Gaussianos http://gaussianos.com Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 10:00:25 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 37.0625-95.677068gaussianoshttp://feedburner.google.com Impresionante igualdad numérica http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/z4nTCbCD1aI/ http://gaussianos.com/impresionante-igualdad-numerica/#comments Fri, 10 Feb 2012 10:00:25 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7283 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
Construye tú también el poliedro de Császár.

]]> Corto, pero intenso. Impresionante igualdad numérica la que nos traen en Números y algo más:

\begin{matrix} \mbox{Para } n=1,2,3,4,5,6 \mbox{ la siguiente igualdad } \\ \\ 14^n + 16^n + 45^n + 54^n + 73^n + 83^n = 3^n + 5^n + 28^n + 34^n + 65^n + 66^n + 84^n \\ \\ \mbox{es cierta} \end{matrix}

Tremendo, ¿verdad? Ah, y los resultados son los siguientes:

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]]> http://gaussianos.com/impresionante-igualdad-numerica/feed/ 1 http://gaussianos.com/impresionante-igualdad-numerica/ Varignon, Thébault y Van Aubel: inesperado orden en cuadriláteros caóticos http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/jYzVyEl8ycI/ http://gaussianos.com/varignon-thebault-y-van-aubel-inesperado-orden-en-cuadrilateros-caoticos/#comments Thu, 09 Feb 2012 16:00:31 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7267 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Hay pocas cosas en matemáticas que puedan sorprender más que un resultado geométrico inesperado, de esos que “se ven”, que “no necesitan demostración”, de esos que nunca se nos hubieran ocurrido, y que al conocerlos nos parecen imposibles, pero que luego no podemos más que aceptar después de un simple vistazo.

El teorema de Van Aubel es uno de ello. Si alguien no ha leído este post le invito a que lo haga, seguro que le gustará, a la vez que le sorprenderá. Seguro que pasará de un “no puede ser” a un “vaya, pues sí” simplemente echando un vistazo al applet de GeoGebra que aparece (y si se lee la demostración mucho mejor). Es lo que suele ocurrir. Uno comienza diciendo algo sí como “¿en un cuadrilátero cualquiera? ¿da igual qué forma exacta tenga?” y acaba rindiéndose a la evidencia.

Pero Van Aubel no está solo en este mundo de los teoremas geométricos inesperados, ni mucho menos. Hay unos cuantos resultados más que sorprenden por la inesperada armonía que presentan partiendo de una situación relativamente caótica. Por ejemplo, el desafío que propuse por el Centenario de la RSME, muy relacionado con Van Aubel (aquí podéis ver mi solución). Hoy vamos a ver dos más.

El teorema de Thébault

Este teorema no parte de una situación totalmente caótica (como en Van Aubel, en donde se comienza con un cuadrilátero cualquiera), sino que se empieza con un caos relativo. Pero, por otra parte, obtenemos como resultado un orden completo. Veamos su enunciado para comprender bien todo esto:

Teorema de Thébault: Dado un paralelogramo cualquiera (cuadrilátero con dos parejas de lados paralelos, por lo que tiene sus ángulos opuestos iguales), apoyemos en cada uno de sus lados un cuadrado y representemos los centros de cada uno de ellos (los puntos de corte de las diagonales). Entonces, el cuadrilátero que tiene como vértices a los cuatro centros de los cuatro cuadrados es también un cuadrado.

Sí, es siempre un cuadrado, independientemente del paralelogramo con el que comencemos. Inesperado, ¿verdad? Bueno, quizás no tanto, ya que si uno mira con ojos geométricos (y se ha leído el post que enlacé en los comienzos de esta entrada) verá que este teorema de Thébault no es más que un caso particular del teorema de Van Aubel (os dejo que penséis el porqué).

