fraktalkunst.de http://www.fraktalkunst.de Die faszinierende Welt der Fraktale Sat, 04 Feb 2012 10:44:03 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.1 Koch-Kurve und Schneeflocke http://www.fraktalkunst.de/2012/02/03/koch-kurve-und-schneeflocke/ http://www.fraktalkunst.de/2012/02/03/koch-kurve-und-schneeflocke/#comments Fri, 03 Feb 2012 19:03:28 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=148 Helge von Koch

Helge von Koch

Die Koch-Kurve wurde 1904 von dem schwedischen Mathematiker Niels Fabian Helge Hartmut von Koch entdeckt. Sie ist eines der bekanntesten Fraktale überhaupt und ein Beispiel für eine Kurve, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. An ihr lässt sich keine Tangente anlegen, da sie praktisch nur aus "Ecken" besteht.

Die Koch-Kurve und die andere klassischen Fraktale wurden von Mathematikern des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts als "Monsterkurven" bezeichnet, weil sie nicht den gängigen Vorstellungen geometrischer Objekte entsprachen und über höchst seltsame Eigenschaften verfügten.

Die Koch-Kurve

Konstruktion

Ausgangsobjekt zur Konstruktion der Koch-Kurve ist der sogenannte Initiator mit einer Seitenlänge L0 = 1.

Initiator

Initiator

Dieser Streckenabschnitt wird nun im 1. Iterationsschritt durch den Generator ersetzt, dessen vier Seiten N1 jetzt 1/3 der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts haben. Das mittlere Teilstück besteht aus zwei Streckenabschnitten, die im Winkel von 60° zueinander sowie zur Initiatorstrecke stehen.

1. Iteration (Generator)

1. Iteration (Generator)

Die Länge dieser Kurve u1 beträgt nun

{\it u_{1}} = \frac{4}{3} = {\it 1,3333...}

Hinweis: Die Einheit u steht normalerweise für den Umfang, soll aber hier verwendet werden, um den Zusammenhang zur Koch-Insel bzw. Schneeflockenkurve herzustellen.

Im 2. Iterationsschritt wird der Generator erneut auf die vier entstandenen Seiten angewendet und fortlaufend wiederholt.

2. Iteration

2. Iteration

Nun beträgt die Länge schon

{\it u_{2}} = \frac{16}{9} = {\it 1,7777...}

Die Strecke nach der 3. Iteration

3. Iteration

3. Iteration

Die Kurvenlänge wächst nun auf

{\it u_{3}} = \frac{64}{27} = {\it 2,3703...}

Nach der 4. Iteration sieht die Koch-Kurve schon so aus:

4. Iteration

4. Iteration

Die Länge berechnet sich demnach

{\it u_{4}} = \frac{256}{81} = {\it 3,1604...}

Abschließend noch die Abbildung des 5. Iterationsschrittes

5. Iteration

5. Iteration

Die Länge der Kurve beträgt:

{\it u_{5}} = \frac{1024}{243} = {\it 4,2139...}

Die Koch-Kurve kann sowohl mittels Lindenmayer- oder L-Systeme konstruiert werden, weitere Ausführungen dazu im Abschnitt "Andere Darstellungsmethoden", als auch mit Hilfe sogenannter iterierter Funktionensysteme (IFS).

Länge

Da der Generator die Initiatorstrecke der Länge L0 = 1 durch N = 4 Seiten der Länge L = 1/3 ersetzt, beträgt die Länge der Kurve u für den 1. Iterationsschritt

{\it u_{1}} = \frac{4}{3}

Für jeden weiteren Iterationsschritt n gilt daher für das Berechnen der Teilstrecken

{\it N_{n}} = 4^n

der Längen

{\it L_{n}} = \left(\frac{1}{3}\right)^n

sowie der Länge der Koch-Kurve

{\it u_{n}} = N_{n} \cdot L_{n} = \left(\frac{4}{3}\right)^n

Wie zu erkennen ist nimmt die Gesamtlänge pro Iteration um 4/3 zu.

Da diese Konstruktion unendlich oft wiederholt werden kann, ergibt sich für die Koch-Kurve eine Länge von

{\it u_{\infty}} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^n = \infty

Die Koch-Kurve hat somit eine unendliche Länge, belegt aber eine endliche Fläche.

Dimension

Die Koch-Kurve hat eine Hausdorff-Dimension von

{\it D} = \frac{log(4)}{log(3)} = \frac{0,602059}{0,477121} \thickapprox {\it 1,2618}

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass jeder noch so kleine Ausschnitt eines Fraktals bei seiner Vergrößerung dem Ursprungsfraktal ähnelt. Die Koch-Kurve ist ein typisches Beispiel dafür. Nimmt man einen Teile und vergrößert ihn, so erhält man wieder die gesamte Kurve.

