মজার গণিত

শূন্য নিয়ে ভগর ভগর!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Wed, 17 Dec 2014 02:44:00 +0000

এই পৃথিবীতে যার কাছে কিছুই নেই, তার কাছে আছে শূন্য! শূন্য আমাদের সবারই খুব আপন। যেকোনো হিসাবের ক্ষেত্রে হোক, ঈদের দিনের সালামি হোক কিংবা ফেইসবুক স্ট্যাটাসের লাইক সংখ্যা হোক- আমরা এমন একটি সংখ্যা কামনা করি যার শেষে থাকবে শূন্য! কিন্তু, যেকোনো সংখ্যার শেষে শূন্য আমাদের কাম্য হলেও, শুধুমাত্র শূন্য আমাদের কারোই কাম্য নয়! শূন্যকে একা দেখতে আমরা নারাজ। কারণ, তখন কি যেন একটা নেই বলে মনে হয়। আর, এমনটি মনে হবেই বা না কেন? শূন্য মানেই তো 'কিছুই নেই'. আর, আজকে আমরা এই শূন্যকে একা রেখেই অনেক ভগর ভগর করতে চলেছি! ভগর ভগরের বিষয়সমুহঃ

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

   # শূন্যের যোগ বিয়োগ
   # শূন্যের গুণ
   # শূন্যের ভাগ
   # শূন্য কি ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক?
   # শূন্য কি জোড় নাকি বিজোড়?
   # শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত শূন্য হলে কি হয়?

এখন আমরা শূন্যের যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ সহ আরো কয়েকটি জিনিস দেখবো। এর জন্যে আমাদেরকে সংখ্যারেখা বুঝতে হবে। কারণ, সংখ্যারেখা দিয়ে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ আরো ভালোমত বুঝা যায়।

নিচের চিত্রের মত একটি সংখ্যারেখা নিলাম। সংখ্যারেখার ডানে আছে সকল ধনাত্মক সংখ্যাসমুহ এবং বামে রয়েছে সকল ঋণাত্মক সংখ্যাসমুহ। অর্থাৎ, ডান দিক ধনাত্মক অসীম (+∞) এবং বাম দিক ঋণাত্মক অসীম (-∞) পর্যন্ত বিস্তৃত। আর, এই সংখ্যারেখার একদম মাঝে বা কেন্দ্রে রয়েছে আমাদের 'শূন্য'!

"সংখ্যারেখা"

শূন্য কেন +১ এবং -১ এর মাঝেই থাকবে? কারণ, +১ মানে হচ্ছে "আমার কাছে কিছু একটা বেশি আছে", আর -১ মানে হচ্ছে "আমার কাছে কিছু একটা কম আছে"
তাহলে, যার কাছে কিছুই নেই, সে অবশ্যই এই দুজনের মাঝে হবে? আর তাই, শূন্য হচ্ছে সংখ্যারেখার কেন্দ্রবিন্দু। ফলে, সংখ্যারেখায় +১ এবং -১ এর মাঝে শূন্য অবস্থিত।

শূন্যের যোগ বিয়োগ

শূন্যের সাথে কোন সংখ্যার যোগ বা বিয়োগ করলে ফলাফল সেই সংখ্যাই হয়। কিন্তু কেন?
ধরি, প্রথমে আমরা ৩ এর সাথে ৫ যোগ করবো এরপর ৩ হতে ৫ বিয়োগ করবো।
তাহলে, সংখ্যারেখায় ৩ চিহ্নিত করি। এর সাথে ৫ যোগ করা মানে সংখ্যারেখার ডানদিকে ৫ ঘর সামনে যাওয়া। ৫ ঘর সামনে যাওয়ার পর আমরা যেই অবস্থানে পৌঁছবো, সেই অবস্থানের মানই হবে আমাদের ৩ ও ৫ এর যোগফল। অর্থাৎ, নির্ণেয় যোগফল=৮
আবার, ৩ হতে ৫ বিয়োগের ক্ষেত্রে বাম দিকে ৫ ঘর যেতে হবে। ফলে, নির্ণেয় বিয়োগফল=-২
চিত্রে ভালোভাবে দেখা যাকঃ

"সংখ্যারেখায় ৩ + ৫ = ৮ এবং ৩ - ৫ = - ২"

এখন, কোন সংখ্যার সাথে শূন্য(০) যোগ বা বিয়োগ করা মানে সংখ্যারেখায় সেই সংখ্যা হতে শূন্য(০) ঘর ডানে বা বামে যাওয়া। কিন্তু, ০ মানে তো কিছুই নেই! তাহলে, ডানে বা বামে যাবো কিভাবে? শূন্য মানে যেহেতু 'কিছুই নেই', সেহেতু কোন সংখ্যার সাথে শূন্য(০) যোগ বা বিয়োগ করলে সংখ্যারেখায় সেই সংখ্যাটি আগের জায়গাতেই স্থির থাকবে। ফলে, মান হবে ঐ সংখ্যাটিই।
অতএব, যেকোনো সংখ্যা ± 0 = ঐ সংখ্যা। একইভাবে, ০+০=০ এবং, ০-০=০

শূন্যের গুণ

যেকোনো সংখ্যার সাথে শূন্য গুণ করলে ফলাফল শূন্য(০). কিন্তু কেন?
ধরি, দুইটি সংখ্যা ৩ ও ২. এদের গুণফল আমরা বের করবো। ৩ কে ২ দ্বারা গুণ করা মানে হচ্ছে ৩ টা ২ কে যোগ করা বা ২ টা ৩ কে যোগ করা। অর্থাৎ,
3 x 2 = 2+2+2 = 3+3 = 6
একইভাবে, কোন সংখ্যা a কে শূন্য(০) দিয়ে গুণ করা মানে হচ্ছে a সংখ্যক শূন্য(০) কে যোগ করা। ধরি, a=10
তাহলে, 10 x 0 মানে হচ্ছে ১০ টি ০ যোগ করা বা, ০ টি ১০ যোগ করা। একটু আগে আমরা দেখলাম যে, ০+০=০
অর্থাৎ, ১০ টি শূন্য(০) এর যোগফল-ও শূন্য। আবার, ০ টি ১০ এর যোগফল-ও শূন্য। কেননা, ০ টি ১০ মানে, কোন ১০ নেই। অতএব, 10 x 0 = 0.
আর, এই কারণেই যেকোনো সংখ্যা (a) x 0 = 0

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

শূন্যের ভাগ

এই বিষয়টা ভালোভাবে বুঝতে হবে।
শূন্যের ভাগ তিনভাবে হতে পারে। যথাঃ
১. শূন্য(০) কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ;
২. যেকোনো সংখ্যাকে শূন্য(০) দিয়ে ভাগ;
৩. শূন্য(০) কে শূন্য(০) দিয়ে ভাগ।

প্রথমত, শূন্য কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ

শূন্য(০) কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ফলাফল শূন্য। কিন্তু কেন?
দুইটি সংখ্যা a ও b. এখন, a কে b দ্বারা ভাগ করা করে যদি ফলাফল z পাওয়া যায়, তবে b ও z গুণ করলে a পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, a÷b=z হলে, b x z =a হবে।
উদাহরণ দিয়ে বুঝা যাক। দুইটি সংখ্যা ২০ ও ৫. এখন, ২০ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল হবে ৪. কেননা, ৪ ও ৫ গুণ করলে পুনরায় ২০ পাওয়া যায়। তাই, ২০÷৫=৪.
এখন, দুইটি সংখ্যা ০ ও ২০. ফলে, ০ কে ২০ দ্বারা ভাগ করা মানে ভাগফলকে এমন হতে হবে, যাতে ভাগফলের সাথে ২০ গুণ করলে গুণফল শূন্য(০) হয়। আমরা একটু আগে "শূন্যের গুণ" আলোচনা থেকে জানলাম যে, "কোন সংখ্যার সাথে ০ গুণ করলে ফলাফল ০ হয়।". অতএব, ০ কে ২০ দ্বারা ভাগ করলে যেই ভাগফল পবো, সেই ভাগফল যদি শূন্য(০) ব্যাতিত অন্য কোন সংখ্যা হয়, তাহলে আমরা কখনোই আমাদের 'ভাগফল ও ২০' এর গুণফল শূন্য(০) পাবো না। তাই, ভাগফল হবে শূন্য(০)
অতএব, 0÷20=0
এই কারণেই, শূন্য(0) ÷ যেকোনো সংখ্যা = শূন্য(0)

দ্বিতীয়ত, যেকোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে ভাগ

যেকোনো একটি সংখ্যা a হলে আসলে তা শুধুমাত্র a হিসেবে থাকে না। a এর নিচে সর্বদা 1 থাকে ভাগ হিসেবে। কেন?

''ছবি কৃতজ্ঞতাঃ mathwithbaddrawings.com''

'a এর নিচে সর্বদা 1 থাকে' এর মানে হচ্ছে একমাত্র 1 এর সাথেই a কে গুণ করলে পুনরায় a পাওয়া যায়। অন্যকোন সংখ্যা থাকলে এই ঘটনা সত্য নয়। তাই, যেকোনো সংখ্যার নিচে সর্বদা +1 থাকে ভাগ হিসেবে। ফলে, a÷1=a
কিন্তু, 1 এর বদলে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে কি হত? এটাই এবার দেখা যাক!
ধরি, যেকোনো সংখ্যা=a, শূন্য দ্বারা ভাগ করার পর ভাগফল=y
তাহলে, a÷0=y
এর অর্থ হচ্ছে, "y এর মান এমন হবে যাতে y এর সাথে 0 গুণ করলে পুনরায় a পাওয়া যায়।"
এবার a এর যেকোনো মান হিসেবে আমরা ১৫ নিলাম। তাহলে, 15÷0=y. মানে, y এর মান এমন হতে হবে যাতে এর সাথে শূন্য(০) গুণ করলে পুনরায় ১৫ পাওয়া যায়। কিন্তু, আসলেই কি y এর সুনির্দিষ্ট কোন মান কখনো পাওয়া সম্ভব? না, কখনোই না! কারণ, শূন্যের(০) সাথে আমরা যা-ই গুণ করি না কেন, ফলাফল সর্বদা শূন্যই আসবে। তাই, এক্ষেত্রে y এর কোন মান পাওয়া যাবে না। ফলে, 15÷0 বা a÷0 কথাটি অসংজ্ঞায়িত।
কিন্তু, আমরা তো অংক করার সময় "যেকোনো সংখ্যা(a)÷0=অসীম(∞)" লিখি। কেন? তা এবার একটু লক্ষ করা যাক।
আমরা যেকোনো সংখ্যা a=10 নিলাম। এখন, এই 10 কে আমরা যথাক্রমে 1, 0.1, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, ....................... এইভাবে ভাগ করতে করতে শূন্যের দিকে এগুবো। প্রথমে ভাগফলগুলো নিচে লিখে ফেলা যাকঃ
10÷1=10
10÷0.1=100
10÷0.01=1000
10÷0.001=10000
10÷0.0001=100000
10÷0.00001=1000000
................................
...................................
......................................
10÷0=?