Decíamos al comienzo que lo interesante es verlo con nuestros propios ojos, ¿no? Pues ahí GeoGebra no tiene rival. Con vosotros el teorema de Thébault en un applet de GeoGebra:

Como podéis ver el polígono resultante es un cuadrado para el caso en el que los cuadrados se dibujan externos al paralelogramo inicial…y también para el caso en el que se dibujan de forma interna. Me encanta.

Debemos la proposición de este teorema al matemático francés Victor Thébault (1882-1960), que propuso otros dos interesantes teoremas geométricos más cuyos enunciados podéis ver aquí.

El teorema de Varignon

En este caso sí que vamos a partir de la situación más caótica posible en lo que a polígonos de cuatro lados se refiere: un cuadrilátero cualquiera. ¿Cualquiera? Sí, cualquiera. Pero tendrá que ser convexo al menos, ¿no? Pues no, puede ser no convexo. Hemos dicho un cuadrilátero cualquiera. Esta libertad inicial va a suponer que no obtengamos un orden completo al final, pero el resultado al que se lleva también es inesperado. Veamos el enunciado:

Teorema de Varignon: Dado un cuadrilátero C cualquiera, representemos los puntos medios de casa uno de sus lados. Entonces el cuadrilátero cuyos lados unen los puntos medios de cada dos lados consecutivos de C es un paralelogramo.

Nada, otro que quiere darle orden al caos…partimos de un cuadrilátero cualquiera, todo lo raro, deformado o caótico que podáis pensar, y con sus puntos medios obtenemos un paralelogramo, que no es que represente el “orden total”, pero sí que tiene bastante más regularidad que el inicial.

¿Quieres verlo en un applet de GeoGebra? Tus deseos son órdenes:

Este interesante resultado geométrico se debe a Pierre Varignon, matemático francés de los siglos XVII y XVIII (1654-1722). En este enlace tenéis una sencillísima a la par que maravillosa demostración del mismo.

Pero el teorema no se queda ahí, dice más cosas. Por ejemplo dice que si el cuadrilátero inicial no se corta a si mismo (moviendo los vértices de ese cuadrilátero podríamos conseguir una figura que se corta a si misma) entonces el área del paralelogramo obtenido por el teorema es la mitad del área del cuadrilátero inicial. Y más cosas que dejo que descubráis vosotros (y que, si lo veis conveniente, lo comentéis).

Hay muchos más resultados geométricos con una conclusión inesperada y muy visual. Esta entrada pretendía recordaros uno (Van Aubel) y presentaros dos de los que no habíamos hablado por aquí (Varignon y Thébault), y seguro que en los próximos tiempos habrá más ejemplos comentados por aquí. Si conocéis alguno que cumpla estas características y que os guste especialmente no tenéis más que comentarlo.

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]]> http://gaussianos.com/varignon-thebault-y-van-aubel-inesperado-orden-en-cuadrilateros-caoticos/feed/ 1 http://gaussianos.com/varignon-thebault-y-van-aubel-inesperado-orden-en-cuadrilateros-caoticos/ Rüdiger Gamm calculando el valor de una división http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/RnnNf5BZbbU/ http://gaussianos.com/rudiger-gamm-calculando-el-valor-de-una-division/#comments Thu, 09 Feb 2012 09:00:01 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7278 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Os acordáis de cómo se dividía en el colegio, ¿verdad? La pregunta no es ni mucho menos trivial, ya que conforme pasa el tiempo me encuentro cada vez a más gente que no recuerda cómo se hacía a mano…y ya no digamos si les pido que lo hagan de cabeza.

Imaginad que os pido que hagáis mentalmente la división \textstyle{\frac{62}{167}}. Sí, es cero con algo, pero ¿qué podríais decir sobre el algo? Más concretamente, ¿cuántos decimales pensáis que podríais calcular de cabeza en, digamos, un minuto? ¿4, 5,…10? No está mal, pero creo que el calculista alemán Rüdiger Gamm os supera.

Atención al vídeo que os traigo hoy. Aun sabiendo que es calculista yo me he quedado con la boca abierta:

IM-PRE-SIONAN-TE.