Dabei setzt sich die Selbstähnlichkeit bei jeder beliebiger Vergrößerungsstufe fort, die Skaleninvarianz der Koch-Kurve ist demnach eine direkte Folge ihrer Selbstähnlichkeit. Zu beachten ist jedoch, dass kein Konstruktionsschritt der Kurve selbstähnlich bzw. skaleninvariant ist.

Es wäre nämlich theoretisch möglich, diesen derart stark zu vergrößern, dass die Details verschwinden würden und man nur noch die eckige Struktur erkennen könnte. Die Selbstähnlichkeit bezieht sich daher nur auf das Grenzobjekt, das nach (theoretisch) unendlich vielen Iterationen entsteht.

Die Koch-Insel oder die Schneeflockenkurve

Konstruktion

Ausgangsobjekt zur Konstruktion der Koch-Insel ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenzahl N0 = 3 und der Seitenlänge L0 = 1 als Initiator.

Initiator

Initiator

Der Flächeninhalt A0 dieses Dreiecks wird mit der Formel

{\it A_{0}} = \frac{L_0^2}{4} \sqrt{3}

berechnet und beträgt in diesem Fall 0.4330 Flächeneinheiten.
Auf jede Seite dieses Dreiecks wird nun folgender Generator

Generator

Generator

angewandt.

Im 1. Iterationsschritt werden alle bestehenden Seiten gedrittelt und über dem mittleren Drittel nach außen ein gleichseitiges Dreieck errichtet, d.h. zur vorhandenen Figur nach außen hinzugefügt. Das mittlere Drittel der Seite wird entfernt.

1. Iteration

1. Iteration

Auf diese Weise entstehen drei neue Dreiecke, die vom Flächeninhalt her 1/9 so groß sind wie das ursprüngliche Dreieck.

Somit beträgt der Flächeninhalt A1 dieses Sterns

{\it A_{1}} = A_{0} + \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4^{1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot A_{0} = 0,5773

und sein Umfang u

{\it u_{1}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^1 = 4

Die weiteren Schritte erfolgen nach gleichem Muster. So entstehen in der 2. Iteration auf jeder Seite des Initiators vier neue Dreiecke, also insgesamt 3*4.

Im 2. Iterationsschritt hat die Koch-Insel bereits dieses aussehen:

2. Iteration

2. Iteration

Dessen Fläche wächst bereits auf

{\it A_{2}} = A_{1} + \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4^{2} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2 \cdot A_{0} = 0,6414

und der Umfang der Insel erhöht sich auf

{\it u_{2}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 5,3333

Die folgende Abbildung zeigt die 3. Iteration:

3. Iteration

3. Iteration

Das Ergebnis der berechneten Fläche lautet

{\it A_{3}} = A_{2} + \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4^{3} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^2 \cdot A_{0} = 0,6699

und der Inselumfang steigt auf einen Wert von

{\it u_{3}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = 7,1111

Mit dem 4. Iterationsschritt

4. Iteration

4. Iteration

erhöht sich der Flächeninhalt auf

{\it A_{4}} = A_{3} + \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4^{4} \cdot \left(\frac{1}{81}\right)^2 \cdot A_{0} = 0,6825

und der Umfang auf

{\it u_{4}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4 = 9,4814

Abschließend soll noch die 5. Iteration dargestellt werden:

5. Iteration

5. Iteration

Auch hier sei der Vollständigkeit halber der Flächeninhalt

{\it A_{5}} = A_{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4^{5} \cdot \left(\frac{1}{243}\right)^2 \cdot A_{0} = 0,6881

und der Umfang genannt

{\it u_{5}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^5 = 12,6419

Wie sich anhand der einzelnen Iterationsergebnisse ersehen lässt, konvergiert die Folge für An gegen

{\lim_{x \to \infty}} A_{n} = \frac{8}{5} \cdot A_{0} = 0,6928

Der Umfang dagegen strebt nach Unendlich.

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang u des Ausgangsdreiecks beträgt 3. Im weiteren berechnet sich der Umfang der Koch-Insel nach folgender Formel:

{\it u_{n}} = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n

Das Bildungsgesetz für den Flächeninhalt An ist rekursiv und lautet in seiner explizierten Form

{\it A_{n}} = A_{n-1} + \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \cdot A_{0}

Die Anzahl der Seiten ist dabei

{\it N_{n}} = 3 \cdot 4^n

Dimension

Die Koch-Insel hat eine Hausdorff-Dimension von

{\it D} = \frac{log(4)}{log(3)} = \frac{0,602059}{0,477121} \thickapprox {\it 1,2618}

Selbstähnlichkeit

Im Gegensatz zur Koch-Kurve ist die Koch-Insel/Schneeflockenkurve nicht selbstähnlich.

Andere Darstellungsmethoden

Wie oben bereits kurz angesprochen, kann die Koch-Insel auch mit Hilfe des L-Systems oder Lindenmayer-Systems erstellt werden.

