Un ejemplo de pregunta podría ser el siguiente:

Se nos muestra un grupo de cuatro cartas en una mesa, cada una de las cuales tiene un número de una cifra por un lado y un color por otro lado. Entre las caras que se ven aparecen 3, 8, rojo y marrón. ¿A qué carta/cartas debo dar la vuelta para comprobar la veracidad de la siguiente proposición:

Si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta es roja?

Seguro que muchos de vosotros seréis capaz de responder a la pregunta sin darle muchas veces, o igual no. La cosa es que parece un muy buen ejercicio para ir introduciendo a la gente en el mundo del uso de las propiedades de las proposiciones lógicas (en este caso, como hemos dicho, del contrarrecíproco).

Podéis encontrar el juego aquí, aunque en vídeo está mucho mejor. Os dejo aquí uno en el que en cada pregunta nos dan todas las posibles respuestas y en función de si acertamos o no nos llevará a un vídeo con otra pregunta o a un vídeo donde se nos dice que hemos fallado y se nos da alguna idea sobre el fallo. Ahí va:

Podéis plantearle a vuestro amigos/compañeros/familiares alguna de estas preguntas (o alguna del estilo) para ver qué responden. Parece ser que gran cantidad de gente falla.

Fuentes y más información:

• The Wason selection task.
• The Wason selection task and the limits o Human Philosophical Cognition.
• Wason selection task en la Wikipedia en inglés.

Esta entrada es mi primera contribución con la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Rafael desde Geometría Dinámica.

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Sea un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión

en función de , e indicar el valor del límite en caso de convergencia.

Que se os dé bien.

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Consejo 1: Pregúntate todo

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que pueden ser comprobadas, que no tienes que fiarte de la palabra de nadie. Si alguien dice que algo es cierto, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, puedes intentar probarlo tú mismo.

Tu reacción ante un enunciado debería ser desconfiar de él e intentar encontrar un ejemplo que muestre que es falso. Aunque al final dicho enunciado resulte ser cierto, el trabajo mental que conlleva esta búsqueda será beneficioso para ti.

Consejo 2: Escribe con palabras

Se entiende que hablamos de escribir las matemáticas con palabras. ¿Cómo nos puede ayudar esto? Las frases son los ladrillos de los argumentos, y las matemáticas (de alto nivel principalmente) tratan de argumentos en forma de demostraciones (¡no solamente de obtener la respuesta numérica correcta!).

Escribir con palabras en vez de con símbolos te obliga a comprender muy bien el tema del que estás hablando y a pensar muy cuidadosamente tus argumentos. Si no puedes escribirlo bien en una frase quizás es porque no lo has comprendido a la perfección.

Consejo 3: ¿Qué ocurre con el recíproco?

Los enunciados tipo aparecen continuamente en matemáticas. Podemos traducirlo como “Si es cierto, entonces es cierto”. El recíproco de es .

Ante un enunciado tipo , un buen matemático se preguntará si el recíproco también es cierto por la sencilla razón de que no tiene por qué serlo. Ahí va un ejemplo:

El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

es

enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto.

Por tanto, plantéate si el recíproco es cierto o no, ya no solamente por la propia veracidad o falsedad del recíproco en el caso que estés estudiando, sino porque ese esfuerzo que realizarás te ayudará a mejorar tus habilidades matemáticas.

Consejo 4: Usa el contrarrecíproco

El contrarrecíproco de un enunciado tipo es

Por ejemplo, el contrarrecíproco de

es

Para mucha gente es sorprendente que sea así, pero la realidad es que la veracidad o falsedad del contrarrecíproco es la misma que la del enunciado inicial. Esto es, ambas sentencias son equivalentes: si una es falsa la otra también, y si una es verdadera también lo es la otra.

Esto debería aprenderse correctamente, ya que el contrarrecíproco se utiliza con bastante frecuencia tanto en las demostraciones matemáticas como en nuestro razonamiento diario.