(Gracias Mamen.)

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]]> http://gaussianos.com/rudiger-gamm-calculando-el-valor-de-una-division/feed/ 15 http://gaussianos.com/rudiger-gamm-calculando-el-valor-de-una-division/ Los trabajos de Isaac Newton online http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/KHLQragJ7S4/ http://gaussianos.com/los-trabajos-de-isaac-newton-online/#comments Wed, 08 Feb 2012 13:00:40 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7256 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> En el mundo actual, donde a través de Internet se puede tener acceso a multitud de obras modernas, todavía escasean los textos antiguos a los que se tiene libre acceso. Por ello cualquier iniciativa relacionada con esto es digna de mención.

Hoy os traigo dos proyectos de digitalización de los trabajos de Isaac Newton:

Selección de manuscritos de Newton, principalmente sobre su trabajo en matemáticas en la década de 1660. También tenemos acceso a la obra cumbre de Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Organización sin ánimo de lucro dedicada a hacer de libre acceso los trabajos (tanto publicados como no publicados) de Newton (esta web la he encontrado en el blog La aventura de las matemáticas). También aquí tenemos la obra, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Creo que siempre es buena noticia encontrarse con estas iniciativas. ¿Conocéis alguna más relacionada con textos matemáticos?

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]]> http://gaussianos.com/los-trabajos-de-isaac-newton-online/feed/ 4 http://gaussianos.com/los-trabajos-de-isaac-newton-online/ La paradoja de Galois http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/44H-iuDoLSU/ http://gaussianos.com/la-paradoja-de-galois/#comments Wed, 08 Feb 2012 09:00:31 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7246 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]>

Además de ser un genio en matemáticas, Galois fue un revolucionario, un rebelde. Por ello resulta tremendamente irónico y paradójico que él mismo probara que hay problemas que no pueden resolverse por radicales.

Leído por ahí

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]]> http://gaussianos.com/la-paradoja-de-galois/feed/ 3 http://gaussianos.com/la-paradoja-de-galois/ Mark Kac y su nacionalidad compleja http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/ejQNYTuOBIc/ http://gaussianos.com/mark-kac-y-su-nacionalidad-compleja/#comments Tue, 07 Feb 2012 15:00:55 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7248 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Mark Kac, matemático polaco del siglo XX (1914-1984) que trabajó principalmente en teoría de la probabilidad, es el protagonista de la siguiente anécdota, curiosa donde las haya, que él mismo cuenta en su autobiografía Enigmas of Chance.

Mark KacEn una ocasión, Mark Kac se encontraba en un tribunal examinador delante de un alumno que, al menos en matemáticas, no era demasiado bueno. Después de fallar un par de preguntas, Kac le pidió a dicho alumno que describiera el comportamiento de la función

f(z)=\cfrac{1}{z}

en el plano complejo, a lo que el alumno respondió:

La función es analítica, señor, en todo el plano complejo excepto en z=0, donde tiene una singularidad.

Correcto, pero Kac lo vio incompleto, por lo que preguntó qué tipo de singularidad era. Al ver al alumno callado, nuestro protagonista le dijo:

Look at me. What am I?

Es decir: Mírame. ¿Qué soy?. A lo que el alumno contestó:

A simple pole, sir.

O lo que es lo mismo, Un simple polaco, señor…o, mejor, Un polo simple, señor, que es precisamente como se denomina al tipo de singularidad que presenta la función anterior (pole tiene varios significados en inglés: polaco, polo, mástil, pértiga…).

Teniendo en cuenta las pistas que daba, qué buena persona debía ser el señor Mark Kac.

Fuentes:

  • Datos biográficos y foto tomados de Mark Kac en la Wikipedia en inglés.
  • Anécdota tomada de La vida secreta de los números, de Joaquín Navarro, aunque le he dado más sentido al asunto escribiendo “polo simple” en vez de “simple polo”, que es lo que aparece en dicho libro.

