Toán Học Việt Nam

Chứng minh $1,005^{200} > 2$ bằng 3 cách (Sơ cấp, Bernoulli, Khai triển nhị thức)

2026-06-08T19:51:58.771+07:00

Chứng minh bất đẳng thức lũy thừa $1,005^{200} > 2$ bằng 3 cách cực hay

Việc so sánh một biểu thức lũy thừa bậc cao với một số tự nhiên là dạng toán quen thuộc trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc chương trình toán nâng cao. MathVN giới thiệu 3 phương pháp tiếp cận độc đáo từ sơ cấp đến sử dụng công cụ nâng cao để giải quyết bài toán này.

Đề bài toán

[Bài toán bất đẳng thức – So sánh lũy thừa]

Đề bài

Chứng minh rằng: $$ 1,005^{200} > 2.$$

Biến thể

So sánh hai số: $1,005^{200}$ và $2$.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Phương pháp tích lũy giảm dần (Telescoping Product)

Ta viết lại số thập phân $1,005$ dưới dạng phân số tối giản:

$$ 1,005 = 1 + \frac{5}{1000} = 1 + \frac{1}{200} = \frac{201}{200} $$

Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trở thành tích của $200$ thừa số giống nhau:

$$ 1,005^{200} = \left(1 + \frac{1}{200}\right)^{200} = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{200}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{200}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 + \frac{1}{200}\right)}_{200 \text{ thừa số}} $$

Nhận xét rằng với mọi số nguyên dương $k > 200$, ta luôn có:

$$ \frac{1}{200} > \frac{1}{k} \implies 1 + \frac{1}{200} > 1 + \frac{1}{k} $$

Áp dụng bất đẳng thức trên để giảm dần các thừa số từ thứ hai đến thứ $200$ bằng cách thay thế $\frac{1}{200}$ lần lượt bằng $\frac{1}{201}, \frac{1}{202}, \dots, \frac{1}{399}$, ta thu được một bất đẳng thức nghiêm ngặt:

$$ \left(1 + \frac{1}{200}\right)^{200} > \left(1 + \frac{1}{200}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{201}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{202}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 + \frac{1}{399}\right) $$

Quy đồng các mẫu số ở vế phải, ta được:

$$ \left(1 + \frac{1}{200}\right)^{200} > \frac{201}{200} \cdot \frac{202}{201} \cdot \frac{203}{202} \cdot \dots \cdot \frac{400}{399} $$

Tiến hành triệt tiêu các tử số và mẫu số trung gian đôi một theo đường chéo, kết quả rút gọn chỉ còn lại mẫu số đầu tiên và tử số cuối cùng:

$$ \left(1 + \frac{1}{200}\right)^{200} > \frac{400}{200} = 2 $$

Vậy $1,005^{200} > 2$ (Đpcm).

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli

Bất đẳng thức Bernoulli phát biểu rằng với mọi số thực $x > -1$ và số nguyên $n \ge 1$, ta luôn có:

$$ (1 + x)^n \ge 1 + nx $$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $n = 1$ hoặc $x = 0$.

Áp dụng vào bài toán, ta tách số $1,005$ thành dạng $(1 + x)$ với $x = 0,005 > -1$ và $n = 200 > 1$. Do $x \ne 0$ nên ta có dấu lớn hơn nghiêm ngặt:

$$ 1,005^{200} = (1 + 0,005)^{200} > 1 + 200 \cdot 0,005 $$

Tính toán giá trị vế phải:

$$ 200 \cdot 0,005 = 200 \cdot \frac{5}{1000} = 1 \implies 1 + 1 = 2 $$

Suy ra: $1,005^{200} > 2$ (Đpcm).

Cách 3: Sử dụng khai triển nhị thức Newton

Công thức khai triển nhị thức Newton tổng quát:

$$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n $$

Áp dụng khai triển cho biểu thức $1,005^{200} = (1 + 0,005)^{200}$ với $a = 1$ và $b = 0,005$:

$$ (1 + 0,005)^{200} = C_{200}^0 \cdot 1^{200} + C_{200}^1 \cdot 1^{199} \cdot 0,005 + C_{200}^2 \cdot 1^{198} \cdot 0,005^2 + \dots + C_{200}^{200} \cdot 0,005^{200} $$

Tính cụ thể giá trị của hai số hạng đầu tiên trong dãy khai triển:

Số hạng thứ nhất: $C_{200}^0 \cdot 1 = 1$
Số hạng thứ hai: $C_{200}^1 \cdot 0,005 = 200 \cdot 0,005 = 1$

Vì các số hạng còn lại trong khai triển từ số hạng thứ ba trở đi ($C_{200}^2 \cdot 0,005^2 + \dots$) đều chứa lũy thừa dương của các số dương, nên tổng của chúng chắc chắn lớn hơn $0$.

Do đó, nếu lược bỏ toàn bộ các số hạng từ thứ ba trở đi, giá trị vế trái sẽ giảm xuống nghiêm ngặt:

$$ 1,005^{200} > 1 + 1 = 2 $$

Vậy $1,005^{200} > 2$ (Đpcm).

Nhận xét

Cả 3 phương pháp đều dựa trên ý tưởng làm mịn biểu thức. Cách 1 (rút gọn sai phân) đem lại cái nhìn trực quan cấu trúc số học, Cách 2 (Bernoulli) là công cụ ước lượng nhanh gọn nhất, trong khi Cách 3 (Nhị thức Newton) giúp người học hiểu rõ bản chất sự đóng góp giá trị của từng thành phần số hạng.

Liên trường chuyên Đà Nẵng - Đề thi thử môn Toán lần 3 năm 2026 có đáp án

2026-06-07T16:32:48.058+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Liên trường chuyên Đà Nẵng (Quảng Nam cũ)

Thông tin kì thi

Đơn vị tổ chức: Liên trường chuyên Sở GD&ĐT TP. Đà Nẵng (địa bàn Quảng Nam cũ)

Trường: THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm và THPT Chuyên Lê Thánh Tông

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần 3

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề: 1016

Hình thức: Trắc nghiệm 3 phần

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Thể tích khối tròn xoay):

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\tan x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,\;x=\dfrac{\pi}{3}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành có thể tích bằng

A. $\pi\sqrt3+\dfrac{\pi^2}{3}$.

B. $\pi\sqrt3-\dfrac{\pi^2}{3}$.

C. $\pi\sqrt3$.

D. $\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}$.

Câu 2 (Tập xác định hàm số logarit):

Tập xác định $D$ của hàm số

\[ y=\sqrt{\log_{0,3}x} \]

là

A. $D=(-\infty;1]$.

B. $D=[0;1]$.

C. $D=(0;1]$.

D. $D=(1;+\infty)$.

Câu 3 (Thể tích khối chóp):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$, có diện tích bằng $a^2$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABD$ bằng

A. \[ V=\frac{a^3\sqrt2}{3}. \]

B. \[ V=\frac{a^3}{3}. \]

C. \[ V=\frac{a^3}{6}. \]

D. \[ V=\frac{a^3\sqrt2}{6}. \]

Câu 4 (Vectơ trong hình hộp chữ nhật):

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=2,\;BC=4,\;CC'=5$. Độ dài của vectơ

\[ \vec u=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD'} \]

bằng

A. $\sqrt{41}$.

B. $3\sqrt5$.

C. $\sqrt{29}$.

D. $2\sqrt5$.

Câu 5 (Nguyên hàm hàm mũ):

Biết

\[ \int f(x)\,dx=2026^x+C. \]

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f(x)=2026^x\ln2026.$

B. $f(x)=x\cdot2026^{x-1}.$

C. \[ f(x)=\frac{2026^{x+1}}{x+1}. \]

D. \[ f(x)=\frac{2026^x}{\ln2026}. \]

Câu 6 (Elip):

Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc

\[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1. \]

Tiêu cự của elip $(E)$ bằng

A. $4\sqrt3$.

B. $4\sqrt5$.

C. $8$.

D. $2\sqrt3$.

Câu 7 (Phương trình lượng giác):

Tập nghiệm của phương trình

\[ \tan x=0 \]

là

A. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb Z\right\}. \]

B. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb Z\right\}. \]

C. \[ S=\{k2\pi,\;k\in\mathbb Z\}. \]

D. \[ S=\{k\pi,\;k\in\mathbb Z\}. \]

Câu 8 (Xác suất có điều kiện):

Cho $A,B$ là hai biến cố thỏa mãn $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ và $P(A\cup B)=0{,}76$. Tính $P(A\mid B)$.

