Ομακοείο

Προσομοίωση εξετάσεων Α' Λυκείου (Άλγεβρα και Γεωμετρία)

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Wed, 05 Jun 2019 07:51:00 +0000

Στους παρακάτω συνδέσμους θα βρείτε τελικά διαγωνίσματα Άλγεβρας και Γεωμετρίας Α' Λυκείου.

στο διαγώνισμα της Άλγεβρας δεν έχω συμπληρώσει τα σωστό-λάθος και

στη Γεωμετρία έχω επιλέξει δύο θέματα από την τράπεζα θεμάτων

Προσομοίωση Εξετάσεων Γυμνασίου 2019 (Μαθηματικά)

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Wed, 05 Jun 2019 07:13:00 +0000

Στους παρακάτω συνδέσμους θα βρείτε τελικά διαγωνίσματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα (απόδειξη με απλό πείραμα)

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Tue, 08 Dec 2015 11:57:00 +0000

"Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του" .

Θυμάστε όλοι σας ότι αυτή η λεκτική αποτύπωση του πυθαγορείου θεωρήματος δεν ήταν και τόσο κατανοητή από αρκετούς μαθητές. Δηλαδή, αυτοί οι μαθητές δεν κατανοούσαν ότι η λεκτική αποτύπωση του παραπάνω θεωρήματος σημαίνει ότι: Αν φτιάξουμε ένα τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε το εμβανδόν αυτού του τετραγώνου θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβανδών των δύο τετραγώνων που το καθένα έχει πλευρά τις δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

Επειδή παρόμοιες δυσκολίες μπορούν οι μαθητές να συναντούν και σε άλλες θεωρητικές αποδείξεις των μαθηματικών, ο εκπαιδευτικός πρέπει να χρησιμοποιεί την εποπτεία και το πείραμα.

Παρακάτω δείτε ένα video της απόδειξης του Πυθαγορείου Θεωρήματος με έναν απλό τρόπο αναπαράστασης.

Γυναίκες μαθηματικοί στην αρχαιότητα

noreply@blogger.com (Unknown) — Tue, 04 Aug 2015 21:41:00 +0000

Εκτός από την Υπατία, 40 γυναίκες μαθηματικοί εντοπίστηκαν από τον 10ο αι. π.Χ έως τον 5ο αι.μ.Χ από τον μαθηματικό Ευάγγελο Σπανδάγο.

Άρωμα γυναίκας είχαν τα μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα, όπως αποδεικνύει έρευνα του μαθηματικού Ευ. Σπανδάγου στην οποία αναφέρονται Τα Νέα (30.10.2007).

Μπορεί να έμεινε στην Ιστορία ως η μητέρα του Θησέα, αλλά πόσοι γνωρίζουν πως η Αίθρα ήταν δασκάλα λογιστικής; Και πως στη σύντροφο του σπουδαίου μαθηματικού Πυθαγόρα, Θεανώ, φέρεται ότι οφείλεται η θεωρία της χρυσής τομής; Είναι δύο μόλις από τις 40 άγνωστες αρχαίες Ελληνίδες μαθηματικούς, που αν και συνέβαλαν στην εξέλιξη της επιστήμης βυθίστηκαν στη λήθη της Ιστορίας. Χρειάστηκε να περάσουν 31 αιώνες για να έρθουν και πάλι στο φως και να διεκδικήσουν μια θέση στον επιστημονικό κόσμο, χάρη στην έρευνα που πραγματοποίησε ο μαθηματικός και συγγραφέας Ευάγγελος Σπανδάγος.

Η «σκυταλοδρομία» για την ανακάλυψη των άγνωστων αρχαίων Ελληνίδων μαθηματικών ξεκίνησε για τον βραβευμένο τόσο από τον Παγκόσμιο Όμιλο για την μελέτη των αρχαίων πολιτισμών όσο και από την Ακαδημία Αθηνών μαθηματικό, όταν ένας μαθητής του τον ρώτησε «εκτός από την Υπατία, που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας, δεν υπήρχαν κι άλλες γυναίκες μαθηματικοί στην αρχαιότητα;». «Γύρισα σπίτι, άρχισα να ψάχνω βιβλία, να ρωτάω φίλους και γνωστούς, αλλά ουδείς γνώριζε κάτι», εξηγεί ο κ. Σπαγδάνος την αφορμή της περιπέτειας του στον κόσμο των γυναικών μαθηματικών. Μια ερευνητική περιπέτεια τεσσάρων ετών μαζί με την επίσης μαθηματικό, κόρη του Ρούλα που είχε ως αποτέλεσμα να εντοπίσει συνολικά 40 γυναίκες μαθηματικούς από τον 10ο αι. π.Χ. έως τον 5ο αι. μ.Χ.

Ποιο ήταν το προφίλ τους; Προέρχονται από διάφορες γωνιές του ελληνικού κόσμου. Οι περισσότερες είχαν σπουδάσει πέραν της βασικής εκπαίδευσης. Εκείνες που ανήκαν στην Πυθαγόρειο Σχολή δεν αντιμετώπιζαν προβλήματα, διότι ο Πυθαγόρας έκανε δεκτές γυναίκες στη σχολή του. Υπήρχαν και ορισμένες όμως όπως η Λασθενία από την Αρκαδία που φαίνεται πως φοίτησαν και στην Ακαδημία του Πλάτωνα ντυμένες ως άνδρες, επειδή δεν επιτρέπονταν γυναίκες. Ενδιαφέρον επίσης είναι πως ελάχιστες ήταν παντρεμένες και είχαν παιδιά.

Γιατί έμειναν στην αφάνεια; Κατά ένα μεγάλο ποσοστό, από τη στάση των αρχαίων κοινωνιών προς «τας πεπαιδευμένας γυναίκας», όπου η γυναίκα αντιμετωπιζόταν πάντα ως η διαφορετική, η διεφθαρμένη, η ανώμαλη ή η περίεργη που ξέφευγε από την κλασική εικόνα της νοικοκυράς, συζύγου και μητέρας. Κατά ένα μικρότερο όμως η άγνοιά μας για τις γυναίκες αυτές οφείλεται και στην καταστροφή διαφόρων ιστορικών μαρτυριών με προεξάρχουσα την καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, ενώ ρόλο παίζει και το γεγονός πως υπάρχει μια αντιπάθεια τόσο προς τα μαθηματικά όσο και προς τα αρχαία ελληνικά.

Υπάρχει πιθανότητα να εντοπιστούν και άλλες γυναίκες επιστήμονες του αρχαίου κόσμου;

Η έρευνα συνεχίζεται και τα πάντα είναι πιθανά. Όσο ψάχνουμε ειδικά σε αραβικά χειρόγραφα τα οποία έχουν διασώσει σε μετάφραση αρχαία ελληνικά έργα που κάηκαν μαζί με τη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, υπάρχουν ελπίδες. Ακόμη και σήμερα όμως γυναίκες και μαθηματικά μοιάζουν με έννοιες ασύμβατες. Μάλιστα, ο πρόεδρος του Χάρβαρντ Λόρενς Σάμερς αναγκάστηκε να παραιτηθεί λίγο καιρό μετά τη δήλωσή του πως «οι γυναίκες δεν είναι φτιαγμένες για μαθηματικά!». «Ίσως η αντιμετώπιση των γυναικών που ασχολούνται με τα μαθηματικά να μην έχει αλλάξει πολύ από την αρχαιότητα», λέει στην εφημερίδα η καθηγήτρια στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών Μαρία Φραγκουλοπούλου. «Ακόμη και σήμερα πολλοί παραξενεύονται όταν ακούνε πως μια γυναίκα είναι μαθηματικός, γεγονός που ίσως οφείλεται στο ότι τα μαθηματικά θεωρούνται δύσκολα. Δεδομένου δε, πως εμείς λογιζόμαστε ως το ασθενές φύλο...».

Η πιο γνωστή μαθηματικός της αρχαιότητας και η πρώτη γυναίκα επιστήμονας της οποίας η ζωή έχει καταγραφεί με λεπτομέρειες, η ΥΠΑΤΙΑ η «Γεωμετρική» (4ος αι. μ.Χ.), ασχολήθηκε με τα μαθηματικά, την αστρονομία και τη μηχανική. Κατακρεουργήθηκε από χριστιανούς που έκαψαν το νεκρό σώμα της.

ΑΙΘΡΑ (10ος – 9ος π.Χ. αιώνας) κόρη του βασιλιά της Τροιζήνος Πιτθέα και μητέρα του Θησέως, με μία άλλη ιδιότητα άγνωστη στους πολλούς. Την ιδιότητα της δασκάλας της αριθμητικής. Ιέρεια λοιπόν των απαρχών της πλέον εγκεφαλικής επιστήμης, η Αίθρα μάθαινε αριθμητική στα παιδιά της Τροιζήνος, με εκείνη την πολύπλοκη μέθοδο, που προκαλεί δέος, μιας και δεν υπήρχε το μηδέν…και οι αριθμοί συμβολίζονταν πολύπλοκα, αφού τα σύμβολά τους απαιτούσαν πολλές επαναλήψεις (Κρητομυκηναϊκό σύστημα αρίθμησης).

ΠΟΛΥΓΝΩΤΗ (7ος – 6ος π.Χ. αιώνας) Ο ιστορικός Λόβων ο Αργείος αναφέρει την Πολυγνώτη ως σύντροφο και μαθήτρια του Θαλού.

Γνώστρια πολλών γεωμετρικών θεωρημάτων, λέγεται (μαρτυρία Βιτρουβίου), πως και αυτή συντέλεσε στην απλούστευση των αριθμητικών συμβόλων με την εισαγωγή της αρχής της ακροφωνίας, δηλαδή με την εισαγωγή αλφαβητικών γραμμάτων που αντιστοιχούσαν το καθένα σε το καθένα στο αρχικό γράμμα του ονόματος του αριθμού. Έτσι το Δ αρχικό του ΔΕΚΑ, παριστάνει τον αριθμό 10. Το Χ, αρχικό του ΧΙΛΙΑ παριστάνει τον αριθμό 1000 κοκ Κατά τον Βιτρούβιο η Πολυγνώτη διετύπωσε και απέδειξε πρώτη την πρόταση “ΕΝ ΚΥΚΛΩ Η ΕΝ ΤΩ ΗΜΙΚΥΚΛΙΩ ΓΩΝΙΑ ΟΡΘΗ ΕΣΤΙΝ”.

ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΕΙΑ (6ος αιώνας π.Χ.). Ο Διογένης ο Λαέρτιος λόγιος-συγγραφέας την αναφέρει ως Αριστόκλεια ή Θεόκλεια. Ο Πυθαγόρας πήρε τις περισσότερες από τις ηθικές του αρχές από την Δελφική ιέρεια Θεμιστόκλεια, που συγχρόνως τον μύησε στις αρχές της αριθμοσοφίας και της γεωμετρίας. Σύμφωνα με τον φιλόσοφο Αριστόξενο (4οςπ.Χ. αιώνας) η Θεμιστόκλεια δίδασκε μαθηματικά σε όσους από τους επισκέπτες των Δελφών είχαν την σχετική έφεση. Ο μύθος αναφέρει ότι η Θεμιστόκλεια είχε διακοσμήσει τον βωμό του Απόλλωνος με γεωμετρικά σχήματα. Κατά τον Αριστόξενο ο Πυθαγόρας θαύμαζε τις γνώσεις και την σοφία της Θεμιστόκλειας γεγονός που τον ώθησε να δέχεται αργότερα και στην Σχολή του γυναίκες.