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]]> http://gaussianos.com/mark-kac-y-su-nacionalidad-compleja/feed/ 5 http://gaussianos.com/mark-kac-y-su-nacionalidad-compleja/ Número de regiones http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/HMn-V_eoEuk/ http://gaussianos.com/numero-de-regiones/#comments Tue, 07 Feb 2012 09:00:45 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7241 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Partimos de una circunferencia cualquiera y de n > 3 puntos de la misma. Para cada dos de estos puntos se traza una cuerda que los une de forma que no existan tres cuerdas concurrentes en un mismo punto dentro del círculo interior a la circunferencia. Determinar el número de regiones en las que queda dividido dicho círculo.

Que se os dé bien.

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]]> http://gaussianos.com/numero-de-regiones/feed/ 19 http://gaussianos.com/numero-de-regiones/ Mathematical Assistant on Web, magnífica aplicación sobre cálculo en una y dos variables http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/EQaRebd5ZXk/ http://gaussianos.com/mathematical-assistant-on-web-magnifica-aplicacion-sobre-calculo-en-una-y-dos-variables/#comments Mon, 06 Feb 2012 10:00:53 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7231 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Hace apenas una semana os hablaba sobre la nueva funcionalidad de Wolfram|Alpha, la resolución paso a paso de algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Pues hoy os traigo una aplicación online (que también tiene versión offline) con la cual podremos hacer esto y mucho más. El proyecto en cuestión se llama Mathematical Assistant on Web.

Mathematical Assistant on Web es un proyecto (alojado en sourceforge.net) mediante el cual podemos realizar una gran cantidad de acciones y operaciones relacionadas con el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral tanto en una como en dos variables…¡y además nos da los pasos intermedios! Podemos calcular dominios de funciones de una y dos variables, calcular derivadas, estudiar si un punto es un extremo local de una función de dos variables, calcular integrales en una y en dos variables, resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales de segundo orden, encontrar los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales, aproximar numéricamente soluciones de ecuaciones y unas cuantas cosas más. Sí, sí, todo eso. Y, como decía, podemos ver los pasos intermedios, hecho muy importante para comprender el resultado de cada uno de estos cálculos. En algunos casos hasta obtendremos el proceso completo en un pdf descargable. ¿Sorprendido? Vamos a ver algunos ejemplos.

Aquí tenemos la página principal:

Se puede ver en la parte superior el menú donde aparecen las distintas temáticas a las que pertenecen los procesos que pueden realizarse.

Por ejemplo, para representar funciones de una variable “sencillas” podemos usar Precalculus->Graph of elementary functions, pero para funciones de una variable más complejas debemos ir a Calculus->Investigating functions. De todas formas, si metemos en el primero una función demasiado compleja el propio programa nos da un enlace que nos lleva al segundo.

Si queremos representar gráficamente

f(x)=\cfrac{x^4}{x+1}

debemos ir a Investigating functions

Al hacer click en Submit el programa nos muestra un estudio de la función (dominio, simetrías, primera y segunda derivada y asíntotas)

y su gráfica

Como hemos dicho, también resuelve integrales dobles. Si le proponemos que nos resuelva

\displaystyle{\int_0^1 \int_0^x (x^3+1) \; e^{3y} \; dy dx}

obtenemos el siguiente desarrollo, junto con el resultado

y hasta nos da una representación de la región de integración

Y, como hemos dicho, tiene muchas más opciones que os invito a probar.

Evidentemente no es un programa perfecto, pero es muy muy completo. Cuando no es capaz de hacer algún cálculo suele dar razones por las que no ha podido, y hasta da posibles soluciones. Mathematical Assistant on Web utiliza varios programas, Maxima entre ellos, para realizar todos los cálculos y, como comentaba al principio, tiene una versión offline que hay que instalar a través de VMware. Respecto al idioma, podemos encontrarlo en checo, inglés, polaco, catalán, chino, francés, ruso y alemán. No, no está en español (hecho que, particularmente, me ha extrañado), aunque se puede contribuir con una traducción.

