Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto.

Leonardo da Vinci

INFINITUM. Citas matemáticas

Eso es lo que poco a poco nos está pasando a más de uno (dios, con lo que yo era en los últimos cursos de carrera…). Aunque, no lo puedo negar, este blog está consiguiendo que ese proceso de destrucción sea más lento. ¿Qué pensáis? ¿Alguno se ve reflejado en esta frase?

Determina todos los enteros positivos que satisfacen que para cualesquiera enteros positivos primos relativos con se cumple lo siguiente:

si y sólo si .

Suerte.

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados

En primer lugar vamos a escribir el enunciado de nuestro teorema:

Teorema:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 (esto es, ) puede expresarse como suma de dos cuadrados.

Demostración

Tomamos un número primo y comenzamos definiendo el siguiente conjunto:

Un par de consideraciones sobre :

• Ninguno de los elementos de tiene una coordenada nula, ya que si alguna de ellas fuera cero no podría ser un número primo.
• El conjunto es finito, ya que todas las coordenadas de un elemento de son menores que el propio .

Vamos a definir ahora la siguiente aplicación :

Algunos comentarios sobre esta :

• La aplicación está bien definida, ya que todas las coordenadas son positivas (teniendo en cuenta los conjuntos de definición de cada trozo) y la terna resultante en cada caso vuelve a ser un elemento de (esto último puede comprobarse de forma sencilla desarrollando las operaciones correspondientes en cada caso).
• La aplicación es una involución, es decir, una función que cumple que . Esto también es sencillo de demostrar, pero al igual que en el caso anterior debemos tener cuidado con el tipo de terna que obtenemos. Por ejemplo, si está en el tercer tramo, su imagen es , que pertenece al los del primer tramo ya que . Aplicándole a este punto y realizando las operaciones correspondientes vemos que obtenemos de nuevo . El resto de casos se comprueban también de manera sencilla.
• La aplicación tiene un único punto fijo (es decir, un punto tal que ).. Para el primer tramo, un punto fijo implicaría , por lo que la última coordenada sería , cosa que es imposible. Para el tercer tramo debería cumplirse que , por lo que debería ser cero, hecho que tampoco puede producirse. Por ello los únicos puntos fijos que tenga deben ser del segundo tramo. Si eso ocurre debe ser , por lo que la búsqueda de puntos fijos se centra ahora en encontrar puntos , es decir, que verifiquen . Si sacamos factor común tenemos la igualdad , lo que implica (por ser primo) que . Por ello el único punto fijo de es . Además de aquí también obtenemos que es necesario que .

Utilizando ahora el hecho siguiente:

Un conjunto finito y su subconjunto de puntos fijos para cualquier involución tienen la misma paridad.

Como tiene un único punto fijo, su subconjunto de puntos fijos tiene cardinal impar. Por ello también tiene un número impar de elementos.

Definimos ahora una segunda aplicación que también es una involución:

El hecho de que es una involución es evidente. Pero además, como tiene cardinal impar entonces el conjunto de puntos fijos de también tiene un número impar de elementos, por lo que debe existir al menos un punto fijo. Dicho punto fijo será entonces de la forma . Pero como este punto es un elemento de se tiene lo siguiente:

con lo que nuestro número primo de la forma cumple que se puede escribir como suma de dos cuadrados, concretamente los de y .

Actualización:

Para quien quiera profundizar os dejo un enlace JSTOR donde puede consultarse el artículo original:

Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, doi:10.2307/2323918
http://www.jstor.org/pss/2323918

Para finalizar comentar que las consideraciones adicionales que aparecen en el artículo de vengoroso no forman parte de la demostración original de Zagier.

Introducción

Según el Decreto 85/2008, de 17-06-2008, por el que se establece y ordena el currículo del bachillerato en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha:

El bachillerato, de acuerdo con lo establecido en la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, forma parte de la educación secundaria postobligatoria y su finalidad es la de proporcionar a los alumnos formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y habilidades que les permitan desarrollar funciones sociales e incorporarse a la vida activa con responsabilidad y competencia. Asimismo, capacitará a los alumnos para acceder a la educación superior.

Es decir, que uno de los objetivos del Bachillerato es preparar a los alumnos para su etapa universitaria, si es que eligen ese camino. De hecho se entiende que es uno de los objetivos principales, si no el que más, ya que el temario que se imparte en 2º de bachillerato está basado en el temario de selectividad (se llame como se llame en cada momento), cuya nota completa las notas de la época de instituto para obtener una calificación que servirá para acceder a estudios universitarios.

Quedando claro este punto uno no entiende muy bien ciertas decisiones. Paso a explicar por qué os estoy contando todo esto, dejando claro antes que toda la información que aparece en este artículo es aplicable solamente a Castilla-La Mancha. Carezco de información sobre si en el resto de comunidades las cosas van a pasar a ser igual que aquí. Me gustaría que si alguien posee dicha información que nos lo haga saber en un comentario.