এবার একটু লক্ষ্য করা যাক। ১০ কে আমরা যত ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করছি, ভাগফল ততই বড় সংখ্যা আসছে। এভাবে ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে করতে আমরা যখন শূন্যে পৌঁছাবো, তখন ভাগফলের মান অবশ্যই সবচেয়ে বড় হবে। কেননা, শূন্যের বাম দিকে গেলে তখন আবার আগের মানগুলোর ঋণাত্মক মানগুলো পুনরাবৃত্তি হবে। তাই, শূন্য(০) হচ্ছে সেই অবস্থান যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হবে সব চেয়ে বড়! কিন্তু তা কত বড়?-সেটাই এখন দেখার বিষয়!
১০ কে (1, 0.1, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, ....................... ) এই ধারা অনুযায়ী ভাগ করতে করতে আমরা ভাগফলের ধারা পেলাম এইরকমঃ (10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, ..........................)
এখন, 0.1, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, ....................... এই ধারার সর্বশেষ পদটি অবশ্যই শূন্য(০) হবে। কেননা, শূন্য অতিক্রম করলে ঋণাত্মক মান আসা শুরু করবে। তাই, ধারাটি এইভাবে লেখা যায়ঃ 0.1, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, ....................... , 0
আবার, ভাগফলের ধারা বা 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, .......................... এই ধারার শেষে কি আছে? ইহা অসীম পদবিশিষ্ট একটি ধারা। এর কোন শেষ নেই। অতএব এই ধারাটি অসীম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত। তাই, ধারাটি 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, .......................... , +∞ এইভাবে লিখা যায়। যেহেতু, ধারাটি ধনাত্মক দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত, তাই এর শেষ পদ হবে ধনাত্মক অসীম বা Positive Infinity বা +∞
সুতরাং, ১০ কে শূন্য(০) দ্বারা ভাগ করলে এর ফলাফল হবেঃ +∞
আবার, ঋণাত্মক ১০ বা -10 কে শূন্য(০) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হবেঃ -∞
একইভাবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে শূন্য(০) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় +∞ এবং যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যাকে শূন্য(০) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় -∞

"গুগল ক্যালকুলেটরে -10÷0 এর মান ঋণাত্মক অসীম(-∞) দেখা যাচ্ছে"

"গুগল ক্যালকুলেটরে 10÷0 এর মান ধনাত্মক অসীম(+∞) দেখা যাচ্ছে"

আমাদের একটা কথা মনে রাখা দরকার, অসীম কিন্তু কোন সংখ্যা নয়। ইহা কেবল একটি ধারণা মাত্র। অসীম বলতে কোন কিছুর আসলে অস্তিত্ব নেই। তাই, হিসাবের ক্ষেত্রে যেই জিনিসগুলার মান অসীম(∞), তারা সবাই আসলে অসংজ্ঞায়িত।

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

তৃতীয়ত, শূন্য কে শূন্য দিয়ে ভাগ

এতক্ষণ তো আমরা শূন্য কে শূন্য ব্যতীত অন্য সকল সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা দেখলাম। যার ভাগফল হচ্ছে অসীম(∞)
তাহলে কি আমরা "০÷০=আসীম(∞)" লিখতে পারি না? হ্যাঁ! অবশ্যই পারি! কেন পারবো না?! কিন্তু, কাজটা তো এখানেই শেষ নয়!
ধরি, 0÷0=i
তাহলে, i এর মান এমন হবে যাতে i এর সাথে শূন্য(০) গুণ করলে পুনরায় শূন্য পাওয়া যায়। আমরা জানি যে, শূন্য কে যেই সংখ্যা দ্বারাই গুণ করি না কেন, ফলাফল সর্বদা শূন্যই হবে। তাই, i এর মান যেকোনো কিছুই হতে পারে! কেননা,
i=0 হলে,0x0=0
i=1 হলে, 1x0=0
i=-1 হলে, -1x0=0
i=2 হলে, 2x0=0
i=-2 হলে, -2x0=0
i=3 হলে, 3x0=0
i=-3 হলে, -3x0=0
.....................
.......................
.....................

"গুগল ক্যালকুলেটরে 0÷0 এর মান Error দেখাচ্ছে"

... এভাবে আজীবন চলতে থাকবে।
অতএব, i = (-∞, ........................, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..................... , +∞)
দেখা যাচ্ছে, i এর অসীম সংখ্যক মান রয়েছে! ফলে, 0÷0 এর ভাগফল রয়েছে অসীম সংখ্যক! 0÷0 এর ভাগফলকে নির্দিষ্ট ভাবে বলা কখনো সম্ভব না। তাই, 0÷0 একইসাথে অসংজ্ঞায়িত এবং অনির্ণেয়।
অনির্ণেয় কেন? অনির্ণেয় মানে হচ্ছে, যার মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। এখানে 0÷0 এর অসীম সংখ্যক ফলাফল থাকায়, সুনির্দিষ্টভাবে এর ফলাফল বলা কখনোই সম্ভব নয়। তাই, 0÷0 হচ্ছে অসংজ্ঞায়িত এবং অনির্ণেয়।

শূন্য কি ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক?

শূন্য আসলে এদের কোনটিই নয়! শূন্য হচ্ছে নিরপেক্ষ।
"শূন্য হচ্ছে নিরপেক্ষ"- কথাটি বুঝবার আগে পজিটিভ(+) এবং নেগেটিভ(-) কি জিনিস তা বুঝতে হবে। যেকোনো সংখ্যা a=±1 হলে +১ এর মানে হচ্ছে ১ বেশি আছে এবং -১ মানে হচ্ছে ১ কম আছে। কিন্তু, শূন্য(০) মানে 'কিছুই নেই'. আর, যেইখানে কিছুই নেই সেইখানে তো কম বা বেশি হবার প্রশ্নই আসে না। এই কারণে শূন্য(০) হচ্ছে চিহ্ন নিরপেক্ষ। অর্থাৎ, +0 = -0
একই কারণে, 0+0=0 এবং 0-0=0

শূন্য কি জোড় নাকি বিজোড়?

কোন একটি সংখ্যা জোড় কখন হয় আর বিজোড় কখন হয় তা জানা থাকলেই এই প্রশ্নের জবাব দেয়া সম্ভব। শুরুতে কয়েকটা জিনিস লক্ষ্য করা যাকঃ
১. বিজোড় এবং জোড় কে যোগ করলে সর্বদা বিজোড় সংখ্যা পাওয়া যায়;
২. জোড় সংখ্যাকে 2n এবং বিজোড় সংখ্যাকে 2n+1 দ্বারা প্রকাশ করা যায়;
৩. দুটি বিজোড় সংখ্যার মাঝে একটি জোড় সংখ্যা অবস্থান করে এবং দুটি জোড় সংখ্যার মাঝে একটি বিজোড় সংখ্যা অবস্থান করে;

১ অনুসারে, যেকোনো বিজোড় সংখ্যা k=3 নিলাম। তাহলে,
৩+০=৩=বিজোড় সংখ্যা।
একইভাবে, ৫+০=৫; ৭+০=৭; ৯+০=৯; ১১+০=১১ .......... ইত্যাদি।
তাহলে, ১ নং অনুসারে 'শূন্য একটি জোড় সংখ্যা'।

২ অনুসারে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n হলে, জোড় সংখ্যাকে 2n এবং বিজোড় সংখ্যাকে 2n+1 দ্বারা প্রকাশ করা যায়। ফলে, বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সর্বদা 1 অবশিষ্ট থাকে। যেমনঃ
1 = 1x0 + 1 = 0+1
3 = 2x1 + 1 = 2+1
5 = 2x2 + 1 = 4+1
7 = 3x2 + 1 = 6+1
9 = 4x2 + 1 = 8+1
................ এভাবে চলতে থাকবে।
দেখা যাচ্ছে যে, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা একটি জোড় সংখ্যা এবং ১ এর সমষ্টি। প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষে ১ অবশেষ থাকে।
জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রেঃ
2 = 1x2 = 2
4 = 2x2 = 4
6 = 3x2 = 6
8 = 4x2 = 8
10 = 5x2 = 10
.............. এভাবে চলতে থাকবে।
জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রের বিজোড়ের মত কোন ১ অবশিষ্ট থাকে না। এবার শূন্যের ক্ষেত্রেঃ
0 = 0x0 = 0x1 = 0x2 = 0x3 = 0x4 = 0x5 = ................... = 0
অতএব, শূন্যের ক্ষেত্রেও কোন অবশেষ থাকছে না। তাই, ২ অনুসারে "শূন্য একটি জোড় সংখ্যা।"

৩ অনুসারে, পূর্ণসংখ্যার সিরিজ= ....................., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .........................
এখানে ৩ বিজোড় সংখ্যা। কেননা, ৩ এর দুই পাশে দুটি বিজোড় সংখ্যা ২ ও ৪ আছে। আবার, ২ জোড় সংখ্যা। কারণ, এর দুইপাশে দুটি বিজোড় সংখ্যা ১ ও ৩ আছে।
এখন, ১ বিজোড় সংখ্যা। এর দুই পাশে ০ ও ২ আছে। ২ জোড় সংখ্যা। ১ কে বিজোড় হতে হলে ০ কে অবশ্যই জোড় হতে হবে। তাই, শূন্য হচ্ছে জোড় সংখ্যা।
আবার, শূন্যের(০) দুই পাশে -১ ও +১ আছে। যারা উভয়েই বিজোড় সংখ্যা। তাই, এদের মাঝখানে অবস্থিত শূন্য(০) কে অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
অতএব, শূন্য একটি জোড় সংখ্যা।

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত শূন্য হলে কি হয়?

এই বিষয়টি বুঝার আগে গণিতে "পাওয়ার বা ঘাত" এর কাজ সম্বন্ধে ভালো ধারণা থাকা প্রয়োজন। পাওয়ার বা ঘাতের কাজ কি?

ধরি, a একটি সংখ্যা। এর পাওয়ার বা ঘাত 2 দেয়া মানে দুইটা a গুণ আকারে আছে। একইভাবে তিন দেয়া মানে তিনটা a গুণ আকারে আছে। অর্থাৎ,

a² = a x a

a³ = a x a x a

a এর পাওয়ার 1 থাকা মানে ১ টা a গুণ আকারে আছে। কিন্তু, এই ১ টা a কিসের সাথে গুণ আকারে? এটি আসলে 1 এর সাথে গুণ আকারে আছে। আমরা যখন কোন সংখ্যা কে অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা গুণ করি, সেখানে আসলে আগে থাকতেই 1 গুণ আকারে থাকে। কারণ, 1 ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা গুণ করলে গুণফল পরিবর্তন হয়ে যাবে। তাই, সকল গুণের আগে আমরা 1 কে গুণ আকারে লিখতে পারি। 1 কে গুণ আকারে লিখা, না লিখে একই কথা হওয়ার আমরা একে সচারচর লিখি না। যদি লিখতাম, তাহলের উপরের লাইন দুটি এমন হতঃ

a² = 1 x a x a

a³ = 1 x a x a x a

অর্থাৎ, প্রত্যেক গুণের শুরুতেই 1 গুণ আকারে থাকে। সেই হিসেবে, a এর পাওয়ার 1 থাকা মানে, 1 এর সাথে ১ টি a গুণ আকারে আছে।

a¹ = 1 x a = a

"গুগল ক্যালকুলেটরে 0⁰ এর মান 1 দেখাচ্ছে"

এখন যদি a এর পাওয়ার শূন্য(০) হয়, তাহলে কি হবে?

