Привычка не думать

День равновесия

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 29 May 2012 02:46:17 PDT

Ну вот, опять Пасха на воскресенье выпала.
©Уже не понятно, кто первый сказал

Добрый день!

Люди ежегодно празднуют события в один и тот же день (дни рождения, восьмые марта, дни шахтёра и числа пи), хотя это скучно и банально. Куда интереснее было бы иметь какие-то плавающие даты.

Например, можно отмечать каждый тысячный день жизни. Это, конечно, чуть реже, чем традиционный день рождения, но даты получаем более разнообразные (хотя бы не всегда одно время года будет за окном). Людям, имеющим отношение к IT-области, естественно было бы отмечать каждый 1024 день своей жизни. А если не терпится, то каждый 256 день, тогда даже выйдет чаще, чем традиционную «днюху». Как определить возраст в днях? Наверное, каждый начинающий программист в процессе обучения написал программку, переводящую даты из одного формата в другой — это полезное упражнение.

А ещё интереснее отмечать что-то нерегулярное. Я придумал день равновесия (напишите, пожалуйста, где уже читали о такой задумке):
- день малого возрастного равновесия: сумма возрастов жены и одного из детей совпала с возрастом мужа (или наоборот, если жена старше) — можно отмечать столько раз, сколько будет детей,
- день среднего возрастного равновесия: сумма возрастов детей совпала с возрастном одного из родителей (этот повод может возникнуть аж 2 раза, если супруги родились не в один день),
- день большого весового равновесия: сумма весов детей совпала с суммой весов родителей,
- день малого детского равновесия: количество внуков совпало с количеством детей,
- день среднего детского равновесия: среднее количество детей у каждого ребёнка совпало с количеством собственных детей (т.е. количество внуков совпало с квадратом количества детей),
- день большого возрастного равновесия: сумма возрастов детей совпала с суммой возрастов супругов,
и т.д.

Прелесть этих праздников в том, что они не индивидуальные, а семейные. Мне кажется, регулярное семейное общение очень значимо, поэтому стоит всеми способами находить ещё один-другой повод увидеться.

Если памятные даты, основанные на возрастах, можно заранее вычислить и запланировать, то с весами всё интереснее и неожиданнее (с количеством детей особой предсказуемости тоже нет на большом интервале времени). Кроме того, весовой «праздник» может длиться несколько недель или даже месяцев, если веса участников меняются достаточно медленно.

Итого:
- Какие весёлые и необычные даты вы отмечаете или хотели бы отметить?
- Чем можно расширить мою идею о возрастных, весовых и детских равновесиях? Рост вроде бы не очень удобный параметр, количества дипломов или публикаций тоже странно сравнивать... А что ещё может символично совпадать?

Хорошего дня! И пусть у вас будет больше радостных событий!

Адреса wiki-статей без процентов

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 22 May 2012 22:42:42 PDT

Добрый день.

Сегодня я сознаюсь, почему со страниц блога так много ссылок на страницы английской википедии, хотя всё то же самое можно найти и в русской. Ответ очень простой — было некогда разобраться, как ставить ссылки на русскую вики (серьёзно, я делал несколько подходов по 5 минут, но не находил простого способа).

Почему же я не спросил у коллективного разума интернет-знания? Бывают такие вопросы, ответ на которые почти невозможно получить с помощью поисковой машины. Википедия так популярна, что очень трудно найти текст вне википедии, если указал слово «wiki» в своём поисковом запросе. Это как пытаться узнать, выпустила ли свежий альбом «Music» группа «MP3». Ну или сейчас я расскажу, в чём была проблема, а вы покажете, как надо было искать на неё ответ — тоже полезно будет.

Вот представьте, что вам надо сослаться на какую-то статью русской википедии (или любую другую страницу, в адресе которой есть кириллица). Как это сделать?

Кажется, что очень легко:

открываем нужную страницу википедии,
копируем в буфер обмена адрес этой страницы из адресной строки браузера,
вставляем куда угодно.

Попробуйте. У меня всегда получалось что-то такое: «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8F» А хотелось-то увидеть короткую и понятную строчку «http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_пекаря» (я честно перепробовал несколько браузеров, поискал решение в сети, но это не помогло). Согласитесь, второй адрес куда яснее и удобнее!

Кто-то скажет, что проблема высосана из пальца. Мол, хоть такие длинные адреса не очень удобны (по адресу не понятно, на какую страницу он приведёт, см. комментарии в этом блоге тут или тут), но жить можно. Проблема в том, что так почти ничего не работает (во всяком случае, если вставлять такие адреса в заметки blogger.com, то получаются такие ссылки, а вовсе не желаемые). Поэтому раньше мне было проще сослаться на английскую версию страницы. Но теперь порядок и гармония восстановлены!

Решение нашлось случайно: я чуть-чуть отредактировал адресную строчку браузера (случайно добавил символ «1», а потом стёр его). После этой процедуры копирование из адресной строки начало давать желаемый URL без процентов (у меня это сработало во всех браузерах, кроме IE).

Итого:

работающий способ проставления ссылок на русскую википедию теперь такой: открываем нужную страницу, делаем небольшое изменение в адресной строке браузера (добавляем и тут же убираем какой-нибудь символ, например), копируем адрес в буфер обмена, ... (я примерно понимаю, почему это работает, но пока не вижу более правильного решения);
я не знаю, как можно было найти решение этой проблемы в интернете (подозреваю, что тысячи других людей тоже не справились, поэтому половина интернета увешана невнятными адресами с процентами, какие вы можете увидеть по следующим ссылкам: 1, 2);
поэтому делюсь этим решением с вами, надеясь, что вы тоже поделитесь с теми, кто в этом нуждается.

Успехов!

Общее у ЕГЭ и ГАИ

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 21 May 2012 01:23:41 PDT

Добрый день.

Два человека независимо рассказали мне следующую историю (каждый о себе):

1) Перед сдачей экзамена на получение водительских прав они внимательно изучили правила дорожного движения;

2) Когда сдавали тест на компьютере, получили негативную оценку, но решили разобраться, так как были уверены в своей правоте;

3) Во время общения с живым инспектором получили следующий ответ: «Да, с точки зрения ПДД вы ответили правильно, но это же компьютерный тест, к нему надо готовиться по билетам!».

Далее был естественный диалог:
— Мы ездить должны по ПДД или по билетам?
— Ездить надо по ПДД. А экзамен сдавать по билетам! Выучите уже их, это же не так сложно. Я не могу ничего сделать, так как программа выдала результат «не сдал». Не я же её сделал.

Мне это напомнило обычные ляпы в ЕГЭ первых лет. Там встречались вопросы, на которые правильным считался неправильный ответ (иногда из-за спешки при подготовке заданий, а иногда по причине разного взгляда на один и тот же вопрос в школьных и вузовских учебниках). Из-за этого более подготовленные школьники набирали на подобных заданиях меньше баллов, чем слабые, так как сильные школьники давали один и тот же ответ (правильный, с точки зрения изучаемой науки), а слабые с вероятностью 25% угадывали ответ, который считывался правильным. Впрочем, какие-то положительные движения есть и в этой области (например, тесты для девятиклассников (ГИА) оказались куда приятнее, чем можно было ожидать, ведь в них вернулась геометрия, которую в ЕГЭ до этого задвинули довольно далеко).

Аналогичные ляпы были и с тестами IQ: в первых классических изданиях встречались логические ошибки (кстати, их иногда переиздают и в наше время). Получается, что iq-тест не столько измерял способность испытуемого логически мыслить, сколько сходство логических ошибок испытуемого с ошибками авторов теста.

А какие вам известны случаи несоответствия теста тому, что он должен проверять?
Сталкивались ли вы с подобными особенностями в ГИБДД, школах, вузах или ещё где-то?
Победили ли несправедливость для всех? Добились правды только для себя? Смирились?

Разные ссылки #1

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 15 May 2012 07:02:19 PDT

Добрый день!

Несколько дней назад я вернулся к нормальному интернету, разобрался со срочной почтой, отреагировал на комментарии, появившиеся в блоге за последние две недели, ~~уменьшил количество непрочитанных записей в Google reader'е до 500~~, а теперь пришло время делиться найденным.

У меня получился такой список:

Русский язык в котах. Можно в грубой форме требовать соблюдать правила русского языка, можно высмеивать неграмотность, а можно создавать приятные учебные пособия, которые в мягкой и весёлой форме решат ту же задачу (предлагаю неплохой пример справа, по ссылке есть больше, а у автора — ещё больше).
Как сделать электродвигатель за 15 минут — замечательная тема не только для урока физики (материал статьи можно рассматривать как лишний повод для интересного общения с сыном, например),
Название «Механическая модель коллайдера» после предыдущего может показаться шуткой, но интрига состоит в том, что всё серьёзно (у Игоря Иванова нередко так бывает),

(кстати, если вам нравятся простые и интересные физические опыты, то рекомендую Новый канал Simple-Science — простые опыты и эксперименты)
Предлагаю цитату из заметки «О возвращении к среднему»: «Представьте, что потоку из сотни студентов дают написать сложный экзамен по математике, и оценки за него выставляют по 100-бальной шкале. Давайте выпишем имена тех, кому выставили 10% худших оценок, и тех, кому достались 10% лучших. На следующий день всему потоку дают еще один экзамен, на ту же самую тему и той же сложности, но задачки другие. Теперь сравним оценки, которые получили студенты в первый день и во второй.

Мы увидим, что почти всегда в среднем наихудшие ученики в первый день повысили свои оценки на второй день, а наилучшие, наоборот, снизили. Не у каждого ученика так будет, но в среднем выйдет так. Почему?» (если вам ещё не знаком этот эффект, то рекомендую сначала подумать, а уже потом читать рассуждение по ссылке выше),
Блог «Бред программиста» понравился мне всем, но очень быстро «прочитался». Удивительно, как автору удалось зацепить меня несколькими совершенно разнородными темами. Оказалось, что про некоторые из этих вопросов я когда-то недавно думал, где-то решал похожие проблемы... Если честно, в какой-то момент мне показалось, что я читаю свой же блог, только не помню, когда всё это написал. У вас такое бывало?
О переменах без перемен — Александр Привалов о больной теме предопределённости и о будущем нашего образования.

А знаете, какая заметка является самой посещаемой на этом блоге последние недели? «Как взрослому освоить велосипед»! Видимо, лето уже основательно началось, в пробках стоять никто не любит, а радоваться езде на велосипеде — это же совсем другое дело. Приветствую всех освоивших и осваивающих велосипед!

Хорошего дня!

Интересное в мае 2010

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sun, 29 Apr 2012 22:26:59 PDT

Добрый день.

Два года назад мы говорили о физике и случайностях:

- В одной заметке того месяца мы сформулировали задачу о растворении пружины в кислоте, а уже в следующей постарались понять, куда же «девается» энергия. Хоть эту задачу и можно отнести к классическим и общеизвестным, споры о ней, наверное, не утихнут никогда. И объяснить это очень легко — гораздо проще иметь своё мнение, основанное на «здравом смысле и физике за 8 класс», чем разобраться в проблеме.

