Muita coisa. Só pra citar um exemplo, é na matemática que se baseia um recente (e polêmico!) documento publicado pela NASA (agência do Governo americano responsável pela pesquisa e desenvolvimento de tecnologias e programas de exploração espacial), que afirma “que a civilização ocidental está à beira de um colapso”.

Opa! Mas o que tem a ver ‘colapso da civilização’ com ‘programas de exploração espacial’? Não sei dizer. Mas pelo que pude entender – lendo este texto do jornal inglês ‘The Guardian‘ – o documento a que me referi acima é baseado numa pesquisa que foi parcialmente financiada pela NASA, por meio de um seus centros de pesquisa, o Goddard Space Flight Center. Dito isto, voltemos à matemática.

Felipe Duarte Santos fala, de forma simples e didática, no seu último texto para do jornal português Público, justamente sobre a tal pesquisa em que se baseia o documento da NASA. O texto de Felipe D. Santos é, apropriadamente, intitulado de ‘A matemática da sustentabilidade’.

O colunista português destaca que “hoje em dia não há praticamente nenhum domínio da actividade humana que não [se] beneficie do suporte indispensável das aplicações da matemática”, tendo como base as diversas aplicações da estatística, da teoria das probabilidades, da teoria dos jogos, da matemática da optimização, dos sistemas dinâmicos e de um modo geral das equações diferenciais nas ciências sociais e humanas, as quais recorrem as estes campos da matemática para “simular o comportamento e a evolução dos sistemas socioeconómicos e socioecológicos”. E este é o caso do trabalho ‘Human And Nature DYnamical‘ (HANDY) – de investigadores das Universidades de Maryland e Minnesota, publicado no último dia 2 na revista Ecological Economics [1] –, que usa a teoria das equações diferenciais, como principal ferramenta, no desenvolvimento de um modelo matemático que simula aspectos essenciais da evolução futura da humanidade.

Felipe D. Santos destaca ainda, em seu artigo, que “a novidade do novo estudo está em terem utilizado mais duas equações diferenciais para simularem aspectos socioeconómicos e políticos”.

As quatro equações diferenciais relativas às quatro variáveis independentes – elites, não- elites, recursos naturais e riqueza acumulada – permitem estudar a evolução da tensão ecológica e da estratificação social e analisar os casos em que o sistema evolui para a sustentabilidade ou para o colapso.  – Felipe D. Santos

Íntegra do artigo de Felipe D. Santos aqui

Após a leitura do texto acima, você pode voltar aqui para continuar a leitura deste texto. Outra boa leitura sobre o estudo [1] está no blog da Folha de SP chamado Mensageiro Cideral, mantido pelo jornalista de ciência Salvador Nogueira.

A seguir, um pouco das equações matemáticas envolvidas no modelo.

Sobre o modelo HANDY

O HANDY se baseia num simples modelo matemático conhecido como predador-presa. A diferença do modelo HANDY para o predador-presa é que o primeiro incorpora a relação dinâmica entre a população e a exploração dos recursos naturais – como veremos a seguir –, enquanto as equações do modelo predador-presa, como o nome diz muito bem, são utilizadas para descrever dinâmicas nos sistemas biológicos, especialmente quando duas espécies interagem: uma como presa e outra como predadora.

No fundo, acrescenta-se os fatores riqueza acumulada e desigualdade econômica a um modelo predador-presa de humanos e natureza.

As equações

Estas 4 equações descrevem a evolução das Elites, dos Plebeus, da Natureza, e da Riqueza.

Sobre as equações e suas varáveis

Nesta equação,  denota a população de ‘plebeus‘ (não-elites ou commoners, em inglês) e e as taxas de natalidade e de mortalidade, nesta ordem, de plebeus.

Aqui, representa a população da ‘elite‘ e e as taxas de natalidade e de mortalidade, respectivamente, da elite.

Esta é chamada equação para a Natureza. Aqui representa os recursos naturais. Nela, existe um termo de renovação (regeneration term), , e um termo de esgotamento (depletion term), , onde é um fator de renovação que cresce exponencialmente para baixos valores de e satura-se quando se aproxima de , que é a capacidade da Natureza – tamanho máximo da Natureza na ausência de esgotamento. Já o termo de esgotamento inclui uma taxa de esgotamento por trabalhador, , que é proporcional à natureza e ao número de trabalhadores. No entanto, segundo os autores, a atividade econômica das elites é modelado para representar executive, management, and supervisory functions, but not engagement in the direct extraction of resources which is done by Commoners. Isso justifica a ausência da elite, representada pela variável , na equação para a Natureza.