'a এর পাওয়ার বা ঘাত শূন্য(০)'- এই কথাটির মানে হচ্ছে, "1 এর সাথে ০ টি a গুণ আকারে আছে। বা, 1 এর সাথে কোন a গুণ আকারে নেই।"

ফলে, 1 একাই থাকে। এর সাথে কারো গুণ হয় নি। তাই a এর পাওয়ার শূন্য হলে এর মান 1

a⁰ = 1

একইভাবে, 0⁰এর মানে হচ্ছে 0 টি 0 গুণ আকারে আছে। মানে, আগে থেকেই যে 1 আছে তার সাথে কোন শূন্য(০) গুণ আকারে নেই। অর্থাৎ, এক্ষেত্রেও উত্তর হবে 1
সুতরাং, 0⁰=1

অতএব, শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত শূন্য হলে তার মান এক(১) হয়।

আবার, শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত যদি শূন্য ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা হয়, তাহলে কিন্তু তার মান হয় শূন্য। যেমন, শূন্যের পাওয়ার ৫ হওয়া মানে "1 এর সাথে ৫ টা শূন্য(০) গুণ আকারে আছে". অর্থাৎ,
0⁵ = 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0
তাই, শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত শূন্য হলে তার মান এক(১) হয়। আর, শূন্যের পাওয়ার বা ঘাত যদি শূন্য ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা হয়, তাহলে কিন্তু তার মান হয় শূন্য।

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৯৩০ কেবি)

পরিসীমা, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন কি?

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 07 Nov 2014 16:16:00 +0000

প্রায় সবার কাছে এই শব্দ তিনটি খুব পরিচিত। গণিত, পদার্থ, রসায়ন প্রভৃতি প্রায় সকল শাখায়-ই এই তিনটি শব্দের বহুল ব্যবহার রয়েছে। এক কথায় কিছু জেনে রাখা ভালোঃ

১. পরিসীমা হচ্ছে সরলরৈখিক একটা কিছু। এর মাত্রা "এক"

২. ক্ষেত্রফল হচ্ছে দ্বিমাত্রিক একটা কিছু। এর মাত্রা "দুই"

৩. আয়তন হচ্ছে ত্রিমাত্রিক একটা কিছু। এর মাত্রা "তিন"

এবার তাহলে শুরু করা যাকঃ

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

পরিসীমা কি?

ইহা "সরলরৈখিক" একটা কিছু! যার মাত্রা "এক"

পরিসীমাকে ভালোমত বুঝতে হলে "বাউন্ডারি" বা "বর্ডার" বা "সীমানা" সম্বন্ধে ধারণা থাকলেই যথেষ্ট। কারন, এই "বাউন্ডারি" বা "বর্ডার" বা "সীমানা"-ই হচ্ছে গণিতের ভাষায় "পরিসীমা"।

একটা বর্গ চিন্তা করা যাক। যার এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।

ডানপাশের চিত্রে a একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গের ছবি দেয়া হল। এই বর্গের চারটি বাহুর সংযোগস্থলে চারটি ভিন্ন ভিন্ন রঙের বিন্দু দেখানো হয়েছে এবং প্রতিটি বিন্দুতে নম্বর দেয়া হয়েছে।

এখন, এই বর্গের পরিসীমা মাপতে হলে, যেকোনো একটি বিন্দু হতে পরিসীমা পরিমাপ শুরু করতে হবে। ধরি, সেই বিন্দুটি 'সবুজ বিন্দু' বা ১ নং বিন্দু। এবার ১ নং বিন্দু হতে এই বর্গের "বাউন্ডারি" বা "বর্ডার" বা "সীমানা"র উপর দিয়ে পুনরায় ১ নং বিন্দুতে আসতে যতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে, সেই অতিক্রান্ত দূরত্বটুকুই হচ্ছে এই বর্গের পরিসীমা। এখন, সবুজ বিন্দু হতে যাত্রা শুরু করি!

প্রথমত, ১ হতে ২ নং যাবো। এক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব "a একক"

দ্বিতীয়ত, ২ হতে ৩ নং যাবো। এক্ষেত্রেও অতিক্রান্ত দূরত্ব "a একক"

তৃতীয়ত, ৩ হতে ৪ নং যাবো। এক্ষেত্রেও অতিক্রান্ত দূরত্ব "a একক"

চতুর্থত, ৪ হতে ১ নং এ আসবো। এক্ষেত্রেও অতিক্রান্ত দূরত্ব "a একক"

তাহলে, মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = a+a+a+a = 4a = বাহুগুলোর যোগফল।

একইভাবে,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = দৈর্ঘ্য+দৈর্ঘ্য+প্রস্থ+প্রস্থ = a+a+b+b = 2a+2b = বাহুগুলোর যোগফল।
ত্রিভুজের পরিসীমা = a+b+c = বাহুগুলোর যোগফল।

ক্ষেত্রফল কি?

ইহা "দ্বিমাত্রিক" একটা কিছু! যার মাত্রা "দুই"
ক্ষেত্রফল বুঝতে হলে "বর্গ" সম্বন্ধে ভালো ধারনা থাকা দরকার।
বর্গ কি? এককথায় বলতে গেলে, যেই চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য একই, সেই চতুর্ভুজকে বর্গ বলে। বর্গের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য একইরকম হওয়ায়, 'বর্গ' হচ্ছে "ক্ষেত্রফলের একক"
তাহলে, ক্ষেত্রফলটা কি? কোন ক্ষেত্রকে (যেমনঃ ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র ইত্যাদি) যতগুলো একক বর্গক্ষেত্রে ভাগ করা যায়, ঐ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তত বর্গ একক। এখানে, "একক বর্গক্ষেত্র" বলতে, যেই বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক, তাকে বোঝানো হয়েছে। আরো পরিষ্কার করা যাক।। ধরি, আমাদের কাছে একটি আয়তক্ষেত্র আছে। যার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার। এখন ৭ মিটারকে সমান ৭ টি ভাগে ভাঙবো এবং ৫ মিটারকে সমান ৫ টি ভাগে ভাঙবো। ফলে প্রতিটি ভাগের মান হবে ১ মিটার করে। ডানপাশের চিত্রে দেখুন।

চিত্রের ভেতরে অনেকগুলা ছোট ছোট 'খোপ' বা 'ঘর' দেখা যাচ্ছে। একটু লক্ষ্য করে দেখুন, এই ঘরগুলোর প্রত্যেকেই একেকটি বর্গ! কারন, প্রত্যেকের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান বা ১ মিটার। অর্থাৎ, এরা সবাই "একক বর্গক্ষেত্র". ক্ষেত্রফলের আলোচনার শুরুতেই বলেছিলাম, "কোন ক্ষেত্রকে (যেমনঃ ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র ইত্যাদি) যতগুলো একক বর্গক্ষেত্রে ভাগ করা যায়, ঐ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তত বর্গ একক". মানে, এই আয়তক্ষেত্রের ভেতরের যতগুলা ছোট ছোট 'খোপ' বা 'ঘর' রয়েছে, তাদের সমষ্টিই হচ্ছে উক্ত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। এবার তাহলে ভেতরের খোপগুলো বা ঘরগুলো একটি একটি করে গুণে দেখা যাক। বামপাশের চিত্রে দেখুন।

বামপাশের চিত্র হতে দেখা যায় যে, মোট "খোপ সংখ্যা" বা "ঘর সংখ্যা" হচ্ছে ৩৫
তাহলে, আমাদের নেয়া আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও ৩৫! কারন, ৭ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৫ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রকে ৩৫ টি "একক বর্গক্ষেত্রে" ভাগ করা সম্ভব। তাই, এর ক্ষেত্রফল ৩৫.
এবার একটু লক্ষ্য করা যাক! ৭x৫=৩৫. কিন্তু, এখানে ৭ হচ্ছে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং ৫ হচ্ছে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ। অর্থাৎ, ৩৫=৭x৫=দৈর্ঘ্যxপ্রস্থ
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=দৈর্ঘ্যxপ্রস্থ

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

ক্ষেত্রফলের একক

আমরা প্রায় সবাই-ই জানি যে, ক্ষেত্রফলের একক হচ্ছে "বর্গ একক". যেমনঃ বর্গ মিটার, বর্গ সেন্টিমিটার, বর্গ কিলোমিটার ইত্যাদি।
কিন্তু, কেন? একটু আগের আলোচনা হতে অনেকের-ই এর কারণটা বুঝে ফেলার কথা। তারপরেও বলছি।
যেহেতু, ক্ষেত্রফল বের করা মানে কোন ক্ষেত্রের ভেতরের "একক বর্গসংখ্যা" বের করা। সেহেতু, ক্ষেত্রফলের একক হচ্ছে "বর্গ একক"
অর্থাৎ, কোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৫ বর্গ মিটার বলতে বোঝায়, ঐ ক্ষেত্রকে ৩৫ টি বর্গক্ষেত্রে বিভক্ত করা যায়, যেখানে প্রত্যেকটি বর্গের ক্ষেত্রফল "১ বর্গ মিটার" বা, "একক বর্গ মিটার"

আয়তন কি?

