PROFª CRIS MENDES

Introdução aos números racionais e irracionais

2021-03-17T21:33:00.002-07:00

Introdução à notação científica

2021-03-17T21:30:00.002-07:00

Introdução aos números negativos

2021-03-17T21:28:00.003-07:00

História dos números

2021-03-17T21:26:00.002-07:00

ADA LOVELACE

2021-03-17T21:20:00.003-07:00

Ordenando números negativos

2021-03-17T14:10:00.001-07:00

Introdução aos números negativos

2021-03-17T14:02:00.002-07:00

Circunferência e seus elementos no GeoGebra

2021-03-16T20:50:00.006-07:00

Participando da classroom – GeoGebra

2021-03-16T20:48:00.004-07:00

Cadastro Geogebra

2021-03-16T20:47:00.002-07:00

PROJETO KHAN ACADEMY

2015-03-15T13:01:00.001-07:00

ALUNO DETAQUE JUN/2016

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

2014-09-22T16:45:00.002-07:00

Ângulos

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC sãocomplementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Complemento
x	90º - x

Exemplo:

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

2014-09-21T11:06:00.001-07:00

FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Frações algébricas são quocientes de divisões de duas expressões algébricas

Exemplos

a) x/5y
b) (x+y) / (a – 1)
c) ( x – 1) / ( y + 2 )

Observações

1) Nas razões algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios
2) O denominador de uma fração nunca pode ser zero
3) As propriedades das frações algébricas são as mesmas das frações aritmética.

SIMPLIFICAÇÃO

Para simplificar uma fração, basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns.

Exemplos

1) 10 a²b / 15a³ =
    (10 a a b ) / ( 15 a a a )=
    ( 2.5.a.a.b) /( 3.5.a.a.a) =
    = 2b/3a

2) ( a² - 9) / ( a + 3) =
    [(a + 3) / (a – 3) ] / (a + 3) =
   = a – 3

Observe que neste último exemplo, fatoramos os termos da fração e cancelamos os termos comuns.
Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível..

DESAFIO 1

2014-04-06T13:29:00.003-07:00

Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o

total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número

de patos e o número de cachorros.

DIZIMA PERIÓDICA 1

2014-03-29T14:55:00.000-07:00

TEOREMA DE TALES 1

2014-03-29T14:31:00.001-07:00

BISSETRIZ INTERNA

2014-03-29T14:20:00.001-07:00

SEGMENTOS INCOMENSURAVEIS

2014-03-29T14:07:00.000-07:00

SEGMENTOS COMENSURAVEIS

2014-03-29T13:54:00.000-07:00

VESTIBULINHO

2013-10-29T13:44:00.001-07:00

Fiquem atentos!Inscrições abertas: http://fieb.edu.br/

Função Quadrática

2013-09-29T17:46:00.001-07:00

Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada num polinômio do segundo grau na variável x.

Toda função na forma , com (, e ) é denominadafunção quadrática, ou função polinomial do 2° grau.

Lembre-se que o polinômio ax² + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.

Representação Gráfica de uma Função Quadrática

Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenadospertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.

Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:

x	y = -x² + 10x - 14
2	y = -2² + 10 . 2 - 14 = 2
3	y = -3² + 10 . 3 - 14 = 7
4	y = -4² + 10 . 4 - 14 = 10
5	y = -5² + 10 . 5 - 14 = 11
6	y = -6² + 10 . 6 - 14 = 10
7	y = -7² + 10 . 7 - 14 = 7
8	y = -8² + 10 . 8 - 14 = 2

Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.

Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.

Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto(5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.

Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas

De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).

Na função y = -x² + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).

Raiz da Função Quadrática

Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.

Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.

Sendo a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:

Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.

Vértice e Concavidade da Parábola

Podemos observar que no gráfico da função y = -x² + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a suaconcavidade é para baixo.

Agora vamos observar o gráfico da função y = x² + 3x + 1:

Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.

Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?

Vamos identificar os coeficientes destas funções.

Para a função y = -x² + 10x - 14 temos:

Já para a função y = x² + 3x + 1 temos:

Já tem algum palpite?

Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.

