$$

$$142857\times 3=428571.$$

$$142857\times 4=571428.$$

$$142857\times 5=714285.$$

$$142857\times 6=857142.$$

$$142857\times 7=999999.$$

E a questão era saber por que isto acontece... seria coincidência?

A Solução do Gugu

O número $142857$ é exatamente a sequência dos algarismos da dízima periódica da fração $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$ (onde a linha superior indica a dízima periódica). Vamos ver o que isto tem a ver com a curiosidade.

Vamos analisar a divisão de $1$ por $7$ passo a passo. Pelo algoritmo da divisão:

$\qquad\ \ 1=0\times 7+1.$
$\qquad 10=1\times 7+3.$
$\qquad 30=4\times 7+2.$
$\qquad 20=2\times 7+6.$
$\qquad 60=8\times 7+4.$
$\qquad 40=5\times 7+5.$
$\qquad 50=7\times 7+1.$

A partir daí o processo se repete (daí a dízima periódica). Multiplicando a segunda igualdade por $10$ e substituindo o $30$ pelo item 3. acima:

$$100-7\times 10=30\qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 10=4\times 7+2.$$

Temos (processo análogo para as seguintes),

$\qquad\qquad\qquad\qquad 100-7\times (10+4)=2 \qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 14=2$.
$\qquad\qquad\qquad 1000-7\times (100+40+2)=6\qquad\Longrightarrow\qquad 1000-7\times 142=6$.
$\qquad\qquad 10000-7\times (1000+400+20+8)=4\qquad\Longrightarrow\qquad 10000-7\times 1428=4$.
$\ \ \ 100000-7\times (10000+4000+200+80+5)=5\qquad\Longrightarrow\qquad 100000-7\times 14285=5$.
$1000000-7\times (100000+40000+2000+800+50+7)=1 \Longrightarrow 1000000-7\times 142857=1$.
(Veja que este último caso é o $999999=7\times 142857$.)

Agora, pelo item 1. dividido por $7$, temos

$$2\times \frac{1}{7}=100\times \frac{1}{7}-14.$$

Em forma decimal,

$$2\times 0,\overline{142857}=100\times 0,\overline{142857}-14.$$

$$2\times 0,\overline{142857}=14,\overline{285714}-14.$$

$$2\times 0,\overline{142857}=0,\overline{285714}.$$

Multiplicando por $1000000$:

$$2\times 142857,\overline{142857}=285714,\overline{285714}.$$

$$2\times (142857+0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$

$$2\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$

Cortando os dois termos iguais (as dízimas),

$$2\times 142857=285714.$$

Os outros itens são análogos. Vou fazer mais um só para ficar mais confortável, hehe. Pelo item 2. dividido por $7$, temos

$$6\times \frac{1}{7}=1000\times \frac{1}{7}-142.$$

Em forma decimal,

$$6\times 0,\overline{142857}=1000\times 0,\overline{142857}-142.$$

$$6\times 0,\overline{142857}=142,\overline{857142}-142.$$

$$6\times 0,\overline{142857}=0,\overline{857142}.$$

Multiplicando por $1000000$:

$$6\times 142857,\overline{142857}=857142,\overline{857142}.$$

$$6\times (142857+0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$

$$6\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$

Cortando os dois termos iguais (as dízimas),

$$6\times 142857=857142.$$

Eis o motivo algébrico a mais do que simplesmente dizer que é coincidência!

A mesma curiosidade com outros números

Esse fenômeno cíclico acontece sempre que o período da representação decimal de $\frac{1}{n}$, $n\in\mathbb{N}$, for o maior possível ($n-1$).