- В одной из заметок мая мы задались вопросом о природе случайности. Вопрос этот не так прост, как кажется. Довольно скоро мы постарались сформулировать некоторые тезисы о случайных процессах, но, конечно, копать в эту сторону можно сколь угодно подробно.

- Ещё в мае мы вспомнили «парадокс лжеца» (полезное упражнение для всех, кто его ещё не победил), а также подумали о том, как можно было бы понимать постоянное усложнение мозга (и какого досадного сценария для человечества тут можно было бы опасаться).

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в апреле, марте, интересное в феврале, интересное в январе 2010 года, интересное в декабре, интересное в ноябре, интересное в октябре, сентябре, августе, июле, июне, мае, апреле, марте, феврале, январе 2009 года, интересное в декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Почему виноват умный?

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 17 Apr 2012 09:37:30 PDT

Добрый день.

Многие из вас слышали разные версии высказывания о том, что если два человека конфликтуют, то в конфликте непременно виноват тот из них, кто умнее. Самая краткая формулировка, наверное, звучит как-то так: «В споре виноват умнейший». Но что это значит? Почему он виноват?

В самом деле, если умный человек имеет обоснованное мнение, отличающееся от позиции глупца/юнца, то что плохого в попытке разъяснить? Что плохого в распространении разумной позиции? Люди, задающие такие вопросы, не понимают, в чём именно виноват умный...

Речь же не о том, что людям надо поделиться на закрытые группы равной квалификации, чтобы ни в коем случае не состоялся диалог между «умным» и «глупым». Такие диалоги не только совершенно нормальны, но и нужны. А в чём же тогда дело?

Чтобы понять это, надо сначала разобраться, почему в комментариях иногда появляются резкие реплики. Почему безусловно умный человек, неоднократно показавший развитость своей головы, демонстрирует что-то животное и незрелое? Зачем надо «наезжать» на оппонента, какой толк в завуалированных оскорблениях? (и это уже не говоря о внезапном мордобое при спорах лицом к лицу)

Разгадка проста — человек подобен маятнику. Будучи выведенным из равновесия, он старается в него вернуться. И чем сильнее было воздействие, тем интенсивнее будет попытка вернуться в комфортное состояние. Но нельзя забывать, что человек всё же является гораздо более сложной и интересной штукой, чем какой-то маятник. Он же имеет свободу! И поэтому не обязан вести себя тупо и прямолинейно.

Раз мы понимаем, что глупые резкие выпады — это всего лишь попытка поскорее погасить внутреннюю волну, например, негодования, то мы не менее хорошо понимаем, что у людей есть куда более эффективные способы возвращаться к равновесию. И тут проявляется важное «но»: если бы вместо глупой неправильной реакции мы выждали хотя бы 10 секунд, то обязательно бы вспомнили об этих способах. Но нет, сильная эмоция выключает разум на какое-то время, поэтому умный собеседник внезапно превращается в неуравновешенного глупца.

Именно в этом вина умного — он «забыл» подумать о других способах, поэтому проявил себя предельно плоско и неэффективно. Ну а если в споре двух умных людей один не сдержался, то второй просто «обязан» подыграть ему (понять, что это только что было, а потом ещё и выправить последствия выпада первого, ведь он и сам обескуражен). И если он не сможет этого сделать (или хотя бы не постарается), то какой же он умный после этого? Он обычный участник спора двух глупцов.

А как вы сдерживаете себя, когда «спинной мозг» мгновенно всё решил, уже схватил в руки топор (придумал едкий комментарий)? Бывало ли, что вы успевали удалить свою слишком резкую реплику до того, как её увидел оппонент? Или вам удаётся ловить себя ещё до отправки?

Хорошего дня!

Средний выигрыш

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Wed, 11 Apr 2012 02:05:41 PDT

Добрый день.

Уже три недели прошло с выхода заметки «От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу», уже более сотни интереснейших комментариев написано, множество копий сломано, несколько заблуждений сформулировано и разобрано. Иногда, к сожалению, собеседники переходили на личности, называли высказывания друг друга чушью, не убедившись, что правильно поняли друг друга. Но не зря борьбу за правду называют борьбой.

Комментарии к той записи сами по себе очень интересны (и продолжение темы, начатой в заметке, конечно, скоро будет опубликовано), но сегодня я предлагаю начать обсуждать интересную задачу из тех комментариев, в которой неожиданным образом показывает себя понятие «средний выигрыш». Ну а для тех, кто не очень любит теорию вероятностей, есть специально заготовленная коллекция «пирожков» (спасибо всем, кто вспомнил свои любимые «пирожки» в комментариях!).

Итак, задача:
Представьте, что вы изобрели такую стратегию игры на фондовой бирже, что она позволяет с вероятностью 90% удваивать торговый капитал, а с вероятностью 10% полностью его терять. Ясно, что с такой стратегией нельзя подставлять под риск весь свой капитал — какой-то процент надо держать в запасе, чтобы всегда можно было возобновить игру, когда «черный лебедь» слизнет весь торговый капитал. Вопрос: какую долю капитала было бы оптимально использовать для игры, а какую всегда сохранять?

Тонкость этой задачи в том, что надо сначала определить, что такое «оптимально» (вспомните задачу Бертрана, в которой понятное и простое условие можно было понимать самыми разными способами). Многие считают, что в этой задаче достаточно посчитать математическое ожидание выигрыша, чтобы определить, на какую сумму играть.

Давайте проделаем это. Пусть x (число от 0 до 1) — доля капитала, которую мы всегда сохраняем. Каким будет средний выигрыш M1(x) за одну игру?

M1(x) = 0.9 * (x + 2 * (1 - x)) + 0.1 * x
(т.е. с вероятностью 90% мы удвоим капитал (1-x), сохранив сумму x, а с вероятностью 10% у нас останется только x).

Давайте найдём x, чтобы функция M1(x) приняла максимальное значение. M1(x) = 1.8 - 0.8 * x. Получается, что чем меньше x, тем выше средний выигрыш. Пожалуй, тут не поспоришь, при одной игре с такими выгодными условиями неразумно оставлять себе хоть что-то, а стоит играть на все.

А что будет при серии из двух игр? Давайте вычислим M2(x).

M2(x) = 0.9^2 * (x + 2 * (1 - x))^2 + 0.1^2 * x^2 + (1 - 0.9^2 - 0.1^2) * (x + 2 * (1-x)) * x
(т.е. с вероятностью 81% [0.9 в квадрате] нам повезёт удвоить капитал дважды, сохраняя на каждом этапе долю x от него, с вероятностью 1% мы дважды проиграем [и сохраним тогда всего x^2 денег], а в остальных случаях мы один раз удвоим капитал (1-x), сохранив x, а один раз «умножим его на x», причём, неважно, в каком порядке).

Найдём x, при котором M2(x) имеет максимальное значение:
M2(x) = 0.64 * x^2 - 2.88 * x + 3.24.
Легко видеть, что эта функция задаёт параболу, ветви которой идут вверх, а наименьшее значение принимается при x > 1. Другими словами, максимальное значение на интервале [0, 1] функция M2(x) принимает в при x=0. Получается, и в серии из двух игр выгоднее не оставлять часть капитала, а «играть на все».

И так далее.

Теперь возникает вопрос: если бытовая интуиция говорит нам «сохрани хоть сколько-то, чтобы иметь возможность возобновить выгодную игру, если вдруг не повезёт», а сухая математическая наука говорит «выгоднее всего играть на всю сумму», то кому верить?

Ну и попутно ещё масса вопросов:
- Верно ли, что математическое ожидание выигрыша будет максимальным при нулевом x для любого количества игр?
- Что такое «оптимальная стратегия» при такой игре? (не «какой она является», а «как понять, что найденная стратегия является оптимальной»)
- Какую сумму x вы бы откладывали от имеющихся денег, если бы планировали сыграть большое количество игр (например, миллион игр)? А если бы всего 3 игры? А если 10 игр?

Хорошей недели!

Удачные розыгрыши 1 апреля

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sun, 01 Apr 2012 05:22:06 PDT

Добрый день!

Поздравляю всех с днём математика!

Живы ещё люди, которые помнят древние легенды о том, что давным-давно и далеко-далеко были богатыри, имеющие дивную традицию — каждый год 1 апреля они весело шутили и разыгрывали друг друга. Сейчас традиция умерла, детали их подвигов уже забыты, но какие-то воспоминания остались.

Поделитесь, пожалуйста, в комментариях своими весёлыми воспоминаниями. Видели ли вы по-настоящему удачные розыгрыши? Бывало ли так, что запланированный розыгрыш ломался из-за внезапных обстоятельств? А бывало ли, что шутка от этого становилась ещё мощнее?

Хорошего празднования!

А пусть не пищит!

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Wed, 28 Mar 2012 09:59:07 PDT

Добрый день!

Если вам тоже не нравятся посторонние звуки (как кваканье машин), то, возможно, коротенькая заметка на Хабре о том, как своими руками избавиться от лишних писков, будет кстати.

Я её опубликовал только там, так как правила Хабрахабра не одобряют публикацию одного и того же текста у них и где-то ещё. Поэтому, если вы желаете избавиться от писков микроволновки или кофеварки, то добро пожаловать в статью «А пусть не пищит» на Хабре.

А если ваши интересы далеки от борьбы с электроникой своими руками, а близки к интеллектуальным играм, то напоминаю об очередном турнире по «Банальностям» (начнётся 30 марта в 20.00 Москвы).

Хорошего дня!

Ленивее лентяя

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Thu, 22 Mar 2012 21:47:46 PDT

Ладно, поговорили про кваканье машин, теперь можно и к математике вернуться. Но сначала я поблагодарю всех людей, которые нашли возможность поддержать блог ссылками (недавно я писал, что «Привычка не думать» находится на каком-то неадекватном тринадцатитысячном месте в рейтинге Яндекса). Благодаря вам ситуация улучшилась — блог сейчас вошёл в верхние восемь тысяч этого рейтинга. Спасибо за поддержку!

В блоге «Живая Геометрия» были предложены три задачки про целые числа, которые может быть забавно порешать каждому. А сейчас я чуть-чуть переформулирую первую, чтобы предложить вам небольшой тест внутренних предпочтений.

На листе бумаги написаны в строчку 13 единиц.
а) Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
б) Докажите, что если единицы, стоящие на чётных местах, заменить семёрками, всё равно между числами полученного набора можно будет расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
в) Докажите, что если семёрки, стоящие на чётных местах, заменить произвольными нечётными числами, всё равно между числами полученного набора можно будет расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
г) Докажите, что если единицы, стоящие на нечётных местах, заменить произвольными простыми числами, всё равно между числами полученного набора можно будет расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
д) Докажите, что между любыми 13 натуральными числами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 108.
е) Обобщение (это ещё большая подсказка, чем вариант Д, поэтому не трогайте эту ссылку раньше времени).

