Hoy os traigo dos proyectos de digitalización de los trabajos de Isaac Newton:

• Newton Papers en la Cambridge Digital Library

Selección de manuscritos de Newton, principalmente sobre su trabajo en matemáticas en la década de 1660. También tenemos acceso a la obra cumbre de Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

• The Newton Project

Organización sin ánimo de lucro dedicada a hacer de libre acceso los trabajos (tanto publicados como no publicados) de Newton (esta web la he encontrado en el blog La aventura de las matemáticas). También aquí tenemos la obra, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Creo que siempre es buena noticia encontrarse con estas iniciativas. ¿Conocéis alguna más relacionada con textos matemáticos?

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Además de ser un genio en matemáticas, Galois fue un revolucionario, un rebelde. Por ello resulta tremendamente irónico y paradójico que él mismo probara que hay problemas que no pueden resolverse por radicales.

Leído por ahí

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en el plano complejo, a lo que el alumno respondió:

La función es analítica, señor, en todo el plano complejo excepto en , donde tiene una singularidad.

Correcto, pero Kac lo vio incompleto, por lo que preguntó qué tipo de singularidad era. Al ver al alumno callado, nuestro protagonista le dijo:

Look at me. What am I?

Es decir: Mírame. ¿Qué soy?. A lo que el alumno contestó:

A simple pole, sir.

O lo que es lo mismo, Un simple polaco, señor…o, mejor, Un polo simple, señor, que es precisamente como se denomina al tipo de singularidad que presenta la función anterior (pole tiene varios significados en inglés: polaco, polo, mástil, pértiga…).

Teniendo en cuenta las pistas que daba, qué buena persona debía ser el señor Mark Kac.

Fuentes:

• Datos biográficos y foto tomados de Mark Kac en la Wikipedia en inglés.
• Anécdota tomada de La vida secreta de los números, de Joaquín Navarro, aunque le he dado más sentido al asunto escribiendo “polo simple” en vez de “simple polo”, que es lo que aparece en dicho libro.

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Partimos de una circunferencia cualquiera y de puntos de la misma. Para cada dos de estos puntos se traza una cuerda que los une de forma que no existan tres cuerdas concurrentes en un mismo punto dentro del círculo interior a la circunferencia. Determinar el número de regiones en las que queda dividido dicho círculo.

Que se os dé bien.

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Aquí tenemos la página principal:

Se puede ver en la parte superior el menú donde aparecen las distintas temáticas a las que pertenecen los procesos que pueden realizarse.

Por ejemplo, para representar funciones de una variable “sencillas” podemos usar Precalculus->Graph of elementary functions, pero para funciones de una variable más complejas debemos ir a Calculus->Investigating functions. De todas formas, si metemos en el primero una función demasiado compleja el propio programa nos da un enlace que nos lleva al segundo.

Si queremos representar gráficamente

debemos ir a Investigating functions

Al hacer click en Submit el programa nos muestra un estudio de la función (dominio, simetrías, primera y segunda derivada y asíntotas)

y su gráfica

Como hemos dicho, también resuelve integrales dobles. Si le proponemos que nos resuelva

obtenemos el siguiente desarrollo, junto con el resultado

y hasta nos da una representación de la región de integración

Y, como hemos dicho, tiene muchas más opciones que os invito a probar.

Evidentemente no es un programa perfecto, pero es muy muy completo. Cuando no es capaz de hacer algún cálculo suele dar razones por las que no ha podido, y hasta da posibles soluciones. Mathematical Assistant on Web utiliza varios programas, Maxima entre ellos, para realizar todos los cálculos y, como comentaba al principio, tiene una versión offline que hay que instalar a través de VMware. Respecto al idioma, podemos encontrarlo en checo, inglés, polaco, catalán, chino, francés, ruso y alemán. No, no está en español (hecho que, particularmente, me ha extrañado), aunque se puede contribuir con una traducción.

Espero, como con todos los recursos de este estilo que comparto con vosotros, que sepáis apreciar la potencia y utilidad de Mathematical Asistant on Web y que lo uséis bien, con cabeza y como apoyo para comprender los respectivos procedimientos de cálculo utilizados en él. Estoy seguro de que de esta manera os será muy útil.