Por exemplo, para $n=17$, $\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}$:

$\qquad\ 588235294117647\times 2=1176470588235294.$
$\qquad\ 588235294117647\times 3=1764705882352941.$
$\qquad\ 588235294117647\times 4=2352941176470588.$
$\qquad\ 588235294117647\times 5=2941176470588235.$
$\qquad\ 588235294117647\times 6=3529411764705882.$
$\qquad\ 588235294117647\times 7=4117647058823529.$
$\qquad\ 588235294117647\times 8=4705882352941176.$
$\qquad\ 588235294117647\times 9=5294117647058823.$
$\qquad 588235294117647\times 10=5882352941176470.$
$\qquad 588235294117647\times 11=6470588235294117.$
$\qquad 588235294117647\times 12=7058823529411764.$
$\qquad 588235294117647\times 13=7647058823529411.$
$\qquad 588235294117647\times 14=8235294117647058.$
$\qquad 588235294117647\times 15=8823529411764705.$
$\qquad 588235294117647\times 16=9411764705882352.$
$\qquad 588235294117647\times 17=9999999999999999.$

Experimento em Sala: Torque e Momento

2013-12-04T22:32:00.000-02:00

Isso que é aula de Física!

Apesar de ter estudado estes conceitos no ensino médio e na faculdade, só percebi o fenômeno quando estava mexendo na roda da minha bicicleta. Isto mostra a importância de uma boa aula experimental.

Como diz o professor no vídeo, em 39:10 (39 minutos e 10 segundos):
Nada disso é intuitivo! Nada disso é intuitivo!

Destaco os experimentos entre:

23:00 e 23:30;
35:45 e 39:15;
45:50 e 49:10.

Experimento em Sala: Curvatura do Espaço-Tempo

2013-12-04T16:19:00.000-02:00

Isso que é aula de Física!

Apesar do experimento ter uma dimensão a menos que a realidade estudada, uma aula dessa é muito importante para criar a intuição do fenômeno, frequentemente estudado de forma puramente abstrata.

Já escrevi sobre este assunto:
História da Geometria (5 de 5) - A Geometria Aplicada.
E já divulguei uma animação computadorizada sobre isso:
Vídeo: Tempo Espaço e a Gravidade.

Sistemas Lineares 3 - Sistemas Equivalentes e Operações Elementares

2013-11-13T11:26:00.000-02:00

Esta postagem é o fundamento do método de eliminação de Gauss ou escalonamento para resolver sistemas de equações lineares, assunto que será apresentado na próxima postagem.

Sistemas lineares 1 - Ensino Fundamental.
Sistemas lineares 2 - Interpretação Geométrica.
Sistemas lineares 4 - Método de Eliminação de Gauss ou Escalonamento.

Definição: Dizemos que dois sistemas de equações lineares com as mesmas incógnitas são equivalentes se eles possuem a(s) mesma(s) solução(ões).

Quando resolvemos um sistema linear (no caso de ter solução única), no processo das substituições, o que fazemos na verdade é passar por alguns sistemas equivalentes ao original até chegar ao sistema trivial “com cada incógnita igual a uma constante”. Por exemplo (já resolvido em Sistemas lineares 1):

$$\begin{array}{lclcl} \left\{ \begin{array}{l} x+y=3000 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} (y+400)+y=3000 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=y+400 \\ \end{array} \right. \end{array}$$

$$\begin{array}{clcl} \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=(1300)+400 \\ \end{array} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} y=1300 \\ x=1700. \\ \end{array} \right. \end{array}$$

É claro que só foi razoável escrever todos esses passos porque este sistema é muito simples. Quando o sistema tem muitas equações e muitas incógnitas, o método da substituição fica impraticável.

Por isso o método de eliminação de Gauss ou escalonamento é importante, ele faz esses passos de maneira mais organizada e para qualquer sistema.

Vamos ver quais operações podemos fazer no sistema sem alterar as soluções. São as operações elementares (denotaremos cada equação por $L_i$, onde o índice $i$ é o número da linha que a equação se encontra):

Trocar a posição de duas equações.
Notação: $L_i\longleftrightarrow L_j$.
Substituir uma equação por um múltiplo não nulo de si mesma, ou seja, multiplicar a ambos os membros de uma equação por uma constante diferente de zero $k\in\mathbb{R}$.
Notação: $L_i\longleftarrow kL_i$.
Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a si mesma.
Notação: $L_j\longleftarrow kL_i+L_j$.

Vamos entender porque efetuar essas operações não muda as soluções do sistema:

Acho que quanto à primeira operação não há problemas, vamos discutir a segunda: Suponha que temos uma equação $2x-3y=-8$. As soluções desta equação são os pontos (ou vetores) da forma $$\left(\frac{3y-8}{2},y\right)\in\mathbb{R}^2,\qquad\text{pois}\ \ x=\frac{3y-8}{2}.$$ Fazer a segunda operação é trocar esta equação por $k(2x-3y)=k(-8)$, para algum número real $k\neq 0$. Quais são as soluções desta nova equação? Para tentar responder esta pergunta, você voltará à equação anterior, por isso elas têm as mesmas soluções.