Пояснение: в этих задачах, как и во всех нормальных автобусных билетиках, мы не можем «склеивать» цифры (например, из двух единиц мы можем получить 1+1 и 1*1, но никак не можем сделать 11).

Идея в том, что трудолюбивый человек начнёт решать эту задачу с пункта А, а «лентяй» (возможно, будущий великий математик) возьмётся за Д или даже сразу за Е. Ведь этих пунктов полностью хватает, чтобы без усилий получить решение всех предыдущих разновидностей. Слово «лентяй» взято в кавычки, потому что решить вариант А, конечно, проще, чем, например, вариант Д. Но иногда опыта хватает, чтобы сразу справляться со сложными вариациями, не тратя время на простые. А иногда задача так сложна, что для её изучения приходится искусственно упрощать условие, чтобы хоть что-то почувствовать.

Главное искусство здесь — придумать правильную гипотезу. Например, решать задачу про поле 128 на 128 клеток достаточно тяжело, но если сообразить, что это поле 2^n на 2^n клеток, то сразу станет обозримее и проще.

В предложенной задачке все гипотезы (кроме Е) уже сформулированы, поэтому надо лишь выбрать ту, что по силам. Например, решивший В, автоматически справляется с Б. И так далее. А с какой буквы начнёте решать задачку вы? :)

Ну и раз у нас сегодня день блога «Живая Геометрия», то вот ещё одна старинная задачка из него: Найти 100 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению (и сразу же даю ссылку на мысли о решении, которую призываю раньше времени не открывать). Кстати, не забудьте, что по первой ссылке есть не только задача про делимость на 108, но и ещё пара забавных формулировок.

Хорошего дня!

Не надо "ква-ква"

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Wed, 21 Mar 2012 03:03:32 PDT

— Сколь же можно про математику?! В каждой заметке только она!
— Хорошо, давайте поговорим о расширении зоны комфорта.

Когда автовладелец закрывает или открывает дверь своей машины с пульта сигнализации, она обычно «радует» весь двор задорным кваканьем. Давайте подумаем, какая от этого может быть польза:

1. Если кто-то нашёл потерянные ключи, к которым прицеплен брелок автомобильной сигнализации, то ему будет проще обнаружить машину на ближайшей стоянке (пусть не с целью угнать, а просто забрать из неё ценные вещи, не привлекая к себе внимания). В самом деле, достаточно будет нажать кнопку открывания дверей, как машина сразу отзовётся, выдавая своё место на стоянке. Особенно легко это может произойти в крупных торговых центрах (кстати, ключи от машины могут быть не потеряны, а извлечены из кармана зазевавшегося покупателя).

2. Разные автомобильные сигнализации издают чуть-чуть разные «квакающие» звуки. Соответственно, услышав звук, с которым вышедший из машины человек закрыл двери, злоумышленник может легко понять, что «клиент приехал» (если эта сигнализация хорошо знакома преступнику, «дежурящему» на стоянке торгового центра, то он её быстренько вскроет заранее заготовленным устройством).

3. Автомобилисты, приехав домой поздно вечером, одним нажатием кнопки на пульте сигнализации запросто могут разбудить несколько десятков людей с чутким сном (старики и младенцы). Обычно за это им ничего не бывает, потому что мягкое воздействие почти невозможно, а для жёстого надо уж очень разозлиться. Но если людей довести, то всякое может случиться и с машиной, которая вообще не виновата, и с автовладельцем, который мог даже не догадываться, как сильно мешает.

Стоп... А почему я это всё назвал пользой? Действительно, пользы хозяину машины от этого никакой. Давайте тогда сформулируем настоящие причины «кваканья» сигнализаций:

1. Неумение настраивать (кстати, это тоже намёк злоумышленнику, что заводской код разблокировки, скорее всего, не был изменён хозяином машины, поэтому с большей вероятностью её можно будет угнать или вскрыть, почти не прикладывая усилий).

2. Невозможность отключить лишние звуки, так как сигнализация дешёвая, почти ничего не умеет. Опять же, это громкое приглашение криминальных элементов, так как старые и дешёвые сигнализации уже давно открываются буквально бутербродом с сыром.

3. Демонстративное игнорирование окружающих людей. Тут комментировать не буду. Напомню только, что нередко пробки и аварии возникают именно из-за таких попыток самоутвердиться (1, 2, 3).

4. Отсутствие опыта наблюдения за людьми, которым тяжело уснуть, но очень легко проснуться. Например, родители, которые наконец-то сумели за полтора часа уложить спать ребёнка с режущимеся зубками, хорошо понимают, как больно слышать резкое «кваканье» в ночной тишине, если ребёнок от этого проснулся и опять заплакал.

Конечно, это выглядит красиво и круто: выйти из машины, отойти от неё на несколько шагов, нажать кнопку на пульте, убрать ключи в карман, услышав знакомое «ква-ква». Но стоит ли оно того? Можно же и другим способом убедиться, что сигнализация сработала (по морганию «поворотников» или щелчку замков).

Итого:
- мне эта тема кажется очень важной (особенно заметно становится весной, когда звукопоглощающие способности снега уходят вместе со снегом), поэтому я убедил друзей и знакомых выключить «кваканье» своих машин (они просто не смогли придумать, зачем оно нужно),
- поэтому я прошу и вас найти возможность отключить лишние звуки своих машин, а также поднять этот вопрос на автомобильных форумах своего региона,
- если вы сможете нарисовать красивую и доходчивую картинку, а потом ещё скомпоновать её с кратким поясняющим текстом (чтобы это всё хорошо смотрелось на листе A5 или A6), то можно было бы распечатать такие «агитационные материалы», чтобы помещать их под щётки стеклоочистителя «квакающих» машин во дворе (не всегда же удаётся лично поговорить с человеком).

При чём тут обещанное в первых строчках расширении зоны комфорта? По-моему, оно имеет прямое отношение к делу! Многие люди говорят, что хотят жить в чистоте и комфорте «как в Европе», но при этом не попадают мусором в урны, выгуливают собак на детских площадках, дают взятки... Их зона комфорта ограничена дверью своей квартиры. Давайте сделаем маленький безболезненный шаг к тишине за окном, давайте хоть чуть-чуть расширим зону комфорта. В той же Европе почти не слышно «кваканья».

Кто-то скажет, что в России есть огромное количество проблем на много поколений вперёд, да и дураков у нас припасено на века. Но разве это повод умным раздражать друг друга противными резкими звуками? Если можно один раз отключить звуковой сигнал при открытии и закрытии дверей, ничего не теряя при этом, то не проще ли это сделать? И дальше спокойно заниматься настоящими большими проблемами страны.

Проект «Страна без глупостей» добился больших успехов в борьбе за свободу фотографии. Но ясно, что это далеко не ключевой момент для благополучия нас и наших потомков. Не ключевой, конечно, но надо же с чего-то полезного начинать. Если невозможно решить большую задачу, то надо тренироваться на маленьких. Я призываю сделать ещё более простую вещь, которая прямым образом влияет на качество жизни многих — дайте выспаться людям с чутким сном.

От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 16 Apr 2012 03:09:09 PDT

Добрый день.

Вот и пришло время для обещанной ранее заметки о поисках выходов за рамки классической теории вероятностей. Эта заметка возникла в результате переписки с читателем, многим известным по регулярным содержательным комментариям на страницах блога. Например, в комментариях к последней заметке о многомерных сферах и кубах Артур Бараов поддержал предложенную мною игру в дополнение текста (помните, я оставлял квадратные скобки, чтобы потом заменить их на ваши версии ответов?). Он написал достаточно краткий, но при этом вполне ясный поясняющий текст. Сегодня с его подачи мы поговорим о вероятностях.

Но сперва я бы хотел обратить внимание на статью Александра Привалова «О границах дискуссии». На мой взгляд, проблема монополии на концепцию очень важна, так как, например, совсем неинтересно влиять на решение, в виде котлеты или гуляша быть съеденным, а хотелось бы полностью уйти от идеи людоедства.

А теперь я передаю слово Артуру.

Адекватное раскрытие темы, подразумеваемой таким провокационным названием, потребовало бы целого трактата. Но наши цели здесь гораздо скромнее:

обратить внимание на важный факт, что есть как минимум два понятия вероятности (соответственно, можно говорить о двух разных теориях вероятностей).
и разница между различными понятиями вероятности, и разница между основанными на этих понятиях теориями гораздо шире и глубже, чем может показаться с первого взгляда.

Одна теория, которая ассоциируется с именем Колмогорова, основана на достаточно узком и ограниченном понимании вероятности, как частоты повторяющихся событий; она является замкнутой и чисто математической теорией. Другая теория, которая ассоциируется с такими именами как Байес, Лаплас и Максвелл, основана на очень широком понимании вероятности, как степени достоверности умозаключений любого характера; она является открытой логической теорией познания.

В теории Колмогорова рассматриваются только так называемые прямые задачи, где вероятности всех элементарных событий просто по определению равны между собой (или заданы, например, как результат каких-то повторяющихся экспериментов). В теории же вероятностей, как логической теории познания, главной целью считается решение так называемых обратных задач. Есть набор фактов, свидетельских показаний, экспериментальных наблюдений и так далее, а требуется оценить достоверность всевозможных гипотез, которые теоретически могли вызвать к жизни этот набор наблюдаемых событий. Другими словами, по характеру, практической важности и разнообразию решаемых задач «частотная» теория вероятностей является детской игрушкой, если сравнивать её с «логической» теорией вероятностей.

Вот почему теорема Байеса рассматривается в качестве инструмента познания, а не просто как формула для решения прямых задач теории вероятностей. Вот почему, по меткому выражению Лапласа «теория вероятностей есть ни что иное, как здравый смысл, сведенный к расчёту».

Мысль, которую мы пытаемся здесь передать, наиболее выпукло была выражена в 1850 году основателем классической электродинамики Максвеллом в его письме к Льюису Кэмпбеллу:

«Я сегодня размышлял о функциях познавательной способности человека. По общепринятому мнению, эти функции подвластны воле, а воля управляет познанием посредством контроля внимания. Говорят, что понимание должно вырабатываться согласно правилам правильного суждения. Эти правила содержатся или должны содержаться в логике; но в настоящее время логика как наука имеет дело только с утверждениями, которые являются несомненными, невозможными или полностью неопределенными, т. е. с вещами, которых (к счастью) у нас практически никогда не бывает, чтобы делать выводы на их основе. Следовательно, настоящая логика этого мира — это исчисление вероятностей, дающее величину вероятности, которая есть, или должна быть в уме разумного человека.

