SMAtika

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

2018-09-12T12:53:00.000+07:00

Diberikan dua buah vektor OA dan OB, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Misalkan h adalah sebuah garis lurus yang melalui OB dan P adalah sebuah titik pada h sedemikian sehingga AP tegak lurus h, seperti pada gambar (i) atau (ii).

Proyeksi ortogonal vektor OA pada OB atau cukup kita sebut proyeksi vektor OA pada OB adalah proyeksi tegak lurus OA pada sebuah garis lurus yang melalui (sejajar) OB.

Jadi, proyeksi vektor OA pada OB adalah OP.

Apabila θ lancip maka OP akan searah dengan OB dan apabila θ tumpul maka OP akan berlawanan arah dengan OB, seperti pada gambar diatas.

Dengan demikian, vektor proyeksi OA pada OB, yaitu OP akan selalu kolinear dengan OB.

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a, OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.

Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :
|p| = |a| cos θ, jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ, jika θ tumpul

Mengingat $\begin{align}
\mathrm{cos\,\theta} =\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}}
\end{align}$, maka

$\begin{align}
|\mathbf{p}| &=|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;lancip}
\end{align}$

$\begin{align}
|\mathbf{p}| &=-|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=-\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;tumpul}
\end{align}$

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.

Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{\left | a\cdot b \right |}{\left | b \right |}}
\end{align}

dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b

Contoh 1
Diketahui a = [8, 4] dan b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a

Jawab :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|b|}}=\frac{|8(4)+4(-3)|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{|20|}{5}=4
\end{align}$

Panjang proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|a|}}=\frac{|8(4)+4(-3)|}{\sqrt{8^{2}+4^{2}}}=\frac{|20|}{\sqrt{80}}=\sqrt{5}
\end{align}$

Contoh 2
Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k pada vektor b = i - 2j + k adalah ...

Jawab :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{align}
\mathbf{|p|}=\frac{|3(1)+4(-2)+(-1)1|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=\frac{|-6|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}
\end{align}$

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{ a\cdot b}{\left | b \right |}}
\end{align}

Contoh 3
Diketahui a = [3, 2, 4] dan b = [0, 3, -4]. Tentukan proyeksi skalar a pada b dan proyeksi skalar b pada a.

Jawab :
a = [3, 2, 4]
b = [0, 3, -4]

Proyeksi skalar a pada b adalah

$\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}}=\frac{3(0)+2(3)+4(-4)}{\sqrt{0^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}}=-2
\end{align}$

Proyeksi skalar b pada a adalah

$\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|}}=\frac{3(0)+2(3)+4(-4)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+4^{2}}}=\frac{-10}{\sqrt{29}}
\end{align}$

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada b, yaitu p merupakan perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan vektor satuan dari b. Kita tulis,

$\begin{align}
\mathbf{p}= \mathrm{s}\;\mathbf{\hat{b}}
= \mathbf{\frac{a\cdot b}{\left | b \right |}\;\frac{b}{\left | b \right |}}
=\mathbf{\left ( \frac{a\cdot b}{\left | b \right |^{2}} \right )b}
\end{align}$

Dengan demikian, proyeksi vektor a pada b dapat kita rumuskan menjadi

\begin{align}
\mathbf{p=\left ( \frac{a\cdot b}{\left | b \right |^{2}} \right )b}
\end{align}

Contoh 4
Diketahui a = [6, -4, 2] dan b = [4, 2, -2]. Tentukan proyeksi vektor a pada b dan proyeksi vektor b pada a.

Jawab :
a = [6, -4, 2]
b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|b|^{2}} \right )b}\\
&=\left ( \frac{6(4)+(-4)2+2(-2)}{4^{2}+2^{2}+(-2)^{2}} \right )\left [ 4,2,-2 \right ]\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right )\left [ 4,2,-2 \right ]\\
&=[2,1,-1]
\end{align}$

Proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|a|^{2}} \right )a}\\
&=\left ( \frac{6(4)+(-4)2+2(-2)}{6^{2}+(-4)^{2}+2^{2}} \right )\left [ 6,-4,2 \right ]\\
&=\left ( \frac{3}{14} \right )\left [ 6,-4,2 \right ]\\
&=\left [ \frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7} \right ]
\end{align}$

Berdasarkan uraian-uraian diatas, kita dapat menyimpulkan 2 hal berikut :

Proyeksi skalar akan menghasilkan skalar (bisa bernilai positif atau negatif), sedangkan proyeksi vektor akan menghasilkan vektor.
Panjang proyeksi vektor merupakan nilai mutlak dari proyeksi skalar.

Soal Latihan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

Latihan 1
Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

Jawab :
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

$\begin{align}
\mathbf{|p|}&=\mathbf{\frac{\left |AB\cdot BC \right |}{|BC|}}\\
&=\frac{\left |0(-3)+4(0)+(-4)4 \right |}{\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+4^{2}}}\\
&=\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}
\end{align}$

Latihan 2
Dua vektor u = 2i + 3j + mk dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 2, maka nilai m adalah ...

Jawab :
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v adalah p, dengan panjangnya adalah |p| = 2

$\begin{align}
|\mathbf{p}|&=\mathbf{\frac{|u\cdot v|}{|v|}}\\
2&=\frac{|2(4)+3(-4)+\mathrm{m}(2)|}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}}\\
2&=\frac{|2\mathrm{m}-4|}{6}\\
12&=|2\mathrm{m}-4|
\end{align}$

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12 atau 2m - 4 = -12
2m = 16 atau 2m = -8
m = 8 atau m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0 ⇔ 2m - 4 < 0 ⇔ m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m = -4

Latihan 3
Diketahui p = [2, -1, 7] dan q = [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (p + q) pada 2q

Jawab :
p + q = [2, -1, 7] + [3, 0, -4] = [5, -1, 3]
2q = 2[3, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (p + q) pada 2q adalah

$\begin{align}
\mathrm{s}&=\mathbf{\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}}\\
&=\frac{5(6)+(-1)0+3(-8)}{\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}}\\
&=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
\end{align}$

Latihan 4
Diketahui a = pi - 2j + 2k dan b = 2i + qj + 4k. Jika c = i - 3j + rk adalah proyeksi vektor a pada b, maka nilai p + q + r adalah ...

Jawab :
a = [p, -2, 2]
b = [2, q, 4]
c = [1, -3, r]

Proyeksi vektor a pada b adalah c. Dengan demikian, b kolinear dengan c. Akibatnya, terdapat skalar k sehingga b = kc

$\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ \mathrm{q}
\\ 4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ \mathrm{r}
\end{bmatrix}
\end{align}$

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1) ⇔ k = 2
q = k(-3) ⇔ q = -6
4 = k(r) ⇔ r = 2

Proyeksi vektor a pada b kita tulis :

$\begin{align}
\mathbf{c}&=\left (\frac{\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf{b}|^{2}} \right )\mathbf{b}\\
\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ 2
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{\mathrm{p}(2)+(-2)(-6)+2(4)}{2^{2}+(-6)^{2}+4^{2}} \right )\begin{bmatrix}
2\\ -6
\\ 4
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ 2
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+20}{56} \right )\begin{bmatrix}
2\\ -6
\\ 4
\end{bmatrix}\\
\end{align}$

Diperoleh persamaan

$\begin{align}
1&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+20}{56} \right )2\\
28&=2\mathrm{p}+20\\
8&=2\mathrm{p}\\
\mathrm{p}&=4
\end{align}$

Jadi, p + q + r = 4 + (-6) + 2 = 0

Perkalian Titik (Dot Product)

2018-09-03T20:56:00.000+07:00

Perkalian titik (dot product) dari dua vektor a dan b dinotasikan dengan a ‧ b.

Perkalian titik disini tidak sama dengan perkalian aljabar seperti yang sudah kita kenal, karena yang dilibatkan disini adalah vektor, bukan bilangan.

Diberikan dua buah vektor,
a = [a₁ , a₂ , a₃]
b = [b₁ , b₂ , b₃]
dengan θ adalah sudut antara a dan b, seperti yang terlihat pada gambar.

Dengan bantuan aturan cosinus, kita peroleh
|b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ
|a| |b| cos θ = $\frac{1}{2}$( |a|² + |b|² - |b - a|² ) (*)

Substitusikan
|a|² = a₁² + a₂² + a₃² ,
|b|² = b₁² + b₂² + b₃² ,
|b - a|² = (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²,
pada ruas kanan persamaan (*), lalu sederhanakan hingga diperoleh

|a| |b| cos θ = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ (**)

Persamaan terakhir ini cukup menarik, karena mampu menjelaskan hubungan antara panjang, sudut, dan komponen-komponen suatu vektor secara bersamaan.

Persamaan yang didominasi oleh operasi perkalian inilah yang kemudian menjadi ide dalam pendefinisian perkalian titik dua vektor.

Definisi
Misalkan a dan b adalah vektor-vektor bukan nol. Perkalian titik atau dot product dari a dan b, ditulis a ‧ b, didefinisikan

a ‧ b = |a| |b| cos θ

dimana
|a| = panjang a
|b| = panjang b
θ = sudut antara a dan b

Dengan demikian, persamaan (**) dapat ditulis menjadi

a ‧ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Perkalian titik dari dua vektor akan menghasilkan skalar. Oleh sebab itu, perkalian titik sering disebut dengan perkalian skalar (skalar product).

Contoh 1
Dua buah vektor u dan v membentuk sudut sebesar 60°. Jika |u| = 4 dan |v| = 7, maka u ‧ v = ...

Jawab :
u ‧ v = |u| |v| cos 60°
u ‧ v = 4 ‧ 7 ‧ $\frac{1}{2}$
u ‧ v = 14

Contoh 2
Diketahui p dan q adalah vektor-vektor di R³, dengan p = 2i - 3j + 4k dan q = 3i - k. Tentukan nilai p ‧ q

Jawab :
p = [2 , -3 , 4]
q = [3 , 0 , -1]

p ‧ q = 2 ‧ 3 + (-3) 0 + 4 (-1)
p ‧ q = 6 + 0 - 4
p ‧ q = 2

Contoh 3
Diketahui p = [6 , 0] dan q = [4 , -4]. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh p dan q !

Jawab :
Panjang masing-masing vektor :
|p| = √(6² + 0²) = 6
|q| = √(4² + (-4)²) = 4√2

Hasil kali titik dari kedua vektor :
p ‧ q = 6 ‧ 4 + 0 (-4) = 24

Misalkan sudut diantara p dan q adalah θ.
$\begin{align}
\mathrm{cos\,\theta} =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p||q|}}=\frac{24}{6\cdot 4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Karena cos θ = $\frac{1}{2}$√2, maka θ = 45°

Sifat-Sifat Perkalian Titik

Jika a, b dan c adalah vektor, dan k adalah skalar/bilangan, maka

a ‧ a = |a|²
a ‧ b = b ‧ a
a ‧ (b + c) = a ‧ b + a ‧ c
a ‧ (kb) = k(a ‧ b) = (ka) ‧ b

Kita tahu bahwa

Dua vektor yang saling tegak lurus membentuk sudut sebesar 90°
Dua vektor yang searah membentuk sudut sebesar 0°
Dua vektor yang berlawanan arah membentuk sudut sebesar 180°
Ketika θ lancip, maka cos θ > 0
Ketika θ tumpul, maka cos θ < 0

Apabila fakta-fakta diatas kita terapkan pada definisi perkalian titik, akan kita peroleh kesimpulan sebagai berikut.

Misalkan a dan b adalah vektor, dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Jika a tegak lurus b, maka

a ‧ b = 0

Jika a searah dengan b, maka

a ‧ b = |a| |b|

Jika a berlawanan arah dengan b, maka
a ‧ b = -|a| |b|

Jika θ lancip (0 < θ < 90°), maka
a ‧ b > 0

Jika θ tumpul (90° < θ < 180°), maka
a ‧ b < 0

Contoh 4
Diketahui u = [3 , 1 , -2] dan v = [4 , 0 , k]. Tentukan k agar kedua vektor tersebut saling tegak lurus.

Jawab :
Agar u tegak lurus v, haruslah u ‧ v = 0

$\begin{align}
\mathbf{u\cdot v} &=0 \\
3\cdot 4+1\cdot 0+(-2)k&=0 \\
12-2k&=0 \\
12 &=2k \\
k&=6
\end{align}$

Contoh 5
Jika u = [u₁ , u₂], tunjukkan bahwa u ‧ u = |u|²

Jawab :
Berdasarkan definisi perkalian titik, maka

u ‧ u = u₁ u₁ + u₂ u₂

u ‧ u = u₁² + u₂² ..............................(1)

Berdasarkan rumus panjang vektor, maka

|u|² = u₁² + u₂² .................................(2)

Dari (1) dan (2) kita peroleh hubungan

u ‧ u = |u|²

Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor

Diberikan dua vektor a dan b, dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b. Jika c = a + b, maka
c ‧ c = (a + b) ‧ (a + b)
c ‧ c = a ‧ a + b ‧ b + 2 a ‧ b

Karena c ‧ c = |c|² , a ‧ a = |a|² , dan b ‧ b = |b|² , persamaan diatas menjadi
|c|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

Jika kita substitusikan kembali c = a + b, maka akan kita peroleh

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

Karena a ‧ b = |a| |b| cos θ, persamaan diatas dapat pula ditulis menjadi

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 |a| |b| cos θ

Dengan cara yang sama, untuk c = a - b, akan diperoleh

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b

atau

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos θ

Uraian-uraian diatas, dapat pula kita tuliskan sebagai berikut.

1. Jika c = a + b, maka berlaku

|c|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

2. Jika c = a - b, maka berlaku

|c|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b

dimana |a|, |b| dan |c| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan c.

Contoh 5
Diketahui |a| = 5, |b| = 3 dan |a - b| = 2√6. Apabila a dan b membentuk sudut lancip sebesar α, tentukan nilai sin α

Jawab :
|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos α
(2√6)² = (5)² + (3)² - 2 (5) (3) cos α
24 = 34 - 30 cos α
30 cos α = 10
cos α = $\frac{1}{3}$ ⟶ sin α = $\frac{2}{3}$√2

Contoh 6
Diketahui |a| = 2√2, |b| = 10 dan a ‧ b = 4. Apabila a = b - c, maka a ‧ c = ...

Jawab :
Karena a = b - c, maka c = b - a. Akibatnya
|c|² = |b|² + |a|² - 2 b ‧ a
|c|² = (10)² + (2√2)² - 2 (4)
|c|² = 100
|c| = 10

Karena a = b - c, maka b = a + c. Akibatnya
|b|² = |a|² + |c|² - 2 a ‧ c
(10)² = (2√2)² + (10)² + 2 a ‧ c
2 a ‧ c = -8
a ‧ c = -4

Soal Latihan dan Pembahasan

Latihan 1
Diketahui tiga buah titik A(2, -4, -2), B(3, -4, -1) dan C(4, -3, -1). Jika p dan q berturut-turut adalah wakil dari vektor AB dan BC, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh p dan q.

Jawab :
AB = [3, -4, -1] - [2, -4, -2]
AB = [1, 0, 1]

BC = [4, -3, -1] - [3, -4, -1]
BC = [1, 1, 0]

Diperoleh
p = AB = [1, 0, 1]
q = BC = [1, 1, 0]

Misalkan sudut antara p dan q adalah α.
$\begin{align}
\mathrm{Cos\,\alpha} &=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p|\,|q|}} \\
&=\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}$

Karena cos α = 1/2, maka α = 60°

Latihan 2
Diketahui |a| = 3, |b| = 5 dan |a + b| = 2√13 . Tentukan |a - b|

Jawab :
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b
(2√13)² = (3)² + (5)² + 2 a ‧ b
52 = 9 + 25 + 2 a ‧ b
2 a ‧ b = 18

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b
|a - b|² = (3)² + (5)² - 18
|a - b|² = 16
|a - b| = 4

Latihan 3
Diketahui tiga vektor u, v dan w, dengan |u| = 4 , |w| = √13 dan u ‧ v = 6. Jika v = u + w dan sudut antara v dan w adalah β, maka sin²β = ...