ΘΕΑΝΩ (6ος π.Χ. αιώνας) Η Θεανώ από τον Κρότωνα, κόρη του γιατρού Βροντίνου, ήταν μαθήτρια και ένθερμη οπαδός του Πυθαγόρου. Παντρεύτηκε στην Σάμο τον μεγάλο Μύστη με τον οποίο είχε 36 χρόνια διαφορά ηλικίας. Δίδαξε στις πυθαγόρειες σχολές της Σάμου και του Κρότωνος. Η Θεανώ θεωρείται η ψυχή της θεωρίας των αριθμών, που έπαιξαν κυριαρχικό και καίριο ρόλο στην πυθαγόρεια διδασκαλεία. Στην ίδια αποδίδεται η πυθαγόρεια άποψη της “Χρυσής Τομής”. Της αποδίδονται ακόμα διάφορες κοσμολογικές θεωρίες. Μετά τον θάνατο του Πυθαγόρου ή Θεανώ τον διαδέχθηκε ως επικεφαλής της διασκορπισμένης πλέον κοινότητας. Με την βοήθεια των θυγατέρων της (Δαμούς, Μυίας ή Μυρίας και Αριγνώτης) διέδωσε το επιστημονικό και φιλοσοφικό πυθαγόρειο σύστημα σε όλη την Ελλάδα και την Αίγυπτο. Με τον Πυθαγόρα απέκτησε, εκτός από τις θυγατέρες και δύο υιούς, τον Τηλαύγη και τον Μνήσαρχο. Ο Ιάμβλιχος την μνημονεύει ως ‘μαθηματικόν άξιαν μνήμης κατά παιδείαν’.

ΦΙΝΤΥΣ (6ος π.Χ. αιώνας).Αναφέρεται και ως Φίλτυς. Μαθήτρια του Πυθαγόρου, θυγατέρα του Θέοφρη από τον Κρότωνα και αδελφή του Βυνδάκου. Δίδαξε στην Σχολή του Κρότωνος. Ο Ρωμαίος συγγραφέας Βοήθιος την αναφέρει ως εμπνεύστρια της ισότητος που συνδέει τις Πυθαγόρειες τριάδες.

ΜΕΛΙΣΣΑ (6ος π.Χ. αιώνας).Μαθήτρια του Πυθαγόρου. Ασχολήθηκε με την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Ο Λόβων ο Αργείος γράφει για μία άγνωστη εργασία της: “Ο ΚΥΚΛΟΣ ΦΥΣΙΝ (η Μελίσσα) ΤΩΝ ΕΓΓΡΑΦΟΜΕΝΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΑΠΑΝΤΩΝ ΕΣΤΙ”.

ΤΥΜΙΧΑ (6ος π.Χ. αιώνας).Η Τυμίχα γυναίκα του Κροτωνιάτου Μυλλίου ήταν (σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο) Σπαρτιάτισσα, γεννημένη στον Κρότωνα. Από πολύ νωρίς έγινε μέλος της Πυθαγόρειας κοινότητος. Αναφέρεται από τον Ιάμβλιχο ένα σύγγραμμά της σχετικά με τους “φίλους αριθμούς”(*6). Μετά την καταστροφή της σχολής από τους δημοκρατικούς του Κρότωνος η Τυμίχα κατέφυγε στις Συρακούσες. Ο τύραννος των Συρακουσών Διονύσιος απαίτησε από την Τυμίχα να του αποκαλύψει τα μυστικά της Πυθαγόρειας διδασκαλείας έναντι μεγάλης αμοιβής. Αυτή αρνήθηκε κατηγορηματικά και μάλιστα έκοψε με τα δόντια την γλώσσα της και την έφτυσε στο πρόσωπο του Διονυσίου. Το γεγονός αυτό αναφέρουν ο Ιππόβοτος και ο Νεάνθης.

ΠΤΟΛΕΜΑΪΣ (6ος π.Χ. αιώνας). Νεοπυθαγόρεια φιλόσοφος, μουσικός και μαθηματικός. Την αναφέρει ο Πορφύριος στο έργο του “ΕΙΣ ΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΥΠΟΜΝΗΜΑ”. Κατά τον Πορφύριο (νέοπλατωνικό φιλόσοφο του 3ου μ.Χ. αιώνα) η Πτολεμαϊς μεταξύ άλλων απέδειξε και την πρόταση: “ΕΑΝ ΔΥΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΑΝΤΕΣ ΑΛΛΗΛΟΥΣ ΠΟΙΩΣΙ ΤΙΝΑΣ, ΟΙ ΓΕΓΟΜΕΝΟΙ ΕΞ ΑΥΤΩΝ ΙΣΟΙ ΑΛΛΗΛΟΙΣ ΕΣΟΝΤΑΙ” (δηλαδή αβ=βα).

ΠΥΘΑΓΟΡΙΕΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ (γύρω στον 6ον–5ον π.Χ. αιώνα). Ο Ιάμβλιχος στο έργο του “ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΒΙΟΥ” διέσωσε τα ονόματα δεκαεπτά πυθαγορείων γυναικών που ήταν γνώστριες της πυθαγόρειας φιλοσοφίας και των πυθαγορείων μαθηματικών. Ήδη έχουμε αναφέρει μερικές από αυτές. Οι υπόλοιπες είναι:

-    Ρυνδακώ, αδελφή Βυνδάκου.
-    Οκκελώ και Εκκελώ (αδελφές) από τις Λευκάνες.
-    Χειλωνίς, κόρη Χείλωνος του Λακεδαιμονίου.
-    Κρατησίκλεια, σύζυγος Κλεάνορος του Λακεδαιμονίου.
-    Λασθένεια η Αρκάς.
-    Αβροτέλεια κόρη Αβροτέλους του Ταραντίνου.
-    Εχεκράτεια η Φλιασία.
-    Θεανώ γυναίκα του Μεταποντίνου Βροντίνου.
-    Τυρσηνίς, η Συβαρίτις.
-    Πεισιρρόδη η Ταραντινίς.
-    Θεαδούσα η Λάκαινα.
-    Βοιώ η Αργεία.
-    Βαβέλυκα η Αργεία.
-    Κλεαίχμα αδελφή Αυτοχαρίδα του Λάκωνος.
-    Νισθαιαδούσα.

ΔΙΟΤΙΜΑ από την Μαντινεία (6ος–5ος π.Χ. αιώνας).Στο “Συμπόσιον” του Πλάτωνος, ο Σωκράτης αναφέρεται στην Δασκάλα του Διοτίμα, ιέρεια στην Μαντίνεια, που υπήρξε Πυθαγόρεια και γνώστρια της πυθαγόρειας αριθμοσοφίας. Κατά μαρτυρία του Ξενοφώντος, η Διοτίμα δεν ήταν άπειρη των πλέον δυσκολονόητων γεωμετρικών θεωρημάτων.

ΒΙΤΑΛΗ (6ος–5ος π.Χ. αιώνας). Βιτάλη ή και Βιστάλα, κόρη της Δαμούς και εγγονή του Πυθαγόρου. Γνώστρια των πυθαγόρειων μαθηματικών. Η Δαμώ προτού πεθάνει της εμπιστεύτηκε τα “υπομνήματα”, δηλαδή τα φιλοσοφικά κείμενα του πατέρα της.

ΠΕΡΙΚΤΙΟΝΗ (5ος π.Χ. αιώνας). Πυθαγόρεια φιλόσοφος, συγγραφέας και μαθηματικός. Διάφορες πηγές την ταυτίζουν με την Περικτιόνη την μητέρα του Πλάτωνος και κόρη του Κριτίου. Ο μαθηματικός Πλάτων, όπως και ο φιλόσοφος Πλάτων, οφείλει την πρώτη γνωριμία του με τα μαθηματικά και την φιλοσοφία στην Περικτιόνη. Ο Πλάτων δεν αναφέρει το παραμικρό για την μητέρα του. Ήταν βαθιά χολωμένος μαζί της επειδή αυτή μετά από τον θάνατο του Αρίστωνος (του πατέρα του Πλάτωνος) παντρεύτηκε με κάποιον Αθηναίο, με το όνομα Πυριλάμπης στον οποίο αφοσιώθηκε. Στο γεγονός αυτό ίσως οφείλεται και ο “μισογυνισμός” του μεγάλου φιλοσόφου, που παρέμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του άγαμος. Ο Στοβαίος στο “Ανθολόγιο” του, γράφει για την Περικτιόνη ότι κατείχε τα της γεωμετρίας και της αριθμητικής: “…ΓΑΜΕΤΡΙΑ ΜΕΝ ΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΑΛΛΑ ΤΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΤΙΝΑ ΤΩΝ ΕΟΝΤΩΝ ΚΑΤΑΣΧΟΛΕΟΝΤΑΙ, Α ΔΕ ΣΟΦΙΑ ΠΕΡΙ ΑΠΑΝΤΑ ΤΑ ΓΕΝΗ ΤΩΝ ΕΟΝΤΩΝ, ΟΥΤΩΣ ΓΑΡ ΕΧΕΙ ΣΟΦΙΑ ΠΕΡΙ ΠΑΝΤΑ ΤΑ ΓΕΝΗ ΤΩΝ ΕΟΝΤΩΝ”.

ΛΑΣΘΕΝΕΙΑ (4ος π.Χ. αιώνας). Η Λασθενία από την Αρκαδία είχε μελετήσει τα έργα του Πλάτωνος και ήλθε στην Ακαδημία (του Πλάτωνος) για να σπουδάσει μαθηματικά και φιλοσοφία. Μετά τον θάνατο του Πλάτωνος συνέχισε τις σπουδές της κοντά στον ανεψιό του Σπεύσιππο. Αργότερα έγινε και αυτή φιλόσοφος και σύντροφος του Σπευσίππου. Σύμφωνα με τον Αριστοφάνη τον Περιπατητικό στην Λασθένεια οφείλεται και ο επόμενος ορισμός της σφαίρας: “ΣΦΑΙΡΑ ΕΣΤΙΝ ΣΧΗΜΑ ΣΤΕΡΕΟΝ ΥΠΟ ΜΙΑΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΝ, ΠΡΟΣ ΗΝ, ΑΦ’ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥΤΩΝ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΕΙΜΕΝΩΝ, ΠΑΣΑΙ ΑΙ ΠΡΟΣΠΙΠΤΟΥΣΑΙ ΕΥΘΕΙΑΙ ΙΣΑΙ ΑΛΛΗΛΑΙΣ ΕΙΣΙΝ”.

ΑΞΙΟΘΕΑ (4ος π.Χ. αιώνας).Μαθήτρια και αυτή, όπως και η Λασθένεια, της ακαδημίας του Πλάτωνος. Ήλθε στην Αθήνα από την Πελοποννησιακή πόλι Φλιούντα. Έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και την φυσική φιλοσοφία. Αργότερα δίδαξε τις επιστήμες αυτές στην Κόρινθο και την Αθήνα.

ΝΙΚΑΡΕΤΗ η Κορίνθια. Αναφέρεται από τον Ν. Χατζηδάκη ως “ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΡΑΠΑΙΝΙΣ”. Την αναφέρει ακόμα και ο Ε. Σταμάτης. Από τους αρχαίους συγγραφείς την μνημονεύει ο Στοβαίος. Κατά τον Ν. Χατζηδάκι, στην Νικαρέτη οφείλεται η επαναδιατύπωσις και η απόδειξις του θεωρήματος: “ΠΑΝΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΙΑΣ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΠΡΟΣΕΚΒΛΕΙΘΕΙΣΗΣ, Η ΕΝΤΟΣ ΓΩΝΙΑ ΕΚΑΤΕΡΑΣ ΤΩΝ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΙΖΩΝ ΕΣΤΙ”.