Finalmente, existe uma equação para a riqueza acumulada

onde representa a riqueza, que aumenta com a produção, , e diminui com o consumo das elites e dos plebeus, representados aqui por e , respectivamente.

É claro que informações são apenas um complemento aos textos citados acima, mas, obviamente, não substitui uma leitura detalhada do trabalho original [1].

Até a próxima.

[1] Safa Motesharri, Jorge Rivas and Eugenia Kalnay, Human and nature dynamics (HANDY): modeling inequality and use of resources in the collapse or sustainability of societies, Ecological Economics 101 (2014), 90–102.

A Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) publicou Edital de concurso público para preenchimento de 13 vagas de professor efetivo de matemática – Campus Florianópolis –, sendo 8 em Matemática Pura, 4 em Matemática Aplicada e 1 em Ensino de Matemática.

As inscrições vão até o dia 29 de abril de 2014. 

Mais detalhes na página do concurso.

O departamento de Matemática da UFSC conta com 52 professores efetivos, e oferece Graduação, Mestrado e Doutorado em Matemática, atuando em todas as áreas da Matemática.

Pesquisadores brasileiros desenvolvem modelo matemático que auxilia cirurgiões a corrigir malformações cranianas em bebês.

Procurados pelo Hospital Sick Kids, em Toronto, o brasileiro Ricardo Fukasawa e seu grupo de pesquisa elaboraram modelos e algoritmos para tentar auxiliar os médicos nos procedimentos para cirurgias serem mais eficazes e mais rápidas. Nos próximos meses o modelo será usado em cirurgias de 20 pacientes e serão feitas comparações com as cirurgias que não utilizaram a ferramenta.

Reportagem completa de Sofia Moutinho: Ciência Hoje Online 

Página do pesquisador Ricardo Fukasawa: www.math.uwaterloo.ca/~rfukasaw

OBMEP completa dez anos comemorando resultados

Texto de autoria de Cauê Marques, publicado no Brasil Post em março sobre a OBMEP, traz informações e histórias desta primeira década do projeto.

Íntegra do texto aqui

AMS divulga relatório anual sobre os salários dos matemáticos atuando nos EUA

A American Mathematical Society (AMS) divulgou recentemente seu Relatório Anual sobre os salários dos matemáticos atuando nos EUA. O relatório é publicado desde 1957.

The Annual Survey attempts to provide an accurate appraisal and analysis of various aspects of the academic mathematical sciences scene for the use and benefit of the community and for filling the information needs of the professional organizations. – AMS

Íntegra do relatório aqui

Denote, como usualmente, o número de ouro pela letra grega φ (fi).

Dado que φ é uma das raízes da equação x² – x – 1 = 0, temos que φ² = φ + 1. Multiplicando por φ os dois lados desta última igualdade, tem-se que φ³ = φ² + φ. Continuando este processo indutivamente chegaremos a seguinte expressão para a n-ésima potência do número de ouro:

  (I)

Para quem não lembra,

  (II)

onde F_n denota o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Agora compare (I) com (II).

De forma análoga, se obtém uma expressão recursiva para o termo geral da seqüência formada pelas potências do inverso do número de ouro. De fato, dado que φ = (1 + √5)/2, vemos que

  (III)

Fazendo λ = 1/φ, segue de (III) que λ = φ – 1 e assim

λ² = (φ – 1)² = φ² – 2φ + 1 = (φ + 1) – 2φ + 1 = 1 – φ + 1 = -λ + 1 (IV)

Multiplicando (IV) por λ, teremos λ³ = λ – λ², de modo que chegaremos a seguinte expressão da n-ésima potência λ:

λⁿ = λ^n-2 – λ^n-1, para todo n ≥ 2.

Podemos reescrever esta igualdade como

.

Desafio

Eis a capa:

Edição de 9 de novembro de 2012

Como a imagem acima pode sugerir, este problema estava atormentando os estudantes chilenos e daí o Las Últimas Noticias fez esta linda capa. Mas não foi bem isso que aconteceu. Veja: “El problema matemático se convirtió en meme en distintos sitios de internet“, disse o jornal. (Veja aqui uma imagem de uma das páginas do jornal com alguns memes.)

Segundo o jornal, os internautas chilenos estavam divididos entre os que diziam que o resultado é 1 e os que asseguravam que é 9. Então o jornal convidou três professores de matemática para analisarem o problema e sanar essa controvérsia.