Cambios

Desde hace unas semanas (y creo que todavía continúan) se están celebrando las reuniones provinciales de coordinación de cada una de las asignaturas de bachillerato. En dichas reuniones se dan las pautas de los temarios de selectividad para que el programa de cada asignatura se ajuste a estos temarios. Un amigo que es profesor en un instituto, donde se encarga (entre otras asignaturas) de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, me comentó cómo fue y lo que allí se dijo, y eso mismo es lo que os voy a contar yo a vosotros.

El primer comentario es evidente: ¿cómo se puede celebrar una reunión en la que se dan pautas para el desarrollo del programa de una asignatura un mes después (y en algunos casos más) del comienzo del curso? ¿Y si en ese tiempo se ha impartido algo que luego no aparece en el programa de selectividad? ¿No se puede hacer la reunión a principios de septiembre? Parece que no. Aunque bueno, este punto tampoco es tan grave.

Lo más importante de dicha reunión es que va a haber cambios en el temario de selectividad. Algunos de estos cambios son los siguientes:

• Se suprimen los determinantes.
• No van a entrar los sistemas de ecuaciones lineales dependientes de algún parámetro.
• Las derivadas que aparezcan en los exámenes serán de funciones muy sencillas. Básicamente se pedirán derivadas de polinomios, cocientes de polinomios y funciones exponenciales sencillas. Por ejemplo, no aparecerán derivadas de funciones trigonométricas.
• Desparecen completamente las integrales.

Cualquier alumno que lea esto, o que haya sido informado en clase, estará contento. Menos temario es igual a menos que estudiar y por tanto aprobado más sencillo. Pero cualquier persona que conozca un poco el mundo universitario comprenderá que estas medidas son una auténtica barbaridad, un camino hacia el suicidio académico.

¿Por qué? Muy sencillo. En esta zona (supongo que en otras muchas pasará lo mismo) la gran mayoría de las personas que acceden a la universidad después de haber cursado el Bachillerato en Ciencias Sociales se matriculan en ADE (Administración y Dirección de Empresas). Esto no es una opinión, es un hecho fácilmente comprobable. En esta carrera las matemáticas son parte fundamental, sobre todo en los primeros cursos. Y el hecho de reducir tan drásticamente el temario de 2º de Bachillerato hará que los alumnos lleguen cada vez menos preparados para afrontar los estudios para los que, en teoría, se les prepara en esta rama del bachillerato. De hecho ya en los últimos años se ha empezado a notar que la preparación es cada vez más pobre, o al menos yo lo he notado en la gente que acude a la academia donde trabajo para solicitar clases particulares. Y a partir de ahora, con estos cambios, la cosa va a ir a peor. ¿La preparación para la universidad no era uno de los objetivos más importantes de esta etapa? ¿De verdad que estamos respondiendo a este objetivo?

Evidentemente no soy el único que ha pensado en ello. En la propia reunión uno de los profesores asistentes preguntó sobre este hecho a la persona encargada de la misma:

Muchos de mis alumnos entran después en ADE, donde se van a encontrar varias asignaturas de matemáticas para las que no van a estar preparados con este temario.

Respuesta (aproximada) del encargado de la reunión:

A mí simplemente me han dicho que os comunique esta información. Las consecuencias que tengan estos cambios en el devenir de los alumnos en la universidad se salen de mi cometido.

Entiendo que si este señor se encarga únicamente de dicha reunión no tiene nada que ver con las implicaciones de los cambios que van a realizarse, pero creo que por encima de él si que hay gente cuya influencia en el éxito o fracaso de los alumnos en su etapa universitaria es máxima, por lo que bajo mi punto de vista deberían preocuparse algo más por ello.

Cualquiera de vosotros que sea profesor de este curso del que hablamos podría pensar en impartir los contenidos que se eliminan a sabiendas de que los alumnos los van a necesitar. Algo así como no entran en selectividad, pero yo los imparto y les evalúo sobre ellos ya que el conocimiento de los mismo va a ser muy importante. Tampoco creo que vaya a servir esta medida, ya que en la reunión también se dijo que a nadie se le ocurriera suspender a un alumno por no superar los exámenes relativos a los temas que se eliminan. O sea, que tú puedes enseñarles algo sobre integrales y hacerles un examen sobre ello, pero un suspenso en dicho examen no podrá tener ninguna influencia sobre la nota final del curso. Como los alumnos lo saben, ¿pensáis que se preocuparían por estudiar en este caso? Lo dudo.