A. $P(A\mid B)=0{,}28$.

B. $P(A\mid B)=0{,}7$.

C. $P(A\mid B)=0{,}14$.

D. $P(A\mid B)=0{,}35$.

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Kết quả chính thức APMO 2026 của đội tuyển Việt Nam

2026-06-06T14:18:42.995+07:00

Kết quả chính thức của Đội tuyển Việt Nam tại Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương (APMO) 2026

(APMO 2026) – Đội tuyển Olympic Toán học châu Á - Thái Bình Dương Việt Nam đã khép lại mùa giải năm nay với thành tích vô cùng ấn tượng. Cả 10/10 thí sinh tham gia đề nghị xét giải đều có tên trên bảng vàng danh dự với 1 Huy chương Vàng, 2 Huy chương Bạc, 4 Huy chương Đồng và 3 Bằng khen. Đây là thành tích tuyệt đối về số lượng giải thưởng mà một quốc gia có thể đạt được theo quy chế của Hội đồng APMO quốc tế.

Ban tổ chức Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương (APMO) đã chính thức công bố kết quả và xếp hạng quốc tế của kỳ thi lần thứ 38. Ngày 01/6/2026, Hội đồng quốc tế đã họp phê duyệt kết quả cho 417 thí sinh xuất sắc nhất được đề cử từ 45 quốc gia và vùng lãnh thổ tham gia.

Cơ cấu giải thưởng APMO 2026

166 Giải thưởng chính thức: 19 Huy chương Vàng, 41 Bạc và 106 Đồng.
174 Bằng khen: Dành cho các học sinh có điểm thi tiệm cận HCĐ.

Thành tích rực rỡ của Đoàn học sinh Việt Nam

Tại kỳ thi năm nay, cả 10/10 học sinh Việt Nam tham gia xét giải đều xuất sắc đạt giải thưởng.

1. Chủ nhân các tấm Huy chương danh giá

Họ và tên	Lớp / Trường	Điểm số	Giải thưởng
Trần Đại Thành Danh	Lớp 12, PT Năng khiếu (ĐHQG TP.HCM)	27	Huy chương Vàng
Phạm Đăng Nguyên	Lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam	25	Huy chương Bạc
Nguyễn Hoàng Phương	Lớp 11, THPT chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An)	25	Huy chương Bạc
Phan Thành Huy	Lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam	22	Huy chương Đồng
Trần Anh Quân	Lớp 12, THPT chuyên Lê Quý Đôn (Điện Biên)	21	Huy chương Đồng
Nguyễn Đình Tùng	Lớp 12, THPT chuyên KHTN (ĐHQGHN)	21	Huy chương Đồng
Nguyễn Bảo Khánh	Lớp 11, THPT chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa)	18	Huy chương Đồng

2. Thí sinh nhận Bằng khen

Lưu Trọng Phúc - Lớp 12, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An.
Bùi Nhật Minh - Lớp 10, THPT chuyên Sư phạm Hà Nội.
Võ Sỹ Quốc Anh - Lớp 12, THPT chuyên Hà Tĩnh.

Xếp hạng toàn đoàn: Top 10

Đoàn Việt Nam xếp vị trí thứ 7 trên tổng số 43 quốc gia tham dự chính thức.

Top 10 Đội tuyển APMO 2026:

1. Mỹ, 2. Hàn Quốc, 3. Nhật Bản, 4. Ấn Độ, 5. Malaysia, 6. Singapore, 7. Việt Nam, 8. Canada, 9. Đài Loan, 10. Hồng Kông.

Xin chúc mừng thành tích tuyệt vời của các em học sinh!

Nguồn tin: VIASM

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án – Trường THCS & THPT Long Thạnh

2026-06-04T07:56:35.581+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Trường THCS & THPT Long Thạnh - File word

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Trường THCS & THPT Long Thạnh

Kỳ thi: Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần 2

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm 3 định dạng

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Cấp số nhân):

Một cấp số nhân $(u_n)$ biết $u_1=-2$ và $u_2=6$. Giá trị của $u_3$ bằng

A. $14$.

B. $-18$.

C. $-3$.

D. $8$.

Câu 2 (Tiệm cận ngang):

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[ y=\frac{2}{x-1} \] là đường thẳng

A. $x=1$.

B. $y=2$.

C. $x=0$.

D. $y=0$.

Câu 3 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $(\Delta)$

\[ \left\{ \begin{aligned} x&=3-4t\\ y&=2t\\ z&=-1+t \end{aligned} \right. \]

Tọa độ một vectơ chỉ phương của $(\Delta)$ là

A. $(-3;0;1)$.

B. $(3;0;-1)$.

C. $(-4;2;1)$.

D. $(4;-2;1)$.

Câu 4 (Mặt cầu trong không gian):

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu

\[ (S):(x-3)^2+(y+1)^2+z^2=16. \]

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

A. $16$.

B. $4$.

C. $256$.

D. $(3;-1;0)$.

Câu 5 (Diện tích hình phẳng):

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của phần gạch chéo trong hình bên dưới được tính theo công thức nào sau đây?

A. \[ S=\pi\int_{1}^{3}\left|\frac{x^2}{4}\right|dx. \]

B. \[ S=\int_{1}^{3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx. \]

C. \[ S=\int_{1}^{3}\frac{x^2}{4}dx. \]

D. \[ S=\pi\int_{1}^{3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx. \]

Câu 6 (Phương trình lượng giác):

Tập nghiệm của phương trình

\[ \tan(x-60^\circ)=0 \]

là

A. \[ S=\{-60^\circ+k360^\circ\mid k\in\mathbb Z\}. \]

B. \[ S=\{-60^\circ+k180^\circ\mid k\in\mathbb Z\}. \]

C. \[ S=\{60^\circ+k180^\circ\mid k\in\mathbb Z\}. \]

D. \[ S=\{60^\circ+k360^\circ\mid k\in\mathbb Z\}. \]

Câu 7 (Nguyên hàm):

Tính

\[ \int (e^x-1)\,dx \]

ta được kết quả là

A. \[ \frac{e^{x+1}}{x+1}-x+C. \]

B. \[ e^x-x+C. \]

C. \[ e^x-x. \]

D. \[ e^x. \]

Câu 8 (Hình hộp chữ nhật):

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Đường thẳng $B'C'$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(DD'C'C)$.

B. $(ABCD)$.

C. $(AA'D'D)$.

D. $(A'B'C'D')$.

Trang 1 đề thi

Xem và tải file (PDF, word)

[Download PDF ##download##] - [File Word ##download##]

Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách (có lời giải chi tiết)

2026-06-02T16:12:05.694+07:00

Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách

Các bài toán đếm số cách phân chia và sắp xếp đối tượng thường xuất hiện trong chuyên đề tổ hợp. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán xếp sách vào các ngăn có đánh số với điều kiện ngăn thứ nhất chứa đúng hai quyển.

Đề bài toán

[Bài toán tổ hợp – Xếp 9 sách vào 4 ngăn]

Đề gõ lại

Có $4$ ngăn sách được đánh số $1,2,3,4$ và $9$ quyển sách khác nhau.

Bạn An xếp toàn bộ $9$ quyển sách vào $4$ ngăn sao cho:

Mỗi ngăn có ít nhất $1$ quyển sách.
Ngăn số $1$ có đúng $2$ quyển sách.
Trong mỗi ngăn, các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang từ trái sang phải.

Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu với mỗi ngăn:

Số lượng sách trong ngăn đó là như nhau.
Thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách là như nhau.

Gọi $T$ là số cách xếp đôi một khác nhau. Tính $ \dfrac{T}{600} .$

Đáp số

$\boxed{9072}$

Lời giải chi tiết

1. Sắp xếp 9 quyển sách thành một hàng

Vì $9$ quyển sách đều khác nhau nên số cách sắp xếp chúng thành một hàng là: $9!$.

Sau khi có một hàng gồm $9$ quyển sách, ta sẽ chia hàng này thành $4$ đoạn liên tiếp tương ứng với $4$ ngăn sách.

2. Cố định ngăn số 1

Theo giả thiết, ngăn số $1$ phải chứa đúng $2$ quyển sách.

Do các ngăn đã được đánh số nên ta quy ước:

Hai quyển đầu tiên trong hàng thuộc ngăn số $1$.
Bảy quyển còn lại sẽ được phân chia cho các ngăn $2,3,4$.

3. Chia 7 quyển còn lại cho ba ngăn cuối

Ba ngăn $2,3,4$ đều phải có ít nhất một quyển sách.

Giữa $7$ quyển sách còn lại có: $7-1=6$ vị trí trống để đặt vách ngăn.

Chọn $2$ trong $6$ vị trí này để tạo thành $3$ nhóm không rỗng tương ứng với các ngăn $2,3,4$.

$$ \mathrm{C}_6^2 = 15 $$

4. Tính số cách xếp

Theo quy tắc nhân:

$$ T = 9! \cdot \mathrm{C}_6^2 $$

$$ T = 362880 \cdot 15 $$

$$ T = 5\,443\,200 $$

5. Tính giá trị $\dfrac{T}{600}$

$$ \frac{T}{600} =\frac{5\,443\,200}{600} =9072 $$

Vậy:

$$ \boxed{\frac{T}{600}=9072} $$

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán là xem mỗi cách xếp như một hoán vị của 9 quyển sách, sau đó chèn các vách ngăn để tạo thành các ngăn sách. Điều kiện ngăn số 1 có đúng 2 quyển giúp cố định vị trí vách ngăn đầu tiên, từ đó bài toán trở thành đếm số cách chọn 2 vách ngăn trong 6 vị trí còn lại.

