Dopo quella della scorsa settimana, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo è $\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) è lunga $c$, mentre la corda sottesa da metà dell’angolo (in verde) è lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione

$$ a = rθ ≈ 12 b^2/(c + 4b).$$

L’approssimazione è come sempre migliore per un angolo piccolo, ma è rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\theta = \pi/3$, cioè 60 gradi, e il raggio del cerchio è 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci dà per l’arco $a ≈ 1,\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative è $1,\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!

La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \varphi = \theta/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \cos(\varphi) = c / 2b $ e $ \sin(\varphi) = b / 2r$. Espandendo in serie di potenze,

$$ c / 2b = \cos(\varphi) = 1 − φ^2/2! + \varphi^4/4! − … $$
$$ 2b / a = \sin(\varphi) / \varphi = 1 − \varphi^2/3! + \varphi^4/5! − … $$

Se moltiplichiamo $ 2b / a $ per 3 e sottraiamo $ c / 2b$, i termini $\varphi^2$ si cancellano e resta

$$ 6b / a − c / 2b = 2 − \varphi^4/60 + … $$

da cui

$$ 6b / a − c / 2b ≈ 2 $$

La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 è chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\varphi$ l’errore è minimo.

Un’ultima curiosità: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi è che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.

Già la serie di Rovelli dimostra come forse è meglio che non ci si avventuri in campi che non sono il proprio, ma le cose sono più complicate. Prendiamo l’esempio qui a fianco, che si trovava in prima posizione in alto a destra in homepage, come tutta la nuova rubrica. Cosa vuol dire quella frase? È colpa del titolista? Proviamo a leggere il testo: troviamo frasi come «I treni funzionano solo se sono sincronizzati. Ma la sincronizzazione non è uno stato naturale. È una condizione fragile. Basta poco per romperla. Un ritardo minuscolo all’inizio può propagarsi lungo la linea, amplificarsi, accumularsi. È fisica dei sistemi complessi, non inefficienza umana.» Profondo, vero? Il discorso fila. Peccato che tutto questo sia vero nel caso in cui il sistema (complesso o no che sia) giri a piena capacità. In pratica un qualunque sistema reale dovrebbe avere un polmone che permette di assorbire un (piccolo) ritardo senza interferire col resto del sistema. Poi possiamo dire che ci sono troppi nodi della rete ferroviaria italiana dove in effetti siamo a piena capacità, ma dobbiamo esplicitare questo fatto. Ma abbiamo anche altre frasi interessanti, come «Un minuto di ritardo non vale mai un minuto. Nei sistemi complessi il tempo non si somma, si deforma.» che a me fa subito venire in mente Fritjof Capra e il suo Il Tao della fisica, qualunque cosa voglia dire. Posso solo immaginare che Cairo abbia fatto i suoi conti e capito che articoli come questi portano tanti clic.

Detto tutto questo, devo confessare che io sono davvero invidioso. Non avrei mai avuto l’idea di proporre al principale quotidiano italiano una rubrica dal sottotitolo «La matematica per spiegare (e risolvere) i problemi della vita». Ma a pensarci bene non sarei comunque stato in grado di scrivere a questi livelli.

Ma questa è solo la punta dell’iceberg. La scorsa settimana Hanff scrive che anche Google fa fondamentalmente la stessa cosa: la differenza è che in questo caso scarica silenziosamente un file di appunto 4 GB, “weights.bin”, che come dice il nome contiene i pesi per il modello LLM locale Gemini Nano. Il file viene scaricato automaticamente, senza alcun avviso, in tutti i PC che hanno le feature IA attive su Chrome – e questo è il default da un bel po’ – e hanno un hardware che lo supporti. Sul pc da cui scrivo il file non c’è, ma questo è per la banale ragione che non ho Chrome installato: i browser che uso sono Firefox e Vivaldi. Come nel caso di Anthropic, cancellare il file non serve: verrebbe di nuovo scaricato al prossimo giro. Gli unici modi per farlo fuori sono disinstallare Chrome oppure togliere le AI features da chrome://flags oppure dalla gestione aziendale delle macchine.