ইহা "ত্রিমাত্রিক" একটা কিছু! যার মাত্রা "তিন"
ত্রিমাত্রিক যেকোন বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা থাকে। যার কারনে ত্রিমাত্রিক বস্তুর মাত্রা তিন।
আয়তন বুঝতে হলে প্রথমেই "ঘনক" সম্বন্ধে ভালো ধারনা থাকা দরকার।
ঘনক কি? যে ত্রিমাত্রিক বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা একই তাকে ঘনক বলে।
অর্থাৎ, ঘনকের শর্ত হচ্ছে দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল বুঝে ফেললে আয়তন বুঝতেও সময় লাগবে না! কারণ, ক্ষেত্রফল বের করার সময় আমরা একটি ক্ষেত্রের ভেতর কতগুলা "একক বর্গক্ষেত্র" আছে তা গুনেছিলাম। এইবার, একটি ঘনবস্তুর ভেতর কতগুলা "একক ঘনক" রয়েছে তা বের করতে পারলেই আয়তন বের করা হয়ে যাবে! এখানে, 'একক ঘনক' হচ্ছে সেই ঘনক, যার দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা=১ একক। এবার তাহলে একটা উদাহরণ দেয়া যাক।
আমরা প্রায় সবাই-ই "রুবিক'স কিউব"-এর সাথে পরিচিত। যারা পরিচিত নই, তারা ডানের ছবিটি দেখলেই মুহূর্তের মধ্যেই "রুবিক'স কিউব" চিনে যাবো! আমরা এটা নিয়ে অনেকেই খেলা করি! এখানে এমন একটি "রুবিক'স কিউব" দেখানো হয়েছে, যার দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা=৪ একক। ডানের চিত্রটি একটি 'ত্রিমাত্রিক' বা '3D' ছবি। চিত্রের ভেতরে অনেকগুলো 'ঘনক' দেখা যাচ্ছে। যারা প্রত্যেকেই 'একক ঘনক', কারণ ভেতরের ছোট ছোট ঘনকের প্রত্যেকের বাহুর দৈর্ঘ্য "১ একক". ফলে তারা সবাই "একক ঘনক". এখন, ভেতরের সকল ছোট ছোট ঘনককে এক এক করে গুনতে হবে। যতটি ঘনক পাওয়া যাবে, "রুবিক'স কিউব"-এর আয়তন হবে তত। এবার তাহলে গণনা শুরু করা যাক!
যেহেতু, ইহা একটি ত্রিমাত্রিক বা 3D ছবি, তাই সাধারণ পদ্ধতিতে এঁকে গোণা ঠিক হবে না। এক্ষেত্রে ভুলের সম্ভাবনা থাকে! তাই, আমরা "রুবিক'স কিউব"-কে কয়েকটা পৃথক পৃথক খণ্ডে ভাগ করবো যাতে আমাদের গুনতে এবং বুঝতে সুবিধা হয়। নিচের চিত্রটি ভালোভাবে লক্ষ্য করা যাকঃ

{ছবিটি বুঝতে অসুবিধা হলে ছবির উপর ক্লিক করে ফুল রেজুলেশনের ছবিটি দেখে নিন}

উপরের ছবিতে আমাদের নেয়া কিউব-কে চারটি খণ্ডে বিভক্ত করা হয়েছে। এই চারটি খণ্ড মিলে উক্ত "রুবিক'স কিউব" টি গঠন করা যায়। ছবি হতে দেখা যায়ঃ

১ম খণ্ডে ঘনক সংখ্যাঃ ২৮টি

২য় খণ্ডে ঘনক সংখ্যাঃ ২০টি

৩য় খণ্ডে ঘনক সংখ্যাঃ ১২টি

৪র্থ খণ্ডে ঘনক সংখ্যাঃ ৪টি

সুতরাং, মোট ঘনক সংখ্যা= ২৮+২০+১২+৪ = ৬৪টি।

অতএব, আমাদের নেয়া "রুবিক'স কিউব" এর আয়তন = ৬৪ ঘন একক। আয়তনের একক "ঘন একক" কেন?- তা একটু পরে বলছি।

এবার একটু লক্ষ্য করা যাক! আমাদের নেয়া "রুবিক'স কিউব" এর আয়তন ৬৪ ঘন একক। আবার, এই ৬৪ হচ্ছে তিনটি ৪ এর গুণফল। মানে, ৬৪=৪x৪x৪=দৈর্ঘ্যxপ্রস্থxউচ্চতা

ঘনকের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা হওয়ায়, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার প্রত্যেককে বাহু বলে বিবেচনা করা যায়। তাহলে, ঘনকের আয়তন=দৈর্ঘ্যxপ্রস্থxউচ্চতা=বাহুxবাহুxবাহু=(বাহু)³

আয়তনের একক

আমরা প্রায় সবাই-ই জানি যে, আয়তনের একক হচ্ছে "ঘন একক". যেমনঃ ঘন মিটার, ঘন সেন্টিমিটার, ঘন কিলোমিটার ইত্যাদি।
কিন্তু, কেন?
যেহেতু, আয়তন বের করা মানে কোন ঘনবস্তুর ভেতরের "একক ঘনক সংখ্যা" বের করা। সেহেতু, আয়তনের একক হচ্ছে "ঘন একক"
অর্থাৎ, কোন ঘনবস্তুর আয়তন ৩৫ ঘন মিটার বলতে বোঝায়, ঐ ঘনবস্তুকে ৩৫ টি ঘনকে বিভক্ত করা যায়, যেখানে প্রত্যেকটি ঘনকের আয়তন "১ ঘন মিটার" বা, "একক ঘন মিটার"
আর তাই, আয়তনের একক হচ্ছে "ঘন একক"

মজার গণিত অ্যাপের Google Play Store লিঙ্কঃ

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mojargonit

বাস্তব জীবনে আয়তনের একটি উদাহরণ

বাস্তব জীবনে অনেক কাজেই আমরা আয়তন ব্যবহার করে থাকি। তন্মধ্যে একটি উদাহরণ এখানে উল্লেখ করা হলঃ
আমরা প্রায় সবাই-ই ইটের স্তুপের সাথে পরিচিত। বাড়ি বানানোর সময় অনেকগুলা ইট একটার উপর একটা রেখে ইটের স্তুপ তৈরি করা হয়। যা দেখতে একটি ঘনবস্তুর মতই। নিচে ডান পাশের ছবিতে দেখতে পারেন। এখন, এই ইটের স্তুপ থেকে মোট ইটের সংখ্যা বের করতে হলে আমাদের "আয়তন" বের করা জানতে হবে। নতুবা, সারাদিন লেগে যাবে ইট গুনতে গুনতে। এর আগে আমরা "একক ঘনক" এর মোট সংখ্যা বের করে আয়তন বের করেছিলাম। এবার আমরা একটি ইটকে "একক ঘনক" হিসেবে বিবেচনা করবো।
প্রথমত, ইটের স্তুপের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা চিত্রের মত ধরে নিতে হবে।
দ্বিতীয়ত, দৈর্ঘ্য বরাবর যেকোনো এক সারিতে ইটের সংখ্যা গুনতে হবে। ধরলাম, দৈর্ঘ্য বরাবর একদম উপরের সারিতে ইট সংখ্যা A
তৃতীয়ত, প্রস্থ বরাবর যেকোনো এক সারিতে ইটের সংখ্যা গুনতে হবে। ধরলাম, প্রস্থ বরাবর একদম নিচের সারিতে ইট সংখ্যা B
চতুর্থত, উচ্চতা বরাবর যেকোনো এক কলামে ইটের সংখ্যা গুনতে হবে। ধরলাম, উচ্চতা বরাবর ডান পাশের কলামে ইট সংখ্যা C
তাহলে, মোট ইট সংখ্যা = দৈর্ঘ্য বরাবর যেকোনো এক সারিতে ইটের সংখ্যা x প্রস্থ বরাবর যেকোনো এক সারিতে ইটের সংখ্যা x উচ্চতা বরাবর যেকোনো এক কলামে ইটের সংখ্যা = AxBxC
কেন এমন হল? কারণ, আমরা আগেই তো একটি ইটকে আমাদের গণনার 'একক' ধরে নিয়েছিলাম। যার ফলে, আমরা পূর্বের ন্যায় ঘনক সংখ্যা বের করার বদলে ইট সংখ্যা বের করে ফেললাম। মজার না জিনিসটা?

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৫১ কেবি)

লগের ভিত্তি বা বেইজ কেন শূন্য হতে পারে না?

noreply@blogger.com (মুবিন) — Mon, 01 Sep 2014 06:12:00 +0000

আমরা প্রায় সবাই-ই জানি যে, লগের ভিত্তি বা বেইজ কখনো শূন্য হতে পারে না। এবং লগের ভিত্তি যদি শূন্য নেয়া হয়, তাহলে সেই লগের কোন ফলাফল আসে না বা অসঙ্গায়িত ফলাফল। কিন্তু কেন?

লগের ভিত্তি শূন্য হলে এমন কি সমস্যা-ই বা হত?

এবং, লগের ভিত্তি এবং লগে দেয়া সংখ্যা উভয়েই শূন্য হলে কি হত?

“লগের ভিত্তি কেন শূন্য হতে পারে না?”- বুঝতে হলে, প্রথমেই বুঝতে হবে লগ এবং লগের বেইজ বা লগের ভিত্তি সম্বন্ধে। “মজার গণিত”-এর বিগত গণিত পোস্টে লগ(log) এবং লন(ln) নিয়ে বিস্তারিত লেখা হয়েছিল। তাই, প্রথমত লগ সম্বন্ধে খুব ভালো ধারণা থাকতে হবে। সেজন্য এই লেখাটি প্রথমে পড়ে আসুনঃ-

লগ(log) এবং লন(ln) কি?

এবার শুরু করা যাকঃ

যারা লগ সম্বন্ধে মোটামুটি ভালো জানেন, তারা জানেন যে, “কোন লগারিদম বা লগের অংকে একটি সংখ্যা দেয়া হয়। লগের কাজ হল সেই সংখ্যাকে লগের বেইজের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে প্রকাশ করা। যা হচ্ছে ঐ লগের ফলাফল। অর্থাৎ, লগের ফলাফল হচ্ছে বেইজ এর ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’”- এই কথাটার মানে অবশ্যই ভালোমত বুঝতে হবে। তা না হলে, সামনের কোন কিছুই বুঝা যাবে না। এই কথাটা না বুঝলে উপরে দেয়া লিঙ্ক হতে “লগ(log) এবং লন(ln) কি?” পড়ে আসুন।

কোন লগের ভিত্তি শূন্য বলতে কি বুঝায়?

কোন লগের ভিত্তি শূন্য মানে, ঐ লগে যদি কোন সংখ্যা দেয়া হয়, তবে লগ সেই সংখ্যাটিকে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করার চেষ্টা করবে। এবং বেইজের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যা আসবে, তা হবে ঐ লগের ফলাফল।

এবার একটু চিন্তা করুন ...

শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যা-ই হোক না কেন, ফলাফল তো সর্বদা একই আসবে। শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" বলতে আসলে কিছু নেই। কারণ, শূন্যের উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে যত বড় বা যত ছোট সংখ্যাই দেয়া হোক না কেন, ফলাফল সর্বদা শূন্যই আসবে। *(শূন্যের পাওয়ার যদি শূন্য হয়, তবে তা কিন্তু অনির্ণেয়)*

এখন যদি আমরা কোন লগের ভিত্তি শূন্য দেই এবং লগে input হিসেবে যদি দেই ১০, তাহলে এর মানে আমরা লগকে বলছি, “এই লগ! ১০ সংখ্যাটিকে শূন্যের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে তৈরি করে দাও তো!”- কি সাংঘাতিক! ১০ কে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে তৈরি করতে হবে! এটা কি কখনো সম্ভব? না, কখনোই সম্ভব না। কারণ, শূন্যের উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" দিলে সর্বদা শূন্যই পাওয়া সম্ভব। শূন্য ব্যতিত অন্য কোন সংখ্যা পাওয়া সম্ভব না। তাই, লগের বেইজ বা ভিত্তি শূন্য দিয়ে কোন সংখ্যা input দেয়া হলে, লগ সেই সংখ্যাকে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করতে পারে না। ফলে, এর কোন ফলাফল পাওয়া যায় না। অর্থাৎ, এর কোন মান নেই বা গাণিতিক ভাষায় “অসঙ্গায়িত”!

লগের ভিত্তি এবং লগে দেয়া সংখ্যা উভয়েই যদি শূন্য হয়?