ΑΡΕΤΗ η Κυρηνεία (4ος–3ος π.Χ. αιώνας). Κόρη του Αριστίππου, ιδρυτού της Κυρηναϊκής φιλοσοφικής σχολής, η Αρετή (συναντάται και ως Αρήτη) σπούδασε στην ακαδημία του Πλάτωνος. Λέγεται ότι δίδαξε μαθηματικά, φυσική και ηθική φιλοσοφία στην Αττική για αρκετά χρόνια και ότι έγγραψε σαράντα τουλάχιστον βιβλία ποικίλου περιεχομένου, από τα οποία τα δύο περιελάμβαναν και πραγματείες για τα μαθηματικά. Μετά τον θάνατο του πατέρα της, τον διαδέχθηκε, κατόπιν εκλογής στην διεύθυνσι της Σχολής. Χαρακτηριστικό είναι ότι ανάμεσα στους μαθητές της συγκαταλέγονταν και 100 περίπου φιλόσοφοι. Ο John Morans στο βιβλίο του “Women in Science” αναφέρει ότι το επίγραμμα του τάφου της έγγραφε: Το μεγαλείο της Ελλάδος, με την ομορφιά της Ελένης, την πέννα του Αριστίππου, την ψυχή του Σωκράτους και την γλώσσα του Ομήρου”.
Ο υιός της Αρετής, ο Αρίστιππος ο Νεώτερος, προήγαγε σημαντικά την Κυρηναϊκή φιλοσοφία. Κατά τον Αθηναίο (λόγιο, σοφιστή και συγγραφέα, 2ος – 3ος μ.Χ. αιώνας), η Αρετή διηγείτο στους μαθητές της το εξής ανέκδοτο: Όταν κάποιος μαθητής της Ακαδημίας ισχυρίστηκε ότι η τέχνη της αρίθμησης οφείλεται στον Παλαμήδη, ο Πλάτων τον ρώτησε “Ώστε χωρίς τον Παλαμήδη ο Αγαμέμνων δεν θα ήξερε πόσα πόδια του έδωσε η φύσις;”

ΠΥΘΑΪΣ (2ος π.Χ. αιώνας). Γεωμέτρης, κόρη του μαθηματικού Ζηνοδώρου. Ασχολήθηκε, μαζί με τον πατέρα της, με εμβαδά επιπέδων χωρίων. Την αναφέρει ο Ευτόκιος. Ο Θέων ο Αλεξανδρεύς (4ος μ.Χ. αιώνας) στα σχόλιά του στην “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΙ” του Πτολεμαίου γράφει: “ΠΟΙΗΣΟΜΕΘΑ ΔΗ ΤΗΝ ΤΟΥΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΙΝ ΕΝ ΕΠΙΤΟΜΗ ΕΚ ΤΩΝ ΖΗΝΟΔΩΡΟΥ ΚΑΙ ΠΥΘΑΪΔΟΣ ΔΕΔΕΙΓΜΕΝΩΝ ΕΝ ΤΩ ΠΕΡΙ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ”.

ΠΑΝΔΡΟΣΙΩΝ (4ος μ.Χ. αιώνας). Συναντάται κει ως Πάνδροσος. Αλεξανδρινή γεωμέτρης, μάλλον μαθήτρια του Πάππου, ο οποίος της αφιερώνει και το γ’ βιβλίο της “ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ”. Η Πανδροσίων χωρίζει τα γεωμετρικά προβλήματα σε τρεις κατηγορίες: “ΤΡΙΑ ΓΕΝΗ ΕΙΝΑΙ ΤΩΝ ΕΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΜΕΝ ΑΥΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΑΛΕΙΣΘΑΙ, ΤΑ ΔΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ”.

πηγή: erevna-enimerwsi.blogspot.gr

ΑΙΝΙΓΜΑ- Ο γρίφος της Περσεφόνης

noreply@blogger.com (Unknown) — Fri, 24 Jul 2015 12:54:00 +0000

Δύο φοιτητές μαθηματικών, ο Λευτέρης και ο Άκης ενδιαφέρονται για την ίδια συμφοιτήτρια τους τη Περσεφόνη. Αυτή συμφώνησε να βγει ραντεβού με αυτόν που θα αποδειχθεί πιο έξυπνος. Σκέφτηκε με το μυαλό της δύο ακέραιους από το 3 έως το 100 και ψιθύρισε στον του Λευτέρη το άθροισμα τους, και στον Άκη το γινόμενο τους. Και τους είπε όποιος βρει πιο γρήγορα τους δύο αριθμούς θα είναι ο τυχερός!

Λευτέρης: Ξέρω πως δεν μπορείς να βρεις τους αριθμούς αλλά ούτε και γω μπορώ.

Άκης: Τώρα με αυτό που είπες τους βρήκα!

Λευτέρης: Τώρα τους βρήκα και γω!

Ποιοί είναι οι δύο αριθμοί που σκέφτηκε η Περσεφόνη;

Σημείωση. H λύση είναι μοναδική.

hint: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n=p+q , όπου p, q πρώτοι αριθμοί. (εικασία του Γκόλντμπαχ)

Επίπεδο δυσκολίας 4/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

ΑΙΝΙΓΜΑ- Η δοκιμασία του αγρότη

noreply@blogger.com (Unknown) — Mon, 20 Jul 2015 16:55:00 +0000

Ένας αγρότης προκαλεί έναν μηχανικό, έναν φυσικό και έναν μαθηματικό σε μια δοκιμασία:

Με το ίδιο κομμάτι φράχτη που θα τους δώσει να διαγωνιστούν για τo ποιος θα περιφράξει μεγαλύτερο κομμάτι γης!

Ο μηχανικός έκανε τον φράχτη κυκλικό και είπε ότι αυτός είναι ο βέλτιστος τρόπος περίφραξης.

Ο φυσικός έστησε τον φράχτη σε μια μεγάλη ευθεία γραμμή και θεώρησε πως εκτείνεται στο άπειρο. Είπε ότι έτσι έφραξε τη μισή γη.

Ο μαθηματικός γελώντας τοποθέτησε κάπως τον φράχτη και νίκησε στη δοκιμασία!

Τι έκανε;

Επίπεδο δυσκολίας 1/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

GIFs που εξηγούν βασικές μαθηματικές έννοιες

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Wed, 15 Jul 2015 21:00:00 +0000

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Μήκος κύκλου

Το μήκος ενός κύκλου ισόυται με π φορές την διάμετρό του (L=πδ), ;opoy π=3,14

Έλλειψη

Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν σταθερό άθροισμα.

Λογάριθμος

Λογάριθμος ενός αριθμού είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί ένας δεδομένος αριθμός, η βάση, ώστε να παραχθεί αυτός ο αριθμός.

Αριθμητικό τρικ!

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Wed, 15 Jul 2015 11:37:00 +0000

Γράψτε τον αριθμό 12345679(παρατηρήστε πως λείπει ο αριθμός 8).

Βήμα 1 Σκεφτείτε έναν αριθμό από το 1 έως το 9.

Βήμα 2 Πολλαπλασιάστε τον αριθμό που σκεφτήκατε με το 9.

Βήμα 3 Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα του Βήματος 2 με τον αριθμό 12345679.

Παράδειγμα.

Βήμα 1 Επιλέγω τον αριθμό 6.

Βήμα 2 6x9=54

Βήμα 3 54x12345679=666666666

ΑΙΝΙΓΜΑ- Τα γενέθλια της Αφροδίτης

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Sun, 12 Jul 2015 11:55:00 +0000

Ο Βασίλης και ο Σάκης μόλις έγιναν φίλοι με την Αφροδίτη και θέλουν να μάθουν πότε έχει γενέθλια. Η Αφροδίτη τους έδωσε μια λίστα με δέκα πιθανές ημερομηνίες.

16 Σεπτεμβρίου
17 Σεπτεμβρίου
20 Σεπτεμβρίου
18 Οκτωβρίου
19 Οκτωβρίου
15 Νοεμβρίου
17 Νοεμβρίου
15 Δεκεμβρίου
16 Δεκεμβρίου
18 Δεκεμβρίου

Στη συνέχεια η Αφροδίτη είπε στον έναν τον μήνα και στον άλλον την ημέρα των γενεθλίων της.
Μετά από αρκετή σκέψη των δύο.

Σάκης: Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της αλλά γνωρίζω ότι ούτε ο Βασίλης γνωρίζει,

Βασίλης: Δεν γνώριζα πριν πότε είναι τα γενέθλια της, αλλά τώρα ξέρω.

Σάκης: Ε τότε ξέρω και γω.

Πότε είναι τα γενέθλια της Αφροδίτης;

Επίπεδο δυσκολίας 3/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

Η υπόθεση του Riemann

noreply@blogger.com (Unknown) — Thu, 09 Jul 2015 08:58:00 +0000

Το μεγαλύτερο άλυτο πρόβλημα μαθηματικών

Η υπόθεση του Riemann
Το 1859, ο Μπέρνχαρτ Ρίμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1. Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.

Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.

Ασχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό.

Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ’ όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών.

Πατηστε εδώ για τη διατύπωση της υπόθεσης

Περισσότερα

Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται απο τον μαθηματικό χώρο, αλλά απο την Φυσική! Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική ησημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα τουδιαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.
Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1(η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους). Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοιδεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.
Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας απο τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3 x 7 = 21). Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας γιά τους πρώτους, που είναιαπρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους. Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά απο πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.
Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους(δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" απο τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι απο τον αριθμό 10.000.000.000 !

Όταν ο περίφημος Άγγλος μαθηματικός G. H. Hardy αντιμετώπισε ένα επικίνδυνο θαλάσσιο ταξίδι, έγραψε στα γρήγορα μία κάρτα για ένα φίλο του με τα εξής λόγια : "Απέδειξα την υπόθεση Riemann". Όπως εξήγησε αργότερα έχοντας επιβιώσει απο το ταξίδι, αυτή η πράξη του ήταν ένα ασυνήθιστο συμβόλαιο ζωής, επειδή αν υπήρχε θεός δεν θα άφηνε έναν αθεϊστή να πεθάνει σε ναυάγιο και να καρπωθεί την μεταθανάτια δόξα για την επίλυση του πιό διάσημου μαθηματικού προβλήματος. Σχεδόν ένα αιώνα μετά η υπόθεση Riemann παραμένει αναπόδεικτη. Η λάμψη της είναι απαράμιλλη επειδή κρατάει το κλειδί των πρώτων αριθμών, αυτών των μυστήριων οντοτήτων που επηρεάζουν καθοριστικά τα μαθηματικά.

πηγή:http://xkfilippidis.blogspot.gr/2011/11/blog-post_5451.html

Εικόνες - Γρίφοι

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Thu, 09 Jul 2015 08:45:00 +0000

A) Ποιά από τις 4 εικόνες είναι η λάθος(δεν ταιριάζει);

B) Ένωσε όλες τις βούλες με το πολύ 4 ευθείες χωρίς να σηκώσεις το μολύβι!