Consejo 5: Considera casos extremos

Los resultados obtenidos al aplicar un teorema a los casos triviales y extremos de las hipótesis puede ayudar a su comprensión: ¿qué pasaría si cierto número es 0 ó 1? ¿O si consideramos la función trivial ? ¿Qué ocurriría si tomamos el conjunto vacío? ¿Y la sucesión ? ¿Qué obtenemos con un círculo o una recta?

Por ejemplo, utilizando un “caso extremo” es sencillo mostrar que el siguiente resultado es falso:

“Teorema“: Dados números enteros, si y , entonces .

Consejo 6: Crea tus propios ejemplos

Un matemático crea sus propios ejemplos, tanto ejemplos estándar como ejemplos extremos, e incluso no-ejemplos.

Veamos uno. El método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una función de una variable es bastante conocido. Vamos a quedarnos con el método simplificado:

Dada una función , calculamos su derivada, , la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Los puntos obtenidos son los posibles máximos y mínimos del problema.

Después calculamos la segunda derivada, , y sustituyendo dichos puntos en ella los clasificamos como máximos, si el valor obtenido al sustituir es negativo, o mínimos, si el valor obtenido al sustituir es positivo.

Con este procedimiento podemos calcular los máximos y los mínimos de una función dada siguiendo estos pasos. Ahora, ¿y si nos piden lo contrario? Es decir, ¿y si nos piden crear una función que, por ejemplo, tenga un máximo en y un mínimo en ? Esto es mucho más complicado que lo anterior, pero por contra nos permite aprender mucho más sobre matemáticas.

Por tanto, dado un método para resolver un cierto tipo de ejercicios es interesante revertir el proceso y crear nuevos problemas yendo del final al principio.

Consejo 7: ¿Dónde se usan las hipótesis?

A menudo comprender la demostración de un resultado es muy complicado. Esto es algo esperado, ya que en muchas ocasiones en las demostraciones no se entra en dar una idea sobre el enunciado del teorema en cuestión o en cómo se descubrió dicha demostración. En definitiva, comprender las demostraciones es una de las cosas más difíciles a las que puede enfrentarse alguien en matemáticas.

Por ello es importante tener alguna idea sobre cómo comenzar a entender una demostración. Y analizar las hipótesis del teorema es un buen comienzo. Investigar dónde se utilizan las hipótesis de nuestro teorema puede ser de gran ayuda a la hora de comprender la demostración. Y encontrar “hipótesis ocultas” (por ejemplo, viendo si dentro de la demostración se usa algún otro resultado que tenga sus propias hipótesis) también puede ser interesante. Además, si encontramos algún resultado que se utilice varias veces a la hora de demostrar teoremas quizás eso indique que el resultado es muy importante o muy útil, por lo que posiblemente nos convenga aprenderlo bien.

Consejo 8: Comienza por el lado complicado

Éste es un consejo interesante a la hora de probar que una igualdad es cierta. Para ello, generalmente es mejor comenzar por el “lado difícil” de la misma y realizar operaciones en él para simplificarlo y así intentar llegar a la expresión que tenemos al otro lado.

Por ejemplo, para demostrar que tales que , es mucho mejor comenzar por la parte “más complicada”, la que tiene “más cosas”, la de la izquierda, y realizar operaciones en ella hasta obtener la de la derecha (os lo dejo como ejercicio; si queréis intentarlo no miréis el documento original de Kevin Houston, ya que allí está la solución)

Partir de la igualdad completa y realizar operaciones o reordenaciones en ella puede no ser lo más adecuado, ya que corremos el riesgo de caer en razonamiento circulares o incluso de suponer como cierto lo que queremos demostrar sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.

Consejo 9: Pregúntate qué ocurriría si…

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse “¿qué pasaría si…?”. Por ejemplo, “¿qué ocurriría si elimino cierta hipótesis?”. Pensar en esto quizás nos ayude a ver mejor por qué cierto resultado es cierto o por qué una definición es como es. Y hasta podríamos encontrar un nuevo teorema debilitando las hipótesis si encontramos alguna que no sea necesaria.