Jawab :
Karena v = u + w, maka w = v - u . Akibatnya
|w|² = |v|² + |u|² - 2 v ‧ u
(√13)² = |v|² + (4)² - 2 (6)
13 = |v|² + 4
|v|² = 9
|v| = 3

Karena v = u + w, maka u = v - w . Akibatnya
|u|² = |v|² + |w|² - 2 v ‧ w
(4)² = (3)² + (√13)² - 2 v ‧ w
2 v ‧ w = 6
v ‧ w = 3

Sudut antara v dan w adalah β, sehingga
$\begin{align}
\mathrm{cos}\,\beta =\mathbf{\frac{v\cdot w}{\left | v \right |\,\left | w \right |}}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}
\end{align}$

Berdasarkan identitas phythagoras :
$\begin{align}
sin^{2}\beta &=1-cos^{2}\beta \\
& = 1-\left ( \frac{1}{\sqrt{13}} \right )^{2} \\
& = 1-\frac{1}{13} \\
& = \frac{12}{13}
\end{align}$

Latihan 4
Dari suatu segitiga sama sisi ABC diketahui A(2, -1) dan B(4, 1). Tentukan koordinat titik C yang mungkin

Jawab :
Misalkan koordinat titik C adalah (x, y)
AB = [4, 1] - [2, -1] = [2, 2]
AC = [x, y] - [2, -1] = [x - 2 , y + 1]

Panjang AB dan AC berturut-turut :
|AB| = √(2² + 2²) = √8
|AC| = √((x - 2)² + (y + 1)²) = √(x² + y² - 4x + 2y + 5)

Karena ABC sama sisi, maka |AC| = |AB|.
√(x² + y² - 4x + 2y + 5) = √8
x² + y² - 4x + 2y + 5 = 8
x² + y² - 4x + 2y - 3 = 0 ...................................(1)

Karena AB = [2, 2] dan AC = [x - 2, y + 1] maka
AB ‧ AC = 2(x - 2) + 2(y + 1)
AB ‧ AC = 2x - 4 + 2y + 2
AB ‧ AC = 2x + 2y - 2 ......................................(2)

Karena ABC sama sisi, maka sudut antara AB dan AC adalah 60°. Akibatnya,
AB ‧ AC = |AB| |AC| cos 60°
AB ‧ AC = √8 √8 $\frac{1}{2}$
AB ‧ AC = 4 ........................................................(3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh hubungan
2x + 2y - 2 = 4
2x + 2y = 6
x + y = 3
y = 3 - x .............................................................(4)

Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (1)
x² + (3 - x)² - 4x + 2(3 - x) - 3 = 0
x² + 9 - 6x + x² - 4x + 6 - 2x - 3 = 0
2x² - 12x + 12 = 0
x² - 6x + 6 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
x = 3 + √3 atau x = 3 - √3

Substitusikan nilai -nilai x ke persamaan (4) :
Untuk x = 3 + √3 → y = -√3
Untuk x = 3 - √3 → y = √3

Jadi, koordinat titik C yang mungkin adalah
C(3 + √3 , -√3) atau C(3 - √3 , √3)

Vektor dalam Kajian Matematika

2018-08-29T17:01:00.001+07:00

Vektor adalah segmen garis berarah yang dikarakteristikkan berdasarkan dua hal, yaitu panjang dan arahnya.

Vektor digambarkan menyerupai anak panah. Panjang anak panah merepresentasikan besar/nilai vektor, sedangkan arah anak panah merepresentasikan arah vektor.

Yang membedakan suatu vektor dengan vektor yang lain adalah panjang dan arah masing-masing vektor, bukan dimana posisi ia ditempatkan. Oleh sebab itu, vektor dapat dipindah-pindah posisinya selama panjang dan arahnya tidak diubah.

Vektor dikatakan berada pada posisi standar, jika titik pangkalnya berada pada titik asal O, seperti pada gambar dibawah.

Vektor yang titik pangkalnya berada pada titik asal O disebut juga dengan vektor posisi.

Vektor dapat menjelaskan posisi suatu titik terhadap titik lainnya, dalam hal ini adalah jarak sekaligus arah suatu titik terhadap titik lainnya.

Vektor PQ ditulis $\mathrm{\overrightarrow{PQ}}$ adalah segmen garis berarah dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.

Vektor PQ menginformasikan dua hal, yaitu jarak dari titik P ke titik Q dan arah titik Q dari titik P.

Dalam matematika, vektor diberikan nama dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, u, v dan lain-lain.

Untuk membedakan vektor dengan variabel, diberikan tanda panah diatas huruf tersebut, atau bisa juga menggunakan huruf yang dicetak tebal.

$\vec{a}$ dibaca "vektor a"
u dibaca "vektor u"
PQ dibaca "vektor PQ"

Komponen-Komponen Vektor

Vektor pada ruang dimensi dua (R²) mempunyai dua komponen standar, yaitu komponen sumbu x dan komponen sumbu y. Komponen-komponen ini dapat disajikan dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom.

a = $\begin{align}
[a_{1},a_{2}]
\end{align} $ → vektor baris di R²

a = $\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{1}\\a_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}$ → vektor kolom di R²

Ketika a ditempatkan pada posisi standar, a₁ merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu x, sedangkan a₂ merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu y.

Vektor pada ruang dimensi tiga (R³) mempunyai tiga komponen standar, yaitu komponen sumbu x, y dan z.

b = $\begin{align}
[b_{1},b_{2},b_{3}]
\end{align}$ → vektor baris di R³

b = $\begin{align}
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ b_{2}
\\ b_{3}
\end{bmatrix}
\end{align}$ → vektor kolom di R³

dimana b₁ , b₂ dan b₃ berturut-turut adalah titik hasil proyeksi b terhadap sumbu x, y, dan z pada sistem koordinat tiga dimensi.

Panjang Vektor

Panjang a dinotasikan dengan |a|. Atau sering pula dituliskan dengan ||a|| untuk membedakannya dengan tanda mutlak.

Misalkan a = [a₁ , a₂] adalah suatu vektor di R² dan b = [b₁ , b₂ , b₃] adalah suatu vektor di R³, seperti pada gambar.

Berdasarkan teorema phythagoras, maka panjang a dan b dirumuskan

|a| = $\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}$

|b| = $\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+{b_{3}}^{2}}$

Contoh 1
Tentukan panjang vektor-vektor berikut!
u = [3 , -4]
v = [2 , 4 , -2]

Jawab :
Panjang u adalah
|u| = $\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5$

Panjang v adalah
|v| = $\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{6}$

Vektor Nol

Vektor nol dinotasikan dengan $\vec{0}$ atau 0, yaitu suatu vektor yang panjangnya nol. Semua komponen-komponen dari vektor nol bernilai nol.

0 = [0, 0] → vektor nol di R²
0 = [0, 0, 0] → vektor nol di R³

Dua anak yang sedang menarik seutas tali berlawanan arah dengan gaya yang sama besar dapat kita representasikan sebagai vektor nol.

Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan asalkan vektor-vektor tersebut berada pada ruang dimensi yang sama.

Secara geometris, ada dua metode yang sering digunakan pada penjumlahan vektor, yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Metode Segitiga
Tempatkan titik ujung a berhimpit dengan titik pangkal b. (tanpa mengubah panjang dan arah kedua vektor)

Jumlah atau resultan a dan b ditulis a + b adalah ruas garis berarah yang ditarik dari titik pangkal a ke titik ujung b.

Metode jajar genjang
Tempatkan titik pangkal a berhimpit dengan titik pangkal b, kemudian bentuk sebuah jajar genjang.

Jumlah a dan b ditulis a + b adalah diagonal jajar genjang yang ditarik dari titik pangkal a atau b.

Sifat-sifat pada penjumlahan vektor :
Komutatif : a + b = b + a
Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
Identitas : a + 0 = 0 + a = a
Invers : a + (-a) = 0

Komponen-komponen dari (a + b) diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R².
Jika a = [a₁ , a₂] dan b = [b₁ , b₂] maka

a + b $\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\end{bmatrix}\end{align}$

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R³.
Jika a = [a₁ , a₂, a₃] dan b = [b₁ , b₂ , b₃] maka

a + b $\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\\ a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}\end{align}$

Contoh 2
Jika a = [3, -2] dan b = [4, 1], maka a + b = ...

Jawab :
a + b $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
4\\ 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
7\\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jadi, a + b = [7, -1]

Selain dua metode diatas, kita juga mengenal sebuah metode yang sering disebut dengan metode poligon. Konsepnya hampir sama dengan metode segitiga (ujung ke pangkal). Metode ini sangat cocok digunakan pada penjumlahan lebih dari dua vektor.

Pengurangan Vektor

Pengurangan a dengan b, ditulis a - b adalah jumlah dari a dengan -b. Secara matematis,
a - b = a + (-b)

dimana -b adalah invers dari b, yaitu vektor yang sama panjang namun berlawanan arah dengan b.

Gambar dibawah memperlihatkan vektor a - b yang diperoleh dengan menggunakan metode segitiga.

Vektor (a - b) juga dapat kita tentukan secara cepat dengan menarik ruas garis berarah dari titik ujung b ke titik ujung a, setelah sebelumnya titik pangkal kedua vektor ditempatkan berhimpit, seperti pada gambar berikut.

Komponen-komponen dari (a - b) diperoleh dengan cara mengurangkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R².
Jika a = [a₁ , a₂] dan b = [b₁ , b₂] maka

a - b $\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\end{bmatrix}\end{align}$

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R³.
Jika a = [a₁ , a₂, a₃] dan b = [b₁ , b₂ , b₃] maka

a - b $\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\\ a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}\end{align}$

Contoh 3
Jika a = [3, 4, 2] dan b = [2, 0, -3], maka a - b = ...

Jawab :
a - b $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\\ 2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 0
\\ -3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jadi, a - b = [1, 4, 5]

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah suatu vektor yang merepresentasikan posisi suatu titik terhadap titik asal O.

Vektor posisi dari titik P, ditulis OP menjelaskan dua hal, yaitu jarak dari P ke O dan arah P dari O.

Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa komponen-komponen dari OP tidak lain adalah koordinat dari titik P itu sendiri.

Jadi, vektor posisi dari titik P(x₁, y₁) adalah
OP = [x₁, y₁].

Vektor posisi dapat menjelaskan hubungan antara komponen-komponen suatu vektor dengan koordinat titik pangkal dan titik ujung dari vektor tersebut.

Misalkan OP = p dan OQ = q berturut-turut adalah vektor posisi dari titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂).

Berdasarkan aturan segitiga, kita peroleh

PQ = q - p

Apabila kita libatkan komponen-komponennya, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) adalah titik-titik di R², maka

PQ $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jika P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂) adalah titik-titik di R³, maka

PQ $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\\ z_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\\ z_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\\ z_{2}-z_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}$

dimana PQ adalah suatu vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.

Contoh 4
Diketahui A(2, 3) , B(1, 4) dan C(5, 0) adalah titik-titik di R². Tentukan AB dan CA.

Jawab :
AB $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 1
\end{bmatrix}
\end{align}$

CA $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
5\\ 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3\\ 3
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jadi, AB = [-1, 1] dan CA = [-3, 3]

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian suatu vektor dengan skalar k akan menghasilkan vektor baru yang panjangnya |k| kali dari panjang vektor semula. Skalar disini tidak lain adalah bilangan real.

Jika k > 0 maka vektor yang dihasilkan akan searah dengan vektor semula, sebaliknya jika k < 0 maka vektor yang dihasilkan akan berlawanan arah dengan vektor semula.

Jika a = [a₁ , a₂] adalah vektor di R² dan k adalah skalar, maka

ka $\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}a_{1}\\ \mathrm{k}a_{2}\end{bmatrix}\end{align}$

Jika b = [b₁ , b₂ , b₃] adalah vektor di R³ dan k adalah skalar, maka

kb $\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}b_{1}\\ \mathrm{k}b_{2}\\ \mathrm{k}b_{3}\end{bmatrix}\end{align}$

Contoh 4
Diketahui a = [4, -6] dan b = [1, 4, 5].
Tentukan $\frac{1}{2}$a dan 3b

Jawab :
$\frac{1}{2}$a $\begin{align}
=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
4\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\ -3
\end{bmatrix}
\end{align}$

3b $\begin{align}
=3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 15
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jadi, $\frac{1}{2}$a = [2, -3] dan 3b = [3, 12, 15]

Ketika k = -1, vektor yang dihasilkan akan sama panjang dan berlawanan arah dengan vektor semula.

Dua vektor yang sama panjang namun berlawanan arah disebut saling invers. Jadi, p dan -p adalah dua vektor yang saling invers.

Contoh lain, AB dan -AB juga merupakan dua vektor yang saling invers.

Jika kita perhatikan, -AB tidak lain adalah BA. Dapat kita tulis,

-AB = BA atau AB = -BA

Jumlah dari dua vektor yang saling invers adalah vektor nol. Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan saling invers jika dan hanya jika

a + b = 0

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari u ditulis $\mathbf{\hat{u}}$ adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan dan searah dengan u. Vektor satuan dari u dirumuskan $$\mathbf{\hat{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\,\mathbf{u}$$
dimana
|u| = panjang u
$\mathbf{\hat{u}}$ = vektor satuan dari u

Contoh 5
Vektor satuan dari p = [3 , 4] adalah ...

Jawab :
p = [3, 4] ⟶ |p| = √(3² + 4²) = 5

Vektor satuan dari p adalah
$\begin{align}
\mathbf{\hat{p}}=\frac{1}{|\mathbf{p}|}\,\mathbf{p}=\frac{1}{5}\,[3,4]=\left [ \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right ]
\end{align}$

Apabila vektor satuan dari u, yaitu $\mathbf{\hat{u}}$ kita kalikan dengan panjang v, yaitu |v|, maka akan diperoleh sebuah vektor yang panjangnya |v| dan searah dengan u. Vektor yang diperoleh ini tidak lain adalah v. Faktanya,

Jika u searah dengan v maka berlaku

$\mathbf{v=|v|\,\hat{u}}$ atau $\mathbf{u=|u|\,\hat{v}}$

Jika u berlawanan arah dengan v maka berlaku

$\mathbf{v=-|v|\,\hat{u}}$ atau $\mathbf{u=-|u|\,\hat{v}}$

Contoh 6
Tentukan sebuah vektor yang panjangnya 10 dan berlawanan arah dengan u = [3, 4].

Jawab :
Misalkan vektor yang dimaksud adalah v, dengan |v| = 10

Karena u dan v berlawanan arah, maka berlaku
$\begin{align}
\mathbf{v}&=-|\mathbf{v}|\;\mathbf{\hat{u}}\\
&=-10\,\frac{1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\,[3,4]\\
&=-2\,[3,4]\\
&=[-6,-8]
\end{align}$

Basis Standar

Basis standar adalah himpunan vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat kartesius. Karena searah dengan sumbu-sumbu koordinat, vektor-vektor ini saling tegak lurus.

Basis standar di R² dibentuk oleh vektor-vektor :
$\hat{i}$ = [1, 0] ➝ searah sumbu x positif
$\hat{j}$ = [0, 1] ➝ searah sumbu y positif

Basis standar di R³ dibentuk oleh vektor-vektor :
$\hat{i}$ = [1, 0, 0] ➝ searah sumbu x positif
$\hat{j}$ = [0, 1, 0] ➝ searah sumbu y positif
$\hat{k}$ = [0, 0, 1] ➝ searah sumbu z positif

Komponen-komponen vektor pada suatu ruang dimensi tertentu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari basis standar di ruang dimensi tersebut.

Misalkan u = [u₁ , u₂] adalah vektor di R²
$\begin{align}
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}
u_{1}\\ u_{2}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ u_{2}
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\end{bmatrix}+u_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\,\hat{i}+u_{2}\,\hat{j}
\end{align}$

Misalkan v = [v₁ , v₂ , v₃] adalah vektor di R³
$\begin{align}
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
v_{1}\\ v_{2}
\\ v_{3}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
v_{1}\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ v_{2}
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ v_{3}
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{3}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\,\hat{i}+v_{2}\,\hat{j}+v_{3}\,\hat{k}
\end{align}$

Contoh 7
Nyatakan u = 2i - 6j + 3k dalam vektor baris dan v = [1, 0, -4] dalam vektor basis!

Jawab :
u = 2i - 6j + 3k = [2, -6, 3]
v = [1, 0, -4] = i - 4k

Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.

Dua vektor yang sama tidak harus berada pada posisi yang sama. Selama keduanya memiliki panjang dan arah yang sama, kita tulis PS = QR.

Dua vektor yang sama dapat diidentifikasi dari komponen-komponen yang seletak dari kedua vektor tersebut.

Misalkan a = [a₁, a₂] dan b = [b₁, b₂].

a = b ⇔ a₁= b₁ dan a₂ = b₂

Vektor-Vektor Kolinear

Dua vektor atau lebih dikatakan segaris atau kolinear (collinear) jika vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Dengan demikian, vektor-vektor yang sejajar juga dapat dikatakan kolinear, karena vektor-vektor yang sejajar sudah pasti dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Bangun berikut dibentuk oleh sebuah jajar genjang dan trapesium sama kaki. Coba tentukan semua vektor yang kolinear dengan AF dan ED.

