En esos casos siempre puedes acudir a alguna página donde aparezca explícitamente el código de los símbolos más habituales junto con ejemplos de expresiones habituales más largas (la web de ayuda de TeX de la Wikipedia en español está bastante bien)…o encomendarte a Web Equation.

En Web Equation podemos representar a “ratón alzado” una expresión en todo lo larga y compleja que queramos, y esta aplicación online nos dará tanto el código para representarla como una imagen con dicha representación. Aquí tenéis un ejemplo con el problema de Basilea:

Cierto es que en ocasiones no parece dar la opción más razonable, aunque la expresión sea muy sencilla, como en este caso:

pero es una herramienta muy interesante para quien tenga alguna duda concreta y no tenga ganas de buscar símbolo a símbolo. Haz pruebas y coméntanos tus conclusiones sobre ella.

¿Conocéis más aplicaciones con lo que se pueda hacer lo mismo que con ésta?

Os recomiendo también que os vayáis a la página principal, Demonstrations, y probéis todas las aplicaciones que aparecen. Entre ellas me ha gustado principalmente Web Shape.

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que podéis ver aquí en el set de Flickr donde están todas. Podéis ver la otra haciendo click aquí.

¿Quieres ver todas las imágenes que nos han enviado? Pues entra en set de Flickr Yo construí el poliedro de Császár.

¿Quieres construir vuestro propio poliedro de Császár y enviarlo a Gaussianos para que lo publique? Pues no tienes más que echar un ojo a este post, tomar una de las plantillas que se enlazan al final…y ponerte con ello. Os animo a que me ayudéis a reactivar esta iniciativa. Muchas gracias.

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Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico de Durero

Alberto Durero fue un pintor alemán (nacido en Nuremberg) de los siglox XV y XVI con una producción artística muy amplia y de gran calidad. Además de ejercer una gran influencia en sus contemporáneos, fue uno de esos artistas que consiguieron utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Además fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus grabados, como El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra. También se preocupó bastante del trazado de las secciones cónicas, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos para ello.

Entre sus obras se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos (como el que puede verse a la derecha, que está en el Museo del Prado de Madrid), dibujos y grabados. Vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I:

Este grabado compone las “Estampas Maestras” junto con otro dos grabados: “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San jerónimo en su gabinete”. Es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.

¿Os habéis fijado en lo que hay en la parte superior derecha? Vaya, un cuadrado con números…No será…¡¡Sí, un cuadrado mágico!!:

Como podéis ver, en el grabado aparecen más detalles relacionados con las matemáticas, como una esfera o un poliedro truncado. Pero, como decía, detengámonos en el cuadrado. ¿Es un cuadrado mágico? Sí, es un cuadrado mágico de los más habituales, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado:

Pero este cuadrado mágico es mucho más especial de lo que parece. Sumemos los números de las esquinas:

¿Cuánto suman? Sí, 34.

Sumemos ahora los números centrales:

¿Y ahora cuánto suman? Otra vez 34.

Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior:

Exacto, 34.

¿Y con los centrales de la primera y la última columna?

También 34.

Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno:

¿Qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrado? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc)?

Todas 34

¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? ¿Y éstas otras?

De nuevo, cómo no, 34.

Y todavía hay más:

Y seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Además si elevamos al cuadrado y al cubo sus elementos, nos quedan cuadrado que aunque no son mágicos sí que tienen propiedades interesantes. Os invito a explorarlos y a que comentéis las regularidades que encontréis en ellos:

- El de los cuadrados:

- El de los cubos:

Y para terminar, ¿sabéis de que año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, por rizar el rizo, los números de las esquinas de la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es:

La foto de Durero la he tomado de aquí y la de Melancolía I de aquí.

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y la de logaritmo es

Bien, pues no hay dos sin tres, amigos, hoy tenemos una nueva confusión entre logaritmo y algoritmo en la prensa nacional. La primera la comenté en De algoritmos y logaritmos (que podéis ver en Malaciencia.es), y la segunda está en De logaritmos y algoritmos. La primera se rectificó en pocas horas, pero la segunda sigue a día de hoy con su error.

