Matemáticas de cuchufleta

estamos de mudanzas

2011-06-17T23:09:00.003+02:00

He creado un nuevo blog, llamado matEHUmor en el que continuaré con mis entradas. Su dirección es http://www.ehu.es/ehusfera/matehumor/

Encriptando sin cesar

2007-06-08T07:03:00.011+02:00

Uno de los métodos más antiguos para cifrar mensajes es el llamado criptosistema de César. El nombre del mismo es debido a que Julio César lo usaba en sus campañas (las de guerra, no las electorales aunque, bien pensado, viene a ser lo mismo) para comunicarse con sus generales sin que nadie más pudiera enterarse del contenido del mensaje. El método que usó era muy simple pero ingenioso, cualidad rara en un militar (la de ingenioso; la de simples, en cambio, la tienen en abundancia, antes y ahora): se disponen las letras en círculo (incluyendo en el alfabeto, posiblemente, signos de puntuación y el espacio en blanco que separa las palabras), de forma que a la "z" le sigue el espacio en blanco y al espacio en blanco le sgue la "a", cerrando el círculo, lo cual siempre me ha parecido una frase estúpida, ya que mientras no se cierra del todo no es un un círculo, ¿o no? Después, a este círculo se le superpone un círculo menor, también con todas las letras dispuestas a lo largo del mismo, de forma que cada letra del círculo pequeño aparece debajo de la misma letra del círculo grande, como se ve en la primera figura de abajo. Después se hace girar el círculo pequeño hacia la derecha (o el grande hacia la izquierda, si le gusta a usted llevar la contraria) de forma que ahora los dos alfabetos aparezcan desplazados (corridos el uno respecto del otro, pero para no dar lugar a que hagan ustedes el chiste fácil usaré mejor el término "desplazados"), como podemos ver en la segunda figura de abajo. Ahora, para cifrar el mensaje, se coge (cambien aquí tambien por pudor mis lectores latinoamericanos el término por "se toma") cada letra del mensaje y se cambia por la letra del círculo pequeño que se corresponde con la letra del mensaje en el círculo grande, repitiendo esta operación hasta que el pollo esté dorado; perdón, hasta que hayamos terminado con todas las letras del mensaje. Por ejemplo, si trasladamos la rueda pequeña una unidad hacia la izquierda, la "a" se corresponde con la "b", la "b" con la "c" y así sucesivamente, hasta que, finalmente, la "z" se corresponde con el espacio en blanco y el espacio en blanco se corresponde con la "a". De esta forma, si queremos ocultar el mensaje "La lluvia en Sevilla es una pura maravilla", el correspondiente mensaje en clave sería "mbammvwjbafñatfwjmmbaftavñbaqvsbanbsbwjmmb" (no, no me he desmayado sobre el teclado, eso es lo que sale).
El criptosistema de César, en realidad, es muy fácil de romper, es decir, de trampear para saber cuálera el mensaje original. El truco del almendruco está en que, en cada idioma, cada letra tiene una frecuencia característica, de modo que si disponemos de una buena provisión de letras en el mensaje cifrado, es posible hacer una buena estimación de la frecuencia teórica de cada letra y así "adivinar" con qué letra del mensaje no cifrado se corresponde cada letra del mensaje cifrado, o si no es posible hacer esto para todas las letras, por lo menos conseguirlo con algunas de ellas por el contexto o a base de dar patadas en los cataplines a alguien que sí sepa la clave (la clave, aunque no lo he dicho antes, es el número de posiciones que se ha girado la rueda. Este dato sirve para recuperar el mensaje original. Para ello, habría que seguir el proceso inverso, girando la rueda el mismo número de posiciones pero en la otra dirección y viendo qué letra de la rueda pequeña se corresponde con cada letra del mensaje cifrado en la rueda grande. La clave es un dato secreto que sólo lo saben tres personas: el emisor del mensaje, el receptor del mensaje y la portera del edificio.)
Pese a lo poco seguro del sistema de César, éste tiene el encanto de que es uno de los métodos precursores de la criptografía moderna, de la cual quizás hable otro día.

Antes de...
Después de...

No es conmutativo

2007-04-27T21:55:00.000+02:00

Todos sabemos que el orden de los sumandos no altera la suma, y también que el orden de los factores no altera el producto. Esto quiere decir que la suma y la multiplicación de números cumplen la propiedad conmutativa. Hay algunas operaciones abstractas, además de la suma y el producto numéricos, en las que nos da el mismo resultado si operamos un elemento a con un elemento b o si operamos b con a, es decir, que el resultado de la operación no cambia si damos la vuelta a los elementos (¡dar la vuelta al orden en que los operamos, no ponerlo boca abajo!). Cuando ocurre esto se dice que la operación cumple o satisface la propiedad conmutativa. ¡¡¡PERO CUIDADO!!!, no todo en la vida cumple la propiedad conmutativa, como muestra la conocida adivinanza de en qué se diferencia el miedo del pánico: miedo es la primera vez que no puedes por segunda vez...pánico es la segunda vez que no puedes por primera vez. En fin, que no sé si éste es un problema de potencias o de impotencias; afortunadamente, yo todavía no he experimentado ni el miedo ni el pánico, y cuando llegue el momento, pues bueno, para eso está el viagra.

Einstein y la realidad

2007-04-18T22:59:00.000+02:00

Hay una famosa cita de Einstein sobre las matemáticas, que dice algo así como "Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad". Probablemente (¡seguramente!) esta frase ha alimentado el tópico de que las matemáticas no sirven para nada. Yo creo que lo que quiso decir Einstein era que cuando un modelo matemático se aplica para explicar una teoría física, éste es razonablemente válido tan sólo hasta que ésta es reemplazada por otra teoría más exacta y que explica mejor los fenómenos observados, es decir, que las teorías físicas tienen fecha de caducidad, como las latas de sardinas, aunque teorías "superadas", como la mecánica clásica de Newton, sigan teniendo aplicabilidad a escalas pequeñas de tiempo, de masas, de velocidades, etc.

Aunque no puedo evitar pensar maliciosamente que quizás es que en el fondo les tenía un poco de inquina a las matemáticas, a pesar que detrás de la teoría de la relatividad subyacen una buena cantidad de matemáticas avanzadas y difíciles.

Además de la ya citada, otra famosa frase filosófico-humorística sobre la realidad, atribuída a Locke y también a Hegel, dice "Si la realidad no coincide con mis palabras, peor para la realidad". Si no están de acuerdo, ¡peor para ustedes!

