Replacer TeX dans le cadre de la publication assistée par ordinateur et de l’art de la typographie, expliquer comment TeX s’installe sur un ordinateur, découvrir comment sont rangés les fichiers utiles à TeX, reconnaître les types des fichiers, trouver une documentation…

Plan du cours:

1.1 Préambule en guise d’introduction
Où l’on découvre ce que D. Knuth nous a apporté, aussi bien dans l’art séculaire de la typographie scientifique qu’en matière de basket-ball
1.2 La typographie, l’informatique et la place de TEX Où l’on apprend que la typographie est un métier de l’art, et où l’on se surprend à croire que l’informatique pourrait remplacer l’artiste
1.3 L’installation de TEX et son écosystème Où l’on apprend comment installer sur son ordinateur le nécessaire et le suffissant, et où l’on essaie d’appréhender la structure nébuleuse des dossiers ainsi confiés à notre bienveillance. . .

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Ce document provient du site http://www.cpt.univ-mrs.fr/~masson/latex-Videos/. Ces vidéos forment une série de 10 cours sur LaTeX donnée en 2010-2011 au CPT de Marseille par Mr Thierry MASSON

Question de cours: Espace vectoriel
Exercice 1: Vecteur / Déterminant / Système / Base
Exercice 2: Espace vectoriel / Fonction / Variable / Fonction exponentielle / Fonction cosinus hyperbolique / Fonction sinus hyperbolique / Famille libre / Base / Matrice de passage
Exercice 3: Base canonique / Application linéaire / Matrice / Application linéaire / Base
Exercice 4: Ker(f) / Im(f) / Image / Noyau / Théorème du rang
Exercice 5: Résoudre une équation dans le corps des complexes
Exercice 6: Résoudre un système linéaire

Extrait :

Question de cours Soit K un corps commutatif, V un K-espace vectoriel.

1. Rappeler la définition de sous-espace vectoriel de V .
2. Montrer que si W1 et W2 sont deux sous-espaces de V , alors l’intersection W1 ∩ W2 est aussi un sous-espace vectoriel de V . Considérons trois vecteurs de R3.

Exercice 1. A l’aide d’un calcul de déterminant, donner une condition nécessaire et suffisante pour que le système β = (v1 , v2 , v3 ) soit une base de R3 .

Exercice 2. On considère le R-sous-espace vectoriel E de C(R, R) engendré par les fonctions exponentielle et g : x → exp(−x). On considère le R-sous-espace vectoriel F de C(R, R) engendré par les fonctions c : x → cosh(x) (cosinus hyperbolique) et s : x → sinh(x) (sinus hyperbolique).
1. Montrer que l’ensemble des fonctions {f, g} est libre. Remarque : {f, g} est donc une base d’un espace vectoriel. Soit C(R, R) le R-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles continues.
2. Montrer que l’ensemble des fonctions {c, s} est libre. Remarque : {c, s} est donc une base de l’espace vectoriel F .
3. Montrer que c ∈ E et que s ∈ E. Remarque : on déduit que F ⊂ E.
4. Montrer que E = F .
5. Donner la matrice de passage P de la base {f, g} dans la base {c, s}.
6. Exprimer la fonction u : x → 2 cosh(x) − 3 sinh(x) dans la base {f, g}.
7. Exprimer la fonction v : x → 2 exp(x) − 3 exp(−x) dans la base {c, s}.

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Exercice 1: Espace vectoriel / Dimension / Application linéaire injective / Application surjective / Famille libre / Famille liée
Exercice 2: Vecteur / Vecteurs indépendants
Exercice 3: Base canonique / Application linéaire / Coordonnées dans une base / Matrice / Matrice de passage / Matrice inversible

Extrait :

Exercice 1 (Questions de cours) –
i) Soient E et F , 2 espaces vectoriels sur C avec dim E = 2 et dim F = 3. Peut-on trouver une application linéaire injective de E dans F qui ne soit pas surjective ? Justifier.
ii) Peut-on trouver une famille F = {f1 , f2 , f3 } de R3 telle que {f1 , f2 }, {f2 , f3 } et {f1 , f3 } soient toutes les trois libres et F soit liée ? Justifier.
iii) Soit F et G 2 sous-espaces vectoriels de R . Quelle est la dimension de F inter G ? Justifier.

Exercice 2
Soient 3 vecteurs de R3. A quelle condition nécessaire et suffisante sur a appartenant à R, les vecteurs u, v sont-ils indépendants ?
Dans le cas où et v sont indépendants, trouver un vecteur w de R3 telle que la famille B = {u, v, w} soit une base de R3
Quelles sont les coordonnées de X dans B ?

Exercice 3
Soit la base canonique de R3.
Soit l’application linéaire suivante.

