Cálculo de las constantes en integración de funciones racionales

En integración de funciones de una variable se considera función racional a un cociente de polinomios, por lo que el objetivo en este caso es calcular la integral

donde tanto como son polinomios.

Sin entrar en muchos detalles sobre su resolución, la cuestión es que cuando el grado del polinomio de arriba es menor que el grado del polinomio de abajo debemos factorizar el de abajo y expresar el cociente de polinomios como suma de fracciones simples en cuyos numeradores aparecen constantes que hay que determinar. Nos situamos, ¿verdad?

Bien, hay dos métodos para calcular esas constantes, para los cuales primero hay que expresar esa suma de fracciones simples como una única fracción cuyo denominador será el inicial, . Después igualamos numeradores, el inicial, , y el que nos queda en dicha fracción, con lo que obtenemos una igualdad de polinomios. Los dos métodos son los siguientes:

1. Igualamos los coeficientes pertenecientes al mismo monomio de los dos polinomios. Con esto obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las constantes que queremos calcular. Resolvemos el sistema y ya tenemos dichas constantes.
2. Sustituimos por tantos valores distintos como constantes haya que calcular. Con cada valor sustituido obtenemos una ecuación. Resolviendo el sistema formado por todas ellas obtenemos también nuestras constantes.

Los dos son válidos, ya que se basan en las propiedades de la igualdad de polinomios:

1. Si dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes del mismo monomio de cada polinomio son iguales.
2. Si dos polinomios son iguales, entonces los valores que dejan al sustituir la variable por cualquier número real son iguales.

Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve, que no nos va a dar las soluciones correctas en todos los casos. Así, sin más, sin dar ninguna explicación o al menos un ejemplo en el que eso ocurra.

La cuestión es que este segundo método suele dejar ecuaciones más sencillas que el primero, por lo que el cálculo de las constantes es mucho más rápido y, por tanto, más sencillo. ¿Por qué decirles que no sirve siempre? Lo único que se me ocurre es que él prefiera que resuelvan estos ejercicios igualando los coeficientes de ambos polinomios, pero ¿es necesario decirles algo que no es cierto? Yo creo que no.

Colocación de los diferenciales en una integral doble

En la segunda cuestión nos adentramos ya en la integración múltiple, en concreto en este caso en integración doble. Otra vez sin entrar demasiado en detalles, la integral doble de la función sobre la región bidimensional se escribiría de esta forma:

El procedimiento para resolver esta integral consiste en calcular los límites de integración de y de y después integrar primero respecto de una variable y después respecto de la otra. ¿En el orden que queramos? En general no, dependerá de los límites de integración. Pero no nos vamos a meter en eso.

La cuestión es que después de calcular los límites de integración los colocaríamos en las integrales (aquí es donde hay que tener algo de cuidado) y después colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración. Con esto ya tenemos la integral totalmente planteada, y la podemos resolver calculando la integral interior y después la integral exterior del resultado de la interior.

¿Qué significa eso de “…colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración“? Muy sencillo. Si observáis la forma en la que se resuelve la integral (primero la de dentro y después la de fuera), se entiende que lo más lógico es que el diferencial que se escribe al final (el externo, el de fuera) sea el de la variable cuyos límites de integración están colocados en la primera integral que se escribe (la externa, la de fuera), y que el diferencial de dentro vaya con la integral de dentro, ¿verdad? Os pongo un ejemplo:

Si , entonces la integral doble de una función sobre se puede plantear de estas dos maneras:

(Por comodidad se han tomado números reales para todos los límites de integración. En general, como hemos comentado, habría que tener algo más de cuidado al colocarlos.)