Эта ветвь математики ассоциируется с азартными играми, игрой в кости и заключением пари, поэтому считается в высшей степени аморальной. На самом деле она является чуть ли не единственной «математикой для практичных людей», каковыми мы и должны быть. Теперь, поскольку человеческое знание достигается посредством чувств таким образом, что существование внешнего мира может быть не более чем логическим выводом на основе не противоречащих друг другу (необязательно подобных) свидетельств различных чувств, понимание, действуя согласно законам правильного суждения, приписывает различным правдам (фактам, или свидетельствам, или как их еще мне называть) различные степени вероятности. Теперь, поскольку чувства доставляют нам непрерывный поток всё новых впечатлений, и поскольку никто никогда еще не обнаружил в них серьезных противоречий, то ясно, что степень доверия к показаниям чувств будет расти изо дня в день, и чем больше человек пользуется этими показаниями, тем больше он им верит. Он верит этим показаниям. А что значить верить? Когда в уме человека есть вероятность (лучшего слова пока не придумали) того, что некое умозаключение скорее верно, чем неверно, то он верит в это в прямой пропорции с той верой, которая соответствует этой вероятности. А эта вероятность может расти или падать в зависимости от новых фактов. Когда человек думает, что у него есть достаточно свидетельств в пользу некоторого суждения, он иногда отказывается рассматривать любые дополнительные свидетельства за или против, говоря, «Этот вопрос разрешен, он не нуждается в свидетельствах, это истина». Это уже знание, а не вера. Он говорит: «Я не верю; я знаю».

Если кто-то думает, что он знает что-то абсолютно достоверно, он ничего не знает, как ему следовало бы знать. Подобное знание равносильно затыканию ушей ко всем аргументам и фактам, и оно ничем по существу не отличается от «слепой веры». Не следует путать эту веру с «детской верой», поскольку дети вовсе не верят слепо, а открывают для себя, гораздо раньше, чем многие думают, что взрослые часто врут.»

Мысль, выраженная в общей и абстрактной форме, обычно трудно переваривается. Поэтому давайте в следующей заметке рассмотрим конкретный пример, где мы сможем буквально почувствовать глубинную разницу между классической теорией вероятностей и теорией вероятностей, как логики познания.

На всякий случай напомню, о задачах какого типа идёт речь:
- Парадокс двух конвертов (вопрос в том, можем ли мы что-то сделать, не зная, как устроено распределение возможных сумм),
- N шкатулок, неизвестное количество призов (вопрос в том, правильно ли игрок отвечает ведущему на первый вопрос, говоря следующее: «Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках»).

Приглашаю в комментарии людей, которые уже сталкивались с ограничениями классической теории вероятностей или сталкивались с разговорами о возможности или невозможности её расширения.

Теорема Пифагора

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 12 Mar 2012 03:04:05 PDT

Добрый день.

В прошлой заметке (о расширениях теорий) были упомянуты «обобщения на пространства больших размерностей», что вызвало неожиданный интерес, приведший к занимательной переписке. Сейчас мне кажется, что один из моих ответов стоит опубликовать.

Это старинная задачка, позволяющая почувствовать, что в n-мерных пространствах (для n больших 3) не всё работает столь же привычно, как при переходах от прямых к плоскостям и от плоскостей к пространствам. Эти аналогии мы знаем давно, поэтому привыкли считать всё красивым и естественным (каковым оно и является), но нередко напрасно надеемся, что и при дальнейшем увеличении размерности интуиция нам поможет.

Ещё эта задачка бывает хороша на собеседованиях (естественно, многое зависит от специфики отбора), так как позволяет за короткое время услышать много разных идей... Но об этом позже. А сначала давайте вспомним теорему Пифагора. Она нам позволяет вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, зная его катеты, что можно использовать, например, для вычисления длины диагонали прямоугольника. А как теперь вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда (со сторонами a, b и c)? Правильно, сначала применить теорему пифагора для одной из граней — так мы найдём длину её диагонали d = sqrt(a^2 + b^2). А уже потом вычислить длину искомой большой диагонали sqrt(d^2 + c^2) = sqrt(sqrt(a^2 + b^2)^2 + c^2) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Сейчас мы не будем говорить о том, что таким элементарным путём мы пришли к определению евклидового расстояния, а лишь заметим неограниченность этого подхода. В n-мерном пространстве мы можем найти расстояние между двумя точками, n-1 раз воспользовавшись теоремой Пифагора. Естественно, обычно так никто не делает , потому что глупо считать квадратный корень, а потом сразу же возводить результат в квадрат. Но важно понимать, откуда возникла странная формула расстояния между точками d(A, B) = sqrt((A1-B1)^2 + (A2-B2)^2 + ... + (An-Bn)^2). Сейчас, скорее всего, мы это неплохо понимаем.

Теперь переходим к задаче, а заодно пользуемся возможностью поучаствовать в создании этой заметки (подробности будут в квадратных скобках ниже). Начать этот разговор проще всего с двумерного пространства. Представьте себе квадрат со стороной 2. Его можно разбить на четыре квадрата 1x1, в каждый из которых легко вписать окружность диаметра 1. Давайте найдём величину D2 (диаметр окружности, вписанной между этими четырьмя окружностями).

Если в большом квадрате, разделенном на маленькие, провести диагональ, то увидим, что искомый диаметр D2 состоит из двух равных половинок. Каждая половинка — это расстояние от угла маленького квадрата до окружности, которая в этот квадрат вписана. И такая же половинка находится с другой стороны окружности в этом же квадрате. Получается, что искомый диаметр равен диагонали маленького квадрата минус диаметр окружности. Т.е. D2 = sqrt(2) - 1. [Спасибо KYegres за это объяснение (в комментариях есть ещё несколько решений этой задачи)]

Отлично, так мы нашли D2. Теперь давайте рассмотрим трёхмерный случай. Представьте себе куб со стороной 2. Его можно разбить на восемь кубов 1x1x1, в каждый из которых легко вписать сферу диаметра 1. Давайте найдём величину D3 (диаметр сферы, вписанной между этими восемью сферами).

Расстояние между центрами сфер, лежащих на большой диагонали куба, равно sqrt(3), а радиус каждой из этих сфер равен 1/2. Получается, между центрами этих сфер есть только они сами и вписанная сфера => D3 = sqrt(3)-1/2-1/2 = sqrt(3)-1. [спасибо анонимному комментатору за это решение]

Прекрасно, теперь мы нашли D3. А теперь давайте зададимся вопросом: к какой величине будет стремиться значение Dn при росте n? Или по-русски: к чему приближается диаметр сферы, вписанной между единичных сфер, прижатых к углам n-мерного куба со стороной 2?

Что такое сфера в n-мерном пространстве? Это множество n-мерных точек, удалённых от центра сферы на одинаковое расстояние. Так как расстояние мы считать умеем, то и с множеством таких точек работать можем. С n-мерными кубами ещё проще, так как там даже корни с квадратами считать не надо, а всё прямо задаётся неравенствами.

Давайте попробуем найти D9 и D16 (диаметры вписанной окружности для случаев девятимерного и шестнадцатимерного пространств). Достаточно посмотреть на одну из главных диагоналей n-мерного куба. Ее длина 2*sqrt(n), центр искомой сферы лежит прямо посередине неё, центры двух вписанных в куб сфер лежат на ней, точки касания искомой сферы и сфер, вписанных в куб лежат тоже на ней (строго не готов доказать, но визуально достаточно очевидно и из всяческой симметрии вроде бы должно получиться). Теперь смотрим на половинку этой диагонали. Расстояние от ее конца, являющегося углом куба, до центра вписанной в куб сферы — sqrt(n)/2 (ровно четверть всей диагонали), радиус вписанной в куб сферы 1/2, в итоге радиус искомой сферы (sqrt(n)-1)/2, а диаметр — sqrt(n)-1 [Спасибо Eyeless за это описание].

Подставим 9 и 16 в найденную формулу:
- D9 = sqrt(9) - 1 = 3 - 1 = 2,
- D16 = sqrt(16) - 1 = 4 - 1 = 3.
Получается, что диаметр сферы, зажатой между сфер, вписанных в углы куба, совпадает со стороной этого куба (или даже выходит за его пределы). «Немного» странно, верно?

Как же так? Да, выглядит странно. А теперь надо понять, кто нас обманул: Пифагор, интуиция или ещё кто-то? :) Приглашаю в комментарии обсудить детали этого безобразия.

[Благодарю Arthur Baraov за очень подробные рассуждения по поводу этой задачи]

Хорошего вечера!

Расширение

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Thu, 01 Mar 2012 03:18:33 PST

Добрый день.

Вот я и вернулся из небольшого вояжа по деревням и сёлам СССР. Хоть с доступом в интернет особых проблем и не было, но оказалось, что найти на него время практически невозможно. Много поразительного и интересного было замечено в маленьких и очень маленьких школах. Часть из этого будет кратко описана прямо сейчас, а про остальное расскажу позже.

Например, секретные нулевые уроки бывают не только в лучших школах больших городов. Квалифицированные учителя в самых разных местах практикуют эту технику: разрешить самым старательным школьникам приходить за 45-60 минут до начала первого урока, чтобы в небольшой группе единомышленников (человек 8-15) порешать настоящие интересные задачки.

В таких группах занятия идут очень эффективно, так как посещение их не просто является добровольным, но его ещё и заслужить надо. Например, если ученик не успевает по литературе или истории, то учителя физики и математики не допускают его до нулевых уроков (пусть сначала найдёт время на обязательную программу). Соответственно, ради любимого предмета ребёнок старательно осваивает и все остальные.

Обычно словосочетанием «нулевые уроки» называют прямое нарушение санитарных норм (естественно, ни школьники, ни учителя не бывают рады, если их обязывают просыпаться и приходить в школу на целый час раньше). Но если талантливые дети сами готовы ради общения с мастером один-два раза в неделю совершить этот подвиг, а учитель согласен с ними работать ни свет ни заря, то запрещать это странно. Благо, если в школе есть сильный преподаватель, то руководство часто делает вид, что не замечает тут нарушения (естественно, учителя работают не за деньги, а ученики — не за оценки).

Но это верхи. А что же внизу? Увы, проблемы есть даже со сложением дробей (эта беда уже много раз описана). И вот на очередном уроке в школе небольшого городка я слышу до боли знакомое «числитель складывается с числителем, а знаменатель — со знаменателем». На перемене и после уроков я пообщался с этой учительницей, которая, оказывается, давала такое правило сложения дробей, потому что искренне верила в него (т.е. даже не пыталась сказать что-то вроде «детям так проще, а иначе они вообще не усвоят»).

На следующий день у этого же класса был следующий урок математики. Преподаватель нашла в себе силы произнести примерно следующее: «Из Москвы пришли новые правила, теперь надо другим способом складывать дроби. Сейчас я вам расскажу». Школьники были не очень довольны, но куда им деваться?..

Проблем тут масса, но я хочу сегодня сконцентрироваться на расширяемости и осмысленности. Казалось бы, нет ничего особенно плохого в правиле сложения a/b + c/d = (a+c)/(b+d) (умножать же так можно). Просто тут надо понимать, что оно имеет ряд дефектов:
1) Отсутствует связь с реальностью. Например, 1/2 + 1/2 должно быть равно 1, а почему-то опять равно 1/2.
2) Отсутствует связь с ранее изученными целыми числами. Например, 1 + 2 = 3, но 1/1 + 2/1 почему-то оказывается равным 3/2.
3) Слишком много нулей. Это тонкий момент, но тоже достаточно наглядный. Работая с целыми числами, мы привыкли, что существует только одно число, прибавляя которое к остальным мы не меняем результат. Это число равно 0, причём других таких чисел нет. Но тогда из странного равенства 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2 следует, что 1/2 = 0 (и подобных нулей можно ещё много найти).