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Présentation du livre :

Cette nouvelle édition de ce formulaire correspond au nouveau programme des classes préparatoires HEC. Elle s’adresse également aux étudiants de MCPST 1re et 2e années, de DEUG MASS et des Sciences économiques. Chaque chapitre est résumé suivant un plan clair et concis. L’étudiant y trouvera toutes les définitions, théorèmes et formules qu’il doit savoir par cœur, De nombreux exemples illustrent les passages délicats et montrent comment on les applique dans la pratique. De plus, les plans d’étude accompagnent les chapitres importants. Ils mettent l’accent sur les pièges à éviter, ainsi que les méthodes à suivre pour, bien réussir.

L’avis de LDM.com :

Ce livre est une référence que tout étudiant de mathématiques devrait posséder. Il regroupe l’intégralité des cours de première et deuxième année de licence de mathématiques. De plus son format de poche vous permettra de toujours l’avoir avec vous sans qu’il ne prenne de la place. Chaque chapitre est très bien résumé et l’essentiel est là ! Vous retrouverez en fin de chapitre les formules, théorèmes et propriétés essentiels à connaitre. Chaque formule est encadrée, les titres ainsi que les sous titres sont en gras mais aussi les mots importants dans chaque paragraphe. Ce livre est vraiment très bien conçu et içi chez LDM.com ce livre fait partie de notre bibliothèque, c’est un must !

Sommaire :

Exponentielles logarithmes et trigonométrie – Égalités remarquables
Généralités – Vocabulaire relatif aux fonctions R et C
Polynômes
Espaces vectoriels
Applications linéaires, matrices
Systèmes linéaires
Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie
Algèbre bilinéaire
Suites numériques
Séries numériques
Limites et continuité
Dérivation
Développements limités
Intégrale définie
Intégrales généralisées ou impropres
Fonctions de plusieurs variables
Dénombrements
Espace probabilisé
Probabilité conditionnelle
Variables aléatoires discrètes
Vecteur aléatoire discret
Variables aléatoires à densité
Convergence des suites de variables aléatoires
Statistique d’une variable
Statistique de deux variables
Estimation
Introduction au turbo-pascal

Biographie de l’auteur :

Tran Van Hiep, docteur en mathématiques, était professeur en classe préparatoire HEC.

Détails

Broché: 325 pages
Éditeur : Presses Universitaires de France – PUF; Édition : 5e édition (7 août 2006)
Collection : Major
Langue : Français
ISBN-10: 2130557619
ISBN-13: 978-2130557616

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Phrase logique / Quantificateur / « Pour tout » / « Il existe » / Fonction /Majorant / Minorant / Fonction périodique / Parité
Bonus (à 5’55 ») : ordre des quantificateurs « Pour tout » /   »Il existe ».

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

Transcription de la vidéo:

Nous avons donc deux phrases à notre disposition. Il s’agit de les transcrire en langage mathématique. La première phrase est une fonction f qui est majorée, alors une fonction f qui est majorée, cela signifie qu’elle reste tout le temps plus petite qu’une une certaine valeur m, donc il existe une valeur M qui va être commune à tous les points tel quelque soit le point x appartenant à R, f(x) est plus petite que cette valeur il est importante soit qu’il est existe une valeur qui marche pour tous les points.

Une fonction est bornée s’il existe un majorant et un minorant, donc cela s’écrit à peu près pareil, il existe un majorant M appartenant à R, il existe un minorant petit m appartement à R tel que pour chaque x appartenant à R f(x) est à la fois plus petit que grand M et plus grand que petite m.

Une fonction paire, je dessine ici le graphe d’une fonction paire, un exemple de graphe de fonction paire, ça veut dire que si on prend la valeur, une valeur x ici c’est une certaine valeur et si on regarde la valeur en (-x) ça doit être la même valeur donc en langage mathématique cela s’écrit tout simplement que pour chaque x appartenant à R la valeur prise en f(-x) est égale à la valeur prise en f(x),vous vous doutez bien qu’une fonction impaire c’est presque pareil sauf que pour chaque x appartenant à R, on a f(-x) qui vaut -f(x).

Maintenant qu’est ce qu’une fonction qui ne s’annule jamais. Voici un graphe d’une fonction qui ne s’annule jamais, ça veut dire que les valeurs prises sont toujours différentes de zéro donc pour toutes x appartenant à R, f(x)est non nulle. Attention ça ne veut pas dire qu’elle reste tout le temps positive ou tout le temps négatives. Par exemple si la fonction n’est pas continue on peut avoir des valeurs positives et des valeurs négatives.

