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Elettronica di Potenza - Sistemi di elettronica di potenza - (Cap. 1)

knowledgecenter — Sun, 05 Apr 2015 17:14:11 +0000

1.1 Introduzione

L'elettronica di potenza ha l'obiettivo di gestire e controllare il flusso di energia elettrica fornita dalla rete elettrica, monofase o trifase, adattando la potenza di uscita (tensione e corrente) in maniera ottimale per il carico.

Fig. 1.1 : sistema di conversione di potenza

Considerando l'uscita del sistema di potenza come un generatore di tensione, la corrente di uscita e lo sfasamento tra questa e la tensione dipendono dalle caratteristiche del carico. Normalmente un controllore, in anello chiuso, confronta l'uscita del sistema di conversione con un valore desiderato (riferimento) e l'errore tra i due è reso minimo dal controllore stesso.

Il flusso di potenza attraverso questo sistema può essere reversibile, cioè può essere trasferito dall'ingresso all'uscita o viceversa, a seconda della tipologia di convertitore e dell'applicazione usata.

1.2 Differenze tra Elettronica lineare ed Elettronica di potenza

In generale, in ogni processo di conversione di potenza ci si preoccupa a limitare le perdite di potenza per aumentare il rendimento energetico. Tutto ciò deve far fronte al costo dell'energia, alla difficoltà di asportare il calore dissipato per effetto Joule e alle dimensioni dei dispositivi presenti nel circuito.

Supponiamo di considerare l'alimentatore in continua (dc: direct current) della fig. 1.2 che fornisce ad un carico una tensione regolata :

Al fine di isolare elettricamente l'ingresso con l'uscita, un trasformatore a frequenza di rete interfaccia la rete elettrica con il resto del circuito riducendo opportunamente la tensione di linea. In fase progettuale si dimensiona opportunamente il rapporto spire del trasformatore in modo tale che il valore minimo di , istante per istante, risulti sempre maggiore della tensione d'uscita desiderata . Il raddrizzatore converte la corrente alternata (ac: alternate current) di uscita dall'avvolgimento secondario del trasformatore in corrente continua, mentre il condensatore di filtro completa l'opera riducendo il ripple della tensione continua . Nello stadio successivo, un transistore è interposto tra e al fine di sostenere la loro differenza di tensione e provvedere alla regolazione della tensione di uscita. Esso funziona in zona attiva come un resistore variabile e ne consegue un basso rendimento energetico.

Nell'elettronica di potenza la tensione di linea è convertita in una tensione di uscita continua senza usare un trasformatore alla frequenza di rete, come si nota dalla fig. 1.3a. Facendo funzionare il transistore come un interruttore (completamente on o completamente off) ad una frequenza piuttosto elevata (per esempio a 300 KHz), la tensione continua è convertita in una tensione alternata con la frequenza uguale a quella di commutazione. Ciò permette di usare un trasformatore ad alta frequenza per abbassare la tensione e per ottenere un isolamento elettrico.

Per un'analisi più facilitata si consideri il circuito semplificato della figura 1.3b dove si è tralasciato il trasformatore ad alta frequenza.

A condizione che , possiamo affermare che l'insieme del diodo-transistore può essere rappresentato con un ipotetico interruttore a due posizioni, come si evince dalla fig. 1.4a. L'interruttore è nella posizione a durante il tempo (transistore in stato on) e in posizione b durante il tempo (transistore in stato off). Di conseguenza è uguale rispettivamente a nel tempo ed è uguale a zero nel tempo .

Poniamo

dove è il valore medio (componente continua) di e è la tensione istantanea di ripple, che ha un valore medio nullo, fig. 1.4c.

Gli elementi L-C (induttore-condensatore) formano un filtro passa-basso che riduce il ripple nella tensione di uscita e lascia passare solo il valore medio della tensione di ingresso, per cui si ha

dove è il valore medio della tensione di uscita. Dall'andamento ripetitivo della fig. 1.4b, si vede che

Il rapporto prende il nome di duty cycle dell'interruttore, mediante il quale è possibile regolare se varia.