Leia aqui (em espanhol) a resposta dos especialistas. Mas acho que você não vai precisar, né!? Responda a enquete abaixo e se quiser pode justificar sua resposta no ambiente para comentários.

Nós matemáticos não esbarramos com esse tipo problema porque não estamos acostumados a escrever estas expressões “na mesma linha”. Para tanto, usamos, frequentemente, as frações.

A capa deve ter feito sucesso, afinal veio parar neste pequeno blog, além de ter sido assunto no portal do Clube de Matemática da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), onde afirma que esta notícia foi uma das mais lidas do Chile no dia da publicação. Assim como sugerido pela própria SPM, se no Brasil os jornais ou telejornais abrissem espaço para este tipo de notícia certamente as suas audiências iam aumentar e gerar nas pessoas uma curiosidade científica tão necessária a todos nós. O que você acha?

E quando será a próxima?

Provavelmente não estaremos vivos quando a próxima aparecer, pois a próxima sequência-data dará as caras somente em 1º de fevereiro de 2103, ou seja, daqui a aproximadamente 90 anos, ou se preferir, 100 anos depois da primeira sequência deste tipo do século XXI, que ocorreu em 1º de fevereiro de 2003.

Note que a cada 100 anos consecutivos – aquilo que chamamos de século – temos apenas 11 sequências-data.

Alguma outra curiosidade sobre o dia de hoje?

Texto atualização às 23h de 10/12/2013.

O objetivo deste post é dar uma visão geral do cenário atual da pós-graduação em matemática no Brasil, com base nos dados da Avaliação Trienal 2013, divulgada hoje, 10 de dezembro, pela Capes.

Com o intuito de organizar melhor o texto, apresento as informações em três etapas:

1. Sobre a avaliação: explico de forma resumida o significado de cada nota; os objetivos da avaliação; e a situação atual (conquistas e desafios) da área Matemática/Probalidade e Estatística;
2. Análise Quantitativa: quantidade de programas de mestrado (acadêmico ou profissional) e de doutorado; e a distribuição percentual e numérica dos programas por região e estado.
3. Análise Qualitativa: notas dos programas; distribuição percentual e numérica das notas; comparação com avaliações anteriores; maiores notas; e tabela completa com as notas.
   

Antes de passarmos aos dados em si, gostaria de lembrar que no final do mês passado elaborei um infográfico que reuniu as principais informações dos programas de pós-graduação em matemática pura do Brasil (veja este post), referentes às avaliações trienais anteriores.

É também importante salientar que as informações que se seguem são baseadas nos dados referentes à área ‘Matemática/Probabilidade e Estatística’ e não somente matemática pura, como anteriormente. Note, por outro lado, que dentro da grande área Ciência Exatas e da Terra, há também os programas da área Probabilidade e Estatística, os quais não serão contemplados aqui.

Sobre a Avaliação 

Os resultados da avaliação periódica destes programas são expressos em notas, numa escala de 1 a 7, que são atribuídas aos mestrados e doutorados após análise de indicadores referentes ao período avaliado. 

As notas 1 e 2 descredenciam o programa; nota 3 significa desempenho regular, atendendo aos padrões mínimo de qualidade; notas 4 e 5 significam um desempenho entre bom e muito bom, sendo 5 a nota máxima para os programas só com mestrado, enquanto as notas 6 e 7 são reservadas exclusivamente para os programas com doutorado.

Um programa com nota 6 ou 7 deve ter um nível de desempenho (formação de doutores e produção intelectual) diferenciado em relação aos demais programas da área e um desempenho equivalente ao dos centros internacionais de excelência na área (internacionalização e liderança). O que diferencia estas duas notas é o fato que na menor delas deve haver predomínio do conceito “Muito Bom” nos itens de todos os quesitos da ficha de avaliação, mesmo com eventual conceito “Bom” em alguns itens, enquanto a nota máxima exige conceito “Muito Bom” em todos os itens de todos os quesitos da ficha de avaliação. 

O objetivo da avaliação, segundo a Capes, é contribuir para a manutenção da qualidade de desempenho da pós-graduação brasileira; retratar a sua situação no triênio de forma clara e efetiva; contribuir para o desenvolvimento de cada programa e área em particular e da pós-graduação brasileira em geral; e fornecer subsídios para a definição de planos e políticas científico-acadêmicas de desenvolvimento e a realização de investimentos no Sistema Nacional de Pós-Graduação (SNPG).