Γ) Γιατί το δεύτερο σχήμα έχει ένα τετράγωνο παραπάνω;

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

Μαθηματικό Σταυρόλεξο Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Thu, 02 Jul 2015 18:05:00 +0000

Μπορείτε εδώ να συμπληρώσετε online το σταυρόλεξο!!

Πατήστε πάνω στην εικόνα για μεγέθυνση

Οριζόντια
2. Παριστάνει η y=ax
3. Υπάρχει τέτοια γωνία σε όλα τα τρίγωνα
5. Είναι η y=2x και η y=2x+1 µεταξύ τους.
8. Ξεκινάµε πάντα από κει όταν κάνουµε πράξεις.
13. Μια εξίσωση όταν δεν έχει πραγµατικές λύσεις.
14. Τρίγωνο µε όλες τις πλευρές ίσες.
15. Τέτοια ποσά είναι οι εργατοώρες και τα χρήµατα.
16. Δεν είναι ούτε θετικός, ούτε αρνητικός
17. Μια εξίσωση που έχει λύσεις όλους τους πραγµατικούς αριθµούς.
19. Γνωστος φιλόσοφος για το σύστηµα συντεταγµένων στα µαθηµατικά.
21. Ο γεωµετρικός τόπος όλων των σηµείων που ισαπέχουν από ένα σταθερό σηµείο.
24. Λέγεται έτσι η έκταση µιας επιφάνειας

Κάθετα
1. Γνωστό θεώρηµα που εφαρµόζεται σε ορθογώνια τρίγωνα.
2. Ισότητα που περιέχει άγνωστο.
4. Είναι γεωµετρικό σχήµα µε δύο βάσεις.
6. Καταγωγή του Πυθαγόρα.
7. Σχηµατίζει τέτοια γωνία το ύψος.
9. Υπολόγισε πρώτος το µήκος κύκλου.
10. Τέτοιο αριθµό µας δίνει το γινόµενο δύο οµόσηµων.
11. Κλάδος των µαθηµατικών που εξάγει συµπεράσµατα µε πειράµατα και δεδοµένα παρατήρησης. 12. Το πολύγωνο µε ίσες πλευρές και γωνίες.
18. Το σηµείο (0,0) είναι των αξόνων..
20. Ο µικρότερος ακέραιος αριθµός που είναι µεγαλύτερος από το π
22. Λέγεται και έτσι ο αριθµός 2 προηγούµενου ερωτήµατος
23. Μονάδα µέτρησης της γωνίας (πληθυντικός)
25. Είναι ο αριθµός π

Κατεβάστε το εδώ σε pdf

Πώς οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η επιστήμη τους είναι «αναπόδεικτη» και δεν στηρίζεται στη λογική

noreply@blogger.com (Unknown) — Sun, 28 Jun 2015 12:52:00 +0000

Ως γνωστόν, τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που προσπαθεί να αποδείξει τα πάντα μέσα από την λογική. Η λογική όμως ξεκινά από κοινά αποδεκτές «αλήθειες», κάτι που έρχεται αντίθετο με την ίδια την φύση των μαθηματικών.

Η αναζήτηση της απόλυτης λογικής αλήθειας – Πως οι μαθηματικοί προσπάθησαν να απεμπλακούν από τα αξιώματα
Ενας «πραγματιστής» μαθηματικός θα μπορούσε εύκολα να δεχτεί το γεγονός ότι η επιστήμη του ξεκινά από βασικές αρχές, χτισμένες από την κοινή λογική και όχι αποδεδειγμένες επιστημονικά. Αρχές από τις οποίες «γεννιέται» κάθε τι άλλο που συμπεριλαμβάνεται σε μια μαθηματική θεωρία. Είναι όμως δυνατόν τα μαθηματικά, η επιστήμη της απόδειξης και της λογικής, να στηρίζονται σε κάτι το αναπόδεικτο;

Οι πιο ανήσυχοι μαθηματικοί, γύρω στο τέλος του 19ου αιώνα, ξεκίνησαν μια προσπάθεια να εξηγήσουν τα πάντα μέσω της λογικής, θέλοντας να ξεφύγουν από οποιαδήποτε παραδοχή. Κάπως έτσι δημιουργήθηκε ο κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Ακόμα και εκεί όμως, έπρεπε να οριστούν κάποια αξιώματα, ώστε να οικοδομηθεί η θεωρία.
Οι προβληματισμοί των μαθηματικών της εποχής δίχασαν την επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν πλήρως ανούσιες τις προσπάθειες των συναδέρφων τους να... φιλοσοφήσουν τα μαθηματικά. Την ίδια ώρα, οι «στοχαστές» δεν έβλεπαν φως στο τούνελ της μαθηματικής λογικής. Κάθε προσπάθεια τους κατέληγε ανεπιτυχής. Οσο και να εμβάθυναν στην μαθηματική λογική, κατέληγαν σε πιο «λογικά» αξιώματα. Δεν μπορούσαν όμως να απεξαρτηθούν από την ύπαρξη τους.
Κάπου εκεί άρχισαν να γεννιούνται και τα πρώτα σφάλματα της λογικής. Ο άνθρωπος που δημιούργησε το πιο γνωστό λογικό «παράδοξο» ήταν ο Ράσελ. Ενας μαθηματικός που αφιέρωσε όλη του την επιστημονική καριέρα στην αναζήτηση της απόλυτης λογικής. Το παράδοξο του ήρθε να κατεδαφίσει την Θεωρία Συνόλων, που είχε θεμελιωθεί πάνω στην Μαθηματική Λογική.

Το «παράδοξο του κουρέα» και η αυστηρή απόδειξη πως τα μαθηματικά είναι... αναπόδεικτα
Η Θεωρία Συνόλων ξεκίνησε από τις ιδέες του Καντόρ και εξελίχθηκε από αρκετούς μαθηματικούς. Μια βασική ιδέα που θεμελίωνε την θεωρία, ήταν πως κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Κάθε σύνολο δηλαδή είναι μια ομάδα αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Μια πρόταση που ακούγεται αρκετά προφανής.
Ο Ράσελ, μέσω ενός πολύ απλού και συνοπτικού παραδείγματος, ήρθε να αποδείξει πως αυτός ο ορισμός είναι εσφαλμένος. Θεώρησε R το σύνολο των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους. Τι ισχύει όμως για το ίδιο το R; Αν το R άνηκε στο σύνολο, τότε εξ ορισμού δεν θα ήταν στοιχείο του συνόλου. Αν δεν ήταν στοιχείο του συνόλου, τότε θα... ήταν στοιχείο του συνόλου. Με λίγα λόγια, ο Ράσελ δημιούργησε μια συνθήκη ανίκανη να περιγράψει το σύνολο που δημιουργούσε.

Η ιδέα του Ράσελ γίνεται πιο κατανοητή μέσω του παρακάτω παραδείγματος:
«Σε μια πόλη ο κανονισμός λέει πως όλοι οι άνδρες πρέπει να είναι ξυρισμένοι. Σε αυτήν την πόλη υπάρχει μόνο ένας κουρέας, ο οποίος ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει όμως τον κουρέα;»
Αναλύοντας το πρόβλημα μέσω της Θεωρίας Συνόλων, είναι κατανοητό πως στη χώρα υπάρχει το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας δεν ξυρίζεται μόνος του αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά ούτε κάποιος άλλος δεν μπορεί να τον ξυρίσει, αφού ο κουρέας ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μέσω της ίδιας σκέψης, το σύνολο όλων των συνόλων είναι αδύνατο να οριστεί.
Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε την δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής. Λίγα χρόνια αργότερα, ήρθε ένα θεώρημα για να βάλουν τέλος στα όνειρα των μαθηματικών της λογικής, τραντάζοντας τον κόσμο της επιστήμης. Γνωστό ως το «πρώτο θεώρημα της μη-πληρότητας»
Κάθε επιστημονική θεωρία περιέχει ορισμένες αλήθειες οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν βάση της ίδιας της θεωρίας, ήταν το πρώτο αποδεδειγμένο θεώρημα του Γκέντελ που ουσιαστικά αποδεικνύει πως η ύπαρξη των αξιωμάτων είναι υποχρεωτική για την θεμελίωση των θεωριών. Αν το εξετάσουμε λίγο πιο... φιλοσοφικά, το θεώρημα αυτό βάζει ένα φράγμα στην λογική. Εξηγεί πως οποιαδήποτε μαθηματική ανακάλυψη στηρίζεται σε αναπόδεικτες αλήθειες.
Η μη-πληρότητα του Γκέντελ είναι ίσως το πιο «αντιεπιστημονικό» θεώρημα στην ιστορία της επιστήμης. Μια πρόταση που αποδεικνύει πως η ύπαρξη κάθε μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην ίδια την ανθρώπινη διαίσθηση.
Η προσπάθεια των μαθηματικών να αποδείξουν πως η επιστήμη τους είναι από τις ρίζες της θεμελιωμένη, δεν ήταν απόλυτα αποτυχημένη. Μπορεί λοιπόν τα μαθηματικά να ξεκινούν από κοινώς αποδεκτές αλήθειες, αλλά τουλάχιστον οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ακόμα και αυτό. Οτι δηλαδή η επιστήμη τους είναι... αποδεδειγμένα αναπόδεικτη.

πηγή: Πώς οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η επιστήμη τους είναι «αναπόδεικτη» και δεν στηρίζεται στη λογική | iefimerida.gr http://www.iefimerida.gr/news/210853/pos-oi-mathimatikoi-apedeixan-oti-i-epistimi-toys-einai-anapodeikti-kai-den-stirizetai#ixzz3eZX869JC

Δαίδαλος, ο μεγάλος εφευρέτης

noreply@blogger.com (Unknown) — Sun, 28 Jun 2015 12:42:00 +0000

Ο Δαίδαλος είναι ο μεγαλύτερος εφευρέτης στην αρχαία Ελλάδα, ένας πραγματικός πολυτεχνίτης και καλλιτέχνης ταυτόχρονα, όπως υποδηλώνει το όνομα Δαίδαλος που προέρχεται από το αρχαίο ελληνικό ρήμα δαιδάλω = εργάζομαι με τέχνη.

Ο Λαβύρινθος στη μινωική Κρήτη, ο μίτος της Αριάδνης, η ξύλινη αγελάδα της Πασιφάης, το χοροστάσι της Αριάδνης, το ακρόπρωρο των πλοίων της εποχής εκείνης και το πέταγμα με φτερά από κερί ήταν όλα σύμφωνα με τη μυθολογία εφευρέσεις και επινοήσεις του Δαίδαλου.

Η καταγωγή του Δαίδαλου

Για τον Δαίδαλο σώζονται αρκετοί μύθοι και αυτοί καταγράφηκαν για πρώτη φορά από τους Αθηναίους μυθογράφους τον 6ο π.Χ. αιώνα επί Πεισίστρατου. Το μεγαλύτερο μέρος των μύθων για τη ζωή του Δαίδαλου εκτυλίσσεται στην Κρήτη, συνεπώς οι μύθοι που αφορούν τον Δαίδαλο πρέπει να είναι κρητικής καταγωγής.

Ο μύθος του Δαίδαλου μας παραδίδει ότι γεννήθηκε στην Αθήνα και ήταν απόγονος του Ερεχθέα (=μυθικός επώνυμος ήρωας και βασιλιάς των Αθηνών, ιδρυτής των Παναθηναίων αγώνων). Από σπουδαία γενιά ήταν και η μητέρα του η Αλκίππη (ή Φρασιμήδη ή Ιφηνόη), που κρατούσε από τον Κέκροπα, τον μυθικό ιδρυτή της πόλης των Αθηνών.