Vektor-vektor yang kolinear dengan AF, yaitu
FA, EF, FE, AE, EA, BC, CB

Vektor-vektor yang kolinear dengan ED, yaitu
DE, CF, FC, AB, BA

Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan kolinear jika dan hanya jika terdapat bilangan real k, dengan k ≠ 0, sedemikian sehingga berlaku

a = kb

Contoh 8
Jika u = [6, 9] dan v = [2, p] adalah dua vektor yang kolinear, maka p = ...

Jawab :
Karena u dan v kolinear, maka akan terdapat bilangan k sehingga berlaku
$\begin{align}
\mathbf{u}&=k\mathbf{v}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=k\begin{bmatrix}
2\\ p
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
2k\\ kp
\end{bmatrix}
\end{align}$

Diperoleh persamaan :
6 = 2k ⇔ k = 3
9 = kp ⇔ 9 = 3p ⇔ p = 3

Aljabar Vektor

Vektor dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk aljabar, seperti (2u + 3u), 3(u - 2v) dan lain-lain.

Vektor-vektor aljabar ini dapat disederhanakan layaknya menyederhanakan persamaan linier biasa. Sebagai contoh,

2u + 3u = 5u

3(u - 2v) = 3u - 6v

Kita bisa memisalkan u = [u₁ , u₂] dan v = [v₁ , v₂] lalu membandingkan hasil ruas kiri dan ruas kanan untuk meyakinkan kita bahwa penyederhanaan seperti diatas adalah valid.

Dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar vektor seperti diatas, boleh-boleh saja kita memandang u dan v sebagai variabel.

Namun, yang perlu kita ingat bahwa u dan v bukan merepresentasikan bilangan layaknya variabel, melainkan sesuatu yang memiliki nilai dan arah. Jadi, tidak semua operasi-operasi aljabar dapat diterapkan kepadanya.

Contoh 9
Jika p = 3a + 2b dan q = a - 4b, nyatakan vektor (2p - q) dalam vektor a dan b

Jawab :
$\begin{align}
2\mathbf{p}-\mathbf{q}&=2(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})-(\mathbf{a}-4\mathbf{b})\\
&=6\mathbf{a}+4\mathbf{b}-\mathbf{a}+4\mathbf{b}\\
&=5\mathbf{a}+8\mathbf{b}
\end{align}$

Jadi, 2p - q = 5a + 8b

Soal Latihan Vektor

Latihan 1
Diketahui trapesium sama kaki ABCD, seperti pada gambar.

Sederhanakan ekspresi-ekspresi vektor berikut!
(a) BC + CB
(b) AB + DA
(c) AC - DC
(d) AD + DB + BC
(e) AC + BD - BC

Jawab :
$\begin{align}
(\mathrm{a})\;\;\mathbf{BC+CB=0}
\end{align}$

$\begin{align}
(\mathrm{b})\;\;\mathbf{AB+DA}&=\mathbf{DA+AB}\\
&=\mathbf{DB}
\end{align}$

$\begin{align}
(\mathrm{c})\;\;\mathbf{AC-DC}&=\mathbf{AC+(-DC)}\\
&=\mathbf{AC+CD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}$

$\begin{align}
(\mathrm{d})\;\;\mathbf{AD+DB+BC}&=\mathbf{(AD+DB)+BC}\\
&=\mathbf{AB+BC}\\
&=\mathbf{AC}
\end{align}$

$\begin{align}
(\mathrm{e})\;\;\mathbf{AC+BD-BC}&=\mathbf{AC+(-BC)+BD}\\
&=\mathbf{AC+CB+BD}\\
&=\mathbf{AB+BD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}$

Latihan 2
Bentuk persamaan vektor yang sesuai dengan diagram berikut!

Jawab :
(a) u + v = w
(b) p + q + r = 0

Latihan 3
Diketahui jajar genjang PQRS dengan T adalah titik potong kedua diagonalnya, seperti pada gambar. Jika PS = a dan PQ = b, nyatakan PT dan TQ dalam a dan b.

Jawab :
PT = $\frac{1}{2}$PR
PT = $\frac{1}{2}$(PS + PQ)
PT = $\frac{1}{2}$(a + b)

TQ = $\frac{1}{2}$SQ
TQ = $\frac{1}{2}$(PQ - PS)
TQ = $\frac{1}{2}$(b - a)

Jadi, PT = $\frac{1}{2}$(a + b) dan TQ = $\frac{1}{2}$(b - a)

Latihan 4
Diketahui a = 2i - j + 3k, b = i + 4j dan c = 2j + k adalah vektor-vektor di R³. Jika v = 2a - 3b + c, tentukan v

Jawab :
$\begin{align}
\mathbf{v}&=2\begin{bmatrix}
2\\ -1
\\ 3
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
4\\ -2
\\ 6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1\\ -12
\\ 7
\end{bmatrix}
\end{align}$

Jadi, v = i - 12j + 7k

Latihan 5
Jika P(-5, 3, 2) dan Q(1, 3, -6) adalah titik-titik di R³, maka panjang PQ adalah ...

Jawab :
PQ $\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 3
\\ -6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-5\\ 3
\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
6\\ 0
\\ -8
\end{bmatrix}
\end{align}$

Panjang PQ adalah
|PQ| $\begin{align}
=\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}=10
\end{align}$

Latihan 6
Jika A(-2, p, -4), B(4, 2, 4) dan C(7, 1, q) adalah titik-titik yang segaris, maka nilai p + q adalah ...

Jawab :
Karena titik A, B dan C segaris, maka AB dan BC adalah dua vektor yang kolinear. Sehingga

$\begin{align}

\mathbf{AB}&=k\cdot \mathbf{BC}\\
\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-2\\ p
\\ -4
\end{bmatrix}
&=k\left (\begin{bmatrix}
7\\ 1
\\ q
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix} \right )\\
\begin{bmatrix}
6\\ 2-p
\\ 8
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
3k\\ -k
\\ k(q-4)
\end{bmatrix}
\end{align}$

Dari persamaan vektor diatas, diperoleh
6 = 3k ⇔ k = 2
2 - p = -k ⇔ 2 - p = -2 ⇔ p = 4
8 = k(q - 4) ⇔ 8 = 2(q - 4) ⇔ q = 8

Jadi, p + q = 4 + 8 = 12

Latihan 7
Perhatikan diagram berikut.

Titik D membagi BC dengan perbandingan 1 : 2. Jika AB = [4, 4] dan AC = [7, 1], maka |AD| = ...

Jawab :
Berdasarkan aturan segitiga, maka
BC = AC - AB = [3, -3]

Karena BD : DC = 1 : 2, akibatnya
BD = $\frac{1}{3}$BC = [1, -1]

Berdasarkan aturan segitiga, maka
AD = AB + BD = [5, 3]

Jadi, panjang AD adalah
|AD| = √(5² + 3²) = √34

Latihan 8
Diketahui a = [2, -4], b = [p, -2], dan c = [q, 2]. Jika a sejajar dengan b, dan b invers dari c, maka nilai p - q = ...

Jawab :
Karena a sejajar dengan b, maka terdapat skalar k sedemikian sehingga a = kb
$\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ -4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}
\end{align}$

Diperoleh persamaan
-4 = -2k ⟶ k = 2
2 = kp ⟶ 2 = (2)p ⟶ p = 1

Karena b invers dari c maka b + c = 0
$\begin{align}
\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
q\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\ 0
\end{bmatrix}
\end{align}$

Diperoleh persamaan
p + q = 0 ⇔ 1 + q = 0 ⇔ q = -1

Jadi, p - q = 1 - (-1) = 2

Latihan 9
Dua buah vektor u dan v, dengan u = [p, q, r] dan v = [1, 4, -1]. Jika |u| = 3 dan u searah dengan v, nilai p + q - 3r = ...

Jawab :
Vektor satuan dari v adalah
$\begin{align}
\mathbf{\hat{v}}&=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}[1,4,-1]\\
&=\frac{1}{3\sqrt{2}}[1,4,-1]\\
&=\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]
\end{align}$

Karena u searah dengan v maka
$\begin{align}
\mathbf{u}&=|\mathbf{u}|\,\mathbf{\hat{v}}\\
&=3\,\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]\\
&=\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{4}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]
\end{align}$

Diperoleh p = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , q = $\frac{4}{\sqrt{2}}$ , r = $\frac{-1}{\sqrt{2}}$

$\begin{align}
\mathrm{p+q+3r}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{2}}+3\left ( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right )\\
&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\
&=\sqrt{2}
\end{align}$

Deret Geometri Tak Hingga

2018-07-30T19:42:00.000+07:00

Bentuk umum dari deret geometri tak hingga adalah

a + ar + ar² + ar³ + ...

dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

Tanda titik tiga (...) diatas menandakan bahwa penjumlahan dilanjutkan terus menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.

Ada dua istilah yang sering digunakan menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.

Konvergen artinya memusat atau menuju ke suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen artinya tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, atau mungkin konstan, yang pasti tidak menuju ke suatu titik tertentu.

Pada deret geometri, kekonvergenan dapat dilihat dari rasio deret tersebut.

Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah jika dan hanya jika |r| < 1.

Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah.

Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1

Contoh 1
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan mengamati rasionya!
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ...
(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ...
(c) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
(d) 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ...
(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ...

Jawab :
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ... (divergen)
karena |r| = |2| ≥ 1

(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ... (divergen)
karena |r| = |1| ≥ 1

(c) 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + ... (konvergen)
karena |r| = |1/2| < 1

(d) 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ... (konvergen)
karena |r| = |-1/3| < 1

(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (divergen)
karena |r| = |-1| ≥ 1

(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ... (divergen)
karena |r| = |-3| ≥ 1

Coba perhatikan kembali rumus jumlah parsial n suku pertama barisan geometri berikut :
$\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-\;r^{n})}{1-\;r}}$, r ≠ 1.

Ketika n semakin besar, tentunya semakin banyak suku-suku yang dijumlahkan. Bagaimana jika n menuju tak hingga? Apakah Sn juga akan menuju ke suatu bilangan tertentu ?

Seandainya Sn menuju ke suatu bilangan S ketika n menuju tak hingga, cukup beralasan jika kita mengatakan bahwa S adalah jumlah dari deret tak hingga tersebut.

Jumlah dari suatu deret tak hingga adalah suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga.

Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret tak hingga adalah limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,S_{n}}$$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga dapat dinyatakan sebagai $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}$$

Jika |r| < 1 maka limit dari rⁿ untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya, $$\mathrm{\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}} $$

Misalkan S = a + ar + ar² + ...
Jika |r| < 1, maka $$\mathrm{S=\frac{a}{1-r}} $$

Contoh 2
Hitung jumlah deret tak hingga berikut!
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Jawab :
a = 1 dan r = 1/2

Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
$\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-1/2}=2}\end{align} $

Setelah mempelajari materi tentang deret aritmatika dan deret geometri, mungkin ada dari kita yang bertanya, mengapa deret tak hingga hanya dibahas pada deret geometri, sedangkan deret aritmatika tidak.

Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah pasti divergen, karena suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar (b > 0) atau bertambah kecil (b < 0). Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada (±∞). Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.

Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga

Latihan 1
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2^-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui : Un = 3^-n.
U1 = 3^-1.= 1/3
U2 = 3^-2 = 1/9

Diperoleh
a = 1/3
r = $\frac{1/9}{1/3}$ = 1/3

Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah
$\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2}\end{align} $

Latihan 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut adalah ...

Jawab :
Diketahui : S = 3a
$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{3a}&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{\frac{a}{3a}} \\
\mathrm{1-r}&=\frac{1}{3} \\
\mathrm{r}&=\frac{2}{3}
\end{align}$

Jadi, rasio deret tersebut adalah 2/3.

Latihan 3
Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga adalah a. Tentukan batas-batas nilai a agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.

Jawab :
Dikethaui S = 2
$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;2&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2(1-r)} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2-2r} \\
\mathrm{2r}&=\mathrm{2-a} \\
\mathrm{r}&= \frac{\mathrm{2-a}}{2}
\end{align}$

Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
$\begin{align}
-1&<\mathrm{\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2)} \\
-2&<\mathrm{2-a<2\;\;\;(kurang\;2)} \\
-4&<\mathrm{-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1))} \\
4&>\mathrm{a}>0 \\
0&<\mathrm{a}<4
\end{align}$

Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4

Latihan 4
Tentukan x agar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
$\begin{align}
\mathrm{\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;...}
\end{align}$

Jawab :
Suku pertama deret tersebut adalah
a = $\mathrm{\frac{3}{(x+3)}}$

Rasio dari deret tersebut adalah
r = $\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}}$ = $\mathrm{\frac{2}{x+3}}$

Diketahui S = 1
$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;1&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{ a} \\
1&= \mathrm{a+r} \\
1&= \mathrm{\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}} \\
1&= \mathrm{\frac{5}{x+3}} \\
\mathrm{x+3}&= 5 \\
\mathrm{x}&=2
\end{align}$

Latihan 5
Tentukan nilai dari pq, jika diketahui
p = log 2 + log²2 + log³2 + log⁴2 + ...
q = log 5 + log²5 + log³5 + log⁴5 + ...

Jawab :
p = log 2 + log²2 + log³2 + log⁴2 + ...

Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 2 , r = log 2 dan S = p

$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{p}&=\mathrm{\frac{log\,2}{1-log\,2}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,10-log\,2}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,5}} \\
&= \mathrm{\,^{5}log\,2}
\end{align}$

q = log 5 + log²5 + log³5 + log⁴5 + ...

Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 5 , r = log 5 dan S = q

$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{q}&=\mathrm{\frac{log\,5}{1-log\,5}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,10-log\,5}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,2}} \\
&= \mathrm{\,^{2}log\,5}
\end{align}$

Jadi, pq = ⁵log 2 . ²log 5 = ⁵log 5 = 1

Latihan 6
Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap (Sgenap) dengan jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut
$\begin{align}
\left (\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r} \right )
\end{align}$

Jawab :
Jumlah suku suku genapnya :
Sgenap = U2 + U4 + U6 + ...
Sgenap = ar + ar³ + ar⁵ + ...

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio r². Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya adalah  $$\begin{align}
\mathrm{S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Jumlah suku-suku ganjilnya :
Sganjil = U1 + U3 + U5 + ...
Sganjil = a + ar² + ar⁴ + ...

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r². Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya adalah  $$\begin{align}
\mathrm{S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :
$\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{ar/(1-r^{2})}{a/(1-r^{2})}=r}
\end{align}$

Jadi, $\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}
\end{align}$

Latihan 7
Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!

Jawab :
Diketahui : S = 6 dan Sgenap = 2

S = Sgenap + Sganjil , akibatnya
Sganjil = S - Sgenap = 6 - 2 = 4

$\begin{align}
\mathrm{r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align}$

$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow 6&=\frac{\mathrm{a}}{1-1/2} \\
\mathrm{a}&=6(1-1/2)=3
\end{align}$

Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut adalah
a = 3 dan r = 1/2

Latihan 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan sampai berhenti..

Jawab :
Panjang lintasan (PL) bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, dapat dihitung dengan menggunakan rumus
PL = 2S - a

Dari soal diketahui a = 10 dan r = 2/3

$\begin{align}
\mathrm{PL}&=\mathrm{2S-a} \\
&=\mathrm{2\left ( \frac{a}{1-r} \right )-a} \\
&=2\left ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}} \right )-10 \\
&=2(30)-10 \\
&=50
\end{align}$

Jadi, panjang lintasan bola saat dijatuhkan hingga bola berhenti adalah 50 m.

Latihan 9
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999... = 1

Jawab :
Misalkan S = 0,999...
Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9 dan r = 0,1

sehingga jumlah tak hingganya adalah
$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1}
\end{align}$

Kita simpulkan, S = 0,999... = 1

Latihan 10
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727... ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).

Jawab :
Misalkan S = 1,272727...
Dapat kita tulis,
S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ...)

Penjumlahan diatas (dalam tanda kurung) membentuk deret geometri dengan
a = 0,27 dan r = 0,01

sehingga jumlah tak hingganya adalah
$\begin{align}
\mathrm{S=1+\left (\frac{0,27}{1-0,01} \right )=1+\frac{0,27}{0,99}=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11}}
\end{align}$

Jadi, 1,272727... = $\frac{14}{11}$

Deret Geometri

2018-07-18T19:28:00.000+07:00

Jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri disebut deret geometri. Deret geometri disebut juga dengan deret ukur. Secara umum, deret geometri dinyatakan dalam bentuk

a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1

dimana, a adalah suku pertama dan r adalah rasio deret tersebut.

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri

Jumlah n suku pertama dari barisan geometri dinotasikan dengan Sn, dan dapat dinyatakan dalam persamaan

Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-2 + ar^n-1

Jika kedua ruas persamaan diatas kita kalikan dengan r, akan diperoleh persamaan

rSn = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^n-1 + arⁿ

Jika kita perhatikan, ruas kanan dari kedua persamaan diatas memuat penjumlahan berurutan suku-suku mulai dari ar sampai ar^n-1.