Bei den L-Systemen handelt es sich um einen mathematischen Formalismus, der zum Beschreiben biologischer Entwicklung dient. Das wesentliche Prinzip besteht im Ersetzen von Einzelteilen eines einfachen Objektes mittels Produktionsregeln.

Dieses Ersetzen kann rekursiv durchgeführt werden, wodurch L-Systeme zu den Ersetzungssystemen gehören.

Das L-System besteht aus einem Quadrupel G = (V, S, ω, P) von dem

  • V die Zeichen enthält, die als Variable angesehen werden sollen,
  • S die Zeichen enthält, die als Konstanten angesehen werden sollen (V und S bilden das Alphabet des L-Systems),
  • ω ein Wort über dem Alphabet ist, welches als Startwort oder Axiom des L-Systems bezeichnet wird sowie
  • P eine Menge von geordneten Paaren aus Wörtern über dem Alphabet ist, welche Ersetzungsregeln definieren.

Die Koch-Insel kann mit dem Alphabet V = {F} und S = {+,-} dargestellt werden. Für das Symbol F gibt nur eine einzige Ersetzungsregel.

Die Koch-Insel hat das Startwort ω = F–F–F und die Ersetzungsregel P = {(F → F+F–F+F)}, siehe folgende Abbildung:

Koch-Insel mittels L-System erstellt

Koch-Insel mittels L-System erstellt

Eine weitere Möglichkeit Koch-Kurven und Koch-Inseln darzustellen ist das iterierte Funktionensystem (IFS), auf das ich an dieser Stelle nicht näher eingehen möchte.

Fazit

Wenn man mit dem Berechnen der Koch-Kurve erst einmal vertraut ist, kann der Generator auch auf jede andere Fläche, wie z.B. einem Quadrat oder gleichseitigen Sechseck angewandt werden.

Die Seitenlänge, der Umfang und der Flächeninhalt wäre ohne größeren Aufwand mit etwas Nachdenken zu lösen.

Statt dem Hinzufügen von Dreiecken wäre auch das Herausnehmen denkbar, wie das Sierpinski-Dreieck eindrucksvoll beweist.

Auch das Verändern des Initiators bzw. Generators ist möglich, wie folgendes Beispiel demonstriert.

quadratischer Generator

quadratischer Generator

Es würde sich nach drei Iterationen folgendes Bild zeigen:

quadratische Koch-Kurve

quadratische Koch-Kurve

Das Anwenden dieser Verfahrensschritte muss nicht unbedingt auf die Ebene beschränkt bleiben, sondern kann auch auf dreidimensionale Objekte, wie einem Quadrat, einer Pyramide oder eines Tetraeders erfolgen. Als Beispiel sei hier der Menger-Schwamm genannt.

Ich hoffe, dass ich Euch die mathematischen Grundlagen der Koch-Kurve/Koch-Insel verständlich und nachvollziehbar erklären konnte.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2012/02/03/koch-kurve-und-schneeflocke/feed/ 0 Anti-SOPA Blackout Day http://www.fraktalkunst.de/2012/01/17/anti-sopa-blackout-day/ http://www.fraktalkunst.de/2012/01/17/anti-sopa-blackout-day/#comments Tue, 17 Jan 2012 12:06:38 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=144 Morgen wird mein Blog von 8 Uhr bis 20 Uhr nur eine schwarze Seite mit etwas Text zeigen.

Mit dieser Aktion schließe ich mich dem Protest gegen US-amerikanischer und europäischer Internet-Zensurvorhaben an.

Sie sollen größtenteils unter Ausschluss der Öffentlichkeit und unter Missachten des Prinzips größtmöglichster Transparenz beschlossen werden.

Hier die Liste der SOPA-Gegner.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2012/01/17/anti-sopa-blackout-day/feed/ 0 Ein frohes Weihnachtsfest http://www.fraktalkunst.de/2011/12/24/ein-frohes-weihnachtsfest/ http://www.fraktalkunst.de/2011/12/24/ein-frohes-weihnachtsfest/#comments Sat, 24 Dec 2011 09:00:24 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=137 Schneemann

An dieser Stelle möchte ich mich bei allen Bloglesern für ihre Treue bedanken und Euch ein frohes Weihnachtsfest, viele Geschenke und ein gesundes neues Jahr wünschen.

Wer dieses mit Ultra Fractal erstellte Bild haben möchte, sollte den Inhalt der folgenden Textdatei schneemann.txt kopieren und in Ultra Fractal einfügen.

Viel Spaß!

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/12/24/ein-frohes-weihnachtsfest/feed/ 0 Fraktalbilder als Poster http://www.fraktalkunst.de/2011/12/02/fraktalbilder-als-poster/ http://www.fraktalkunst.de/2011/12/02/fraktalbilder-als-poster/#comments Fri, 02 Dec 2011 19:34:33 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=131 Ich habe lange nach einen Postershop gesucht, der meinen Anforderungen sowohl an hoher Druckqualität als auch an Produktvielfalt gerecht wird. Der Fokus fiel zunächst auf drei Postershops: achtung-poster.de, topposter.de und PrintArt.ch.