No documento da área Matemática/Probabilidade e Estatística os membros da comissão diretora destacam que a área alcançou elevado prestígio internacional e que houve um aumento significativo da atividade de pesquisa da área no Brasil.

Por outro lado, no mesmo documento, os membros da comissão alertam que a capacidade de formação do SNPG na área ainda está bem aquém das necessidades do País. O relatório, enfatiza, por exemplo, que o ritmo de formação de doutores – em torno de 120/ano atualmente –, é insuficiente para um sistema universitário que se encontra em rápida expansão e para as demandas do setor produtivo. E apontam as principais dificuldades:

• poucos egressos da educação superior interessados na área de Matemática;
• quadro dramático da formação matemática do cidadão brasileiro;
• pouca interação entre as áreas; e
• aproximação tímida com o setor produtivo e com outras áreas da ciência.

Análise quantitativa

Números informados no portal da Capes mostram que temos hoje no Brasil 3.733 programas de pós-graduação, sendo 309 deles em Ciências Exatas e da Terra (8,3% do total), ficando à frente somente de ‘Ciências Biológicas’ e ‘Linguista, Letras e Artes’, que representam 7,7% e 5,2%, respectivamente, do total. Porém, na Avaliação Trienal 2013, referente ao período de 2010 a 2012, foram analisados somente 3.337 programas, que compreendem 5.082 cursos, sendo 2.893 de mestrado, 1.792 de doutorado e 397 de mestrado profissional.

Segundo nota à imprensa da Coordenação de Comunicação Social da Capes, uma das conclusões dos resultados da Avaliação Trienal 2013 é que o SNPG teve crescimento de aproximadamente 23% no último triênio, sendo a região Norte a que teve maior crescimento de cursos de mestrado e doutorado, 40%, seguida pelo Centro-Oeste com 37% e Nordeste com 33%. Sul e Sudeste, regiões com maior número de programas de pós-graduação, tiveram crescimento de 25% e 14%, respectivamente.

Abaixo uma tabela com a distribuição, por grande área, dos cursos recomendados e reconhecidos pela Capes.

Dos 309 programas da grande área Ciências Exatas e da Terra, 49 são na área de Matemática/Probabilidade e Estatística, sendo a maior parte deles, 37, em matemática pura.

A tabela abaixo subdivide os 49 programas em Mestrados (acadêmico e profissional), Doutorado e Mestrado Acadêmico/Doutorado. Note que o número de cursos, informados na terceira coluna, é dado pela soma de cada tipo. Por exemplo, os 40 Mestrados Acadêmico é a soma da linha dois (19) com a linha cinco (21).

Os três programas que possuem somente doutorado, são de universidades federais que possuíam apenas o Mestrado (acadêmico) e se uniram para criar um programa de doutorado conjunto. São elas: UFBA–UFAL; UFPA–UFAM; UFPB–UFCG.

Destes 49 programas, 4 deles não participaram da Trienal 2013, sendo um deles o programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT). Veja a nota de 3 de dezembro sobre a avaliação suplementar deste programa, realizada pela Capes.

A seguir se exibe na forma de infográfico a evolução da distribuição, relativamente aos dois triênios anteriores, percentual e numérica dos programas da área Matemática/Probabilidade e Estatística. A principal constatação é o bom aumento no número de programas da região Nordeste, o que refletiu num aumento de 5 p.p. na participação nacional, quando comparado com o triênio anterior.

A região Sudeste mantem-se, desde a década de 90*, com pelo menos metade dos programas de pós-graduação em matemática do Brasil. A título de informação, 41% da pós em matemática brasileira está concentrada no eixo Rio-São Paulo.

O infográfico abaixo ilustra bem a distribuição atual, por estado, dos programas de pós-graduação em matemática, reconhecidos pela Capes.

Análise Qualitativa

Segundo dados divulgados hoje, apenas 1,8% dos cursos avaliados em 2013 receberam conceitos 1 e 2. A maioria dos programas de pós-graduação tem as notas concentradas nas notas 3 e 4, onde se encontram aproximadamente 68% dos programas. Em relação a nota obtida na avaliação anterior, 69% dos programas manteve o conceito obtido em 2010, 23% aumentou de nota e apenas 8% diminuiu.

Para um análise detalhada dos dados gerais, sugiro a leitura deste documento.

Quando olhamos para os dados da área Matemática/Probabilidade e Estatística, vemos que nenhum curso avaliado recebeu notas 1 ou 2. Abaixo uma tabela com a distribuição numérica das notas das três últimas avaliações trienais.