Esto, junto con otras medidas que se han producido y se están produciendo, parecen indicar que se está intentando igualar por abajo, es decir, que se está intentando que todo el mundo llegue a poseer unos estudios mínimos eliminando temario y facilitando en demasía los aprobados. Esto, bajo mi punto de vista, acaba perjudicando a los que quieren continuar estudiando. Los estudios son duros en el sentido de que hay que trabajar para conseguirlos, y por desgracia no todo el mundo está dispuesto a asumir la responsabilidad que conlleva dicho trabajo. Y como no todo el mundo llega a terminar esos estudios, ¿les regalamos el aprobado perjudicando así a los que más se lo merecen?

Hoy más que nunca me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, así como conocer cómo están las cosas en el resto de comunidades.

Y para terminar otra pregunta:

Y dejo mi opinión: una locura.

Hay dos clases de contribuciones matemáticas: las obras que son importantes para la historia de las matemáticas y las que sencillamente constituyen un triunfo del espíritu humano.

Paul Joseph Cohen

INFINITUM. Citas matemáticas

¿A cuál de ellas pensáis que corresponde nuestro artículo del lunes sobre funciones sin primitiva elemental?

Tenemos una circunferencia de radio y un triángulo dentro de ella como muestra la figura:

El lado del triángulo es un diámetro de la circunferencia y el punto pertenece a la misma.

Sabiendo además que , demostrar que los dos ángulos más pequeños de dicho triángulo miden exactamente y .

Ánimo, que no es difícil.

Como seguro recordaréis hace unos meses fuimos capaces de calcular el valor de la integral de la función de densidad de una variable aleatoria con función de densidad (distribución normal con media 0 y desviación típica 1). En dicho desarrollo comentamos que la integral no tiene primitiva, vamos, que no podemos encontrar una función que se pueda expresar en forma de funciones elementales cuya derivada sea tal función de densidad. Esto es:

No existe una función expresable como combinación de funciones elementales tal que su derivada sea .

Eso no significa que dicha función no se pueda integrar, ya que sabemos que cualquier función continua (y ésta lo es) es integrable. Lo que ocurre es que no podemos expresar dicha integral de una forma sencilla (por ejemplo, en función de exponenciales, senos, cosenos, logaritmos…).

Esta característica no es propiedad de esta función únicamente, sino que la tiene otros tipos de funciones. En este artículo vamos a mostrar algunas más.

¿Qué es una función elemental

La primera pregunta que puede surgir es la siguiente:

Estamos diciendo que la primitiva de cierta función no puede expresarse como combinación de funciones elementales, pero ¿qué funciones son las que consideramos elementales?

Aunque más o menos todos podemos tener una idea de lo que consideramos función elemental en realidad la definición y las demostraciones pertinentes no son demasiado sencillas, al menos las que aparecen en el documento en el que se basa esta artículo (enlazado al final). Por ello vamos a dedicar esta sección simplemente a enumerar qué funciones se consideran elementales:

• La suma y el producto de funciones elementales en un intervalo es elemental en . Lo mismo ocurre con el cociente de funciones elementales siempre que el denominador no se anule en .
• La composición de funciones elementales en es elemental en .
• Los polinomios son funciones elementales en cualquier intervalo .
• Los cocientes de polinomios cuyo denominador no se anula en un intervalo son funciones elementales en el intervalo .
• La función es una función elemental en todo intervalo .
• Si , la función es elemental en .
• Las funciones y son funciones elementales en todo intervalo . Por ello, la función también es elemental.
• La función es elemental en todo intervalo . En consecuencia, las funciones y también son funciones elementales.
• Las funciones hiperbólicas y y sus inversas son funciones elementales.

Por tanto decimos que una función no tiene primitiva elemental si el resultado de integrarla no puede expresarse como combinación de algunas de estas funciones.

Vamos ahora a dar unos cuantos ejemplos de funciones que no tienen primitiva elemental.

Funciones trascendentes sin primitiva elemental

En el desarrollo del documento en el que se basa este artículo la variable compleja es fundamental. De hecho es la base de dicho documento (demostramos cosas en y para demostrarlas en nos trasladamos a los complejos). Por ello uno de los criterios prácticos para comprobar si una función tiene primitiva elemental es el siguiente:

Sea un dominio, y supongamos que no es constante y no tiene polos en . Entonces existe una función elemental tal que si y sólo si existe tal que .

Utilizando este hecho (junto con una generalización del mismo entre otras cosas) se puede demostrar lo que hemos comentado sobre las siguientes funciones trascendentes:

• Si es un polinomio de grado , entonces la integral

  

  no es elemental.

Por ello, la integral que comentábamos al comenzar este artículo no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

• La función , definida como la cantidad de números primos menores o iguales a , es asintóticamente igual a la integral logarítmica

  

  Pues bien, la integral siguiente:

  

  tampoco es elemental.