La explicación de la implicación

2007-04-13T17:07:00.000+02:00

En la lógica matemática, una proposición es una sentencia que puede ser verdadera o falsa, como por ejemplo "2 y 2 son 5" o "Yo soy el hombre más guapo, simpático y modesto del mundo" (la primera es evidentemente falsa, y la segunda verdadera). Las prosiciones se suelen representar a veces mediante letras, como por ejemplo y . A partir de dos proposiciones y se puede formar una tercera proposición (que se lee implica ). Esto viene a ser lo que intuitivamente entendemos como que " es consecuencia de ", o que " se deduce de ", o que, "si , entonces ", una especie de "causalidad", ¡pero cuidado!, que en algunas cosas la definición matemática rigurosa de la implicación se distancia radicalmente de lo que a veces nos puede llevar a pensar equivocadamente la intuición, o cuando menos del sentido habitual que le damos a la implicación en la vida cotidiana. Me explico: como dije al principio, una proposición tiene que ser verdadera o falsa, y lo que lo que realmente nos interesa saber( aparte de cuál va a ser la quiniela ganadora la próxima semana) es cuándo la proposición "compuesta" es verdadera y cuándo es falsa. La definición matemática es que es verdadera siempre excepto cuando es verdadera y es falsa, es decir, que la única manera de "falsificar" la proposición es que se dé pero no se dé . Esto no siempre concuerda, como ya mencioné, con la idea "popular" que se tiene de la implicación. Por ejemplo, de la proposición "Si llueve, abro el paraguas", todos convendremos que si se pone a llover y tenemos un paraguas a mano (o a algún transeúnte cerca al que robárselo) lo más prudente es abrir el paraguas. Sin embargo, si hace un sol de justicia y abrimos el paraguas, no pasarán más de cinco minutos antes de que nos lleven al manicomio, a pesar de que, en el sentido matemático estricto, la proposición "Si llueve, entonces abro el paraguas" es cierta cuando hace sol pero aun así abro el paraguas.

El chiste, ya un clásico, que voy a contar ahora ilustra también esta diferencia de entender la implicación según se vea desde el punto de vista "matemático" o del "de andar por casa"

Se encuentran dos amigos:
-¡Hombre, Juan, cuánto tiempo sin verte!, ¿de dónde vienes?
-Hola, Pedro, vengo de mi casa, de leer el blog de las "Matemáticas de Cuchufleta". Allí he aprendido cosas muy interesantes sobre la lógica y la implicación.
-¿La lógica?¿Y qué es eso?
- Pues mira, te lo voy a explicar con un ejemplo, ¿tú tienes pecera?
-Sí, tengo una pecera muy bonita.
- Y eso es porque te gustan los peces...
-¡Claro, si no no me la habría comprado!
- Y si te gustan los peces, por extensión te gustan los animales.
- Pues sí, me gustan los animales.
- Y si te gustan los animales, te tiene que gustar la naturaleza.
-¡Claro que me gusta la natruraleza!
- Al gustarte la naturaleza, seguro que aprecias la belleza.
- ¡Por supuesto, adoro la belleza!
- Y, finalmente, si te gusta la belleza te gustarán también las mujeres.
- Me gustan más que comer con los dedos, ahí sí que has acertado. ¡Oye, qué gran invento es esto de la lógica!, no sabía que se podían saber tantas cosas utilizando la deducción.

Pedro se marcha contentísimo con su nuevo descubrimiento y, poco después, ve a otro amigo suyo. Incapaz de contener las ganas de hablar de su nuevo descubrimiento, corre a hablar con él.

- ¡Hombre, Oscar, qué alegría de verte!
-¡Hola, Pedro!, ¿cómo así estás tan contento?
- Porque hoy he aprendido lo que es la lógica.
- ¿La lógica? No sé lo que es eso.
- No te preocupes, yo te lo explico con un ejemplo, ¿tienes pecera?
- Pues no, no tengo pecera.
- ¡Entonces eso es que eres gay!

Origen de la imagen: http://elcajondesastre.blogcindario.com/2006/02/00377-cuestion-de-logica.html

Latex en blogger

2007-04-12T23:57:00.000+02:00

A pesar del título no voy a hablar en este post de sadomasoquismo, sino de cómo los usuarios de blogger pueden beneficiarse de las ventajas del editor de textos matemáticos "Latex" (que, en realidad, es un dialecto del "Tex", más básico pero también más flexible), con el que se pueden representar fácilmente complicadas expresiones y fórmulas matemáticas repletas de subíndices, exponentes, signos de integral y demás galimatías matemáticos. Después de mucho buscar una forma sencilla de usar el latex en mi blog, he encontrado por fin la solución en la dirección http://wolverinex02.googlepages.com/emoticonsforblogger2 a través de un script que es fácil y rápido de instalar. Ahora es fácil incluír fórmulas como , con lo que el contenido matemático del blog mejorará (al menos su aspecto visual, porque lo que se dice el contenido será igual de mierdoso que siempre).

Cifras y letras

2006-09-24T11:42:00.000+02:00

Seguro que habrán visto ustedes muchas veces en internet páginas en las que les piden que introduzcan una serie de letras y números que aparecen en un recuadrito y que parecen dibujadas por George Bush o por un niño de cinco años.

Esos recuadritos los verá cuando quiere dar de alta una página suya para que aparezca en un buscador, o cuando abre una cuenta de correo electrónico gratuita, o en muchas otras circunstancias que no enumeraré exhaustivamente por no aburrirle y, sobre todo, porque no las conozco.

El propósito de hacer esto es evitar que programas robots hagan estas operaciones automática y masivamente sin que haya un humano de carne y hueso detrás (o de carne, hueso y silicona). Por ejemplo, en el caso de las altas en buscadores, hay programas especializados en la promoción de páginas web en los que usted introduce unos datos básicos, como el título, URL, descripción del contenido de la página, palabras clave y correo electrónico del autor, y el programa automáticamente registra su página, con esos datos, en un montón de buscadores distintos, con lo que le ahorra el trabajo de hacerlo usted a mano, lo cual le ocasionaría un aburrimiento mortal y un ataque agudo de tendinitis. Así que los portales y buscadores se previenen de esto pidiéndole que usted introduzca esas cifras y letras a mano. La primera pregunta que surge es: si a los directivos de la empresa del buscador les interesa que su página o sitio web aparezca en su directorio independientemente de que haya hecho usted el registro en persona o utilizando uno de estos programas-robots, ¿entonces qué sentido tiene el andar tocando los cojones con las letritas de marras? Eso, amigos, es y seguirá siendo un misterio. Yo les adelanto una hipótesis...¿está realmente detrás de todo esto la asociación de especialistas en tendinitis?

