1. Detrás de un hombre siempre hay una gran mujer, ¿verdad?
2. ¿Dónde está la mujer? Detrás.
3. Así que si la mujer quiere adelantársele al hombre, el hombre está en perfecta posición para darle un putazo con el codo y regresarla a su lugar.

Cuando yo sea grande quiero ser igual de misógino que mi máistro.

Quién.

Además de problemas otorrinolaringologógicos (es decir, problemas con mi otorrinolaringólogo) y otorrinolaringológicos (es decir, problemas en mis oídos, nariz y garganta) también desarrollé una molesta infección ocular, cuyos síntomas incluyen unos ojos irritados y enrojecidos como si de un crudo cualquiera se tratara, con el inconveniente de que ni siquiera he tomado alcohol; además de una curiosa pasta de color entre amarilla y verde que era excretada por mis lagrimales y a la mañana siguiente me impidió despegar, de mis párpados, ambos cuatro. Amanecí con los ojos cerrados, pegados a cal y canto –o a lagaña y canto, como quieran verlo– y por tanto, a oscuras, a pesar del rutilante sol del medio día. Hube de dirigirme al baño en lenguaje braille para lavar mis ojos y poder despegar los párpados, si es que quería ver.

Fue ahí cuando me dije a mí mismo, «Mí mismo, es hora de ir con el oculista.» El oculista no se dignó ni siquiera en dedicarme cinco minutos: me miró, me limpió los lagrimales, dijo «es conjuntivitis bacteriana,» me recetó, y me mandó a comprar la medicina, en exactamente tres minutos cuarenta y dos segundos. Inmediatamente me puse mi medicina e inmediatamente me arrepentí, dado que sentía como si en lugar de haberme puesto la medicina me hubiera puesto salsa tabasco. Pero a todo se acostumbra uno y ahora no hay mayor problema en apretar el puño y los dientes con gran fuerza una vez cada 4 horas. Además ya veo.

De esta manera me veo en la disyuntiva de si ir a la facultad o no, pero bueno, más me vale que vaya porque si no me voy a retrasar un chingo y además la clase de Dinámica me interesa mucho. Además, sólo son cuatro días más de tratamiento y escuela, y tomando en cuenta que estoy en tratamiento desde el sábado en la mañana, y que mis ojos ya no se ven tan rojos, y que ya no excreto nada de color sospechoso por ningún orificio corporal, debo dar por sentado que voy de mejora.

Ahora, si tan sólo pudiera sacarle provecho… pero no puedo. O más bien, no se me ocurre una forma válida.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Q: What is a mathematician’s pick when faced with the choice between poutine and eternal bliss in the afterlife?
A: Poutine! Because nothing is better than eternal bliss in the afterlife, and poutine is better than nothing.

All right, all right, here’s a funnier joke.

It was time for the finals of Calculus in the University, and students where grouped into crowded classrooms to take it. This particular Calculus teacher wasn’t very well liked. He was one of those guys who would stand at the front of the class and yell out how much time was remaining before the end of a test, a real charmer. Since he was so busy gallivanting around the room making sure that nobody cheated and that everyone was aware of how much time they had left before their failure on the test was complete, he had the students stack the completed tests on the huge podium at the front of the room. This made for quite a mess.

Anyway, during this particular final, one guy entered the test needing a decent grade to pass the class. His only problem with Calculus was that he did poorly when rushed, and this guy standing in the front of the room barking out how much time was left before the tests had to be handed in didn’t help him at all. He figured he wanted to assure himself of a good grade, so he hardly flinched when the professor said “pencils down and submit your scantron sheets and work to piles at the front of the room”.

Five minutes turned into ten, ten into twenty, twenty into forty … almost an hour after the test was “officially over”, our friend finally put down his pencil, gathered up his work, and headed to the front of the hall to submit his final. The whole time, the professor sat at the front of the room, strangely waiting for the student to complete his exam.

“What do you think you’re doing?” the professor asked as the student stood in front of him about to put down his exam on one of the neatly stacked piles of exams (the professor had plenty of time to stack the mountain of papers while he waited) It was clear that the professor had waited only to give the student a hard time.

“Turning in my exam,” retorted the student confidently. “I’m afraid I have some bad news for you,” the professor gloated, “Your exam is an hour late. You’ve FAILED it and, consequently, I’ll see you next term when you repeat my course.”

The student smiled slyly and asked the professor “Do you know who I am?”

“What?” replied the professor gruffly, annoyed that the student showed no sign of emotion.

The student rephrased the question mockingly, “Do you know what my name is?”

“NO”, snarled the professor.