Короче, такой способ складывать обыкновенные дроби никак не позволяет аккуратно расширить наши знания о натуральных и целых числах. А это расширение обязательно должно быть. Мы ведь учимся складывать дроби не только для решения задачек на сложение дробей?

Кому-то это всё кажется пустыми и очевидными словами, поэтому давайте рассмотрим более сложный пример — интегралы. Обычно изучение интегрального исчисления начинают с определений Ньютона-Лейбница, потом быстренько переходят к интегралу Римана, затем вырастают до неожиданно устроенного интеграла Лебега, далее осваивают удивительный интеграл Стилтьеса. И если студент желает специализироваться в этой непрерывной части математики, если ему легко думать об обобщениях на пространства больших размерностей, то он изучает ещё много разных интегралов.

Но кто после всего этого будет считать, что в математике есть «много разных интегралов»? Вернее, есть, конечно, разные определения, позволяющие делать всё более сложные вещи. Но сами по себе интегралы вполне одинаковы в том смысле, что для простых функций (изучаемых в школах) они позволяют вычислить одни и те же значения. Просто более сложно устроенные интегралы оказываются применимы для таких функций, на которых их простые собратья не были определены.

Это как расширить операцию сложения натуральных чисел до сложения целых (этот новый «плюс» продолжает давать те же результаты на натуральных числах). А потом расширить эту же операцию до обыкновенных дробей (в целых числах опять ничего не поменялось). А потом расширить до вещественных чисел, затем до комплексных и так далее — определение сложения становится всё сложнее, но ранее полученные результаты сохраняются даже с новым правилом.

Поздравляю всех дочитавших до этого места! Вы только что ознакомились с подготовительными разговорами, которые нужны мне для начала серии совместных заметок, посвящённых возможностям расширения теории вероятностей. Все мы сталкивались с её ограничениями, многие чувствовали, что тут можно что-то сделать. И в марте мы постараемся лучше понять, куда тут можно думать.

Заметьте, никто не будет пытаться перечеркнуть уже полученные результаты теории вероятностей (как их можно перечеркнуть?). Но давайте попробуем обобщить некоторые соображения, расширив область применимости. Например, откройте недавнюю заметку «Невозможное возможно». В первом же диалоге на первый вопрос Якубовича игрок отвечает: «Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках». Так велит ему классическая теория вероятностей. В самом деле, она не умеет решать такие задачи, поэтому и игрок отвечает, что не может дать ответ.

Но вдруг мы можем придумать способ (на самом деле, конечно, не придумать, а понять кем-то предложенный), позволяющий оценить эту вероятность осмысленным образом? А что значит осмысленным? Об этом мы тоже поговорим :)

Хорошего начала весны!

Четвёртый год!

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Wed, 08 Feb 2012 05:45:15 PST

С каждой секундой время летит всё быстрее. Совершенно неожиданно (опять) блогу «Привычка не думать» исполнилось четыре года.

Если верить интернету, то в четыре года:
- блог обычно осваивает трехколесный велосипед, умеет играть со сверстниками, обмениваться игрушками,
- интересы блога перемещаются от мира предметов в мир взрослых,
- вес тела блога в среднем ежегодно увеличивается на 2 кг, а рост замедляется до 4-5 см в год,
- у блога развивается воображение, память (но на данном этапе она носит непроизвольный характер),
- кожа блога утолщается, становится более эластичной, а количество кровеносных сосудов в ней уменьшается,
- блог бросает и ловит мяч, спрыгивает с небольшой высоты, бегает и подпрыгивает,
- идёт интенсивное развитие иммунологического аппарата, происходит наиболее интенсивное развитие поджелудочной железы,
- позвоночник к этому возрасту уже соответствует его форме у взрослого блога, но окостенение скелета еще не заканчивается, в нем пока остается много хрящевой ткани.

Да, по роду занятий я интересуюсь развитием детей с самого раннего возраста :) Пусть и работаю с ними обычно начиная с 13-15 лет.

За последний год произошли некоторые приятные изменения. Например, комментарии блога стали древовидными, поэтому теперь можно явно отвечать на конкретную реплику, не цитируя вопрос собеседника. Да, это дерево пока что имеет всего один уровень, но даже с таким ограничением вести дискуссии стало гораздо комфортнее.

А ещё я осознал довольно обидный момент. Пару лет назад этот блог входил в двести самых популярных по версии Яндекса, а сейчас благополучно вылетел из десяти тысяч. А всё почему? Почему твиттер-аккаунты с двумя записями и одним читателем обгоняют «Привычку не думать»? Потому что вы редко ссылаетесь на понравившиеся заметки :)

Короче, если вы имеете желание побороться с этой несправедливостью, то упомяните, пожалуйста, в своём ЖЖ/твиттере/блоге/... любые понравившиеся вам заметки. Ну а если прямо сейчас не можете вспомнить таких, то у меня есть свой список:
1. Что читать? (самое ценное тут — это комментарии, в которых вы поделились своими любимыми развивающими книгами),
2. О безразличии и дисциплине ума (а вас часто спрашивают, зачем уметь складывать обыкновенные дроби, если калькуляторы и компьютеры делают это быстрее человека?),
3. Ода волейболу (для тех, кто планирует заняться каким-нибудь спортом, но ещё не понимает, что выбирать надо именно волейбол),
4. Не надо хороших идей! (о том, что продумывать детали тоже очень важно).
5. Это были заметки за 2011, 2010, 2009 и 2008 год, соответственно. А в 2012 мне самой удачной кажется «Невозможное возможно!» (это о задачке с разнообразными ловушками для интуиции).
(Заранее благодарю за поддержку! :)

Спасибо всем читателям и комментаторам за интересные вопросы и важные правки, за содержательные обсуждения и стремление к истине! Благодаря вам вести блог — это сплошное удовольствие!

Хорошего дня!

Интересное в апреле 2010

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 31 Jan 2012 05:25:10 PST

Добрый день.

Полтора года назад мы говорили об образовании, физике и психологии:

- Интернет полон самых разных мнений о том, как надо и как ни в коем случае нельзя учить. В заметке «Статьи об образовании» собрана небольшая коллекция материалов о математике в школе и об образовании вообще, которые я рекомендую всем интересующимся этими вопросами.

- В заметке «Сохранение энергии» мы разбирались с переходами энергии из одной формы в другую, чтобы убедиться, что никуда она просто так не «девается» :)

- И раз уж начали щупать физику, то грех был не исследовать вопрос о двух катушках (в продолжении этой темы было и видео с пояснениями).

- А в заметке«Прямой смысл слов» мы задавались вопросом, опасно ли влияние пустой ругани (особенно, для маленьких детей, которые не имеют возможности отгородиться от неприятных воздействий).

Хорошего дня! Весна уже скоро :)

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в марте, интересное в феврале, интересное в январе 2010 года, интересное в декабре, интересное в ноябре, интересное в октябре, сентябре, августе, июле, июне, мае, апреле, марте, феврале, январе 2009 года, интересное в декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Неправильный ответ

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sun, 22 Jan 2012 22:34:44 PST

Добрый день.

Многие родители старательно проверяют совпадение ответов, полученных их детьми при выполнении домашних заданий, с ответами, опубликованными на последних страницах учебников. Это одна из причин того, что детям иногда важнее получить правильный ответ, чем разобраться в методах решения. Бывает даже, что для получения этого самого ответа ребята делают какие-то нелепые вычисления, которые не могут никак объяснить («подгоняют под ответ»).

Если бы получение правильных ответов было очень важным, то учителя давали бы только самые простые задачки. Но мы же понимаем, что на элементарных однотипных вопросах можно натренировать лишь аккуратность и внимательность, но никак не получить глубокого понимания. Эффективное обучение идёт на грани знаний ученика (слишком сложные задачи убивают мотивацию, а от слишком простых ученики начинают скучать). Должно быть одновременно и сложно, и интересно. А в таких условиях получать только правильные ответы почти невозможно. Да и не очень нужно, так как часто бывает полезнее сделать ошибку, а потом её хорошо понять, чем сразу «случайно» решить без ошибок.

Полторы недели назад мы решали полезную задачку о нескольких шкатулках. В ней заготовлен ряд «граблей», которые способны сбить с толку очень многих. А несколько человек смогли пройти путь очень аккуратно, за что им почёт и уважение.

Напомню задачку:
1. Дано количество шкатулок N и набор вероятностей p0, p1, ... pN (их сумма равна единице).
2. Кто-то определил количество призов (с вероятностью p0 должен быть ноль призов, с вероятностью p1 — один приз, ... с вероятностью pN — N призов), после чего поместил их в эти шкатулки (не более одного приза в шкатулку).
3. Якубович выносит поднос с N шкатулками, сообщает игроку все данные из первого пункта, а затем спрашивает, с какой вероятностью игрок обнаружит в случайно открытой шкатулке приз. Игрок вычисляет эту вероятность — получается P.
4. Когда игрок открыл случайную шкатулку, он обнаружил приз (повезло). Пока радостный игрок укладывал приз себе в карман, Якубович захлопнул пустую шкатулку, после чего перемешал шкатулки на подносе.
5. Теперь ситуация поменялась (на подносе призов стало на один меньше), поэтому игрок вновь вычислил вероятность того, что в случайной шкатулке будет приз — получилось Q.

Вопросы задачи состояли в том, чему равны P и Q, как они соотносятся между собой при разных ограничениях на набор pi.

Первое заблуждение, которое многие отстаивали — вероятность P всегда превосходит Q.

Объяснение приводилось примерно такое: «Если предположим что призов было k, то P = k/N, а Q = (k-1)/N. Из этого легко доказать, что Q < P». Мне это напомнило высказывание одной ученицы: «Так как в условии задачи не сказано, какая это трапеция, то можно считать, что она равнобедренная, тогда...». Да, иногда полезно бывает временно упростить условие задачи, чтобы лучше понять, с чем мы имеем дело. Но надо с большой осторожностью распространять результаты модифицированной задачи на исходную.

Предположив, что k известно, мы превратили интересную задачу, полную изюминок, в детское упражнение. Поэтому сейчас надо провести работу над ошибками — объяснить самим себе, почему приведённое выше рассуждение некорректно.

Те, кого не смутила эта проблема, правильно ответили на первый вопрос задачи (чему равно P), но почти все ошиблись при вычислении Q. Итак, продолжаем ощупывать нашу задачку, погружаясь на следующий уровень.

Рассмотрим второе заблуждение: Q = (p1*0 + p2*1 + p3*2 + ... + pN*(N-1)) / (N * (1 - p0)). Это неверный ответ, хотя многие были так рады, что легко избежали первого заблуждения, что не задумываясь попались в сети второго.