Otro ejemplo. con frecuencia los objetos matemáticos son conjuntos de elementos que cumplen ciertas condiciones. Y a partir de ciertos conjuntos podemos construir otros conjuntos nuevos. Pues es interesante preguntarse si estos conjuntos nuevos “heredan” las propiedades de los antiguos. Por ejemplo, “si y son conjuntos finitos, ¿también lo es su producto cartesiano ?”. “si y son conjuntos compactos, ¿también lo es su unión?”.

Consejo 10: ¡Habla!

Cuando Sir Christopher Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas clave para fomentar una atmósfera matemática fue que hubiera pizarras en los pasillos (además de en las clases), para facilitar que la gente pudiera hablar con los demás y explicar su trabajo en cualquier momento (el instituto Isaac Newton de Cambridge tiene pizarras en los baños y hasta en el ascensor…que sólo recorre dos plantas).

Son muchas las ventajas de comunicar tu trabajo a otros. Por un lado, al explicarlo te fuerzas a pensar con claridad. Y por otro lado, puedes aprender de los demás, ya que ellos pueden sugerirte ideas para resolver un problema o avanzar en él o, por otra parte, pueden encontrar errores en tus razonamientos.

Como decía al principio, interesante lista de consejos para pensar “como un matemático”. Creo que todos son muy acertados y muy necesarios para que nuestra mente se acostumbre a pensar de forma matemática. De todas formas, seguro que hay más ideas interesantes que no aparecen en esta lista. Los comentarios son vuestros para plasmarlas.

Aquí tenéis el enlace al manual de Kevin Houston: 10 Ways to Think Line a Mathematician.

Por cierto, la portada del manual incluye varias demostraciones visuales interesantes. Echad un ojo:

Las entendéis todas, ¿verdad?

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Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas.

Lo primero que toca es explicar qué queremos decir cuando hablamos de rellenado “eficiente” o “mínimo”. Una forma de rellenar el plano será “mínima” (o “la más eficiente”) cuando a igualdad de área con cualquier otro “rellenado” el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.

En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con hexágonos regulares. Parece que esta cuestión proviene del siglo I a. C., en el que Marco Terencio Varrón habla sobre los hexágonos de los panales de las abejas en un libro suyo de agricultura. Pero en realidad el problema ha pasado a la historia relacionado con Pappus de Alejandría, que lo cita en su Libro V (unos 400 años después), como la conjetura del panal (de todo esto ya habíamos comentado algo por aquí)…

…y eso fue, una conjetura, durante muchísimos años, hasta el siglo XX. En 1943, L. Fejes Tóth prueba la conjetura del panal, pero considerando como hipótesis inicial que las celdas son polígonos convexos. Y la cosa se mantuvo así unos 50 años más. En 1999, Thomas Hales publica una demostración general de la conjetura del panal en su trabajo The honeycomb conjecture, en el que prueba que, efectivamente, el hexágono regular es la figura más eficiente.

Para terminar esta parte, quizás sea interesante dar los datos de los perímetros de varias figuras simples para compararlos con el hexágono regular. Lo vamos a hacer con los otros dos polígonos regulares con los que se puede rellenar el plano, el triángulo equilátero y el cuadrado, y vamos a ver cuánto mide el perímetro de cada uno para el caso en el que las áreas de los tres sean iguales a 1:

Como en todas las situaciones tipo la descrita, preguntarse cómo sería el paso a las tres dimensiones es prácticamente obligado. En 3D, la pregunta sería la siguiente: ¿cuál es la figura tridimensional que a igualdad de volumen tiene menor área? Ésa sería la figura “más eficiente” o “mínima”.

Lord Kelvin conjeturó a finales del siglo XIX que sería un octaedro truncado,

pero no consiguió demostrar que en realidad esa figura es la mejor para rellenar el espacio. A partir de aquí, este tema pasó a denominarse problema de Kelvin o conjetura de Kelvin. En este enlace podéis ver una animación de cómo se puede rellenar el espacio tridimensional con octaedros truncados (vía este comentario de Albert).