Beim erstgenannten Shop ist leider die Uploadgröße auf 15 MB pro Bild begrenzt. Leider führte der Upload einer zu großen Datei zu einem erheblichen Problem, es war anschließend kein weiteres Hochladen und Bearbeiten der Bilder mehr möglich.

Beim zweiten Shop werden leider nur Poster angeboten und diese dann als Ganzes oder in Form eines Tryptichon usw.

Der letzte Postershop bietet umfangreiche Einstellungsmöglichkeiten, was auch den Ausschluss geteilter Bilder beinhaltete. Desweiteren können Bilder bis zu einer Größe von 50 MB hochgeladen werden. Ein umfangreiches Produktsortiment wie z.B. Leinwände, Poster, Kunstdrucke, Alu-Dibond sowie eine entsprechende Rahmenauswahl runden das Angebot ab.

Da PrintArt seinen Sitz in der Schweiz hat, wird alles in Schweizer Franken abgewickelt. Hier wäre vielleicht eine Währungseinstellung in Euro wünschenswert.

Alles in Allem habe ich mich letztlich für PrintArt entschieden. Ich hoffe eine gute Wahl.

Viel Spaß beim Shoppen!

Update: Wer nicht in Schweizer Franken zahlen möchte, dem biete ich die Alternative günstig bei Topposter zu bestellen.

Hier der Link zum Postershop: http://www.topposter.de/shop.php?id=8192.

Zusätzlich könnt Ihr unter folgendem Link http://www.gutscheine4free.de/Topposter-Gutscheincode noch Gutscheincodes einlösen. Einfach auf GUTSCHEIN EINLÖSEN >> klicken und dann im neuen Tab auf Topposter.de unter Künstler K-O meinen Namen Konow, Oliver suchen. Den Gutscheincode findet Ihr auf der Gutscheinseite und ist beim Bezahlvorgang im Shop einzugeben.

Viel Spaß!

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/12/02/fraktalbilder-als-poster/feed/ 0 Fraktalanimation erstellen http://www.fraktalkunst.de/2011/10/31/fraktalanimation-erstellen/ http://www.fraktalkunst.de/2011/10/31/fraktalanimation-erstellen/#comments Mon, 31 Oct 2011 13:10:30 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=78

Fraktalanimation erstellen von Oliver Konow.

In diesem Tutorial möchte ich Euch erklären, wie Ihr Animationen erstellen könnt. Voraussetzung dafür ist allerdings die Extended Edition von Ultra Fractal 5.

Ihr habt diese Version, okay, dann lasst uns loslegen.

Anlegen und Bearbeiten von Layer "Background"

Beim Start von Ultra Fractal wird i.d.R. selbständig ein Fraktal mit der Bezeichnung Fractal1 angelegt.

Im Werkzeugfenster Ebenen-Eigenschaften (Layer Properties) aktiviert Ihr den Karteireiter Formel (Formula).

Hinweis! Sollte das Werkzeugfenster nicht vorhanden sein, drückt die Funktionstaste F12.

Mit dem Browsen-Button öffnet Ihr nun das Browserfenster; alternativ auch mit der Tastenkombination Strg+Alt+Eingabe. Im linken Teil des Fensters klickt Ihr die Datei Standard.ufm an und wählen im rechten Fenster die Formel Phoenix (Julia).

Auswählen der neuen Formel im Browserfenster

Jetzt ändert Ihr die Parameter Julia Startwert (Re)/Julia Startwert (Im) (Julia seed (Re)/Julia seed (Im)) im Karteireiter Formel (Formula), indem Ihr die folgenden Werte, im sich durch Rechtsklick öffnenden Kontextmenü Komplexen Wert Einfügen (Paste Complex Value), einfügt:

-0.41/-0.53

Komplexe Werte einfügen

Im nächsten Schritt aktiviert Ihr den Karteireiter Außen (Outside) und wechselt im Browserfenster den Kolorierungs-Algorithmus.

In der linken Seite des Browserfensters ist die Datei Standard.ucl bereits markiert und rechts erscheinen alle darin enthaltenen Kolorierungs-Algorithmen.

Hier öffnet Ihr den Algorithmus Orbit Traps.