Σύμφωνα με μία άλλη εκδοχή ο Δαίδαλος κατάγεται από τον θεό Ήφαιστο και απ’ αυτόν κληρονόμησε την ικανότητα να μπορεί να κατασκευάζει σχεδόν τα πάντα.

Ο αρχιτέκτονας και γλύπτης Δαίδαλος

Ο Δαίδαλος σύντομα εξελίχθηκε στον πιο σπουδαίο αρχιτέκτονα και γλύπτη της Αθήνας. Λεγόταν μάλιστα ότι τα αγάλματα που έβγαιναν από το εργαστήριο του Δαίδαλου έμοιαζαν με ζωντανά. Τόσο ζωντανά, που όταν ο Ηρακλής αντίκρισε το άγαλμα ενός άντρα σε θέση μάχης, νόμισε ότι κάποιος του επιτίθεται και ενστικτωδώς αντέδρασε καταστρέφοντας το με το ρόπαλο του. Όταν κατάλαβε ότι είχε καταστρέψει ένα περίτεχνο άγαλμα, που μάλιστα παρίστανε τον ίδιο, αισθάνθηκε μεγάλη ντροπή και ζήτησε συγνώμη από τον Δαίδαλο.

Ο Δαίδαλος ήταν ο πρώτος που έδωσε ελεύθερη κίνηση στα μέλη του αγάλματος, απελευθερώνοντας έτσι τα χέρια από το σώμα και ξεχωρίζοντας τα πόδια μεταξύ τους. Επιπλέον έδωσε περισσότερη εκφραστικότητα στο πρόσωπο προσθέτοντας τα χαρακτηριστικά του ματιού (βολβός, κόρη, ίριδα).

Πώς ο Δαίδαλος έφτασε στην Κρήτη

Στο εργαστήριο του Δαίδαλου μαθήτευε ο γιος της αδερφής του Πέρδικας ή Πολυκάστης, ο Τάλως ή Κάλως (είναι διαφορετικός από τον γίγαντα Τάλω, τον φύλακα της Κρήτης). Φαίνεται πως το ταλέντο είχε μοιραστεί απλόχερα στην οικογένεια και ο Τάλως αναδεικνυόταν σε εξαιρετικά ιδιοφυή τεχνίτη.

Οι φήμες στην Αθήνα έδιναν και έπαιρναν ότι ο ανιψιός θα καταφέρει να ξεπεράσει το θείο του. Ο Δαίδαλος τυφλώθηκε από ζήλια και έβγαλε τον Τάλω από τη μέση γκρεμίζοντάς τον από την Ακρόπολη. Το έγκλημα δεν άργησε να αποκαλυφθεί και ο Δαίδαλος εκδιώχθηκε από την Αθήνα.

Η αδερφή του Δαίδαλου αυτοκτόνησε από τον καημό της που έχασε τον μονάκριβο γιο της Τάλω και ο Δαίδαλος τελικά κατέληξε στην Κρήτη.

Στην Κρήτη ο Δαίδαλος έγινε αμέσως δεκτός γιατί η φήμη του ως εξαιρετικός τεχνίτης είχε προηγηθεί και μάλιστα γίνεται έμπιστος του Μίνωα, του μυθικού βασιλιά της Κνωσού. Ο Μίνωας ανέθετε στο Δαίδαλο όλα τα τεχνικά έργα στο ανάκτορο και έτσι ο μύθος θέλει το Δαίδαλο να είναι ο εφευρέτης σχεδόν σε όλες τις τεχνολογικές καινοτομίες της εποχής.

Στην Κρήτη ο Δαίδαλος γνώρισε την Ναυκράτη, που δούλευε στην υπηρεσία του Μίνωα και μαζί της αποκτά τον Ίκαρο.

Τα έργα του Δαίδαλου στην Κρήτη

Το χοροστάσι της Αριάδνης.

Ο Δαίδαλος είναι αυτός που έφτιαξε την πρώτη «πίστα» χορού στην ιστορία για την πριγκίπισσα Αριάδνη, το χοροστάσι της Αριάδνης, που ακόμα και οι θεοί το θαύμασαν.

Τα Δαιδάλια

Μία άλλη εφεύρεση του Δαίδαλου θεωρείται το ακρόπρωρο του πλοίου. Γι’ αυτό και τα ακρόπρωρα ονομάζονταν και δαιδάλια στην αρχαία Ελλάδα.

Η ξύλινη αγελάδα της Πασιφάης

Η Πασιφάη μπαίνει στην ξύλινη αγελάδα

Ο Μίνωας για να αποδείξει ότι είναι ο πιο ικανός από τα αδέρφια του και να κερδίσει το θρόνο του βασιλιά της Κνωσσού, είχε ζητήσει από το θείο του Ποσειδώνα (το θεό της θάλασσας) να του στείλει ένα σημάδι.

Ο Ποσειδώνας έστειλε έναν πανέμορφο ταύρο που ο Μίνωας όφειλε να θυσιάσει προς τιμή του Ποσειδώνα. Ο Μίνωας όμως δεν ήθελε να σκοτώσει ένα τόσο ξεχωριστό ζώο και με πονηριά θυσίασε άλλο ταύρο στη θέση του. Ο Ποσειδώνας εξοργίστηκε και τιμώρησε το Μίνωα για την ασέβεια του με ένα ασυνήθιστο τρόπο: έκανε τη σύζυγο του Μίνωα, βασίλισσα Πασιφάη, να ερωτευτεί τον ταύρο.

Η Πασιφάη τρελή από έρωτα για τον ταύρο ζήτησε από το Δαίδαλο να της βρει τον τρόπο για να συνευρεθεί ερωτικά μαζί του χωρίς να κινδυνεύσει η ζωή της.

Ο Δαίδαλος λοιπόν έφτιαξε μια ξύλινη αγελάδα, κούφια στο εσωτερικό της, την έντυσε με το δέρμα μιας αληθινής αγελάδας και την άφησε σε ένα λιβάδι με τη βασίλισσα μέσα της.

Ο ταύρος ξεγελάστηκε, πλησίασε την αγελάδα, ζευγάρωσε μαζί της και από την αφύσικη αυτή ένωση γεννήθηκε ο Μινώταυρος, ένα τέρας που από τη μέση και πάνω ήταν ταύρος και ο άλλος μισός άνθρωπος.

Ο λαβύρινθος του Δαίδαλου

Ο Δαίδαλος κλήθηκε μετά τη γέννηση του Μινώταυρου να βρει ένα τρόπο να κρύψει την ντροπή του Μίνωα για αυτή του την βαριά τιμωρία, δηλαδή να φτιάξει κάτι όπου θα φυλάκιζε τον Μινώταυρο.

Ο Δαίδαλος κατασκεύασε τον λαβύρινθο, ένα κτίριο που αποτελείται από στενούς διαδρόμους και πολύπλοκες στροφές, που μπέρδευε τόσο πολύ όποιον έμπαινε μέσα ώστε δεν μπορούσε να βρει την έξοδο.

Πού βρίσκεται ο λαβύρινθος δεν έχουμε ιδέα, αν και πολλοί τον ταυτίζουν με το ίδιο το ανάκτορο της Κνωσού. Είναι γεγονός ότι το ανάκτορο της Κνωσού αποτελείται από πάρα πολλούς δωμάτια που συνδέονται μεταξύ τους με στενούς διαδρόμους. Εξάλλου, σύμφωνα με το μύθο, και η Κνωσός κτίστηκε από τον αρχιτέκτονα Δαίδαλο.

Ο Μίτος της Αριάδνης.

ο Θησέας σκοτώνει το Μινώταυρο

Κάθε 9 χρόνια οι Αθηναίοι έστελναν 7 νέους και 7 νέες στην Κρήτη σαν φόρο αίματος για την άδικη δολοφονία του Ανδρόγεω, γιου του Μίνωα. Οι νέοι και οι νέες ρίχνονταν στον Λαβύρινθο για να τους καταβροχθίσει ο Μινώταυρος.

Κάποια χρονιά ένας από τους 7 νέους ήταν ο γιος του βασιλιά της Αθήνας, ο Θησέας. Ρωμαλέος νέος και ωραίος ερωτεύεται με την κόρη του Μίνωα, την Αριάδνη, που για κανένα λόγο δεν θα άφηνε τον αγαπημένο της να γίνει τροφή του Μινώταυρου. Για μια ακόμη φορά ζητήθηκε η βοήθεια του Δαίδαλου, που έδωσε στην Αριάδνη ένα κουβάρι δυνατή κλωστή, το γνωστό μίτο της Αριάδνης.

Ο Θησέας ακολουθώντας τις οδηγίες του Δαίδαλου έδεσε την άκρη του μίτου στην είσοδο του λαβύρινθου, και προχώρησε ξετυλίγοντας το κουβάρι μέχρι που βρήκε το Μινώταυρο. Αφού τον σκότωσε, ακολούθησε το νήμα και βρήκε το δρόμο προς την έξοδο.

Ο Μίνωας φυλακίζει τον Δαίδαλο

Ο Δαίδαλος δεν είχε κακή πρόθεση όταν βοηθούσε την Πασιφάη και την Αριάδνη, αλλά το αποτέλεσμα ήταν να έρθει σε ρήξη με το Μίνωα. Είναι λογικό ότι ο βασιλιάς δεν ήθελε ούτε η γυναίκα του να βρει τρόπο να ζευγαρώσει με τον ταύρο, ούτε ο Θησέας να μπορέσει να βγει από τον λαβύρινθο.

Η οργή του ήταν μεγάλη με αποτέλεσμα ο πατέρας Δαίδαλος και ο γιός Ικαρος να φυλακιστούν στον άδειο πια Λαβύρινθο, που ας μη ξεχνάμε, ήταν έργο του ίδιου του Δαίδαλου.

πηγή

ΑΙΝΙΓΜΑ- Tα τρία καπέλα

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Fri, 26 Jun 2015 11:57:00 +0000

Ένας Μάγος καλεί τρεις σοφούς άντρες και τους λέει να κλείσουν τα μάτια τους. Ενώ αυτοί έχουν κλειστά τα μάτια τους, τους τοποθετεί από ένα καπέλο στο κεφάλι τους.

«Έβαλα ένα μπλε ή ένα λευκό καπέλο σε κάθε έναν από εσάς", λέει. «Εγώ δεν θα σας πω τι χρώμα έχει το κάθε καπέλο, αλλά πρέπει να ξέρετε ότι είχα 3 μπλε καπέλα και 2 λευκά καπέλα».

«Τώρα ανοίξτε τα μάτια σας», συνεχίζει. "Δεν επιτρέπεται να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μέσα σε μία ώρα, ένας από σας πρέπει να ανακαλύψει το χρώμα του καπέλου του."

Και οι τρεις άντρες ανοίγουν τα μάτια τους και παρατηρούν τα καπέλα που μπορούν να δουν». Στέκονται εκεί για σχεδόν ολόκληρη ώρα στη σιωπή, και σκέφτονται. Αφού περνά η μία ώρα, οι τρεις άνδρες καταλαβαίνουν το χρώμα των δικών τους καπέλων και φωνάζουν την ίδια στιγμή τα χρώματα των καπέλων τους.

Ποια είναι τα χρώματα από τα καπέλα των τριών ανδρών τελικά;

Σημείωση. Μπορείτε να υποθέσετε ότι και οι τρεις άνδρες είναι λογικοί, ξέρουν ότι και οι άλλοι είναι λογικοί, και ότι όλοι σκέφτονται με την ίδια ταχύτητα.

