Si quieres participar manda el nombre del matemático que aparece en la imagen a:

Cualquier problema de geometría puede reducirse fácilmente a términos tales que el conocimiento de las longitudes de determinados segmentos es suficiente para su construcción.

René Descartes

INFINITUM. Citas matemáticas

¿Veis el tema de la misma forma que Descartes?

Según la propia web del encuentro:

El Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas(E.N.E.M.) es un congreso con fines divulgativos hecho por y para estudiantes de la titulación de Licenciatura en Ciencias Matemáticas de distintas Universidades Españolas.

La verdad es que tiene pinta de ser un evento interesante. O sea que ya sabéis, quienes estén por Madrid en esas fechas (o puedan viajar fácilmente a la capital) y tengan a las matemáticas entre sus intereses que no duden en visitarlo.

Os dejo la web del evento:

• X Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas

Partimos de tres circunferencias iguales. Las colocamos de forma que las tres sean tangentes entre si, es decir, cada una es tangente a las otras dos. Entre ellas queda una porción del espacio, que en la imagen está coloreada de rojo. El problema consiste en calcular el área de dicha porción del espacio sabiendo que el diámetro de cada una de las circunferencias es 10.

Ánimo, que no es difícil.

Estoy convencido de que mucha gente piensa que la única obra de Euclides es Elementos. O al menos que es la única que se conservó o que se conoce. Nada más lejos de la realidad. Se conservan cinco obras más del gran matemático griego y además se conoce que escribió algunas más, que por desgracia no han llegado a nuestros días (en la entrada sobre Euclides de la Wikipedia inglesa podéis ver información sobre el tema).

Vamos a pararnos en una de las perdidas: Pseudaria (El Libro de los Engaños). Aunque no tenemos datos concretos sobre su contenido se sabe que en esta obra Euclides nos presentaba algunas falacias geométricas. Posiblemente dicha presentación se realizaría planteando un teorema absurdo y dando una demostración ilícita, analizando posteriormente la situación en conjunto. ¡Qué lástima que no hayamos podido disfrutar de ellas!

El caso es que en este artículo os voy a presentar tres falacias geométricas que bien podían haber sido parte del contenido de Pseudoria, ya que los conocimientos necesarios para desmontarlas no pasan de la geometría plana que se conocía en la época de Euclides. En todas ellas se plantea un enunciado totalmente contrario a la realidad y se incluye una demostración del mismo (las construcciones que se realizan en las mismas podéis consultarlas en Construcciones con regla y compás (I)). Encontrar el punto del camino en el que se encuentra el error es cosa vuestra. ¿Me acompañáis? ¡Adelante!

Ángulo rectuso

Teorema:

A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Demostración:

Partimos de un cuadrado, digamos , como el de la figura de la derecha. Podéis seguir toda la demostración a partir de dicha figura.

Tomamos el punto , punto medio del lado , y trazamos desde ese punto una perpendicular a que cortará al lado en un punto. Llamemos a dicho punto. Es evidente que en esta situación el segmento es igual al segmento .

Trazamos ahora desde un segmento de la misma longitud que el lado , pero un poco desplazado. Obtenemos el punto , a partir del cual se cumple (por construcción) que . Construimos el segmento , tomamos su punto medio, digamos , y desde él se traza una perpendicular a .

Como y no son paralelas, y la perpendicular a trazada anteriormente desde tampoco lo son. Por tanto deben cortarse en algún punto. Llamamos a ese punto de corte entre ellas. DEsde este punto tracemos los segmento y .

Los triángulos y son iguales, ya que , es un lado común y los ángulos en son rectos. Por tanto se tiene que .

Lo mismo ocurre con los triángulos y . Son iguales ya que , el lado es común y los ángulos en son rectos. En consecuencia , y el ángulo es igual al ángulo .

Por otra parte, se tiene que (son dos de los lados del cuadrado inicial) y además también son iguales a (por construcción de este segmento). Esto significa que los triángulos y tienen iguales todos sus lados, por lo que los ángulos y son iguales.

Ya lo tenemos: como los ángulos y son iguales (visto antes), se los podemos restar a los dos ángulos que hemos visto que son iguales en el párrafo anterior, quedando por consiguiente dos ángulos iguales. Lo vemos:

Es decir, los ángulos y deben ser iguales…pero el primero es un ángulo recto y el segundo un ángulo obtuso.