¿Os habéis fijado en la colocación de los límites de integración y los diferenciales? En cada uno de los planteamientos la integral de fuera corresponde con el diferencial de fuera, y la integral de dentro con el diferencial de dentro (las de fuera están con una tipografía y las de dentro con otra):

Y hemos dicho que esa es la mejor forma de colocarlos para evitar errores y para que la gente no se líe, ya que así nos queda completamente planteada la integral de dentro, que es la primera que hay que hacer, y tenemos todo colocado para hacer después la integral de fuera:

¿No os parece la manera más razonable de colocar las cosas? Bien, pues parece que a algunos profesores de por aquí no les parece la manera más coherente. Hay un profesor que obliga a colocar los diferenciales al contrario en el planteamiento inicial. ¿La razón? No la sé, simplemente que hay que colocarlo así y punto. Vamos, que el planteamiento inicial de la integral anterior quedaría así:

¿Entonces hay que integrar primero respecto de ? No, el orden de integración sigue siendo el marcado por el orden en el que hemos colocado los límites de integración, por lo que en el siguiente paso hay que cambiar los diferenciales de sitio y seguir el ejercicio como hemos comentado antes. Esto es, la cosa se escribiría tal que así, según este profesor:

Y digo yo: si en el siguiente paso vamos a colocar las cosas bien, ¿qué sentido tiene obligar a que se coloquen al revés en el planteamiento inicial? Lo único que se consigue con esto es que los chavales se confundan, y creo que no es ése el objetivo que se persigue, ¿verdad?

Ah, este tema es aún más grave, ya que este profesor que coloca los diferenciales al revés de como debería ha obligado al profesor del primer curso (él da en un curso superior) a colocar los diferenciales también al revés, cuando éste último los colocaba bien hasta el año pasado. Lo que decía al principio, un sinsentido.

Con todo esto no pretendo criticar a los profesores en conjunto, ni siquiera a estos dos profesores. Lo que pretendo es hacer ver que debemos intentar poner todo lo posible por nuestra parte para que la comprensión de los contenidos sea completa. Quizás así tampoco lo consigamos con todo el mundo, pero seguro que complicando las cosas de manera innecesaria tampoco lo haremos. Posiblemente lo mejor que se puede hacer es acordar unas Reglas de higiene matemática razonables, que ayuden en vez de molestar, y que sean coherentes con los principios matemáticos y con la manera en la que se realizan los propios cálculos.

Me interesa especialmente vuestra opinión sobre todo esto. Os agradeceré mucho que lo hagáis en los comentarios.

Por cierto, estos profesores no son los que protagonizaron el affaire de la condición suficiente de diferenciabilidad, pero dan clase en el mismo sitio, donde también dio clase la profesora de la que os hablé aquí. Y os aseguro que hay muchas más cosas que contar, pero por ahora voy a dejarlo aquí. De todas formas creo que va tocando un poquito de reflexión.

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Probar que si , con , son números reales tales que

entonces o todos los son no negativos o todos son no positivos.

Que se os dé bien.

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Y si no mirad cuál será la estética del edificio:

Hablo en futuro porque por ahora este edificio es un proyecto de la empresa danesa BIG, que, como puede verse en su web, tiene otros edificios curiosos e interesantes en su haber.

La futura (esperemos que fructifique) Biblioteca Nacional de Astaná será un edificio cuya estructura será una gran banda de Möbius que en su interior está compuesta de un círculo y una espiral:

La envolvente de este edificio adquiere así forma de banda de Möbius:

La estructura interna del edificio será tal que así:

Y la externa se verá de esta manera:

La vista del edificio quedará así

y desde otro ángulo así

pudiendo conseguir una vista nocturna como ésta

Sin duda un maravilloso edificio que rebosa matemática e imaginación por los cuatro costados. Ojalá llegue pronto el momento en el que podamos contemplarlo en todo su esplendor como una obra real.

Visto en ZTFNews. En este post sobre los módulos de Bofill y Blom y en sus comentarios podéis encontrar más ejemplos.

¿Qué otros edificios con una clara componente matemática en su estructura conocéis?

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Bueno, vamos al lío. Os dejo aquí las instrucciones para participar en esta edición:

• Puede participar cualquier personas que escriba un post en su blog cuyo contenido esté relacionado con las matemáticas.
• Si no tienes blog y quieres participar también puedes hacerlo. Para ello debes registrarte en la web del Carnaval de Matemáticas y escribir tu artículo allí. Cuando se reciba el artículo se te dará de alta en la web como autor y tu artículo aparecerá allí.
• Debes indicar en tu artículo que es una contribución con esta edición del Carnaval colocando en algún lugar del mismo un enlace a la web del Carnaval y otro al blog anfitrión, Gaussianos en este caso.
• Para que yo me entere de que has escrito un artículo participando en el Carnaval debes avisar de ello de alguna de esta tres maneras:

  - Escribiendo una reseña de tu entrada en la propia web del Carnaval (también te tendrás que dar de alta como autor, pero no tienes que preocuparte de eso, solamente de registrarte en la web del Carnaval).