Por cierto, descubrí esta web gracias a Samuel Dalva, que me habló de él a través de su cuenta de Twitter, @SamuelDalva. Muchas gracias Samuel.

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En esos casos siempre puedes acudir a alguna página donde aparezca explícitamente el código de los símbolos más habituales junto con ejemplos de expresiones habituales más largas (la web de ayuda de TeX de la Wikipedia en español está bastante bien)…o encomendarte a Web Equation.

En Web Equation podemos representar a “ratón alzado” una expresión en todo lo larga y compleja que queramos, y esta aplicación online nos dará tanto el código para representarla como una imagen con dicha representación. Aquí tenéis un ejemplo con el problema de Basilea:

Cierto es que en ocasiones no parece dar la opción más razonable, aunque la expresión sea muy sencilla, como en este caso:

pero es una herramienta muy interesante para quien tenga alguna duda concreta y no tenga ganas de buscar símbolo a símbolo. Haz pruebas y coméntanos tus conclusiones sobre ella.

¿Conocéis más aplicaciones con lo que se pueda hacer lo mismo que con ésta?

Os recomiendo también que os vayáis a la página principal, Demonstrations, y probéis todas las aplicaciones que aparecen. Entre ellas me ha gustado principalmente Web Shape.

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que podéis ver aquí en el set de Flickr donde están todas. Podéis ver la otra haciendo click aquí.

¿Quieres ver todas las imágenes que nos han enviado? Pues entra en set de Flickr Yo construí el poliedro de Császár.

¿Quieres construir vuestro propio poliedro de Császár y enviarlo a Gaussianos para que lo publique? Pues no tienes más que echar un ojo a este post, tomar una de las plantillas que se enlazan al final…y ponerte con ello. Os animo a que me ayudéis a reactivar esta iniciativa. Muchas gracias.

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Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico de Durero

Alberto Durero fue un pintor alemán (nacido en Nuremberg) de los siglox XV y XVI con una producción artística muy amplia y de gran calidad. Además de ejercer una gran influencia en sus contemporáneos, fue uno de esos artistas que consiguieron utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Además fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus grabados, como El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra. También se preocupó bastante del trazado de las secciones cónicas, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos para ello.

Entre sus obras se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos (como el que puede verse a la derecha, que está en el Museo del Prado de Madrid), dibujos y grabados. Vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I:

Este grabado compone las “Estampas Maestras” junto con otro dos grabados: “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San jerónimo en su gabinete”. Es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.

¿Os habéis fijado en lo que hay en la parte superior derecha? Vaya, un cuadrado con números…No será…¡¡Sí, un cuadrado mágico!!:

Como podéis ver, en el grabado aparecen más detalles relacionados con las matemáticas, como una esfera o un poliedro truncado. Pero, como decía, detengámonos en el cuadrado. ¿Es un cuadrado mágico? Sí, es un cuadrado mágico de los más habituales, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado:

Pero este cuadrado mágico es mucho más especial de lo que parece. Sumemos los números de las esquinas:

¿Cuánto suman? Sí, 34.

Sumemos ahora los números centrales:

¿Y ahora cuánto suman? Otra vez 34.

Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior:

Exacto, 34.

¿Y con los centrales de la primera y la última columna?

También 34.

Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno:

¿Qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrado? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc)?

Todas 34

¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? ¿Y éstas otras?

De nuevo, cómo no, 34.

Y todavía hay más:

Y seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Además si elevamos al cuadrado y al cubo sus elementos, nos quedan cuadrado que aunque no son mágicos sí que tienen propiedades interesantes. Os invito a explorarlos y a que comentéis las regularidades que encontréis en ellos:

- El de los cuadrados:

- El de los cubos:

Y para terminar, ¿sabéis de que año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, por rizar el rizo, los números de las esquinas de la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es:

La foto de Durero la he tomado de aquí y la de Melancolía I de aquí.