Espero, como con todos los recursos de este estilo que comparto con vosotros, que sepáis apreciar la potencia y utilidad de Mathematical Asistant on Web y que lo uséis bien, con cabeza y como apoyo para comprender los respectivos procedimientos de cálculo utilizados en él. Estoy seguro de que de esta manera os será muy útil.

Por cierto, descubrí esta web gracias a Samuel Dalva, que me habló de él a través de su cuenta de Twitter, @SamuelDalva. Muchas gracias Samuel.

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]]> http://gaussianos.com/mathematical-assistant-on-web-magnifica-aplicacion-sobre-calculo-en-una-y-dos-variables/feed/ 4 http://gaussianos.com/mathematical-assistant-on-web-magnifica-aplicacion-sobre-calculo-en-una-y-dos-variables/ Web Equation, de mano alzada a código LaTeX http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/jsej4xCGcuY/ http://gaussianos.com/web-equation-de-mano-alzada-a-codigo-latex/#comments Fri, 03 Feb 2012 13:00:04 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7216 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> ¿Quieres escribir algo en \LaTeX pero hay un símbolo concreto del que no conoces el código? Posiblemente Detexify te sirva. Pero si tu problema es que no sabes cómo escribir en \LaTeX una expresión más larga y compleja este buen reconocedor de símbolos en \LaTeX posiblemente no te sea tan útil, ya que deberías consultar uno a uno todos los que no conoces.

En esos casos siempre puedes acudir a alguna página donde aparezca explícitamente el código \LaTeX de los símbolos más habituales junto con ejemplos de expresiones habituales más largas (la web de ayuda de TeX de la Wikipedia en español está bastante bien)…o encomendarte a Web Equation.

En Web Equation podemos representar a “ratón alzado” una expresión en \LaTeX todo lo larga y compleja que queramos, y esta aplicación online nos dará tanto el código \LaTeX para representarla como una imagen con dicha representación. Aquí tenéis un ejemplo con el problema de Basilea:

Cierto es que en ocasiones no parece dar la opción más razonable, aunque la expresión sea muy sencilla, como en este caso:

pero es una herramienta muy interesante para quien tenga alguna duda concreta y no tenga ganas de buscar símbolo a símbolo. Haz pruebas y coméntanos tus conclusiones sobre ella.

¿Conocéis más aplicaciones con lo que se pueda hacer lo mismo que con ésta?

Os recomiendo también que os vayáis a la página principal, Demonstrations, y probéis todas las aplicaciones que aparecen. Entre ellas me ha gustado principalmente Web Shape.

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]]> http://gaussianos.com/web-equation-de-mano-alzada-a-codigo-latex/feed/ 20 http://gaussianos.com/web-equation-de-mano-alzada-a-codigo-latex/ Nueva imagen del poliedro de Császár: yelsp http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/s6nPbqS7SYA/ http://gaussianos.com/nueva-imagen-del-poliedro-de-csaszar-yelsp/#comments Fri, 03 Feb 2012 09:00:22 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=7222 Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.
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]]> Hoy os traigo una nueva imagen del poliedro de Császár. En esta ocasión la imagen llega de parte de mi amiga yelsp, que me envía dos fotos de su poliedro a través de Twitter. Os dejo una:

que podéis ver aquí en el set de Flickr donde están todas. Podéis ver la otra haciendo click aquí.

¿Quieres ver todas las imágenes que nos han enviado? Pues entra en set de Flickr Yo construí el poliedro de Császár.

¿Quieres construir vuestro propio poliedro de Császár y enviarlo a Gaussianos para que lo publique? Pues no tienes más que echar un ojo a este post, tomar una de las plantillas que se enlazan al final…y ponerte con ello. Os animo a que me ayudéis a reactivar esta iniciativa. Muchas gracias.

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