  - Escribiendo una reseña de tu entrada en la página de Facebook del Carnaval.

  - Escribiendo un tweet con el enlace a tu artículo y el hashtag #CarnaMatMayo.

El lunes 28 de mayo (si no hay ningún contratiempo) publicaré un Resumen con todas las entradas que se hayan dedicado a esta Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas. A partir de ahí se abrirá el plazo para votar a tu entrada favorita de esta edición. Finalizado dicho plazo se entregará el premio simbólico de Mejor Post de la Edición 3,1415 al post más votado.

Y no quiero desaprovechar esta oportunidad para agradecer a Tito Eliatron que comenzara con esta iniciativa y que se siga encargando de la organización de la misma. En momentos como éste en el que desde las altas esferas se ningunea a la divulgación hacen mucha más falta personas como tú. Gracias.

Para terminar os dejo con los enlaces a los resúmenes de todas las ediciones anteriores del Carnaval de Matemáticas:

• Primer Año
• Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
• Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].
• Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
• Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
• Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
• Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
• Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
• Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
• Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
• Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.
• Segundo Año
• Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
• Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
• Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
• Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
• Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
• Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
• Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
• Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
• Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
• Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina
• Tercer Año
• Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
• Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
• Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS

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Ya dentro de la misma podemos encontrar los siguientes artículos. Ellos mismos nos los presentan:

• Te hablamos sobre el PI Day, nos despedimos de Un paseo por la geometría y anunciamos el ENEM de este año.
• Josué Tonelli nos cuenta qué pasa con los movimientos contra Elsevier dentro de la comunidad matemática en Gowers se rebela…
• Víctor Manero y Maider Mateos nos presentan en forma de entrevista la labor de una matemática dentro del mundo sanitario en Al acabar la carrera, ¿qué?
• Charla con los organizadores del Año de Galois nos desvela los secretos sobre este año que se celebra en la Facultad de Ciencia y Tecnología de la UPV/EHU y la persona a la que homenajea.
• Jone Lázaro habla sobre las operaciones aritméticas de los mayas en Maien matematika.
• Josué Tonelli nos retrata a la matemática Emmy Nother a través de las visiones de sus contemporáneos.
• Y en el concurso de Txomin… se resuelven el problema 4, y se propone el número 5.

Puede accederse online a este cuarto número en este enlace y descargarse gratuitamente en este otro enlace. A disfrutar de ella.

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Partimos de una situación ideal: una pelota que es una esfera perfecta, una esfera matemática en tres dimensiones. Imaginemos que esa esfera tiene radio 2 cm, por lo que si la dejamos en una mesa tendrá una altura de 4 cm. Taladremos ahora nuestra pelota ideal de radio 2 cm de manera uniforme por el centro con una broca con la que consigamos reducirla lo suficiente para que la figura resultante, como una cuenta de un collar, tenga una altura de 2 cm y calculemos el volumen de dicha figura.

Tomemos ahora una pelota ideal de 2 metros de radio, que por tanto tendría una altura de 4 metros si la dejáramos en el suelo, y realicemos la misma operación: un agujero con un taladro de forma que la superficie resultante tenga, igual que en el caso anterior, 2 cm de altura. Calculemos el volumen también ahora.

A la primera le hemos quitado una parte del total que posiblemente no sea muy grande en comparación con la pelota en sí, pero de entrada la pelotita era muy pequeña. La segunda era bastante más grande, pero le hemos tenido que hacer un agujero anchísimo para dejarla a la misma altura que la anterior. ¿Qué relación habrá entre los volúmenes de las figuras obtenidas?

Pues, como posiblemente más de uno ya habrá intuido, los volúmenes son iguales. Sí, da igual cómo sea la pelota inicial, siempre que los agujeros dejen a la figura resultante con la misma altura los volúmenes serán exactamente iguales.