Sobre a terceira operação, vamos efetuá-la num exemplo: $$\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=-8 \\ 3x+4y=5 \\ \end{array} \right. \ \ \ & \stackrel{L_2\longleftarrow kL_1+L_2}{\longrightarrow} & \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=-8 \\ k(2x-3y)+3x+4y=k(-8)+5. \\ \end{array} \right. \end{array}$$ No último sistema, a primeira equação é equivalente a $k(2x-3y)=k(-8)$, o que significa que podemos fazer a simplificação (cortando os termos sublinhados) na segunda equação: $$\underline{k(2x-3y)}+3x+4y=\underline{k(-8)}+5.$$ Assim voltamos ao primeiro sistema, ou seja, os dois sistemas são equivalentes.

Na próxima postagem vamos ver como usar essas operações para eliminar incógnitas e resolver sistemas.

Sistemas Lineares 2 - Interpretação Geométrica

2013-11-07T23:27:00.000-02:00

Esta é uma continuação natural de Sistemas lineares – 1 (ensino fundamental).

Esta interpretação geométrica é melhor fundamentada com algum conhecimento de Geometria Analítica, mas já é possível aguçar a intuição sobre sistemas lineares mesmo de quem nunca ouviu falar de Geometria Analítica. Por isso avalio esta postagem para nível de ensino médio.

Na postagem anterior fizemos distinção de sistemas com solução única, infinitas soluções e nenhuma solução, agora vai ficar mais fácil enxergar isso.

Pergunta: Uma, nenhuma ou infinitas soluções; por que não pode ter, digamos, exatamente duas soluções?

Duas incógnitas

Qualquer equação da forma $ax+by=c$ representa uma reta, ou seja, se marcarmos todos os pontos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, no sistema cartesiano, que satisfazem à esta equação, o gráfico resultante é uma reta (são infinitos valores).

Se tivermos duas equações desta forma, teremos duas retas no plano. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum das duas retas. As duas retas podem:

ser paralelas. O que significa que o sistema não tem solução;
ser concorrentes. O sistema tem uma única solução;
ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções.

Três incógnitas

Qualquer equação da forma $ax+by+cz=d$ representa um plano, isto é, se marcarmos todos os pontos $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ que satisfazem à esta equação no sistema cartesiano, o gráfico resultante é um plano (são infinitos valores).

Se tivermos duas equações desta forma, teremos dois planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos dois planos. Os dois planos podem:

ser paralelos. O sistema não tem solução;
ser concorrentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo próprio plano.
(Repare que não existe o caso de uma única solução. Por que?)

Se tivermos três equações desta forma, teremos três planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos três planos. Os três planos podem:

ser paralelos dois a dois. O sistema não tem solução;
ser dois coincidentes e o outro paralelo. O sistema não tem solução;
ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo plano;
ser dois coincidentes e o outro concorrente. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
se intersectar em uma reta. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
ser dois paralelos e outro concorrente. O sistema não tem solução;
se intersectar dois a dois determinando três retas paralelas. Não tem solução;
se intersectar dois a dois determinando três retas que se intersectam em apenas um ponto (visualizar o canto de uma sala). Tem uma única solução.

Observação: Além da distinção entre nenhuma, uma única ou infinitas soluções, já é possível perceber que existe mais um conceito no caso das soluções infinitas. Eu escrevi "infinitas soluções descritas por uma reta" e "infinitas soluções descritas pelo plano". Isto é indício de que, quando temos infinitas soluções, tem ainda a questão de quantas dimensões elas determinam.

Provas Resolvidas: Álgebra Linear Aplicada

2013-10-12T16:38:00.000-03:00

Segue a organização das resoluções das provas de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de pós graduação em matemática da UFPR. A maioria dos exercícios estão disponíveis na página do programa.

Clique na questão correspondente para ver a resolução. Se não houver link, a questão ainda não foi resolvida.