Auswählen des neuen Kolorierungs-Algorithmus im Browserfenster

Ihr stellt hier folgende Parameter ein:

  • Trap Shape: pinch
  • Trap Mode: inverted sum squared
  • Threshold: 0.01

Damit sich das Fraktal in der Bildmitte befindet, wechselt Ihr zum Karteireiter Standort (Location) und nehmt folgende Einstellungen vor:

  • Mitte (Re) (Center (Re)): 0.07625
  • Mitte (Im) (Center (Im)): -0.015

Im letzten Schritt wird der Farbverlauf verändert. Klickt dazu auf den Button Farbverlauf (Gradient), kopiert folgenden Code und fügt ihn bei geöffnetem Farbverlaufs-Editor ein:


Gradient-Fraktalanimation,Background {
gradient:
title="Gradient - Fraktalanimation, Background" smooth=yes
rotation=9 index=11 color=2631720 index=88 color=181 index=197
color=16750591 index=319 color=5844775 index=399 color=16777215
opacity:
smooth=no index=0 opacity=255
}

Damit sind die Vorarbeiten abgeschlossen und Euer Fraktal sollte so aussehen:

Der erstellte Background-Layer

Erstellen und Bearbeiten der Animation

Zunächst soll in das Fraktal hineingezoomt und gleichzeitig gedreht werden. Währenddessen soll auch der Farbverlauf verändert werden. Abschließend soll die Farbe eines zweiten Layers hinzugemischt werden.

Sofern die Animationsleiste nicht sichtbar ist, aktiviert sie über Options | Animation Bar.

In den Zeiteinstellungen (Time settings) ändert Ihr den Wert der eingestellten Frames auf 250. Die anderen Einstellungen werden beibehalten.

Bearbeiten der Zeiteinstellungen

Die Animationsleiste zeigt nun die Frames von 1 bis 250 an.

Um eine Animation zu erstellen, müsst Ihr den Animationsmodus (Animate mode) aktivieren. Klickt dazu den Button Animieren (Animate), alternativ auch F3.

Im Fraktalfenster erscheinen in den Fensterecken rote Markierungen sowie der Text (Animating) in der Titelleiste.

Aktivierter Animationsmodus

Hineinzoomen und Drehen

Ihr bewegt zunächst den Zeitschieber (Time slider) bis zum Frame 200, klickt danach mit der Maus ins Fraktalfenster und zieht Euch einen Auswahlrahmen. Sucht Euch einen interessanten Bereich heraus und vergrößert ihn. Schaltet den Animationsmodus wieder aus.

Auswählen des Vergrößerungsbereichs

In der Animationsleiste befinden sich jetzt bei Frame 1 und Frame 200 zwei kleine blaue Schlüssel-Icons.

Farbverlauf verändern

Öffnet den Farbverlaufseditor und schaltet danach den Animationsmodus an. Bewegt anschließend den Zeitschieber (Time slider) auf Frame 200.

Verändert folgenden Wert:

  • Threshold: 0.25

Euer Fraktal sollte jetzt in diesen Farben vorliegen:

Bisheriger Farbverlauf des Background-Layer

Jetzt passt Ihr noch die einzelnen Farbwerte im Farbverlaufseditor an. Dabei ist der Animationsmodus immer noch angeschaltet.

Um nicht jeden einzelnen Farbwert eingeben zu müssen, könnt Ihr diesen Code bei geöffneten Farbverlaufseditor einfügen:


Gradient-Fraktalanimation,Background {
gradient:
title="Gradient - Fraktalanimation, Background" smooth=yes
rotation=9 index=11 color="2631720@#0SS8716288@#31840" index=88
color="181@#0SS21941@#31840" index=197
color="16750591@#0SS16777215@#31840" index=319
color="5844775@#0SS2752551@#31840" index=399
color="16777215@#0SS16777215@#31840"
opacity:
smooth=no index=0 opacity=255
}

Hinweis! Zum Einfügen des Codes muss der Animationsmodus ausgeschaltet sein.

Als Ergebnis erhaltet Ihr folgendes Aussehen:

Farbverlauf des Background-Layers nach Änderung

Zum Anschauen drückt den Play-Button oder STRG+Space.

Damit wäre Eure Animation fast fertig, allerdings werdet Ihr feststellen, dass der Farbverlauf sowie der Zoom und die Drehung von Frame 1 bis Frame 200 animiert wird.

Es sind daher noch ein paar Feinarbeiten zu erledigen, die ich Euch im nächsten Abschnitt erläutern werde.

Feinarbeiten

Folgende Parameter sollen noch angepasst werden:

  • der Zoom und die Drehung soll erst ab Frame 30 beginnen,
  • der Wert für Threshold soll bereits bei Frame 120 erreicht werden und
  • Farbverlauf soll bis Frame 60 abgeschlossen sein.

Dazu öffnet Ihr das Werkzeugfenster Zeitstrahl (Timeline) mit Klick auf den rechten Button in der Animationsleiste oder mit STRG+T.

Auf der linken Seite des Werkzeugfensters, wird Euch eine Baumansicht aller Parameter des Fraktals, nach Ebene und Kategorie gruppiert, angezeigt. Auf der rechten Seite werden die Zeitsstrahlen jeder animierten Kategorie und Parameter dargestellt.

Wenn Ihr die Baumstruktur aufklappt, stehen Euch mehrere Kategorien zur Verfügung, u.a. Standort (Location), Außen (Outside) und Farbverlauf (Gradient). Diese drei Kategorien passt Ihr folgendermaßen an:

Klickt auf die Kategorie: Location, womit Ihr den Zeitstrahl markiert. Anschließend bewegt Ihr bei gedrückter Maustaste den Anfang des Zeitstrahls auf den Frame 30.