Porém, se queremos analisar a evolução da distribuição dos conceitos, então é melhor olhar uma tabela com a distribuição percentual das notas.

Notemos, primeiro, que 69% dos programas avaliados na última trienal têm notas 3 e 4, contra 57% na avaliação anterior. Porém, enquanto tínhamos 43% dos programas concentrados nas notas 5, 6 e 7 na avaliação anterior, hoje temos apenas 31%, apesar do bom aumento de programas com nota (máxima) 7.

Ainda em relação a nota obtida na avaliação anterior, 62% dos programas manteve o conceito obtido em 2010, 24% aumentou de nota e apenas 14% diminuiu. Consulte esta tabela para ver todas as notas da área, das duas últimas avaliações.

Para os dados referentes a produção bibliográfica, teses e dissertações defendidas e número de docentes permanentes, de cada programa, consulte esta planilha.

Saiba mais sobre a avaliação através dos Links abaixo

• Avaliação da pós-graduação
• Site da Trienal 2013
• Página das diversas áreas de conhecimento avaliadas
• Página da Área 01 – Matemática/Probabilidade e Estatística
• Página dos resultados das avaliações anteriores

Nota de rodapé

(*) Não encontrei dados referentes à décadas anteriores.

Ao longo dos últimos 15 meses, a CAPES realizou uma avaliação externa suplementar do programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT*. A Comissão Avaliadora foi presidida pelo Prof. José Fernandes de Lima (UFS), Presidente do Conselho Nacional de Educação.

O relatório final da Comissão Avaliadora está disponível aqui para consulta.

(*) O PROFMAT é o primeiro curso de pós-graduação stricto sensu semipresencial do Brasil destinado a professores da Educação Básica.

Zentralblatt Math

O Zentralblatt Math é um serviço de revisões e resumos de trabalhos de matemática que cobre um amplo número de revistas e jornais. A empresa inaugurou em novembro uma nova plataforma na internet que pode ser utilizada gratuitamente até o final do ano.

Fonte: Noticiário 46 da SBM.

A grande procura pelo post ‘Os melhores programas de pós em matemática‘ e o fato de estarmos às “vésperas” da divulgação dos resultados referentes a quinta avaliação trienal dos programas de pós-graduação do Brasil (2010-12) – feita pela Capes –, me motivaram a preparar um infográfico com o objetivo de reunir as principais informações das quatros avaliações trienais anteriores das pós-graduações em matemática pura Brasil à fora.

Segundo a última atualização da Capes, que foi no início deste mês de novembro – até o fechamento deste post –, temos hoje no Brasil 3.733 programas de pós-graduação, sendo 309 deles em Ciências Exatas e da Terra, 49 na (grande) área de matemática – o que inclui os programas de matemática, probabilidade e estatística – e 37 em matemática pura. O infográfico que preparei é justamente sobre estes últimos. Importante: a atualização do infográfico ocorrerá, naturalmente, após a divulgação dos novos dados, previstos para até o fim deste ano.

Espero que as informações coletadas te ajudem!

Infográfico PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA PURA NO BRASIL

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Sinopse: Um código misterioso alicerça o mundo. Mas o que ele significa e o que podemos aprender com ele? O matemático Marcus du Sautoy nos leva em uma odisseia para descobrir o código e revelar o seu significado.

Série em três partes
Números: revela um código numérico oculto que sustenta toda a natureza.
Formas: revela os padrões que explicam a forma do mundo ao nosso redor.
Previsão: em busca do conhecimento.

– Produção: Stephen Cooter e Michael Lachmann (BBC)
– Áudio: Inglês
– Legendas: Inglês ou Português (pode ser que seja necessário ativá-las no botão legendas)

Andrew Beal, banqueiro apaixonado pela matemática, oferece US$ 1 milhão para quem resolver um problema proposto por ele em 1993.

É impressionante a (enorme) quantidade de problemas na teoria dos números de fácil entendimento, mesmo para não-matemáticos, e de soluções extremamente complicadas, mesmo para os matemáticos. Isto quando elas existem. Não poderia deixar de citar dois dos mais conhecidos: o Último Teorema de Fermat [6] e a Conjectura de Goldbach [7]. O primeiro deles foi resolvido em 1994, pelos matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, e o segundo possui apenas soluções parciais (veja [7]).

É justamente sobre um problema de fácil entendimento e ainda sem solução que vamos falar nos próximos parágrafos. Em geral, este tipo de problema é chamado de conjectura ou de problema em aberto.