Qu’est ce que c’est qu’une fonction périodique, une fonction périodique c’est quand on a une valeur x et qu’on regarde à la valeur en x+a, les valeurs prises en x et en x+a sont les mêmes et a s’apelle la période donc comment écrire ça ? Ca veut dire que pour tout x appartenant à R, f la valeur prise en (x+a) est la même que f(x). Ca, ça ce serait une fonction a-périodique, dire qu’une fonction est a-périodique c’est dire qu’il existe un tel nombre, une telle période, un nombre réel, faut juste faire attention que ce nombre réel doit être non nul. Donc une fonction est périodique s’il existe un réel a qui va correspondre à la période tel que pour chaque x appartenant à R f(x+a)=f(x). On peut prendre une autre valeur x’ et on regarde ce que ça donne, f(x’+a) ça donne bien la même chose.

Une phrase un peu plus délicate à formaliser est f est croissante alors on voit bien ce que c’est que f est croissante sur le graphe comment l’écrire en une phrase logique. Si on prend 2 valeurs x et x’ tel que x est plus petit que x’ alors on va comparer les valeurs de f(x) et de f(x’) et pour qu’elle soit croissante c’est exactement dire que comme x est plus petit que x’ il faut que f(x) soit plus petit que f(x’). Alors ça s’écrit de la façon suivante: pour tout x, x’ 2 valeurs si x est plus petit que x’ alors f(x) est plus petit que f(x’). On pourrait, définir de la même façon strictement décroissante, c’est très similaire c’est pour tout x,x’ appartenant à R si x est plus petit que x’ alors il faut que f(x) soit strictement plus grand que f(x’).

Alors il faut se méfier içi on n’a pas le droit de parler de dérivée, à priori on ne sait même pas si cette fonction est dérivable donc on ne peut pas dire f est croissance si et seulement si sa dérivée est positive, il faut bien faire attention, il faut retenir que ceci c’est la définition d’une fonction croissante.

Terminons par écrire ce que c’est que f n’est pas la fonction nulle. Alors en fait être la fonction nulle ça veut dire que f(x) pour tout x, donc ne pas être la fonction nulle c’est dire qu’il existe un réel tel que f(x) est différent de zéro. Il faut surtout pas confondre ça avec une phrase qu’on a vu avant qui est f ne s’annulle jamais qui elle s’écrivait pour tout x appartenant à R, f(x) est différent de zéro. Une fonction qui n’est pas la fonction nulle et une fonction qui ne s’annule jamais ce sont deux choses très différentes.

Alors une remarque important sur les quantificateurs et surtout pour leurs ordres. Si on a la phrase: pour tout x et pour tout y on a une certaines proposition P(x,y) c’est en fait une phrase équivalente à: pour tout y, pour tout x ont a la proposition y. Ceci sont 2 phrases équivalentes. Même chose avec les quantificateurs il existe. Il existe x, il existe y tel que la proposition P(x,y) est vrai ou alors la proposition il existe y, il existe x sont des propositions équivalentes. Par contre là où il faut faire très attention c’est quand on a 2 quantificateurs à un pour tout et à un il existe, alors là à priori on ne peut pas les échanger. La phrase pour tout x il existe y tel que P(x,y) n’est pas équivalente à la phrase il existe y tel que pour tout x, P(x,y) . Attention ici donc l’ordre l’ordre des quantificateurs ont une importance.

On peut le voir sur un exemple. Pour une fonction f de R dans R comme tout à l’heure. Par exemple cette phrase là est toujours vrai. Pour chaque x réel on peut trouver un autre réel m qui est plus grand que f(x), il suffit de prendre m=f(x)+1. Ce qui est important de voir c’est que le m ici en fait il dépend du x on pourrait mettre m indice petit x, vous voyez celui qu’on a pris le temps il dépend de x et de f(x). Par contre qu’est ce qui se passe si on écrit les quantificateurs dans l’autre sens. Il existe un réel grand m appartement à R tel que pour tout x appartenant à R, f(x) c’est plus grand ou plus petit que grand . Cette phrase là, on l’a vu tout à l’heure c’est vrai pour les fonctions bornées, ceci c’est exactement dire que f est une fonction bornée donc ceci est vrai pour toutes les fonctions ceci est vrai pour les fonctions bornées uniquement, donc on vois bien que là où il faut absolument pas intervertir les quantificateurs « il existe » et « pour tout« .

Alors on peut le retenir par une phrase de la vie courante, par exemple pour tout étudiant il existe un numéro téléphone portable, tout étudiant à son numéro de téléphone. Par contre on ne peut pas dire qu’il existe un numéro de téléphone pour tous les étudiants, en langage mathématique cette phrase là signifie qu’il existe un numéro téléphone commun à tous les étudiants, ce qui n’a pas de sens.

Qu’est-ce que le site Etudinfo.com ?