Hal ini membimbing kita untuk melakukan proses eliminasi, dengan tujuan untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana.

Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-2 + ar^n-1
rSn = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^n-1 + arⁿ _
------------------------------------------------
Sn - rSn = a - arⁿ
Sn (1 - r) = a (1 - rⁿ)
Sn = a (1 - rⁿ) / (1 - r)

Persamaan terakhir, sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri atau jumlah parsial deret geometri, yaitu :

\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\;\;;\;\;r\neq1}
\end{align}

dengan
a = suku pertama
r = rasio
Sn = jumlah n suku pertama

Contoh 1
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan geometri berikut!
3 , 6 , 12 , 24 , ...

Jawab :
Dari barisan diatas, kita peroleh
a = 3
r = 6/3 = 2

$\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{7}=\frac{3(1-2^{7})}{1-2}=381}
\end{align}$

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 381

Contoh 2
Jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 15/4. Jika rasio barisan tersebut adalah 1/2, maka suku pertamanya adalah ...

Jawab :
Diketahui : S4 = 15/4 dan r = 1/2

$\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{4}}&=\mathrm{\frac{a(1-(1/2)^{4})}{1-1/2}} \\
\frac{15}{4}&= \frac{\mathrm{a}(1-1/16)}{1/2} \\
\frac{15}{8}&= \mathrm{a}\left ( \frac{15}{16} \right ) \\
\mathrm{a}&=\frac{15}{8}\cdot \frac{16}{15} \\
\mathrm{a}&= 2
\end{align}$

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 2.

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un-1 , Un adalah suku-suku suatu barisan geometri. Akibatnya,

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un
Sn-1 = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 _
-----------------------------------------
Sn - Sn-1 = Un

Seperti halnya deret aritmatika, pada deret geometri juga berlaku hubungan
Un = Sn - Sn-1

Contoh 3
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dinyatakan dengan rumus Sn = 3(2ⁿ - 1). Tentukan suku keempat dari barisan tersebut!

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka
U4 = S4 - S3

Karena Sn = 3(2ⁿ - 1), maka
S4 = 3(2⁴ - 1) = 45
S3 = 3(2³ - 1) = 21

Jadi, U4 = 45 - 21 = 24

Soal Latihan Deret Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah Un = 3.2ⁿ⁺¹ , tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawab :
Un = 3.2ⁿ⁺¹ maka
U1 = 3.2¹⁺¹ = 12
U2 = 3.2²⁺¹ = 24

Diperoleh a = 12 dan r = 24/12 = 2

Jumlah 6 suku pertamanya :
$\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{6}}=\frac{12(1-2^{6})}{1-2}=756
\end{align}$

Latihan 2
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dirumuskan Sn = 4(1 - 2ⁿ) . Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Sn = 4(1 - 2ⁿ) , maka
S1 = 4(1 - 2¹) = -4
S2 = 4(1 - 2²) = -12

Berdasarkan sifat Un = Sn - Sn-1, maka
U1 = S1 = -4
U2 = S2 - S1 = -12 - (-4) = -8

Diperoleh a = -4 dan r = (-8)/(-4) = 2

Jadi, suku pertamanya -4 dan rasio 2.

Latihan 3
Hitung deret geometri berikut!
2 - 4 + 8 - 16 + ... + 512

Jawab :
Diketahui :
a = 2
r = -4/2 = -2
Un = 512

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
Un = ar^n-1
512 = 2 (-2)^n-1
256 = (-2)^n-1
(-2)⁸ = (-2)^n-1

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 8 ⇔ n = 9

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah
$\begin{align}
\mathrm{S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{S_{9}}&=\frac{2\left [1-(-2)^{9} \right ]}{1-(-2)} \\
& = \frac{2\left [ 513 \right ]}{3} \\
& = 342
\end{align}$

Latihan 4
Diketahui persamaan 3 + 6 + 12 + ... + x = 765. Jika ruas kiri merepresentasikan deret geometri, maka nilai x adalah ...

Jawab :
Diketahui :
a = 3
r = 6/3 = 2
Un = x
Sn = 765

Untuk menentukan nilai x, terlebih dahulu kita harus mencari nilai n.
$\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}} \\
765&= \frac{3(1-2^{\mathrm{n}})}{1-2} \\
-765&=3(1-2^{\mathrm{n}}) \\
-255&=1-2^{\mathrm{n}} \\
2^{\mathrm{n}}&= 256 \\
\mathrm{n}& = 8
\end{align}$

Karena n = 8, berarti x adalah suku ke-8.
x = U8
x = ar⁷
x = 3 . 2⁷
x = 384

Latihan 5
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh dari suatu barisan geometri adalah 65, sedangkan hasil kali suku ketiga dengan suku kelimanya adalah 64. Tentukan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut, jika disyaratkan r < 1.

Jawab :
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh adalah 65, kita tulis :
U1 + U7 = 65
a + ar⁶ = 65
ar⁶ = 65 - a ....................................(*)

Hasil kali suku ketiga dengan suku kelima adalah 64, kita tulis :
U3 . U5 = 64
ar². ar⁴ = 64
a . ar⁶ = 64
a . (65 - a) = 64
65a - a² - 64 = 0
a² - 65a + 64 = 0
(a - 1)(a - 64) = 0
a = 1 atau a = 64

Substitusi nilai a ke persamaan (*) :
Untuk a = 1 → r = 2
Untuk a = 64 → r = 1/2

Karena r < 1, maka yang memenuhi adalah
a = 64 dan r = 1/2

Jadi, jumlah 5 suku pertamanya :
$\begin{align}
\mathrm{S_{n}}=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{5}}&=\frac{64\left [1-(1/2)^{5} \right ]}{1-1/2} \\
& = \frac{64\left [ 1-1/32 \right ]}{1/2} \\
& = 128\left [ \frac{31}{32} \right ] \\
& = 124
\end{align}$

Barisan Geometri

2018-07-14T19:22:00.000+07:00

Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutannya selalu tetap atau konstan. Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan geometri ini disebut dengan rasio dan dilambangkan dengan r.

Jadi, barisan U1, U2, U3, ... , Un-1, Un dikatakan barisan geometri, jika memenuhi $$\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\;...=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}$$
Perhatikan barisan bilangan berikut!

1 , 3 , 9 , 27 , 81

Perbandingan dua suku berurutannya adalah

$\frac{3}{1}=\frac{9}{3}=\frac{27}{9}=\frac{81}{27}=3$

Karena perbandingannya selalu tetap, kita simpulkan bahwa barisan diatas merupakan barisan geometri, dengan rasio 3.

Secara umum, rasio dari barisan geometri dirumuskan

\begin{align}
\mathrm{r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}
\end{align}

Contoh 1
Tentukan rasio dari barisan geometri berikut
8/9 , 4/3 , 2 , 3 , ...

Jawab :
Rasio barisan diatas adalah
r = $\frac{4/3}{8/9}=\frac{3}{2}$

Catatan :
Karena perbandingan setiap 2 suku berurutan pada barisan geometri selalu sama, kita bebas memilih 2 suku berurutan yang akan dibandingkan. Untuk contoh diatas, rasionya akan lebih mudah dihitung dengan membandingkan suku keempat dengan suku ketiga.

Misalkan tiga buah bilangan a, b dan c membentuk barisan geometri. Akibatnya,
$\begin{align}
\mathrm{\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\;\;\Leftrightarrow \;\;ac=b^{2}}
\end{align}$

Dapat kita simpulkan sebagai berikut :

Jika a, b, c membentuk barisan geometri maka berlaku ac = b²

Contoh 2
Tiga suku berurutan dari barisan geometri adalah 4/3 , x , 12. Jika rasio barisan tersebut positif, tentukan x.

Jawab :
Karena barisan 4/3 , x , 12 merupakan barisan geometri, maka berlaku
4/3 . 12 = x² ⇔ x² = 16 ⇔ x = ±4

Agar rasionya positif, haruslah x juga positif. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Setiap suku pada barisan geometri (kecuali suku pertama) dapat kita pandang sebagai hasil kali suku sebelumnya dengan rasio. Dapat kita tulis :

U1 = a
U2 = U1 . r = a . r = ar
U3 = U2 . r = ar . r = ar²
U4 = U3 . r = ar² . r = ar³
...

Untuk mendapatkan pola yang teratur, suku pertama dapat kita asumsikan sebagai ar⁰ , dengan pertimbangan bahwa ar⁰ = a.

Sekarang, coba perhatikan pola berikut!
U1 = ar^1-1 = a
U2 = ar^2-1 = ar
U3 = ar^3-1 = ar²
U4 = ar^4-1 = ar³
...
Un = ar^n-1

Persamaan terakhir inilah yang sering kita sebut dengan rumus suku ke-n barisan geometri, yaitu :

Un = ar^n-1

Secara umum, suku-suku barisan geometri dinyatakan dalam bentuk

a , ar , ar² , ar³ , ar⁴ , ... , ar^n-1

dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio barisan tersebut.

Contoh 3
Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-9 dari barisan geometri berikut!
81 , 27 , 9 , 3 , 1 , ...

Jawab :
Suku pertama dan rasio barisan diatas adalah
a = 81 dan r = 1/3

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri maka suku ke-9 adalah
U9 = ar^9-1
U9 = ar⁸
U9 = 81 . (1/3)⁸
U9 = 3⁴ . 3^-8
U9 = 3^-4
U90= 1/81

Contoh 4
Tentukan banyak suku barisan geometri berikut!
4 , 2 , 1 , 1/2 , ... , 1/128

Jawab :
Diketahui :
a = 4
r = 1/2
Un = 1/128

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
$\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & = \mathrm{ar^{n-1}} \\
\frac{1}{128} & = 4 \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\frac{1}{512} & = \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\left (\frac{1}{2} \right )^{9} & = \ \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\end{align}$

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 9 ⇔ n = 10

Jadi, banyak suku barisan diatas adalah 10.

Jika kita perhatikan, rumus suku ke-n barisan geometri merupakan fungsi eksponen dalam variabel n. Oleh karenanya, sifat-sifat eksponen atau persamaan eksponen tentunya akan sangat membantu dalam menyelesaikan kasus-kasus yang berkaitan dengan barisan geometri.

Soal Latihan Barisan Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 1/4 dan rasionya adalah 2. Suku ke berapakah dari barisan tersebut yang nilainya 32 ?

Jawab :
a = 1/4
r = 2
Un = 32

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
$\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & =\mathrm{ar^{n-1}} \\
32 & = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{2^{n-1}} \\
128 & = \mathrm{2^{n-1}} \\
2^{7} & = \mathrm{2^{n-1}} \\
\end{align}$

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 7 ⇔ n = 8

Jadi, suku yang nilainya 32 adalah suku ke-8.

Latihan 2
Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri dengan rumus Un = 3(2)^3-n

Jawab :
U1 = 3(2)^3-1 = 12
U2 = 3(2)^3-2 = 6

Suku pertamanya adalah
a = 12

Rasionya adalah
r = 6/12 = 1/2

Latihan 3
Nyatakan Un = 3(2)^3-n ke dalam bentuk Un = ar^n-1 , kemudian tentukan a dan r.

Jawab :
Target kita adalah mengubah pangkat 3-n menjadi n-1, yang dapat kita lakukan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.

Un = 3 (2)^3-n
Un = 3 (2^-1)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-1 . (1/2)^-2
Un = 3 (1/2)^n-1 . 4
Un = 12 (1/2)^n-1 ⇔ Un = ar^n-1

Dari persamaan terakhir jelas terlihat bahwa
a = 12 dan r = 1/2

Latihan 4
Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut 1/6 dan 1/48. Tentukan suku ketujuh dari barisan tersebut!

Jawab :
U2 = ar = 1/6
U5 = ar⁴ = 1/48

Bagi kedua persamaan diatas
ar⁴ = 1/48
ar = 1/6 ፥
r³ = 1/8 ⟶ r = 1/2

Suku ketujuh barisan tersebut adalah
U7 = ar⁶
U6 = ar⁴ . r²
U6 = 1/48 . (1/2)²
U6 = 1/48 . 1/4
U6 = 1/192

Latihan 5
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 21 dan hasil kalinya 216, tentukan bilangan-bilangan tersebut

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : a, b, c

Jumlah ketiga bilangan 21, akibatnya
a + b + c = 21
a + c = 21 - b ....................................(1)

Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b² ................................................(2)

Hasil kali ketiga bilangan 216, akibatnya
abc = 216
b(ac) = 216
b(b²) = 216
b³ = 216
b = 6

Substitusi b = 6 ke persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + c = 15 ....................................................(1*)
a . c = 36 ....................................................(2*)

Perhatikan kedua persamaan diatas. Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 36 dan dijumlahkan hasilnya 15 adalah 3 dan 12.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6 dan 12.

Latihan 6
Jika suku kedua, suku ketiga, dan suku keempat dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah (x - 4), (x + 2), (x + 14), tentukan suku pertama dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Misalkan suku pertamanya adalah U1, sehingga suku-suku barisan tersebut adalah
U1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...

Karena (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) merupakan barisan geometri, maka berlaku
(x - 4)(x + 14) = (x + 2)²
x² + 10x - 56 = x² + 4x + 4
6x = 60
x = 10

Untuk x = 10, barisan tersebut menjadi
U1 , 6 , 12 , 24

Karena U1 , 6 , 12 merupakan barisan geometri, maka berlaku
U1 . 12 = 6² ⇔ U1 = 3

Jadi, suku pertamanya adalah 3

Latihan 7
Suku pertama dan suku kedua dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah p^-2 dan p^x , dengan p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1. Jika suku kesepuluhnya adalah p³⁴ , tentukan nilai x.

Jawab :
U1 = p^-2
U2 = p^x
$\mathrm{r=\frac{p^{x}}{p^{-2}}=p^{x+2}}$

U10 = ar⁹
p³⁴ = p^-2 . (p^x+2 )⁹
p³⁴ = p^-2 . p^9x+18
p³⁴ = p^9x+16

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
9x + 16 = 34 ⇔ 9x = 18 ⇔ x = 2

Latihan 8
Sebuah balok berdimensi a × b × c mempunyai volume 216 cm³ dan luas permukaan 252 cm² . Jika a, b, c membentuk barisan geometri turun, tentukan nilai a, b dan c tersebut!

Jawab :
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b²

Volume balok 216 cm³ , akibatnya
abc = 216 ........................................(1)
b . ac = 216
b . b² = 216
b³ = 216
b = 6

Dari persamaan (1), diperoleh
ac = 216/b = 216/6 = 36 (*)
bc = 216/a

Luas balok 252 cm² , akibatnya
2(ab + ac + bc) = 252
ab + ac + bc = 126
a(6) + 36 + 216/a = 126
6a - 90 + 216/a = 0 (kali kedua ruas dengan a)
6a² - 90a + 216 = 0 (bagi kedua ruas dengan 6)
a² - 15a + 36 = 0
(a - 3)(a - 12) = 0
a = 3 atau a = 12

Karena barisan tersebut turun, haruslah a > b. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 12.

Substitusikan a = 12 ke persamaan ac = 36 (*), sehingga diperoleh c = 3.

Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah
12 , 6 , 3

Latihan 9
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 39. Jika suku tengahnya ditambah 6, terbentuklah barisan aritmatika. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : U1, U2, U3

U1 + U2 + U3 = 39
U1 + U3 = 39 - U2 .................................(1)

U1, U2, U3 → barisan geometri
Sehingga berlaku
U1 . U3 = (U2)² ......................................(2)

U1, (U2 + 6) , U3 → barisan aritmatika
Sehingga berlaku
2(U2 + 6) = U1 + U3
2U2 + 12 = 39 - U2
3U2 = 27
U2 = 9

Untuk U2 = 9, persamaan (1) dan (2) menjadi
U1 + U3 = 30 .........................................(1*)
U1 . U3 = 81 .........................................(2*)

Dua bilangan yang jika dikalikan bernilai 81 dan dijumlahkan bernilai 30 adalah 3 dan 27. Karena barisan tersebut naik, haruslah U1 < U3. Sehingga U1= 3 dan U3 = 27.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah
3 , 9 , 27

Latihan 10
Diantara bilangan 1 dan 5 disisipkan k bilangan sedemikian sehingga terbentuk suatu barisan aritmatika. Jika U1 , U4 , U10 , dari barisan tersebut membentuk barisan geometri, tentukan k!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 , ... , 5

dengan U1 = 1 dan Un = 5

U1 , U4 , U10 membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
(U4)² = U1 . U10
(U4)² = (1) . U10
(U4)² = U10 ....................................... (*)

U4 = a + 3b = 1 + 3b
U10 = a + 9b = 1 + 9b

Akibatnya, persamaan (*) menjadi
(1 + 3b)² = 1 + 9b
9b² + 6b + 1 = 1 + 9b
9b² - 3b = 0
3b² - b = 0
b(3b - 1) = 0
b = 0 atau b = 1/3

Untuk b = 0, maka barisan tersebut akan menjadi barisan konstan, dimana semua sukunya bernilai 1. Jadi, nilai b yang memenuhi adalah b = 1/3.