En las dos ocasiones anteriores el error apareció en El País, y esta vez vuelve a ocurrir. Me avisa Pablo Urcola a través de su cuenta de Twitter, @killimsicin, de la nueva aparición de esta grave confusión. Y ahora le ha tocado a David Trueba, que comete este tremendo error en su artículo Puaj, aparecido hoy mismo en la web de El País, donde comenta el asunto Megaupload y habla sobre Google. Pasando por encima del contenido del artículo (aunque habría mucho que comentar), fijémonos en este párrafo:

¡¡No!! ¡¡Otra vez no!! De nuevo se vuelve a confundir algoritmo con logaritmo. Y no es un error de escritura sin importancia (la típica letra que se escribe dos veces, o el típico cambio entre letras), es un grave error de concepto. ¿Tan complicado es informarse, preguntar, confirmar que estos términos que son desconocidos para el autor son correctos? Pues parece que sí lo es.

Lo siento, pero me parece lamentable que este tipo de errores se produzcan sistemáticamente en medios tan importantes. Y a quien no le parezca tan grave le recomiendo que piense en, por ejemplo, qué le parecería que se confundiera sistemáticamente carabela con calavera.

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Por si alguien no conoce a M.C. Escher, aquí dejo unos cuantos enlaces con información y, sobre todo, con imágenes de sus características obras:

• M. C. Escher en la Wikipedia en inglés, y tres de las obras más conocidas de Escher tomadas de esta misma web:

  

• Mini-biografía de M. C. Escher en Microsiervos.
• M. C. Escher: The Official Website.
• Escher Granada: página web de la exposición dedicada a M. C. Escher que actualmente se encuentra en Granada (granadinos, no os la podéis perder).
• Muchas imágenes de obras de Escher vía Google.

Por todo esto, decir de alguien que podría ser el nuevo Escher 40 años después de la muerte de éste es algo fuerte. Pero el caso lo merece.

Rinus Roelofs es un matemático y escultor holandés nacido en 1954. Antes de estudiar Matemáticas estudió en una academia de arte, especializándose en escultura. Es uno de los pocos casos que se conocen de matemáticos que viven de esta rama del arte. Actualmente trabaja en Hengelo (Holanda) centrado en la investigación en nuevos diseños y estructuras, por los que se ha ganado una enorme reputación en círculos científicos donde está considerado como el sucesor de M. C. Escher.

Y es que es cierto que las obras de Roelofs recuerdan en cierto sentido el estilo de las obras de Escher. Su simetría y su, en ocasiones, paradójica estructura trae a nuestra mente una sensación parecida a la que nos inunda cuando contemplamos una obra escheriana. Aquí os dejo unos cuantos ejemplos:

Maravilloso, ¿verdad? Pues hay muchísimas más en la web de Rinus Roelofs, y también pueden verse muchas de estas pequeñas maravillas de la escultura utilizando el buscador de imágenes de Google.

Quizás sea algo temerario comparar a Roelofs con Escher. Es posible. Y puede que ni siquiera puedan compararse, al tratarse de dos campos distintos, escultura y dibujos. No lo niego. Pero solamente os pido que olvidéis este pequeño detalle, os invito a que borréis de vuestra mente que lo que tenéis delante es una escultura o un grabado e intentéis absorber la esencia misma de cada obra. Así las disfrutaréis mucho más y, espero, encontraréis relaciones y similitudes interesantes entre estos dos genios.

Rinus Roelofs. No olviden este nombre. No le pierdan la pista.

Rinus dio una conferencia en Imaginary Valencia hace un par de días, el pasado lunes 30 de enero, titulada “Single Surface Strutures”, dentro de la jornada de Arte y Matemáticas ARTiMAT

Las imágenes de las obras de Rinus Roelofs se han tomado de su web. La foto del propio Roelofs se ha tomado de aquí.

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Después del cálculo de límites, la resolución de ecuaciones de segundo grado y el cálculo de derivadas y la aparición de sumatorios creo que esto es lo único que nos faltaba en el mundo de los captchas matemáticos.

Visto en The Math Kid.

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Pues sí amigos. Wolfram|Alpha (del que comenté algunas cosas hace un tiempo) ha añadido como nueva función la resolución paso a paso de algunos tipos de ecuaciones diferenciales. En este post del blog de Wolfram|Alpha nos cuentan algo sobre esta nueva funcionalidad.

A partir de ahora podemos encontrar la resolución paso a paso de ecuaciones diferenciales en variables separables, homogéneas, exactas, lineales de primer orden y lineales de orden superior, utilizando variación de constantes, coeficientes indeterminados e incluso transformada de Laplace (lo que implícitamente nos dice que también resuelve problemas con condiciones iniciales). Tremendo, vamos.