Etudinfo propose l’un des annuaires de formations et d’écoles le plus important en France et permet aux étudiants de donner leurs avis et noter les formations qu’ils ont suivies. Il y a actuellement plus de 10 000 formations présentes sur le site allant du BTS au MBA en passant par la licence ou le master, pour vous aider à choisir: BTS CGO ou MIAGE? DSAA ou DNSEP? De plus, plus de 5 000 établissements d’enseignement supérieur sont présent, cet annuaire est composé d’universités, de lycées, d’écoles de commerce, écoles d’ingénieurs …

En plus de ces 2 composantes essentielles, Etudinfo propose de nombreux services pour faciliter la vie des étudiants, notamment :

• Un magazine étudiant : il reprend l’actualité étudiante et propose un guide des formations ;
• Un forum étudiant : les membres du site peuvent échanger sur tous les sujets ayant trait à la vie étudiante et les formations/écoles ;
• Une librairie de revues étudiante : etudinfo propose des magazines, journaux à des prix réduit pour les étudiants ;
• Des offres de logement étudiant : retrouvez des offres de colocation ou appartements étudiant sur toute la France.

Les avis des anciens étudiants

Etudinfo a été le premier site en France (en 2008) a proposer aux anciens étudiants de donner leurs avis sur les formations qu’ils ont suivies.

Ce principe d’avis permet à tous les jeunes en processus d’orientation de prendre connaissance des réels atouts et inconvénients d’une formation, d’avoir une vue de l’intérieur. Il est aussi bien sûr possible de contacter ces anciens étudiants pour avoir des informations complémentaires.

Voici comment la note d’une formation est répartie :

• Qualité des cours
• Relation avec les professeurs
• Débouchés
• Présence BDE/Association
• Equipement de la formation
• Organisation de la formation.

Avec ces 6 critères on obtient une note globale de la formation.

Il n’y a encore eu aucun avis sur les licences de formations en mathématiques, alors n’hésitez pas à donner votre avis et noter votre formation sur Etudinfo !

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Thèmes :

Phrase logique, « pour tout », « il existe », négation.
Bonus (à 3’09 ») : « P implique Q », implication, négation.

Video:

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

Phrase logique / « Pour tout » / « Il existe »/ Négation /Ensemble / Proposition / Langage Mathématiques

Bonus (à 1’52 ») : négation, « ou », « et ».

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Transcription de la vidéo :

On a une phrase en français, et on cherche à donner sa négation. C’est pas forcément un exercice facile, juste en lisant la phrase en français. La première chose peut être à faire c’est de traduire cette phrase en langage mathématiques. Donc on va être un peu succins mais tout habitant (on va appeler petit h les habitants) sont dans la rue du Havre (on va appeler grand H les habitants de la rue du Havre) et on cherche aussi ceux qui ont les yeux bleus, on va appeler Y l’ensemble des habitants qui ont les yeux bleus. Donc H inter Y c’est les habitants de la rue du Havre qui ont aussi les yeux bleus. Qu’est ce qu’il se passe pour ses habitants? Ben d’une part, ils vont gagner au loto, et ils vont prendre leur retraite à 50 ans. Donc on appelle G l’ensemble des gagnants et h les gens qui prennent leur retraite avant 50 ans. Donc on a plus ou moins formaliser cette phrase logique, et maintenant il devient très logique de donner sa négation. En mathématiques, c’est algorithmique. On remplace « pour tout » par « il existe« . La négation d’un « et » c’est un « ou ». Donc être gagnant du loto et prendre sa retraite, c’est h n’appartient pas à G ou h n’appartient pas à R. Et maintenant il n’y plus qu’à lire la phrase mathématiques en français. Il existe un habitant de la rue du Havre et qui a les yeux bleus, qui ne gagnera pas au loto ou qui ne prendra pas sa retraite avant 50 ans.

BONUS:

Donc on a vu que le langage mathématiques peut être utile pour exprimer des choses rigoureusement. Il y a quand même une ambiguïté en français quand on dit « avant 50 ans », qui est levée par les mathématiques. Est ce que ça c’est avant strictement ou avant au sens inférieur ou égal? Donc les mathématiques permettent de faire cette distinction. Autre chose qu’on a utilisé: quand on a deux propositions P et Q, on peut définir une nouvelle proposition qui est la proposition « P et Q ». On a eu besoin de la négation, et la négation de « non P et Q », c’est non P ou non Q. De même, si on a « P ou Q », sa négation logique c’est non P et non Q. Et au passage, une remarque un peu évidente, la négation de la négation, c’est la proposition elle-même.

Thèmes :

Phrase logique, « pour tout », « il existe », négation.
Bonus (à 3’11 ») : nombre réel positif plus petit que tout epsilon.

Video:

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