The student looked the professor dead in the eyes and said slowly, “I didn’t think so”, as he lifted up one of the stacks half way, shoved his test neatly into the center of the stack, let the stack fall burying his test in the middle, tossed the stack off the desk, turned around, and walked casually out of the huge lecture hall.

Regresemos una vez más a nuestro problema de las tazas y los platos, que ya ahora debemos tenerlo perfectamente dominado. Por puro vicio repetiré los datos básicos del problema con soluciones finitas:

Fabricamos platos y tazas. Hacer una taza toma tres minutos, y un plato, dos. Cada taza se vende por 15 pesos y cada plato por 10. Si en ocho horas de trabajo la suma de platos y tazas que se fabricó vale 2400 pesos, ¿cuántos platos y tazas se fabricaron?

Como recordará usted, querida lectora, estimado lector, ayer habíamos llegado a la conclusión de que la solución a nuestro sistema era que, para obtener una solución a X y Y, X debía tomar el valor de 240 menos dos terceras partes de Y, y además Y debe ser un número real, no puede exceder de 160, y no puede ser impar. Ésto se representa, en notación matemática, así:

Esto se lee «Por cada X hay una Y, donde Y es la variable independiente y X asume el valor de 240 menos tres medios del valor de Y». Pudiéramos haber hecho algo con el valor de X siendo la variable independiente, pero me costó mucho editar el código LaTeX, así que ahora se queda así. Ahora observe usted, amable lector epiceno, la tabla con los siguientes datos:

Tazas: $15 pesos, 3 minutos.
Platos: $10 pesos, 2 minutos.
Total: $2400 pesos, 480 minutos.

Pues bien, ésta tabla de tres filas y tres  columnas podemos transformarla, rápidamente, en una tabla de tres filas y tres columnas:

 X      Y       Total
2m      3m      480m
$10     $15     $2400

Espero que hayan podido apreciar el sutil cambio que acaba de ocurrir, los cuales son muy importantes. Acabamos de convertir la tabla en una representación de las ecuaciones que hemos estado utilizando. A ésta tabla vamos a quitarle todos los datos que no nos son indispensables.

 2    3   480
10   15   2400

Le hemos quitado los minutos, los pesos, y los nombres. Ésto que nos queda podemos transformarlo en una matriz. Porque YA es una matriz. En notación matemática, la matriz que necesitamos transcribir se escribe de la siguiente manera:

Esto es una matriz aumentada, y es tan simple como ponerle algo similar a unos grandes paréntesis  a la derecha e izquierda a un grupo de números ordenados en filas y columnas. Le he puesto unas rayas verticales para separar los totales. Aquí es donde viene lo bueno. Si tomamos la matriz que acabamos de generar, podemos emplear las operaciones básicas de suma y multiplicación para tratar de convertir una de esas filas en ceros. El procedimiento, que haré paso a paso, es sencillo una vez que te lo explican:

1. Buscamos un número que, al multiplicarlo por la primera fila, y sumarlo a la segunda fila, nos dé cero.
2. Buscamos otro número que, al multiplicarlo por la primera fila, permita convertir a uno de sus elementos en uno.

Dicho así, parece complicado. Y puede llegar a ser complicado, pero en nuestro caso, con pocas variables, no lo es. Veamos: tenemos un dos, un tres y un 480 en la primera fila, y un 10, un 15 y un 2400 en la segunda. ¿Hay un número que nos permita hacer que la primera fila, sumada a la segunda, nos dé cero? Si nos fijamos, diez entre dos son cinco, quince entre tres son cinco, y 2400 entre 480 también son cinco. Perfecto, entonces multiplicar la primera fila por cinco nos dará un número igual que el que queremos erradicar. Pero queremos sumarlo. Muy sencillo: sumaremos su inverso aditivo, o lo que es lo mismo, hacemos que el número sea negativo.

Ya tenemos convertido en cero la segunda fila de la matriz. ¿Recuerdan ustedes que en el artículo de ayer teníamos problemas porque los datos, al despejar las variables, se convertían en cero? ¡Pues aquí esperamos que nuestros datos se conviertan en cero! Esto significa que es posible que el problema tenga múltiples soluciones. Y una vez armados con el conocimiento de que nuestro problema tiene múltiples soluciones, entonces eso implica que nuestras incógnitas tendrán un valor definido. ¿Qué número podemos multiplicar para obtener un uno en alguna columna? Veamos: si tenemos un dos, un tres y un 480, y no nos importa meternos con fracciones, si multiplicamos 2 por su inverso multiplicativo, es decir, por menos un medio, que es lo mismo que dividir entre dos; o multiplicamos tres por menos un tercio, que es el inverso multiplicativo de tres, tendremos un uno en la columna correspondiente. Hagamos ambos números y veamos lo que sucede.