Un = a + (n - 1)b
5 = 1 + (n - 1)(1/3)
4 = (n - 1) (1/3)
12 = (n - 1)
n = 13

Jadi, banyak bilangan yang disisipkan adalah
k = 13 - 2 = 11

Latihan 11
Diantara bilangan 2 dan 12 disisipkan 2 bilangan sedemikian sehingga tiga suku pertama dari barisan yang terjadi membentuk barisan geometri, sedangkan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Jika salah satu dari kedua bilangan yang disisipkan bernilai negatif, tentukan kedua bilangan tersebut, lalu tuliskan keempat suku barisan yang terbentuk.

Jawab :
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y, sehingga barisan yang terbentuk adalah
2 , x , y , 12

Tiga suku pertama, yaitu 2, x, y membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
2y = x² .................................................(1)

Tiga suku terakhir, yaitu x , y , 12 membentuk barisan aritmatika, sehingga berlaku
2y = x + 12 .........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
x² = x + 12
x² - x - 12 = 0
(x + 3)(x - 4) = 0
x = -3 atau x = 4

Substitusi nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut :
x = -3 → y = 9/2
x = 4 → y = 8

Karena salah satu dari kedua bilangan tersebut bernilai negatif, maka nilai x dan y yang memenuhi adalah x = -3 dan y = 9/2.

Jadi, barisan yang yang terbentuk adalah
2 , -3 , 9/2 , 12

Deret Aritmatika

2018-07-12T15:13:00.000+07:00

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku berurutan dari barisan aritmatika. Deret aritmatika disebut juga deret hitung dan dilambangkan dengan Sn, dimana n adalah bilangan asli yang menyatakan banyaknya suku yang akan dijumlahkan.

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika. Apabila suku-suku tersebut kita jumlahkan, maka akan terbentuk deret aritmatika sebagai berikut :

U1 + U2 + U3 + ... + Un

Jumlah satu suku pertama dilambangkan S1, jumlah dua suku pertama dilambangkan S2, dan begitu seterusnya jumlah n suku pertama dilambangkan Sn. Dapat kita tulis :

S1 = U1
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
...
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un

Contoh 1

Diketahui barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, 9, 11. Tentukan :

a. Jumlah 2 suku pertama

b. Jumlah 5 suku pertama

Jawab :

a. Jumlah 2 suku pertamanya adalah

S2 = 1 + 3 = 4

b. Jumlah 5 suku pertamanya adalah
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika

Seperti yang kita tahu, setiap suku pada barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Oleh karenanya, deret aritmatika dapat kita nyatakan dalam persamaan berikut
Sn = U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un

Jika suku-suku pada ruas kanan diurutkan dari suku ke-n sampai suku ke-1, kita peroleh
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1

Apabila kedua persamaan diatas kita jumlahkan, maka akan diperoleh
Sn = U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1 +
2Sn = (U1+Un) + (U1+Un) + (U1+Un) + ... + (U1+Un)

Perhatikan bahwa ruas kanan merupakan penjumlahan (U1 + Un) sebanyak n, dapat kita tulis :
2Sn = n(U1 + Un) ↔ Sn = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(U1 + Un)

Karena U1 = a dan Un = a + (n - 1)b, diperoleh
Sn = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(2a + (n - 1)b)

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu :

$\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}$

atau

$\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})}$

Contoh 2

Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ...

Jawab :
Diketahui : a = 3 dan b = 2

Jumlah 20 suku pertamanya adalah
S20 = $\mathrm{\frac{20}{2}}$(2a + (20 - 1)b)

S20 = 10 (2a + 19b)
S20 = 10 (2(3) + 19(2))
S20 = 10 (6 + 38)
S20 = 440

Contoh 3

Hitung deret aritmatika berikut!
-2 + 1 + 4 + 7 + ... + 28

Jawab :

Diketahui : a = -2, b = 3 dan Un = 28

Un = a + (n - 1)b
28 = -2 + (n - 1)3
28 = -2 + 3n - 3
33 = 3n
n = 11

Jadi, jumlah dari deret aritmatika diatas adalah
S11 = $\mathrm{\frac{11}{2}}$(a + U11)
S11 = $\mathrm{\frac{11}{2}}$(-2 + 28)

S11 = $\mathrm{\frac{11}{2}}$(26)
S11 = 143

Sifat-Sifat Deret Aritmatika

Berikut ini beberapa sifat yang berkaitan dengan deret aritmatika!

Jika jumlah n suku pertama barisan aritmatika dinyatakan dalam bentuk Sn = pn² + qn, maka suku pertama barisan tersebut adalah p + q dan bedanya 2p.

Contoh 4

Diketahui jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika adalah Sn = 4n² - 3n. Tentukan suku pertama dan beda barisan aritmatika yang dimaksud!

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas :
Sn = pn² + qn → a = p + q dan b = 2p

Jadi, untuk Sn = 4n² - 3n, maka
a = 4 + (-3) = 1
b = 2(4) = 8

Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 8.

Misalkan suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah Un dan jumlah n suku pertamanya adalah Sn. Maka berlaku $\mathrm{U_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$

Contoh 5

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 2n² - 3n. Suku ke-5 barisan aritmatika tersebut adalah...

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka U5 = S5 - S4

S5 = 2(5)² - 3(5) = 35
S4 = 2(4)² - 3(4) = 20

Jadi, U5 = 35 - 20 = 15

Contoh 6

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 3n² - 2n. Tentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Sn = 3n² - 2n , akibatnya

Sn-1 = 3(n - 1)² - 2(n - 1)
Sn-1 = 3(n² - 2n + 1) - 2(n - 1)
Sn-1 = 3n² - 6n + 3 - 2n + 2
Sn-1 = 3n² - 8n + 5

Un = Sn - Sn-1
Un = (3n² - 2n) - (3n² - 8n + 5)
Un = 3n² - 2n - 3n² + 8n - 5
Un = 6n - 5

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah Un = 6n - 5

Jika rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah $\mathrm{S_{n}=pn^{2}+qn}$, maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah $\mathrm{U_{n}=2pn+q-p}$

Perhatikan kembali contoh 6 diatas!
Sn = 3n² - 2n, dengan p = 3 dan q = -2.

Berdasarkan sifat diatas, maka
Un = 2(3)n + (-2) - 3
Un = 6n - 5

Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan

Latihan 1
Suku pertama dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 5 dan 50. Jika jumlah semua suku barisan tersebut adalah 440, tentukan banyaknya suku barisan tersebut!

Jawab :
a = 5, Un = 50, Sn = 440, n = ...

Sn = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(a + Un)
440 = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(5 + 50)
2 . 440 = n(55)
880 = 55n
n = 16

Jadi, banyaknya suku barisan tersebut adalah 16.

Latihan 2
Jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh dari suatu barisan aritmatika adalah 30, sedangkan suku kesembilannya adalah 20. Tentukan jumlah 7 suku pertamanya!

Jawab :
U3 + U10 = 30
(a + 2b) + (a + 9b) = 30
2a + 11b = 30 ....................................(1)

U9 = 20
a + 8b = 20 ........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 4 dan b = 2

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah
S7 = $\mathrm{\frac{7}{2}}$ (2a + (7 - 1)b)
S7 = $\mathrm{\frac{7}{2}}$ (2(4) + 6(2))
S7 = 70

Latihan 3
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan jumlah 75. Jika bilangan ketiga dikurang bilangan pertama sama dengan 12, tentukan bilangan kelima!

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1 , U2 , U3 , U4 , U5

U3 - U1 = 12
(a + 2b) - a = 12
2b = 12
b = 6

S5 = 75
$\mathrm{\frac{5}{2}}$ (2a + 4b) = 75
$\mathrm{\frac{5}{2}}$ (2a + 4(6)) = 75
$\mathrm{\frac{5}{2}}$ (2a + 24) = 75
5a + 60 = 75
5a = 15
a = 3

U5 = a + 4b
U5 = 3 + 4(6)
U5 = 27

Jadi, bilangan kelima adalah 27

Latihan 4
Suku keempat dari deret aritmatika adalah 7, sedangkan jumlah dari 6 suku pertama sama dengan 36. Tentukan jumlah dari 10 buah suku pertama

Jawab :
U4 = 7
a + 3b = 7 ....................................................(1)

S6 = 36
$\mathrm{\frac{6}{2}}$ (2a + 5b) = 36
2a + 5b = 12 ................................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 1 dan b = 2

S10 = $\mathrm{\frac{10}{2}}$ (2a + 9b)
S10 = 5 (2(1) + 9(2))
S10 = 100

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 100

Latihan 5
Diketahui deret aritmatika dengan suku pertamanya 5. Jika U11 - U6 = 10, hitunglah S5

Jawab :
a = 5

U11 - U6 = 10
(a + 10b) - (a + 5b) = 10
5b = 10
b = 2

S5 = $\mathrm{\frac{5}{2}}$ (2a + 4b)
S5 = $\mathrm{\frac{5}{2}}$ (2(5) + 4(2))
S5 = 45

Latihan 6
Tentukan banyaknya bilangan pada deret aritmatika berikut agar jumlahnya = 63
15 + 13 + 11 + 9 + ...

Jawab :
Diketahui : a = 15 dan b = -2

Sn = 63
$\mathrm{\frac{n}{2}}$ (2a + (n - 1)b) = 63
$\mathrm{\frac{n}{2}}$ (2(15) + (n - 1)(-2)) = 63
$\mathrm{\frac{n}{2}}$ (32 - 2n) = 63
16n - n² = 63
n² - 16n + 63 = 0
(n - 7)(n - 9) = 0
n = 7 atau n = 9

Jadi, banyaknya bilangan agar jumlah deret tersebut sama dengan 63 adalah 7 atau 9 bilangan.

Latihan 7
Tentukan jumlah semua bilangan asli diantara 1 sampai 100, dimana bilangan tersebut
a. Habis dibagi 2
b. Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3
c. Habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3

Jawab :
(a) Habis dibagi 2, yaitu :
2, 4, 6, 8, 10, ... , 98

Banyaknya bilangan :
Un = a + (n - 1)b
98 = 2 + (n - 1)2
98 = 2n
n = 49

Jumlah ke-49 bilangan tersebut :
S49 = $\mathrm{\frac{49}{2}}$ (2a + 48b)
S49 = $\mathrm{\frac{49}{2}}$ (2(2) + 48(2))
S49 = $\mathrm{\frac{49}{2}}$ (100)
S49 = 2450

(b) Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yaitu :
6, 12, 18, 24, ... , 96

Banyaknya bilangan :
Un = a + (n - 1)b
96 = 6 + (n - 1)6
96 = 6n
n = 16

Jumlah ke-16 bilangan tersebut :
S16 = $\mathrm{\frac{16}{2}}$ (2a + 15b)
S16 = 8 (2(6) + 15(6))
S16 = 8 (102)
S16 = 816

(c) Jumlah semua bilangan asli diantara 1 - 100 yang habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3 yaitu : 2450 - 816 = 1634

Latihan 8
Diantara bilangan 6 dan 78 disisipkan 7 bilangan sedemikian sehingga terbentuk sebuah deret aritmatika. Tentukan beda dan jumlah dari deret aritmatika yang terbentuk

Jawab :
Beda yang terbentuk :
b = $\mathrm{\frac{78-6}{7+1}}$ = 9

Banyaknya bilangan setelah disisipkan :
n = 7 + 2 = 9

Jumlah ke-9 bilangan tersebut adalah
S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (2a + 8b)
S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (2(6) + 8(9))
S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (84)
S9 = 378

atau

S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (a + U9)
S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (6 + 78)
S9 = $\mathrm{\frac{9}{2}}$ (84)
S9 = 378

Latihan 9
Sebuah tali dipotong menjadi 12 bagian yang panjang masing-masing membentuk deret aritmatika. Apabila potongan terpendek 4 cm dan potongan terpanjang 59 cm, hitunglah panjang tali semula!

Jawab :
Diketahui :
n = 12
a = 4
U12 = 59

Panjang tali semula adalah
S12 = $\mathrm{\frac{12}{2}}$ (a + U12)
S12 = 6 (4 + 59)
S12 = 315

Jadi, panjang tali semula adalah 315 cm.

Latihan 10
Diketahui 1 + 5 + 9 + ... + x = 276. Jika ruas kiri persamaan tersebut merepresentasikan deret aritmatika, maka nilai x adalah ...

Jawab :
Diketahui : a = 1, b = 4, Un = x, Sn = 276

Sn = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(2a + (n - 1)b)
276 = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(2(1) + (n - 1)4)
276 = $\mathrm{\frac{n}{2}}$(4n - 2 )
276 = n(2n - 1)
2n² - n - 276 = 0
(2n + 23)(n - 12) = 0
n = -23/2 atau n = 12

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n - 1)b
x = 1 + (12 - 1)4
x = 1 + 44
x = 45

Latihan 11
Banyak suku suatu barisan aritmatika adalah 21. Jumlah 3 buah suku yang berada ditengah adalah 75, sedangkan jumlah 3 suku terakhir adalah 129. Tentukan jumlah semua suku barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, ... , U21

Suku tengahnya adalah suku ke (21 + 1)/2 = 11
Jadi, 3 suku ditengah adalah U10, U11, U12

Jumlah 3 suku yang berada ditengah adalah 75.
U10 + U11 + U12 = 75
(a + 9b) + (a + 10b) + (a + 11b) = 75
3a + 30b = 75
a + 10b = 25 ..........................................(1)

Jumlah 3 suku terakhir adalah 129.
U19 + U20 + U21 = 129
(a + 18b) + (a + 19b) + (a + 20b) = 129
3a + 57b = 129
a + 19b = 43 ..........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 2

Jumlah semua suku barisan tersebut adalah
S21 = $\mathrm{\frac{21}{2}}$ (2a + 20b)
S21 = $\mathrm{\frac{21}{2}}$ (2(5) + 20(2))
S21 = $\mathrm{\frac{21}{2}}$ (50)
S21 = 525

Latihan 12
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika turun, dengan bilangan ketiga sama dengan 9. Jika jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, maka selisih bilangan kedua dengan bilangan keempat adalah...

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, U5

Berdasarkan rumus suku tengah :
2U3 = U1 + U5
2(9) = U1 + U5
U1 + U5 = 18 ..................................(1)

Jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, dapat ditulis :
S5 = U1 . U5
$\frac{5}{2}$(U1 + U5) = U1 . U5
$\frac{5}{2}$(18) = U1 . U5
U1 . U5 = 45 ....................................(2)

Perhatikan persamaan (1) dan (2). Dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 18 dan jika dikalikan hasilnya 45 adalah 3 dan 15. Karena barisan aritmatika tersebut turun, maka U1 > U5.
Jadi, U1 = 15 dan U5 = 3

Hasil sementara bilangan-bilangan tersebut :
15, U2, 9, U4, 3

Berdasarkan rumus suku tengah, maka

U2 = (15 + 9)/2 = 12

U4 = (9 + 3)/2 = 6

Jadi, selisih suku kedua dengan suku keempat :

U2 - U4 = 12 - 6 = 6

Suku Tengah dan Sisipan Barisan Aritmatika

2018-07-10T15:41:00.000+07:00

Artikel kali ini membahas tentang suku tengah dan sisipan pada barisan aritmatika dan merupakan lanjutan dari materi sebelumnya, tentang barisan aritmatika.

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Apabila banyaknya suku barisan aritmatika ganjil, maka akan terdapat sebuah suku tepat ditengah barisan tersebut yang membagi barisan menjadi 2 bagian yang sama.

Karena berada ditengah barisan aritmatika, selanjutnya suku ini disebut suku tengah barisan aritmatika, dan biasa kita lambangkan dengan Ut.