Обоснование было примерно следующим:
- после того, как один приз убрали, количество призов стало описываться новым набором q0, q1, ... qN,
-- q0 должно быть равным p1 (вероятность того, что сейчас призов ноль такая же, как раньше была вероятность того, что приз ровно один),
-- q1 должно быть равным p2 (вероятность того, что сейчас один приз такая же, как раньше была вероятность того, что призов ровно два),
и т.д.
-- qN равно нулю, так как призов сейчас не более N-1 (один уже вынули),
- но сумма q0+q1+...+qN должна быть 1, поэтому надо «отнормировать» (поделить все эти qi на (1-p0)).
- так мы получили набор вероятностей q0=p1/(1-p0), q1=p2/(1-p0), q2=p3/(1-p0)..., qN=0. Осталось только подставить эти qi в ранее полученную формулу для P.

В этом рассуждении содержится ошибка, поэтому мы получили неправильную формулу для вычисления Q. А раз так, то все следующие выводы могли быть ошибочными (редкие люди смогли правильно ответить на четвёртый вопрос о случае p0=p1=...=pN).

Давайте и здесь проведём работу над ошибками. Как мы наступили на эти грабли? Всё звучало (а, возможно, до сих пор звучит) так правдоподобно... Тут надо хорошо понять, что происходит с вероятностями pi, когда мы обнаружили приз в шкатулке. Кажется, что они просто «сдвинулись на единичку», а на самом деле они очень заметно «перераспределились».

Такие рассуждения могут звучать сложно и мутно, поэтому гораздо надёжнее решить такую задачу, применив теорему Байеса (как это сделано в комментариях). Но я призываю не отказываться от подобных размышлений, так как нам надо развивать свою вероятностную интуицию. Когда мы решаем задачу «методом кувалды» (в данном случае, опираясь на теорему Байеса), то ошибиться можем только в вычислениях. Это полезное упражнение, но оно нас почти не развивает.

А вот когда мы решаем задачу, прорываясь через неумелые подсказки «здравомыслия», то хорошо растёт наше умение вовремя себя останавливать на поле с граблями. Пожалуйста, напишите в комментариях, где спрятались ошибки в объяснениях к первому и второму заблуждениям. Если можете, напишите свои рассуждения для правильного вычисления Q (естественно, без теоремы Байеса, потому что с ней и зайца можно научить задачи решать).

Хорошего дня!

Требовать свое

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Tue, 17 Jan 2012 01:13:23 PST

Не повторяйте, что школу нужно облегчать.
Учиться должно быть трудно — только тогда
это будет полезно и может стать радостно.

Научный редактор журнала «Эксперт» Александр Привалов написал очередную статью об образовании. Мне кажется, с ней стоит ознакомиться каждому, кто растит или планирует растить детей в России.

Приведу несколько цитат.

Начинает автор довольно мрачно. Сначала о последовательности и профессионализме чиновников: «... Этих людей не гонят не потому, что у нас вообще мало кого гонят. Будучи некомпетентны в образовании, они владеют иными, самыми востребованными компетенциями. Они умеют, презрев содержательную сторону любого вопроса (тем легче, чем меньше в ней понимают), сосредоточиться на его даже не экономическом, а бухгалтерском аспекте».

Потом объясняет, почему элиту эта проблема мало задевает: «... поскольку дети Серьёзных Людей всё больше будут обучаться вне России, то нет причины особенно стараться. И то (сравнительно небольшое) количество взаправду образованных спецов, что всё-таки потребуется на этой территории, проще также обучить за границей».

Далее вспоминает о похожем и тоже очень важном пласте проблем: «... Стоит подчеркнуть: ничего уникального наш беглый анализ не обнаружил. Так, обернувшись на реформу здравоохранения, мы увидим всё то же самое: и отсутствие системности, и примат бухгалтерии, и беспардонное верховенство чиновника. И то же яростное нежелание слушать кого-либо, кроме самих себя. Вспомните: весной на Форуме медработников доктор Рошаль посмел — в присутствии самого премьера! — высказать несколько критических замечаний: что, мол, хорошо бы наконец обсудить концепцию развития здравоохранения; что не всё, мол, в порядке с врачебными кадрами и проч. Так заслуженного доктора чуть не сожрали («Да кто он такой, этот Рошаль! Да как он смеет! Да по чьему заказу, да на чью мельницу?») — и сожрали бы, кабы не чуть снисходительное заступничество Путина».

Но не всё так плохо. Цитата: «Сейчас в России, по дружным оценкам самых разных людей, от 10 до 15 процентов школ, где детей действительно учат. Дети там не только сдают какие угодно Минобру тесты, но и взаправду получают знания». Понятно, что этого мало. Но хорошо хоть остались такие места, в которых «хранится знание о том, как надо». Наша задача поддержать такие школы и те, которые к ним стараются тянуться. Тогда может их станет не 10-15, а уже 15-20 процентов.

Александр приводит несколько примеров успешного противодействия опасным инициативам, чтобы подтвердить сомневающимся, что влиять на построение системы образования можно. А раз так, то надо
1) точнее определиться, чего же мы (общество) хотим,
2) влиять не только в запредельных случаях, но и пресекать обычные глупости.

Надеюсь, вы уже прочитали или захотите прочитать статью целиком.

И немножко от себя о слаженной деятельности министерства образования и науки: в прошлом году довелось мне наблюдать очень грустную картину — в институте нашлись ставки только для трети молодых кандидатов наук, поэтому две трети вынуждены были уехать в научные центры других стран (и это не игры со статистикой!). Поясню, чтобы не было сомнений: аспиранты три года работали в институте, разрабатывали свои темы, публиковали содержательные статьи, докладывались на научных конференциях, писали текст кандидатской диссертации, после чего успешно её защитили. Но продолжить работать в своём родном институте они не смогли, потому что последние годы у нас идёт систематическое сокращение ставок. А раз так, то трудоустроить было возможно только треть из этих молодых учёных. Зарубежные же институты не задуряются, а спокойно забирают себе наши свежие профессиональные кадры, в образование которых Россия только что вложила немалую сумму.

Но я, естественно, не критикую иностранцев, потому что в данном случае Россия сама указала на дверь большой группе молодых учёных. И не надо говорить, что эти кандидаты наук могли поискать работу в институтах других городов России. Да, могли. Но если человек уже вынужден существенно менять свою жизнь, то ему может оказаться проще поехать в Европу или Америку (хоть с жильём проблем не будет), чем переезжать в другой город России, где «всё почти такое же, как было дома, только друзья и родные далеко». Простейший способ не вытряхивать из России учёных — не трясти их.

Хорошего дня!

Невозможное возможно!

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Thu, 12 Jan 2012 20:39:14 PST

Добрый день, дорогие любители теории вероятностей.

Сегодня мы снова играем с Якубовичем и его шкатулками. Прелесть этой задачки в том, что опять что-то кажется очевидным, а оно не только таковым не является, но ещё и, вообще говоря, оказывается ошибочным.

Итак, Якубович предлагаем нам поднос с N шкатулками (N — натуральное число больше единицы). В каждой шкатулке или находится приз, или вообще ничего нет. Другими словами, есть N шкатулок и сколько-то призов (не больше, чем N), причём в одной шкатулке не может лежать больше одного приза.

Далее состоялся важный диалог:
(Якубович) - Как вы думаете, с какой вероятностью в случайно выбранной шкатулке окажется приз?
(игрок) - Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках.
(Якубович) - Верно! Но я сообщу эту информацию: с вероятностью p0 в шкатулках нет призов, с вероятностью p1 в шкатулках 1 приз, с вероятностью p2 — 2 приза и так далее.

Другими словами, игрок знает N (т.к. уже посчитал количество шкатулок на подносе) и только что узнал все вероятности p0, p1, p2 и так далее.

(игрок) - Теперь я могу посчитать. Вероятность того, что в случайно открытой шкатулке будет приз, равна P. (Чему равно P? Это первый вопрос из окончания заметки)
(Якубович) - Отлично. Открывайте шкатулку!

Когда игрок открыл случайную шкатулку, он обнаружил приз (повезло). Пока радостный игрок укладывает приз себе в карман, хитрый Якубович стремительно захлопывает ставшую пустой шкатулку, после чего быстро-быстро перемешивает шкатулки на подносе.

(Якубович) - Поздравляю с призом! Теперь, когда призов на подносе стало на один меньше, что стало с вероятностью того, что в случайно открытой шкатулке будет приз?

Тут я предлагаю читателю задуматься. В самом деле, если шкатулок осталось прежнее количество, а призов стало на один меньше, то кажется вполне естественным, что вероятность уменьшилась?.. Да? Точно? Уверены?

Тогда продолжаем наш разговор!

(Якубович) - Какая теперь вероятность найти приз в случайно выбранной шкатулке?
(игрок) - У меня есть все данные, чтобы её посчитать. Получилось Q. (Чему равно Q? Это второй вопрос.)
(Якубович) - Интересно у вас получилось! Выходит, что Q больше P? Вероятность выросла?
(игрок) - Да, она выросла.
(Якубович) - Ну тогда открывайте ещё одну шкатулку
...

Что случилось дальше мы не знаем, потому что началась рекламная пауза. Но и увиденного уже хватает, чтобы подумать.

Вопросы следующие:
1. Какую вероятность P назвал игрок, когда Якубович спросил его о вероятности нахождения приза в случайной шкатулке?
2. Какую вероятность Q назвал игрок после выигрыша, когда Якубович опять спросил его о вероятности нахождения приза в случайной шкатулке?
3. Может ли Q быть равным P? Может ли Q быть больше P? Приведите примеры или способ их построить.
4. Может ли Q быть равным P, если p0=p1=p2=...=pN? Может ли Q быть больше P, если p0=p1=p2=...=pN? Приведите примеры или способ их построить.
5. Почему нам кажется, что Q обязано быть меньше P?

Хорошей вероятностной пятницы!

Антисемейная комедия «О чём ещё говорят мужчины»

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 09 Jan 2012 02:26:35 PST

Добрый день!

Недавно мне несколько раз прислали очередной молодёжный спам с примерно таким содержанием: «Россия на таких-то местах в мире по добыче газа, нефти, платины и т.д., а на таких-то местах по количеству сирот, потреблению сигарет, убыли населения и т.д». Ну и из этого текста, как это обычно бывает в таких салатах из утверждений без ссылок на источники, делается вывод, что надо скорее всё крушить (ну и просьба переслать текст всем знакомым, конечно).

Приходил мне такой спам от бездетных знакомых, являющихся единственными в семье, у которых родители тоже являются единственными в семье. Причём речь идёт об обеспеченных людях, которые не догадываются задать самим себе простой вопрос: если в России население убывает из-за того, что доходы от продажи сырья разворованы, то почему же богатые семьи такие маленькие? И тут мы плавно переходим к фильму «О чём ещё говорят мужчины».

