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Futuremind http://futuremind.seesaa.net/ 備忘録 ja http://futuremind.seesaa.net/article/116557267.html ベイズ演習２：品質管理ある工場が生産する製品のうち、95%は所定の品質基準を満足することがわかっている。工場の検査ラインを調査したところ、品質基準を満足する製品の90%は合格と判定され、品質基準を満足しない製品の15%が合格と判定された。１）ある製品が合格と判定されたとき、この製品が品質基準を満足している確率はいくらか。２）ある製品が不合格と判定されたとき、この製品が品質基準を満足する確率はいくらか。３）同じ検査を互いに独立に2回行う場合を考える。ある製品が2回とも合格と判定されたとき、この製品... ベイズ futuremind 2009-04-01T22:45:00+09:00 １）ある製品が合格と判定されたとき、この製品が品質基準を満足している確率はいくらか。
２）ある製品が不合格と判定されたとき、この製品が品質基準を満足する確率はいくらか。
３）同じ検査を互いに独立に2回行う場合を考える。ある製品が2回とも合格と判定されたとき、この製品が品質基準を満足する確率はいくらか。

　次のように事象を定義する。
　A：製品が品質基準を満足する事象。
　X：製品が合格と判定される事象。
　X|A：品質基準を満足する製品が合格と判定される事象。
　A|X：合格と判定された製品が品質基準を満足する事象。

１）求めたい確率はP(A|X)である。ベイズの定理より
　P(A|X) = P(X|A)P(A)/P(X)　　　　　　　　（１）
　また、全確率の法則を適用すると
　P(X) = P(X|A)P(A)+P(X|A')P(A')　　　　　（２）
　ここに、A'はAの余事象である。与条件より

　P(A) = 0.95

　P(X|A) = 0.90

　P(X|A’) = 0.15

となるので、これらを（２）に代入すると

　 P(X) = 0.8625

を得る。よって、（１）より

　P(A|X) = 0.9913

となる。

２）不合格と判定された製品が品質基準を満足する事象はA|X'である。ベイズの定理によれば、
　P(A|X') = P(X'|A)P(A)/P(X')　　　　　　　　（３）
ここで、
　P(X'|A) = 1 - P(X|A) = 0.10
　P(X') = 1 - P(X) = 0.1375
であるから（３）より
　P(A|X') = 0.6909
を得る。

３）2回とも合格と判定される事象をXXと記す。題意より、P(A|XX)が求める確率である。ベイズの定理を用いると
　P(A|XX) = P(XX|A)P(A)/P(XX)　　　　　　　（４）
全確率の法則より
　P(XX) = P(XX|A)P(A) + P(XX|A')P(A')　　　（５）
2回の検査は互いに独立であるから
　P(XX|A) = P(X|A)P(X|A) = 0.81
　P(XX|A') = P(X|A')P(X|A') = 0.0225
よって（５）より
　P(XX) = 0.7706
従って、（４）より
　P(A|XX) = 0.9985
を得る。

]]> http://futuremind.seesaa.net/article/116457873.html ベイズ演習１：地震警報器次のような仕様の地震警報器がある。S1)1日1回地震情報（地震あり、地震なし）を発信する。S2)地震が起きると、即時に警報（地震あり）を出す。S3)地震がないと、定時に情報（地震なし）を出す。この警報器は次の特性を持つことがわかっている。C1)地震が起きると、100%の割合で警報を出す。C2)地震がないときにも、1%の割合で警報を出す（誤報）。この警報器から警報が出たとき、それが誤報ではない（実際に地震が発生する）確率はいくらか。ただし、1日当たりに地震が起きる確率は... ベイズ futuremind 2009-03-30T21:28:00+09:00 次のような仕様の地震警報器がある。
S1)1日1回地震情報（地震あり、地震なし）を発信する。
S2)地震が起きると、即時に警報（地震あり）を出す。
S3)地震がないと、定時に情報（地震なし）を出す。　
　この警報器は次の特性を持つことがわかっている。
C1)地震が起きると、100%の割合で警報を出す。
C2)地震がないときにも、1%の割合で警報を出す（誤報）。

　この警報器から警報が出たとき、それが誤報ではない（実際に地震が発生する）確率はいくらか。ただし、1日当たりに地震が起きる確率は0.1%とし、地震は1日に2回以上は発生しないものとする。

　想定した強さ以上の地震動が発生したとき、即時に警報を出すような警報器を対象としている。次のように事象を定義する。
　A：地震が発生する事象
　X：警報が出る事象
　A|X：警報が出る条件下で、地震が発生する事象
　X|A：地震が起きる条件下で、警報が出る事象
P(A)を事象Aの確率とすると、求めたい確率はP(A|X)である。ベイズの定理を用いると
　P(A|X) = P(X|A)P(A)/P(X)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
となる。また、全確率の法則より
P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A’)P(A’)　　　　　　　　　　　　　　（２）
が成り立つ。ここに、A’はAの余事象である。与条件より
　P(A) = 0.1%
P(X|A) = 100%
P(X|A’) = 1%
となるので、これらを（２）に代入すると
　P(X) = 1.10%
を得る。よって、（１）より
　P(A|X) = 9.1%
となる。この警報器の信頼感はかなり低いといわざるを得ない。

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