O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0:

Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:

Coordenadas do Vértice da Parábola

A abscissa do vértice x_v é dada pela fórmula:

Já ordenada do vértice y_v pode ser obtida calculando-se y_v = f(x_v), ou ainda através da fórmula:

Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x² + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vérticepara conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.

Seus coeficientes são:

Então para a abscissa do vértice x_v temos:

A ordenada do vértice y_v vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x² + 10x - 14 = 0:

Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:

Da outra maneira o cálculo seria:

Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.

Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática

Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.

Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.

Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.

Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática

Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x² - 4x + 5:

Os seus coeficientes são:

Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.

O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.

2 é a abscissa do vértice, isto é x_v, assim calculado:

1 é a ordenada do vértice, ou seja y_v, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:

Conhecendo o discriminante podemos calcular y_v:

Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir umvalor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(x_v).

Como x_v = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.

Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:

Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática

Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x² + 4x + 2:

Os coeficientes da regra de associação desta função são:

Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.

O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.

2 é a abscissa do vértice, ou seja x_v, que calculamos assim:

6 é a ordenada do vértice, isto é y_v, que agora vamos obter calculando f(x_v) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos y_v, como fizemos no caso do valor mínimo:

Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(x_v).

Visto que x_v = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.

Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:

Variação de Sinal da Função Polinomial do 1° Grau

2013-09-29T17:45:00.001-07:00

Neste tópico vamos fazer o estudo do sinal da função afim, mas antes disto vamos ver alguns conceitos comozero da função, função crescente e decrescente e coeficiente angular da função do 1° grau.

Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1° Grau

Dada uma função afim definida por , com e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, o valor de xque torna y = 0.

Vamos analisar o gráfico da função que temos ao lado:

Podemos notar que no ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que neste caso é 3, anulando a função, ou seja, cujaordenada (y) é igual a zero. Então x = 3 é a raiz da função.

Toda função na forma possui uma única raiz.

Determinando a Raiz de uma Função Polinomial do 1° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função que vimos acima.

Para que um valor x seja raiz da função, é preciso que tenhamos f(x) = 0.

Vamos realizar tal substituição na lei de formação da função:

Note que obtivemos uma equação do primeiro grau, portanto para determinarmos o valor de x basta que a solucionemos:

Como já era de se esperar, para y = 0 temos que x = 3, o que nos leva ao ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, como vimos destacado no gráfico anterior.

Resumindo, para determinarmos a raiz de uma função afim basta substituirmos o f(x) ou y da regra de associação da função, por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau encontrada, obtendo assim a raiz da função.

Função Crescente e Decrescente

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, ela é crescente ou decrescente para qualquer elemento do seu domínio, mas como isto não acontece para todas as funções, o conceito de função crescente e de função decrescente é aplicado a intervalos do domínio da função.

Função Crescente

Uma função é crescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a seguinte implicação:

Ou:

Podemos ver no gráfico ao lado que quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), isto é, o valor de y também aumenta.

O ponto (x₁, y₁) está abaixo do ponto(x₂, y₂), o que indica que a função está crescendo.

Função Decrescente

Uma função é decrescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a implicação a seguir:

Ou:

Como percebemos no gráfico ao lado, quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), ou seja, o valor de y pelo contrario diminui.

Neste caso o ponto (x₁, y₁) está acima do ponto (x₂, y₂), indicando que a função está decrescendo.

Vimos acima que podemos identificar se uma função afim é crescente ou descrente através do seu gráfico, mas e se não tivermos o gráfico da função?

Coeficiente Angular de uma Função Polinomial do 1° Grau

Em qualquer função afim definida por , com e , assim identificamos a e b:

a: Coeficiente angular

b: Coeficiente linear

Quando estudamos as funções lineares vimos que é o valor do coeficiente b, o coeficiente linear, que determina a ordenada (y) do ponto com abscissa (x) igual a zero.

Agora vamos ver que através do coeficiente angular podemos determinar se uma função afim é crescente ou decrescente.

O coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. É a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas na direção positiva. Em nosso caso a reta é a do gráfico da função.

Quando a > 0 a função é crescente, pois ao aumentarmos o valor de x, o valor de y também aumenta.

Quando a < 0 a função é decrescente, já que ao aumentarmos o valor de x, o valor de y diminui.