Краткое содержание: четыре вполне состоятельных сорокалетних мужчины успели дать жизнь всего двум детям (из первого фильма мы знаем, что две дочки есть только у героя, которого играл Леонид Барац). А остальная их жизнь заполнена обманом близких им женщин, своих друзей и самих себя. Всё.

Это как в фильме «Ирония судьбы. Продолжение» — герои вроде бы выглядят как нормальные люди, но сами давно уже действуют по каким-то звериным правилам. Для них любая подлость выглядит допустимой, потому что они не имеют стыда. Это смотрится мерзко и неестественно.

Весь фильм герои рассказывают друг другу о том, как им хорошо/плохо/непонятно с любовницами, как они из-за этого радуются/переживают/страдают или переживают из-за того, что не страдают.

В такие моменты я вспоминаю сериал «Бригада»: ловкие, умные, сильные, решительные и интересные люди притягивают, призывают подражать себе. В таких фильмах традиционно отсутствует столь же притягательный образ нормального человека. Почему-то именно жулики, обманщики, предатели и убийцы показываются выпуклыми и яркими. И не надо на это отвечать словами «люди же не идиоты, они не повторяют то, что видят по телевизору». Разные люди способны на разные действия.

В первом фильме кроме смакования измен было хоть что-то. Нет, мне и там было досадно видеть, что четыре вроде бы неглупых человека едут всю дорогу, не пользуясь ремнями безопасности (хоть перед самой аварией двое на переднем ряду автомобиля неожиданно пристегнулись). Но я совершенно не ощущаю, что первый фильм «О чём говорят мужчины» был о том, что беспечные люди после ДТП прекрасно себя чувствуют. И ещё в том фильме не было всепоглощающей безнадёги. А в этом она есть.

Зачем это называть комедией? В моей голове Нонна Гришаева крепко связана с чистым юмором (как Татьяна Лазарева, например), поэтому я очень рад был осознать, что она не участвовала в этой пропаганде обмана близких. Мне приятно думать, что это из-за того, что она решила не сниматься в плохом фильме ни за какие деньги.

Размышляя о том, кого в этом фильме можно считать положительным персонажем, я вспомнил было единственный светлый момент — один из первых разговоров между двумя жёнами главных героев. В нём выяснилось, что они не способны на измену. Увы, они легко о ней размышляют в романтическом смысле (цветы, рестораны), но хотя бы имеют достаточно брезгливости, чтобы не допускать мысли о физическом контакте с каким-то другим мужчиной. Но потом эти дамы благополучно напились до неприличного состояния, сели за руль... Короче, опустились на уровень всех остальных безнадёжных персонажей.

Главные герои обманывают и в важном, и в мелочах. Новогодние подарки для лучших друзей они делают не искренне, а из-под палки (передаривая по кругу прошлогодние свёртки, даже не удосужившись их развернуть). Они говорят, что любят своих жён и ценят дружбу друг друга, но тут же делами показывают своё безразличие.

Зрителю должно быть противно ассоциировать себя с любым из героев этой ленты. Если бы фильм говорил что-то вроде «Вот таким неудачником можно стать, если жить, не подключая голову», то я бы поверил, что в этом и была цель авторов. Мол, зритель, пока молодой, посмотри, во что можно превратиться к сорока годам, не повторяй чужих ошибок. Но фильм не говорит, а кричит: «Живи именно так, потому что всё остальное — вообще не жизнь».

А я не хочу, чтобы реальность таких фильмов вылезала из экранов. Мне нравится жить среди людей, которые создали крепкие семьи с двумя-пятью детьми. Совершенно незачем руками очень ярких и живых актёров навязывать предательскую манеру поведения (ещё и зрителей обманули — назвали это комедией).

Я хочу, чтобы этот фильм собрал как можно меньше денег в прокате, потому что если он окажется шибко прибыльным, то наверняка ведь будет снята столь же неприятная третья часть. Не ходите на этот фильм, так как это не просто трата времени, но и поддержка антисемейных действий в России.

Почему так много текста написано по поводу очередного ситкома? Потому что я имел глупость ожидать хорошего продолжения первого фильма от талантливой команды. Я ждал не нелепый ситком, а тонкую и продуманную историю, украшенную осмысленными диалогами, скетчами «как это могло быть» и так далее. А они меня обманули (как обычные производители сливочного масла, которые сначала делают качественный товар, но через пару-тройку месяцев вынуждают искать себе замену). Они меня успешно обманули, поэтому я негодую.

На этом мы заканчиваем с кино, потому что в этом году нам предстоит решить много интересных проблем. Хорошего вам окончания празднований, приходите в рабочий режим :)

Начни вчера

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sat, 31 Dec 2011 00:21:16 PST

Добрый день!

В разных странах можно встретить самые неожиданные традиции:
- кто-то старается одеваться в платья и рубахи в горошек, чтобы его круглой формой притянуть в свою жизнь круглые же деньги,
- кто-то бьёт посуду о двери близких, чтобы сделать им приятное (а потом весь год с теплом вспоминают огромную кучу осколков, образовавшуюся под дверью за один день),
- кто-то сметает в магазинах ненужные товары, потому что в чёрную пятницу они дешевле,
...

Список странных национальных особенностей можно продолжать долго... Но есть одна очень распространённая традиция, которая присуща почти всем народам — начинать что-то делать с первого января.

Люди искренне верят, что запишутся в спортзал с нового года (ага, именно 1 января работают все спортивные клубы ), что начнут соблюдать режим (ещё смешнее, так как сразу после бессонной новогодней ночи это особенно трудно), что перестанут играть в онлайн-игры (ага, и пропустят традиционный новогодний рейд?), что станут лучше следить за своим здоровьем (и начнут это, как следует налопавшись с новогоднего стола)...

И этот самообман может работать не неделями, а месяцами. Иногда человек в августе позволяет себе говорить «вот с 1 января я с этим завяжу»... Видели такое?

Редкому человеку везёт осознать правильную последовательность действий до того, как будет пора действовать. Обычно мы узнаём о том, как надо было поступить, когда уже поздно. Получается, что довольно часто мы уже отстаёт от правильного графика, потому что не располагали необходимой информацией или не успели сообразить вовремя. Нормальные люди, поняв, что именно надо делать, как можно скорее бы постарались скомпенсировать отставание, но у нас же есть традиция — начни с завтрашнего утра, начни с понедельника, начни с первого числа... И самая эффективная отговорка для самого себя — начни с первого января!

Я желаю вам не столько хорошего празднования нового года (хотя и это тоже), сколько именно хорошего года. Сейчас как раз есть чуть больше возможностей, чтобы пообщаться с близкими людьми, на которых в течение года почему-то не находится времени... Пусть в следующем году такого тёплого общения у вас будет больше, чем в предыдущие.

Я желаю вам удачи. Иногда все мы делаем глупости. Пусть вам везёт осознать, какая именно глупость и с какими последствиями могла произойти, но самих этих последствий удастся избежать. Обе компоненты важны: надо и осознать свою ошибку, и избежать проблем.

Я желаю вам всех разновидностей здоровья. Тело должно себя хорошо чувствовать, чтобы голова стремилась ввысь, не отвлекаясь на мелочи. А голова должна хорошо знать, куда и зачем мы идём, тогда и тело найдёт ресурсы для любой задачи.

Живите счастливо! И начните делать это не с 1 января, а хотя бы прямо сейчас (или даже со вчерашнего дня :)

До встречи в 2012 году!

Аукцион с камнями

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sun, 25 Dec 2011 21:58:46 PST

Добрый день.

За новогодним столом бывает здорово поиграть в какую-нибудь весёлую игру. Например, можно устроить аукцион, в котором побеждает тот, кто сможет закодировать пару чисел из наибольшего диапазона. Здорово звучит?

Цитата из книги «Что делать, если вас не считают занудой»: «Встретив филологов или историков, расскажите им анекдот про марсианина. Обязательно объясните им, почему это смешно. Убедите их поделиться этим анекдотом с друзьями. Проконтролируйте, чтобы они правильно объяснили своим друзьям, почему этот анекдот смешной».

Но возвращаемся к нашему аукциону. Недавно Константин Кноп напомнил чудесную формулировку (осторожно, там в комментариях сказано уже слишком много!):

Секретный код к любому из сейфов ФБР — это натуральное число от 1 до 1700. Двое шпионов узнали по одному коду каждый и решили обменяться информацией. Согласовав заранее свои действия, они встретились на берегу реки возле кучи из 26 камней. Сначала первый шпион кинул в воду несколько камней, потом - второй, потом опять первый и так далее до тех пор, пока камни не кончились. После этого шпионы разошлись. Каким образом могла быть передана информация? (Шпионы не сказали друг другу ни слова.) (Авторы - Дмитрий Челкак и Константин Кохась, СПбМО 2002, отборочный тур, 10 класс)

Мне в ней не нравятся две вещи:
- наших разведчиков назвали шпионами,
- задана граница 1700.

Поэтому давайте чуть-чуть переформулируем задачу:
- два человека знают целые числа из диапазона от 1 до N,
- они поочерёдно пишут на доске положительные целые числа, пока сумма всех записанных чисел не станет равна 26,
- давным давно они учились в одном классе, поэтому заранее договорились, как кодировать данные.

Вопросы:
1. Как они могли бы обменяться парой чисел при N = 1700?
2. Для какого максимального N вы можете придумать способ кодирования?

Эта задачка хороша тем, что когда кажется, что «ну уж дальше N увеличить невозможно», обязательно находится кто-то, кто опять смог поднять верхнюю границу :)

(Кстати, не так давно мы решали другую забавную школьную задачку, имеющую отношение к теории кодирования)

Хорошего начала предпраздничной недели!

Как считать вероятности?

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 19 Dec 2011 23:27:02 PST

Добрый день!

Неделю назад мы провели небольшой опрос на тему «Проще выиграть три раза из четырёх или пять раз из восьми?»

Опрос показал, что заметная часть подписчиков не только изучала, но и успешно освоила азы теории вероятностей. Если вы к ним относитесь, то можете смело переходить к последним двум абзацам заметки.

А остальных я приглашаю разобраться в этой задачке. Напомню, что игра у нас была очень простой — мы несколько раз подбрасывали симметричную монетку, после чего считали, сколько раз выпал «орёл» (т.е. сколько раз мы выиграли).

В комментариях можно прочитать разные мнения:
- кто-то считает, что из того, что подбрасывания монетки друг на друга не влияют (что верно), следует, что выиграть 3 раза из 4, 6 раз из 8, 5 раз из 8 можно с равными вероятностями (что неверно),
- кто-то считает, что раз 3 к 4 относится как 6 к 8, то одинаковы вероятности выигрыша 3 раза из 4 и 6 раз из 8,
- кому-то очевидно, что 3 раза из 4 можно выиграть с вероятностью 1/16, а хоть 5, хоть 6 из восьми можно выиграть с вероятностью 1/256.