Cụm trường chuyên Phú Thọ - Đề KSCL lớp 12 thi tốt nghiệp THPT 2026 có đáp án (file word)

2026-05-30T17:39:27.055+07:00

Đề khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT năm học 2025–2026 môn Toán có đáp án – Cụm trường chuyên Phú Thọ

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Phú Thọ – Cụm các trường THPT chuyên

Kỳ khảo sát: Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT năm học 2025–2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề: 0102

Hình thức: Trắc nghiệm 3 định dạng

Định dạng file: Word (.docx)

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Trắc nghiệm lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Đường thẳng song song với mặt phẳng):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,SB$ (tham khảo hình vẽ).

Đường thẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng $(CMN)$?

A. $CD$.

B. $AD$.

C. $SD$.

D. $AB$.

Câu 2 (Thể tích khối lăng trụ):

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $S=20$ và chiều cao $h=9$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $240$.

B. $180$.

C. $90$.

D. $60$.

Câu 3 (Vectơ pháp tuyến mặt phẳng):

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng

\[ (P): 2x+3y-4z+2=0. \]

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$?

A. $\vec n_4=(2;3;4)$.

B. $\vec n_1=(2;3;0)$.

C. $\vec n_2=(2;3;-4)$.

D. $\vec n_3=(2;3;2)$.

Câu 4 (Bất phương trình logarit):

Tập nghiệm của bất phương trình

\[ \log_{\frac16}(x-2)>\log_{\frac16}(7-2x) \]

là

A. $(2;3)$.

B. $(3;+\infty)$.

C. $\left(3;\dfrac72\right)$.

D. $(-\infty;3)$.

Câu 5 (Số hạng tổng quát cấp số cộng):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$, công sai $d=5$. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_n)$ là

A. $u_n=4n-2$.

B. $u_n=3n-1$.

C. $u_n=6n-4$.

D. $u_n=5n-3$.

Câu 6 (Diện tích hình phẳng):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

\[ y=-3x^2-2x+8, \]

trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0,\;x=2$ được xác định bởi công thức

A. $ S=\int_0^2\left|-3x^2-2x+8\right|dx. $

B. $ S=\pi\int_0^2\left|-3x^2-2x+8\right|dx. $

C. $ S=\left|\int_0^2(-3x^2-2x+8)\,dx\right|. $

D. $ S=\pi\int_0^2(-3x^2-2x+8)^2\,dx. $

Câu 7 (Phương trình lượng giác):

Tập nghiệm của phương trình

\[ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2} \]

là

A. $ S= \left\{ \frac{5\pi}{6}+k\pi; -\frac{5\pi}{6}+k\pi \mid k\in\mathbb Z \right\}. $

B. $ S= \left\{ \frac{5\pi}{6}+2k\pi; -\frac{5\pi}{6}+2k\pi \mid k\in\mathbb Z \right\}. $

C. $ S= \left\{ \frac{5\pi}{6}+k\pi; \frac{\pi}{6}+k\pi \mid k\in\mathbb Z \right\}. $

D. $ S= \left\{ \frac{5\pi}{6}+2k\pi; \frac{\pi}{6}+2k\pi \mid k\in\mathbb Z \right\}. $

Hình ảnh trang đầu

File đề và đáp án (word)

[Download ##download##]

Sở Ninh Bình L4 - Đề Toán khảo sát chất lượng lớp 12 THPT lần 4 năm 2026 (có đáp án)

2026-05-29T16:52:53.038+07:00

Đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT lần 4 năm học 2025–2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Ninh Bình

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình

Kỳ thi: Đề khảo sát, đánh giá chất lượng giáo dục lớp 12 THPT lần thứ tư năm học 2025–2026

Môn thi: Toán – THPT, GDTX

Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề: 0103

Hình thức: Trắc nghiệm

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Nguyên hàm hàm số lượng giác):

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[ y=\sin x \] là

A. $-\sin x+C$.

B. $\cos x+C$.

C. $-\cos x+C$.

D. $\sin x+C$.

Câu 2 (Phương trình mặt phẳng):

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng đi qua \[ M(1;3;-2) \] và có một vectơ pháp tuyến \[ \vec{n}=(2;-1;3) \] là

A. \[ 2(x-1)-(y-3)+3(z+2)=0. \]

B. \[ 2(x+1)-(y+3)+3(z-2)=0. \]

C. \[ (x+2)+3(y-1)-2(z+3)=0. \]

D. \[ (x-2)+3(y+1)-2(z-3)=0. \]

Câu 3 (Tâm mặt cầu):

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tâm của mặt cầu \[ (S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0 \] có tọa độ là

A. $(-1;2;1)$.

B. $(2;-4;-2)$.

C. $(-2;4;2)$.

D. $(1;-2;-1)$.

Câu 4 (Bất phương trình logarit):

Tập nghiệm của bất phương trình \[ \log_{0,5}x>\log_{0,5}9 \] là

A. $(-\infty;9)$.

B. $(9;+\infty)$.

C. $(0;+\infty)$.

D. $(0;9)$.

Câu 5 (Tính tích phân):

Biết \[ \int_{-1}^{3}f(x)\,dx=-2 \] và \[ \int_{-1}^{3}g(x)\,dx=1. \] Khi đó \[ \int_{-1}^{3}[f(x)-g(x)]\,dx \] bằng

A. $-3$.

B. $1$.

C. $3$.

D. $-1$.

Câu 6 (Công bội cấp số nhân):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với \[ u_1=8,\quad u_2=2. \] Công bội của cấp số nhân đã cho là

A. $q=2$.

B. $q=\dfrac12$.

C. $q=4$.

D. $q=\dfrac14$.

Câu 7 (Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số):

Cho hàm số \[ y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\quad (a\ne0;m\ne0) \] có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là

A. $y=x-1$.

B. $y=x+1$.

C. $y=-x-1$.

D. $x=-1$.

Hình ảnh 1 trang

Tải file PDF

Gồm đề thi và đáp án đầy đủ mã đề. [Download ##download##]

Cụm 08 Sở Cà Mau - Đề TOÁN thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 có đáp án

2026-05-24T16:41:48.906+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Cụm 08 Sở GD&ĐT Cà Mau

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Cụm chuyên môn số 08 - Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Ngày thi: 23/5/2026

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0102

Hình thức: Trắc nghiệm

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Tiệm cận ngang):

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[ y=\frac{2x-5}{x+1} \] là đường thẳng có phương trình?

A. $y=-1$.

B. $y=2$.

C. $x=-1$.

D. $x=2$.

Câu 2 (Vectơ trong tứ diện):

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, P$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Đặt \[ \overrightarrow{BA}=\vec{b},\quad \overrightarrow{AC}=\vec{c},\quad \overrightarrow{AD}=\vec{d}. \] Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \[ \overrightarrow{MP}=\frac12(\vec{d}+\vec{b}-\vec{c}). \]

B. \[ \overrightarrow{MP}=\frac12(\vec{c}+\vec{d}-\vec{b}). \]

C. \[ \overrightarrow{MP}=\frac12(\vec{c}+\vec{d}+\vec{b}). \]

D. \[ \overrightarrow{MP}=\frac12(-\vec{d}+\vec{b}+\vec{c}). \]

Câu 3 (Xác suất ngoại ngữ):

Tại một trường đại học có 50 sinh viên tham gia câu lạc bộ học thuật, trong đó có 31 sinh viên sử dụng tốt tiếng Anh, 21 sinh viên sử dụng tốt tiếng Pháp và có 5 sinh viên sử dụng tốt cả tiếng Anh và tiếng Pháp.

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong câu lạc bộ. Xác suất để sinh viên được chọn sử dụng tốt ít nhất một trong hai ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là bao nhiêu?

A. $\dfrac{36}{50}$.

B. $\dfrac{57}{50}$.

C. $\dfrac{47}{50}$.

D. $\dfrac{52}{50}$.

Câu 4 (Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng):

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;-4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng

A. $2$.

B. $3$.

C. $16$.

D. $4$.

Câu 5 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \[ d:\frac{x+1}{2}=\frac{-y}{2}=\frac{z+2}{-6}. \] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?