Con esto demostramos el teorema inicial: A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Isoscelosis

Teorema:

Todo triángulo es isósceles.

Demostración:

Tomamos un triángulo cualquiera. Igual que en el caso anterior podéis seguir la demostración en la figura adjunta.

Construimos el punto , punto medio del lado , y desde él trazamos el segmento , perpendicular a . Ahora construimos la bisectriz del ángulo , a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos al punto de intersección entre ellas. Trazamos y y también y , perpendiculares a y a respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos y son iguales, al tener a como lado común y los ángulos y iguales a los ángulos y respectivamente. Por tanto, y .

Por otra parte, los triángulos y son iguales, al ser , lado común y los lados del vértice iguales. De aquí .

Además los triángulos y son rectángulos. Por ello, el cuadrado de es igual a la suma de los cuadrados de y (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de es igual a la suma de los cuadrados de y . Pero tenemos que y . Por ello el cuadrado del lado es igual al cuadrado de . Entonces . Como teníamos de antes que se cumple que , lo que implica que el triángulo es isósceles.

Conclusión: todo triángulo es isósceles.

Ángulo=Ángulo, lado=lado paralelogramo

Teorema:

Si en un cuadrilátero se cumple que el ángulo es igual al ángulo y el lado es igual al lado , entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Demostración:

Tomamos un cuadrilátero , como el de la figura. Trazamos , perpendicular a y , perpendicular a . Ahora trazamos el segmento .

Los triángulos y son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello es igual a y es igual a . De aquí los triángulos y también son congruentes, por lo que es igual a .

Como es igual a y es igual a , el cuadrilátero es un paralelogramo.

Conclusión

Como hemos comentado antes, es evidente que los tres teoremas son falsos. Lo suyo sería que encontráramos los errores de las demostraciones, si puede ser junto a un contraejemplo. ¿Podremos?

Artículo relacionado:

• 2=1

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Actualización: Este lo digo, ya que ha acertado muy poca gente. Es Kazimierz Kuratowski. Al ver que más de uno respondió que era John von Neumann busqué su foto…y la verdad es que se dan un aire, pero en este caso no era él.

Como comentamos en la historia de la resolución de la cúbica, Tartaglia reveló, después de mucha insistencia, su método de resolución de los distintos tipos de ecuaciones cúbicas reducidas a Cardano. Pero no lo hizo de una manera convencional, sino que lo hizo en verso. Concretamente así:

Quando che’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.

Dapoi terrai, questo per consueto,
che’l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;

el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.

In el secondo, de cotesti atti;
quando che’l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest’altri contratti,

del numer farai due tal part’a volo,
che l’una, in l’altra, si produca schietto,
el terzo cubo delle cose in stolo;

delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sará ii tuo concetto;

el terzio, poi de questi nostri cónti,
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent’e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
nella cittá del mar’intorno centa.

Los nueve primeros corresponden a la resolución de la ecuación , los nueve siguientes son para el tipo , los siguientes tres para y los cuatro últimos indican el lugar y la fecha en la que Tartaglia los descubrió. Vamos a comenzar esta resolución haciendo un análisis de parte de estos versos.

Lugar y fecha

Como hemos comentado antes los últimos cuatro versos corresponden al lugar y la fecha en la que se produjo el descubrimiento. Su traducción es:

“Esto encontré, y no con pasos lentos
En el mil quinientos treinta y cuatro
Con fundamento bien claros y gallardos
En la ciudad ceñida en torno por el mar.”

Aunque Tartaglia alude al año 1534, en realidad el descubrimiento se produjo en febrero de 1535. La razón de este desfase es que en aquella época en Venecia se utilizaba un calendario propio que tomaba el 1 de marzo como comienzo del año.

La ciudad, evidentemente, es Venecia.

Ecuación cúbica tipo

Analicemos ahora los nueve primeros versos:

“Cuando está el cubo con la cosa cerca
Y se iguala a algún número discreto
Busca otros dos que difieran en eso.

Después tú harás esto que te espeto
Que su producto siempre sea igual
Al tercio cubo de la cosa neto.