La segunda pregunta que surge, detrás de la primera como debe ser, porque si no no sería la segunda, es la de por qué el tener que copiar las letras que usted ve en el recuadro evita que un programa pueda introducir los datos por usted. La respuesta a esto es que ES DIFÍCIL RECONOCER LETRAS ESCRITAS. Quizás usted no esté de acuerdo con esta afirmación. Al fin y al cabo, lleva reconociéndolas perfectamente bien y a la primera desde que era pequeñito (si tuviera usted que corregir un taco de exámenes periódicamente seguramente pensaría de otro modo). El hecho es es que usted le lleva cierta ventaja en eso a un ordenador, ya que su cerebro se ha ido desarrollando a lo largo de miles de años de evolución (el suyo en concreto no tantos años, a no ser que sea usted Mick Jagger, sino el de la especie). Un ordenador le dará cien mil vueltas en hacer cálculos a velocidad de vértigo o en mostrar fotos de Pamela Anderson, pero usted le superará en tareas que requieran una visión global de conjunto, como reconocer una melodía, o una fotografía (¿la misma que le mostró el ordenador?) o en captar el sentido de un texto que esté leyendo. Así que, en el caso concreto de reconocer letras a partir de sus trazos dibujados en un papel o en la pantalla, usted le gana con creces a un programa informático.

El problema es que las máquinas nos quieren hacer la competencia también en este terreno; hay una rama de la ciencia, la inteligencia artificial, que busca implementar en máquinas el tipo de inteligencia propio del ser humano. Uno de los primeros problemas que resolvió la inteligencia artificial fue precisamente el reconocimiento de caracteres, y en particular de letras y números. Ello fue posible, cómo no, gracias a la inestimable ayuda de las matemáticas (¿hay algo en lo que no estén presentes?), a través de unos dispositivos llamados redes neuronales. Las redes neuronales "imitan" el modo en que se coordinan las neuronas en el cerebro del ser humano. Las redes neuronales están formadas por unas neuronas artificiales, llamadas unidades de proceso, dispuestas en capas (normalmente, cuantas más capas haya, mayor es la complejidad de los problemas que puede resolver la red neuronal, es decir, la inteligencia de "la cosa", aunque en realidad esto es simplificar demasiado el tema, que en realidad es más complicado, pues una superabundancia de capas y unidades de proceso puede dar lugar al fenómeno no deseado del sobreentrenamiento), cada una de las cuales recibe "entradas" de otras neuronas que pueden estar en distintos niveles de actividad, desde totalmente apagadas hasta completamente activas. Las neuronas, ademas de las "entradas", también tienen una "salida" que se puede propagar a su vez a otras neuronas. Para calcular la actividad de salida se integran las actividades de entrada a través de una función de propagación (¡¡¡más matemáticas!!!), que suele ser una media ponderada a través de ciertos pesos de las actividades de entrada. Esta media ponderada se pasa después por el tamiz de una segunda función de activación y ¡voilà!, ya tenemos la actividad de salida. El modo en que se conectan unas neuronas con otras a través de dichas entradas y salidas se realiza a través de un proceso de "aprendizaje", en el que las conexiones entre neuronas se van estableciendo progresivamente a través del proceso de aprendizaje de forma que la red neuronal responda de la forma más parecida a la deseada o a la correcta (¡que no siempre es lo mismo!) que sea posible. El proceso de aprendizaje se lleva a cabo utilizando distintos algoritmos matemáticos, uno de los más populares de los cuales es el método del mínimo gradiente de cambio.

Asi que, ¡¡¡PELIGRO!!!, el sistema de las letras y números puede ser burlado con un poquito de inteligencia artificial. ¿Cuál es la solución? Ponérselo un poquito más difícil a la inteligencia artificial, de forma que se ponen en práctica, como usted ya habrá observado por sí mismo, las más maquiavélicas variantes para burlar a los programas-robots. Unas pocas de estas variantes son las siguientes: se mezclan mayúsculas con minúsculas, se tuercen las letras a derecha e izquierda, se meten entre una nube de puntos aleatoriamente dispuestos, se añaden líneas cruzadas para despistar...

¿Y tiene éxito esta estrategia? sí que lo tiene...¡Tiene DEMASIADO éxito! tanto es así que todos hemos tenido la desagradable experiencia (yo por lo menos sí que la he tenido, no sé ustedes) de meter los susodichos caracteres para después obtener un mensaje de error que dice que los caracteres introducidos no son correctos. En el segundo intento se vuelve a obtener el mismo mensaje de error, y al tercero...al tercero se les manda al carajo definitivamente, se le hace un corte de mangas a la pantalla y se va uno al cine.

Lo redondo gusta

2006-09-21T18:13:00.000+02:00

Por fin el contador de visitas de mi blog ha superado la mágica cifra de 1000 entradas. Corriendo un tupido velo sobre el hecho de que la mitad o más de ellas han sido visitas de mí mismo (parafraseando a Unamuno, soy el fan de mi propio trabajo que tengo más a mano), no deja de llenarme de orgullo y satisfacción, sobre todo por lo que me ha costado llegar a esa cifra. Quizás pase como con las grandes fortunas, que dicen que lo que más cuesta es hacer el primer millón, y de ahí en adelante los demás van llegando ellos sólos. Al hacer balance de mis primeras 1000 visitas a este blog creí, sobre todo en vista de los comentarios elogiosos que han enviado los lectores que el mismo era: brillante, agudo e ingenioso. Una consulta a mis amigos y familiares me ha mostrado en cambio que en su opinión es: aburrido, soez y misógino; pero qué se le va a hacer, aburrido o no ahí están las 1000 visitas, ¡que me quiten lo bailao!

Por lo general, el ser humano siente una especial fascinación por los números redondos, con uno o, si puede ser, con varios ceros detrás. Esto no deja de ser algo anecdótico, pues el que un número sea, según este criterio, "redondo", depende de algo tan arbitrario como que usemos un sistema de numeración en base diez. Por ejemplo, en base 5, el número 100 se escribiría como 244, que no sólo no es redondo sino que encima es de lo más corrientucho y anodino.