Estando entonces en el estado de “conjetura”, si alguien la resolvía sería porque se dieran alguna de estas dos situaciones:

1. Que se demostrara que la conjetura era cierta (como pasó con la del panal).
2. Que se encontrara un contraejemplo a dicha conjetura.

Y fue esta segunda la que se presento, En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan encontraron un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre rellenado del espacio tridimensional. Weaire y Phelan encontraron una figura que, a igualdad de volumen, tenía menor área que el octaedro truncado, y la denominaron (después de un gran alarde de imaginación) estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dos dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con dos caras hexagonales y doce caras pentagonales pegados como puede verse en la siguiente figura:

Seguro que muchos veis que esta figura es rarísima, ¿verdad? Pues es interesante resaltar que se utilizó como base para construir la pared exterior del Beijing National Aquatics Centre, edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de las Olimpiadas de Pekín 2008:

Por cierto, creo que es necesario comentar que el área de la estructura de Weaire-Phelan es un 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.

Y, bueno, ahí sigue la cosa. No se sabe si la estructura de Weaire-Phelan es “la más eficiente”, o si por el contrario hay otra figura tridimensional que a igualdad de volumen con ella tenga un área menor. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para conocer la respuesta? No lo sabemos, aunque sí esperamos que sea mucho menos del que pasó en el caso de la conjetura del panal de Pappus de Alejandría. Y si esto se produce pronto, aquí estaremos para contarlo.

Y como estoy seguro de que entre vosotros habrá gente a la que le encante montar este tipo de figuras, no puedo dejar pasar esta oportunidad para proporcionaros plantillas para ello. Aquí las tenéis:

• Octaedro truncado (aquí tenéis otra más curiosa).
• Estructura de Weaire-Phelan.

Espero que os gusten. Y si conocéis plantillas mejores que éstas no dudéis en comentárnoslo.

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Dadas dos circunferencias concéntricas y un segmento tangente a la circunferencia interior, como se muestra en la figura siguiente

calcula el área de la parte sombreada si la longitud de dicho segmento es 5 metros.

Que se os dé bien.

Aprovecho para recordaros que podéis mandar vuestras sugerencias en forma de problema, artículo, etc, a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

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En el famosísimo triángulo de Pascal se puede encontrar de todo. Los números que aparecen en el triángulo corresponden a los números combinatorios, las sumas de las filas son las potencias de 2, podemos encontrar los términos de la sucesión de Fibonacci, los números triangulares… Como decía, de todo…

…bueno, de casi todo, tampoco vamos a exagerar. Por ejemplo, no conozco ninguna forma de encontrar el número en el triángulo. Ahora, ¿y el número ? ¿Se os ocurre alguna forma de relacionar el triángulo de Pascal con el número ? Pues la hay, y además es bastante sencilla.

Todas estas cosas que, como hemos comentado, se pueden encontrar fácilmente en el triángulo de Pascal tienen que ver con sumas. Bueno, que los elementos del triángulo son los números combinatorios no

pero las demás sí. Si sumamos los elementos de cada fila nos aparecen las potencias de 2:

Sumando de la forma que aparece en la siguiente imagen obtenemos los términos de la sucesión de Fibonacci (ya hablamos sobre ello en esta entrada de hace tiempo):

Y si miramos las primeras diagonales nos aparecen unos, los números naturales, los números triangulares y los números tetraédricos, respectivamente:

Pero parece ser que a nadie se le había ocurrido considerar productos de elementos del triángulo de Pascal. Vamos a multiplicar los elementos de cada una de las filas:

Si ahora dividimos cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior obtenemos los siguientes valores:

Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos:

Oye, pues parece que después de comenzar en 2 los números van subiendo poco a poco. Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del , el dato de la lista sería ya , que ya está más cerca del número , ¿verdad? Vamos a ver enseguida que en realidad sí, que todo cuadra a la perfección.