“লগের ভিত্তি শূন্য হলে, সেই মান অসঙ্গায়িত”- এটা তো আমরা জানলাম। কিন্তু, লগের ভিত্তি এবং লগের input এ দেয়া সংখ্যা উভয়েই শূন্য হলে কি হবে?

এক্ষেত্রে ফলাফল “অসঙ্গায়িত” এবং “অনির্ণেয়”! কিভাবে? সেটাই তো এখন দেখার বিষয়!

লগের ভিত্তি শূন্য বসানোর মানে, আমরা এমন একটি লগের মেশিন তৈরি করেছি, যেখানে লগের input এ কোন সংখ্যা দেয়া হলে সেই সংখ্যাকে আমাদের লগের মেশিন শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করে দেখাবে। আমরা একটু আগে জানলাম, কোন সংখ্যার-ই এক্ষেত্রে লগের মান পাওয়া সম্ভব নয়।

কিন্তু, শূন্যের পাওয়ার যেকোনো কিছু হলে তো ফলাফল শূন্য। তার মানে, লগের বেইজ এবং input এ দেয়া সংখ্যা যদি শূন্য হয়, তাহলে কিছু একটা হওয়া সম্ভব! কিন্তু, কি হবে? সেক্ষেত্রে আসলে লগের ফলাফল অনেক! কারণ, লগের ভিত্তি এবং input উভয় স্থানেই শূন্য দিয়ে লগকে আমরা বলছি, “এই লগ! ০ সংখ্যাটিকে শূন্যের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে তৈরি করে দাও তো!”

এখন, শূন্যের উপর পাওয়ার হিসেবে যেকোনো কিছু বসালে ফলাফল সর্বদা শূন্য। তাই, এই অংকের ফলাফল রয়েছে অসীম সংখ্যক! কেননা, ০ এর উপর ১ বসালেও ০, ০ এর উপর ২ বসালেও ০, ০ এর উপর ৩ বসালেও ০, ০ এর উপর ৪ বসালেও ০, ০ এর উপর ৫ বসালেও ০, ০ এর উপর ৬ বসালেও ০, ০ এর উপর ৭ বসালেও ০, ............... এভাবে অনন্তকাল চলতে থাকবে। তাই, নির্দিষ্ট করে কোন ফলাফল বলা সম্ভব নয়। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে তা “অসঙ্গায়িত” এবং “অনির্ণেয়”!

নোটঃ আমার আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজন-ও "লগের ভিত্তি বা বেইজ কেন শূন্য হতে পারে না?" বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক। যদি কারো কোন জায়গায় বুঝতে অসুবিধা হয়, অথবা যদি কোন প্রশ্ন বা প্রতিক্রিয়া থাকে, তবে নিচে মন্তব্য করে জানাতে পারেন। সবার জীবন হোক গণিতময় :)

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৩৯ কেবি)

লগ(log) এবং লন(ln) কি?

noreply@blogger.com (মুবিন) — Sat, 02 Aug 2014 16:48:00 +0000

গণিতের অনেকগুলো অপারেটরের মধ্যে খুবই জনপ্রিয় এবং গুরুত্বপূর্ণ একটি অপারেটর হচ্ছে "লগ(log)"

কিন্তু, লগ দ্বারা আসলে কি বোঝায়?

"লগ এর ভিত্তি" বা "লগ এর বেইজ" কথাটির মানে কি?

আর, লগ(log) এর সাথে লন(ln) এর ই বা কি সম্পর্ক?

লগ কি?

এক কথায় বলতে গেলে, লগ(log) হচ্ছে এমন একটি অপারেটর যার কাজ অনেক বড় বড় সংখ্যাকে ছোট করে দেয়া। আর লগের এই ছোট মান দ্বারা সেই বড় মানটি বের করে ফেলা সম্ভব। যেমনঃ একটি সংখ্যা ১,০০,০০,০০০ ধরে নেয়া যাক। এখন আমরা ১০ ভিত্তিক একটি লগ নিলাম এবং আমাদের সংখ্যাটিকে সেই ১০ ভিত্তিক লগের ভেতর ফেলে দিলাম। তাহলে, আমাদের মান আসবে মাত্র ৭! কিভাবে হল?- সেটাই এখন দেখার বিষয়!

লগ(log) বা লন(ln) লেখার নিয়ম

প্রথমেই যেটা জানা দরকার তা হল, "লগের ভিত্তি" বা "লগের বেইজ" ছাড়া কিন্তু লগ কখনই কাজ করতে পারে না। তাই প্রতিটা লগে অবশ্যই এর ভিত্তি বলে দেয়া থাকতে হবে। আর এই ভিত্তি থাকে log এর g অক্ষরের গোঁড়ায়। যা লগের বেইজ লেখার স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম। লগের বেইজ লেখা শেষ। এবার যেই সংখ্যাকে আমরা ছোট করতে চাই, সেই সংখ্যাকে লিখতে হবে "লগের বেইজ" এর ঠিক উপরে। যেইভাবে আমরা সাধারণত কোন সংখ্যার উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" লিখে থাকি সেইভাবে।

লন(ln) এর ক্ষেত্রে কোন বেইজ লিখতে হয় না। কারণ, লন দ্বারা e ভিত্তিক লগকে বোঝায়। তাই, লন(ln) এ শুধুমাত্র input দিতে হয়।

এখানে, আমরা যাকে "input" বলছি, একে গণিতে "argument" বলা হয়। আমরা আমাদের বোঝার সুবিধার জন্যে input বলছি।

'লগের ভিত্তি' বা 'লগের বেইজ' কি?

লগ বুঝতে গেলে সবসময় যেই কথাটি মাথায় রাখা দরকার সেটি হল, লগ সর্বদা "power" বা "to the power" বা "ঘাত" নিয়ে কাজ করে। আর 'লগের ভিত্তি' বা 'লগের বেইজ' মূলত সেই কাজটি পরিচালনা করে থাকে। কোন লগারিদম বা লগের অংকে input এ একটি সংখ্যা দেয়া হয়। লগের কাজ হল সেই সংখ্যাকে লগের বেইজ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করা। যা হচ্ছে ঐ লগের ফলাফল। অর্থাৎ, লগের ফলাফল হচ্ছে বেইজ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত"

যেমনঃ প্রথমে আমরা ১,০০,০০,০০০ সংখ্যাটি input হিসেবে ধরে নিয়েছিলাম এবং লগের ভিত্তি বা বেইজ হিসেবে নিয়েছিলাম ১০ কে। যার ফলে এই লগের ফলাফল আসে ৭. এখন একটু লক্ষ্য করা যাক। আমরা যেই সংখ্যা নিয়েছিলাম সেখানে শুন্য ছিল ৭ টি। আবার, লগের ভিত্তি হিসেবে নেয়া ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যদি ৭ হয়, তবে তার মান হয় ১,০০,০০,০০০. অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে যদি ১০ ভিত্তিক একটি লগের মেশিনের মধ্যে ফেলা হয়, তাহলে সেই লগের মেশিন ঐ সংখ্যাটিকে ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে তৈরি করবে এবং তা ফলাফল হিসেবে প্রদর্শন করবে।

একইভাবে, ১০ ভিত্তিক লগের মান ২৩ বলতে বোঝায়, ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হচ্ছে ২৩. এবং সংখ্যাটি হচ্ছে ১,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০০

এইভাবে কোন বড় সংখ্যাকে লগের মাধ্যমে ছোট করে ফেলা সম্ভব।

বাস্তব জীবনে লগের ব্যবহার

বাস্তবে আমরা অনেক কাজেই লগ ব্যবহার করে থাকি। যেমনঃ ভূমিকম্প মাপার মেশিনের নাম হচ্ছে "Richter magnitude scale" বা আমরা শুধু "রিক্টার স্কেল" বলে থাকি। এই স্কেল মূলত ১০ ভিত্তির লগ নিয়ে কাজ করে। রিক্টার স্কেল যখন ভূমিকম্পের মাত্রা ৬ দেখায়, তখন এর মান হচ্ছে 10^6. অর্থাৎ, ১০০০০০০. আবার যখন এই স্কেলে ভূমিকম্পের মাত্রা ৭ দেখায়, তখন এর মান হচ্ছে 10^7. অর্থাৎ, ১০০০০০০০. দেখা যাচ্ছে, ১০ ভিত্তিক লগের মান ১ বেড়ে গেলে, এর মান আসলে ১ বাড়ে না। এর মান বেড়ে যায় ১০ গুণ! তাই, আমরা যখন শুনি যে, গতবারের তুলনায় এবারের ভূমিকম্পের মাত্রা ১ বেশি, তখন আমরা চমকে যাই এবং একে অনেক গুরুতর মনে করি। এর কারণ হচ্ছে, এই মানটা লগে প্রকাশিত। যার ফলে এর মান ওই লগের বেইজ পরিমাণ গুণ বেড়ে যায়।

লন(ln) কি?

লন(ln) আসলে একটি লগারিদম বা লগ। লগের বেইজ যখন e হয় তখন সেই লগারিদমকে লন(ln) বলে। একে আলাদা একটি নামে ভূষিত করার কারণ হচ্ছে e. এই e হচ্ছে পাই-এর মতই একটি ধ্রুবক। e এর মানঃ 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995........
e নিয়ে আরেকদিন বিস্তারিত লেখবো ইনশাআল্লাহ্‌। সে পর্যন্ত সবাই ভালো থাকুন! :)

নোটঃ আমার আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজন-ও লগ(log) বা লন(ln) সম্বন্ধে বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক। যদি কারো কোন জায়গায় বুঝতে অসুবিধা হয়, অথবা যদি কোন প্রশ্ন বা প্রতিক্রিয়া থাকে, তবে নিচে মন্তব্য করে জানাতে পারেন। সবাইকে উষ্ণ গাণিতিক শুভেচ্ছা :)

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৬৯ কেবি)

১ = -১ (এক সমান মাইনাস এক)!!!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 31 Jan 2014 09:59:00 +0000

প্রায় ২ মাস পর লিখতে বসলাম। মজার গণিত অ্যাপ্লিকেশন তৈরি আর খানিকটুকু পড়ালেখায় ব্যাস্ত ছিলাম একদিন! :P ! আজ তেমন মহামারি কিছু নিয়ে লিখিনি। শুধুমাত্র মাইনাস প্লাস সমান করে দিয়েছি! :P

প্রমাণঃ

-1 = -1

-1 -1

বা, ─── = ───

1 1

-1 1

বা, ─── = ───

1 -1

বা, √(-1/1) = √(1/-1) [উভয় পক্ষে বর্গমূল করে]

√-1 √1

বা, ─── = ───

√1 √-1

i 1

বা, ─── = ─── [যেহেতু, √(-1)=i]

1 i

বা, i² = 1 [আড়াআড়ি গুণ করে]

বা, -1 = 1 [যেহেতু, i² = -1]

অতএব, ১ = -১

[প্রমাণিত]

নোটঃ ১ = -১ কখনোই সম্ভব নয়। তাই, অবশ্যই এই প্রমানে কোন ভুল রয়েছে। তাহলে, ভুলটি কথায়? আপনারা খুঁজে বের করুন। কারণ, গণিতের ভুল ধরার মজাই আলাদা। আর এই মজা শুধুমাত্র একজন গণিতপ্রেমিই উপলব্ধি করতে পারবেন। তাই, আজকের এই প্রমাণের ভুল খোঁজার চেষ্টা করুন এবং নিচে মন্তব্য করুন ↓ ↓ ↓

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬২৯ কেবি)

বাচ্চাকালের (a+b)²

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 06 Dec 2013 12:43:00 +0000

বীজগণিত জগতে পা দেবার পর প্রথম যেই ৫ টি সূত্র আমরা শিখেছিলাম, তার একটি হচ্ছেঃ

(a+b)²=a²+2ab+b²

৬ষ্ঠ শ্রেণি থেকেই যা আমাদের থাডা মুখস্ত! আজও অনেক অংক সমাধানের কাজে যা একান্তভাবে প্রয়োজন। কিন্তু, এই সূত্রটা আসলে কিসের সূত্র?