Perhatikan barisan aritmatika berikut!
2 , 5 , 8 , 11 , 14

Jelas terlihat suku tengahnya adalah 8. Jika kita amati, suku tengah tersebut adalah setengah dari jumlah suku-suku tetangganya atau setengah dari jumlah suku pertama dengan suku terakhir.
Ut = (5 + 11)/2 = 8 atau
Ut = (2 + 14)/2 = 8

Perhatikan pula bahwa suku tengahnya berada pada suku ke-3, yaitu setengah dari banyaknya suku ditambah 1.
t = (5 + 1)/2 = 3

Kesimpulan :
Misalkan suku pertama barisan aritmatika adalah a dan suku terakhirnya adalah Un, dengan n > 1 dan n ganjil. Jika suku tengah barisan aritmatika tersebut adalah Ut, maka

$\begin{align}
\mathrm{U_{t}=\frac{a+U_{n}}{2}}
\end{align}$

dengan

$\begin{align}
\mathrm{t=\frac{n+1}{2}}
\end{align}$

Contoh 1
Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ... , 203
a. Tentukan suku tengah barisan tersebut
b. Suku ke berapakah suku tengah tersebut

Jawab :
a. Suku tengah barisan tersebut adalah
$\begin{align}
\mathrm{U_{t}} & = \mathrm{\frac{a+U_{n}}{2}} \\
& = \frac{3+203}{2} \\
& = 103
\end{align}$

b. Berdasarkan rumus suku ke-t, maka
U_t = a + (t - 1)b
103 = 3 + (t - 1)4
103 = 3 + 4t - 4
104 = 4t
t = 26
Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-26

Contoh 2
Diketahui banyaknya suku barisan aritmatika adalah 53. Jika suku pertamanya 5 dan suku tengahnya 57, tentukan suku ke-20 !

Jawab :
Diketahui : n = 53, a = 5 dan U_t = 57
t = (n + 1)/2 = (53 + 1)/2 = 27
Jadi, U₂₇ = 57

U₂₇ = a + 26b
57 = 5 + 26b
52 = 26b
b = 2

Suku ke-20 adalah
U₂₀ = a + 19b
U₂₀ = 5 + 19(2)
U₂₀ = 43

Sisipan Barisan Aritmatika

Misalkan diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan beda b. Suku-suku yang terbentuk adalah sebagai berikut :

x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ... , (x + kb), y

Perhatikan bahwa setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Berdasarkan hal ini, dua suku terakhir dapat kita nyatakan dalam hubungan :
(x + kb) + b = y
x + (k + 1)b = y
(k + 1)b = y - x
b = (y - x) / (k + 1)

Kesimpulan :
Jika diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan, sedemikian sehingga bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka beda barisan aritmatika yang terbentuk dirumuskan

$\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}
\end{align}$

dengan banyaknya suku setelah disisipkan adalah

$\mathrm{n=k+2}$

Contoh 3
Diantara bilangan 4 dan 229 disisipkan 74 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika yang terbentuk, kemudian tuliskan suku-suku yang mewakili barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui x = 4, y = 229, dan k = 74

Beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah
$\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}=\frac{229-4}{74+1}=3
\end{align}$

Banyaknya suku setelah disisipkan adalah
n = k + 2 = 74 + 2 = 76

Suku-suku barisan tersebut yaitu :
4 , 7 , 10 , 13 , ... , 229

Contoh 4
Tentukan banyaknya bilangan yang harus disisipkan diantara bilangan 5 dan 325 agar terbentuk barisan aritmatika dengan beda 8 !

Jawab :
Diketahui x = 5, y = 325, dan b = 8

$\begin{align}
\mathrm{b = \frac{y-x}{k+1}}\;\;
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{y-x}{b}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{325-5}{8}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = 40} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{\;\;\;\;\;\,\,k=39}
\end{align}$

Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan adalah 39 bilangan.

Misalkan disetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda b' dan banyaknya suku n'.

Berdasarkan rumus sebelumnya, beda barisan aritmatika baru adalah

$\begin{align}
\mathrm{b'=\frac{U_{n}-U_{n-1}}{k+1}=\frac{b}{k+1}}
\end{align}$

Banyaknya suku sebelum disisipkan adalah n dan total suku sisipan adalah (n - 1)k. Jadi, banyaknya suku barisan aritmatika baru adalah

$\mathrm{n' = n + (n - 1)k}$

Contoh 5
Diketahui barisan aritmatika 2, 10, 18, 26. Disetiap 2 suku berurutan barisan tersebut disisipkan 3 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika baru tersebut, kemudian tuliskan suku-sukunya!

Jawab :
Diketahui : k = 3
Beda barisan aritmatika awal : b = 10 - 2 = 8
Banyak suku barisan aritmatika awal : n = 4

Beda barisan aritmatika baru adalah
$\begin{align}
\mathrm{b' = \frac{b}{k+1}=\frac{8}{3+1}=2}
\end{align}$

Banyak suku barisan aritmatika baru adalah
n' = n + (n - 1)k
n' = 4 + (4 - 1)3
n' = 13

Suku-suku barisan aritmatika baru :
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26

Barisan Aritmatika

2018-06-18T20:54:00.000+07:00

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un adalah suku-suku suatu barisan bilangan, dengan n bilangan asli. Barisan ini kita sebut barisan aritmatika, jika selisih setiap dua suku yang berurutan/berdekatan selalu konstan atau tetap. Perhatikan barisan bilangan berikut!

2, 5, 8, 11, 14

Selisih dua suku berurutannya adalah
5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3

Karena selisihnya selalu tetap atau sama, kita simpulkan bahwa barisan diatas adalah barisan aritmatika.

Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika sering disebut dengan "beda" dan dilambangkan dengan b. Secara umum, beda barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :

b = U_n - U_n-1

Sedangkan suku pertama biasa dilambangkan dengan a. Dapat kita tulis :

a = U₁

Barisan Aritmatika Naik dan Barisan Aritmatika Turun

Barisan aritmatika dikatakan naik jika dan hanya jika bedanya bernilai positif, sebaliknya barisan aritmatika dikatakan turun jika dan hanya jika bedanya bernilai negatif.

Contoh barisan aritmatika naik :
2 , 4 , 6 , ... , 28 → b = 2

Contoh barisan aritmatika turun :
15 , 10 , 5 , ... , -60 → b = -5

Pada barisan aritmatika naik, suku ke-n selalu lebih besar dari suku ke-(n-1). Dapat kita tulis, Un > Un-1 untuk setiap n. Sedangkan, pada barisan aritmatika turun, suku ke-n akan selalu lebih kecil dari suku ke-(n-1). Kita tulis, Un < Un-1 untuk setiap n.

Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Sebagai contoh, suku kedua merupakan hasil penjumlahan suku pertama dengan beda, suku ketiga merupakan hasil penjumlahan suku kedua dengan beda, dan seterusnya. Perhatikan uraian berikut!

U₁ = a
U₂ = U₁ + b = a + b
U₃ = U₂ + b = a + 2b
U₄ = U₃ + b = a + 3b
...
U_n = U_n-1 + b = a + (n - 1)b

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :

U_n = a + (n - 1)b

Contoh 1
Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... , 135. Tentukan :
a. Suku pertama (a)
b. Beda (b)
c. Suku ke-25 (U25)
d. Banyaknya suku barisan tersebut (n)

Jawab :
a. Suku pertamanya adalah a = 3

b. Beda barisannya adalah b = 5 - 3 = 2

c. Suku ke-25 barisan tersebut adalah
U₂₅ = a + (25 - 1)b
U₂₅ = a + 24b
U₂₅ =  3 + (24)2
U₂₅ =  51

d. Banyaknya suku (n) adalah
U_n =  a + (n - 1)b
135 =  3 + (n - 1)2
135 =  3 + 2n - 2
134 =  2n
n = 67

Contoh 2
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut adalah 9 dan 21. Tentukan :
a. Suku pertama dan beda barisan tersebut!
b. Suku ke-18 dari barisan tersebut!
c. Rumus suku ke-n barisan tersebut!

Jawab :
a. Diketahui U₃ = 9 dan U₆ = 21.
U₃ = a + 2b = 9
U₆ = a + 5b = 21 _
-3b = -12
b = 4

a + 2b = 9
a + 2(4) = 9
a = 1

Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 4.

b. Suku ke-18 barisan tersebut adalah
U₁₈ = a + 17b
U₁₈ = 1 + 17(4)
U₁₈ = 69

c. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 1 + (n - 1)4
U_n = 1 + 4n - 4
U_n = 4n - 3

Contoh 3
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah U_n = 5 - 2n.
a. Tentukan a dan b
b. Tuliskan 5 buah suku pertama barisan tersebut

Jawab :
a. Diketahui U_n = 5 - 2n
U₁ = 5 - 2(1) = 3
U₂ = 5 - 2(2) = 1
a = U₁ = 3
b = U₂ - U₁ = 1 - 3 = -2
Jadi, a = 3 dan b = -2

b. Lima suku pertama barisan tersebut adalah
3, 1, -1, -3, -5

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Karena polanya yang teratur, ada banyak sifat yang dapat kita turunkan menyangkut barisan aritmatika. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut!

Rumus suku ke-n barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk Un = bn + c, dengan suku pertama barisan tersebut adalah b + c, dan bedanya adalah koefisien dari n, yaitu b.

Perhatikan penjelasan berikut.
Dengan menjabarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika akan diperoleh hasil sebagai berikut :
U_n = a + (n - 1)b
U_n = a + bn - b
U_n = bn + a - b

Misalkan a - b = c, persamaan diatas menjadi
U_n = bn + c

Dari persamaan terakhir dapat kita lihat bahwa Un = bn + c merupakan fungsi linier dalam peubah n, dengan domain bilangan asli. Koefisien dari n merupakan beda dari barisan tersebut (gradien dari fungsi), sedangkan c konstan. Karena a - b = c maka a = b + c. Jadi, suku pertamanya adalah b + c.

Contoh 4
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 5 - 2n. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U_n = 5 - 2n
Berdasarkan sifat diatas, maka
a = -2 + 5 = 3
b = -2
Jadi, suku pertamanya 3 dan beda -2.

Jika Um dan Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika, maka untuk m ≠ n berlaku :

$\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{m}-U_{n}}{m-n}}\end{align}$

$\begin{align}\mathrm{U_{m}=U_{n}+(m-n)b}\end{align}$

Simak uraian berikut!
Karena Um dan Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka
Um = a + (m - 1)b ...............(1)
Un = a + (n - 1)b .................(2)

Jika kita kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2) akan diperoleh
Um - Un = (m - n)b atau
Um = Un + (m - n)b atau
b = (Um - Un) / (m - n)

Contoh 5
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut adalah 9 dan 21. Tentukan beda dan suku ke-18 barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U₃ = 9 dan U₆ = 21

Berdasarkan sifat diatas, maka
$\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{6}-U_{3}}{6-3}=\frac{21-9}{6-3}=4}\end{align}$

U₁₈ = U₃ + (18 - 3)4
U₁₈ = 9 + (15)4
U₁₈ = 69

Jadi, suku ke-18 barisan tersebut adalah 69 dengan beda 4.

Jika tiga buah bilangan x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka berlaku $\mathrm{2y = x + z}$

Perhatikan penjelasan berikut!
Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka selisih tiap suku berurutannya akan selalu sama. Sehingga, y - x = z - y atau 2y = x + z.

Contoh 6
Diketahui tiga suku pertama barisan aritmatika adalah (x - 1), (2x + 1), dan (x² + 5). Tentukan nilai x yang memenuhi!

Jawab :
Diketahui barisan aritmatika
(x - 1), (2x + 1), (x² + 5)

Berdasarkan sifat diatas, maka
2(2x + 1) = (x - 1) + (x² + 5)
4x + 2 = x² + x + 4
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 atau x = 2

Bilangan asli berurutan diantara x dan y akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 dan banyaknya bilangan tersebut adalah y - x - 1.

Misalkan x dan y bilangan asli, dengan x < y.
Bilangan asli diantara x dan y, yaitu :
x + 1 , x + 2 , x + 3 , ... , y - 1

dimana : a = x + 1 , b = 1 dan U_n = y - 1.

Berdasarkan rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b
y - 1 = x + 1 + (n - 1)(1)
y - 1 = x + n
n = y - x - 1

Sebagai contoh, banyaknya bilangan asli diantara 10 dan 20 adalah 20 - 10 - 1 = 9.

Bilangan asli berurutan yang habis dibagi k / kelipatan k, akan membentuk barisan aritmatika dengan beda k.

Contoh 7
Tentukan banyaknya bilangan asli diantara 100 dan 300, dengan syarat bilangan tersebut :

habis dibagi 3
tidak habis dibagi 3

Jawab :
Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 adalah
300 - 100 - 1 = 199

Bilangan asli diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 3, yaitu : 102, 105, 107, ... , 297

dengan banyaknya bilangan (n) :
U_n = a + (n - 1)b
297 = 102 + (n - 1)3
297 = 102 + 3n - 3
3n = 198
n = 66

Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 yang tidak habis dibagi 3 adalah 199 - 66 = 133

Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan

Latihan 1
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 dari suatu barisan aritmatika adalah 30. Suku keberapakah dari barisan tersebut yang nilainya 15 ?

Jawab :
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 adalah 30.
U₃ + U₁₃ = 30
(a + 2b) + (a + 12b) = 30
2a + 14b = 30
a + 7b = 15

Karena a + 7b = U₈ , maka U₈ = 15.
Jadi, suku yang nilainya 15 adalah suku ke-8.

Latihan 2
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah 17, sedangkan jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32. Tentukan jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 dari barisan tersebut!

Jawab :
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 adalah 17.
U₂ + U₅ = 17
(a + b) + (a + 4b) = 17
2a + 5b = 17 .............................(1)

Jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32.
U₄ + U₆ = 32
(a + 3b) + (a + 5b) = 32
2a + 8b = 32 .............................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
a = -4 dan b = 5

Jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 adalah
U₈ + U₁₀ = (a + 7b) + (a + 9b)
U₈ + U₁₀ = 2a + 16b
U₈ + U₁₀ = 2(-4) + 16(5)
U₈ + U₁₀ = 72

Latihan 3
Tepat tanggal 1 januari 2018, jumlah tabungan Andi sebesar Rp25.000,00 sedangkan jumlah tabungan Budi sebesar Rp15.000,00. Jika setiap harinya Andi menabung sebesar Rp1.000,00 dan Budi menabung sebesar Rp3.000,00, tanggal berapakah jumlah tabungan mereka menjadi sama besar?

Jawab :
Untuk tabungan Andi :
a = 25000 dan b = 1000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 25000 + (n - 1)(1000)
U_n = 25000 + 1000n - 1000
U_n = 1000n + 24000 ......................(1)

Untuk tabungan Budi :
a = 15000 dan b = 3000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 15000 + (n - 1)(3000)
U_n = 15000 + 3000n - 3000
U_n = 3000n + 12000 ......................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan
3000n + 12000 = 1000n + 24000
2000n = 12000
n = 6

Jadi, jumlah tabungan mereka akan menjadi sama besar pada tanggal 6 Januari 2018.

Latihan 4
Tentukan banyaknya bilangan asli 2 angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4.

Jawab :
Bilangan-bilangan asli yang berkelipatan m dan habis dibagi n akan membentuk barisan aritmatika dengan bedanya merupakan KPK dari m dan n.

Jadi, bilangan asli dua angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 12, yaitu:
12, 24, 36, ... , 96

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
96 = 12 + (n - 1)12
96 = 12 + 6n - 6
6n = 90
n = 15

Latihan 5
Tentukan banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3, diantara 99 dan 999 !

Jawab :
Bilangan asli kelipatan 5 diantara 99 dan 999, yaitu : 100, 105, 110, ... , 995.

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
995 = 100 + (n - 1)5
995 = 100 + 5n - 5
5n = 900
n = 180

Bilangan asli kelipatan 5 yang habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 15, yaitu :
105, 120, 135, ... , 990.

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
990 = 105 + (n - 1)(15)
990 = 105 + 15n - 15
15n = 900
n = 60

Jadi, banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 adalah
180 - 60 = 120.

Latihan 6
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 9. Jika jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut sama dengan 77, maka hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah...

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah x, y, z.
x + y + z = 9 ↔ x + z = 9 - y ...........(1)
x² + y² + z² = 77 ....................................(2)

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
2y = x + z ................................................(3)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2y = 9 - y
3y = 9
y = 3

Untuk y = 3, persamaan (1) menjadi
x + z = 6

Untuk y = 3, persamaan (2) menjadi
x² + z² = 68

Karena x² + z² = (x + z)² - 2xz, maka
(x + z)² - 2xz = 68
(6)² - 2xz = 68
2xz = -32
xz = -16

Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah
(xz)y = (-16)3 = -48

Latihan 7
Diketahui keliling sebuah segitiga adalah 20 cm. Apabila sisi terpendek ditambah 1, ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, maka luas segitiga tersebut adalah ...

Jawab :
Misalkan sisi sisi segitiga tersebut adalah a, b, c, dengan a sisi terpendek dan c sisi terpanjang.
a + b + c = 20 ↔ a + c = 20 - b ................(1)

(a + 1), b, c membentuk aritmatika, sehingga
2b = (a + 1) + c ↔ 2b - 1 = a + c ...............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2b - 1 = 20 - b
3b = 21
b = 7

Untuk b = 7 persamaan (1) menjadi
a + c = 13

Sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, akibatnya sudut di depan sisi b adalah 60°. Perhatikan gambar!