Si llamamos al producto de los elementos de la fila , con , si recordamos que los elementos del triángulo de Pascal son los números combinatorios tenemos que:

Lo que vamos a demostrar, y además de forma bastante sencilla, es que:

Bien, comencemos estudiando cuál es la expresión exacta de . Como hemos dicho, es el producto de todos los números combinatorios , con . Es decir:

Recordando que , la expresión anterior se convierte en la siguiente:

Todos los numeradores son , por lo que el denominador conjunto es . Y en el denominador aparece dos veces cada factorial desde hasta , por lo que al multiplicar cada uno de ellos estará elevando al cuadrado. Por tanto, la expresión de es la siguiente:

Ahora ya podemos calcular de forma sencilla los dos cocientes que aparecen en el límite que hemos mostrado antes. Expresando como (para simplificar la notación siguiente) tenemos que:

De manera análoga tenemos que

Calculemos ahora el límite anterior:

y sabemos que el valor de este último límite es, efectivamente, . Por tanto, tenemos que:

¿A quién debemos todo esto?

Y el artífice de esto, el descubridor de esta relación, es Harlan J. Brothers (en la imagen de la derecha), inventor, músico, matemático y profesor estadounidense, que publicó su hallazgo el pasado año 2012 en The Mathematical Gazette

• H. J. Brothers, “Pascal’s triangle: The hidden stor-e.” The Mathematical Gazette, Vol. 96, No. 535, 2012; páginas 145-148

y en Mathematics Magazine

• H. J. Brothers, “Finding e in Pascal’s triangle.” Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1, 2012; página 51

Además de todo esto, es un tipo muy majo (le pedí que me enviara esos dos trabajos y en menos de media hora ya estaban en mi correo) y se lleva bastante bien con el idioma de Cervantes. Harlan, muchas gracias por tu ayuda y por ser tan amable.

Por cierto, antes de verlo en los papers de Brothers lo vi en Cut-the-knot. La foto de Harlan J. Brothers la he tomado de su página en la Wikipedia en inglés.

Actualización: Me comenta David Orden que este tema apareció hace unos días en este post de Simplemente Números dentro de la edición de mayo del Carnaval de Matemáticas. Creo que, aunque como comenta el autor el post es una traducción del artículo de Cut the knot, es de justicia mencionarla aquí.

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Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo que tenían nombres tan curiosos como seno, coseno, tangente… ¿Recordáis más? ¿Sabríais representarlas? Echad un ojo, quizás descubráis cosas que no conocíais.

Comencemos con las más conocidas. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura

se define el seno del ángulo como el cateto opuesto a dividido entre la hipotenusa del triángulo. Es decir:

En este contexto, se define el coseno del ángulo como el cateto contiguo a dividido entre la hipotenusa del triángulo:

Y la tangente de se define como el cociente entre el cateto opuesto a dividido entre el cateto contiguo. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo:

Bien, ya tenemos tres. Habitualmente todo esto se representa en una circunferencia de radio 1. Al ser este radio la hipotenusa del triángulo en cuestión, las expresiones de seno y coseno se simplifican, quedando de la siguiente forma:

¿Y la tangente cómo se representa? Pues así:

Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto B. Cortará al eje X en un punto, que llamamos E. Entonces, la tangente de es la longitud del segmento BE.

Quedaría tal que así:

Éstas son las más conocidas, las que seguro que muchos recordáis. Pero había más, ¿verdad? Además con nombres muy parecidos a éstas. Sí, son sus recíprocas y son las siguientes:

• Secante:
• Cosecante:
• Cotangente:

Evidentemente, éstas también tienen su representación. Podemos verlas en la siguiente imagen junto con las tres anteriores:

Y ya no había más razones trigonométricas, ¿verdad? Al menos en el temario no aparecían más, pero eso de “haber” es muy relativo. ¿”Existen” más razones trigonométricas? Sí, “existen” más. Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas que por ciertas razones fueron importantes en su momento. Vamos a verlas:

• Verseno:

  Fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo “nombre” poco a poco y ahora prácticamente no se usa. Existen varias razones trigonométricas relacionadas con el verseno que se enumeran a continuación.