A. $\vec{u}_2=(1;-1;3)$.

B. $\vec{u}_1=(2;2;-6)$.

C. $\vec{u}_3=(-1;1;3)$.

D. $\vec{u}_4=(-1;0;-2)$.

Câu 6 (Nguyên hàm):

Họ nguyên hàm của hàm số \[ f(x)=3x^2+2\sin x \] là

A. $x^3-2\cos x+C$.

B. $x^3+2\cos x+C$.

C. $3x^3-2\cos x+C$.

D. $3x^3+2\cos x+C$.

Câu 7 (Cấp số nhân):

Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=1$ và $u_2=3$. Số hạng $u_4$ của cấp số nhân là

A. $27$.

B. $9$.

C. $7$.

D. $12$.

Câu 8 (Thể tích khối lăng trụ):

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \[ a^2\sqrt3 \] và có thể tích bằng \[ 3a^3. \] Chiều cao của khối lăng trụ là

A. $a$.

B. $3a\sqrt3$.

C. $\dfrac{a}{\sqrt3}$.

D. $a\sqrt3$.

Câu 9 (Tập xác định hàm số):

Tập xác định của hàm số \[ y=\tan x \] là

A. $D=\mathbb{R}$.

B. \[ D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

C. \[ D=\mathbb{R}\setminus\{k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}. \]

D. \[ D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}. \]

Câu 10 (Độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm):

Bạn Anh thống kê lại chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C ở bảng sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao (cm)} & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180) & [180;185)\\ \hline \text{Lớp 12C} & 2 & 7 & 12 & 3 & 2 & 1\\ \hline \end{array} \]

Độ lệch chuẩn về chiều cao của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. $5{,}96$.

B. $6{,}59$.

C. $5{,}69$.

D. $6{,}95$.

Câu 11 (Đổi cơ số logarit):

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a\ne1$ thì \[ \log_{a^3}b \] bằng

A. \[ 3+\log_ab. \]

B. \[ 3\log_ab. \]

C. \[ \frac13+\log_ab. \]

D. \[ \frac13\log_ab. \]

Hình ảnh trang 1

Tải file PDF

[Download ##download##]

Bài toán tổ hợp đếm số điện thoại may mắn kèm lời giải chi tiết

2026-05-23T10:05:28.357+07:00

Bài toán tổ hợp đếm số điện thoại may mắn cực hay

Các bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc là dạng toán quen thuộc trong chuyên đề tổ hợp. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán đếm số điện thoại may mắn bằng phương pháp chia trường hợp.

Đề bài toán

[Bài toán tổ hợp – Đếm số điện thoại "may mắn"]

Đề gõ lại

Một số điện thoại gồm bảy chữ số, trong đó chữ số đầu tiên luôn là $8$.

Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu:

Bốn chữ số đầu là các chữ số chẵn phân biệt.
Ba chữ số cuối là các chữ số lẻ.
Hai chữ số $0$ và $9$ không đứng liền nhau.

Hỏi có thể tạo được bao nhiêu số điện thoại may mắn?

Đáp số

$\boxed{2850}$

Lời giải chi tiết

1. Xét trường hợp chữ số $0$ đứng ở vị trí thứ tư

Khi đó số điện thoại có dạng:

$$ \overline{8a_2a_30a_5a_6a_7} $$

Chọn $a_2, a_3$ từ tập $\{2;4;6\}$:

$$ A_3^2 = 6 \text{ cách} $$

Do $0$ không được đứng cạnh $9$, nên:

Chọn $a_5$ từ $\{1;3;5;7\}$: có $4$ cách.
Chọn $a_6, a_7$ từ $\{1;3;5;7;9\}$: có $5^2 = 25$ cách.

Số điện thoại trong trường hợp này là:

$$ 6 \cdot 4 \cdot 25 = 600 $$

2. Xét trường hợp chữ số thứ tư khác $0$

Khi đó số điện thoại có dạng:

$$ \overline{8a_2a_3a_4a_5a_6a_7}, \quad a_4 \ne 0 $$

Chọn $a_4$ từ $\{2;4;6\}$:

$$ 3 \text{ cách} $$

Chọn $a_2, a_3$ từ $\{0;2;4;6\}$ và khác $a_4$:

$$ A_3^2 = 6 \text{ cách} $$

Ba chữ số cuối là số lẻ:

$$ 5^3 = 125 \text{ cách} $$

Số điện thoại trong trường hợp này là:

$$ 3 \cdot 6 \cdot 125 = 2250 $$

3. Kết luận

Tổng số điện thoại may mắn là:

$$ 600 + 2250 = 2850 $$

Vậy có: $\boxed{2850}$ số điện thoại may mắn.

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán là xử lý điều kiện hai chữ số $0$ và $9$ không đứng liền nhau. Việc chia thành hai trường hợp theo vị trí của số $0$ giúp bài toán trở nên đơn giản và dễ đếm hơn.

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán lần 2 – Cụm chuyên môn số 10 Đắk Lắk

2026-05-23T09:11:55.086+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán lần 2 có đáp án và lời giải – Cụm 10 Đắk Lắk

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Đắk Lắk – Cụm chuyên môn số 10

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần thứ 2

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm: nhiều phương án lựa chọn, đúng sai, trả lời ngắn

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Quan hệ vuông góc trong hình lập phương):

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $BD$ vuông góc với $(ADD'A')$.

B. $BD$ vuông góc với $(ACC'A')$.

C. $BD$ vuông góc với $(CB'D')$.

D. $BD$ vuông góc với $(ABB'A')$.

Câu 2 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \[ d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-2}{2}. \] Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

A. $\vec{u}_4=(3;4;2)$.

B. $\vec{u}_2=(6;8;4)$.

C. $\vec{u}_3=(3;4;-2)$.

D. $\vec{u}_1=(-9;12;-6)$.

Câu 3 (Tính tích phân):

Cho biết \[ \int_{-1}^{1}[f(x)-x]\,dx=3. \] Khi đó \[ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx \] bằng

A. $4$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $1$.

Câu 4 (Phương trình lượng giác):

Phương trình \[ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-1 \] có nghiệm là

A. \[ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}). \]

B. \[ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}). \]

C. \[ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}). \]

D. \[ x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}). \]

Câu 5 (Cấp số nhân):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=1$ và $u_4=8$. Công bội của cấp số nhân đã cho là

A. $q=-\dfrac{1}{2}$.

B. $q=\dfrac{1}{2}$.

C. $q=2$.

D. $q=-2$.

Câu 6 (Tứ phân vị mẫu ghép nhóm):

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 ở một trường THPT thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} &[0;20)&[20;40)&[40;60)&[60;80)&[80;100)\\ \hline \text{Số học sinh} &5&9&12&10&6\\ \hline \end{array} \]

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là

A. $[40;60)$.

B. $[20;40)$.

C. $[60;80)$.

D. $[80;100)$.

Hình ảnh đề

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Sở Sơn La L3 - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án

2026-05-20T07:50:38.676+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Sơn La lần 3

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Sơn La

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT lần thứ ba năm học 2025–2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0110

Hình thức: Trắc nghiệm 3 định dạng

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Tiệm cận đứng):

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[ y=\frac{x^2+4x+1}{x-1} \] là

A. $y=1$.

B. $x=4$.

C. $x=-4$.

D. $x=1$.

Câu 2 (Phương trình mũ):

Nghiệm của phương trình \[ 4^{x+2}=64 \] là:

A. $1$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $0$.

Câu 3 (Cấp số nhân):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=5$. Giá trị của $u_3$ bằng

A. $50$.

B. $7$.

C. $10$.

D. $12$.

Câu 4 (Vectơ trong hình hộp):

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (tham khảo hình vẽ).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

B. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

C. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

D. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC'}. \]

Câu 5 (Nhận dạng đồ thị hàm số):

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

A. \[ y=\frac{x^2+3x-4}{x-2}. \]

B. \[ y=x^3-3x^2-4. \]

C. \[ y=\frac{x-4}{x-1}. \]

D. \[ y=-x^3+3x^2-4. \]

Câu 6 (Phương trình lượng giác):

Phương trình \[ \sin x=1 \] có tập nghiệm là

A. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

B. \[ S=\left\{k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

C. \[ S=\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

D. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

Câu 7 (Nguyên hàm):

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[ f(x)=e^x+\sin x \] là

A. \[ e^x-\sin x+C. \]

B. \[ e^x+\sin x+C. \]

C. \[ e^x+\cos x+C. \]

D. \[ e^x-\cos x+C. \]

Hình ảnh đề thi

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Chi phí chế tác vật phẩm nghệ thuật hình cánh hoa tạo thành từ các đường elip

2026-05-19T10:10:47.123+07:00

Bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm hình cánh hoa (hình elip + hình tròn)

Các bài toán ứng dụng tích phân trong hình học phẳng thường xuất hiện trong đề thi đánh giá năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm dựa trên diện tích các miền giới hạn bởi hai hình elip và đường tròn.

Đề bài toán

[Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT 2026 - Sở GD-ĐT Vĩnh Long]

Đề gõ lại

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm bằng giấy từ hộp kim cao cấp.

Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng $8$ cm, độ dài trục nhỏ bằng $\dfrac{8}{\sqrt{3}}$ cm; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng.

Đường tròn $(O)$ đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí. Phần lõi bên trong đường tròn được tráng đồng để tăng tính thẩm mỹ với chi phí $5.000$ đồng/cm$^2$. Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí $15.000$ đồng/cm$^2$.

Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Viết phương trình các elip và đường tròn

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ trùng với giao điểm của hai trục lớn hai elip.

Khi đó, phương trình elip $(E_1)$ có trục lớn nằm trên trục $Ox$:

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{16} = 1 $$

Suy ra:

$$ y^2 = \frac{16 - x^2}{3} \Rightarrow y = \sqrt{\frac{16 - x^2}{3}} \quad (y \ge 0) $$

Do tính đối xứng, giao điểm của hai elip nằm trên đường phân giác $y=x$.

Thay $y=x$ vào phương trình $(E_1)$:

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3x^2}{16} = 1 \Leftrightarrow x^2 = 4 $$

Vậy hoành độ giao điểm là:

$$ x_{1,2} = \pm 2 $$

Bán kính đường tròn $(O)$:

$$ R^2 = x^2 + y^2 = 2x^2 = 8 $$

Phương trình đường tròn:

$$ x^2 + y^2 = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^2} \quad (y \ge 0) $$

2. Tính diện tích các phần

Diện tích phần lõi hình tròn:

$$ S_1 = \pi R^2 = 8\pi \text{ (cm}^2) $$

Diện tích phần cánh hoa:

Do tính đối xứng, diện tích 4 cánh hoa bằng $8$ lần diện tích một nửa cánh hoa:

$$ S_2 = 8\left(\int_2^4 \sqrt{\frac{16-x^2}{3}}\,dx - \int_2^{2\sqrt2} \sqrt{8-x^2}\,dx \right) $$

$$ S_2 \approx 13,5616 \text{ cm}^2 $$

3. Tính tổng chi phí

Chi phí chế tác:

$$ T = 5S_1 + 15S_2 $$

$$ T \approx 329,088 \text{ (nghìn đồng)} $$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{329}$ nghìn đồng.

Nhận xét

Bài toán khai thác mạnh tính đối xứng của hai elip vuông góc, giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán tích phân. Việc tách riêng diện tích phần lõi và phần cánh hoa là chìa khóa để xử lý bài toán nhanh gọn.

Sở Vĩnh Long - Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán có lời giải chi tiết năm 2026

2026-05-19T09:38:44.935+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Vĩnh Long

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Long

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm 3 dạng

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Tính tích phân):

Cho \[ \int_0^2 f(x)\,dx=3. \] Tính \[ I=\int_0^2 (1+2f(x))\,dx. \]

A. $I=7$.

B. $I=4$.

C. $I=8$.

D. $I=6$.

Câu 2 (Quan hệ vuông góc trong hình chóp):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $(SCD)\perp(SAD)$.

B. $(SBD)\perp(SAC)$.

C. $(SBC)\perp(SIA)$.

D. $(SDC)\perp(SAI)$.

Câu 3 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d$ \[ \begin{cases} x=5+t\\ y=7+2t\\ z=9+3t \end{cases} \] có một vectơ chỉ phương là:

A. $\vec{u}_4=(5;7;9)$.

B. $\vec{u}_2=(3;2;1)$.

C. $\vec{u}_3=(1;2;3)$.

D. $\vec{u}_1=(1;3;2)$.

Câu 4 (Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm):

Cho bảng số liệu sau đây

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [1{,}5;2{,}5) & [2{,}5;3{,}5) & [3{,}5;4{,}5) & [4{,}5;5{,}5) & [5{,}5;6{,}5)\\ \hline \text{Tần số} & 2 & 3 & 7 & 2 & 1\\ \hline \end{array} \]

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu cho bởi bảng trên là:

A. $2$.

B. $5$.

C. $3$.

D. $4$.

Câu 5 (Diện tích hình phẳng):

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\ (a<b)$ được cho bởi công thức nào sau đây?

A. \[ S=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx. \]

B. \[ S=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

C. \[ S=\int_a^b f(x)\,dx. \]

D. \[ S=\pi\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

Câu 6 (Cấp số cộng):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=5$. Giá trị của $u_4$ bằng:

A. $22$.

B. $17$.

C. $12$.

D. $250$.

Câu 7 (Biến đổi logarit):

Với mọi số thực dương $a$, \[ \log_3(27a)-\log_3 a \] bằng:

A. $3$.

B. $3-2\log_3 a$.

C. $9$.

D. $\log_3(26a)$.

Câu 8 (Phương trình mũ):

Nghiệm của phương trình \[ \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2-2x-3}=5^{x+1} \] là:

A. $x=-1;x=2$.

B. Vô nghiệm.

C. $x=1;x=2$.

D. $x=1;x=-2$.

Câu 9 (Tâm mặt cầu):

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \[ (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9. \] Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:

A. $(1;-2;3)$.

B. $(1;2;3)$.

C. $(1;-2;-3)$.

D. $(1;2;-3)$.

Hình ảnh đề thi

Hình ảnh lời giải

Tải file đề và lời giải

Gồm đề thi, đáp án và lời giải chi tiết từng câu đề thi thử toán 2026 Sở Vĩnh Long. [Download ##download##]

Hàm phân thức hữu tỉ - Trắc nghiệm đúng sai về tiệm cận và cực trị

2026-05-18T20:23:51.995+07:00

Hàm phân thức hữu tỉ - Trắc nghiệm đúng sai về tiệm cận và cực trị

Đề bài (Khảo sát hàm số phân thức)

Cho hàm số \[y=\frac{x^{2}-x+7}{x+1}.\]

a) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình $x=-1$.

b) Đạo hàm \[y'=\frac{x^{2}+2x-8}{(x+1)^{2}}.\]

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-4;-1)$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(-\infty;-1)$ bằng $3$.

Lời giải chi tiết

a) Đúng.

Mẫu số bằng $0$ khi $x=-1$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.

b) Đúng.

Ta có: \[y = x - 2 + \frac{9}{x+1}.\]

Suy ra: \[y' = 1 - \frac{9}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2}.\]

c) Sai.

$y'=0 \Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(-4;-1)$.

Vì vậy mệnh đề sai.

d) Sai.

Từ bảng biến thiên, giá trị lớn nhất trên $(-\infty;-1)$ là $-9$, không phải $3$.

Tổng hợp đáp án: Đ, Đ, S, S

Radar và UAV trong không gian Oxyz: bài toán trắc nghiệm đúng sai có lời giải chi tiết

2026-05-18T07:55:32.439+07:00

Bài toán radar và UAV trong không gian Oxyz - Trắc nghiệm đúng sai

Đề bài (Radar phát hiện và gây nhiễu UAV)

Một radar đặt tại $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\,km$. Bán kính phủ sóng là $250\,km$.

Một UAV xuất phát từ $A(1000;-450;0)$, bay thẳng qua $B(968;-435;1)$ với vận tốc không đổi $800\,km/h$.

UAV có thiết bị gây nhiễu hiệu quả trong phạm vi $50\,km$.

a) Phương trình đường thẳng $AB$: \[ \begin{cases} x=1000-32t\\ y=-450+15t\\ z=t \end{cases} \]

b) Vị trí đầu tiên UAV bị phát hiện là $(232;-90;24)$.

c) Gọi $P$ là vị trí đầu tiên gây nhiễu, khi đó $AP>1061\,km$.

d) Tổng thời gian radar theo dõi UAV lớn hơn $32$ phút.

Lời giải chi tiết (Radar - UAV)

a) Đúng.

$\overrightarrow{AB}=(-32;15;1)$ nên:

$AB:\begin{cases} x=1000-32t\\ y=-450+15t\\ z=t \end{cases}$.

b) Đúng.

Mặt cầu radar: $x^2+y^2+z^2=62500$.

Giao với $AB$ được hai điểm: $M(232;-90;24)$, $N(-216;120;38)$.

Vì $AM \lt AN$ nên điểm đầu tiên là $M$.

c) Sai.

Mặt cầu nhiễu: $x^2+y^2+z^2=2500$.

Giao điểm: $P(40;0;30)$, $Q(-24;30;32)$.

$AP \approx 1060,6 \lt 1061$ nên sai.

d) Sai.

Thời gian bị theo dõi:

\[ t=\frac{MN-PQ}{800} =\frac{\sqrt{245000}-\sqrt{5000}}{800} \approx 0,5303\;(\text{giờ}) \approx 31,82\;\text{phút} \]

Không lớn hơn $32$ phút ⇒ Sai.

Tổng hợp đáp án: Đ, Đ, S, S

Sở Gia Lai - Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán năm 2026 có đáp án

2026-05-18T07:28:16.425+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Gia Lai

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai

Kỳ thi: Thi thử trước kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm 3 phần

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \[ \Delta: \frac{x+1}{-2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{-2}. \] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$?

A. $\vec{u}=(2;-3;-2)$.

B. $\vec{u}=(-2;3;-2)$.

C. $\vec{u}=(-1;3;2)$.

D. $\vec{u}=(-1;-3;-2)$.

Câu 2 (Khoảng tứ phân vị mẫu ghép nhóm):

Cho bảng biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sữa trong một ngày như sau:

Nhóm: $[40;50), [50;60), [60;70), [70;80), [80;90)$
Tần số: $3, 6, 19, 23, 9$
Tần số tích lũy: $3, 9, 28, 51, 60$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là:

A. $70{,}87$.

B. $50{,}00$.

C. $14{,}23$.

D. $40{,}00$.

Câu 3 (Giá trị cực đại từ đồ thị):

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. $4$.