উত্তরঃ এটি আসলে বর্গের ক্ষেত্রফলের সূত্র।

কিভাবে?

কারন, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য c হলে আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল= c²

তেমনি, c কে যদি আমরা a ও b দুইটাভাগে ভাগ করি, তাহলে, c=a+b

অতএব, c²=(a+b)²

তাহলে এখন আমরা জানি, (a+b)² হচ্ছে কোন বর্গের ক্ষেত্রফল।

সূত্র প্রতিষ্ঠাকরণ

গল্প দিয়ে শুরু এবং শেষঃ গণিত পণ্ডিতেরা যখন কোন বর্গক্ষেত্রের আর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করা শিখল, তখন তারা শিখল যে,

কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (বাহু)²

এবং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ

যদি কোন বর্গের যেকোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় c, তাহলে তার ক্ষেত্রফল= c²

চিত্রে দেখানো হলঃ

একদিন তাদের মধ্যে একজন বর্গক্ষেত্রের বাহুকে অসমান দুইভাগে ভাগ করলো। অর্থাৎ, প্রথমে বাহু যদি হয় c, পরে সে c কে এমন ভাবে ভাগ করলো যাতে c=a+b হয়। চিত্রে a ও b কে খণ্ডিত করে দেখানো হলঃ

এখানে দেখা যাচ্ছে, c কে দুই অংশে ভাগ করায় c=a+b হয়। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে এই বর্গের নতুন ক্ষেত্রফল=(বাহু)²=c²=(a+b)²

এখন, এই (a+b)² এর মান বের করাই হচ্ছে আসল উদ্দেশ্য। যা হবে (a+b)² এর সূত্র।

সুত্র প্রমাণের আগে নিচের চিত্রটি দেখে নিই...

দেখা যাচ্ছে, বাহুগুলোকে সংযোগ করার পর বড় যেই অংশটা থেকে যাচ্ছে, তার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং যার ক্ষেত্রফল= a². অপরদিকে ছোট অংশটার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য b এবং এর ক্ষেত্রফল= b²

কিন্তু আরও দুইটা অংশ থেকে যাচ্ছে। যেই অংশ দুটি আয়তক্ষেত্র। এবং, চিত্রানুসারে এদের দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b

অতএব, এদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ= a x b= ab

নিচের চিত্রে দেখানো হলঃ

সুতরাং, দুইটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল= ab + ab= 2ab

এখন, সমগ্র বর্গের ভেতরের ক্ষেত্রফলগুলো যোগফল= a²+b²+ab+ab = a²+b²+2ab = a²+2ab+b²

অতএব, (a+b)²= a²+2ab+b²

আর এভাবেই আমরা পেলাম (a+b)²= a²+2ab+b²

বিঃদ্রঃ উপরের প্রমাণটি নিয়ে কারো কোন প্রকার প্রশ্ন থাকলে নিচের মন্তব্যে জানাতে পারেন...

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬২৮ কেবি)

দুই অংকবিশিষ্ট যেকোন দুটি সংখ্যাকে মুখে মুখে গুণ!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Wed, 14 Aug 2013 04:14:00 +0000

আজকে আমরা শিখবো কীভাবে কোন ক্যালকুলেটরের সাহায্য ছাড়াই দুই অংকবিশিষ্ট যেকোনো দুটি সংখ্যাকে মুখে মুখে গুণ করা যায়!

প্রথমেই দুই অংকবিশিষ্ট যেকোনো দুটি সংখ্যা নিই। যেমনঃ ১২ এবং ৩৪

আমরা এখন 12 x 34 এর মান মুখে মুখে বের করা শিখবো...

প্রথম ধাপঃ ১২ এর ১ম ও ২য় সংখ্যার সাথে ৩৪ এর ১ম ও ২য় সংখ্যার গুণফল হবে "12 x 34" এর গুণফলের ১ম এবং শেষ সংখ্যা। নিচের চিত্র হতে পরিষ্কারভাবে বুঝুন...

শেষ ধাপঃ এবার, ১২ এর ১ম সংখ্যার সাথে ৩৪ এর ২য় সংখ্যা এবং ১২ এর ২য় সংখ্যার সাথে ৩৪ এর ১ম সংখ্যা গুণ করে এদের যোগ করতে হবে। অর্থাৎ, (1x4) + (2x3)=10

এই যোগফল বসবে "12 x 34" এর গুণফলের ৩ ও ৮ এর মাঝে। কিন্তু, যোগফল যদি ১ অংকের বেশি হয়, তবে যোগফলের ২য় অংক বসবে "12 x 34" এর গুণফলের ৩ ও ৮ এর মাঝে এবং যোগফলের ১ম সংখ্যা গুণফলের ১ম সংখ্যার সাথে যোগ করতে হবে। এখানে, যোগফল ১০. অর্থাৎ, শুন্য (০) বসবে "12 x 34" এর গুণফলের ৩ ও ৮ এর মাঝে এবং ১০ এর ১ যোগ হবে গুণফলের ৩ এর সাথে। মানে, 3+1=4

নিচের চিত্রে পরিষ্কারভাবে দেয়া হল...

অতএব, নির্ণেয় গুণফল ৪০৮. বিশ্বাস না হলে ক্যালকুলেটরে গুণফলটি বের করে দেখুন!

বিঃদ্রঃ উপরের পদ্ধতি অনুসারে আপনারাও দুই অংকবিশিষ্ট যেকোনো দুটি সংখ্যাকে মুখে মুখে গুণ করে ক্যালকুলেটরের সাথে ফলাফল মিলিয়ে দেখুন। যদি কোন গুণফল না মিলে, তবে নিচের মন্তব্যে জানাতে পারেন...

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৫৮০ কেবি)

অনুপাত কি?

noreply@blogger.com (মুবিন) — Sat, 29 Jun 2013 11:26:00 +0000

আমার ছোট ভাই। নাম সিপ্ত। এখন ষষ্ঠ শ্রেণিতে। দুপুরে আম্মু পাশের রুম থেকে ডাক দিয়ে বললো, "শরিফুল, সিপ্তরে এই সংজ্ঞাটা বুঝায়া দে তো।" আমি সিপ্তকে বললাম, "বই নিয়া আমার রুমে আয়।" সিপ্ত আসলো। যেই সংজ্ঞাটি বুঝতে চাইলো, তার নাম "মিশ্র অনুপাত" তাও আবার "অনুপাত ও শতকরা" অধ্যায়ের সর্বশেষ সংজ্ঞা! বোঝা গেলো যে, আগের সবকটি সংজ্ঞাই পারে! কিন্তু প্রশ্ন হচ্ছে, "কয়টা সংজ্ঞা সে বোঝে?"

যাই হোক, মিশ্র অনুপাতের সংজ্ঞাটি ছিল এমন, "একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুনফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।"

কে কি বুঝলেন? :P ? যাই হোক, এমন সংজ্ঞা দ্বারা অনুপাতকে কিংবা মিশ্র অনুপাতকে কখনোই ভালোমতো বোঝা যায় না!

আমি সিপ্তকে প্রথমেই জিজ্ঞাস করলাম, "অনুপাত কি?" সে বললো, "অনুপাত মানে ভগ্নাংশ". খুব ভালো কথা! কিন্তু, এই অনুপাত দ্বারা আসলে কি বোঝায়? সিপ্ত চুপ! এরপর আমি তাকে আস্তে আস্তে বোঝাতে শুরু করলাম!

সংজ্ঞা দিয়েই শুরু করি!

অনুপাতঃ দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই। (গণিত, অনুপাত ও শতকরা, ৬ষ্ঠ শ্রেনি)

শুধুমাত্র অনুপাতের বিষদ আলোচনা

দুই বন্ধু। হাবু এবং ডাবু! সিপ্তর মতোই ৬ষ্ঠ শ্রেনিতে পড়ে! তো, একদিন হাবু ডাবুকে বললো, "এই ডাবু, তুই প্রতিদিন স্কুলে কত টাকা নিস রে?". ডাবু বললো, "৫ টাকা". হাবু খুশি হয়ে বললো, "আমি নেই ১০ টাকা। তোর ডাবল!"

এখানে, হাবু যখন ডাবুকে বললো, "আমি নেই ১০ টাকা। তোর ডাবল!". 'ডাবল' শব্দটি দ্বারা এখানে মূলত তারা তাদের টাকার অনুপাতকেই তারা বুঝিয়েছে। যদিও তারা এখনো অনুপাত সম্বন্ধে কিছুই জানে না! যাই হোক, এভাবেই মূলত জীবনের অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাত ব্যবহার করে থাকি।

এবার আমরা হাবু এবং ডাবুর টাকার পরিমাণ ছকে তুলবো...

ডাবুর টাকা	হাবুর টাকা
৫	১০

ছক দেখে আমরা সহজেই বুঝতে পারি যে, "হাবুর টাকা ডাবুর চাইতে বেশি এবং তা ডাবুর চাইতে ৫ টাকা বেশি। অর্থাৎ, হাবুর টাকা ডাবুর টাকার দিগুণ।"

এইযে আমরা "দিগুণ শব্দটা ব্যবহার করলাম, এটা কিন্তু অনুমান নয়। এটা অংকের একটা ভাষা।". অংক করে আমরা দেখবো, "হাবুর টাকা কীভাবে ডাবুর টাকার দিগুণ?"

হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনাঃ

ডাবুর টাকা

ভগ্নাংশের দ্বারা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করলে ভগ্নাংশটি হবেঃ ──────

হাবুর টাকা

যেহেতু, হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করা হচ্ছে, তাই "ভগ্নাংশের লব" হিসেবে থাকবে "ডাবুর টাকা", কারন, আমরা ডাবুর টাকা হাবুর চাইতে কতগুন বেশি বা কম- তা বের করবো। আর, "ভগ্নাংশের হর" হিসেবে থাকবে "হাবুর টাকা", কারন, আমরা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করবো।

ডাবুর টাকা ৫ ১

অর্থাৎ, ────── = ─── = ──

হাবুর টাকা ১০ ২

১

সুতরাং, ডাবুর টাকা হাবুর টাকার ── গুণ।

২

ডাবুর টাকার সাথে হাবুর টাকার তুলনাঃ

একইভাবে,

হাবুর টাকা ১০

ভগ্নাংশের দ্বারা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করলে ভগ্নাংশটি হবেঃ ──────── = ─── = ২

ডাবুর টাকা ৫

সুতরাং, হাবুর টাকা ডাবুর টাকার ২ গুণ।

এইযে, আমরা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকা এবং ডাবুর টাকার সাথে হাবুর টাকার যেই তুলনা করলাম এটাই মূলত "অনুপাত". অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি যে, "অনুপাত মানে একটি পরিমানের সাথে অপর একটি পরিমানের তুলনা করা।". হাবু এবং ডাবুর যেই ছকটি দেখেছিলাম, সেই ছকটির মধ্যেই যদি আমরা তুলনা করি এবং এই "তুলনা" শব্দটিকে যদি আমরা ":" এই প্রতিক দ্বারা চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা পাই...