Επίπεδο δυσκολίας 2/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

πηγή: http://www.newsbomb.gr/bombplus/blogs/story/461558/o-grifos-poy-den-mporei-na-lysei-kaneis---ta-tria-kapela#ixzz3eAV6NBan

Γεωμετρία Α' Λυκείου

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Fri, 05 Jun 2015 07:39:00 +0000

Εξετάσεις

2019

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Sat, 30 May 2015 20:04:00 +0000

Α' Γυμνασίου

Μαθηματικά 2015

Β' Γυμνασίου

Μαθηματικά 2015

Γ' Γυμνασίου

Μαθηματικά 2015

Φυσική 2015

AIΝΙΓΜΑ- Ο αριθμός Ζ

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Sat, 14 Mar 2015 11:58:00 +0000

Σκοπός είναι να βρεθεί ο αριθμός "Ζ" που προκύπτει από τις παρακάτω 10 προτάσεις.

1. Τουλάχιστον μία από τις προτάσεις 9 και 10 είναι αληθής.
2. Αυτή είναι είτε η πρώτη αληθής είτε η πρώτη ψευδής πρόταση.
3. Υπάρχουν 3 διαδοχικά ψευδείς προτάσεις.
4. Η διαφορά μεταξύ των αριθμών της τελευταίας αληθούς και της πρώτης αληθούς πρότασης διαιρεί τον αριθμό Ζ.
5. Ο αριθμός Ζ είναι το άθροισμα των αριθμών όλων των αληθών προτάσεων.
6. Αυτή δεν είναι η τελευταία αληθής πρόταση.
7. Ο αριθμός κάθε αληθούς πρότασης διαιρεί τον αριθμό Ζ.
8. Ο αριθμός Ζ είναι το ποσοστό (%) των αληθών προτάσεων.
9. Το πλήθος των θετικών ακέραιων διαιρετών του αριθμού Ζ (χωρίς το 1 και το Ζ) είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των αριθμών των αληθών προτάσεων.
10. Δεν υπάρχουν 3 διαδοχικά αληθείς προτάσεις.

πηγή: http://kapoiosperastikos.blogspot.gr/2015/03/blog-post.html

Επίπεδο δυσκολίας 4/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

Κύβος του Rubik: μέθοδος λύσης

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Sat, 01 Mar 2014 17:42:00 +0000

Ο οδηγός λύσης του κύβου του Rubik που ακολουθεί είναι ο απλούστερος που υπάρχει για κύβους 3x3.

Αρχικά..

Ο κύβος αποτελείται από μικρότερα τετραγωνάκια, που έχουν επάνω τους χρωματιστά αυτοκόλλητα. Τα τετραγωνάκια χωρίζονται σε 3 κατηγορίες, τα κεντρικά που έχουν μόνο ένα χρωματιστό αυτοκόλλητο, τα γωνιακά που έχουν 3 χρωματιστά αυτοκόλλητα και τα ενδιάμεσα τετραγωνάκια που έχουν 2 χρωματιστά αυτοκόλλητα. Εικόνες σαν την διπλανή, υπάρχουν σε κάθε βήμα στον οδηγό και μας δείχνουν πως πρέπει να κρατάμε τον κύβο πριν εκτελέσουμε τις κινήσεις που απαιτούνται για την επίλυσή του. Σ' αυτές τις εικόνες εκτός από την μπροστινή μεριά, φαίνεται και η επάνω πλευρά καθώς και η δεξιά. Είναι σημαντικό να κρατάμε σωστά τον κύβο και να έχουμε μπροστά μας την πλευρά που λένε οι εικόνες για να έχουν αποτέλεσμα οι κινήσεις που θα κάνουμε!

Οι κινήσεις που χρειάζονται, αναπαριστώνται γραφικά με εικόνες. Η πρώτη ομάδα κινήσεων μας λέει προς ποιά φορά πρέπει να περιστρέψουμε ολόκληρη την μπροστινή όψη του κύβου κατά μία φορά (που αποτελείτε από 9 τετραγωνάκια). Για παράδειγμα, αν μας ζητηθεί να κινήσουμε δεξιόστροφα την μπροστινή όψη του διπλανού κύβου, τότε το τετραγωνάκι με τα τρία χρώματα θα έρθει στην κάτω δεξιά γωνία.

Οι άλλες δύο ομάδες εικόνων που υπάρχουν δίπλα, μας δείχνουν ποία οριζόντια ή κάθετη σειρά πρέπει να κινηθεί και προς τα που, κατά μία φορά. Όπως κοιτάς το μπροστινό μέρος του κύβου, τα τρία οριζόντια τετραγωνάκια που βρίσκονται πάνω πάνω συνθέτουν την πρώτη σειρά. Η μεσαία οριζόντια γραμμή των τετραγώνων (από την κορυφή ή κάτω) αποτελούν την μεσαία γραμμή, και τέλος τα τρία τελευταία οριζόντια τετράγωνα συνθέτουν την κάτω γραμμή. Επίσης, στο μπροστινό μέρος του κύβου πάλι, τα τρία κάθετα τετράγωνα στα αριστερά συνθέτουν την αριστερή στήλη, τα επόμενα τρία κάθετα τετραγωνάκια απαρτίζουν την μεσαία στήλη και τα τελευταία τρία κάθετα τετράγωνα στα δεξιά, συνθέτουν την δεξιά στήλη.

Τονίζω ξανά ότι είναι πολύ σημαντικό να κρατάμε σωστά τον κύβο, όπως φαίνεται στις εικόνες, και να κινούμε μόνο την όψη, την γραμμή ή την στήλη που μας ζητείται κατά μία φορά και με την σειρά που μας ζητείται, κρατώντας κάθε φορά τα υπόλοιπα μέρη στην ίδια θέση.

ΒΗΜΑ 1: ετοιμάζουμε τον κύβο για την λύση του.

Η ίδια λύση ισχύει με όποιο χρώμα και να ξεκινήσεις αλλά καλύτερο θα είναι στην αρχή, μέχρι να μάθεις τις κινήσεις να συμβαδίζεις με τις εικόνες. Σ' αυτό το βήμα το μόνο που χρειάζεται είναι να βρεις το τετραγωνάκι με το κόκκινο, το μπλε και το άσπρο χρώμα. Έπειτα φέρε το μπλε χρώμα του τετραγώνου, διαγώνια του κεντρικού μπλε και τέλος κράτησε τον κύβο όπως φαίνεται στην εικόνα. Δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται στα υπόλοιπα τετραγωνάκια, παρά μόνο σ' αυτά τα δύο.

ΒΗΜΑ 2: τοποθετούμε τις γωνίες της επάνω όψης.

Αφού φτιάξαμε στο προηγούμενο βήμα την πρώτη γωνία, στρέψε τώρα ολόκληρο τον κύβο (όχι κάποια όψη, γραμμή ή στήλη) προς τα αριστερά, κατά μία φορά, έτσι ώστε κρατώντας τον κύβο, μπροστά και αριστερά στην πάνω γωνία να βλέπεις το κόκκινο χρώμα, όπως φαίνεται και στην εικόνα δίπλα.

Για να φτιάξεις την επόμενη γωνία πρέπει να βρεις το τετραγωνάκι με το μπλε, το κόκκινο και το κίτρινο χρώμα και να φέρεις το μπλε χρώμα του τετραγώνου σε μια από τις πέντε θέσεις της εικόνας (η τρίτη θέση είναι αυτή που βρίσκεται κάτω απο την 1-2, στον πάτο του κύβου), πάντα σε συνάρτηση με την επάνω αριστερή γωνία που έχουμε ήδη φτιάξει. Έπειτα εκτέλεσε μία από τις πέντε ομάδες κινήσεων ανάλογα με την θέση που έχεις βάλει το μπλε χρώμα του τετραγώνου.

Στη συνέχεια κάνε ακριβώς την ίδια διαδικασία άλλες δυο φορές για να φτιάξεις όλες τις γωνίες. Δηλαδή, στρέψε ολόκληρο τον κύβο προς τα αριστερά έτσι ώστε αυτή την φορά πάνω αριστερά στην μπροστινή σου όψη να βλέπεις το κίτρινο χρώμα. Έπειτα ψάξε για το τετραγωνάκι με το μπλε, το κίτρινο και το πορτοκαλί χρώμα και φέρε το μπλε χρώμα του τετραγώνου σε μια από τις πέντε θέσεις της εικόνας (πάντα σε συνάρτηση με την έτοιμη γωνία που έχεις πάνω αριστερά!!) και εκτέλεσε την αντίστοιχη ομάδα κινήσεων. Φτιάχνοντας την τελευταία γωνία θα πρέπει να βλέπεις πάνω αριστερά στην μπροστινή όψη το πορτοκαλί χρώμα και ψάξε για το τετραγωνάκι με το μπλε, το πορτοκαλί και άσπρο χρώμα.

Μετά από αυτό το βήμα ο κύβος σου πρέπει να δείχνει όπως αυτός στην εικόνα δίπλα.

ΒΗΜΑ 3: τοποθετούμε τα ενδιάμεσα τετράγωνα της πάνω όψης.

Έχουμε ήδη φτιάξει τις τέσσερις γωνίες. Τώρα κράτησε τον κύβο έτσι ώστε στις δύο επάνω γωνίες της όψης που κοιτάς, να βλέπεις το κόκκινο χρώμα, όπως φαίνεται και στην εικόνα. Στη συνέχεια ψάξε για το ενδιάμεσο τετραγωνάκι με το μπλε και το κόκκινο χρώμα. Φέρε το μπλε χρώμα του τετραγώνου σε μια από τις πέντε θέσεις που φαίνονται στην εικόνα, σε συνάρτηση με τις έτοιμες γωνίες που έχουμε στην μπροστινή μας όψη (η θέση 1 είναι κάτω από την 2 στον πάτο του κύβου). Έπειτα, εκτέλεσε την αντίστοιχη ομάδα κινήσεων, ανάλογα με την θέση που έχεις βάλει το μπλε χρώμα του τετραγώνου.

Συνέχισε στρέφοντας κατά μία φορά ολόκληρο τον κύβο προς τα αριστερά και κάνε την ίδια διαδικασία μόνο που τώρα πρέπει να ψάξεις για το τετράγωνο με το μπλε και κίτρινο χρώμα, μιας και στις επάνω δύο γωνίες υπάρχει το κίτρινο. Φέρε το μπλε χρώμα του τετραγώνου σε μια από τις πέντε θέσεις της εικόνας και εκτέλεσε την αντίστοιχη ομάδα κινήσεων. Τέλος με τον ίδιο τρόπο φτιάξε και τα τελευταία δύο ενδιάμεσα τετράγωνα ψάχνοντας πάντα για το αντίστοιχο χρώμα, ανάλογα με την πλευρά που είσαι.

Έπειτα και από αυτό το βήμα, ο κύβος σου πρέπει να δείχνει όπως αυτός της διπλανής εικόνας.

ΒΗΜΑ 4: τελειοποιούμε τις δύο οριζόντιες γραμμές του κύβου.