B. $2$.

C. $-1$.

D. $1$.

Câu 4 (Tiệm cận ngang):

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[ y=\frac{6x-4}{1-2x} \] là đường thẳng có phương trình

A. $y=-3$.

B. $x=-3$.

C. $y=6$.

D. $y=2$.

Câu 5 (Trọng tâm tứ diện):

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ và $M$ là một điểm bất kì. Phát biểu nào dưới đây sai?

A. $\vec{AG}=\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})$.

B. $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}$.

C. $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MG}$.

D. $\vec{AG}=\dfrac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})$.

Hình ảnh đề

Hình ảnh đáp án

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Tính thể tích khối tròn xoay từ miền giới hạn bởi cung tròn (kèm lời giải)

2026-05-17T15:07:04.261+07:00

Đề bài toán

[Đề thi thử Toán lần 2 năm 2026 - Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]

Đề gốc

Đề gõ lại

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục $AB$.

Miền $(H)$ được giới hạn bởi đường tròn đường kính $AB$ và các cung tròn tâm $A, B$ có cùng bán kính. Biết $AB = 10$ cm, $AH = BK = 2$ cm.

Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị cm$^3$), không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là $1$ cm. Khi đó:

$$ K(3;0), \quad B(5;0) $$

Ta có:

$$ OD = \frac{1}{2}AB = 5 \Rightarrow DK = \sqrt{OD^2 - OK^2} = 4 $$

Suy ra:

$$ BC = BD = \sqrt{BK^2 + KD^2} = 2\sqrt{5} $$

Do đó:

$$ OC = 5 - 2\sqrt{5} \Rightarrow C(5 - 2\sqrt{5}; 0) $$

2. Lập phương trình các đường tròn

Đường tròn đường kính $AB$:

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Đường tròn tâm $B$, bán kính $BD$:

$$ (x - 5)^2 + y^2 = 20 $$

Đặt:

$$ (C_1): y = \sqrt{25 - x^2}, \quad (C_2): y = \sqrt{20 - (x - 5)^2} $$

3. Tính thể tích khối tròn xoay thứ nhất

Gọi $(H_1)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $Ox$, $Oy$, $x = 3$.

Thể tích khi quay quanh trục $Ox$:

$$ V_1 = \pi \int_0^3 (\sqrt{25 - x^2})^2 dx $$

4. Tính thể tích khối tròn xoay thứ hai

Gọi $(H_2)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C_2)$, $Ox$, $x = 5 - 2\sqrt{5}$, $x = 3$.

Thể tích khi quay quanh trục $Ox$:

$$ V_2 = \pi \int_{5 - 2\sqrt{5}}^3 (\sqrt{20 - (x - 5)^2})^2 dx $$

5. Kết luận

Thể tích cần tìm:

$$ V = 2(V_1 - V_2) \approx 275 \text{ cm}^3 $$

Bài toán đếm ma trận 3x3 – Cấp số nhân trên đường chéo (có lời giải chi tiết)

2026-05-16T15:52:15.666+07:00

Bài toán đếm: Sắp xếp ma trận 3×3 với điều kiện cấp số nhân trên đường chéo

Bài toán tổ hợp yêu cầu đếm số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đặc biệt thường xuất hiện trong đề thi nâng cao. MathVN trình bày lời giải chi tiết dựa trên việc phân tích cấu trúc cấp số nhân.

Đề bài toán

[Bài toán đếm – Đề thi thử lần 2 năm 2026 của Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]

Đề gõ lại

Cho tập hợp

\[S = \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}.\]

Gọi $T$ là số cách xếp 9 số phân biệt được chọn từ $S$ vào 9 ô vuông của bảng $3\times3$ sao cho các số trên mỗi đường chéo đều theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Tính giá trị của $\dfrac{T}{80}$.

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Phân tích điều kiện cấp số nhân

Gọi số ở ô trung tâm là $b$. Khi đó mỗi đường chéo gồm ba số $(x; b; z)$ là một cấp số nhân nên:

$$ xz = b^2 $$

2. Xét các giá trị có thể của $b$

Xét trong tập $S$, các cặp số $(x,z)$ sao cho $xz = b^2$:

Với $b = 4$: có các cặp $(1;16), (2;8)$.
Với $b = 6$: có các cặp $(2;18), (3;12), (4;9)$ ⇒ có $3$ cách chọn hai cặp rời nhau.
Với $b = 12$: có các cặp $(8;18), (9;16)$.

⇒ Tổng số cách chọn hai cặp (ứng với hai đường chéo):

$$ 1 + 3 + 1 = 5 \text{ cách} $$

3. Sắp xếp các cặp vào hai đường chéo

Gán hai cặp cho hai đường chéo: $2!$ cách.
Mỗi cặp có thể sắp theo thứ tự tăng hoặc giảm: $2^2$ cách.

$$ \Rightarrow 2! \cdot 2^2 = 8 \text{ cách} $$

4. Điền các ô còn lại

Còn lại $4$ ô, chọn $4$ số bất kỳ từ $10$ số còn lại và sắp xếp:

$$ A_{10}^4 = \frac{10!}{6!} $$

5. Kết quả

Tổng số cách:

$$ T = 5 \cdot 8 \cdot A_{10}^4 $$

Suy ra:

$$ \frac{T}{80} = 2520 $$

Đáp số: $\boxed{2520}$.

Nhận xét

Ý tưởng chính là đưa điều kiện cấp số nhân về dạng tích $xz = b^2$, từ đó chuyển bài toán về việc chọn các cặp số phù hợp. Đây là kỹ thuật quen thuộc trong các bài toán tổ hợp có yếu tố số học.

Sở Hà Tĩnh L2 - Đề thi thử Toán có lời giải chi tiết (lần 2 năm 2026)

2026-05-16T15:41:45.274+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh

Kì thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề: 0101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Thể tích khối chóp vuông

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A. $12$.
B. $6$.
C. $8$.
D. $4$.

Câu 2. Phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$. Phương trình của $(S)$ là

A. $x^2+(y+2)^2+(z-1)^2=5$.
B. $x^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25$.
C. $x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=25$.
D. $x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=5$.

Câu 3. Giải phương trình logarit

Nghiệm của phương trình $ \log_2(x-1)=3 $ là

A. $10$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $9$.

Câu 4. Tiệm cận ngang của hàm phân thức

Cho hàm số $ y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \,(a,b,c,d\in\mathbb{R}, c\ne0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. $x=1$.
B. $x=-1$.
C. $y=-1$.
D. $y=1$.

Câu 5. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

Thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 12A được cho ở bảng sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10] \\ \hline \text{Tần số} & 2 & 8 & 18 & 12 \\ \hline \end{array} \]

Phương sai của mẫu số liệu trên bằng

A. $0{,}7$.
B. $6$.
C. $8{,}5$.
D. $0{,}15$.

Câu 6. Đạo hàm hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số $y=3^x$ là

A. $y'=3^x\ln3$.
B. $y'=3^x$.
C. $y'=x\cdot3^{x-1}$.
D. $y'=3^x\ln x$.

Câu 7. Nghiệm phương trình lượng giác

Phương trình $ \tan x=-1 $ có tất cả các nghiệm là

A. $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
B. $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
C. $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$.
D. $x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$.

Câu 8. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 3x-y-z+2=0$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

A. $(-1;-1;2)$.
B. $(3;-1;2)$.
C. $(3;-1;-1)$.
D. $(3;1;1)$.

Hình ảnh trang đều

Hình ảnh lời giải chi tiết

Tải file đề, đáp án, lời giải

[Download ##download##]

Bài toán tối ưu tín chỉ carbon: giảm lượng CO2 lớn nhất với ngân sách giới hạn

2026-05-15T15:37:03.145+07:00

Bài toán tối ưu tín chỉ carbon – Quy hoạch tuyến tính - Toán lớp 10

Các bài toán tối ưu trong thực tế như tín chỉ carbon thường được mô hình hóa bằng bài toán quy hoạch tuyến tính. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết giúp xác định phương án đầu tư tối ưu để giảm lượng khí thải lớn nhất.

Đề bài toán

[Đề thi thử tốt nghiệp thpt năm 2026 - Tối ưu tín chỉ carbon]

Đề gõ lại

Tín chỉ carbon là một đơn vị thương mại đại diện cho quyền phát thải khí nhà kính, trong đó mỗi tín chỉ tương đương với một tấn $CO_2$ được cắt giảm hoặc loại bỏ khỏi khí quyển.