Se podrá uno preguntar el porqué de ese gusto por los números redondos (quizás los libros de Desmond Morris nos den una pista...) pero no se puede negar que existe. Fíjense, por ejemplo, en los premios de la lotería: no verán ningún premio gordo de 17458327 euros, que parecería más bien un número de teléfono que un premio; observará, en cambio, que siempre terminan en una suculenta cantidad de ceros, para atraer la avaricia del posible comprador de los décimos (hasta el propio término "décimos" indica un número redondo).

También los llamados milenaristas han pronosticado catástrofes con cada cambio de milenio, personas que vaticinaban que se iba a acabar el mundo al pasar de un milenio a otro; aqui hay que reconocer que, a decir verdad, hubo mucho más revuelo y catastrofismo en el año 1000 que en el 2000. La causa de esto puede ser que con la polémica de si el tercer milenio comienza en el 2000 o en el 2001 (está claro que es en el 2001, pero ese tema lo dejaremos para otro posteo) los agoreros y profetas hayan terminado cansados y sin ganas de profetizar.

Incluso, ese gusto por la redondez lo aprovechan los comerciantes y publicistas, pero en dirección contraria. Por ejemplo, es muy difícil, si no imposible, que en una tienda vea usted que algo cuesta 100 euros, o 1000 euros, o 10000 (haga la prueba, dese una vuelta por las tiendas y lo verá usted mismo o usted misma; la tarjeta de crédito le echará humo y pedirá clemencia, pero se dará cuenta); más bien, verá que las cosas cuestan 98 euros, o 970 euros, 0 9800 euros, y así sucesivamente. ¿POR QUÉ? Pues porque si le cobran un producto a 9800 euros, en realidad se lo están cobrando prácticamente a 10000, ya que 300 euros de diferencia frente a 10000 es relativamente poco (¡menos de una treintaava parte!) y es una pérdida de potencial beneficio que los comerciantes se pueden permitir a cambio de todas las ventas adicionales que van a hacer debido a que "parece" que están vendiendo el producto a un precio mucho más bajo, debido al efecto psicológico de que el tener una cifra menos hace que parezca que el precio es muuuuuuuuucho menor, cuando en realidad no es así. En este caso el comerciante "huye" de la redondez para que el precio llame menos la atención al comprador.

Sea como sea, los números redondos seguirán atrayendo a las personas mientras el hombre sea hombre (y la mujer mujer, para que no me sigan llamando machista); quizás sea una predisposición genética por simplificar y hacernos esquemas sencillos de las cosas.

El proceso

2006-09-20T13:10:00.000+02:00

Leí hoy, a medias entre la gracia y la preocupación, el siguiente posteo en el blog de "el diario de mundo visual":

Un alumno de 17 años ha demandado a su profesor de matemáticas y a su escuela porque le encargaron tareas para las vacaciones. Al muchacho el exceso de cálculos matemáticos le arruinó el descanso. “Se supone que cuando alguien está de vacaciones no tiene que hacer tareas”, reclamó.

Su argumento es que esta preocupación le impidió disfrutar de un
trabajo de 40 horas semanales que consiguió como consejero en un campamento de vacaciones. Larson visitó junto a su padre 16 despachos de abogados pidiendo asesoría, pero todos lo rechazaron. Hasta que halló uno.

La junta escolar y las autoridades del estado tacharon esta demanda
de “frívola”, puesto que obliga a las instituciones a preocuparse de
estupideces, según ellos. Incluso la fiscal de Wisconsin, Peggy Lautenschlager, amenazó, molesta, con que ella incluso podría abolir las vacaciones. El caso tiene otro precedente. Un absurdo profesor que demandó a una escuela, finalmente fue castigado por la justicia y obligado a pagar 3.000 dólares al estado.

Parece que antes, cuando les mandabas tareas, fallaban los alumnos, pero ahora también hay que contar con el fallo del jurado; visto como está el percal, yo por lo menos me curaré en salud y a partir de ahora sólo les mandaré tareas de punto de cruz y encaje de bolillos, por lo de las barbas de tu vecino...

Las partes de las matemáticas

2006-09-18T15:46:00.000+02:00

¿En cuántas partes se dividen las matemáticas? Bien, realmente no se puede hacer una clasificación cerrada y definitiva.
Tradicionalmente, las matemáticas "puras" se suelen dividir en tres áreas: "Álgebra", "Análisis Matemático" y "Geometría y Topología" (las "aplicadas" son harina de otro costal), y cada área a su vez comprende muchas disciplinas concretas. Dentro del álgebra, por ejemplo, tendríamos, entre otras, la teoría de grupos, la geometría algebraica (¿pertenecería ésta quizás a la Geometría?), la teoría de números algebraica, el álgebra conmutativa y muchas otras más...y lo mismo en las otras dos áreas. Ésta es la división tradicional, pero por supuesto que hay muchas materias que quizás no encajen muy bien en ninguna de las tres, o que anden a caballo entre más de una de ellas.

La UNESCO, por su parte, tiene establecida una clasificación más pormenorizada, universalmente aceptada, que se suele utilizar frecuentemente para clasificar la temática de artículos científicos publicados en revistas matemáticas, de tal manera que se puedan luego encontrar fácilmente dichos artículos según los gustos e intereses de cada uno en publicaciones como el "Mathematical Reviews", en la que uno puede estar al tanto de un vistazo sobre qué es lo último que se está cociendo en el mundillo matemático leyendo un breve resumen (un "review") de los artículos que más le interesen a cada uno (o una). En éste enlace pueden ustedes encontrar la clasificación de la UNESCO de las matemáticas (y también de otras ciencias que no tienen la suerte de formar parte de las matemáticas).