Esiste certamente una perdita di energia ogni volta che il transistore passa da uno stato all'altro attraversando la sua zona attiva, ma essa è decisamente piccola. Inoltre, l'energia persa a causa delle commutazioni è direttamente proporzionale alla frequenza di commutazione ed è normalmente molto inferiore a quella che si ha negli alimentatori con regolazione lineare.

Si dimostra che è composta da un valore medio di tensione (componente continua) e da componenti armoniche che hanno una frequenza multipla di quella di commutazione (fig. 1.4d); se questa è elevata, le componenti alternate possono essere eliminate con un piccolo filtro per ottenere la tensione continua desiderata. La scelta della frequenza di commutazione è determinata da un compromesso tra le perdite di commutazione nel transistore, che crescono con l'aumentare della frequenza, e il costo di trasformatore e filtro, che invece diminuisce.

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Fondamenti di Automazione - Stabilità di un sistema (Cap. 5)

knowledgecenter — Tue, 24 Mar 2015 20:47:16 +0000

5.0 La stabilità secondo Liapunov

La nozione di stabilità è un argomento piuttosto importante nella Teoria dei sistemi e ci è pervenuta dal matematico russo A.M. Liapunov alla fine del XIX secolo. In particolare, essa sostanzialmente richiede che "piccole" perturbazioni dello stato iniziale rispetto ad un valore di riferimento provochino solo "piccole" perturbazioni del movimento dello stato, eventualmente destinate ad annullarsi per tempi sufficientemente lunghi.

L'importanza di questa proprietà è esaltata dal fatto che, di solito, non si conosce a priori lo stato iniziale di un sistema, né è possibile misurarlo. Succede, inoltre, che il sistema sia soggetto a perturbazioni esterne, anche di breve durata ed elevata intensità, dove risulta davvero difficile studiare il comportamento del sistema durante l'azione delle perturbazioni stesse, mentre diventa relativamente facile eseguirli a partire dall'istante in cui esse cessano.

5.1 Stabilità dell'equilibrio

Per un sistema dinamico tempo-invariante, si considerino un ingresso costante e un corrispondente stato di equilibrio , detto nominale. Si consideri anche un movimento dello stato , detto perturbato, generato a partire ancora da , ma da uno stato iniziale (in generale diverso da ). Si può, allora, dare la seguente definizione:

Definizione (5.1): Uno stato di equilibrio si dice stabile se, per ogni

, esiste un

tale che per tutti gli stati iniziali

che soddisfano la relazione

risulti

per tutti i .

Più precisamente, scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile in un qualunque istante di tempo tra il movimento perturbato e l'equilibrio nominale, quest'ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, a patto di prendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo all'equilibrio nominale.

Definizione (5.2): Uno stato di equilibrio

si dice instabile se non è verificata la definizione (5.1).

La proprietà di stabilità può essere rafforzata richiedendo anche che il movimento perturbato tenda all'equilibrio nominale per . Ciò è specificato dalla seguente definizione di stabilità:

Definizione (5.3): Uno stato di equilibrio

si dice asintoticamente stabile se, per ogni

, esiste un

tale che per tutti gli stati iniziali

che soddisfano la relazione

risulti

per tutti i e inoltre

Regione di attrazione: In corrispondenza di un certo ingresso fissato, il sistema potrebbe essere dotato di più stati di equilibrio con differenti proprietà di stabilità. Per ognuno di quelli asintoticamente stabili esisterà un insieme di stati iniziali che si dicono costituire la regione di attrazione dello stato di equilibrio e generano movimenti perturbati convergenti asintoticamente allo stato di equilibrio stesso.