Một doanh nghiệp cần đầu tư mua tín chỉ carbon từ hai dự án:

Dự án A (trồng rừng): giá $20$ USD/tín chỉ, giảm $1,5$ tấn $CO_2$.
Dự án B (năng lượng sạch): giá $30$ USD/tín chỉ, giảm $2$ tấn $CO_2$.

Biết rằng:

Tổng số tín chỉ không quá $25$.
Tổng ngân sách không quá $600$ USD.

Gọi $x, y$ lần lượt là số tín chỉ mua từ dự án A và B. Hỏi doanh nghiệp cần mua bao nhiêu tín chỉ từ dự án B để lượng $CO_2$ giảm được là lớn nhất?

Hình vẽ

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập mô hình toán học

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tín chỉ của dự án A và B.

Lượng $CO_2$ giảm được cần tối đa:

$$ F = 1,5x + 2y \rightarrow \max $$

Các ràng buộc:

$$ \begin{cases} x + y \le 25 \\ 20x + 30y \le 600 \\ x, y \ge 0 \end{cases} $$

Rút gọn điều kiện ngân sách:

$$ 20x + 30y \le 600 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 60 $$

2. Xét các đỉnh của miền nghiệm

$O(0,0)$: \[F = 0\]
$A(25,0)$:
$$ F = 1,5 \cdot 25 = 37,5 $$
$C(0,20)$:
$$ F = 2 \cdot 20 = 40 $$
Xét giao điểm $B$ của hai đường:
$$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 3y = 60 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 15 \\ y = 10 \end{cases}$$
Vậy đỉnh $B(15;10).$
Giá trị hàm mục tiêu tại $(15;10)$:
$$ F = 1,5 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 42,5 $$

3. Kết luận

Giá trị lớn nhất của $F$ đạt tại $(x,y) = (15;10)$.

Vậy số tín chỉ cần mua từ dự án B là: $\boxed{10}$.

Nhận xét

Bài toán là một ví dụ điển hình của quy hoạch tuyến tính với miền nghiệm là đa giác lồi. Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu luôn đạt tại các đỉnh của miền nghiệm, giúp việc giải bài toán trở nên nhanh gọn.

Sở Nghệ An L3 - Đề TOÁN khảo sát chất lượng kết hợp thi thử THPT 2026 đợt 3

2026-05-14T16:41:46.552+07:00

Đề khảo sát chất lượng kết hợp thi thử THPT 2026 môn Toán – Nghệ An (Đợt 3)

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An

Kỳ thi: Khảo sát chất lượng kết hợp thi thử lớp 12 năm học 2025–2026 (Đợt 3)

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu có tâm $I(1;-1;1)$, bán kính $R=2$ là
A. $(x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=2$
B. $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2$
C. $(x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4$
D. $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4$

Câu 2. Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$?
A. $(SBD)$
B. $(SCD)$
C. $(SBC)$
D. $(SAD)$

Câu 3. So sánh khoảng tứ phân vị của hai mẫu ghép nhóm

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [1;3) & [3;5) & [5;7) & [7;9) & [9;11) \\ \hline \text{Tần số }(M_1) & 2 & 5 & 7 & 3 & 3 \\ \hline \text{Tần số }(M_2) & 4 & 10 & 14 & 6 & 6 \\ \hline \end{array} \]

Gọi $\Delta_{Q_1}, \Delta_{Q_2}$ lần lượt là khoảng tứ phân vị của $M_1, M_2$. Phát biểu đúng là
A. $4\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$
B. $\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$
C. $\Delta_{Q_1}=2\Delta_{Q_2}$
D. $2\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$

Câu 4. Công sai cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1, u_2=4$. Công sai là
A. $4$
B. $\frac{3}{2}$
C. $2$
D. $3$

Câu 5. Quan hệ vectơ trong hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B'C'}$
B. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$
C. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA'}$
D. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A'B'}$

Câu 6. Giải phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $ \cot x=1 $ là
A. $S=\left\{\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}$
B. $S=\left\{-\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}$
C. $S=\left\{\frac{\pi}{4}+k2\pi\right\}$
D. $S=\left\{-\frac{\pi}{4}+k2\pi\right\}$

Câu 7. Đạo hàm hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số $y=11^x$ là
A. $y'=11^x\ln 11$
B. $y'=\dfrac{11^x}{\ln 11}$
C. $y'=11^x$
D. $y'=x\cdot 11^{x-1}$

Hình ảnh 1 trang

Tải file PDF

Gồm đề thi (4 trang) và đáp án (1 trang). [Download ##download##]

Trắc nghiệm đúng sai: Đồ thị đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

2026-05-13T08:37:23.192+07:00

Trắc nghiệm đúng sai: Đồ thị đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Đề bài: Đồ thị đạo hàm

[Đề thi thử tốt nghiệp THPT cụm chuyên môn số 1 Hà Nội 2026]

Cho hàm số $ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} $ với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[2;4]$ bằng $6$. Khi đó:

a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.

b) Giá trị của $f(2)$ bằng $6$.

c) Giá trị $\dfrac{a+b}{2c-d}$ bằng $1$.

d) Có $4$ điểm trên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tọa độ nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Sai.

Ta có:

\[f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}.\]

Từ đồ thị, nhận thấy $f'(x) \lt 0$ với mọi $x \ne 1$.

Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Suy ra hàm số không đồng biến trên $(1;+\infty)$.

b) Sai.

Hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty)$ nên trên đoạn $[2;4]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=4$.

Theo đề: $ \min =6 \Rightarrow f(4)=6$.

Suy ra $f(2) > f(4)=6$.

c) Đúng.

Từ tiệm cận đứng $x=1 \Rightarrow (c.1+d)^2=0 \Rightarrow d=-c$.

Khi đó:

$2c-d=2c-(-c)=3c$.

Từ đồ thị ta có: $f'(0)=-3$.

\[ f'(0)=\frac{ad-bc}{d^2}=\frac{-ac-bc}{c^2}=-\frac{a+b}{c}=-3 \]

\[\Rightarrow \dfrac{a+b}{c}=3 \Rightarrow a+b=3c.\]

Do đó:

\[ \frac{a+b}{2c-d}=\frac{3c}{3c}=1. \]

d) Đúng.

Từ câu b), ta có \[f(4)=6 \Rightarrow 4a+b=6(4c+d).\] Kết hợp với $d=-c$ và $a+b=3c$ từ câu c), ta suy ra \[a=5c, \ b=-2c.\]

Ta biến đổi:

\[ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{5cx-2c}{cx-c}=5+\frac{3}{x-1}. \]

Để $f(x)$ nguyên với $x$ nguyên thì $\dfrac{3}{x-1}$ phải nguyên.

$\Rightarrow x-1 \in \{\pm1, \pm3\}$.

$\Rightarrow x \in \{2,0,4,-2\}$.

Vậy có $4$ điểm nguyên trên đồ thị.

Sở Bắc Ninh 2 - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án (lần 2)

2026-05-13T08:18:14.645+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Lần 2

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần thứ 2

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Hình học không gian – quan hệ vuông góc

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
Đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $(SAC)$
B. $(SAD)$
C. $(SBC)$
D. $(SAB)$

Câu 2. Bất phương trình logarit

Tập nghiệm của bất phương trình $ \log_{0,5} x > -1 $ là
A. $(0;2)$
B. $(-\infty;2)$
C. $(0;+\infty)$
D. $(2;+\infty)$

Câu 3. Tiệm cận đứng của hàm phân thức

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x-3}{x+1} $ là đường thẳng có phương trình
A. $x=2$
B. $y=-1$
C. $y=2$
D. $x=-1$

Câu 4. Phép toán vectơ trong hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
Vectơ $ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} $ bằng vectơ nào dưới đây?
A. $ \overrightarrow{BD'} $
B. $ \overrightarrow{BC'} $
C. $ \overrightarrow{BA'} $
D. $ \overrightarrow{BD} $

Câu 5. Xét tính đơn điệu qua đồ thị

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1;+\infty)$
B. $(-1;1)$
C. $(-1;+\infty)$
D. $(-\infty;0)$

Câu 6. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình
\[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{-3}. \]
Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có tọa độ là
A. $(2;1;3)$
B. $(1;2;4)$
C. $(1;-2;4)$
D. $(2;1;-3)$

Câu 7. Nguyên hàm lượng giác

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x$ trên $(-\infty;+\infty)$ là
A. $-3\cos x + C$
B. $3\sin x + C$
C. $-3\sin x + C$
D. $3\cos x + C$

Trang đầu đề thi

Tải file để in

[Download ##download##]

Sở GD-ĐT An Giang - Đề môn Toán kì thi thử tốt nghiệp THPT 2026 có đáp án

2026-05-12T08:19:50.374+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT An Giang

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Giải phương trình logarit cơ bản

Nghiệm của phương trình $ \log_2(3x-1)=3 $ là
A. $x=\frac{10}{3}$
B. $x=3$
C. $x=2$
D. $x=4$