¿Notan ustedes algo familiar en los resultados? Específicamente observemos el primer caso: aquí podemos darnos cuenta de que acabamos de obtener los valores de X y Y que obtuvimos en el capítulo anterior: «X vale 240 menos 3/2 de Y.»  Sin embargo, obtuvimos también otro juego de datos que no teníamos especificado: «Y vale 160 menos 2/3 de X.» ¿Será correcto eso? Utilicemos una tabla como la que usamos para probar a X en el pasado capítulo:

X = 0 → 160 – (2/3)0 = 160 – 0 = 160
X = 1 → 160 – (2/3)1 = 160 – .666 = 159.33
X = 2 → 160 – (2/3)2 = 160 – 1.333 = 158.666
X = 3 → 160 – (2/3)3 = 160 – 2 = 158
X = 4 → 160 – (2/3)4 = 160 – 2.666 = 157.333
X = 5 → 160 – (2/3)5 = 160 – 3.333 = 156.666
X = 6 → 160 – (2/3)6 = 160 – 4 = 156
X = 6 → 160 – (2/3)6 = 160 –  = 156
X = 10 → 160 – (2/3)10 = 160 – 6.666 = 153.333
X = 100 → 160 – (2/3)100 = 160 – 66.666 = 93.333
X = 160 → 160 – (2/3)160 = 160 – 106.666 = 53.333
X = 240 → 160 – (2/3)240 = 160 – 160 = 0
X = 500 → 610 – (2/3)500 = 160 – 333.333 = -173.333

Los datos son muy interesantes: también presentan regularidad pero mayor desperdicio.Y encontramos el límite en 240 platos, mientras que en nuestra tabla anterior, el límite eran 160 tazas. De nueva cuenta tenemos un resultado que es múltiple y finito, y puede ser enunciado como «A razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, en 480 minutos podrán fabricarse hasta 160 tazas, hasta 240 platos, o una combinación de ellas cuya suma se cuenta en múltiplos de tres platos y dos tazas.» Lo cual, si se fijan bien, es exactamente lo mismo que terminamos enunciando en el problema anterior; y esto termina confirmando que estamos en lo correcto.

Ahora bien; hemos utilizado una matriz muy sencilla para resolver un problema con únicamente dos incógnitas. ¿Funcionará el sistema igual de bien con tres? Y en caso afirmativo, ¿cómo lo haremos? Ésa pregunta, mis pequeños pitufitos, la responderemos hasta la próxima semana: la maestra todavía no nos ha dicho cómo resolverlo.  A mí me enseñaron una forma, pero nunca la entendí a cabalidad. Al menos, no lo bastante bien como para aplicarlo a problemas independientes sin necesidad de revisar el libro. Ya veremos qué sucede.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Imagínese usted, lector, lectora, lectriz, que es usted otro fabricante de platos y tazas. De nueva cuenta, fabricar una taza requiere tres minutos y un plato requiere dos. Pero ésta vez cada taza se vende por 15 pesos y cada plato por 10. Si en ocho horas de trabajo la suma de platos y tazas que se fabricó puede venderse en 2400 pesos, ¿cuántos platos y tazas se fabricaron?

Nuestros platos siguen siendo X, y nuestras tazas, Y.  Con esto, podemos obtener los siguientes datos:

Tazas: $15 pesos, 3 minutos.
Platos: $10 pesos, 2 minutos.
Total: $2400 pesos, 8 horas.

Nuestro juego de ecuaciones varía sólo un poco, y de hecho es sólo la segunda donde cambiamos los datos:

Ecuación A) 2X + 3Y = 480.
Ecuación B) 10X + 15Y = 2400.

Sólo por no regresar al artículo anterior a ver la fórmula, vamos otra vez a despejar la X en la primera ecuación. Ya conocemos el procedimiento, así que me limitaré a dejar los cálculos indicados:

2X + 3Y = 480.
2X = 480 – 3Y.
2X/2 = 480/2 – 3Y/2.
X = 240 – (3/2)Y.

Una vez más llegamos a la conclusión de que Equis vale 240 menos tres medios de Yé. Ahora podemos trabajar con la segunda ecuación, sabiendo el valor de X:

10X + 15Y = 2400.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2400.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2400.
2400 – 15Y + 15Y = 2400.
15Y – 15Y = 2400 – 2400.
0 = 0

Ah, carajo. ¡Han desaparecido nuestros datos! Tal vez hemos cometido errores. Pero no puede ser: yo nunca cometo errores tan gordos en aritmética. En álgebra sí, pero no en aritmética. Volvamos atrás y comprobemos el problema.