Bearbeiten der Zeitlinie für die Kategorie: Location

Alternativ könnt Ihr auch bei markierter Kategorie unten den Wert Begin Frame: auf 30 setzen.

Bearbeiten durch Ändern des Frames

Klappt die Kategorie: Outside auf, klickt auf den Parameter Threshold und setzt unten den Wert End Frame: auf 120.

Bearbeiten der Zeitlinie für den Parameter: Threshold

Abschließend klappt Ihr die Struktur der Kategorie: Gradient auf, markiert Euch den Parameter Color und setzt unten den Wert End Frame: auf 60.

Bearbeiten der Zeitlinie für den Parameter: Color

Damit ist der Layer Background fertig. Es fehlt nur noch der zweite Layer, der ab Frame 200 eingeblendet werden und seine Farbe mit dem ersten Layer vermischen soll.

Anlegen und Bearbeiten von Layer "Layer1"

Wechselt dazu in das Werkzeugfenster Fraktal-Eigenschaften (Fractal Properties) in den Karteireiter Ebenen (Layers), drückt auf den Button Hinzufügen (Add), alternativ auch mit der Tastenkombination Umschaltetaste+Alt+A, und fügt ihn hinzu.

Danach stellt Ihr den Misch-Modus (Merge Mode) auf Soft Light.

Im nächsten Schritt aktiviert Ihr den Karteireiter Außen (Outside) und wechselt im Browserfenster den Kolorierungs-Algorithmus.

In der linken Seite des Browserfensters ist die Datei Standard.ucl bereits markiert und rechts erscheinen alle darin enthaltenen Kolorierungs-Algorithmen.

Hier öffnet Ihr den Algorithmus Triangle Inequality Average.

Auswählen des Kolorierungs-Algorithmus im Browserfenster

Ihr stellt hier folgende Parameter ein:

  • Color Density: 1.2
  • Transfer Function: Exp
  • Gradient Offset: 130

Im letzten Schritt verändert Ihr den Farbverlauf. Klickt dazu auf den Button Farbverlauf (Gradient), kopiert folgenden Code und fügt ihn bei geöffnetem Farbverlaufs-Editor ein:


Gradient-Fraktalanimation,Layer1 {
gradient:
title="Gradient - Fraktalanimation, Layer 1" smooth=yes rotation=-4
index=-391 color=16777215 index=66 color=2853599 index=188 color=0
index=287 color=2116242
opacity:
smooth=no index=0 opacity=255
}

Damit sind die Arbeiten am Layer1 abgeschlossen und Euer Fraktal sollte so aussehen:

Aussehen der Animation mit beiden Layern

Layer1 anpassen und Farben mischen

Wie bereits erwähnt, soll der Layer1 ab Frame 200 eingeblendet und seine Farben vermischt werden.

Stellt sicher, dass Ihr im Werkzeugfenster Fraktal-Eigenschaften (Fractal Properties) den Layer1 ausgewählt habt.

Aktiviert den Animationsmodus und bewegt den Zeitschieber (Time slider) auf Frame 1. Zieht jetzt im Werkzeugfenster Fraktal-Eigenschaften (Fractal Properties) den Schieber Opazität (Opacity) auf 0%.

Ändern der Opazität von Frame 1

Danach bewegt Ihr den Zeitschieber (Time slider) auf Frame 250 und zieht nun im Werkzeugfenster Fraktal-Eigenschaften (Fractal Properties) den Schieber Opazität (Opacity) auf 100%.

Ändern der Opazität von Frame 250

Schaltet den Animationsmodus wieder aus.

Öffnet das Werkzeugfenster Zeitstrahl (Timeline) mit Klick auf den rechten Button in der Animationsleiste oder mit STRG+T.

Klappt die Baumstruktur des Layer1 aus, markiert den Parameter Opacity und setzt unten den Wert Begin Frame: auf 200.

Bearbeiten der Zeitlinie für den Parameter: Opacity

Drückt zum Abspielen die Tastenkombination STRG+Space.

Sofern Ihr es nicht schon zwischendurch getan habt, solltet Ihr jetzt Eure Animation abspeichern.

Falls es nicht so richtig geklappt hat, könnt Ihr den Inhalt der Datei fraktalanimation.txt kopieren und in Ultra Fractal einfügen.

Um die Animation bei geöffnetem Fraktal-Fenster auf die Festplatte rendern zu können, klickt Ihr Auf Festplatte rendern (Render to Disk) im Fraktal (Fractal)-Menü oder den Button Auf Festplatte rendern (Render to Disk) in der Werkzeugleiste. Alternativ geht es auch über die Tastenkombination Strg+R.

Im Abschnitt Ziel (Destination) wählt Ihr das Dateiformat (File Format) AVI movie (*.avi) sowie die Zieldatei (Destination File) aus. Daraufhin öffnet sich das Fenster Exportoptionen (Export Options), wo Ihr die vorhandenen Einstellungen übernehmen könnt.