ডাবুর টাকা	তুলনা	হাবুর টাকা
৫	:	১০

এখানে, ":" এই চিহ্নটিই হচ্ছে সেই "অনুপাতের চিহ্ন", যাকে আমরা "ইসটু" বলি। :P
সুতরাং, ডাবুর টাকা : হাবুর টাকা = ৫ : ১০ = ১ : ২ (ভগ্নাংশের মত উপর-নিচে কাটাকাটি করে!)

আশা করি, ছোটদের আর বুঝতে কোন অসুবিধা হবে না। :) ।

বিঃদ্রঃ আজকের এই লেখাটি মূলত যারা "অনুপাত কি?"- জানে না, তাদের জন্য। তাই, পাকনারা ঘ্যাঙ ঘ্যাঙ না করলেই ভালো! :P ! আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজনও অনুপাত সম্পর্কে একটুও বুঝতে পারে, তাহলে আমার লেখা সার্থক। অনুপাতের শ্রেণীবিন্যাস নিয়ে একদিন লিখবো ইনশাআল্লাহ্‌। সেই পর্যন্ত সবাই ভালো থাকুন এবং গণিতকে ভালবাসুন!

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৯৩ কেবি)

যেকোনো সংখ্যাকে খুব সহজেই ১১ দ্বারা গুণ!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Sun, 26 May 2013 10:52:00 +0000

আজকে আমরা দেখবো, যেকোনো সংখ্যাকে কীভাবে খুব সহজে এবং খুব অল্প সময়ে ১১ দ্বারা গুণ করা যায়!

আমি যেকোনো একটি সংখা নিচ্ছি, যাকে আমি ১১ দ্বারা গুণ করবো। ধরি, সেই সংখ্যাটি ৩২১৫৪

এখন আমরা 32154 x 11 এর মান খুব সহজেই বের করার কৌশল শিখব! তো চলুন, শুরু করা যাক!...

32154 সংখাটিকে আমি নাম্বারিং করে নিচ্ছি। নিচের ছবিতে দেখুন...

চিত্রের এই সংখ্যাটি আমাদের "প্রদত্ত সংখ্যা"

32154 x 11 এর গুণফল নির্ণয়ঃ

32154 x 11 এর গুণফলের ১ম এবং শেষ সংখ্যা দুটি হবে প্রদত্ত সংখ্যার ১ম এবং শেষ সংখ্যা। নিচের চিত্র হতে আরও ভালোভাবে বুঝুন...

এবার, গুনফলের ২য় সংখ্যাটি হবে প্রদত্ত সংখ্যার ১ম এবং ২য় সংখ্যার যোগফল। নিচের চিত্রে দেখুন...

আবার, গুনফলের ৩য় সংখ্যা হবে প্রদত্ত সংখ্যার ২য় এবং ৩য় সংখ্যার যোগফল। নিচের চিত্র হতে পরিষ্কারভাবে বুঝতে পারবেন...

এইভাবে প্রদত্ত সংখ্যার শেষ সংখ্যা পর্যন্ত তার আগের সংখ্যা যোগ করে যেতে হবে। নিচের চিত্রে দেখুন...

অর্থাৎ, দেখা যাচ্ছে যে, 32154 x 11 এর গুণফল 353694. বিশ্বাস না হলে, ক্যালকুলেটরে গুণ করে দেখুন! চিন্তা নেই, সঠিক ফলই পাবেন! আর, এভাবেই আমরা যেকোনো সংখ্যার সাথে ১১ দ্বারা গুণ করলে গুণফল বের করতে পারবো।

এখন আপনি আপনার মত যেকোনো একটি সংখ্যা নিয়ে সেই সংখাটিকে ১১ দ্বারা গুণ করে এই পদ্ধতিতে গুণফল বের করতে পারবেন।

নোটঃ এই পদ্ধতিতে যেকোনো সংখ্যাকে ১১ দ্বারা গুণ করে আপনি সঠিক মান পাবেন। যদি কোনো সংখ্যাকে এই পদ্ধতিতে ১১ দ্বারা গুণ করে সঠিক মান পেতে ব্যর্থ হন, তাহলে সংখ্যাটি নিচের মন্তব্যে জানাবেন... ... ...

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬৪৩ কেবি)

২=৫ এর প্রমাণ!!!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Wed, 24 Apr 2013 18:20:00 +0000

গণিতের আরও একটি অবাস্তব প্রমাণ নিয়ে আজ হাজির হলাম! আজ ২৫ তারিখ, তাই ২=৫ এর প্রমাণটি আজকে আপনাদের দেখাতে যাচ্ছি! :P ! গণিত দিয়ে আপনি খুব সহজেই এমন অনেক "অবাস্তব/ মিথ্যা" প্রমাণ করতে পারেন! গণিতের "অসংজ্ঞায়িত/ অনির্ণেয়" টার্মগুলো দিয়েই সাধারণত এই প্রমাণগুলো হয়ে থাকে! এমনকি এই "অসংজ্ঞায়িত/ অনির্ণেয়" টার্মগুলো দিয়ে "পৃথিবীর সকল সংখ্যা ১ এর সমান" প্রমাণ করা যায়!!! কি? মজার না??? "পৃথিবীর সকল সংখ্যা ১ এর সমান" প্রমাণটি অন্য একদিন দেখিয়ে দিবো ইনশাআল্লাহ :)
এই প্রমাণগুলো যদিও সত্য নয়, তবুও এই প্রমাণগুলো দেখলে/ জানলে, গণিত হয়ে উঠে "মজার গণিত"!!! তাই, আজকেও সেইরকম একটা অনির্ণেয় টার্ম দিয়ে ২=৫ প্রমাণ করে দেখালাম! গত প্রমাণের মত আজকের প্রমাণের ভুলও আমি আপনাদের দেখিয়ে দিবো না! আপনাদেরকেই আজকের ২=৫ প্রমাণের ভুলটি ধরতে হবে! তাই, নিচের প্রমাণের ভুল খোঁজার চেষ্টা করুন। ভুল না ধরতে পারলেও মন্তব্য করুন। কারন, অনেকে যদি ভুল না ধরতে পারে, সেক্ষেত্রে আমিই ভুলটি দেখিয়ে দিবো :) তাই, নিচের প্রমাণটি ভালোমতো লক্ষ্য করুন ... ... ...

প্রমাণঃ

14 = 14

বা, 10 + 4 = 10 + 4

বা, 10 - 10 = 4 - 4

বা, 5(2-2) = 2(2-2)

বা, 5=2 [উভয় পক্ষকে (2-2) দ্বারা ভাগ করে]

অতএব, ২=৫

[প্রমাণিত]

নোটঃ আজকের এই ২=৫ প্রমাণটি আগের "১=২ এর প্রমাণ!" অথবা, "৪=৫ এর প্রমাণ!" থেকে সহজ। তাই, আজকের এই প্রমাণের ভুল খোঁজার চেষ্টা করুন এবং নিচে মন্তব্য করুন ↓ ↓ ↓

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬৩৮ কেবি)

জটিল সংখ্যার ওমেগা (ω)-র দুটি সূত্রের প্রমাণ!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 12 Apr 2013 14:28:00 +0000

জটিল সংখ্যা- নামটাই জানি কেমন!!! শুনলেই কোষ্ঠকাঠিন্য রোগের কথা মনে পরে!!! দুঃখিত, একটু বেশিই বলে ফেললাম!:P! যাই হোক, জটিল সংখ্যা যতই জটিল হোক না কেন, এটি আসলেই খুব মজার! জটিল সংখ্যা নিয়ে "মজার গণিত"- এ আজ ৩য় পোস্ট। আগের পোস্টগুলো ছিলো ... ... ...

১. ³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)

২. জটিল সংখ্যায় ω এবং ω² বলতে কি বোঝায়???

বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! :) ! কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ

সূত্রাবলীঃ

সূত্র ১: ω³=1

সূত্র ২: 1+ω+ω²=0

সূত্র দুটির প্রমানঃ

সূত্র ১ এর প্রমাণঃ

আমরা জানি,

-1+√(-3)

ω = ─────── ...................... (i)

-1-√(-3)

এবং, ω²= ─────── ...................... (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,

-1+√(-3) -1-√(-3)

ω.ω² = ─────── x ───────

2 2

{(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}

বা, ω³ = ──────────────

2 x 2

(-1)² - {√(-3)}²

= ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]

1 - (-3)

= ──────

1 + 3

= ─────

= ──

= 1

সুতরাং, ω³=1

[প্রমাণিত]

সূত্র ২ এর প্রমাণঃ

1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)

অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0

প্রমাণঃ

আমরা জানি,

-1+√(-3)

ω = ───────

-1-√(-3)

এবং, ω²= ───────

সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²

-1+√(-3) -1-√(-3)

= 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]

2 2

2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}

= ──────────────────

2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)

= ───────────────

2 - 2

= ────

= ──

= 0

অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0

[প্রমাণিত]

নোটঃ এই প্রমাণ দুটি অনেকেই হয়তোবা আগে থাকতেই জানেন। কিন্তু, আমি এই প্রমাণ দুটি "মজার গণিত"- এ লিখার কারন হলোঃ এমন অনেকেই আছে, যারা এই প্রমাণগুলো ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলাও জানে না!ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে অংক "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :L ? যাই হোক, আজকের এই প্রমাণ দুটির একটিও যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থী ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক! :) !

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৮০৬ কেবি)

জটিল সংখ্যায় ω এবং ω² বলতে কি বোঝায়???

noreply@blogger.com (মুবিন) — Sun, 07 Apr 2013 16:24:00 +0000

অনেকদিন পর আবারও লিখতে বসলাম! পরীক্ষা থাকার কারনে এতোদিন আমার সাধের "মজার গণিত" ব্লগটাতে খানিক সময়ের জন্যেও টুঁ মারতে পারিনি! :( ! যার জন্যে লেখালেখি হতেও অনেক দূরে ছিলাম! যাই হোক, আমার পরীক্ষার ফলাফলের জন্যে দোয়া করবেন (বিশেষ করে, জীববিজ্ঞান এবং রসায়নের জন্যে :P). প্যাঁচাল অনেক করলাম! এখন একটু অংক করি :P

আজকের টপিক "জটিল সংখা" বা "Imagine Number" এর "ω এবং ω²" নিয়ে। তো চলুন, শুরু করিঃ

"ω এবং ω²" হচ্ছে ³√1 এর দুটি মূল। আগের পর্বে আমরা দেখেছিলাম, "³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)".