Câu 2. Trung vị của bảng tần số ghép nhóm

Một người thống kê thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại trong một tuần và lập bảng:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [0;40) & [40;80) & [80;120) & [120;160) & [160;200) & [200;240) \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 12 & 6 & 3 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Trung vị $M_e$ là:
A. $80$
B. $\frac{260}{3}$
C. $86,5$
D. $84$

Câu 3. Cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=3$, công sai $d=-2$. Tính $u_7$.
A. $15$
B. $-14$
C. $-11$
D. $-9$

Câu 4. Tập nghiệm phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $ \cos x=0 $ là:
A. $S=\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}$
B. $S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$
C. $S=\{k2\pi\}$
D. $S=\{k\pi\}$

Câu 5. Tọa độ vectơ trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho $ \vec{u}=-3\vec{i}+5\vec{j}+2\vec{k} $. Tọa độ của $\vec{u}$ là:
A. $(-3;5;2)$
B. $(3;5;2)$
C. $(5;-3;2)$
D. $(-3;5;-2)$

Câu 6. Xét tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x^2+1)(x-2)$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(2;+\infty)$
B. $(0;2)$
C. $(-\infty;-1)$
D. $(-1;2)$

Câu 7. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(2;1;-1)$, $N(4;-1;0)$. Vectơ chỉ phương của $MN$ là:
A. $(-2;2;1)$
B. $(6;0;-1)$
C. $(2;-2;1)$
D. $(2;2;1)$

Câu 8. Nguyên hàm hàm số mũ

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=5\cdot 2^x$ là:
A. $ \frac{5\cdot 2^x}{\ln 2}+C $
B. $5\cdot 2^x \ln 2 + C$
C. $ \frac{5\cdot 2^{x+1}}{x+1}+C $
D. $ \frac{2^x}{\ln 2}+C $

Hình ảnh trang đầu

Tải file đề, đáp án

[Download ##download##]

Tính thể tích nước trong vỏ nhựa hình paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

2026-05-11T16:54:33.446+07:00

Tính thể tích nước trái cây trong vỏ nhựa paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

Các bài toán thực tế kết hợp giữa đường cong Parabol và hình cầu thường xuất hiện trong các đề thi định hướng năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tính thể tích phần nước trái cây trong vỏ nhựa hình tròn xoay dựa trên các tính chất tiếp tuyến và tích phân.

Đề bài toán

[Bài toán ứng dụng tích phân - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 Sở Ninh Bình lần 3]

Đề gõ lại

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ (với $h > 0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là mm.

Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (mặt phẳng $y=h$). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Xác định tọa độ các điểm và thông số hình cầu

Theo đề bài, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành là $20$ mm, nên tung độ của $M$ là $y_M = 20$. Vì $M \in (P): y = x^2$, ta có:

$$ x_M^2 = 20 \Rightarrow x_M = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \quad (\text{do } x_M > 0) \Rightarrow M(2\sqrt{5}; 20) $$

Gọi tâm viên kẹo là $I(0; y_I)$. Tại điểm tiếp xúc $M$, đường thẳng $IM$ phải vuông góc với tiếp tuyến của parabol. Ta có:

Đạo hàm: $y' = 2x$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là $k_1 = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Hệ số góc của pháp tuyến $IM$ là $k_2 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}$.

Phương trình đường thẳng $IM$: $y - 20 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}(x - 2\sqrt{5})$. Với $x=0$, ta tìm được tung độ tâm $I$:

$$ y_I = 20 + \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 20,5 \text{ (mm)} $$

Bán kính viên kẹo $R$ là độ dài đoạn $IM$:

$$ R^2 = (2\sqrt{5}-0)^2 + (20-20,5)^2 = 20 + 0,25 = 20,25 \Rightarrow R = 4,5 \text{ (mm)} $$

2. Xác định giới hạn vỏ nhựa

Viên kẹo tiếp xúc với mặt đáy $y = h$ và nằm gọn bên trong vỏ, do đó:

$$ h = y_I + R = 20,5 + 4,5 = 25 \text{ (mm)} $$

3. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân

Thể tích vật thể tròn xoay (vỏ nhựa $V_{vỏ}$): Quay $(P)$ quanh trục $Oy$ từ $0$ đến $25$.

$$ V_{vỏ} = \pi \int_{0}^{25} x^2 dy = \pi \int_{0}^{25} y dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{25} = 312,5\pi \text{ (mm}^3) $$

Thể tích viên kẹo hình cầu ($V_{kẹo}$):

$$ V_{kẹo} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (4,5)^3 = 121,5\pi \text{ (mm}^3) $$

4. Kết quả

Thể tích nước trái cây là:

$$ V = V_{vỏ} - V_{kẹo} = 312,5\pi - 121,5\pi = 191\pi. $$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được: $\boxed{600}$ mm³.

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán nằm ở việc xác định tâm $I$ của viên kẹo thông qua tính chất vuông góc của bán kính tại điểm tiếp xúc. Một sai lầm thường gặp là giả sử tâm $I$ có tung độ bằng $20$ hoặc tính sai bán kính $R$, dẫn đến kết quả không chính xác.

Toán Học Việt Nam

Chứng minh $1,005^{200} > 2$ bằng 3 cách (Sơ cấp, Bernoulli, Khai triển nhị thức)

Chứng minh bất đẳng thức lũy thừa \(1,005^{200} > 2\) bằng 3 cách cực hay

Đề bài toán

Đề bài

Biến thể

Lời giải chi tiết

Cách 1: Phương pháp tích lũy giảm dần (Telescoping Product)

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli

Cách 3: Sử dụng khai triển nhị thức Newton

Nhận xét

Liên trường chuyên Đà Nẵng - Đề thi thử môn Toán lần 3 năm 2026 có đáp án

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Liên trường chuyên Đà Nẵng (Quảng Nam cũ)

Thông tin kì thi

Đề bài (trích dẫn)

Câu 1 (Thể tích khối tròn xoay):

Câu 2 (Tập xác định hàm số logarit):

Câu 3 (Thể tích khối chóp):

Câu 4 (Vectơ trong hình hộp chữ nhật):

Câu 5 (Nguyên hàm hàm mũ):

Câu 6 (Elip):

Câu 7 (Phương trình lượng giác):

Câu 8 (Xác suất có điều kiện):

Tải file đề và đáp án

Kết quả chính thức APMO 2026 của đội tuyển Việt Nam

Kết quả chính thức của Đội tuyển Việt Nam tại Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương (APMO) 2026

Cơ cấu giải thưởng APMO 2026

Thành tích rực rỡ của Đoàn học sinh Việt Nam

1. Chủ nhân các tấm Huy chương danh giá

2. Thí sinh nhận Bằng khen

Xếp hạng toàn đoàn: Top 10

Top 10 Đội tuyển APMO 2026:

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án – Trường THCS & THPT Long Thạnh

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Trường THCS & THPT Long Thạnh - File word

Thông tin kì thi

Đề bài (trích dẫn)

Câu 1 (Cấp số nhân):

Câu 2 (Tiệm cận ngang):

Câu 3 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Câu 4 (Mặt cầu trong không gian):

Câu 5 (Diện tích hình phẳng):

Câu 6 (Phương trình lượng giác):

Câu 7 (Nguyên hàm):

Câu 8 (Hình hộp chữ nhật):

Trang 1 đề thi

Xem và tải file (PDF, word)

Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách (có lời giải chi tiết)

Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách

Đề bài toán

Đề gõ lại

Đáp số

Lời giải chi tiết

1. Sắp xếp 9 quyển sách thành một hàng

2. Cố định ngăn số 1

3. Chia 7 quyển còn lại cho ba ngăn cuối

4. Tính số cách xếp

5. Tính giá trị \(\dfrac{T}{600}\)

Nhận xét

Cụm trường chuyên Phú Thọ - Đề KSCL lớp 12 thi tốt nghiệp THPT 2026 có đáp án (file word)

Đề khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT năm học 2025–2026 môn Toán có đáp án – Cụm trường chuyên Phú Thọ

Thông tin kì thi

Đề bài (trích dẫn)

Câu 1 (Đường thẳng song song với mặt phẳng):

Câu 2 (Thể tích khối lăng trụ):

Câu 3 (Vectơ pháp tuyến mặt phẳng):

Câu 4 (Bất phương trình logarit):

Câu 5 (Số hạng tổng quát cấp số cộng):

Câu 6 (Diện tích hình phẳng):

Câu 7 (Phương trình lượng giác):

Hình ảnh trang đầu

File đề và đáp án (word)

Sở Ninh Bình L4 - Đề Toán khảo sát chất lượng lớp 12 THPT lần 4 năm 2026 (có đáp án)

Đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT lần 4 năm học 2025–2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Ninh Bình

Thông tin kì thi

Đề bài (trích dẫn)

Câu 1 (Nguyên hàm hàm số lượng giác):

Câu 2 (Phương trình mặt phẳng):

Câu 3 (Tâm mặt cầu):

Câu 4 (Bất phương trình logarit):

Câu 5 (Tính tích phân):