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Fondamenti di Automazione - Trasformata di Laplace e sue proprietà (Cap. 4)

knowledgecenter — Tue, 23 Dec 2014 12:21:42 +0000

4.0 Premessa

La "Trasformata di Laplace", che tratteremo in questo capitolo, è un argomento che riguarda molto più da vicino il mondo della Matematica e delle scienze di base, nonché trattasi di un argomento molto vasto e troppo oneroso per i nostri fini. Nel nostro caso ci limiteremo a delineare gli aspetti teorici principali che possano risultare, al contempo, semplici e utili a risolvere il problema che, poco avanti, vi porremo. Per ciò che concerne Fondamenti di Automazione, conoscere il Teorema di Laplace, le sue proprietà servirà ad "aggirare" questo problema, in modo da semplificarci dei calcoli che, altrimenti, sarebbero parecchio complicati. In generale, quindi, sarebbe consigliato soffermarsi un po' su questo argomento, prima di andare avanti con la lettura dei capitoli successivi, chiarire bene questi concetti e approfondire se lo riterrete necessario.

4.1 Il "problema" di fondo

Seguendo il filo logico del capitolo 3, abbiamo già tutti gli elementi necessari per risolvere un qualunque sistema lineare. Supponiamo, a tal fine, di avere il circuito della figura 4.1:

fig. 4.1: circuito RLC serie

Da questo circuito vogliamo ricavare la forma temporale dello stato, servendoci della formula di Lagrange. Per fare ciò dobbiamo stabilire le variabili di stato, l'ingresso e l'uscita di questo sistema. Supponiamo, a titolo di esempio

Dove con si intende la tensione ai capi del condensatore C, mentre con indichiamo la corrente che attraversa il circuito. Sapendo che tale corrente scorre anche sul condensatore e sull'intero circuito, possiamo scrivere

Per ottenere la possiamo partire dall'equazione di Kirchhoff dell'unica maglia presente, ovvero

da cui si ottiene

Decidiamo infine di porre in maniera arbitraria. Così facendo si ottiene la rappresentazione di stato:

Per trovare abbiamo bisogno delle matrici , , , , vale a dire:

A questo punto, utilizzando la formula di Lagrange (3.1) per sistemi tempo-continui, possiamo scrivere

Chiaramente, come potete ben capire, non è per nulla semplice risolvere la (4.8) e, anche provandoci, il calcolo risulterebbe troppo lungo e oneroso.

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Trasformata di Laplace della funzione "rampa"

knowledgecenter — Tue, 23 Dec 2014 12:09:13 +0000

Sia

Sapendo, tramite la regola di derivazione, che

vale a dire

In virtù di ciò, possiamo calcolare la trasformata di Laplace della funzione rampa in questo modo:

Iterando, si ottiene

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Trasformata di Laplace di seno e coseno

knowledgecenter — Tue, 23 Dec 2014 11:41:30 +0000

a

Siano

Sapendo che

da cui

Possiamo calcolare la Trasformata di Laplace per le funzioni seno e coseno in questo modo:

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knowledgecenter — Tue, 23 Dec 2014 11:01:43 +0000

Sia

La trasformata di Laplace di un segnale esponenziale è

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knowledgecenter — Mon, 22 Dec 2014 20:07:26 +0000

Sia

La trasformata di Laplace del gradino è

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Trasformata di Laplace dell'impulso

knowledgecenter — Mon, 22 Dec 2014 19:58:09 +0000

Sia

Sapendo che

e, inoltre, che

;

Allora la Tasformata di Laplace dell'impulso è

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Fondamenti di Automazione - Soluzione dell'equazione di stato (Cap. 3)

knowledgecenter — Wed, 17 Dec 2014 16:02:20 +0000

3.1 Formula di Lagrange

Consideriamo la rappresentazione di stato (2.6) nel capitolo 2, ovvero

In questo sistema dinamico lineare, tempo-continuo e tempo-invariante, la prima equazione rappresenta l'equazione di stato. Assumendo che l'istante di inizio osservazione sia , quale sarà la soluzione che ci fornirà ? La risposta è già risaputa, ovvero

Corrispondentemente il movimento dell'uscita sarà:

Allo stesso modo per un sistema dinamico lineare, tempo-invariante ma tempo-discreto del tipo

la soluzione dell'equazione di stato sarà

con il relativo movimento dell'uscita, ovvero

La (3.1) e la (3.3) sono usualmente denominate formule di Lagrange, rispettivamente per un sistema tempo-continuo e per un sistema tempo-discreto.