Αφού φτιάξαμε στα προηγούμενα βήματα την πάνω σειρά, τώρα γυρνάμε την σειρά αυτή έτσι ώστε να συμπέσουν τα χρώματα με αυτά των κεντρικών τετραγώνων και να φτιάξουμε μισό-Τ(όπως φαίνεται και στην εικόνα αριστερά, όπου τα κόκκινα και τα κίτρινα τετράγωνα της πάνω σειράς έχουν συμπέσει με τα αντίστοιχα κεντρικά τετράγωνα του ίδιου χρώματος). Τώρα είμαστε έτοιμοι να τελειοποιήσουμε τις 2 πρώτες σειρές του κύβου, γεμίζοντας τα κενά με τα κατάλληλα τετραγωνάκια.

Σ' αυτό το βήμα θα κινούμε μόνο την κάτω σειρά (δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα) προσπαθώντας να βρούμε χρώματα που θα ολοκληρώνουν το Τ. Στο παράδειγμά μας έχοντας σαν μπροστινή όψη το κόκκινο γυρίσαμε την κάτω σειρά μέχρι να βρεθεί το κόκκινο τετραγωνάκι που ολοκληρώνει το Τ. Το άλλο χρώμα του τετραγώνου (εκτός του κόκκινου) θα πρέπει να είναι κίτρινο ή άσπρο. Αν είναι άσπρο, εκτελούμε τις κινήσεις που λένε προς τ' αριστερά, ενώ, αν είναι κίτρινο εκτελούμε τις κινήσεις που λένε προς τα δεξιά. Συνεχίζουμε με την ίδια λογική και τελειοποιούμε όλες τις πλευρές, αλλάζοντας κάθε φορά την μπροστινή μας όψη, μετακινώντας ολόκληρο τον κύβο δεξιά ή αριστερά.

Προσοχή!!! Δεν είναι δεδομένο ότι ξεκινώντας με την κόκκινη όψη θα βρείτε ένα τετράγωνο με κόκκινο χρώμα που θα ολοκληρώνει το Τ. Ξεκινήστε με όποια όψη σας συμφέρει λαμβάνοντας υπόψη ότι γυρνώντας την κάτω σειρά πρέπει να βρεθεί το τετράγωνο με το αντίστοιχο χρώμα που θα ολοκληρώνει το Τ. Έπειτα κοιτώντας το δεύτερο χρώμα του τετραγώνου το στέλνουμε στην κατάλληλη πλευρά, είτε δεξιά είτε αριστερά, έτσι ώστε να ταιριάζουν τα χρώματα. Γι' αυτό και στο βήμα αυτό δεν μας κάνουν τα τετράγωνα που έχουν ως δεύτερο χρώμα το πράσινο. Τέλος αν δεν υπάρχει κάποιο τετράγωνο για να ξεκινήσουμε ή το τετράγωνο που θέλουμε είναι ήδη στη θέση που θέλουμε αλλά με λάθος φορά, εκτελούμε ανάλογα μία από τις δύο σειρές κινήσεων έτσι ώστε να κατεβάσουμε κάτω το τετράγωνο που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε και στην θέση του να βάλουμε κάποιο άσχετο προσωρινά.

Μετά από αυτό το βήμα ο κύβος σου πρέπει να δείχνει όπως αυτός στην εικόνα δίπλα.

ΒΗΜΑ 5: φτιάχνουμε τον στραυρό στην τελευταία σειρά.

Στα προηγούμενα βήματα ολοκληρώσαμε τις 2 πρώτες σειρές του κύβου. Για να συνεχίσουμε τώρα γυρίζουμε ανάποδα τον κύβο έτσι ώστε η μπλε πλευρά να είναι από κάτω. Σ' αυτό το βήμα μας ενδιαφέρει μόνο το πράσινο χρώμα των τετραγώνων γι αυτό και στις εικόνες όλα τα υπόλοιπα τετραγωνάκια έχουν ένα αδιάφορο χρώμα. Αφού γυρίσαμε τον κύβο ανάποδα κοιτάζουμε σε ποιά από τις 3 περιπτώσεις που φαίνονται αριστερά ανήκουμε εμείς.

Αν υπάρχουν 3 πράσινα τετράγωνα που να σχηματίζουν μια ανοιχτή γωνία τότε κράτησε τον κύβο όπως φαίνεται στην εικόνα Α. Τονίζω ξανά ότι δεν μας νοιάζουν τα υπόλοιπα τετράγωνα παρά μόνο αν υπάρχουν 3 πράσινα τετράγωνα όπως φαίνεται στην εικόνα.

Αν δεν ανήκεις στην παραπάνω περίπτωση, κοίταξε μήπως υπάρχουν 3 πράσινα τετράγωνα στη σειρά. Αν ναι, κράτησε τον κύβο όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα, στην περίπτωση Β. Και πάλι δεν μας ενδιαφέρει το χρώμα των υπόλοιπων τετραγώνων παρά μόνο αν υπάρχουν 3 πράσινα τετράγωνα στη σειρά.

Τέλος, αν δεν ανήκεις σε καμία από τις 2 πρώτες περιπτώσεις τότε κράτησε τον κύβο όπως φαίνεται στην εικόνα της περίπτωσης Γ., όπου θα ανήκεις σίγουρα.

Αν ανήκεις στην Α. περίπτωση τότε εκτέλεσε την παρακάτω ομάδα κινήσεων 2 φορές. Σε περίπτωση που ο κύβος σου ανήκει στην Β. περίπτωση, τότε εκτέλεσε την παρακάτω ομάδα κινήσεων 1 φορά. Τέλος αν ανήκεις στην Γ. περίπτωση τότε εκτέλεσε την παρακάτω ομάδα κινήσεων 1 φορά για να φτάσεις στην περίπτωση Α. και αφού κρατήσεις σωστά τον κύβο, όπως φαίνεται στην πρώτη εικόνα, εκτέλεσε άλλες 2 φορές την παρακάτω ομάδα κινήσεων.

Ο κύβος, αν τα έχεις κάνει όλα σωστά, με το πέρας του παραπάνω βήματος πρέπει να δείχνει όπως ο κύβος στα δεξιά.

ΒΗΜΑ 6: τελειοποιούμε τον σταυρό.

Περιστρέφουμε την επάνω σειρά του κύβου μέχρι να συμπέσουν δύο διαδοχικά χρώματα με τα χρώματα των τετραγώνων που είναι ήδη έτοιμα στις από κάτω σειρές, όπως φαίνεται και στην εικόνα (η εικόνα στα αριστερά είναι απλό παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε συνδυασμός 2 διαδοχικών χρωμάτων).

Μετά στρέψε προς τα δεξιά ολόκληρο τον κύβο έτσι ώστε το ένα από τα δύο διαδοχικά χρώματα να είναι στην πίσω όψη και το άλλο να είναι στην δεξιά όψη, όπως φαίνεται στην δεύτερη εικόνα. Έπειτα, εκτέλεσε την παρακάτω ομάδα κινήσεων 1 φορά.

Αν δεν είναι δυνατόν να ταιριάξεις δύο διαδοχικά χρώματα τότε σίγουρα θα βρεις δύο που το ένα να είναι απέναντι από το άλλο. Μόλις τα βρεις, κράτησε τον κύβο ώστε το ένα χρώμα να είναι στην αριστερή όψη και το άλλο στην δεξιά, όπως στην εικόνα δίπλα, όπου η αριστερή όψη που δεν φαίνεται έχει κίτρινο χρώμα (η εικόνα είναι παράδειγμα, μπορεί να βρεις συνδυασμό 2 άλλων χρωμάτων). Τώρα, εκτέλεσε 1 φορά την παραπάνω ομάδα κινήσεων και ακολούθησε όσα περιγράφονται στην αρχή αυτού του βήματος.

Έπειτα και από αυτό το βήμα, ο κύβος σου πρέπει να δείχνει όπως αυτός της διπλανής εικόνας.

ΒΗΜΑ 7: τοποθετούμε τα σωστά τετραγωνάκια στις γωνίες.

Σ' αυτό το βήμα στόχος είναι να τοποθετήσουμε τα σωστά τετραγωνάκια στις αντίστοιχες γωνίες, ασχέτως αν τα χρώματά τους δεν είναι στη σωστή θέση (μας νοιάζει μόνο το τετραγωνάκι να έχει τα τρία χρώματα των τριών πλευρών που τέμνονται στη γωνία). Για τον λόγο αυτόν ψάξε, στις τέσσερις γωνίες που είναι στην πάνω όψη του κύβου, για να βρεις μια γωνία που να είναι ήδη έτοιμη. Μόλις την βρεις κράτα τον κύβο ώστε η γωνία αυτή να είναι στα δεξιά, όπως φαίνεται και στην εικόνα (η εικόνα είναι παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε συνδυασμός χρωμάτων). Έπειτα εκτέλεσε την παρακάτω ομάδα κινήσεων και θα φτιαχτούν και οι υπόλοιπες γωνίες. Συνήθως χρειάζεται να εκτελέσεις τις παρακάτω κινήσεις μία φορά, αν χρειαστεί και δεύτερη πρόσεξε να μην αλλάξεις τον τρόπο που κρατούσες τον κύβο.

Αν δεν υπάρχει ήδη κάποια γωνία έτοιμη από τις τέσσερις, τότε εκτέλεσε μια φορά την παραπάνω ομάδα κινήσεων και κάποια θα προκύψει. Στη συνέχεια ακολούθησε όσα περιγράφονται στην αρχή του βήματος.

Φτάνοντας στο τέλος κι αυτού του βήματος, ο κύβος θα δείχνει κάπως σαν αυτόν της εικόνα δίπλα.

ΒΗΜΑ 8: ολοκληρώνουμε τον κύβο, τοποθετώντας σωστά τα χρώματα στις γωνίες.

Στην αρχή αυτού του βήματος δεν έχει σημασία πως θα κρατήσουμε τον κύβο, αρκεί βέβαια η πράσινη πλευρά που θέλουμε να τελειοποιήσουμε να είναι προς τα πάνω (η εικόνα στα αριστερά είναι ένα απλό παράδειγμα). Εκτελώντας την παρακάτω ομάδα κινήσεων φτιάχνουμε κάθε φορά το τετραγωνάκι που είναι στη δεξιά γωνία μπροστά μας (στην εικόνα του παραδείγματος το τετράγωνο με το πράσινο, κόκκινο και άσπρο χρώμα). Επανέλαβε ολοκληρωμένα την παρακάτω ομάδα κινήσεων όσες φορές χρειαστεί μέχρι το πράσινο χρώμα του τετραγώνου να έρθει πάνω και να ταιριάξει με τα υπόλοιπα πράσινα. Μην σε απασχολεί που κατά την διάρκεια αυτού του βήματος τα χρώματα των δύο κάτω σειρών θα ανακατευθούν. Μείνε ψύχραιμος, ακολούθησε τις οδηγίες και στο τέλος θα είναι όλα στη θέση τους.

Μόλις φτιάξεις την πρώτη γωνία, ο κύβος σου θα δείχνει περίπου όπως αυτός στην εικόνα δεξιά (οι δύο κάτω σειρές είναι με αδιάφορο χρώμα γιατί θα έχουν μπερδευτεί, αλλά αυτό δεν μας πειράζει). Σ' αυτό το σημείο στρέψε προς τα δεξιά μόνο την επάνω σειρά κατά μία φορά και το τετράγωνο που έχεις φτιάξει θα βρεθεί τώρα στην πίσω δεξιά γωνία. Στην μπροστινή δεξιά γωνία θα έχει έρθει ένα άλλο τετραγωνάκι που θα πρέπει να φτιάξεις ακολουθώντας ολοκληρωμένα την παραπάνω ομάδα κινήσεων, όσες φορές χρειαστεί. Μόλις φτιάξεις και την δεύτερη γωνία, στρέψε πάλι προς τα δεξιά κατά μία μόνο φορά, την επάνω σειρά και φτιάξε την επόμενη γωνία. Τέλος, μόλις φτιάξεις και την τρίτη γωνία στρέψε προς τα δεξιά για τελευταία φορά την επάνω σειρά και φτιάξε με την παραπάνω ομάδα κινήσεων και την τελευταία γωνία. Προσοχή, σε περίπτωση που μια γωνία είναι ήδη έτοιμη, τότε στρέψε ξανά την επάνω σειρά προς τα δεξιά και συνέχισε με την επόμενη γωνία.