Dengan aturan cosinus, maka
b² = a² + c² - 2ac cos 60°
b² = (a + c)² - 2ac - 2ac (1/2)
b² = (a + c)² - 3ac
7² = (13)² - 3ac
3ac = 120
ac = 40

Berdasarkan rumus luas segitiga :
L = 1/2(ac) sin 60°
L = 1/2(40) 1/2 √3
L = 10√3

Pembahasan Soal UN Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

2018-02-23T13:46:00.000+07:00

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.

Materi-materi yang harus dikuasai dengan baik :

Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk-bentuk eksponen.
Memfaktorkan persamaan kuadrat.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan eksponen.

1. UN 2003

Penyelesaian persamaan $\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}}
\end{align}$ adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = ...
A. 17
B. -1
C. 4
D. 6
E. 9

Pembahasan :
$\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}} & = \mathrm{\frac{1}{32^{x-1}}} \\
\mathrm{8^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{32^{-(x-1)}} \\
\mathrm{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{\left ( 2^{5} \right )^{-(x-1)}} \\
\mathrm{{\color{Red} 2}^{ \frac{3\left ( x^{2}-4x+3 \right )}{2} }} & = \mathrm{{\color{Red} 2}^{-5(x-1)}} \\
\mathrm{\frac{3(x^{2}-4x+3)}{2}} & =\mathrm{-5(x-1)} \\
\mathrm{3(x^{2}-4x+3)} & = \mathrm{-10(x-1)} \\
\mathrm{3x^{2}-12x+9} & = \mathrm{-10x+10} \\
\mathrm{3x^{2}-2x-1} & = 0 \\
\mathrm{(3x+1)(x-1)} & = 0 \\
\mathrm{x=-1/3\;\;atau\;\;} & \mathrm{x=1}
\end{align}$

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6q = 1 + 6(-1/3) = -1

Jawaban : B

2. UN 2006

Akar-akar persamaan eksponen 3^2x - 10.3^x+1 + 81 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka nilai x₁ - x₂ = ...
A. -4
B. -2
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan :
3^2x - 10.3^x+1 + 81 = 0
(3^x)² - 10.3^x.3¹ + 81 = 0
(3^x)² - 30(3^x) + 81 = 0
(3^x - 3)(3^x - 27) = 0
3^x = 3 atau 3^x = 27
x = 1 atau x = 3

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 1.
Jadi, x₁ - x₂ = 3 - 1 = 2

Jawaban : C

3. UN 2006

Akar-akar persamaan 2.3^4x - 20.3^2x + 18 = 0 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan :
2.3^4x - 20.3^2x + 18 = 0
2(3^2x)² - 20(3^2x) + 18 = 0 ÷ 2
(3^2x)² - 10(3^2x) + 9 = 0
(3^2x - 1)(3^2x - 9) = 0
3^2x = 1 atau 3^2x = 9
3^2x = 3⁰ atau 3^2x = 3²
2x = 0 atau 2x = 2
x = 0 atau x = 1

Jadi, nilai x₁ + x₂ = 0 + 1 = 1

Jawaban : B

4. UN 2007

Akar-akar persamaan 3^2x+1 - 28.3^x + 9 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka 3x₁ - x₂ = ...
A. -5
B. -1
C. 4
D. 5
E. 7

Pembahasan :
3^2x+1 - 28.3^x + 9 = 0
3^2x.3¹ - 28.3^x + 9 = 0
3(3^x)² - 28(3^x) + 9 = 0

Misalkan y = 3^x, persamaan diatas menjadi
3y² - 28y + 9 = 0
(3y - 1)(y - 9) = 0
y = 1/3 atau y = 9

Karena y = 3^x, maka penyelesaiannya menjadi
3^x = 1/3 atau 3^x = 9
3^x = 3^-1 atau 3^x = 3²
x = -1 atau x = 2

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 2 dan x₂ = -1.
Jadi, 3x₁ - x₂ = 3(2) - (-1) = 7

Jawaban : E

5. UN 2008

Bila x₁ dan x₂ penyelesaian dari persamaan 2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0 dan x₁ > x₂, maka nilai 2x₁ + x₂ = ...
A. 1/4
B. 1/2
C. 4
D. 8
E. 16

Pembahasan :
2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0
(2^x)² - 6.2^x.2¹ + 32 = 0
(2^x)² - 12(2^x) + 32 = 0
(2^x - 4)(2^x - 8) = 0
2^x = 4 atau 2^x = 8
x = 2 atau x = 3

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2.
Jadi, nilai 2x₁ + x₂ = 2(3) + 2 = 8

Jawaban : D

6. UN 2008

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen $\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}$ adalah ...
A. {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B. {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C. {x / x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
D. {x / x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
E. {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3 atau x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3 atau x ≥ 2

Jawaban : C

7. UN 2009

Akar-akar persamaan 5^x+1 + 5^2-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = ...
A. 6
B. 5
C. 4
D. 1
E. 0

Pembahasan :

5^x+1 + 5^2-x = 30
5^x.5¹ + 5².5^-x = 30
5(5^x) + 25(5^-x) = 30 × 5^x
5(5^x)² + 25 = 30(5^x)
5(5^x)² - 30(5^x) + 25 = 0 ÷ 5
(5^x)² - 6(5^x) + 5 = 0
(5^x - 1)(5^x - 5) = 0
5^x = 1 atau 5^x = 5
x = 0 atau x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b = 0 + 1 = 1

Jawaban : D

8. UN 2009

Akar-akar persamaan 9^x - 12.3^x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = ...
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan :
9^x - 12.3^x + 27 = 0
(3^x)² - 12(3^x) + 27 = 0
(3^x - 3)(3^x - 9) = 0
3^x = 3 atau 3^x = 9
x = 1 atau x = 2

Diperoleh α = 1 dan β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D

9. UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A. 1 < x < 2
B. 5 < x < 25
C. x < -1 atau x > 2
D. x < 1 atau x > 2
E. x < 5 atau x > 25

Pembahasan :
5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0
(5^x)² - 6.5^x.5¹ + 125 > 0
(5^x)² - 30(5^x) + 125 > 0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5 atau y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5 atau y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5 atau 5^x > 25
5^x < 5¹ atau 5^x > 5²
x < 1 atau x > 2

Jawaban : D

10. UN 2014

Himpunan penyelesaian dari 3^2x - 6.3^x < 27 adalah ...
A. {x / x < -3, x ∈ R}
B. {x / x < -2, x ∈ R}
C. {x / x < 2, x ∈ R}
D. {x / x > 2, x ∈ R}
E. {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x - 6.3^x < 27
(3^x)² - 6(3^x) - 27 < 0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y² - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3 atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3 dan y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3 dan 3^x < 9
3^x > -3 dan 3^x < 3²
x ∈ R dan x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R dan x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

11. UN 2017

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4^x - 7.2^x + 2 > 0 adalah ...
A. x < -1 atau x > ²log 3
B. x < ²log 1/3 atau x > 1
C. ²log 1/3 < x < 1
D. x < 1 atau x > ²log 1/3
E. 1 < x < ²log 1/3

Pembahasan :
3.4^x - 7.2^x + 2 > 0
3(2^x)² - 7(2^x) + 2 > 0

Misalkan y = 2^x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y² - 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y² - 7y + 2 = 0
(3y - 1)(y - 2) = 0
y = 1/3 atau y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3 atau y > 2

Karena y = 2^x, maka
2^x < 1/3 atau 2^x > 2
$\mathrm{2^{x}}$ < $\mathrm{2^{^{2}log\,1/3}}$ atau 2^x > 2¹
x < ²log 1/3 atau x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < ²log 1/3 atau x > 1

Jawaban : B

12. UN 2017

Penyelesaian dari 5^-2x+2 + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0 adalah ...
A. x ≤ -3 atau x ≥ 1/25
B. -3 ≤ x ≤ 1/25
C. x ≤ 2
D. x ≥ 2
E. x ≥ -2

Pembahasan :
5^-2x+2 + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0
5^-2x . 5² + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0
25(5^-x)² + 74(5^-x) - 3 ≥ 0

Misalkan y = 5^-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y² + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y² + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3 atau y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3 atau y ≥ 1/25

Karena y = 5^-x, maka
5^-x ≤ -3 ⟶ tidak mempunyai penyelesaian
5^-x ≥ 1/25 ⇔ 5^-x ≥ 5^-2 ⇔ -x ≥ -2 ⇔ x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

Pembahasan SBMPTN 2017 Peluang

2018-02-22T22:33:00.002+07:00

Kumpulan soal dan pembahasan SBMPTN 2017 untuk materi uji Peluang, yang meliputi kaedah pencacahan (aturan perkalian, permutasi, kombinasi) dan peluang suatu kejadian.

1. SBMPTN 2017  TKPA 202
Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat tepat 2 angka genap dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ...
(A) 4.260
(B) 4.290
(C) 4.320
(D) 5.400
(E) 7.200

Pembahasan :
Angka genap ada 4, yaitu 2, 4, 6, 8
Angka ganjil ada 5, yaitu 1, 3, 5, 7, 9

Agar bilangan 5 angka yang dimaksud tepat memuat 2 angka genap, maka 3 angka sisanya haruslah ganjil.

Banyak cara memilih 2 angka genap dan 3 angka ganjil dari 4 angka genap dan 5 angka ganjil yang tersedia adalah $\mathrm{C_{2}^{4}\cdot C_{3}^{5}=60}$.

Dari 2 angka genap dan 3 angka ganjil yang telah dipilih, akan disusun bilangan ganjil 5 angka tanpa pengulangan. Agar bilangan yang disusun ganjil, angka satuan haruslah ganjil (3 pilihan).
1 2   3   4   3   = 1 × 2 × 3 × 4 × 3 = 72

Jadi, banyak bilangan berbeda dengan ciri seperti diatas adalah 60 × 72 = 4.320

Jawaban : C

2. SBMPTN 2017  TKPA 207
Jika 3 laki-laki dan 3 perempuan duduk dalam suatu baris sehingga tidak ada 2 laki-laki yang duduk berdekatan maka banyak susunan duduk berbeda yang mungkin adalah ...
(A) 126
(B) 132
(C) 138
(D) 144
(E) 150

Pembahasan :
Formasi duduk yang mungkin agar tidak ada 2 laki-laki yang duduk berdekatan ada 4, yaitu :
LPLPLP
PLPLPL
LPPLPL
LPLPPL

Banyaknya susunan duduk untuk masing-masing formasi diatas adalah 3! × 3! = 36.
Jadi, banyak susunan duduk berbeda yang mungkin adalah 4 × 36 = 144

Jawaban : D

3. SBMPTN 2017  TKPA 213
Banyak bilangan 4 angka (boleh berulang) yang habis dibagi 2 atau 5 dan angka ribuannya 1 atau 3 adalah ...
(A) 900
(B) 1.000
(C) 1.100
(D) 1.200
(E) 1.300

Pembahasan :
Jumlah angka ada 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Agar bilangan habis dibagi 2 atau 5, maka satuannya harus angka genap atau 5, yaitu angka 0, 2, 4, 5, 6, 8 (ada 6 pilihan). Untuk angka ribuan ada 2 pilihan, yaitu 1 atau 3.
Banyak bilangan 4 angka (boleh berulang) adalah
2 10  10 6   = 2 × 10 × 10 × 6 = 1.200

Jawaban : D

4. SBMPTN 2017  TKPA 222
Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah ...
(A) 42
(B) 52
(C) 62
(D) 72
(E) 82

Pembahasan :
Banyak susunan berjajar 2 truk dan 3 bus adalah
5! = 120.

Banyak susunan berjajar 2 truk dan 3 bus jika kedua truk bersebelahan adalah
(TT), B, B, B = 4! × 2! = 48

Jadi, banyak susunan berjajar 2 truk dan 3 bus jika kedua truk tidak bersebelahan adalah
120 - 48 = 72

Jawaban : D

5. SBMPTN 2017  TKPA 224
Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan dua huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf berdekatan adalah ...
(A) 75.000
(B) 175.000
(C) 100.000
(D) 150.000
(E) 125.000

Pembahasan :
Banyak angka (A) : 10
Banyak huruf vokal (H) : 5

Formasi 3 angka dan 2 huruf yang mungkin agar tidak ada 2 huruf yang berdekatan ada 6, yaitu :
AHAHA
AHAAH
AAHAH
HAHAA
HAAHA
HAAAH

Banyaknya simbol yang dapat dibuat untuk masing-masing formasi diatas jika angka dan huruf boleh berulang adalah 10³ × 5² = 25.000.

Jadi, banyak susunan simbol seluruhnya adalah
6 × 25.000 = 150.000

Jawaban : D

6. SBMPTN 2017   TKPA 226
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
(A) 720
(B) 705
(C) 672
(D) 48
(E) 15

Pembahasan :
Banyak susunan berjajar 6 pemain adalah
6! = 720.

Banyak susunan berjajar dengan setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
(A₁ A₂), (B₁ B₂), (B₁ B₂) = 3! × 2! × 2! × 2! = 48

Jadi, banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
720 - 48 = 672

Jawaban : C

7. SBMPTN 2017  TKPA 233
Sebuah bilangan ganjil 5 angka memuat tepat 4 angka ganjil dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ...
(A) 1.920
(B) 1.940
(C) 1.960
(D) 2.100
(E) 2.400

Pembahasan :
Angka genap ada 4, yaitu 2, 4, 6, 8
Angka ganjil ada 5, yaitu 1, 3, 5, 7, 9

Agar bilangan 5 angka yang dimaksud tepat memuat 4 angka ganjil, maka 1 angka sisanya haruslah genap.

Banyak cara memilih 4 angka ganjil dan 1 angka genap dari 5 angka ganjil dan 4 angka genap yang tersedia adalah $\mathrm{C_{4}^{5}\cdot C_{1}^{4}=20}$.

Dari 4 angka ganjil dan 1 angka genap yang telah dipilih, akan disusun bilangan ganjil 5 angka tanpa pengulangan. Agar bilangan yang disusun ganjil, angka satuan haruslah ganjil (4 pilihan).
1   2   3   4   4   = 1 × 2 × 3 × 4 × 4 = 96

Jadi, banyak bilangan berbeda dengan ciri seperti diatas adalah 20 × 96 = 1.920.

Jawaban : A

8. SBMPTN 2017  TKPA 268
Lima baju dipindahkan secara acak dari lemari yang berisi 15 baju merah, 10 baju putih, dan 5 baju hijau. Peluang terambilnya 2 baju merah, 1 baju putih dan 2 baju hijau adalah ...
(A) $\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,3)\cdot C(5,1)}{C(30,25)}}
\end{align}$
(B) $\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,1)\cdot C(5,3)}{C(30,6)}}
\end{align}$
(C) $\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,2)\cdot C(5,3)}{C(30,25)}}
\end{align}$
(D) $\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,1)\cdot C(5,3)}{C(30,25)}}
\end{align}$
(E) $\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,1)\cdot C(10,2)\cdot C(5,3)}{C(30,25)}}
\end{align}$

Pembahasan :
Kejadian terambilnya 2 baju merah : C(15,2)
Kejadian terambilnya 1 baju putih : C(10,1)
Kejadian terambilnya 2 baju hijau : C(5,2)
Ruang sampel terambilnya 5 baju dari 30 baju yang tersedia : C(30,5)

Peluang terambilnya 2 baju merah, 1 baju putih dan 2 baju hijau adalah
$\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,1)\cdot C(5,2)}{C(30,5)}}
\end{align}$

Selanjutnya, gunakan sifat C(n, r) = C(n, n-r) agar sesuai dengan opsi jawaban pada soal.
C(5,2) = C(5, 5-2) = C(5,3)
C(30,5) = C(30, 30-5) = C(30,25)

Jadi, bentuk diatas senilai dengan
$\begin{align}
\mathrm{\frac{C(15,2)\cdot C(10,1)\cdot C(5,3)}{C(30,25)}}
\end{align}$

Jawaban : D

9. SBMPTN 2017  Saintek 136
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah ...
(A) 0,04
(B) 0,10
(C) 0,16
(D) 0,32
(E) 0,40

Pembahasan :
Kotak I : 12P 3M
Kotak II : 4P 4M

Dari masing-masing kotak diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Peluang yang terambil 1 bola merah :

Kotak I terambil MP dan kotak II terambil PP :
$\left (\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}$
Kotak I terambil PM dan kotak II terambil PP :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}$
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil MP :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}$
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil PM :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}$
Jadi, peluang yang terambil 1 bola merah adalah
$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$= $\frac{10}{25}$ = 0,40

Jawaban : E

Limit di Tak Hingga

2018-02-08T15:15:00.000+07:00

Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x². Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.

x = 1 → f(x) = 1
x = 10 → f(x) = 0,01
x = 100 → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001
...
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa nilai f(x) semakin mendekati 0, ketika x semakin besar. Sekarang coba perhatikan grafik fungsinya.