Otra clasificación más informal y erótico festiva de la ciencia puede encontrarse en la página http://ciencianet.com/chistesvarios.html, y es la que reproduzco a continuación:

Guía de bolsillo de la ciencia moderna :
1. Si es verde o repta, es biología
2. Si huele mal, es química
3. Si no funciona, es física.
4. Si no se entiende es matemáticas
5. Si no tiene sentido, es económicas o psicología.

cuéntame

2006-09-11T23:48:00.000+02:00

¿Cuántos divisores tiene un número natural dado? Primero, observemos que si un número n divide a otro número m, entonces tambiénel opuesto -n del número n divide a m, así que nos basta contar los divisores positivos y, si gusta (no, no le estoy invitando a comer) multiplicar el resultado por dos para tener en cuenta los divisores positivos y negativos. Empecemos con el caso más simple en el que el número es primo: ¿cuántos divisores tiene un número primo p? ¡pues dos!...¿cuántos quiere que tenga? uno es el uno (valga la redundancia) y el otro el propio p. Ahora pongámoslo un poco más difícil: ¿cuántos divisores tiene un producto de dos primos distintos p y q? En este caso la respuesta es 4: los 4 divisores de pq son 1,p,q y pq. Ahora supondrá usted que voy a tratar el caso de un producto de tres primos, ya casi me lo puedo imaginar cerrando el navegador y lanzando improperios contra mi humilde persona. ¡¡¡Pues NO!!!, pasaremos a analizar de un golpe el caso general en el que el número se descompone como producto de primos en la forma m=p₁^i₁ ... p_n^i_n. Los divisores de dicho número se descompondrán a su vez, como ocurre con todos los números naturales, como producto de primos. En dicha descomposición el exponente del primo p₁ no puede pasar de i₁, pues si en en un divisor de m el exponente de p₁ sobrepasara i₁, entonces al ser m igual a ese divisor multiplicado por algo, el exponente de p₁ en m también sobrepasaría i₁, pero dicho exponente es exactamente i₁, sin que sobre ni falte nada, así que no puede ocurrir que el exponente de p₁ en dicho divisor exceda i₁. Análogamente se demuestra que el exponente de p₂ no puede sobrepasar i₂ y así sucesivamente hasta el final. Es decir, que los divisores de m son de la forma p₁^j₁ ... p_n^j_n donde j₁ está entre 0 e i₁, j₂ está entre 0 e i₂, etcétera, etcétera, y finalmente, después de unos cuantos etcéteras, j_n está entre 0 e i_n. ¿Y cuántas formas posibles hay de elegir los "jotas"? Hay i₁+1 formas de elegir j₁, hay i₂+1 formas de elegir j₂ ... hay i_n+1 formas de elegir j_n, y el número de formas de elegir conjuntamente los "jotas" es el producto de dichas cantidades, es decir, (i₁+1)(i₂+1)...(i_n+1), que es el número de divisores que estamos buscando.
Veamos un ejemplo: ¿cuántos divisores tiene 320? Como 320=2⁶.5, en este caso el número de divisores es 7.2=14 Dichos divisores son de la forma 2ⁱ.5^j con i entre 0 y 6 y j entre 0 y 1. Ahora, con un poco de paciencia, se puede decir cuáles son los divisores: 1 (2⁰.5⁰),2 (2¹.5⁰),4 (2².5⁰),8 (2³.5⁰),16 (2⁴.5⁰),32 (2⁵.5⁰),64 (2⁶.5⁰),5 (2⁰.5¹),10 (2¹.5¹),20 (2².5¹),40 (2³.5¹),80 (2⁴.5¹),160 (2⁵.5¹) y 320 (2⁶.5¹).
Para dar una de cal y otra de arena hay que reconocer que el problema de descomponer un número en producto de primos no es sencillo de resolver para números grandes (por "grandes" quiero decir realmente grandes, del orden de varios centenares de dígitos o cuando menos del orden de mis deudas con el banco) y, hoy por hoy, no se conoce ningún algoritmo que permita factorizar un número sin emplear una cantidad indecentemente grande de tiempo.
Moraleja: la bonita fórmula que hemos encontrado para la cantidad de divisores de un número, en la práctica no mejora mucho el método de ir probando con todos los números menores que él e ir contando cuántos lo dividen, ¿pero y lo que nos hemos divertido?
Por último, un ejercicio para que no se aburran: ¿cuántos divisores tiene el número 68992000?

Medallas, medallitas y medallones

2006-08-27T00:29:00.000+02:00

El 22 de agosto se dieron a conocer los nombres de los cuatro matemáticos galardonados con las prestigiosas medallas fields. Las citadas medallas son, por así decir, como los premios Nobel de las matemáticas, y se conceden cada cuatro años a matemáticos con menos de cuarenta años que hayan realizado una destacada contribución a esta ciencia. Quizás se haya usted preguntado alguna vez por qué no hay premios Nobel de matemáticas. Hay un antiguo rumor al respecto entre los matemáticos que dice que, en su momento, el famoso matemático Noruego Mittag-Leffler tuvo un romance con la novia de Alfred Nobel; huelga decir que esto ocurría al mismo tiempo que salía con Nobel (la novia, no Mittag-Leffler), lo cual influyó en que éste dejara de lado las matemáticas en el reparto de premios (seguro que pensó que Nobel sí, pero novillo de ninguna manera). De todas formas lo anterior es sólo un rumor que mucha gente pone en duda (si no fuera algo a medio camino entre improbable e inverosimil puede apostar a que no aparecería en este blog dedicado al chisme y cotilleo matemático) .

Los cuatro premiados fueron Perelman, Okounkov, Tao y Werner. El primero de ellos, Perelman fue premiado porque, entre otras destacadas aportaciones matemáticas, consiguió demostrar la conjetura de Poincaré, que era uno de los llamados "siete problemas del milenio". La conjetura de Poincaré dice que toda variedad tridimensional inmersa en un espacio de cuatro dimensiones compacta y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera tridimensional (si lo único que ha entendido de la frase anterior es la expresión "esfera tridimensional", tengo malas noticias para usted: por "esfera tridimensional" se entiende aquí no los familiares balones de fútbol sino el "pellejo" que bordea a las bolas de cuatro dimensiones). La demostración rigurosa de la conjetura no se hizo hasta el año 2002, por el ya mencionado Perelman.