Αυτό ήταν!!! Μετά από 8 απλά βήματα κατάφερες να λύσεις τον διασημότερο γρίφο στον κόσμο!!! Αν παρόλα αυτά συνάντησες κάποια δυσκολία, στείλε μας την απορία σου με email ή γράψε την στα σχόλια και θα σε βοηθήσουμε αμέσως.

αμέσως

πηγή: http://ludusmentis.blogspot.com/2012/04/rubik-3x3.html#ixzz2ujWioIzQ

Η πιο αγνή των τεχνών ή ..Μαθηματικά

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Sat, 31 Aug 2013 13:56:00 +0000

Απόσπασμα από το άρθρο του Paul Lockhart, με τίτλο «A Mathematician’s Lament¹»
Επιμέλεια – Παρουσίαση - Μετάφραση θέματος : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κατανοήσουμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι μια τέχνη. Η διαφορά μεταξύ των μαθηματικών και των άλλων τεχνών, όπως η μουσική και η ζωγραφική, είναι ότι ο πολιτισμός μας δεν τα αναγνωρίζει ως τέτοια. Ο καθένας καταλαβαίνει ότι οι ποιητές, οι ζωγράφοι, οι μουσικοί και οι δημιουργοί έργων τέχνης είναι οι ίδιοι που αναφέρονται στη λέξη, εικόνα και ήχος.

Στην πραγματικότητα, η κοινωνία μας είναι αρκετά γενναιόδωρη όταν πρόκειται για δημιουργική έκφραση : όπως αρχιτέκτονες , σεφ, ακόμη και διευθυντές τηλεοπτικών καναλιών, όπου θεωρείται ότι εργάζονται ως καλλιτέχνες . Γιατί λοιπόν να μην είναι και οι Μαθηματικοί ;

Μέρος του προβλήματος είναι ότι κανείς δεν έχει την παραμικρή ιδέα για το τι είναι αυτό που οι Μαθηματικοί κάνουν. Η κοινή αντίληψη φαίνεται να είναι ότι οι Μαθηματικοί κατά κάποιο τρόπο συνδέονται με την επιστήμη, ίσως θεωρούν ότι είναι οι επιστήμονες με τους τύπους, ή αυτοί που τροφοδοτούν με μεγάλους αριθμούς τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για κάποιο συγκεκριμένο λόγο. Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι αν ο κόσμος θα έπρεπε να χωρίζεται σε «ποιητές- ονειροπόλους» και «ορθολογικούς στοχαστές», οι περισσότεροι άνθρωποι θα ήταν μαθηματικοί στην κατηγορία αυτή. Παρ 'όλα αυτά, το γεγονός είναι ότι δεν υπάρχει τίποτα τόσο ονειρικό και ποιητικό, τίποτα τόσο ριζοσπαστικό, ανατρεπτικό και ψυχεδελικό, όπως τα μαθηματικά.

Είναι εξίσου εξωφρενικό για το ανθρώπινο μυαλό, και κυρίως για την κοσμολογία και τη φυσική (οι μαθηματικοί σχεδίασαν τις μαύρες τρύπες πολύ πριν οι αστρονόμοι βρουν πράγματι ότι αυτές υπάρχουν), και φυσικά τα Μαθηματικά επιτρέπουν μεγαλύτερη ελευθερία έκφρασης από την ποίηση, την τέχνη ή μουσική (τα οποία εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τις ιδιότητες του φυσικού σύμπαντος).

Τα Μαθηματικά είναι η πιο αγνή των τεχνών, καθώς και η πιο παρεξηγημένη. Έτσι, επιτρέψτε μου να προσπαθήσω να εξηγήσω τι είναι τα μαθηματικά, και αυτό που οι μαθηματικοί κάνουν.

Δεν μπορώ να σκεφτώ καλύτερο τρόπο από το να αρχίσω με τα λόγια του G.H. Hardy²:

ένας μαθηματικός, όπως ένας ζωγράφος ή ποιητής,
είναι μια εταιρεία κατασκευής μοντέλων.
Εάν τα πρότυπα του είναι πιο μόνιμα από τα δικά τους,
είναι επειδή είναι κατασκευασμένα με τις ιδέες.

Έτσι, οι μαθηματικοί κάθονται γύρω από τους τρόπους λήψης των ιδεών. Τι είδους πρότυπα ; Τι είδους ιδέες; Ιδέες για τους ρινόκερους; Όχι, αυτές τις αφήνουν στους βιολόγους. Ιδέες για τη γλώσσα και τον πολιτισμό ; Όχι, δεν είναι συνήθως. Αυτά τα πράγματα είναι όλα πάρα πολύ περίπλοκα για τα γούστα των περισσότερων Μαθηματικών».

Αν υπάρχει κάτι σαν μια ενωτική αισθητική αρχή στα Μαθηματικά, είναι αυτό : το απλό είναι όμορφο. Στους Μαθηματικούς μας αρέσει να σκεφτόμαστε τα απλούστερα δυνατά πράγματα, και τα απλούστερα δυνατά πράγματα είναι τα φανταστικά.

Βρείτε το άρθρο και στο Η πιο αγνή των τεχνών ή ... Μαθηματικά

Επιμέλεια – Παρουσίαση - Μετάφραση θέματος : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου
---------------------------------------------------------------------------
¹ Το άρθρο αυτό είναι γραμμένο στα Αγγλικά. Η μετάφραση και η επιλογή του αποσπάσματος ανήκει σε μένα. Η Ελληνική εκδοχή αυτού είναι : «Ο θρήνος ενός Μαθηματικού».
² Godfrey Harold Hardy, (7 Φεβρουαρίου 1877 – 1 Δεκεμβρίου 1947), σημαντικός Άγγλος μαθηματικός, γνωστός για την συμβολή του στην θεωρία αριθμών και την μαθηματική ανάλυση. Στο ευρύ κοινό είναι κυρίως γνωστός για το δοκίμιο του "Η Απολογία ενός Μαθηματικού", μία από τις πιο προσβάσιμες αναλύσεις όσον αφορά τον τρόπο σκέψης ενός μαθηματικού.
Από τις αρχές του 1914 υπήρξε ο πνευματικός πατέρας του Iνδού μαθηματικού Σρινιβάσα Ραμανούτζαν, την ξεχωριστή διάνοια που αναγνώρισε σχεδόν αμέσως. Στα πλαίσια μιας συνέντευξης που παραχώρησε στον Πολ Έρντος, στην ερώτηση ποια ήταν η μεγαλύτερη του συνεισφορά στα μαθηματικά, ο Hardy απάντησε "η ανακάλυψη του Ραμανούτζαν".

Πως αντιλαμβανόμαστε το ωραίο..

noreply@blogger.com (ThanosGi) — Fri, 30 Aug 2013 14:23:00 +0000

Παρασκευή 12/1/2007, 7:51 π.μ. Ουάσινγκτον,

Στάση Μετρό L’Enfant Plaza,
ένας κύριος στέκεται κοντά στην είσοδο
και αρχίζει να ερμηνεύει με το βιολί του
κλασικά κομμάτια των Μπαχ και Σούμπερτ.

Έπαιξε για περίπου 45 λεπτά. Δεδομένου ότι ήταν ώρα αιχμής, πέρασαν από μπροστά του αρκετές χιλιάδες άνθρωποι, οι περισσότεροι πηγαίνοντας στη δουλειά τους. Τρία λεπτά μετά την έναρξη της μουσικής, ένας μεσήλικος κύριος παρατήρησε ότι υπήρχε ένας μουσικός που έπαιζε βιολί, τον κοίταξε για λίγα δευτερόλεπτα και συνέχισε το βιαστικό του βηματισμό.

Ένα λεπτό αργότερα, ο βιολιστής εισέπραξε το πρώτο του δολάριο, από μια κυρία που το πέταξε στο καπέλο του καθώς περνούσε από μπροστά του χωρίς να σταματήσει καθόλου. Λίγο αργότερα, κάποιος ακούμπησε στον τοίχο και τον άκουσε για λίγο, αλλά μετά κοίταξε το ρολόι του και έφυγε βιαστικός.

Πιο πολύ από όλους τους περαστικούς, ασχολήθηκε μαζί του ένα τρίχρονο αγόρι που ήθελε να σταματήσει για να ακούσει, αλλά η μητέρα του τον τράβηξε για να συνεχίσουν τη διαδρομή τους. Το παιδί κοιτούσε συνεχώς προς τα πίσω καθώς απομακρυνόταν. Το ίδιο επαναλήφθηκε και με άλλα παιδιά και τους γονείς τους, οι οποίοι – χωρίς καμία εξαίρεση – τα τράβαγαν για να συνεχίσουν το δρόμο τους. Στα 45 λεπτά μουσικής, συνολικά σταμάτησαν για να ακούσουν – έστω και για λίγο – μόνο 6 άνθρωποι.

Περίπου 20 άνθρωποι έριξαν χρήματα στο καπέλο καθώς συνέχιζαν να περπατούν, χωρίς να ελαττώσουν την ταχύτητα του βηματισμού τους. Η συνολική είσπραξη ήταν 32 δολάρια. Όταν η μουσική σταμάτησε και υπήρξε σιωπή, κανείς δεν το πρόσεξε. Κανείς δε χειροκρότησε, ούτε υπήρξε κανενός άλλου είδους αναγνώριση.

Αυτό που δεν ήξερε κανείς ήταν ότι ο συγκεκριμένος βιολιστής ήταν ο Joshua Bell, ένας από τους καλύτερους μουσικούς του κόσμου, και έπαιζε με ένα βιολί Stradivarius αξίας 3,5 εκατομμυρίων δολαρίων, κατασκευασμένο από τον ίδιο τον Antonio Stradivari το 1713. Δύο ημέρες νωρίτερα, ο Joshua Bell έπαιξε σε ένα κατάμεστο θέατρο της Βοστώνης και η τιμή ενός μέσου εισιτηρίου ήταν 100 δολάρια. Ο Bell αμοίβεται με περίπου 1000 δολάρια το λεπτό!

Το συγκεκριμένο πείραμα, δηλαδή το να παίξει ο Joshua Bell στο σταθμό του μετρό, οργανώθηκε από την εφημερίδα Washington Post, ως μέρος μιας κοινωνικής μελέτης περί του τι εκλαμβάνουμε ως σημαντικό, τι μας αρέσει, και σε τι δίνουμε προτεραιότητα.

Η γενική περιγραφή του πειράματος ήταν: « Σε ένα συνηθισμένο περιβάλλον, σε μια ακατάλληλη ώρα, αντιλαμβανόμαστε το ωραίο; Σταματάμε για να το ευχαριστηθούμε; Αναγνωρίζουμε το ταλέντο σε ένα μη-αναμενόμενο περιβάλλον;»

Το πείραμα απέφερε στη Washington Post ένα Pulitzer to 2007.