Prova 03/2003

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Prova 08/2003

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Prova 2007

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Prova 04/2009

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 08/2009

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5 LU QR

Questão 6

Questão 7

Prova 12/2009

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 2010

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 03/2012

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 08/2012

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 03/2013

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Prova 07/2013

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Álgebra Linear Aplicada - Exer. 29 - Qualificação

2013-03-05T19:37:00.003-03:00

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 5 da prova de 06/04/2009 e número 6 da prova de março de 2013)

Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica. Mostre que $f(x)=\sqrt{x^TAx}$ define uma norma em
$\mathbb{R}^n$ se e somente se $A$ é definida positiva.

Dica: Fatoração de Cholesky pode ser útil para mostrar a desigualdade triangular.

Resolução: (Vide comentários sobre a questão de 2013 abaixo da resolução.)

A função $f$ define uma norma em $\mathbb{R}^n$ se

i) $f(x)\geq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$;

ii) $f(x)=0$ se, e somente se, $x=0$;

iii) $f(\alpha x)=|\alpha|f(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$;

iv) $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in\mathbb{R}^n$.

A matriz $A$ é positiva definida se $x^TAx>0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n-\{0\}$.

($\Rightarrow$) Se $f$ define uma norma, combinando i) e ii) segue imediatamente que $A$ é positiva definida.

($\Leftarrow$) Se $A$ é definida positiva, por definição segue que $f$ cumpre i) e ii). Verificar a terceira, para $x$ e $\alpha$ quaisquer,
$$f(\alpha x)=\sqrt{(\alpha x)^TA(\alpha x)}=\sqrt{\alpha^2}\sqrt{x^TAx}=|\alpha|f(x).$$
E a quarta, por fatoração de Cholesky existe $B$ tal que $A=B^TB$, então
$$f(x)=\sqrt{x^TAx}=\sqrt{x^TB^TBx}=\sqrt{(Bx)^TBx}=\left\|Bx\right\|.$$

Como queríamos demonstrar.

Comentários sobre a questão de 2013. Neste ano a questão foi enunciada assim:

Prove que $f(x)=x^TAx$ é uma norma de vetor se e somente se $A$ é simétrica e positiva definida.

Faltou dizer quem é $A$, é necessário dizer que é uma matriz em $\mathbb{R}^{n\times n}$.
Faltou a raiz quadrada na definição de $f$. Sem isso falham os itens iii e iv demonstrados acima.
A hipótese de simetria de $A$ está colocada apenas de um lado da "equivalência", o que invalida o resultado. De fato, veja o seguinte contra-exemplo: $$\sqrt{x^TAx}=\sqrt{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$$ é uma norma, mas a matrix $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ não é simétrica.

São muitos erros para uma questão só!

Álgebra Linear Aplicada - Exer. 28 - Qualificação

2013-03-04T23:48:00.004-03:00

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 4 da prova de 06/04/2009)

Use o método de decomposição em valor singular (SVD) para:

provar que toda matriz $A$ pode ser representada através de uma combinação linear de matrizes de posto um.
assumindo que os valores singulares são positivos, encontrar uma fórmula para a solução por quadrados mínimos do sistema linear $Ax=b$.

Resolução:

Mais um exemplo de enunciado mal escrito. Para mostrar o fato do primeiro item, basta escrever a matriz $A$ como soma de matrizes cuja única entrada diferente de zero é uma entrada da matriz $A$ na sua respectiva posição (outra maneira trivial é escrever $A$ como soma de matrizes que cada uma tem uma linha de $A$, ou ainda uma coluna de $A$), e isso nada tem a ver com SVD. Não vejo como arrumar este enunciado com mudanças pequenas, acho que deveria simplesmente pedir para demonstrar a fórmula
$$A=\sum_{j=1}^r{\sigma_ju_jv_j^T}.$$

Vamos começar. Como não foi especificado, vou escolher o ambiente da matriz em questão: $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, de posto $r$.