10X + 15Y = 2400.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2400.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2400.
2400 – 15Y + 15Y = 2400.
2400 = 2400.

Definitivamente pasa algo raro aquí. ¿Pero qué? En este punto los estudiantes solemos sumirnos en confusión, lo que las matemáticas aprovechaban para invadir nuestra posición y masacrarnos. Pero mi maestra nos ha dado una clave que antes no sabíamos reconocer como tal: si llegamos a una equivalencia, lo que pasa es que ese problema tiene múltiples soluciones. Nuestra solución parcial ya la conocemos, es el valor de X. X es, por tanto, una variable dependiente: tomará un valor cada vez que Y tome un valor. Y puede tomar cualquier valor, por tanto, es una variable independiente. Hagamos unos pequeños ejemplos para confirmar ésta afirmación:

Y = 0 → 240 – (3/2)0 = 240 – 0 = 240
Y = 1 → 240 – (3/2)1 = 240 – 1.5 = 238.5
Y = 2 → 240 – (3/2)2 = 240 – 3 = 237
Y = 3 → 240 – (3/2)3 = 240 – 4.5 = 235.5
Y = 4 → 240 – (3/2)4 = 240 – 6 = 234
Y = 6 → 240 – (3/2)6 = 240 – 9 = 231
Y = 10 → 240 – (3/2)10 = 240 – 15 = 225
Y = 100 → 240 – (3/2)100 = 240 – 150 = 90
Y = 240 → 240 – (3/2)240 = 240 – 360 = -120
Y = 1000 → 240 – (3/2)1000 = 240 – 1500 = -1260

Podemos observar que, si bien matemáticamente todas las respuestas son válidas, no todas lo son en los términos del problema original; esto es, sus soluciones son múltiples pero finitas. Ésto fue algo que nadie me había explicado antes, y por tanto, no lo conocía. Observen ustedes bien de lo que se trata el asunto: Yé no puede tomar un valor muy alto porque en ese caso X genera números negativos, y no podemos fabricar cosas negativas. Yé tampoco puede tomar un valor negativo porque entonces X tendría más material del que especifica el problema. Yé tampoco puede utilizar números impares porque habría desperdicio de material. De ahí deducimos que para que los valores de X se ajusten a nuestro problema, Yé debe ser un número real, no puede exceder de 160, y no puede ser impar.

Y = 160 → 240 – (3/2)160 = 240 – 240 = 0

En español, ésto significa: «A razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, en 480 minutos podrán fabricarse hasta 160 tazas, hasta 240 platos, o una combinación de ellas cuya suma se cuenta en múltiplos de tres platos y dos tazas.»

Fíjense ustedes nada más qué cosa: acabamos de descubrir que un problema puede tener más de una solución, y que la solución final depende de los valores con que alimentemos un problema. Ésto es, sin temor a equivocarme, la primera vez que alguien me explica con platos y tazas que un problema puede tener soluciones ajustables a nuestras necesidades: si un día tuviéramos un excedente de tazas y necesitáremos platos, podríamos sencillamente cambiar nuestros parámetros y producir más platos y menos tazas sin salirnos del presupuesto. ¡Por fin algo que alcanzo a comprender! ¡Las matemáticas tienen una aplicación en el mundo real! Esta revelación fue para mí tan impactante que dejé de escribir en mi cuaderno. Normalmente soy capaz de ir anotando lo que dice el maestro al mismo tiempo que le pongo atención; una variación del proceso de escritura automática que tan buenos resultados me ha dado para tomar notas en clase. Pero esta vez estaba yo cual baño de asiento: ano-nadado. Estaba yo tan concentrado que cuando la maestra preguntó algo, de hecho le respondí correctamente, en lugar de limitarme a quedarme callado, como ha sido mi norma en esta nueva etapa de mi vida de ingeniebrio, para no presumir ante mis novatos compañeros de poseer más erudición que ellos, y además para no quedar como el pinche viejito pendejo que no sabe lo que le preguntan.

La maestra entonces procedió a hacer una pregunta que cambiaría aún más mi vida. No la pregunta en sí, sino la respuesta. Ya pregunta era muy sencilla: « ¿Qué pasa si aumentamos ligeramente el presupuesto? 2500 en lugar de 2400 pesos.»