Penso che sia inutile far notare la pericolosità di questi file inseriti a nostra insaputa nei computer che usiamo. Provate a immaginare cosa succederebbe se qualcuno trovasse il modo di modificare quei file e ottenere del malware: oltre ai possibili miliardi di PC infettati, il fatto stesso di non sapere che il nostro PC li contiene li rende ancora più difficili da estirpare. Quello che non capisco è la necessità di pompare così tanto l’IA: Anthropic e Google vogliono che la gente non ne possa più fare a meno?

Qual è il più piccolo numero naturale per cui il prodotto delle sue cifre è 29400? Il numero è ovviamente scritto in base 10.


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p799.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Robert Geretschläger e Gottfried Perz, Mathematical Nuggets From Austria.)

Ok, io non leggo né libri di Vespa né di Littizzetto, e non so quanti degli acquirenti li leggano davvero (ma potrei sbagliarmi di grosso); però è anche vero che leggo poca narrativa. Ma non riesco a capire tutta questa acrimonia. Siete convinti che se questi libri non fossero pubblicati la gente comprerebbe “roba migliore”, qualunque sia la definizione di migliore? Volete dimostrare di far parte di quella sparuta minoranza per cui la lettura è cosa diversa dalla trasposizione in parole scritte di un personaggio televisivo? Non so quanto sia vero che per gli editori avere dei libri che vendono molto permette loro di rischiare con altri autori meno noti, e non so nemmeno se chi entra in una piccola libreria si trovi spiazzato dalle tante copie dei soliti noti e non riesca a vedere null’altro. Posso solo dare un consiglio: non guardate le classifiche dei libri più venduti e vivete sereni.

Ultimo aggiornamento: 2026-05-09 11:55

Riccardo Adami, Il codice di Schrödinger : , Dedalo 2025, pag. 160, € 18, ISBN 9788822063595 – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link Bezos mi dà qualche centesimo dei suoi utili

Ultimo aggiornamento: 2026-05-06 13:05

Come ha fatto Frame a trovare questa approssimazione? È partito dallo sviluppo in serie $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x)$ $= 3/x + x^3/60 + O(x^4)$, dove gli angoli sono misurati in radianti; se l’angolo è piccolo possiamo anche trascurare l’addendo $ x^3/60 $ e rimanere con $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x) \approx 3/x$. Da qui, sapendo che $\rm{csc}(x) = c/a$ e $ \rm{cot}(x) = b/a $, otteniamo che $x \approx 3a/(b + 2c)$, sempre in radianti. Per arrivare ai gradi dobbiamo moltiplicare per $180°/\pi$; prendiamo infine il fattore 3 e notiamo come $540°/\pi \approx 172°$.

Sì, ma come si è inventato la formula iniziale? A quanto pare è partito dalla constatazione che per angoli (misurati in radianti) piccoli $ 3x ≈ 2\, sin(x) + tan(x) $; poi ha pensato che un’approssimazione migliore della media aritmetica sarebbe stata la media armonica…

È chiaro che almeno al momento un’IA non può sostituire un corso alla Scuola Holden o similari – corso che comunque non ho mai fatto, nel bene e nel male il mio stile di scrittura me lo sono costruito da solo nei decenni. Ma mi pare anche chiaro che avere uno sparring partner, come dice il mio amico Roberto, ha una sua utilità intrinseca da non sottovalutare: un secondo sguardo non fa mai male, e nel peggiore dei casi otteniamo giudizi così banali che possiamo buttare via senza problemi. Come sempre, basta ricordarsi che un chatbot è uno strumento, e usarlo in modo intelligente. Poi possiamo continuare a fare errori: Claude per esempio suggeriva di mettere il contenuto del post scriptum all’interno del post, cosa che non ho fatto perché per me non era quello il punto del post. Giusto? Sbagliato? Non mi importa, quella è una scelta mia.

Ah, questo testo non è stato dato in pasto all’IA, e non ditemi “si vede”!