Como já estudamos, por definição em uma função afim temos que , pois sabemos que quando temos uma função constante cuja reta no gráfico é paralela ao eixo das abscissas, não sendo portanto nemcrescente, nem decrescente.

No gráfico vimos que a função é crescente.

Poderíamos chegar à mesma conclusão simplesmente analisando o seucoeficiente angular, como a = 3 temos que a > 0, logo a função é crescente.

Estudo do Sinal de uma Função Afim

Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página.

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é que identificar para quais valores dex temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Vamos voltar ao gráfico da função e analisá-lo deste outro ponto de vista.

Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos quef(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é,f(x) = 0.

Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.

Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim

Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida por , terá a seguinte raiz:

Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)

Como supracitado o fato de uma função afim ser crescente ou decrescente depende do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este:

Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz.

Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já quef(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0.

Continuando a análise do gráfico vemos que para valores de xmaiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a.

Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula.

Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)

Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico:

Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0.

Para valores de x menores que a raiz podemos observar quef(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.

Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a.

Lembrando que a raiz da função é , para uma melhor compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela:

	a < 0	a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Vamos novamente estudar o sinal da função , mas agora a partir do resumido por esta tabela.

Como a = 3 e portanto a > 0, vamos utilizar os dados a última coluna, além disto já vimos anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3.

Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo:

	a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Concluindo o estudo da função , partir da tabela temos que:

A função é negativa para .

A função é nula para .

A função é positiva para .

Função Afim

2013-09-29T17:44:00.003-07:00

Para a confecção de apostilas uma gráfica cobra um valor de R$ 5,00 referentes ao custo da capa, contra-capa e da encadernação, mais um valor de R$ 0,50 para cada página da apostila.

Repare que há uma relação de dependência entre duas grandezas, o número de páginas da apostila e o seucusto total.

Para cada número de páginas existe um valor único para a apostila. Estamos então diante de uma função que pode ser definida como:

Ou, se trabalharmos com números fracionários, por:

Graficamente temos a seguinte representação da função no plano cartesiano:

Toda função na forma , com ( e ) é denominada função afim, ou função polinomial do 1° grau. Como sabemos, o polinômio ax + b é um polinômio do primeiro grau na variável x.

Como podemos observar o gráfico desta função é formado por uma reta. Toda função afim é representada no plano cartesiano por uma reta não paralela ao eixo x, ou eixo das abscissas.

Normalmente f(x) é representado pela letra y, como no caso deste gráfico. Então a função também pode ser definida por:

Representação Gráfica de uma Função Afim

Para montarmos o gráfico de uma função polinomial do 1° grau basta conhecermos dois pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao domínio da função e o segundo pertence à sua imagem.

Para o primeiro par ordenado vamos escolher aquele onde x = 0. Substituindo x por 0 na regra de associação ou lei de formação da função, temos:

Então o nosso par ordenado será (0, 5) representado no gráfico ao lado pelo ponto A:

Voltando ao problema da apostila, o ponto (0, 5) do gráfico da função nos indica que caso a apostila não tenha nenhuma página, o seu custo será de R$ 5,00 referentes ao custo da capa, contra-capa e da encadernação apenas.

Para o outro par ordenado, arbitrariamente podemos escolher o ponto com abscissa igual a 4 e realizarmos os cálculos como no caso do primeiro ponto, agora trocando x por 4:

Tal ponto pode ser observado neste outro gráfico, representado pelo ponto B:

O ponto (4, 7) do gráfico da função nos aponta que o custo de uma apostila com 4 páginas é de R$ 7,00.

Como sabemos que o gráfico de uma função polinomial do 1° grau é uma reta, basta traçarmos uma reta unindo tais pontos, como podemos ver no gráfico abaixo:

Observe que obtivemos o mesmo gráfico do início das explicações deste tópico.

Neste exemplo partimos da lei de formação da função, escolhemos arbitrariamente dois pontos conhecidos e a partir deles montamos o gráfico da função. Agora vamos obter a regra de associação da função a partir de quaisquer dois pontos conhecidos pertencentes à função.

Raiz da Função Afim

Observe no gráfico acima que a reta da função intercepta o eixo das abscissas no ponto (-10, 0).

Este valor de x = -10 que leva a y = 0 é denominado raiz da função ou zero da função.