Lo curioso y sorprendente del caso es que Perelman rechazó el premio que se le otorgó; hasta aquí no tiene nada de raro, al fin y al cabo a mucha gente no le gusta llevar frak y pajarita, y le aburre aguantar larguísimos discursos, pero es que también RECHAZÓ EL PREMIO DE 15000 DÓLARES CANADIENSES, que al cambio vienen a ser unos 11000 euros. ¿Qué ocurrió?...¿Es Perelman en realidad un extraterrestre? ¿Fueron los efectos de un golpe de calor? En realidad parece ser que simplemente le gustan las matemáticas...le gustan hasta tal punto que están para él por encima del dinero y de la fama. Estamos tan acostumbrados a no reconocer que aun cuando no trabajemos exclusivamente por dinero sino porque nos gusta nuestro trabajo (esta afirmación sólo es del todo cierta en el caso de científicos, catadores de vinos y actores de cine erótico, pero se puede aplicar también en alguna medida a otras profesiones) en el fondo la motivación crematística (el "parné") ocupa un lugar no demasiado pequeño, que cuando oímos sobre casos como el de Perelman nos parece algo sorprendente. Todos decimos con la boca pequeña que despreciamos el dinero, sobre todo cuando no lo tenemos, lo cual es hacer de necesidad virtud, pero cuando llega el momento de demostrarlo, otro gallo canta. Así que, ¡bravo por Perelman!, y ojalá que se presente como candidato para alcalde de Marbella, que éste seguro que no le iba a meter mano al erario público. Un último apunte para terminar: el instituto Cley ofreció un premio de un millón de dólares a quien probara la conjetura de Poincaré. Si no se encuentra a última hora algún error en la demostración de Perelman, lo cual parece poco probable, entonces parece ser el candidato ideal a llevarse la pastizara, si es que no lo rechaza también. ¡¡¡Y YO JODIDO CON LA HIPOTECA!!!

Por sus formas los conocereis

2006-08-10T20:03:00.000+02:00

Mientras estaba navegando por la red y maldiciendo por estar aquí en mi casa en vez de estar de vacaciones en Cancún, Varadero, Punta Cana o por lo menos en Torremolinos, encontré un chiste sobre la explicación de porqué el siete se escribe con un palito transversal pequeño en la mitad. El chiste viene a decir más o menos que cuando Dios le estaba dando a Moisés las tablas de la ley y llegó al séptimo, "no fornicarás", Moisés dijo rápidamente: ese no, ese no, ánda, táchalo, porfa...
Nota: Como no estoy muy puesto en estos temas, he comprobado por si acaso en la red si efectivamente este es el séptimo mandamiento, y resulta que no, que no lo es: el séptimo es el de "no robarás", pero admitamos la licencia literaria en este caso.

Otro chiste clásico sobre las formas de los dígitos que he visto ya en muchos sitios de Internet y que he sacado de la página "Curioso pero inútil" es el siguiente:

-- En un examen de la LOGSE, un alumno escribe que 6+7=18. La evaluación del profesor es la siguiente: Comentario de la evaluación 1. La grafía del signo seis es del todo correcta. 2. Se puede apreciar lo mismo con el siete. 3. El signo más nos dice, acertadamente, que se trata de una suma. 4. En cuanto al resultado vemos que el uno es correcto. El segundo número, efectivamente, no es ocho. Bueno, si lo cortamos por la mitad de arriba abajo, observamos que el alumno ha escrito dos treses simétricos. Elegimos el bueno porque se ve que su intención era buena. Evaluación El conjunto de estas observaciones evidencia que: (a) La actitud del alumno es positiva (lo intentó) (b) Los procedimientos son correctos (los elementos están ordenados correctamente). (c) En conceptos sólo se equivocó parcialmente en uno de los seis elementos que forman el ejercicio. Esto es casi de sobresaliente. En Consecuencia podemos otorgarle un "Notable" y decir que "Progresa Adecuadamente".

"Muy" tendencioso

2006-07-11T09:57:00.000+02:00

En el número de Julio de la revista "muy interesante" aparece un artículo presentado como "Matemáticos ¡Qué tipos tan raros!" (El título del artículo en el interior de la revista, "Matemáticos: siempre montando el número", no arregla el agravio ni mucho menos ni deja mejor parada a tan ilustre profesión) Pueden ver el anuncio del artículo en el cuadradito verde de la izquierda (¡He dicho en el cuadradito verde, gorrino!). El artículo, amén de ser interesante en algunos aspectos, en otros en cambio presenta una imagen demasiado estereotipada del matemático como alguien a medio camino entre tipo raro y loco de atar, cuando en realidad hay bastante de eso en todas las profesiones. Por ejemplo, se cuenta en el mencionado artículo que el famoso lógico matemático Kurt Godel tenía la obsesión de que le iban a envenenar la comida y sólo comía lo que le cocinaba su mujer (es curioso, porque a la mayoría de la gente nos suele pasar justo lo contrario). Como dije antes, en todas las casas cuecen habas, y en muchas profesiones no científicas se dan con frecuencia casos de enfermedad mental, y supongo que es muy dudoso que haya una correlación significativa de las mismas con actividades laborales concretas. En cualquier caso, es un problema muy grave contra el que tiene que luchar toda la sociedad, matemática o no matemática.
Así que, visto lo visto, como la revista "muy interesante" siga en esa línea de descrédito y frivolidad, me voy a ver obligado a dejar de pedirla prestada a un amigo.

¿Matemáticos famosos o famosos matemáticos?

2006-06-28T17:15:00.000+02:00

Las matemáticas están repletas de grandes hombres y mujeres que han destacado por sus contribuciones; por nombrar a unos pocos podríamos citar a Newton, Leibnitz, Cauchy, Gauss, Hilbert, Dedekind, Zariski, o a matemáticos aún vivos como Andrew Wiles, que demostró el teorema de Fermat. La lista se haría demasiado larga para mencionarla, por no decir que no estaría claro el criterio de quién debería aparecer (por ejemplo quien envíe 100000 euros al autor de este post, por fijar un criterio al azar).

El problema es que si le preguntamos al común de los mortales quién es Dedekind, es muy probable que nos responda que un jugador de fútbol, y más ahora en plena efervescencia mundialera, o si le preguntamos acerca de Zariski seguramente apostará hacienda (quien la tenga en vez de padecerla) y caudales a que fue algún escapista o algún hipnotizador. Así que he decidido hacer de necesidad virtud y no hablar de los matemáticos famosos sino de los famosos matemáticos. Sí, aunque no se lo crean hay gente del mundo de la farándula y otras hierbas que se ha licenciado en ciencias matemáticas, y la mejor forma de que se convenzan es que les dé algunos ejemplos.
Seguro que todos conocen a Trotsky, uno de los más famosos revolucionarios, pero ¿sabían que estudió matemáticas? Pues sí lo hizo, y además le dio tiempo a estudiar derecho y a montar la revolución rusa.

Por cierto, también el propio Marx (Karl, no Groucho) tiene una gran cantidad de escritos matemáticos, aunque las contribuciones puramente teóricas no sean originales suyas, no así las históricas.