• Vercoseno:
• Coverseno:
• Covercoseno:
• Semiverseno:

  El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.

• Semivercoseno:
• Semicoverseno:
• Semicovercoseno:

Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigonométricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a presentar:

• Exsecante:

  La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, astronomía y trigonometría esférica.

• Excosecante:

Aquí os dejo una imagen con las seis que más se usan actualmente (las seis primeras que se han visto en esta entrada) junto con el verseno, el coverseno, la exsecante y la excosecante:

Y para terminar una reflexión. Aunque en la actualidad se usan estas seis razones trigonométricas que hemos comentado al principio, y aunque en otras épocas históricas se han usado más (las que hemos presentado después), podríamos decir que en realidad hay solamente una razón trigonométrica “esencial”, y que todas las demás se definen a partir de ella. Por ejemplo, podríamos decir que la única razón trigonométrica “esencial” es el seno, ya que todas las demás pueden construirse a partir de ella. Pero posiblemente en muchas situaciones prácticas sea complicado trabajar con esas “variaciones” del seno y en realidad sea conveniente definir de antemano las demás razones trigonométricas para trabajar directamente con ellas. Como en muchas ocasiones, la cuestión dependerá de en qué estemos trabajando y de para qué vayamos a usar estas herramientas. Como es habitual, la versatilidad de las matemáticas está a nuestro servicio.

Fuentes y más información:

• Trigonometría en la Wikipedia en inglés.
• Verseno y exsecante en la Wikipedia en inglés.
• How many trig functions are there? en The Endeavour.
• The other Trigonometric Functions en Calculus Humor.

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Por los puntos medios de dos lados de un triángulo ABC trazamos las medianas y unimos los puntos que trisecan el tercer lado con el vértice opuesto. Así, en el interior se obtiene una pajarita (dos triángulos unidos por un vértice). Se pide calcular la fracción de superficie total del triángulo que representa la pajarita.

Que se os dé bien.

Actualización: Añadidas las palabras “dos lados de” que faltaban al comienzo del enunciado.

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It is proved that

where is the -th prime.

Our method is a refinement of the recent work of Goldston, Pintz and Yildirim on the small gaps between consecutive primes. A major ingredient of the proof is a stronger version of the Bombieri-Vinogradov theorem that is applicable when the moduli are free from large prime divisors only (see Theorem 2), but it is adequate for our purpose.

Recuerdo que ya hablamos de todo esto en esta entrada hace unas semanas. Al parecer Zhang, después del seminario que impartió el 13 de mayo, envió su artículo el 16 de mayo a la revista, que lo aceptó el 21 de mayo.

Por otra parte, desde el anuncio de la noticia del trabajo de Zhang han aparecido varias mejoras en la cota de 70000000 que se da en dicho trabajo: 63374611 (Mark Lewko), 59874594 (Tim Trudgian) o 59470640 (Scott Morrison). En los comentarios de este último enlace y en los de la última fuente que aparece más abajo hay más información sobre el tema, tanto de la línea seguida por Zhang en su demostración como de la que parece que han seguidos los cazadores de mejoras de la cota.

Por desgracia, parece que estas mejoras no son todo lo esperanzadoras que cabría esperar, ya que las ideas usadas para ello no podrán ayudar a rebajar la cota al esperado 3 que supondría la demostración de la conjetura de los primos gemelos. Para ello habría que introducir nuevas ideas más profundas que esperamos ansiosos.

Fuentes:

• "Bounded gaps between primes" by Yitang Zhang now available en The Aperiodical.
• Sobre las mejoras de la cota en la cuenta de Google+ de Terence Tao.

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Este argumento del triángulo esférico es correcto, y descarta la existencia de un mapa plano perfecto de la Tierra. Pero parece que se puede ahondar mucho más en esta cuestión, que hay ideas matemáticas más profundas que nos pueden ayudar a comprender por qué no existe tal mapa. Y así es, las hay. En lo que sigue vamos a intentar explicarlas.