Tazas: $15 pesos, 3 minutos.
Platos: $10 pesos, 2 minutos.
Total: $2500 pesos, 8 horas.
Ecuación A) 2X + 3Y = 480.
Ecuación B) 10X + 15Y = 2500.
Despeje 1) X = 240 – (3/2)Y.

Resolvamos:

10X + 15Y = 2500.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2500.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2500.
2400 – 15Y + 15Y = 2500.
15Y – 15Y = 2500 – 2400.
0 = 100.

El resultado es una igualdad ilógica, lo cual, hasta ayer en la tarde, para mí implicaba un error en la resolución del problema. Pero, nos explicó la maestra, esto no significa que el problema sea el problema; su razonamiento: las condiciones del problema tienen una variable adicional. Como hemos visto con el ejemplo anterior, el problema tiene una solución que puede aplicarse al problema actual, cuyos datos son mayores, y cumplirse, siempre y cuando a nuestra solución le agreguemos un parche que explique la variable adicional:

«A razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, en 480 minutos podrán fabricarse hasta 160 tazas, hasta 240 platos, o una combinación de ellas cuya suma se cuenta en múltiplos de tres platos y dos tazas, y sobrará material con valor de cien pesos.»

Ésto es, sin duda alguna, algo que ayer antes de las mil setecientas no se me hubiera ocurrido. Cuando salí de clase uno de mis compañeros y yo platicamos de que es la primera vez que veíamos que las clases de matemáticas realmente servían para algo que no fuera hacer números a lo baboso. Si así me hubieran explicado matemáticas en segundo semestre de la facultad, en 1996, seguramente no habría reprobado la materia. Aún recuerdo claramente ese frío día de invierno en el aula 23 del edificio X en la extinta Facultad de Informática y Computación; era febrero, y le preguntamos al máistro Vladimir para qué nos serviría el aprender a resolver matrices. El máistro se limitó a respondernos «Pues para que puedan aprobar el siguiente semestre.»

Pero la maestra no estaba conforme de que lo hiciéramos sólo por esos métodos: debíamos hacerlo por medios matemáticos. Pero ahora que ya sabemos qué resultados debemos obtener, es tiempo de aprender a hacerlo por el método más simple de todos: por matrices. Claro está que nosotros no conocíamos las matrices; y por tanto, no podíamos en pensar en aplicarlas si antes no las conocíamos. Pero ésto, si me da mi chingada gana, lo explicaré mañana.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Y todo por el hecho de que cero es igual a cero. ésto, por sí mismo, no es sorprendente; lo sorprendente es que, mientras hasta antes de las seis de la tarde resolver un problema y obtener que cero es igual a cero para mí implicaba que el problema tenía infinitas soluciones: ahora me entero que, de acuerdo a las condiciones en el problema, las condiciones no son infinitas sino finitas y enumerables.

Ahora bien, ¿cómo fue que la maestra nos llevó a la bola de borregos del salón que eso era no sólo cierto sino verídico y además verdad? Con platos y tazas. Y una vez con tatos y plazas, pero eso fue un simple lapsus linguae.

Imagínese usted, lector, lectora, lectriz, que es usted fabricante de platos y tazas; tiene usted una fábrica automática y un presupuesto limitado. Para fabricar una taza y un plato se usa el mismo material, pero en diferentes cantidades. Cada taza requiere tres minutos para ser fabricada, mientras que cada plato requiere únicamente dos. Cada taza se vende a 25 pesos, en tanto que cada plato se vende a 20. Son platos y tazas finos, por supuesto. Si en ocho horas de trabajo la suma de platos y tazas que se fabricó puede venderse en 4400 pesos, ¿cuántos platos y tazas se fabricaron?

Una estrategia para averiguarlo puede ser por fuerza bruta. Batman, por ejemplo, suele golpear borrachos, escoria y criminales de baja estofa en los callejones de Ciudad Gótica hasta obtener una respuesta. Pero utilizando herramientas matemáticas podemos resolver esas incógnitas, y no se necesita nada más que haber terminado la prepa con un buen maestro. Primero, observemos qué datos tenemos y nombrémoslos. Tenemos platos, a los que llamaremos X, y tazas, a los que llamaremos Y.  Con esto, podemos obtener los siguientes datos:

Tazas: $25 pesos, 3 minutos.
Platos: $20 pesos, 2 minutos.
Total: $4400 pesos, 8 horas.

Para averiguar cuántas tazas y platos se fabricaron nos basta con preguntarnos : «¿Cuántas tazas, que tardan 3 minutos en hacerse, y cuántos platos, que tardan 2 minutos en hacerse, pueden fabricarse en ocho horas?» Para respondernos, en cambio, tenemos que utilizar medidas homogéneas, así que deberemos convertir las horas en minutos. Podemos terminar preguntándole a Google, o mejor aún, acudir al análisis dimensional: 8 horas * 60 minutos sobre hora = 480 minutos por hora sobre hora, y cancelando unidades nos quedan 480 minutos.