Más recientemente, el Che Guevara recibió clases de matemáticas superiores durante cuatro años del profesor cubano Salvador Vilaseca, bajo la errónea creencia, todavía hoy muy extendida en todos los países, comunistas y capitalistas, de que las matemáticas pueden arreglar la economía, cuando es evidente que la economía no hay kiski que la arregle.

Sin salir del terreno de la política, el general Sucre, compañero (pero sin roce) de Simón Bolivar y presidente de Bolivia, entre otros cargos, también estudió matemáticas, agrimensura y fortificación en la escuela de Ingenieros de Caracas.

En otro plano menos bélico y más intelectual (es bien sabido que los intelectuales sólo matan de aburrimiento), el filósofo Xavier Zubiri recibió formación matemática del famoso Rey Pastor, aunque seguramente pensó que puestos a que no le entendieran ni torta, la filosofía ofrecía un campo más abonado.

Dentro de las letras también nos topamos con matemáticos más conocidos por su obra literaria. Sin ir más lejos, Bram Stoker, el autor de “Drácula”, estudió matemáticas en el Trinity Collage de Dublín.

O, por poner otro ejemplo, Lewis Carroll, el autor de “Alicia en el país de las maravillas”, también estudió matemáticas, y fue profesor de la misma materia en la universidad de Oxford, e incluso escribió algunos libros de matemáticas.

También en el campo de la dirección y la interpretación hay licenciados en matemáticas. El director de cine Paul Verhoeven, que dirigió películas tan conocidas como “Robocop”, “Desafío total” e “Instinto básico”, se graduó en matemáticas y física por la universidad de Leiden (quizás se inspiró para la famosa escena del cruce de piernas en las tácticas de guerrilla escolar universitaria para que el profesor disminuya la vigilancia en los exámenes).

A su vez, la actriz Danica McKellar, de la serie “Aquellos maravillosos años”, posteriormente a la finalización de la misma se graduó en matemáticas en la universidad de UCLA, y con un Cum Laude nada menos, nada de aprobado raspadillo (por lo que, según Bush, no podría aspirar a presidente de los Estados Unidos), y además es ahora una matemática en activo que ha publicado un artículo de investigación, titulado “Percolation and Gibbs states multiplicity for ferromagnetic Ashkin-Teller models on Z²”, en una importante revista de Física.

Tampoco tenemos que ir muy lejos para encontrar actrices matemáticas: Sofía nieto, la intérprete de Natalia en “Aquí no hay quien viva”, está estudiando matemáticas en esta nuestra universidad.

Para terminar este breve y ni mucho menos exhaustivo repaso por los famosos matemáticos, el cantante Art Garfunkel, del dúo Simón y Garfunkel, estudió matemáticas en la universidad de Columbia (no tenía un pelo de tonto).

Pero no a todos los cantantes les gustan las matemáticas. A Britney Spears, por ejemplo, según declaraciones suyas en una revista, no le gustan las clases ni de matemáticas ni de español (me alegro de esto último pues así no podrá leerme y demandarme, aunque, ¡pardiez!, bien merece la pena una denuncia que le lea a uno Britney Spears).

La vida sexual de los físicos

2006-06-22T17:32:00.000+02:00

Otro chiste clásico, este de Físicos:

-¿Por qué los físicos cuánticos no echan nunca un polvo?
-Porque cuando encuentran el momento no encuentran la posición, y cuando encuentran la posición no encuentran el momento.

Nota del autor: Por si les sirve de consuelo a los físicos, yo no suelo encontrar ni el momento ni la posición.

Ahora hablando en serio, el otro día vi un documental muy curioso sobre la vida oculta de Einstein; parece ser que, en contra de la típica imagen que se tiene sobre él, era muy mujeriego. Contaban en el documental que, cuando recibía a damas en su casa, se le solía abrir "casualmente" la bata, dejándole al descubierto el péndulo de Foucault...si la dama se escandalizaba, fingía que había sido un accidente y se tapaba, y si no...¡ya se sabe que nunca se llevó muy bien con la física cuántica!

Chiste vectorial

2006-06-19T17:15:00.000+02:00

¿Qué le dijo una fuerza a otra?

Respuesta: ¿Tienes un momento?

El tamaño sí importa

2006-06-16T06:54:00.000+02:00

Contaré hoy un problema (¿adivinanza?) ya clásico de la matemática recreativa: supongamos que rodeamos la tierra con una cinta métrica(la rodeamos por un círculo máximo, se entiende). Por supuesto, esto lo hacemos figuradamente tan sólo, pues para ello necesitaríamos una cinta de unos 40000 kilómetros de longitud, así que si no tiene usted pretensiones de entrar en el libro guinness de los records mejor limitémonos a imaginárnoslo. Ahora, imaginemos que alargamos la cinta en un metro, con lo que ahora pasaría a medir 40000.001 kilómetros. La pregunta es: si la cinta se tensara formando una circunferencia perfecta, ¿cuánto se elevaría sobre la superfacie? Piénselo durante unos instantes. La respuesta que daría la mayor parte de la gente es que prácticamente no se iba a elevar nada, que un metro es despreciable frente a 40000 kilómetros, y que por lo tanto seguiría estando tan pegada al suelo que sería prácticamente imposible distinguir cuánto se ha elevado. ¡¡¡CRASO ERROR!!! La verdad es que se elevaría casi 16 centímetros, como usted
verá dentro de un momento. Le recuerdo que la longitud de una circunferencia de radio R es 2 π R, o sea, el doble de pi por el radio. En este caso, el radio de la tierra es de unos 6378 km.; añado el "unos" porque, primero, toda medición física conlleva un cierto error y, segundo porque, estríctamente hablando, ni siquiera tiene sentido hablar del radio de la tierra, pues la tierra no es una esfera perfecta (con el problema del hambre, la capa de Ozono, la gripe del pollo, Bin Laden y Bush, lo raro sería que fuese una esfera perfecta), sino que está achatada por los polos. Ahora, llamemos h a la cantidad, todavía desconocida, en que se elevaría la cinta. Aplicando la fórmula anterior a la tierra “sin cinta”, tenemos 2 π R=40000 y, aplicándola a la tierra “con cinta”, tenemos 2 π (R+h)=40000.001. Por otra parte, 2 π (R+h)=2 π R+2 π h y, sustituyendo ahora 2 π (R+h) por 40000.001 y 2 π R por 40000, y restando después 40000 en los dos miembros de la ecuación, se tiene que 2 π h=0.001 y, despejando finalmente la h, se llega a que h=0.000159
kilómetros aproximadamente, lo que, pasado a centímetros, da 15.9, es decir, casi 16, como le dije. Lo curioso del caso es que el resultado es independiente del radio R . Es decir, que en Mercurio, o en Júpiter, o en la barriga de su marido (o mujer), siempre pasaría lo mismo: si aumenta la cinta métrica en un metro, ésta se
podría “elevar” 16 centímetros (en el ejemplo del marido muchas veces éstos serán los únicos 16 centímetros que consiga elevarle).