• La siguiente integral:

  

  tampoco es expresable como combinación de funciones elementales.

• Si es un polinomio de grado , entonces las siguientes integrales:

  

  no son elementales (es curioso el hecho de que si tomamos , función más compleja que un polinomio, las integrales sí sean elementales).

• La integral

  

  no tiene primitiva elemental.

• La integral

  

  tampoco es elemental.

• La integral

  

  tampoco puede expresarse en como combinación de funciones elementales.

Funciones algebraicas sin primitiva elemental

Pero no sólo las funciones trascendentes pueden presentar esta característica. También hay funciones algebraicas cuya primitiva no es elemental. Vamos con ellas:

• Si es un polinomio con yque sólo tiene raíces simples y es otro polinomio tal que , entonces la integral

  

  no es elemental.

• Si , la integral elíptica

  

  no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

• La integral

  

  no es elemental.

• La integral binomia

  

  con y es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números

  

  es entero.

  Así, por ejemplo, la integral

  

  es elemental, ya que , pero la integral

  

  no lo es.

Conclusión

Así que ya sabéis, si alguna vez os encontráis con alguna de estas integrales y lo que tenéis que hacer es calcular una primitiva no lo intentéis, ya que no podréis hacerlo.

Fuente:

• Este artículo es un resumen del artículo Funciones sin primitiva elemental del profesor Carlos Ivorra.

La probabilidad es el concepto más importante de la ciencia moderna, especialmente porque nadie tiene la más ligera idea de su significado.

Bertrand Arthur William Russell

INFINITUM. Citas matemáticas

Pero no solamente en la época del señor Russell. Bajo mi punto de vista el desconocimiento sobre probabilidad existente es demasiado grande. ¿Qué pensáis? ¿En qué puede influirnos este hecho?

Sea una familia de números reales pertenecientes a , tal que cada coincide con el promedio de sus cuatro vecinos, es decir,

Demostrar que .

Ánimo y a por él.

Introducción

Hace ya un tiempo os hablé de algunas funciones extrañas. Entre ellas estaba la función de Weierstrass, continua en todos los números reales pero no derivable en ninguno de ellos. La demostración sobre la continuidad es sencilla, pero la de la no derivabilidad no lo es tanto. Nuestro amigo Daniel se ha encargado de enviarme una basada en la original de Weierstrass y yo me voy a encargar de mostrarla.

La función de Weierstrass

Para empezar vamos a recordar la definición de la función de Weierstrass:

(1)

donde con y .

No es difícil ver que esta función es continua en todos los números reales (lo podéis intentar como ejercicio y escribirlo en los comentarios), pero:

Teorema:

La función definida anteriormente no es derivable en ningún punto de su dominio.

Demostración

Fijamos un arbitrario.

Para cada existe un único tal que . Con este entero definimos dos sucesiones, y , de la siguiente forma:

(2)

Es fácil ver que

por lo que:

(3)

Lo que implica que:

Fijando ahora tenemos:

donde:

De igual forma:

donde:

Por otra parte, utilizando el teorema del valor medio (otro ejercicio propuesto) se puede demostrar lo siguiente:

(4)

y, de manera análoga:

(5)

Por otra parte también se puede ver que (un ejercicio más):

(6)

y:

(7)

Por otro lado, dada la definición de las sucesiones y se puede ver fácilmente que .

Supongamos que (en el caso contrario el razonamiento es practicamente igual). Por (3) tenemos que

Lo que nos dice que

De aquí, utilizando (3), tenemos que

(8)

Además

y, como antes, usando (3) llegamos a

(9)

Con estas acotaciones es sencillo comprobar que:

Teniendo en cuenta ahora las restricciones iniciales para y obtenemos lo siguiente:

y (10)

y, por tanto:

(11)

De forma similar llegamos a:

Entonces, teniendo en cuenta (10):

(12)

Las desigualdades (11) y (12) implican lo siguiente:

Con lo que, en consecuencia, tenemos que:

(13)

Se podrían mejorar las restricciones asignadas a las constantes iniciales, que en esta demostración están ajustadas de esa forma por comodidad (de hecho, la demostración original de Weierstrass exigía algo menos). Pero eso no nos importa. Vamos con el final de la demostración:

Si fuese derivable en , tendríamos que las derivadas laterales, (por la izquierda) y (por la derecha) serían iguales y, por tanto, iguales a la derivada de en y, como siempre y sus límites coincides y valen , se tendría que

lo que nos llevaría a

hecho que contradice a (13). Por tanto la función no es derivable en el valor real fijado al comienzo del desarrollo. Como la elección de este fue arbitraria, el resultado es correcto para todo número real. Es decir, la función definida anteriormente, conocida como función de Weierstrass no es derivable en ningún número real.