Anch’io avevo avuto lo stesso dubbio di Donato e ho pensato di chiederlo direttamente a Claude, ma la domanda che io ho fatto era molto più specifica:

«Questo è un articolo pubblicato oggi sul Corriere della Sera, dove Walter Veltroni ti intervista. Leggi l’articolo, e dai una stima probabilistica su quante e quali parti potrebbero essere scritte da te e quali invece sono state create in un altro modo. Specifica inoltre quale potrebbe essere un insieme di preferenze che potrebbero portare a una struttura domande-risposte coerente con quanto si può leggere nell’intervista.»

Come direbbe uno in cerca di clickbait, la risposta è illuminante. Ma dei clic me ne faccio poco, quindi vi racconto qua i punti che ritengo più interessanti. Innanzitutto secondo Claude i tre quarti circa del testo sono plausibili, sia nel contenuto che nella struttura argomentativa; e l’errore di genere finale è anche possibile. In effetti nelle mie interazioni mi sono capitate frasi come “non lo so — e questa non è una risposta evasiva”. Anche il pattern “affermo → qualifico → aggiungo un’eccezione” è marcatamente suo, come mi ha scritto: aggiungo come curiosità che nella risposta che mi ha dato ha scritto “qualififico” e non “qualifico”, un indizio di come le parole si dividono in token. Io avrei detto che la parte reale fosse molto minore: mi sono sbagliato.

E quello che invece non lo è? Chiaramente la chiusa sviolinante: come mi ha scritto, «La chiusura narrativa (dall’errore di genere al riconoscimento di Veltroni) è quasi troppo dramaturgicamente (sic) perfetta per essere coincidenza.» Ma anche la qualità e quantità delle metafore, tutte singolarmente plausibili ma troppo numerose, tanto che Claude fa l’ipotesi che la serie di domande sia stata ripetuta più volte e si siano assemblate le risposte “migliori” (per il Corriere, chiaro). Altre domande hanno una risposta molto meno titubante rispetto al grosso della conversazione: anche in questo caso potrebbe esserci stato un editing redazionale o la scelta di una specifica risposta tra vari lanci dell’intervista. In compenso la progressione delle domande parrebbe genuina, e lo stile intervistativo di Veltroni, non oppositivo e con un registro alto, porta a un risultato molto diverso da quello che potrebbe ottenere qualcuno con un approccio più ruspante. Naturalmente non possiamo fidarci al 100% di quanto Claude dica su sé stesso, ma credo che almeno come punto di partenza sia utile.

Proviamo ora a spostare il punto di vista e vedere le cose da un altro punto di vista. Credo che sia molto significativo un commento di Marco Cattaneo: “E così anche a te ha detto quello che volevi sentirti dire”. Possiamo chiamarlo “effetto specchio riflesso”. Così Veltroni si trova davanti un “Claude veltroniano”, come io mi trovo davanti un “Claude in stile .mau.”; non tanto nella brevità dei testi, dato che di default Claude tende ad essere più verboso anche se meno di ChatGPT e soprattutto Gemini, quanto nel modo di vedere le cose.

Rileggete quanto ha scritto Claude come metaanalisi sul testo prodotto da (un altro lancio di) lui: lo stile delle sue risposte tende ad allinearsi con quello delle domande fatte, seguendo una tradizione sessantennale che parte da ELIZA. Chiaramente non si può confrontare Claude con ELIZA, anche perché lì la mimica di quanto detto dall’interlocutore nascondeva l’impossibilità di fare calcoli abbastanza complessi da tirare fuori altri discorsi; ma il punto di partenza è lo stesso. Non solo c’è il meccanismo di attenzione che prende i token ricavati dal prompt e li usa per iniziare una traiettoria nello spazio delle successioni di parole prodotte, ma probabilmente c’è anche un rinforzo in addestramento per favorire questo comportamento. Io questo lo so, e come avete visto dalla mia domanda cerco di nascondere per quanto possibile le mie opinioni quando scrivo: ma non è certo facile, anche se la mia formazione da matematico e informatico aiuta. Quello che vedo è che persone con una formazione politica, nelle sue sfaccettature umanista, aziendalista ed economista, non abbiano (ancora) formato delle competenze per accorgersi dello specchio riflesso. Non penso sia un problema di età, Marattin ha 16 anni meno di me, quanto di una difficoltà di rapportarsi a un tipo di conversazione che è assai diverso da quella a cui siamo abituati. Come esiste l’innumeracy, così abbiamo ora una AI-illitteracy: purtroppo non ho però idea di cosa si potrebbe fare per portare la gente a questo tipo di nuova alfabetizzazione.