Después el resultado general
De sus lados cúbico bien restados
Te dará a ti la cosa principal”

Pasemos estos versos a lenguaje algebraico moderno:

Cuando está el cubo () con la cosa cerca () y se iguala a un número discreto (), es decir, cuando tenemos , busca otros dos que difieran en eso, es decir, toma tales que .

Después tú harás lo que te espeto: que su producto () siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto (), es decir:

Después el resultado general de sus lados cúbicos bien restados () te dará a ti la cosa principal (). Es decir:

En resumidas cuentas, para resolver la ecuación debemos encontrar dos números y que verifiquen las dos ecuaciones siguientes:

La solución será entonces:

Para resolver el sistema anterior despejamos de la primera ecuación, quedando y sustituimos en la otra, obteniendo . Operando queda:

Que, teniendo en cuenta que y son conocidos, es una ecuación de segundo grado en .

Resolvemos dicha ecuación y consideramos la solución positiva de la misma:

Sustituimos en , obteniendo entonces:

Ya tenemos los valores de y . Llevándonos estos valores a la expresión de anterior obtenemos el resultado buscado:

Los otros dos casos

Para la parte del poema relacionada con los otros dos casos no tengo traducción ni he podido buscarla. De todas formas en la actualidad es sencillo convertirlos en el primer caso. ¿Alguien se anima con ella?

Solución de la cúbica general

Para resolver la ecuación cúbica en su forma general, es decir, , dividimos la ecuación entera entre , obteniendo la ecuación y después realizamos el cambio de variable siguiente:

Es sencillo ver que este cambio elimina el término de segundo grado de la ecuación, dejándola de la forma , que podemos resolver de la forma anterior.

Solución de la ecuación de cuarto grado

Vamos a ver ahora cómo resolver una ecuación de grado cuatro. La consideraremos ya con coeficiente líder igual a 1 (si no lo tiene dividimos la ecuación entera por él), es decir, .

El primer paso es eliminar el término de grado tres. Esto lo conseguimos con el cambio de variable . Nos queda una ecuación del tipo .

Ahora factorizamos este polinomio de la forma (podemos hacerlo ya que no tenemos término de grado tres). Desarrollando y igualando coeficientes obtenemos las siguientes ecuaciones:

Recordemos que y son constantes conocidas.

Eliminamos y del sistema y obtenemos la siguiente ecuación en :

La ecuación es de grado seis, pero sólo aparecen las potencias pares de . Por ello, haciendo el cambio obtenemos la ecuación

que al ser de grado tres puede resolverse por el método anterior. Después recorremos el camino anterior en sentido inverso y encontramos la solución buscada.

Fuentes y enlaces:

• Trabajos de la carrera.
• Ecuación de cuarto grado en la Wikipedia (en español).
• Método de resolución de la cuártica: Aquí podéis ver el método que utilizó Ludovico Ferrari escrito en notación moderna.
• Resolución de una cúbica: Web donde podréis resolver cualquier cúbica simplemente dando los coeficientes de la misma.

Diría que el arte (el álgebra) a tal caso todavía no ha dado modo (solución), así como todavía no ha dado modo a cuadrar el círculo.

Luca Pacioli

La historia del álgebra en las escuelas

Pues eso, al final la cosa no fue tan grave.

Sea la mayor solución positiva de la ecuación . Demostrar que y son ambos divisibles entre 17 ( denota, como siempre, la parte entera de ).

Recuerdo que lo ideal es resolver el problema mediante un procedimiento matemático. Las ayudas informáticas están muy bien, pero os pediría que no las utilizarais. Pido por favor que si alguien obtiene algún resultado (ya sea parcial o final) mediante procedimientos estrictamente informáticos no lo publique en un comentario, ya que le quitaría la gracia al problema.

En todos los ámbitos del conocimiento se pueden encontrar episodios de controversia a la hora de atribuir un descubrimiento o una invención. El mundo de las matemáticas no está, ni mucho menos, a salvo de ello. Quizás uno de los más conocidos es la invención del cálculo, con el enfrentamiento entre Newton y Leibniz. Otro ejemplo también muy famoso fue la resolución de la ecuación cúbica, es decir, la solución general de la ecuación . La historia que rodea este hecho va a ser el eje central de este artículo.