Sendo a função, para encontramos a sua raiz basta substituirmos y por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau obtida:

Obtendo a Lei de Formação de uma Função Afim a partir de Dois Pontos da Reta

No gráfico acima vemos que o ponto (0, 5) pertence à função, então na sentença podemos trocarx por 0 e y por 5, quando então iremos obter que b = 5:

Novamente segundo o gráfico o ponto (-10, 0) também pertence à função e já que b = 5 temos:

Observe que substituímos y, x e b por 0, -10 e 5 respectivamente, obtendo a = ¹/₂.

Visto que a = ¹/₂ e b = 5, temos:

Portanto a função cujo gráfico passa pelos pontos (-10, 0) e (0, 5) é definida por:

Exatamente como havíamos visto no começo da matéria.

Vale ressaltar que chegaríamos à mesma definição da função, quaisquer que fossem os dois pontos distintos pertencentes a reta exemplo, que utilizássemos na realização dos cálculos.

Função Constante

2013-09-29T17:44:00.001-07:00

Toda função na forma , com é denominada função constante.

Em uma função constante qualquer que seja o elemento do domínio eles sempre terão a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k.

Gráfico da Função Constante

Para exemplificar vamos observar a função constante representada graficamente no plano cartesiano:

Neste exemplo a constante k possui o valor -3.

Observe os pontos (-2, -3), (0, -3) e (4, -3) que destacamos no gráfico da função.

Em cada um destes pontos distintos temos uma abscissa diferente, no entanto todos os três possuem a mesmaordenada.

Isto vale para qualquer ponto do gráfico desta função, pois qualquer que seja o valor de x, o valor de y sempre será igual a -3, já que y não depende de x, pois y não faz parte da lei de formação da função, que é meramente a constante -3.

Assim como este gráfico é, o gráfico de qualquer função constante definida de em sempre será uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo ponto (0, k), que neste nosso exemplo é o ponto (0, -3).

Diagrama de Flechas da Função Constante

Agora vamos analisar o diagrama de flechas desta função:

O conjunto da esquerda representa o domínio da função, assim como o conjunto da direita representa o seu contradomínio.

Note que todos os elementos do domínio apontam para um mesmo elemento do contradomínio, pois independentemente do elemento do domínio, a imagem é constante, ou seja, é sempre a mesma.

Todas as flechas lançadas do conjunto de partida acertam o mesmo elemento do conjunto de chegada.

Função Inversa

2013-09-29T17:43:00.001-07:00

Aqui no Matemática Didática já estudamos as relações e também um tipo especial de relação chamada de função. Agora baseados nestes conhecimentos vamos estudar sobre funções inversas.

Vamos começar analisando o diagrama de flechas ao lado, referente à relação de A em B:

Como podemos observar esta relação se enquadra no conceito de função, pois não existe elemento de A que não esteja associado a algum elemento de B e todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B.

O conjunto A é o domínio da função é o conjunto B é o seucontradomínio.

Agora vamos fazer o seguinte:

Vamos inverter os conjuntos, fazendo com que o conjunto que eradomínio passe a contradomínio e vice-versa, invertendo assim a relação. Tais mudanças podem ser observadas neste novo diagrama de flechas:

E agora? A relação de B em A também está de acordo com o conceito de função?

Obviamente que não! Primeiro porque o elemento 4 de B não está associado a qualquer elemento de A e segundo porque o elemento 2 de Btem duas imagens em A.

Agora vejamos o diagrama de flechas desta outra relação que também representa uma função:

Temos uma função porque não existe em A, elemento que não esteja associado em B e todos os elementos de A se associam a apenas um elemento de B.

Assim como fizemos no caso anterior, vamos inverter a posição dos conjuntos, de sorte que o conjunto que era domínio passe acontradomínio e o conjunto que era contradomínio passe a domínio.

Podemos ver o resultado destas mudanças neste diagrama de flechas:

Veja que agora a relação de B em A está de acordo com o conceito de função.

Mas quando ao invertermos a relação deixaremos de ter uma função ou não?