La demostración de este hecho es relativamente sencilla, pero requiere conocimientos de integración múltiple. Como seguro que muchos de vosotros llegáis a ese nivel vamos a realizar los cálculos.

Tomamos una esfera de radio , de la que, por comodidad para los cálculos, nos quedaremos con la mitad superior. También por comodidad la supondremos centrada en . Lo que vamos a comprobar es que el volumen de la figura que queda al taladrarla por el centro y dejarla a una cierta altura es independiente de . Eso probaría por simetría lo comentado anteriormente, que da igual cómo sea la esfera inicial (da igual si radio) siempre que al taladrarla la dejemos con la misma altura.

La superficie de nuestra semiesfera taladrada quedaría así:

Lo que vamos a hacer es calcular, mediante integración doble, el volumen de la parte que le quitamos al taladrarla, y después se lo restaremos a su volumen total, , que por ser una semiesfera de radio es:

esto es, la mitad del volumen de una esfera entera.

Bien, entonces tenemos una semiesfera centrada en y de radio , por lo que su ecuación es . Para calcular el volumen de la parte eliminada al taladrar vamos a usar coordenadas polares:

La región sobre la que se integra es el círculo que queda a altura , es decir, la parte más alta de la figura resultante al taladrar. Ese círculo, por tanto, se describe de la siguiente manera:

En ese círculo tomamos las coordenadas polares, lo que significa que y .

La función a integrar se calcula restando la de arriba, , que en polares quedaría , menos la de abajo, . Además hay que tener en cuenta que al pasar a polares hay que multiplicar la función a integrar por el jacobiano del cambio, que es . Todo esto nos da la siguiente integral doble:

Como tanto la función a integrar como los límites de integración de son independientes de , tenemos que esta integral es igual a

Y esta integral sin convierte en inmediata sin más que completando la derivada de dentro de la misma, con lo que, después de integrar y operar con los límites de integración, obtenemos el siguiente resultado:

Ése es el volumen de la parte eliminada al taladrar, . Por tanto, el volumen de la figura resultante, , se calcula restando esa cantidad al volumen total de la semiesfera:

Como veis se cumple lo que comentábamos antes: el volumen de la figura resultante al taladrar una semiesfera de radio hasta dejarla a altura es independiente de , solamente depende de la altura . Por tanto, siempre que mantengamos la misma altura obtendremos figuras con el mismo volumen. O lo que es lo mismo:

Dos cuentas de un collar tienen el mismo volumen si y sólo si tiene la misma altura, independientemente del radio de la esfera que se utilizara para construir cada una de ellas.

Y para finalizar un detalle. Ese volumen, como muchos habréis visto ya, es exactamente el volumen de una esfera de radio . Si llamamos a ese volumen, tenemos entonces que:

Y recordad, independientemente del radio de la esfera inicial. Tremendo.

Indagando un poco podemos encontrar multitud de maravillas matemáticas como ésta.

Fuentes y enlaces relacionados:

• Surprisingly constant en Pat’s Blog, de donde también tomé la idea para Esfera, cilindro y una constante inesperada.
• Holey beads en Math Fun Facts.

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Con la salvedad de que hay algún que otro error en el desarrollo de la integral (os los dejo a vosotros, son fáciles de encontrar), la idea es interesante para recordar que el nombre es poco importante. Esta es una de las cosas en la que más incido yo con mis alumnos que llegan a su primer curso de universidad: lo importante no es la letra que usemos, sino la posición que ocupa, esto es, la función que realiza. Generalmente para las integrales por cambio de variable se suele usar como variable auxiliar, pero daría igual si usamos o .

Pero a ellos les cuesta, sobre todo al principio, ya que prácticamente siempre han utilizado la letra como incógnita/variable. Por ello a veces les comento que una variable no es una letra, sino un hueco que podemos rellenar, y que se coloca una letra para no dejar el espacio en blanco. Y, por suerte, generalmente lo acaban entendiendo. De todas formas, a partir de ahora tendré en cuenta la posibilidad de utilizar mandarinas como ejemplo en estos casos.

Por cierto, yo había enseñado a calcular derivadas parciales usando arbolitos y florecitas, pero a mandarinas todavía no había llegado…

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Sean números enteros positivos. Demostrar que

A por él.