La historia de la resolución de la cúbica

En el año 1545 Girolamo Cardano publica Ars Magna, en el que presenta la solución general de la ecuación cúbica y la de la cuártica. Dicha publicación causó tal impacto en el mundo del álgebra que generalmente se considera el año 1545 como el que marca el período moderno en matemáticas. Pero, ¿fue Cardano el verdadero descubridor de los métodos de resolución de dichos tipos de ecuaciones?

Durante el siglo XV el dominio del álgebra estaba creciendo en Europa gracias a la difusión de los escritos procedentes de los árabes (grandes conocedores de esta rama). Mucha gente comenzó a estudiarla y muchos llegaron a dominarla tanto como para impartir clases sobre ella. Algunos métodos árabes se mejoraron en esta época y se añadieron nuevos casos y problemas. Pero el estudio de la ecuación (escrita en forma moderna) seguía resistiéndose. Hasta había matemáticos, como Luca Pacioli, que aunque no decían que el problema no tenía solución sí lo comparaban con problemas tipo la cuadratura del círculo.

A mediados del siglo XVI, Niccolo Fontana, llamado Tartaglia por su condición de tartamudo, se trasladó a Venecia. Tartaglia llegó a ser famoso en la zona por sus trabajos realizados para los ingenieros del Arsenal veneciano.

Estando en la ciudad de los canales llegó a sus oídos que un tal Antonio Maria del Fiore presumía de conocer la fórmula maravillosa para resolver la ecuación cúbica. Dicha fórmula, según del Fiore, le había sido entregado por parte de un gran matemático 30 años antes. El hecho de que existiera alguna posibilidad de resolver la cúbica llevó a Tartaglia a trabajar en el desarrollo de un método de resolución, consiguiéndolo algo después.

A raíz de la noticia de este descubrimiento se organizó un desafío público entre del Fiore y Tartaglia. Aunque el primero de ellos era un matemático más bien mediocre, aceptó el desafío (puede que confiado por la fórmula maravillosa que poseía). Cada uno de ellos propuso 30 cuestiones al otro contendiente que tenían que ser resueltas en un tiempo concreto. Los de Tartaglia trataban sobre temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Lo de del Fiore tenían todos la misma temática: ecuaciones cúbicas sin término de grado dos. Cuando llegó el día fijado para la presentación de las soluciones, Tartaglia había resuelto todos los problemas propuestos por del Fiore, pero éste no había podido dar respuesta a ninguna de las cuestiones propuestas por Tartaglia. Ni siquiera uno en el que se debía resolver una ecuación cúbica, para la que Tartaglia conocía un método particular.

INCISO:

¿Por qué del Fiore no supo resolver dicha ecuación cúbica? Posiblemente porque la siguiente razón:

En la actualidad todas las ecuaciones cúbicas son para nosotros esencialmente iguales a la hora de estudiarlas. Todas son de la forma , con . Pero en aquella época, dado que los números negativos no estaban demasiado aceptados, había tantas ecuaciones cúbicas como posibilidades hay de colocación de cada uno de sus términos a un lado o al otro de la igualdad. Por ejemplo, y eran dos ecuaciones distintas, con métodos de resolución diferentes.

La noticia del desafío y de la aplastante victoria de Tartaglia llegó a oídos de Cardano, que prometió buscarle alguien que lo patrocinara en el futuro (Tartaglia no tenía en aquella época ningún apoyo) a cambio de que le revelara el método de resolución de la cúbica, además de nombrarle en Ars Magna como descubridor de la misma. A pesar de estas promesas Tartaglia no accedió a compartir su tesoro con Cardano.

Pero la resistencia de Tartaglia no duró mucho. En 1539 Cardano invita a Tartaglia a pasar unos días con él en Milan y nuestro amigo Niccolo Fontana acaba cayendo: revela a Cardano los métodos de resolución de las tres formas en las que puede presentarse una ecuación cúbica sin término de segundo grado (a saber, y ) a condición de que éste no los publique.

Cardano comienza en ese mismo instante a estudiar la fórmula de Tartaglia junto con su ayudante Ludovico Ferrari. Poco después consigue resolver la cúbica en su forma general, es decir, de la forma , reduciéndola mediante una transformación a uno de los tres tipos anteriores.