En primera instancia, si pensamos en la razón por la que no se puede proyectar una esfera en un plano de manera perfecta, lo que se nos podría ocurrir es que la esfera es curvada y el plano no lo es. Bueno, como comienzo no está mal, pero se queda algo cojo. ¿Por qué? Muy sencillo: un cilindro también se curva, pero puede desarrollarse de forma plana haciéndole un corte paralelo a su eje y desenrollándolo:

Y no es la única superficie curvada que puede desarrollarse en un plano. Por ejemplo, un cono también es desarrollable en un plano:

Y en ambos casos las propiedades métricas de las superficies se mantienen en su desarrollo. Por tanto, esto de que la esfera está curvada y el plano no lo está parece que no es definitivo, ya que hay superficies “curvadas” que sí pueden desarrollarse en un plano. Tiene que haber algo más…

…y ese “algo más” es, grosso modo, que no todas las superficies “curvadas” se curvan igual. Podemos considerar “curvadas” tanto a una esfera como a un cilindro, pero su forma de curvarse, su curvatura, no será la misma.

Ups, ya ha aparecido un “palabro”: curvatura. ¿Qué es esto de la curvatura? Pues es algo así como una medida de la forma de curvarse que tiene nuestra superficie. ¿Cómo medir esto? Pues para ello hay que tener cuenta algunos conceptos, como el plano tangente a la superficie en un punto y el vector normal a la misma en ese punto

Muy en general, para saber algo sobre la curvatura de la superficie en un punto necesitaríamos saber cómo varían el plano tangente y el vector normal a la superficie en dicho punto.

El estudio de esta curvatura en un punto de la superficie se puede hacer de la siguiente forma:

Tomamos todos los planos que pasar por el punto y contienen al vector normal y consideramos la intersección de cada uno de esos planos con nuestra superficie. Esas intersecciones son curvas, y cada una de ellas tendrá su curvatura. Nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura y las llamamos, respectivamente, y . Estas curvaturas se denominan curvaturas principales.

A partir de estas curvaturas principales podemos definir dos curvaturas de la superficie en cada punto de la misma:

• La curvatura de Gauss, , que mide cómo se curva la superficie en sí misma (pertenece a la geometría intrínseca de la superficie).
• La curvatura media, , que mide cómo se curva la superficie en el espacio en el que se encuentra (pertenece a la geometría extrínseca de la superficie).

Como ya habréis intuido, nos interesa la curvatura de Gauss.

Después de esta introducción vamos con lo importante. En 1827, en su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss demostró que la curvatura de Gauss es, como decíamos antes, intrínseca a la superficie. O, lo que es lo mismo, que depende únicamente de las propiedades métricas de la superficie. Este resultado es conocido como teorema egregium de Gauss.

¿Qué significa todo esto? Pues que lo que Gauss demostró fue que la curvatura de Gauss no varía bajo isometrías locales. Esto es, que si existe una isometría entre dos superficies, entonces necesariamente ambas superficies deben tener la misma curvatura de Gauss.

¿Qué ocurre en el caso que nos ocupa? Recordemos que queríamos ver si existía una isometría entre la esfera y el plano. Por el teorema egregium de Gauss, para que dicha isometría exista necesariamente las curvaturas de Gauss de ambas superficies deben ser igual. Pero (como ya apuntó tonibueno en este comentario) resulta que en este caso son distintas: la curvatura de Gauss del plano es cero y la curvatura de Gauss de la esfera es siempre distinta de cero, concretamente igual a , si es el radio de la esfera. Por tanto no hay isometrías entre la esfera y el plano, y en consecuencia no existe el mapa perfecto.

Espero que esta explicación “un poco más matemática” os haya ayudado a comprender mejor por qué no existe ese mapa plano perfecto de nuestro planeta, que podríamos resumir muy a grandes rasgos en que la geometría propia de la esfera es demasiado distinta a la geometría propia del plano en lo que se refiere a la forma que tienen de curvarse.

Fuente principal: El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.

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