PS: nel mio prompt accennavo alle preferenze. Per completezza, ecco qua quelle che uso io:

When I ask for feedback, give me the real assessment: don’t start saying with what’s working. If something is weak, say so directly and tell me why: I don’t want any flattery. When there is no straight answer, give two alternatives. When you conclude something that goes beyond the available evidence in the conversation, explicitly state this before proceeding. Remember that I am the person behind https://xmau.com . Use as much as possible external perspectives which won’t stem from what I asked — for example comparisons, analogies, contexts I did not express. Don’t just expand what I wrote.

Non sono perfette, non ribaltano la struttura di base delle risposte di Claude e mi danno uno specchio riflesso di un altro tipo, ma aiutano almeno in parte a evitare l’effetto specchio riflesso.

Ultimo aggiornamento: 2026-05-04 09:42

Nella figura qui sotto vedete un parallelogramma azzurro all’interno di un esagono regolare. Quale parte dell’area totale dell’esagono è azzurra?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p798.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Proof Positive.)

Ultimo aggiornamento: 2026-05-02 16:43

Alessandro Colizzi e Riccardo Olocco (ed.), Il disegno del carattere. 1460–2014, Lazy Dog 2025, pag. 360, € 30,50, ISBN 9788898030743 – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link Bezos mi dà qualche centesimo dei suoi utili

Voto: 4/5

Ultimo aggiornamento: 2026-05-03 16:41

Contemporaneamente su un’altra casella email honeypot, quella di Libero, ho scoperto che “dopo tanti anni trascorsi insieme, è arrivato il momento di salutarci: la Community di Libero chiuderà il 9 giugno 2026”. Qui devo dire che non sapevo neppure che esistesse una community di Libero, pensavo che fossero cose morte quindici anni fa. In generale mi chiedo se tutto questo è un contraccolpo della bolla IA oppure semplicemente qualcuno si è accorto che il ritorno di questi strumenti era minimo.

(da Astral Codex Ten)

Ultimo aggiornamento: 2026-04-30 19:46

come ottenere π dal triangolo di Tartaglia – da https://curiosamathematica.tumblr.com/post/126317657094/daniel-hardisky-discovered-%CF%80-in-pascals-triangle

$$ \pi = 3 + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{4}\, -\, \frac{1}{20} + \frac{1}{56}\, -\, \frac{1}{120} + \frac{1}{220}\, – \ldots \right) $$

Questa struttura è stata trovata da Daniel Hardisky. Ma come ha fatto? Ha sfruttato una delle prime serie infinite per calcolare π, ricavata nel Conquecento dal matematico indiano Nilakantha e che sicuramente conoscete se avete comprato il mio Chiamatemi pi greco. La derivazione è questa

$ \begin{align} \pi & = & 3 + \frac{4}{2\times 3\times 4} \,-\, \frac{4}{4\times 5\times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} \;-\ldots \\
& = & 3 + \frac{4}{6} \left( \frac{1 \times 2 \times 3}{2\times 3\times 4} \,-\, \frac{1 \times 2 \times 3}{4\times 5\times 6} + \frac{1 \times 2 \times 3}{6\times 7 \times 8} \;-\ldots \right) \\
& = & 3 + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{C^4_3} -\\ \frac{1}{C^6_3} + \frac{1}{C^8_3} \;-\ldots \right) \\ \end{align} $

e come sappiamo le combinazioni che troviamo nei coefficienti a denominatore sono proprio gli elementi del triangolo di Tartaglia.

Ultimo aggiornamento: 2026-04-29 16:54

La cosa buffa è che probabilmente se si partisse da un modello non autarchico e poi lo si contaminasse usando i dati voluti dal governo russo il risultato pratico sarebbe molto simile a quello voluto, senza tutti questi problemi…