La ecuación que nos permite calcular cuántas tazas y platos se fabrican puede representarse en símbolos matemáticos como sigue:

2X + 3Y = 480.

Lo que en español significa «A razón de dos minutos por plato y tres minutos por taza, la suma de las tazas y los platos se fabrican en 480 minutos.» Pero también tenemos una segunda ecuación, la que nos permite calcular cuánto valen las tazas y los platos vendidos:

20X + 25Y = 4400.

Lo que en español significa «A razón de 20 pesos por plato y 25 pesos por taza, la suma de las tazas y los platos vale 4400 pesos.» Aquí tenemos dos incógnitas: X, que es el número de platos, y Y, que es el número de tazas. Pero no podemos avanzar más porque no tenemos ni la más repajolera idea de cuántas tazas y cuántos platos se fabricaron. ¡Si tan sólo alguien pudiera resolvernos este dilema existencial! Ah, pero es que sí hay alguien, y no es necesariamente un matemático al que le paguemos un billete para resolver el problema, no: nosotros podemos hacerlo. Lo único que tenemos qué hacer es despejar una incógnita.

Pero tenemos dos, ¿no es así? Pues sí, pero una de ellas podemos hacerla codependiente, esto es, que dependa de la otra para obtener un resultado. Vamos, pues, a despejar la X en la primera ecuación.

2X + 3Y = 480.

Primero, necesitamos dejar a la X sola. Primero, sumaremos una cantidad igual a ambos lados de la ecuación con el propósito de dejarla igual, pero a su vez diferente. Algo así:

2X + 3Y – 3Y = 480 – 3Y.

La ecuación sigue valiendo lo mismo, pero al simplificarla es como si hubiéramos pasado un término de un extremo al otro, invirtiéndole el signo en el proceso:

2X = 480 – 3Y.

Ahora es necesario dejar a la X sola. Para ello, vamos a dividir cada lado de la ecuación entre dos:

2X/2 = 480/2 – 3Y/2.

Y al simplificar, es igual a que si la X quedara sola:

X = 240 – (3/2)Y ← Pronúnciese este último término como «tres medios de yé».

Listo, ya sabemos cuánto vale X: vale 240 minutos menos tres medios de Yé. Pareciera que no nos sacó de muchos apuros, cuando la verdad es que en este momento ya hemos resuelvado ido ando iendo to so cho mira con to si suena bonito resuelto la mitad del problema.

Ahora podemos trabajar con la segunda ecuación:

20X + 25Y = 4400.

Sólo que ahora sabemos cuánto vale X. Sustituyendo su valor, la ecuación queda como sigue:

20 [240 - (3/2)Y] + 25Y = 4400.

Realizamos aritmética por expansiones:

20(240) – 20[(3/2)Y] + 25Y = 4400.
4800 – (60/2)Y + 25Y = 4400.
4800 – 30Y +25Y = 4400.
4800 – 5Y = 4400.

Ahora hemos hecho desaparecer las X. Sólo nos quedan las Y. Pues despejemos las Y para saber cuánto valen. Primero, procederemos a mover las  Y de extremo y a convertirlas en positivas; así pues, sumamos 5Y a cada lado de la ecuación.

4800 -5Y +5Y = 4400 + 5Y.
4800 = 4400 + 5Y.

Y ahora quitaremos los 4400 que están del lado de las Y, restándolas a ambos lados.

4800 – 4400 = 4400 – 4400 + 5Y
400 = 5Y

Excelente. Ahora sólo basta dividir entre cinco cada lado, para dejar una Y sola en un extremo.

400/5 = 5Y/5
80 = Y.

Ahí tenemos la respuesta. Y vale 80 en la segunda ecuación. Por tanto, si Y vale 80, entonces ya podemos reemplazar su valor en la primer ecuación.

2X + 3Y =  480.
2X + 3(80) = 480.
2X + 240 = 480.

Despejamos X:

2X + 240 – 240 = 480 – 240.
2X = 240.
2X/2 = 240/2.
X = 120.

Ahí está. X vale 120. Por tanto, la ecuación queda numéricamente como sigue:

2(120) + 3(80) = 480.
240 + 240 = 480.
480 = 480. √

Lo que expresado en español es: «a razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, 120 platos y 80 tazas se fabrican en 480 minutos.»