In diesem Fenster könnt Ihr außerdem aus verschiedenen Kompressionsverfahren auswählen, abhängig von den installierten Codecs auf Eurem Computer. Sollten die Ergebnisse nicht zufriedenstellend sein, müsst Ihr mit den in der Liste vorhandenen Codecs experimentieren.

Im Abschnitt Animation könnt Ihr unter First Frame/Last Frame den Bereich festlegen, der gerendert werden soll. Achtet darauf, dass die Werte 1 bis 250 enthalten sind, Ihr wollt ja schließlich Eure gesamte Animation rendern.

Weitere Einstellungen braucht Ihr nicht vornehmen; bestätigt anschließend mit OK.

Hinweis! Da bei Animationen weitaus größere Datenmengen anfallen, als dies bei unbewegten Bildern der Fall ist, kann das Rendern, abhängig von der gewählten Höhe und Breite sowie der Frameanzahl und den Frames pro Sekunde, mehrere Stunden dauern. Ein schneller Prozessor ist daher für größere Formate unabdingbar.

Das Berechnen dieser 8-Sekunden-Animation, die eine Größe von 640 x 480 Pixeln hat, dauerte 36 Minuten und 12 Sekunden.

Die zweite Fraktalanimation auf Vimeo mit einer Länge von 40 Sekunden, benötigte eine Rechenzeit von 6 Tagen 17 Stunden 15 Minuten.

Falls Ihr jetzt auf die Idee kommt, eine 1-minütige Animation mit 30 fps in der Größe von 1.920 x 1.080 Pixeln (Full HD) zu animieren, dann möchte ich Euch dringend einen Quad-Core-Rechner ans Herz legen, denn die Berechnung kann bis zu mehrere Wochen in Anspruch nehmen.

Die Anzahl der Pixel, die Euer Computer dafür berechnen muss, ist gewaltig:

1.920 x 1.080 x 1800 Frames (60 Sekunden x 30 Frames pro Sekunde) = 3.732.480.000 Pixel

Wie immer wünsche ich Euch viel Spaß beim Experimentieren!

Dieser Artikel steht unter der Creative Commons Namensnennung-NichtKommerziell-KeineBearbeitung 3.0 Deutschland (CC BY-NC-ND 3.0) – Lizenz.

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]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/10/31/fraktalanimation-erstellen/feed/ 0 Fraktal als iPhone Hintergrund – #3 http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/fraktal-als-iphone-hintergrund-3/ http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/fraktal-als-iphone-hintergrund-3/#comments Wed, 19 Oct 2011 06:30:58 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=84 Speziell für Nutzer von iPhones sowie anderer Smartphones habe ich wieder ein Fraktal als Hintergrundbild erstellt.

iPhone Hintergrund #3

Das Hintergrundbild steht Euch im Downloadbereich zur Verfügung.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/fraktal-als-iphone-hintergrund-3/feed/ 0 Neues Design http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/neues-design/ http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/neues-design/#comments Wed, 19 Oct 2011 04:15:19 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=111 Wie ihr sehen könnt, war es Zeit etwas zu verändern. Daher habe ich meinem Blog ein neues Design verpasst. Dabei habe ich auch gleich kräftig aufgräumt und mich von ein paar Plugins getrennt.

Ich hoffe, dass ich dem Fehlerteufel ein Schnäppchen schlagen konnte und alles reibungslos läuft.

Also dann viel Spaß auf meinem Blog!

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/10/19/neues-design/feed/ 0 Fraktal als iPhone Hintergrund – #2 http://www.fraktalkunst.de/2011/10/09/fraktal-als-iphone-hintergrund-2/ http://www.fraktalkunst.de/2011/10/09/fraktal-als-iphone-hintergrund-2/#comments Sun, 09 Oct 2011 13:28:58 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=82 Speziell für Nutzer von iPhones sowie anderer Smartphones habe ich wieder ein Fraktal als Hintergrundbild erstellt.

iPhone Hintergrund #2

Das Hintergrundbild steht Euch im Downloadbereich zur Verfügung.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/10/09/fraktal-als-iphone-hintergrund-2/feed/ 0 Fraktal als iPhone Hintergrund – #1 http://www.fraktalkunst.de/2011/04/13/fraktal-als-iphone-hintergrund-1/ http://www.fraktalkunst.de/2011/04/13/fraktal-als-iphone-hintergrund-1/#comments Wed, 13 Apr 2011 15:22:53 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=74 Speziell für Nutzer von iPhones sowie anderer Smartphones habe ich ein Fraktal als Hintergrundbild erstellt.

iPhone Hintergrund #1

Das Hintergrundbild steht Euch im Downloadbereich zur Verfügung.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/04/13/fraktal-als-iphone-hintergrund-1/feed/ 0 Fragen zur fraktalen Kunst http://www.fraktalkunst.de/2011/04/03/fragen-zur-fraktalen-kunst/ http://www.fraktalkunst.de/2011/04/03/fragen-zur-fraktalen-kunst/#comments Sun, 03 Apr 2011 12:25:45 +0000 Oliver Konow http://www.fraktalkunst.de/?p=71 Vor gut einer Woche erhielt ich von einer angehenden Abiturientin ein paar Fragen im Zusammenhang mit der Computerkunst bzw. der fraktalen Kunst. Diese Fragen möchte ich Euch nicht vorenthalten, denn sie sind wirklich sehr interessant.