Para que a inversão resulte também em uma função, na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que esteja associado a mais de um elemento do domínio, ou seja, a função precisa ser injetora, pois se não for, quando invertermos os conjuntos, os elementos que recebiam mais de uma flecha irão agora disparar mais de uma flecha, como acontece no caso do elemento 2 do conjunto Bda primeira relação de exemplo.

Além disto na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que não esteja associado a nenhum elemento do domínio, isto é o conjunto imagem deve coincidir com o contradomínio e, portanto, a função será sobrejetora. Na primeira relação de exemplo o elemento 4 do conjunto B não recebe nenhuma flechada e portanto não enviará nenhuma flecha também, quando invertermos a relação.

Ora se para ser inversível, além de injetora a função também precisa ser sobrejetora, então para que exista a função inversa de uma função, é preciso que ela seja uma função bijetora.

Determinando a Função Inversa de uma Função

A função inversível que vimos acima é definida por:

Já vimos que f(x) também pode ser expresso por y, então em consequência disto a função pode ser definida por:

Para obtermos a função inversa desta função primeiramente na regra de associação iremos trocar x por y e vice-versa. Então teremos:

Agora vamos isolar y no primeiro membro:

A definição da função inversa, já com a relação invertida, será então:

Ou ainda:

Outro Exemplo de Função Inversa

Vejamos a definição da função abaixo:

Que também pode ser definida por:

Como podemos ver no gráfico ao lado, no plano cartesiano esta função é representada por uma reta.

Esta função é injetora, pois não há dois valores reais distintos, que atribuídos a x venham resultar em um mesmo valor de y, ou de f(x). Em outras palavras estamos dizendo que em D(f) não existem dois elementos distintos que tenham a mesma Im(f), ou seja, cada elemento da imagem é flechado por um único elemento do domínio.

Esta função é sobrejetora, pois não existem elementos do contradomínioque não estão associados a algum elemento do domínio, isto é, o conjunto imagem é o próprio contradomínio.

Se a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, então ela também é bijetora e por isto admite a função inversa.

Como explicado acima, vamos obtê-la substituindo x por y e vice-versa, isolando y no primeiro membro:

Portanto a definição da função será:

Ou ainda:

Neste outro gráfico temos no plano cartesiano a representação destas duas funções:

Em vermelho temos a representação gráfica da função e em azul representamos graficamente a sua função inversa.

Observe os pontos (-3, 0) e (0, 1) pertencentes à função f, em vermelho.

Agora veja os pontos (0, -3) e (1, 0) pertencentes à função f^-1, em azul.

Note que os pontos destacados na função f^-1 são os pontos da função f, os quais tiveram invertida a ordem dos elementos do par ordenado. Isto porque:

Se f^-1 é a função inversa de f, f também é a função inversa de f^-1, ou seja, f e f^-1 são funções inversas entre si.

Exemplos de Funções que Não Admitem a Função Inversa

Vamos analisar a função definida abaixo:

Para identificarmos que esta função não admite a função inversa basta compreendermos que ela não é umafunção sobrejetora.

Se ela fosse sobrejetora todos os elementos do contradomínio estariam associados a pelo menos algum elemento do domínio, mas isto não acontece para todos os elementos do contradomínio.

Note que o número 0, que pertence ao contradomínio da função, não pertence ao conjunto imagem, pois não há qualquer número do domínio que esteja associado a ele, afinal de contas qual é o número real que dividindo o número 1 resultará em 0?

Como o conjunto imagem difere do contradomínio, esta não é uma função sobrejetora.

Agora vamos analisar esta outra função assim definida:

Esta é uma função do 2° grau e graficamente podemos assim representá-la no plano cartesiano:

Esta função não é injetora, pois há infinitos pares de elementos distintos do seudomínio que possuem a mesma imagem.

Para qualquer valor de x diferente de 0, existe um elemento de valor -x com a mesmaimagem de x, por exemplo, note que os elementos 1 e -1 possuem a mesma imagem:

Como os elementos 1 e -1 do domínio flecham o mesmo elemento 3 do contradomínio, esta função não éinjetora.

Ainda observando este gráfico podemos notar que nem ao menos sobrejetora é esta função.

O conjunto imagem desta função é:

Isto porque todos os números reais menores que 2 pertencem ao seu contradomínio, mas não à sua imagem. Portanto a função não é sobrejetora.