Dimostrazione della formula di Lagrange per un sistema tempo-continuo Seleziona Mostra

Verifichiamo che la (3.1) è soluzione del sistema (2.6):

Utilizzando la regola di derivazione di un prodotto e scomponendo dentro l'integrale si ha:

Adoperiamo ancora una volta la regola di derivazione del prodotto sul secondo addendo e otteniamo

...vale a dire

Dimostrazione della formula di Lagrange per un sistema tempo-discreto Seleziona Mostra

Verifichiamo la validità della (3.3) per il sistema (2.19):

Iterando fino a (equivalente di ) si avrà

vale a dire

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knowledgecenter — Mon, 06 Oct 2014 16:51:15 +0000

Come si è visto nel Capitolo 1, per poter affrontare in modo specifico e puntuale alcuni problemi di controllo è necessario avere a disposizione rigorosi modelli matematici riguardanti i componenti dei sistemi di controllo. In questo capitolo affronteremo nello specifico i sistemi dinamici, che sono i modelli matematici più usualmente utilizzati nelle applicazioni pratiche, insieme alle loro proprietà.

2.1 Definizione di Sistema dinamico e sue proprietà

Fig. 2.1: Sistema dinamico

Un sistema dinamico è un modello matematico rappresentato in maniera schematica in fig. 2.1. Esso è caratterizzato da un totale di 6 insiemi e 2 funzioni di cui riconosciamo:

Insieme delle variabili di ingresso U: rappresentano le azioni compiute sul sistema in esame da agenti esterni che ne influenzano il comportamento.

Insieme delle variabili di uscita Y: rappresentano quanto del comportamento del sistema stesso è di interesse per i nostri scopi.

Insieme delle variabili di stato X: descrivono la situazione interna del sistema.

Insieme delle funzioni ammissibili in ingresso Ω: le forme d'onda che il sistema può supportare in ingresso.

Insieme delle funzioni ammissibili in uscita Γ: le forme d'onda che il sistema può supportare in uscita.

Insieme dei tempi T: l'insieme che regolamenta la dipendenza dei parametri interni del sistema dal tempo (numeri reali, naturali, ecc...). Se T⊆R allora si parla di sistema tempo-continuo, se T⊆N allora si parla di sistema tempo-discreto.

Funzioni: le due funzioni che regolano il comportamento del sistema sono la transizione di stato (2.1) e la trasformazione di uscita (2.2):

dove riconosciamo:

= tempo (o istante) iniziale

= stato iniziale

= ingresso

L'equazione (2.1) definisce l'evoluzione dello stato per , in corrispondenza di ogni terna costituita da un istante iniziale , una funzione di ingresso , e una condizione iniziale . La funzione si dice movimento dello stato del sistema. L'equazione (2.4) permette invece di determinare l'evoluzione dell'uscita per , in corrispondenza della funzione di ingresso e dell'andamento dello stato per . La funzione va sotto il nome di movimento dell'uscita.

2.1.1 Proprietà della x(t)

Ci garantisce che, valutando lo stato in possiamo risalire alla condizione iniziale del sistema, ovvero

Se nulla si può dire riguardo al sistema, che resta definito .

Per valutare il sistema in posso usare condizioni iniziali relative a , con , ovvero

Date due funzioni di ingresso e appartenenti a , identiche nell'intervallo si ha che

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