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y la de logaritmo es

Bien, pues no hay dos sin tres, amigos, hoy tenemos una nueva confusión entre logaritmo y algoritmo en la prensa nacional. La primera la comenté en De algoritmos y logaritmos (que podéis ver en Malaciencia.es), y la segunda está en De logaritmos y algoritmos. La primera se rectificó en pocas horas, pero la segunda sigue a día de hoy con su error.

En las dos ocasiones anteriores el error apareció en El País, y esta vez vuelve a ocurrir. Me avisa Pablo Urcola a través de su cuenta de Twitter, @killimsicin, de la nueva aparición de esta grave confusión. Y ahora le ha tocado a David Trueba, que comete este tremendo error en su artículo Puaj, aparecido hoy mismo en la web de El País, donde comenta el asunto Megaupload y habla sobre Google. Pasando por encima del contenido del artículo (aunque habría mucho que comentar), fijémonos en este párrafo:

¡¡No!! ¡¡Otra vez no!! De nuevo se vuelve a confundir algoritmo con logaritmo. Y no es un error de escritura sin importancia (la típica letra que se escribe dos veces, o el típico cambio entre letras), es un grave error de concepto. ¿Tan complicado es informarse, preguntar, confirmar que estos términos que son desconocidos para el autor son correctos? Pues parece que sí lo es.

Lo siento, pero me parece lamentable que este tipo de errores se produzcan sistemáticamente en medios tan importantes. Y a quien no le parezca tan grave le recomiendo que piense en, por ejemplo, qué le parecería que se confundiera sistemáticamente carabela con calavera.

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Por si alguien no conoce a M.C. Escher, aquí dejo unos cuantos enlaces con información y, sobre todo, con imágenes de sus características obras:

• M. C. Escher en la Wikipedia en inglés, y tres de las obras más conocidas de Escher tomadas de esta misma web:

  

• Mini-biografía de M. C. Escher en Microsiervos.
• M. C. Escher: The Official Website.
• Escher Granada: página web de la exposición dedicada a M. C. Escher que actualmente se encuentra en Granada (granadinos, no os la podéis perder).
• Muchas imágenes de obras de Escher vía Google.

Por todo esto, decir de alguien que podría ser el nuevo Escher 40 años después de la muerte de éste es algo fuerte. Pero el caso lo merece.

Rinus Roelofs es un matemático y escultor holandés nacido en 1954. Antes de estudiar Matemáticas estudió en una academia de arte, especializándose en escultura. Es uno de los pocos casos que se conocen de matemáticos que viven de esta rama del arte. Actualmente trabaja en Hengelo (Holanda) centrado en la investigación en nuevos diseños y estructuras, por los que se ha ganado una enorme reputación en círculos científicos donde está considerado como el sucesor de M. C. Escher.

Y es que es cierto que las obras de Roelofs recuerdan en cierto sentido el estilo de las obras de Escher. Su simetría y su, en ocasiones, paradójica estructura trae a nuestra mente una sensación parecida a la que nos inunda cuando contemplamos una obra escheriana. Aquí os dejo unos cuantos ejemplos:

Maravilloso, ¿verdad? Pues hay muchísimas más en la web de Rinus Roelofs, y también pueden verse muchas de estas pequeñas maravillas de la escultura utilizando el buscador de imágenes de Google.

Quizás sea algo temerario comparar a Roelofs con Escher. Es posible. Y puede que ni siquiera puedan compararse, al tratarse de dos campos distintos, escultura y dibujos. No lo niego. Pero solamente os pido que olvidéis este pequeño detalle, os invito a que borréis de vuestra mente que lo que tenéis delante es una escultura o un grabado e intentéis absorber la esencia misma de cada obra. Así las disfrutaréis mucho más y, espero, encontraréis relaciones y similitudes interesantes entre estos dos genios.

Rinus Roelofs. No olviden este nombre. No le pierdan la pista.

Rinus dio una conferencia en Imaginary Valencia hace un par de días, el pasado lunes 30 de enero, titulada “Single Surface Strutures”, dentro de la jornada de Arte y Matemáticas ARTiMAT

Las imágenes de las obras de Rinus Roelofs se han tomado de su web. La foto del propio Roelofs se ha tomado de aquí.

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