  1. Wie kam es dazu, dass Sie sich mit Kunst am Computer beschäftigen? Wieso beschäftigen Sie sich mit der Fraktalen Kunst?
    • Der Prozess mich mit "Computerkunst" bzw. "Fraktalkunst" zu beschäftigen war eher schleichend. Zunächst entwickelte sich das Interesse an der Mathematik, allerdings schien mir die euklidische Geometrie die Natur und andere komplexe Vorgänge nur unzureichend zu beschreiben.

      Daher begann ich mich näher mit der komplexen Mathematik zu beschäftigen und las Bücher über Fraktale, insbesondere "Die Fraktale Geometrie der Natur" von Mandelbrot sowie "The Beauty of Fractals" von Peitgen und Richter.

      Dabei faszinierte mich nicht nur die filigrane selbstähnliche Struktur der Fraktale, sondern auch die Tatsache, dass einfache Formeln solch ästhetische Bilder hervorbringen konnten. Mit der Zeit entstand der Wunsch selbst fraktale Bilder zu kreieren, doch die Computertechnik der 80er Jahren war lediglich in der Lage, einfache Fraktale in schwarz-weiß zu erzeugen.

      Diese Situation änderte sich mit Aufkommen neuester Computer, die immer leistungsfähiger und in der Lage waren, komplexe mathematische Berechnungen durchzuführen. Sie ermöglichten zudem Fraktale in Farbe dazustellen und die Zeit der Berechnung in Grenzen zu halten. Aus Stunden wurden Minuten.

  2. Was gefällt Ihnen am Besten in dieser Kunstrichtung? Was gefällt Ihnen gar nicht daran?
    • Diese Stilrichtung ist noch relativ jung, sie mit meinen Bildern zu prägen und mitzugestalten gefällt mir am Besten. Sie schenkt mir die Freiheit, ohne Einschränkungen kreativ zu werden, mit neuen Arbeitstechniken zu experimentieren und über Stilrichtungen hinaus, neue künstlerische Möglichkeiten zu entdecken.

      Ein Nichtgefallen gibt es für mich nicht.

  3. Kann man Fraktale Kunst überhaupt als Kunstrichtung ansehen? Zählt am Computer geschaffene Kunst als Kunst? Kann Menschenhand die gleichen Bilder erschaffen?
    • Die Frage, ob computergenerierte Kunst auch wirklich Kunst genannt werden kann, liegt im Auge des Betrachters. Die Meinungen gehen hier weit auseinander. Ich denke schon das es Kunst ist, denn der Computer und die zu Grunde liegenden Formeln sind für den Künstler, wie der Pinsel oder der Fotoapparat, das Werkzeug. Durch das Entwickeln neuer Formeln, durch geschicktes Arrangieren von Masken und Ebenen oder durch Erstellen neuer Farbverläufe entsteht ein "einzigartiges" Bild. Die Einzigartigkeit büßt das Bild natürlich mit seiner Reproduzierbarkeit ein.

      Maßgebend ist die schöpferische Arbeit, die Kreativität, wie der Künster die Arbeitsmittel Computer und Formeln einsetzt. Wie bei einem Fotografen, der für seine Fotografie auf Licht, Schatten und Stimmung achtet und diese ggf. durch den Einsatz von Filtern zu beeinflussen versucht, geht das Ergebnis seiner Arbeit weit über den bloßen Einsatz der Geräte hinaus.

      Natürlich kann ich Fraktalbilder auch mit Pinsel und Farbe auf eine Leinwand malen, sie wären aber sehr abstrakt und würden viel von ihren filigranen Strukturen einbüßen. Details, die auf ihren mathematischen Ursprung schließen lassen, gingen verloren.

      Ich denke, dass die Fraktalkunst schon als Teil der Computerkunst verstanden werden kann. Ob sie den Status einer Kunstrichtung verdient, ermisst sich daran, inwieweit sie die Kunst als Gesamtheit beeinflusst, sie prägt und welche Impulse sie auf andere Stilrichtungen aussendet. Kunstwissenschaftler werden sicherlich eine genauere Antwort darauf geben können.

Vielleicht sind die Fragen ein kleiner Anreiz, Eure eigenen Antworten zu finden.

Danke für die interessanten Fragen.

]]> http://www.fraktalkunst.de/2011/04/03/fragen-zur-fraktalen-kunst/feed/ 0