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Lamé fue el primero en demostrar el caso del UTF, es decir, fue el primero en demostrar que no existen enteros positivos tal que .

Pero Lamé no se quedó ahí. El 1 de marzo de 1847 anunció a la Academia de Ciencias de París que había demostrado el UTF en su forma general. La idea de Lamé era utilizar los números complejos para convertir la suma en un producto y utilizar después ciertas propiedades de la factorización. Veamos cómo sería esta cuestión para .

Con , el conjunto que tendríamos sería el de los enteros gaussianos:

Imaginemos que queremos encontrar ternas pitagóricas, es decir, ternas de números enteros positivos tales que

En este conjunto se puede escribir también como , por lo que la expresión anterior quedaría como

Ahora, el conjunto de los enteros gaussianos es lo que denomina un Dominio de Factorización Única (DFU), lo que significa que todo entero gaussianos puede descomponerse de forma única como producto de sus factores primos (salvo el orden de colocación). Una de las consecuencias de este hecho es que si el producto de dos enteros gaussianos primos entre sí da como resultado un cuadrado, entonces esos dos enteros gaussianos deben ser cada uno de ellos un cuadrado.

Si nos ceñimos a ternas pitagóricas primitivas, que son las que cumplen que no tienen factores comunes, entonces los enteros gaussianos y tampoco tendrán factores comunes. Por tanto, en este caso se tendrá que los dos son igual a un entero gaussiano al cuadrado. En particular:

De donde, igualando partes reales y partes imaginarias, obtenemos lo siguiente:

que es precisamente la forma de generar ternas pitagóricas primitivas que aparece en los Elementos de Euclides y en este post.

Volvamos a nuestra historia. En aquella época ya se conocía que demostrado el caso del UTF solamente quedaba demostrarlo para exponente primo. Lo que hizo Lamé es aplicar la misma idea que hemos comentado para las ternas pitagóricas a la ecuación , con primo. En este caso, la parte izquierda de la igualdad se convertía en un producto de factores que contenían las raíces -ésimas de la unidad, esto es, las soluciones de la ecuación ( número complejo), que se denotan por . Así podía reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

Con esto ya tenía un problema más o menos parecido al anterior.

El paso siguiente de su demostración fue la clave. En él consideraba los números de la forma

denominados números ciclotómicos. Con estos números también se pueden realizar las operaciones habituales de suma y multiplicación, y también se puede hablar de divisibilidad y números primos.

A partir de aquí Lamé siguió de una forma más o menos parecida a la que hemos comentado antes sobre los enteros gaussianos demostrando así el UTF. ¿Demostrando el UTF? No, por desgracia no. Un tal Joseph Liouville, que estaba en la sala escuchando la explicación de Lamé, preguntó lo siguiente:

¿Está demostrado que la factorización en el conjunto de los números ciclotómicos es única?

Y ahí se derrumbó todo. Sin ese detalle la demostración era incorrecta, no servía. Lamé reconoció que no había demostrado ese punto, pero que estaba en ello y tenía confianza en poder hacerlo pronto…

…pero la realidad es que no lo hizo, ni podría haberlo hecho porque en ese conjunto de números la factorización no es única. Fue el matemático alemán Ernst Kummer quien, unos meses después, comunicó a Lamé este hecho, tirando definitivamente a la basura el intento de demostración de Lamé.

¿Estaba todo perdido? Pues no, todo no. El propio Kummer ideó una especie de arreglo, que consistía en introducir un nuevo tipo de números complejos: los llamados números complejos ideales. Pero esto ya es otra historia…

Fuentes:

• El enigma de Fermat, de Albert Violant.
• Gabriel Lamé en la Wikipedia en español (de donde también he tomado la foto).

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El vídeo es el famosísimo Calculus Rhapsody, y en él Phil Kirk y Mike Gospel aprovechan la maravillosa canción de Queen Bohemian Rhapsody para realizar una magnífica versión cuya temática es el cálculo diferencial e integral.

Si ya lo habíais visto, tenéis que volver a verlo. Si es nuevo para ti te preguntarás cómo has podido vivir hasta ahora sin verlo. Ahí va:

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