Pero había un pequeño problema: en ciertas ecuaciones que parecían normales aparecían soluciones en las que se podía encontrar una raíz cuadrada con radicando negativo (estas ecuaciones son las que más adelante se llamarían irreducibles). Teniendo en cuenta que, como hemos comentado antes, en esta época ni siquiera los números negativos estaban demasiado aceptados, la aparición de este tipo de soluciones se veía como algo bastante extraño.

Quizás por eso Cardano y Ferrari viajaron a Bolonia en 1542. En este punto de la historia es donde entra el gran héroe de este artículo: Scipione del Ferro. Él fue realmente quien encontró la fórmula de la resolución de la cúbica (Tartaglia también encontró métodos de resolución, pero se cree que dichos métodos no fueron descubiertos totalmente por él, sino que la idea provenía de alguna fuente anterior; de hecho se sabe que Tartaglia tendía a atribuirse ciertas publicaciones suyas cuando en realidad no lo eran). De hecho del Ferro fue el gran matemático que reveló a del Fiore (que era alumno suyo) la fórmula. También compartió su descubrimiento con Annibale della Nave, su propio yerno.

INCISO:

La publicación de la resolución de la cúbica habría proporcionado a del Ferro fama y prestigio. ¿Por qué Scipione del Ferro no dio a conocer su descubrimiento? En aquella época los desafíos entre matemáticos eran muy habituales. A veces el prestigio era lo único en juego, pero en ocasiones llegaban a jugarse hasta la cátedra. Ser la única persona que conocía tal fórmula significaba tener un arma muy potente a la hora de afrontar dichas contiendas.

Cuando del Ferro estaba a punto de morir compartió su descubrimiento con della Nave (posiblemente por que era su yerno y eso le proporcionaba un futuro a él y a su hija) y a del Fiore. No se sabe muy bien por qué reveló su secreto a este último.

El viaje de Cardano y Ferrari tenía como propósito pedir permiso a della Nave para consultar las notas de del Ferro en busca de información sobre las ecuaciones irreducibles. En el transcurso de esta búsqueda encontraron el método de resolución de la cúbica reducida que del Ferro había descubierto. Dicho método era el mismo que el que Tartaglia le había confiado a Cardano, por lo que éste se vio con total libertad para publicarlo.

Ars Magna fue una revolución en su momento. Contenía una gran cantidad de avances, entre ellos el método de resolución de la cúbica y un método de resolución de la ecuación cuártica (mediante una transformación que la reducía a una cúbica) que descubrió Ferrari. Aunque Cardano nombró hasta tres veces a Tartaglia en su obra, éste se sintió traicionado por la publicación de su método de resolución.

La respuesta de Niccolo fue publicar un libro un año después que contenía su fórmula, además de ataques a Cardano, pero éste no respondió. El que sí dio respuesta a dichos ataques fue Ferrari mediante un cartel (que envió a todos los matemáticos conocidos de la época) en el que acusaba a Tartaglia de plagio y donde además le retaba a un desafío público. La respuesta de Niccolo no se hizo esperar: en otro cartel pedía que el reto lo afrontara Cardano, no su discípulo. A partir de aquí el envió de carteles continuó hasta que el 21 de abril de 1547 Tartaglia envía un cartel con 31 problemas para que su contrincante los resuelva. Ferrari le contesta el 24 de mayo del mismo año con otros 31 problemas. Al final Tartaglia acepta el duelo, celebrándose éste el 10 de agosto de 1548 en Milán.

Este reto fue un auténtico acto social. A él acudieron gran cantidad de personalidades de la ciudad, aunque se notó la ausencia de Cardano. En un momento del mismo comenzó una discusión por un problema propuesto por Ferrari que Tartaglia no había resuelto. Esto conllevó a un aplazamiento del desafío hasta el día siguiente. Pero Tartaglia no se presentó, por lo que se dio por ganador a Ferrari. Más tarde Tartaglia escribió que el acoso de la multitud, favorable a Ferrari, influyó en el resultado.

El final de esta historia es la vuelta de Tartaglia a Brescia, su ciudad natal.

Fuentes:

• Historia de la Matemática, de Carl B. Boyer.
• Trabajos de mi carrera.
• La imagen de Ludovico Ferrari la he tomado de aquí.
• La imagen de Scipione del Ferro la he tomado de aquí.