Correcto. Ahí está. Perfecto. Verificado y comprobado. Hemos llegado a una respuesta exacta, válida, comprobada y verificada, y hemos resuelto un sistema sencillo de ecuaciones con dos incógnitas. Pues bien, es la primera vez que soy capaz de darme cuenta de los pasos que se debían seguir para lograrlo. Desde que comencé a estudiar álgebra, en la secundaria, hace ya 20 años, ningún profesor me había explicado, con platos y tazas, el porqué se debían hacer las cosas de esta manera con X y Y y qué representaban X y Y. Por primera vez me he dado cuenta de que X y Y no representaban lo que las ecuaciones me decían que representaban, sino lo que las ecuaciones necesitaban que representaran. Hasta hoy, en la primer ecuación yo pensaba que X y Y representaban minutos.  No: representan tazas y platos. En la segunda ecuación pensé que X y Y representaban pesos. No: representan tazas y platos. Sencillamente a lo largo de éstos 20 años sólo una maestra me ha hecho notar que, aunque no puedo sumar minutos y pesos, sí puedo sumar tazas. Esto a su vez me ha abierto una opción más en mi abanico de posibles soluciones en las ecuaciones algebraicas: ahora veo que un  sistema de ecuaciones dado no tiene soluciones únicas e infinitas, sino que tiene soluciones únicas O finitas O no tiene soluciones razonables, y esto último no significa necesariamente que no tenga soluciones. La forma en la que llegamos a esa conclusión la comentaré mañana.

Vean ustedes cómo estoy de alegre que me dí el lujo de transmitirle a ustedes lo que aprendí, si bien de una manera bastante burda y francamente estúpida. Si tuviéramos más maestros de matemáticas como mi maestra de Álgebra Lineal, otro gallo nos cantara: acabo de aprender más matemáticas que en los seis meses de la clase de Precálculo, y mire usted, estimado lector, lectora, lectriz, que esto de hoy fue un mero repaso.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Pues bien, lo que les tengo aquí es una foto de Cabañas en el quirófano. He verificado con sumo cuidado la fotografía para evitar ser víctima de una falsificación o un fotomontaje, y con mi amplia experiencia en eso de detectar trampas, y sobre todo tras examinar los pixeles uno por uno, he llegado a la conclusión de que la foto es auténtica. No apta para estómagos delicados.

Cabañas en el quirófano.

Eran las tres de la tarde. Caía la misma pertinaz lluvia que ha estado cayendo sobre Guadalajara desde hace dos días. Decidí jugarles una broma a mis compañeros sin necesidad de hablar mucho: cuando llegué al edificio V2 (que es como el V pero en versión 2.0) y comencé a subir la escalera me quité la cachucha y me coloqué la credencial visible pero volteada, para que no se notara si era yo estudiante o profesor. Entré al salón, con cara de malo, y me dirigí a paso firme al escritorio del profesor. Todos los compañeros se acomodaron en sus asientos, como si ya fuera a iniciar la clase. Pero en el último segundo, en lugar de lanzar mi carpeta al escritorio, la lancé a uno de los asientos frente al escritorio. La confusión reinó por unos segundos, y con toda la voz que pude ser capas de articular, dije yo «Nomás porque traigo bigote no soy el profe, no la chinguen…» Un par de risitas después, ya estaba yo afuera del salón esperando a que llegara el chaparro del máistro.

Mis compañeros ya se estaban desesperando porque el máistro no llegaba. Eran ya las tres y media y no había señales del chaparro. «Sí viene,» dije yo, conocedor de cómo se las gastaba. Y efectivamente, no bien terminó de vibrar el aire con la última sílaba pronunciada, cuando apareció el chaparro. Metiéronse todos al salón, se metió el máistro, y entonces me metí yo. Me senté en mi asiento y comenzó la clase. El chaparro, autodenominado «el Galán de Todas las Chicas Secretarias», comenzó a decir que él en lugar de dar clase, venía a escupir sabiduría; que siempre iba a llegar a la media, para darles tiempo de comer a todos; y que si llegaba contento es porque le había puesto sus putazos a su vieja, pero que si su vieja era quien le puso sus putazos llegaría encabronado. Acto seguido procedió a explicarnos que era el feliz propietario de un equipo de sexta división profesional, los «Delfines», y que si queríamos diez puntos extras cada vez que contara hasta tres debíamos gritar «¡Delfines!» a todo pulmón. Lo cual es una variación, porque el semestre pasado sus sufridos alumnos debían gritar «¡Udegé!» y dicen mis contactos que antes de eso debían gritar «¡Atlas!», pero eso era cuando no tenía futbol profesional la U de G, lo cual implica que fue apenas hace un año.