Andrew Beal, banqueiro e entusiasta da teoria dos números, está oferecendo o prêmio de 1 milhão de dólares para quem provar ou apresentar um contra-exemplo para um problema que generaliza o Último Teorema de Fermat. Segundo as próprias palavras do banqueiro, em um comunicado à imprensa da American Mathmatical Society, o objetivo do prêmio milionário é “inspirar as mentes jovens a refletir sobre a questão e torná-las mais interessadas no estudo da matemática”.

O problema foi proposto pelo próprio Beal em 1993, mas só ficou bem conhecido mesmo pela comunidade matemática em 1997 após R. D. Mauldin publicar o artigo A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem no periódico Notices of the American Mathematical Society (veja [4]). Daí o problema de Beal ficou conhecido como Conjectura de Beal ^†. Afinal, o que diz o problema?

Conjectura de Beal

Se a^x + b^y = c^z, onde a, b, c, x, y e z são inteiros positivos e x, y e z são maiores do que 2, então a, b e c têm um fator primo comum – o que significa que eles são divisíveis por um mesmo número primo.

Este problema tem despertado a curiosidade de matemáticos nos últimos 20 anos, inclusive do próprio Beal, que, como dito acima, é um apaixonado pela matemática.

Falaremos agora um pouco mais do problema em si. Primeiro, note que a igualdade 3³ + 6³ = 3⁵ não é um contra-exemplo para a conjectura, visto que os números a = 3, b = 6 e c = 3 tem um fator primo comum, que é o primo 3. Assim, um outra forma (equivalente) de enunciar a Conjectura de Beal seria:

A equação a^x + b^y = c^z não tem solução para inteiros positivos com x, y, z > 3 e mdc(a, b, c) = 1.

Antes de tentar resolver um problema em aberto, é comum o pesquisador se perguntar se já existe algum avanço – e se sim, em qual direção – na tentativa de resolvê-lo. Isso pode ser bom e, ao mesmo tempo, ruim. Bom porque se ele já sabe os casos particulares que foram solucionados, pode economizar tempo e ainda ficar sabendo das técnicas que a comunidade matemática vem usando para “atacar” o problema. E é justamente aí que mora o perigo: diante de tais técnicas, o pesquisador (pode) está sujeito a seguir um caminho que não lhe trará uma resolução para o problema.

O fato é que já existe sim alguns passos dados na tentativa de resolver a Conjectura de Beal, como mostrados em [4]. Vejamos abaixo um deles.

É conhecido, por exemplo, que se existe solução para a equação dada na conjectura – ou seja, se a conjectura é falsa –, então há apenas um quantidade finita delas.

[…] Em 1995, Darmon e Granville [2], mostraram que se os inteiros positivos x, y e z são tais que 1/x + 1/y + 1/z < 1, então existe somente uma quantidade finita de triplas (a, b, c) de inteiros primos entre si satisfazendo a equação a^x + b^y = c^z. Ora, dado que cada um dos inteiros x, y e z são maiores do que 2, então 1/x+1/y+1/z < 1, a menos que x = y = z = 3. Mas Euler e possivelmente Fermat sabia(m) que não há soluções neste caso. Assim, para cada tripla x, y e z, todos maiores do que 2, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  a^x + b^y = c^z. – R. D. Mauldin [4]

Ainda em [4], você pode encontrar alguns problemas relacionados à Conjectura de Beal, como, por exemplo, a Conjectura abc e a Conjectura de Fermat-Catalan. E se ficou interessado mesmo pelo problema, você pode encontrar outras informações, tais como as regras para submissão de uma solução ou de um contra-exemplo, em [1] e [5].

Desafio

Mostre que a Conjectura de Beal implica no Último Teorema de Fermat (mas não vice-versa).

† Esta conjectura é também conhecida como Conjectura de Tijdeman-Zagier (veja [3]).

referências

[1] D. Castelvecchi. Mathematics Prize Ups the Ante to $1 Million. June 4, 2013.

[2] H. Darmon and A. Granville. On the equations and , Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 513–543.

[3] N. Elkies. The ABCs of Number Theory. Harvard Math. Rev. 1, 64-76, 2007.

[4] R. D. Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. 44, 1436-1437, 1997.

[5] R. D. Mauldin, R. D. The Beal Conjecture and Prize.

[6] E. W. Weisstein. Fermat’s Last Theorem. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

[7] E. W. Weisstein. Goldbach Conjecture. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.