-1+√(-3) -1-√(-3)
সেখানে আমরা দেখতে পাই যে, ³√1 এর মান তিনটি, যথাঃ 1 বা, ────── বা, ──────. যেখানে,
2 2

-1+√(-3) -1-√(-3)

ω = ─────── এবং, ω²= ─────── ধরা হয়। কিন্তু কেন?

2 2

-1-√(-3) -1+√(-3) -1+√(-3)

─────── কি আসলেই ─────── এর বর্গের সমান? অথবা, ─────── কে বর্গ করলে কি

2 2 2

-1-√(-3)

আমরা আসলেই ─────── পাবো? তো চলুন, দেখা যাকঃ

প্রমাণঃ

আমরা জানি,

-1+√(-3)

ω = ───────

{-1+√(-3)}²

বা, ω² = ─────── [উভয় পক্ষে বর্গ করে]

2²

(-1)²+2(-1)√(-3)+{√(-3)}²

= ───────────────── [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]

1-2√(-3)+(-3)

= ──────────

1-2√(-3)-3

= ───────

-2-2√(-3)

= ───────

2{-1-√(-3)}

= ─────────

2 x 2

-1-√(-3)

= ──────

-1-√(-3)

সুতরাং, ω² = ──────

-1+√(-3) -1-√(-3)

অর্থাৎ, ω = ─────── হলে, ω²= ───────

2 2

[প্রমাণিত]

আর তাই, জটিল সংখ্যার অনেক অংকে আমরা লিখি যে,

-1+√(-3) -1-√(-3)

ধরি/ আমরা জানি, ω = ────── এবং, ω²= ──────

2 2

নোটঃ অনেকেই হয়তোবা এইটা জানেন। কিন্তু, আমি এই সহজ জিনিসটা লিখার কারন হলোঃ নতুন যারা আছে, তারা অনেকেই এই জিনিসগুলা ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলা জানে না। ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :L ? যাই হোক, আমার আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থীও এই জিনিসটা ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের এই লেখা সার্থক! :) !

আগামীতে ইনশাআল্লাহ্‌ ω এবং ω² এর কয়েকটি সূত্রের প্রমাণ দেখবো। সে প্রত্যাশা ব্যক্ত করে আজকের মত বিদায় নিচ্ছি। :)

♥♥ সকলের জীবন হোক গণিতের মতোই সুন্দর! ♥♥

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭২২ কেবি)

³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 01 Mar 2013 18:23:00 +0000

সাধারণত ³√1 বা ঘনমূল 1 এর মান সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটরে 1 দেখায়। কিন্তু, কেওকি ভেবে দেখেছেন, আসলেই ঘনমূল 1 এর মান কত???আসলে ঘনমূল 1 এর মান ৩ টি! কি? বিশ্বাস হচ্ছে না? কোন অসুবিধা নেই। প্রমান করেই আমি আপনাদের দেখিয়ে দিব। এই প্রমাণটা আসলে একাদশ শ্রেণির সর্বাধিক পঠিত "আফসার-উজ-জামান" এর "উচ্চ মাধ্যমিক বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি" বইয়েই রয়েছে। কিন্তু, সমস্যাটা হল, ওই বইয়ে প্রমাণটা যেইভাবে দেওয়া রয়েছে, তাতে প্রায় ৮০ ভাগ শিক্ষার্থীরই প্রমাণটা বুঝতে অনেক কষ্ট হয়! এমনকি, প্রায় ৬৫ ভাগ শিক্ষার্থীই ওই প্রমাণটা জানে না! তারা শুধু মুখস্ত করে যায় (প্রমাণটা পরীক্ষায় আসে না, কিন্তু, কোন কিছুর প্রমান না জানলে, সেই জিনিসটাকে ফিল করা যায় না- যেমনঃ গণিত). তাই, আজকে আমরা দেখবো, "আসলে ঘনমূল 1 এর মান কয়টি এবং কি কি?"

MERN Stack Sure Job Placement Program

তো চলুন, শুরু করা যাকঃ

আমরা অজানা যেকোনো কিছুর মানকে X ধরে খুব সহজেই কোন কিছুর মান বের করতে পারি। যেমন ধরুন, কেও আপনাকে বলল 11 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 42 হয়। আপনি খুব সহজেই 42 হতে 11 বাদ দিয়ে উত্তরটি বলে দিতে পারবেন। কিংবা, এইভাবেও করতে পারবেনঃ

ধরি, অজানা সংখ্যা X

তাহলে,

11 + X = 42

বা, X = 42 - 11

বা, X = 31 (Ans.)

এইগুলা আসলে ষষ্ঠ শ্রেণির অংক। আমি এমনিতেই একটু বললাম আরকি। এবার তাহলে আসল প্রমান শুরু করা যাক .....

প্রমানঃ

ধরি,

³√1 = x

বা, x = ³√1

বা, x³ = 1 [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

বা, x³ - 1 = 0

বা, (x)³ - (1)³ = 0

বা, (x - 1) (x² + x + 1) = 0 [যেহেতু, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab +b²)]

হয়, x - 1 = 0 অথবা, x² + x + 1 = 0

বা, x = 1 ; বা, 1.x² + 1.x + 1 = 0

-1±√(1²-4.1.1) -b ± √(b²-4ac)

বা, x = ───────── [ যেহেতু, ax² + bx + c = 0 হলে, x = ───────── ]

2.1 2a

-1±√(1-4)

বা, x = ───────

-1±√(-3)

বা, x = ──────

-1+√(-3) -1-√(-3)

হয়, x = ────── বা, x = ──────

2 2

-1+√(-3) -1-√(-3)

অতএব, x = 1 বা, ────── বা, ──────

2 2

সুতরাং, ³√1 বা ঘনমূল ১ এর মান তিনটি। কিন্তু, এখানে ঘনমূল ১ এর বাস্তব মান ১ টি এবং অবাস্তব বা জটিল মান ২ টি। তাই, আমাদের ক্যালকুলেটরে শুধুমাত্র বাস্তব মানটি দেখায়। অবাস্তব বা জটিল মান দুটি দেখায় না। যারা জটিল সংখ্যা ভালো পারেন, তাদের কাছে এইটা কোনো ব্যাপারই না।

যাই হোক, আরেকদিন ইনশাআল্লাহ্‌ জটিল সংখ্যা নিয়ে লিখবো। এবং, এটাও প্রমান করে দিবো যে,

-1+√(-3) -1-√(-3)

কিভাবে, ω = ─────── এবং, ω²= ─────── হয়?

2 2

সেই পর্যন্ত সবাই প্রমাণটি কেমন হতে পারে?- ভাবতে থাকুন ... ... ...

সবাই সুস্থ থাকুন এবং গণিতের মত সুন্দর থাকুন! খোদাহাফেজ।

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৩৮ কেবি)

৪=৫ (চার সমান পাঁচ)!!!!!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Fri, 01 Mar 2013 02:42:00 +0000

* এই আজব প্রমাণটি 'মোঃ জাফর ইকবাল' এবং 'মোহাম্মদ কায়কোবাদ' এর "নিউরনে অনুরণন" নামক বই হতে সংকলিত *

প্রমাণঃ
16 - 36 = 25 - 45
বা, 16 - 36 + (9/2)² = 25 - 45 + (9/2)² [উভয় পক্ষে (9/2)² যোগ করে]
বা, (4)² - {2 x 4 x (9/2)} +(9/2)² = (5)² - {2 x 5 x (9/2)} + (9/2)²
বা, {4 - (9/2)}² = {5 - (9/2)}²
বা, 4 - (9/2) = 5 - (9/2) [বর্গমূল করে]
বা, 4=5

অতএব, ৪=৫

[প্রমাণিত]

নোটঃ ৪=৫ কখনোই সম্ভব নয়। তাই, অবশ্যই এই প্রমানে কোন ভুল রয়েছে। তাহলে, ভুলটি কথায়? আপনারা খুঁজে বের করুন। কারণ, গণিতের ভুল ধরার মজাই আলাদা। আর এই মজা শুধুমাত্র একজন গণিতপ্রেমিই উপলব্ধি করতে পারবেন। ভুল খুঁজে পান বা না পান, কমেন্ট বক্সে কমেন্ট করে আমাকে জানান। কারণ, ১ম ১০ জন যদি ভুলটি ধরতে ব্যর্থ হন, তাহলে আমি আপনাদেরকে ভুলটি ধরিয়ে দিব।

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬০৮ কেবি)

০!=১ (০ ফ্যাক্টোরিয়াল=১) এর প্রমাণ

noreply@blogger.com (মুবিন) — Thu, 28 Feb 2013 13:24:00 +0000

আমরা জানি,

n! = n(n-1)! .................. (১)

সমীকরণ (১) এ n=1 বসিয়ে পাই,

1! = 1(1-1)!

বা, 1! = 1 x 0!

বা, 1 = 1 x 0! [যেহেতু, 1!=1]

বা, 0! x 1 = 1 [প্রতিস্থাপন করে]

বা, 0! = 1 [উভয় পক্ষকে 1 দ্বারা ভাগ করে]

অতএব, 0! = 1

[প্রমাণিত]

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৫৪৯ কেবি)

১=২ (এক সমান দুই) !!!!!

noreply@blogger.com (মুবিন) — Thu, 28 Feb 2013 04:48:00 +0000

ধরি,
x = y [যেখানে, x ও y উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা]
বা, xy = y² [উভয় পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে]
বা, xy-x² = y²-x² [উভয় পক্ষ হতে x² বিয়োগ করে]
বা, x²-xy = x²-y² [উভয় পক্ষকে (-) দ্বারা গুণ করে]
বা, x (x-y) = (x+y) (x-y)
বা, x = x+y
বা, x = x+x [যেহেতু, আমরা ধরেছিলাম, x=y]
বা, x = 2x
বা, 1 = 2

অতএব, 1=2

[প্রমাণিত]

নোটঃ আমরা সবাই ১=২ এর প্রমাণটা দেখলাম/ শিখলাম। কিন্তু, ১=২ কি আসলেই সম্ভব? না, ১=২ কখনই সম্ভব নয়। তাহলে একটু আগে আমরা যেই প্রমাণটি করলাম, সেটি কি ভুল? হ্যাঁ, অবশ্যই ভুল। প্রমাণটির একটি লাইনে ভুল রয়েছে। সেই লাইন কোনটি? আপনারা এই প্রমাণের ভুল খুঁজে বের করুন। কারণ, গণিতের ভুল বের করার মজাই আলাদা। যে ভুল ধরতে পারবেন, সে কমেন্ট বক্সে কমেন্ট করে ভুলটি ধরিয়ে দিন। ১ম ১০ জন ভুল ধরতে সক্ষম না হলে, তারপর আমি আপনাদেরকে ভুলটি দেখিয়ে দিব। তাই, ভুল না ধরতে পারলেও, কমেন্ট করে আমাকে জানান।

এই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬২০ কেবি)