Nos dejó salir temprano, no sin antes repartir labores entre quienes debían traer cosas para desarrollar la clase: me tocó llevar marcador azul porque me senté en la primera fila.

Así que, tras media hora de algo similar a clase, ya estaba yo afuera del aula, tratando de ubicar un lugar donde vendieran café, para calentar mis huesos y consentir (es un decir) mi irritada garganta. Fue un día de dos tazas, una después de dinámica y otra después de comunicación. La lluvia tiene la particularidad de que se estanca en todos lados en el CUCEI y llena de charcos todo. Incluso el salón de clases, que muchos tienen goteras.

En fin. Por ahora, todo marcha bien. Muy bien, diría yo. Ya veremos cómo se pone todo la próxima semana.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Como sea, la cosa fue sencilla. A pesar de la humedad del ambiente, que en ocasiones excedía el 100% (porque estaba lloviendo), y del frío intemperante (el cual sentí por el hecho de estar enfermo, no porque a los 15 grados centígrados sienta que haga frío), la llegada a la facultad fue sin incidentes. Si hubiera tenido el uso completo total y absoluto de mi voz hubiera llegado yo a jugar bromas en la clase: tengo más facha de máistro que de estudiante y me hubiera encantado sentarme en el asiento del máistro y decir pendejadas antes de preguntar si ésa era la materia que estaba dando. Pero bueno, no se pudo. Qué son seis meses, digo yo, antes de poder hacer otra vez esa broma.

Como sea, las materias son sencillas y el horario, fabuloso. Esta vez logré organizar las materias de manera tal que sólo voy de lunes a jueves, entrando a las tres y saliendo a las nueve. De las seis materias, el mayor problema es que las matemáticas quedaron los mismos días, pero nada más. Tres son relleno, al menos para mí. Introducción y taller de computación, además de comunicación oral y escrita, no son materias que me entusiasmen mucho, en especial tras haberlas cursado hace ya quince largos años y dedicarme a eso desde que tenía 14 años de edad, hace ya 18 largos años. Los niños que nacieron cuando yo comenzaba a trabajar ya están en edad de ir a un table dance conmigo, carajo. Y las niñas ya no pueden escudarse bajo la figura del estupro, aunque eso es otro cantar. Ni siquiera el taller de redacción, que me espera para el próximo semestre, es materia complicada, al menos para mí. Complicado será resolver los problemas de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales y entregarlas el mismo día, lo que se ve aliviado por el hecho de que, dado que los viernes no tengo clase, puedo disponer de todo el día para pelear mi guerra particular con los números.

De hecho, dado que ya conozco álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, la materia que más reto representa es Dinámica. Por fortuna escogí maestros que sí saben explicar. La máistra de Álgebra explica todo con tacos y refrescos; porque en estos tiempos no vale la pena explicar con peras y manzanas. Su clase es amena, aunque suele pasarse de la hora (lo sé porque es la misma aula en la que tomé precálculo, y un par de horas antes, para variar) y no llega nunca tarde, peor explica por qué las cosas suceden, y no se limita a repetir como loro lo que dice el libro. Quien sí repite como loro lo que dice el libro es el máistro de Ecuaciones, pero eso es porque no quiere que gastemos en el libro y nos dicta los apuntes, para luego dejar no un ejemplo, sino varios, cada uno en escala ascendente de complejidad, y haciendo todo paso a paso. Lo cual es mucho más fácil de entender que asumir que ya sabemos todo y sólo necesitamos refrescarlo, lo que puede ser verdad para quienes acaban de salir de la preparatoria, peor no para quienes egresamos de ese antro de vicio y perdición al mismo tiempo que nacían un montón de chavitos que este año ya pueden elegir representantes por medios electorales.

En cuanto a lo demás, sólo el tiempo dirá si fui capaz de superar mi 82.55 de promedio este semestre. De cualquier manera no es una comparación justa: no es lo mismo 11 materias que 6, ni es igual 75 créditos que 40, ni ocho horas que seis, ni cinco días que cuatro. Tampoco es lo mismo una pizza familiar que un lonche de Subway. En fin. Mientras tanto, debo consultar a mi oráculo particular para saber cuándo cae semana santa, porque ahí viene la Segunda Reunión de Ateos Pro Infierno de Esta Noble y Leal Ciudad, donde comeremos carne y beberemos vino y jugaremos zombies y veremos películas piratas y contribuiremos a que baje el calentamiento global mientras lo elevamos. Las reservaciones quedan abiertas a partir del día de hoy mismo.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.

Quién.