Shaw y la estadística

2006-06-11T16:17:00.000+02:00

Hay una frase, que se suele atribuír a George Bernard Shaw, que dice más o menos así:

"Si hay dos amigos de los cuales uno se come un pollo y el otro ninguno, la estadística dice que cada uno de ellos se ha comido medio pollo".

Un corolario interesante es el siguiente:

"Si, entre los contribuyentes de un país, a los más ricos se les bajan los impuestos, la estadística (y el gobierno de turno) dice que a los ciudadanos les han reducido los impuestos".

En la misma línea de la frase de Shaw, pero menos comprometida socialmente, está el chiste sobre estadísticos que viene a continuación:

Están tres estadísticos de cacería cuando ven a lo lejos un enorme jabalí. El primero de ellos coge la escopeta, apunta cuidadosamente y ¡¡¡PAMMMM!!!, el tiro se desvía un metro a la izquierda. El segundo estadístico, mirando desdeñosamente al que falló el tiro, agarra su escopeta, apunta y ¡¡¡KABLOOOMMM!!!, falla el tiro un metro a la derecha. El tercero entonces se pone a dar saltos de alegría y grita: ¡¡¡BIEN, LE HEMOS DADO!!!

En resumen, para medias, las de seda y con relleno de jabugo.

¡Publicad, malditos, publicad!

2006-06-09T13:32:00.000+02:00

Uno de los retos, a la vez personales y laborales, del matemático profesional, es publicar regularmente en revistas de matemáticas. Esto es fuente de satisfacción para la mayoría, la satisfacción de haber llegado uno a algún resultado novedoso que nadie había descubierto antes; pero, para algunos, también es fuente de frustración y de irritación al toparse con la barrera de los referees que implacablemente les devuelven los artículos, bien por errores en el mismo o porque no se ajusta a los estándares de calidad de la revista. Los referees son a las publicaciones científicas lo que los árbitros a los partidos de fútbol, son los que deciden en último término si el artículo es aceptado o rechazado, y de esto depende el prestigio y el orgullo de quien o quienes han escrito el artículo (pues muchos de ellos son colaboraciones entre dos o más investigadores), pero también depende la provisión de fondos que se le haga al departamento correspondiente o al propio investigador a través de proyectos de investigación; en definitiva: a las lentejas de cada día, lo que magnifica los rechazos de pequeño inconveniente a tragedia troyana.
Miguel de Guzmán y Claudi Alsina cuentan al respecto una anécdota muy divertida en su libro “Los matemáticos no son gente seria”, cuya referencia completa incluyo más abajo. En una importante revista matemática, un referee hizo el siguiente informe:
“Los autores han obtenido resultados nuevos e interesantes; la lástima es que los interesantes no son nuevos y los nuevos no son interesantes”, el cual no deja de recordarme el famoso epígrafe de Quevedo:
“Voy a hablarte ingenuamente
tu soneto, don Gonzalo,
si es el primero, es muy malo;
si es el último, excelente.”
La necesidad de publicar no se limita tan sólo a las matemáticas, también está muy presente en otras ciencias. Seguro que todos recuerdan el escándalo del equipo de científicos coreanos que falseó los datos de sus experimentos sobre las células madre (al final, el caso se les salió de madre y ya ha provocado la dimisión (no se sabe si voluntaria o sutilmente sugerida por sus superiores) del director del equipo, Hwang Woo-Suk, fraude provocado entre otras causas, aunque sin duda en absoluto justificado, por la presión por publicar a la que estaba sometido el equipo (el problema vino cuando se pasó de la “presión” a la “impresión”) .
Quisiera terminar con una anécdota propia: en uno de mis artículos publicado conjuntamente con otro profesor, uno de los artículos que publiqué hace ya unos cuantos años, en una de las frases en las que queríamos poner “phase shift” (“desplazamiento de fase”), el referee nos hizo notar que por error nos habíamos comido la “f” y puesto “phase shit” (“mierda de fase”). El referee no hizo ningún comentario explícito al respecto y se limitó a rodear varias veces con un círculo la expresión en cuestión. Pese al desliz, el artículo fue finalmente aceptado y publicado.

La referencia completa del libro que mencioné antes es: Claudi Alsina y Miguel de Guzmán. "los matemáticos no son gente seria". Editorial Rubes (1998)

Ha nacido un blog

2006-06-08T16:54:00.000+02:00

El título de este blog, "Matemáticas de cuchufleta", podría llevar al lector a pensar que es de contenido poco serio. Nada más alejado de la realidad: de hecho, no es "nada" serio en absoluto, pese a lo cual pretendo que sea al mismo tiempo riguroso, lo cual puede ser un objetivo ambicioso en principio, pero, como dice el refrán, "lo difícil cuesta, lo imposible cuesta un poco más". El blog pretende aunar las dos grandes pasiones confesables de su autor: las matemáticas y el humor. Las inconfesables, como comprenderán, no se las voy a decir a ustedes, aunque si alguien de ustedes es paparazzi, llámenme, que todo se puede negociar.
En resumen, que aquí se va a hablar de matemáticas, y de las matemáticas y matemáticos que son los que las mantienen viva y amplían sus horizontes y, por qué no, también de las anécdotas, chascarrillos, manías y rarezas de los matemáticos y matemáticas.
También se presentarán las matemáticas en estado puro, e incluso de vez en cuando se demostrará algún que otro teorema, aun a riesgo de que el lector se cambie a otro blog menos ladrillazo. Pero, ante todo y sobre todo, los temas se tratarán con amenidad, humor y un cierto cachondeíllo que impregnarán todo el contenido del blog.
Para finalizar con el primer posteo de ésta recién nacida bitácora, quisiera agradecer al profesor de periodismo de la EHU Gorka Palazio por habernos introducido a mí y a otros compañeros docentes en el fascinante mundo de los blogs.