Короче, разных мнений много, но разводить демократию для выбора правильного ответа мы здесь не будем. Давайте сначала выясним примерный ответ, проведя эксперимент (на JS, как обычно):

<script type="text/javascript">
n = 100000;  nb3of4 = 0;  nb6of8 = 0;  nb5of8 = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
  nbWin = 0;
  for (j = 0; j < 4; j++)
    if (Math.random() > 0.5)
      nbWin++;
  if (nbWin == 3)
    nb3of4++;
  for (j = 4; j < 8; j++)
    if (Math.random() > 0.5)
      nbWin++;
  if (nbWin == 5)
    nb5of8++;
  if (nbWin == 6)
    nb6of8++;
}
document.write('pA = ' + nb3of4/n + ', pB = ' + nb6of8/n + ', pC = ' + nb5of8/n);
</script>

Скопируйте этот текст в файл test.html, после чего откройте его браузером (на медленных компьютерах может работать несколько секунд).

Это простая программа проводит 100000 следующих экспериментов:
сначала подбрасывает монетку четыре раза (и если три раза выпал «орёл», то увеличивает на один счётчик nb3of4), а потом подбрасывает её ещё четыре раза (и тут уже увеличивает на единицу nb5of8 или nb6of8, если победа была ровно пять или ровно шесть раз из восьми, соответственно). В последней строке программа выводит три искомых числа (отношение числа побед заданное число раз к общему количеству проведённых экспериментов).

У меня этот эксперимент дал следующие результаты:
  pA = 0.24865,
  pB = 0.10918,
  pC = 0.21898.

Вроде бы уже понятно, что вероятность события А больше В, а В больше Б, но как раз тут важно не остановиться, а понять, что означают эти числа. Давайте попробуем в первой строке программы заменить число 100000 на 10 (т.е. заметно сократим число экспериментов). У меня получались следующие результаты при n=10:
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.1,
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.5,
pA = 0.1, pB = 0.2, pC = 0.3,
pA = 0.4, pB = 0, pC = 0.2,
pA = 0.3, pB = 0.1, pC = 0.4.

Как видите, в первой и четвёртой строчках наша теория «pA > pC > pB» подтвердилась, а в трёх других строчках не подтвердилась. Что это означает? А это означает это, что мы провели эксперимент с низкой степенью достоверности.

Если вы читали результаты социологических опросов, то могли обратить внимание на примерно такую фразу: «Статистическая погрешность подобных опросов не превышает 3.4%». Люди, изучившие математическую статистику, знают, как вычислить вероятность того, что результаты опроса нескольких тысяч человек не слишком отличаются от результатов опроса всех граждан страны. Интуитивно мы понимаем, что по мнению 10 случайных опрошенных нельзя надёжно понять, что думают люди в стране, поэтому хотим увеличить число опрошенных. Проблема в том, что всех опросить почти невозможно (очень затратно), поэтому приходится искать компромисс.

Так и у нас с этой задачкой: если мы проводим всего 10 экспериментов, то вероятность получить правильный результат не очень высока. Преимущество же наше в том, что мы можем «опросить» всех, что позволит получить совершенно точный ответ.

Итак, кто же эти все? Это элементарные события. Мы можем перечислить все возможные равновероятные ситуации для нашей игры, а потом посчитать количество интересных. Например, если мы будем обозначать победу единицей, а поражение нулём, то список элементарных исходов для четырёх бросков монеты будет выглядеть так:
- 0000,
- 0001,
- 0010,
- 0011,
- 0100,
- 0101,
- 0110,
- 0111,
- 1000,
- 1001,
- 1010,
- 1011,
- 1100,
- 1101,
- 1110,
- 1111.

Поскольку монетка симметричная, а результаты предыдущих бросков не влияют на следующие, то все эти 16 ситуаций имеют равную вероятность. И так как в четырёх случаях из шестнадцати (выделенные строки) победа случается ровно три раза (три единички в строке), то и вероятность таких событий 4/16 = 0.25. Примерно это число мы и увидели в эксперименте при большом n.

Аналогично можно перечислить все расклады для 8 бросков монетки:
- 00000000,
- 00000001,
...
- 11111110
- 11111111.

Далее можно просто посчитать количество строк, в которых ровно 5 и ровно 6 единичек. Знатоки двоичной системы счисления уже давно поняли, что строк будет 2^8 = 256. Понятно, что работа была бы большая, но вполне выполнимая. Но давайте лучше найдём более простой способ посчитать число таких строк.

Начнём с «6 из 8». Нам проще будет посчитать, в каком количестве строк ровно два нуля (это то же самое, что и ровно 6 единиц). Первый нолик можно поставить на одно из восьми мест, а второй нолик — на одно из оставшихся семи мест. Получается, что два нолика можно разместить на восьми местах 8*7 способами. Надо только учесть, что каждый расклад мы посчитали дважды (сначала первый нолик левее второго, а потом на тех же местах второй нолик левее первого). Поэтому наш ответ надо ещё разделить на 2. Получается, что вероятность выиграть 6 раз из 8 равна 4*7/256 = 28/256 = 7/64 = 0,109375.

Теперь понятно, как посчитать число строк с пятью единичками на восьми местах. Будем считать, сколько у нас строк ровно с тремя нулями:
первый нолик можно поставить одним из 8 способов, второй — одним из 7 оставшихся способов, а третий — на одно из шести свободных мест. Получается 8*7*6 вариантов. Но здесь мы опять получили завышенную оценку, так как посчитали каждую возможную конфигурацию 6 раз (три нолика могут занять одни и те же позиции шестью способами: абв, авб, бав, бва, ваб, вба). Это значит, что наш ответ надо поделить на 6. Получается, что вероятность выиграть 5 раз из 8 равна 8*7/256 = 56/256 = 7/32 = 0,21875.

Как видите, наши первые эксперименты неплохо предсказали точный результат. Но тут важнее другое:
- мы вспомнили/узнали, как можно точно посчитать вероятность события (перечислить все возможные равновероятные события, посчитать, сколько из них нам интересны, поделить второе на первое),
- на простом примере убедились, что это имеет смысл,
- лишний раз увидели, что вроде бы очевидные рассуждения могут приводить к неправильному ответу (в комментариях к прошлой заметке есть немало сообщений, содержащих неправильные объяснения ложных утверждений).

Дело в том, что в теории вероятностей ориентируется не так уж и много людей, но «применить здравый смысл» и «порассуждать о нормальном распределении» готовы очень многие (хоть и не готовы сформулировать определение нормального распределения). Я не спорю, иногда некорректные рассуждения приводят к верному ответу. Но надо помнить, что нередко правдоподобные о вроде бы очевидные мысли уводят от истины и мешают к ней вернуться. Поэтому я считаю правильным начинанием введение в ЕГЭ по математике одной простой задачки на теорию вероятностей. Это даёт надежду на постепенное движение к тому, что почти все школьники России будут легко справляться с элементарными вопросами о вероятностях.

Если человек не способен решать даже школьные задачки по теории вероятностей, то ему не следует пользоваться терминологией из этой теории для убеждения себя или кого-то другого. Почему? Да потому что это будет самообман или обман кого-то другого.

Вероятность победы

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Sun, 18 Dec 2011 06:52:51 PST

Добрый день!

А давайте проверим, как связаны наши представления о здравом смысле с сухой математикой. Представьте, что вы несколько раз участвуете в игре, в которой вероятности победы во всех партиях равны. Простейший пример такой игры — подбрасывание честной и симметричной монетки (если выпал орёл, то вы победили, а в противном случае — проиграли).

Теперь прикиньте на глазок, как соотносятся вероятности следующих событий:
А) вы победили ровно в трёх играх из четырёх,
Б) вы победили ровно в шести играх из восьми (т.е. мы увеличили оба числа в два раза),
В) вы победили ровно в пяти играх из восьми.

Я прошу вас написать в комментариях что-то вроде «вероятности Б и В одинаковы, а про вероятность А не знаю, но вроде бы должна быть меньше Б» (не это, а то, что подсказывает ваш здравый смысл).

Да, это не парадоксальный вопрос теста, но уверяю, что и здесь есть ~~возможность ошибиться~~ повод для интересной беседы. Два года назад мы уже рассматривали предновогоднюю задачку о подарках, в которой здравый смысл подсказывал одно, а трезвый подсчёт выявил совсем другое. Давайте в этот раз сначала соберём из ваших комментариев мнения интуиции и здравого смысла, а в одной из следующих заметок проанализируем и задачу, и ответы.

Хороших выходных!

UPD: опубликовано продолжение разговора.

Надёжная поломка

noreply@blogger.com (Илья Весенний) — Mon, 05 Dec 2011 01:53:20 PST

И даже если завтра появится телефон, аккумулятор
которого держит заряд 1000 лет, уже через месяц его придётся
поменять на новый, который держит заряд 2000 лет.

Добрый день!

Сегодня мы будем решать топологическую задачку, но сперва небольшое введение в проблему. Людей на Земле много, а дел для них уже мало, поэтому перед человечеством стоит сложнейшая задача — хоть чем-то занять скучающие миллиарды. Современные технологии уже давно могут удовлетворить все базовые потребности человека, поэтому банальным производством нужных вещей заниматься недостаточно (почти всё необходимое запросто может быть произведено не очень большой группой людей). Тогда остаётся только производить что-то ненужное, чем население планеты и занято почти всю жизнь (и даже находит в этом радость).

Сложности начинаются, когда заметно вырастает доля несознательных граждан, которые не желают покупать ненужное, а способны оценить полезность предмета до того, как он пролежит на антресолях два года. Против таких людей включается машина хлипких вещей. Вот вроде бы и нужная штука, но проработает ровно до истечения гарантийного срока. И так мастерски она сделана, что даже если починить, то всё равно скоро что-нибудь новое в ней поломается. Это целое искусство разработать такую конструкцию, которая от малейшего колыхания ветра может развалиться на мелкие кусочки, целые НИИ разрабатывают такие механизмы. И сегодня мы с вами будем решать эту же задачу :)

Итак, есть картина, которую нужно повесить на вертикальную стену, есть верёвка, от которой мы можем отрезать сколь угодно длинный кусок, есть N гвоздей, забитых в стену. Требуется привязать оба конца верёвки к картине, после чего повесить картинку на эти гвозди так, чтобы вытаскивание любого гвоздя из стены приводило к падению картины. Ну а если ничего не трогать, то картина должна спокойно висеть на всех N гвоздях.

Пояснения:
- верёвка может касаться картины только в двух местах (в точках крепления),
- верёвка очень прочная (не рвётся) и тонкая (можно сделать сколько угодно витков вокруг гвоздя),
- силой трения можно пренебречь (верёвка от трения о гвозди или саму себя не воспламенится),
- гвозди перпендикулярны стене и не гнутся под весом картины и верёвки
(т.е. всё без хитростей),
- если хочется, то можно считать, что гвозди расположены на стене каким-то фиксированным образом (как вам будет удобнее решать).

Для одного гвоздя задачка решается элементарно.
Для N=2 многие уже решали в детском саду/начальной школе.
А как решить для N>2?
А можно ли решить так, чтобы длина верёвки не зависела от N экспоненциально?

Хорошего вам решения!