Por decomposição em valores singulares na forma reduzida, $A_{m\times n}=U_{m\times r}\Sigma_{r\times r}(V^T)_{r\times n}$. Podemos escrever $\Sigma_{r\times r}$ como soma de $r$ matrizes,
$$\Sigma_{r\times r}=
\begin{pmatrix}
\sigma_1 \\
& \sigma_2 \\
& & \ddots \\
& & & \sigma_r
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
\sigma_1 \\
& 0 \\
& & \ddots \\
& & & 0
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
0 \\
& \sigma_2 \\
& & \ddots \\
& & & 0
\end{pmatrix}+\cdots+
\begin{pmatrix}
0 \\
& 0 \\
& & \ddots \\
& & & \sigma_r
\end{pmatrix}$$
$$=\Sigma_1+\Sigma_2+\cdots+\Sigma_r.$$

Portando,
$$A=U(\Sigma_1+\Sigma_2+\cdots+\Sigma_r)V^T=U\Sigma_1 V^T+U\Sigma_2 V^T+\cdots+U\Sigma_r V^T.$$

Pelo enunciado, aqui já é o suficiente, pois nesta soma cada matriz tem posto $1$. Mas vamos chegar àquela fórmula que propus acima.

Vou escrever as coordenadas dos vetores $v_j$ e $u_j$ assim: $v_j=(v_{j1},v_{j2},...,v_{jn})$ e $u_j=(u_{j1},u_{j2},...,u_{jn})$. Para cada matriz da soma acima,
$$U\Sigma_j V^T=U\begin{pmatrix}
0 \\
& \ddots \\
& & \sigma_j \\
& & & \ddots \\
& & & & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
& & v_1 & & \\
\hline
& & \vdots & & \\
\hline
& & v_j & & \\
\hline
& & \vdots & & \\
\hline
& & v_r & &
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
& | & & | & & | & & | & \\
& | & & | & & | & & | & \\
u_1 & | & \cdots & | & u_j & | & \cdots & | & u_r \\
& | & & | & & | & & | & \\
& | & & | & & | & & | &
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\sigma_jv_{j1} & \sigma_jv_{j2} & \cdots & \sigma_jv_{jn} \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}$$
(perceba que os zeros da segunda matriz fazem o $u_j$ ser o único a contribuir neste produto)
$$=\sigma_j
\begin{pmatrix}
u_{j1} \\
u_{j2} \\
\vdots \\
u_{jn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_{j1} & v_{j2} & \cdots & v_{jn}
\end{pmatrix}=\sigma_ju_jv_j^T.$$

Somando todas as parcelas resulta
$$A=\sum_{j=1}^r{\sigma_ju_jv_j^T}.$$

--------------------x--------------------x--------------------

A hipótese dos valores singulares serem positivos é estranha. Se isto significa que $A$ tem posto máximo, o sistema linear $Ax=b$ tem solução, como vimos no Exer. 24 - Qualificação, o que torna desnecessário falar em ''quadrados mínimos''. Caso contrário, não era necessário colocar tal hipótese.

O que vou fazer então é ignorar aquela hipótese, supor que $A$ tem posto $r$ e mostrar um processo para resolver o problema de mínimos quadrados para um sistema $Ax=b$.

Novamente por decomposição em valores singulares na forma reduzida, $A_{m\times n}=U_{m\times r}\Sigma_{r\times r}(V^T)_{r\times n}$. Como as colunas da matriz $U$ são vetores ortonormais, sabemos que $UU^T=P$ é a projeção ortogonal sobre o espaço gerado pelas colunas de $U$, que é o mesmo que a imagem de $A$, pois $AV=U\Sigma$ e as matrizes $\Sigma$ e $V$ não interferem no espaço imagem de $U$ e de $A$, respectivamente.

Resolver o problema de mínimos quadrados para $Ax=b$ é fazer a projeção ortogonal de $b$ sobre a imagem de $A$, ou seja, encontrar $x$ tal que $Ax=y$, onde $y=Pb$.
$$y=Pb,$$
$$Ax=UU^Tb,$$
$$U\Sigma V^Tx=UU^Tb,$$
$$\Sigma V^Tx=U^Tb,$$
$$V^Tx=\Sigma^{-1}U^Tb,$$
$$x=V\Sigma^{-1}U^Tb.$$

Observação: Existe $\Sigma^{-1}$ somente nesta forma reduzida da SVD, em que a ordem da $\Sigma$ é o posto de $A$.