Os dejo un par de ejemplos que yo mismo he propuesto al programa:

• Resolución de una homogénea, con su cambio y todo:

  

• Resolución de una lineal de segundo orden con condiciones iniciales:

  

Cierto es que en algunos casos no nos muestra la solución paso a paso (y también que algunas no las resuelve), pero no podemos negar que es una opción muy interesante para resolver este tipo de problemas. No sé hasta dónde llegará Wolfram|Alpha, pero lo que sí es cierto es que cada vez es más potente. Aprovechadlo bien.

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¿Que cómo se podía hacer un agujero con estas características? Pues, por ejemplo, así:

¿Recordáis que en el artículo en el que se hablaba de la paradoja del cubo de Ruperto os puse un vídeo en el que se veía todo mucho mejor? Sí, éste:

Bien, pues ahora el gran George Hart nos trae, a través de Math Monday, una especie de maqueta para realizar la comprobación de este paradoja de la intuición, pero resultado matemático demostrado. En realidad es una representación real realizada por Martin Raynsford, que ahora os enseño en imágenes:

Aquí tenéis el cubo con el agujero hecho

Aquí junto a un cubo del mismo tamaño, pero completo

Y aquí el cubo traspasando el que tiene el agujero hecho

También tenemos esta plantilla (pdf) para realizar esta construcción en papel.

Ya no creo que haya nadie que no se crea este resultado, ¿verdad?

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Hallar el menor valor posible que toma la expresión , siendo y números reales tales que la ecuación tiene solución real.

Que se os dé bien.

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Jean Bourgain es un matemático belga de casi 58 años (los cumple el 28 de febrero) que ha trabajado en múltiples áreas del análisis matemático, como la geometría en espacios de Banach, análisis armónico, combinatoria, teoría ergódica, ecuaciones en derivadas parciales, teoría espectral y en teoría de grupos. En el año 2000 conectó el problema de Kakeya con la aritmética combinatoria.

Bourgain añade este premio a la Medalla Fields conseguida en 1994, al Premio Salem (1983) y al Premio Shaw (2010), entre otros (tenéis más en su CV (pdf). Actualmente trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y es uno de los editores de la prestigiosa revista Annals of Mathematics (fuente: Jean Bourgain en la Wikipedia en inglés; foto tomada de aquí).

Terence Tao (de quien ya hablamos en Gaussianos hace un tiempo) es un matemático australiano de 36 años que se dedica principalmente al análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales, la combinatoria, la teoría analítica de números y la teoría de representación. Su resultado más importante es la demostración, junto a Ben Green, de que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Tiene un blog de matemáticas muy visitado, What’s new, donde habla sobre temas relacionados con las matemáticas de muy alto nivel.

Antes del Crafoord, Tao recibió el Premio Salem (2000), el Premio Bôcher (2002), el Clay Research Award (2003), el Premio Levi L. Conant (2005) y el Premio SASTRA Ramanujan en 2006, año en el que también fue galardonado con la Medalla Fields, y otros. En la actualidad trabaja en UCLA (fuente: Terence Tao en la Wikipedia en inglés, de donde también he tomado la foto).

Y, hablando de todo un poco, supongo que querréis saber algo más sobre el Premio Crafoord, ¿no? Pues bien, el Premio Crafoord es nada más y nada menos que el considerado como el complementario del Premio Nobel en algunas especialidades que éste último no cubre. Comenzó a entregarse en 1982 en honor del industrial sueco Holger Crafoord (fallecido ese mismo año). Las especialidades a las que pertenecen los premiados son Matemáticas, Astronomía, Ciencias de la Tierra, Ciencias de la Vida y Poliartritis (enfermedad que sufrió Holger Crafoord en sus últimos años). Se entrega de manera anual mediante un sistema de rotación: un año a Matemáticas y/o Astronomía, el siguiente a Ciencias de la Tierra y el siguiente a Ciencias de la Vida, y se repite el ciclo. Se premia a la Poliartritis en una edición concreta si un comité especial decide que en ese año se han hecho progresos sustanciales relacionados con la enfermedad. En 2011, la cuantía del premio ascendió a 600000$.

En lo que se refiere a las Matemáticas, entre los premiados hay auténticos cracks de nuestra era, como Vladimir Arnold (1982, primer premiado Crafoord), Alexander Grothendieck (1988, rechazó el premio) o Edward Witten (2008). En Crafoord Prize en la Wikipedia en inglés podéis ver la lista completa.

Nueva aportación a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

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