Jelas terlihat bahwa kurva y = 1/x² semakin mendekati garis y = 0, ketika x semakin besar. Faktanya, seberapa besarpun x yang kita ambil, nilai 1/x² akan semakin dekat ke 0.

Secara intuitif kita simpulkan, jika x semakin besar tanpa batas, nilai 1/x² semakin dekat ke 0. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$
Sekarang coba kita amati nilai fungsi f(x) = 1/x² untuk nilai-nilai x berikut.
x = -1 → f(x) = 1
x = -10 → f(x) = 0,01
x = -100 → f(x) = 0,0001
x = -1000 → f(x) = 0,000001

Dari data diatas dapat kita lihat bahwa f(x) = 1/x² juga semakin dekat ke 0, ketika x semakin kecil (negatif besar). Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to -\infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$

Nilai fungsi f(x) tidak selalu mendekati bilangan tertentu, ketika x semakin besar. Bisa saja nilai f(x) justru semakin besar dan terus bertambah besar tanpa batas. Untuk kasus seperti ini, kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;f(x)=\infty}$$ artinya jika nilai x semakin besar tanpa batas, maka nilai f(x) juga semakin besar tanpa batas. Limit seperti ini disebut limit tak hingga di tak hingga.

Contoh 1
Tentukan $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}}
\end{align}$

Jawab :
Misalkan f(x) = x²
x = 1 → f(x) = 1
x = 10 → f(x) = 100
x = 100 → f(x) = 10000
...
Seperti yang kita lihat, ketika x semakin besar, nilai x² juga semakin besar, namun tidak mendekati suatu bilangan unik tertentu, melainkan terus bertambah besar tanpa batas. Kita simpulkan $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}=\infty}
\end{align}$

Perlu diketahui, teorema limit dasar masih bisa kita terapkan pada limit di tak hingga. Namun, untuk kasus-kasus yang melibatkan bentuk tak tentu, seperti (∞ - ∞), (∞/∞) atau (0.∞), perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu.

Sifat A Jika n > 0 dan n bilangan rasional, maka

$\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x^{n}}=0 }\end{align}$
$\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to -\infty }\frac{1}{x^{n}}=0,\;\; }\end{align}$ xⁿ terdefinisi untuk x < 0

Contoh 2
Hitung  $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
\end{align}$

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari polinom tersebut, kemudian hitung limit dari masing-masing faktor dengan berpedoman pada sifat A.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \left ( 1-0 \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}} \\
& = \infty
\end{align}$

Contoh 3
Tentukan $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
\end{align}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x³, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-4x}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}+x^{2}}{x^{3}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{1-\frac{4}{x^{2}}}{3+\frac{1}{x}}} \\
& = \frac{1-0}{3+0} \\
& = \frac{1}{3}
\end{align}$

Contoh 4
Hitung $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
\end{align}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x⁴, kemudian hitung limitnya.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-x}{x^{4}}}{\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{4}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}}{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}} \\
& = \frac{0-0}{1-0+0} \\
& = 0
\end{align}$

Contoh 5
Tentukan  $\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
\end{align}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x², kemudian hitung limitnya.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x-x^{3}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}-4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-x}{1-\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{1}{x}-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{_{x \to \infty}^{lim}\,1-\;_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{0-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{1-0}} \\
& = -\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x} \\
& = -\infty
\end{align}$

Contoh 6
Untuk n bilangan asli dan a₀ ≠ 0, tunjukkan bahwa
$\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+...+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )=\lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}
\end{align}$

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari fungsi polinom tersebut, kemudian hitung limitnya.

$\begin{align}

& \lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,...\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,...\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot(1+0\,+\,...\,+\,0+0) \\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}

\end{align}$

Sifat B   Jika p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan ax^m dan bxⁿ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x), maka

1. $\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,p(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,ax^{m}}\end{align}$

2. $\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,q(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,bx^{n}}\end{align}$

3. $\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{ax^{m}}{bx^{n}} }\end{align}$

Sifat diatas mengatakan bahwa nilai limit di tak hingga fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat diatas, contoh 2 - 5 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right ) = \lim_{x \to \infty }\,x^{3}=\infty }
\end{align}$

$\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{3x^{3}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{3}=\frac{1}{3}}
\end{align}$

$\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{x^{4}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{x}=0}
\end{align}$

$\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{-x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,(-x)=-\infty }
\end{align}$

Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B.3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut.

Sifat C Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan ax^m dan bxⁿ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x).

Jika m = n maka

$\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b}}\end{align}$

Jika m < n maka

$\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=0 }\end{align}$

Jika m > n maka

$\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\left\{\begin{matrix}{\color{white} -}\infty,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}>0} \\ -\infty ,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}<0}\end{matrix}\right. }\end{align}$

Sifat diatas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut.

Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.
Jika pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = 0.
Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ (asalkan perbandingan koefisiennya positif) atau -∞ (asalkan perbandingan koefisiennya negatif)

Dengan menggunakan sifat C, contoh 2, 3 dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\frac{1}{3}}
\end{align}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=0}
\end{align}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.2, nilai limitnya = 0.

$\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=-\infty}
\end{align}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif. Berdasarkan sifat C.3, nilai limitnya = -∞.

Penyelesaian limit di tak hingga fungsi irasional (memuat fungsi irasional) hampir sama saja dengan fungsi polinom atau rasional. Sifat-sifat diatas masih dapat kita gunakan. Yang perlu kita cermati adalah saat bekerja dengan limit untuk x → -∞.

Perlu kita ingat !
Jika $x>0$ maka $\sqrt{x^{2}}=x$
Jika $x<0$ maka $\sqrt{x^{2}}=-x$

Secara umum, dapat dinyatakan sebagai berikut !
1. Untuk n > 0 dan n ganjil maka
$\begin{align}
\sqrt{x^{2n}}=\left\{\begin{matrix}
{\color{white} -}x^{n}\,,\;\;\;x>0\\-x^{n}\,,\;\;\;x<0
\end{matrix}\right.
\end{align}$

2. Untuk n > 0 dan n genap maka
$\begin{align}
\sqrt{x^{2n}}=x^{n}\,,\;\;\;x\in \mathbb{R}
\end{align}$

Contoh 7
Hitung limit berikut !
$\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1} \\
& b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
\end{align}$

Jawab :
Untuk $\begin{align}
x\rightarrow \infty
\end{align}$ maka $\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=x
\end{align}$
Untuk $\begin{align}
x\rightarrow -\infty
\end{align}$ maka $\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=-x
\end{align}$

$\begin{align}
a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{ \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \frac{\sqrt{4+0}}{2-0} \\
& =1
\end{align}$

$\begin{align}
b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{-x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{ -\sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \frac{-\sqrt{4+0}}{2-0} \\
& =-1
\end{align}$

Contoh diatas dapat pula diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x. Dengan catatan, untuk limit x→-∞, nilai $x=-\sqrt{x^{2}}$.

Contoh 8
Hitung limit berikut !
$\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right ) \\ & b.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \end{align}$

Jawab :
Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.

Analisa opsi a !
Jika $x\rightarrow -\infty$, maka $\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty$ dan $4x\rightarrow -\infty$.
Akibatnya, $(\sqrt{x^{2}-2x}-4x)\rightarrow \infty-(-\infty)=\infty$

Analisa opsi b !
Jika $x\rightarrow \infty$ maka $2x\rightarrow \infty$ dan $\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty$.
Akibatnya, $(2x-\sqrt{4x^{2}+x})\rightarrow \infty-\infty$ (tak tentu)

$\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right )=\infty \\ \end{align}$

$\begin{align}
b.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right )\cdot \frac{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{4x^{2}-(4x^{2}+x)}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{1}{x} \right )}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
& = \frac{-1}{2+\sqrt{4+0}} \\
& = -\frac{1}{4} \\
\end{align}$

Contoh 9
Jika a = p dan a, p ≠ 0 tunjukkan bahwa
$\begin{align}
& a.\lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& b.\lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{-2\sqrt{a}}
\end{align}$

Jawab :
$\begin{align}
a.\;\; \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
\end{align}$

Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
$\begin{align}
\Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
\end{align}$

Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh
$\begin{align} & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{\left (ax^{2}+bx+c \right )-\left ( ax^{2}+qx+r \right )}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{(b-q)x+c-r}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{\sqrt{a+0+0}\;+\sqrt{a+0+0}}\\ & \Leftrightarrow \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ \end{align}$

$\begin{align}
b.\;\; \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
\end{align}$

Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
$\begin{align}
\Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
\end{align}$

Kalikan dengan akar sekawannya, sederhanakan hingga diperoleh hasil sebagai berikut
$\begin{align}
& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}}
\end{align}$

Perlu kita ingat bahwa untuk x → -∞ maka $\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=-x
\end{align}$. Akibatnya, bentuk diatas menjadi
$\begin{align}

& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{-x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{-\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{-\sqrt{a+0+0}\;-\sqrt{a+0+0}}\\
& \Leftrightarrow \frac{b-q}{-2\sqrt{a}}\\
\end{align}$

Contoh 10
Hitung limit berikut dengan menggunakan sifat pada contoh 9 !
$\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\
& b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\
\end{align}$

Jawab :
Alternatif penyelesaian : hitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan sifat pada contoh 9.a, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar.

$\begin{align} a.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{4x^{2}}\;-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & =\frac{0-(-2)}{2\sqrt{4}}\;-\;1\;\;\;\;\;\;\;(9.a) \\ & = -\frac{1}{2} \end{align}$

$\begin{align} b.\;\;& \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-(-x) \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-\sqrt{x^{2}} \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \frac{-4-0}{-2\sqrt{1}}\;+\;2 \;\;\;\;\;\;\;( 9.b)\\ & = 4 \end{align}$

Contoh 11
Hitung limit berikut !
$\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
& b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
\end{align}$

Jawab :
$\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
\end{align}$

Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya,

$\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x}
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{1}{u}\,sin\,u \\
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{u} \\
& = 1
\end{align}$

$\begin{align}
& b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
\end{align}$

Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya

$\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{\frac{1}{u}\left ( 1-cos\,2u \right )} \\
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{u\,sin\,u}{2\,sin^{2}u} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \lim_{u \to 0 }\,\frac{u}{sin\,u} \\
& = \frac{1}{2}\cdot 1 \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}$

Sinus dan Cosinus Berdasarkan Lingkaran Satuan

2018-02-05T21:32:00.000+07:00

Dalam trigonometri, lingkaran satuan didefinisikan sebagai lingkaran yang berpusat di titik asal O(0, 0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan. Setiap titik yang berada pada lingkaran satuan memenuhi persamaan

x² + y² = 1

Selanjutnya, persamaan diatas disebut dengan persamaan lingkaran satuan.

Lingkaran Satuan

Definisi Sinus dan Cosinus pada Lingkaran Satuan

Misalkan θ adalah sudut yang berada pada posisi baku. Jika sisi terminal sudut θ berpotongan dengan lingkaran satuan di titik P, maka koordinat titik P(x, y) didefinisikan

x = cos θ dan y = sin θ

Ketika θ berubah, posisi titik P akan berpindah mengikuti besar sudut θ dan tentunya nilai cos θ dan sin θ juga akan ikut berubah.

Tanda Trigonometri di Setiap Kuadran

Perhatikan diagram berikut !

Kuadran I dibatasi oleh sumbu x positif dan sumbu y positif. Akibatnya, untuk setiap titik (x, y) di kuadran I, koordinat x dan y akan bernilai positif. Karena x = cos θ dan y = sin θ, maka cos θ dan sin θ bernilai positif, untuk setiap θ di kuadran I.

Kuadran II dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y positif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran II, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai positif.

Kuadran III dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran III, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai negatif.

Kuadran IV dibatasi sumbu x positif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran IV, cos θ bernilai positif dan sin θ bernilai negatif.

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

Perhatikan gambar berikut !

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P dan P' adalah
P(cos θ, sin θ)
P'(cos (-θ), sin (-θ)) .......................(*)

Titik P' dapat kita pandang sebagai hasil pencerminan titik P(cos θ, sin θ) dengan sumbu x. Dengan demikian, koordinat titik P' adalah
P'(cos θ, -sin θ) ............................(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(-θ) = -sin θ
cos(-θ) = cos θ

Perbandingan Trigonometri Sudut Kuadrantal

Sudut kuadrantal adalah sudut dalam posisi baku dimana sisi terminalnya berada pada sumbu x atau sumbu y. Contohnya, sudut 0, 90°, 180°, 270° dan semua sudut yang koterminal dengan sudut-sudut tersebut. Secara umum, sudut kuadrantal dinyatakan dalam bentuk n.90°, dengan n bilangan bulat.

Perhatikan sudut-sudut kuadrantal berikut!

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
A(cos 0°, sin 0°) = (1, 0)
B(cos 90°, sin 90°) = (0, 1)
C(cos 180°, sin 180°) = (-1, 0)
D(cos 270°, sin 270°) = (0, -1)

Berikut nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut kuadrantal pada interval 0° − 360°.

θ	0°	90°	180°	270°	360°
sin θ	0	1	0	−1	0
cos θ	1	0	−1	0	1
tan θ	0	tdf	0	tdf	0

*tdf = tidak terdefinisi

Perbandingan Trigonometri Suatu Berelasi

Kita ambil contoh untuk relasi sudut α dan (180° - α). Secara geometri, relasi sudut α dan (180° - α) dapat kita gambarkan sebagai berikut.

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P adalah
P(cos(180° - α), sin(180° - α)) .......................(*)

Perhatikan segitiga OPP' siku-siku di P'. Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, maka
cos α = OP'/1 → OP' = cos α
sin α = PP'/1 → PP' = sin α

Titik P berada dikuadran II, dengan OP' = cos α dan PP' = sin α. Dengan demikian, koordinat titik P adalah
P(-cos α, sin α) ..............................................(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(180° - α) = sin α ...........................(1)
cos(180° - α) = -cos α .........................(2)

Untuk perbandingan trigonometri sudut-sudut relasi lainnya, dapat kita tentukan dengan cara yang sama seperti diatas (secara geometri), atau dapat pula dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang telah diperoleh sebelumnya (secara aljabar). Sebagai contoh,

Persamaan (1) dapat ditulis menjadi
sin α = sin(180° - α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
sin(180° + θ) = sin(180° - (180° + θ))
sin(180° + θ) = sin(-θ)
sin(180° + θ) = -sin θ ...........................(i)

Persamaan (2) dapat ditulis menjadi
cos α = -cos(180° - α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
cos(180° + θ) = -cos(180° - (180° + θ))
cos(180° + θ) = -cos(-θ)
cos(180° + θ) = -cos θ ...........................(ii)

Jika sudut θ pada persamaan (i) dan (ii) kita ganti dengan α, akan diperoleh
sin(180° + α) = -sin α .......................(3)
cos(180° + α) = -cos α ......................(4)

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Koterminal

Kita tahu bahwa sisi terminal sudut-sudut yang koterminal berada pada posisi yang sama (berhimpit). Akibatnya, sisi terminal sudut-sudut yang koterminal akan memotong lingkaran satuan di titik yang sama. Kita ambil contoh sudut 30° dan -330°.

Mengacu pada definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
x = cos 30° = cos(-330°)
y = sin 30° = sin(-330°)

Secara umum dapat kita simpulkan bahwa, jika α koterminal dengan β maka
sin α = sin β
cos α = cos β

Karena sudut α koterminal dengan (α + k.360°), maka
sin(α + k.360°) = sin α
cos(α + k.360°) = cos α
dengan k bilangan bulat.

Untuk contoh-contoh yang berkaitan dengan persamaan atau sifat-sifat diatas, dapat dibaca pada materi perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Pembahasan Soal UN Barisan dan Deret

2018-02-01T07:41:00.000+07:00

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan dan Deret Geometri, serta Deret Geometri Tak Hingga.

Barisan dan Deret Aritmatika

Rumus suku ke-n barisan aritmatika :

U_n = a + (n - 1)b

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika :

S_n = $\frac{\mathrm{n}}{2}$(a + U_n)

atau

S_n = $\frac{\mathrm{n}}{2}$(2a + (n - 1)b)

Keterangan :
a = suku pertama
b = beda barisan (b = U_n - U_n-1)
n = banyak suku
U_n = suku ke-n
S_n = jumlah n suku pertama

Barisan dan Deret Geometri

Rumus suku ke-n barisan geometri

U_n = ar^n-1

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri

$\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}
\end{align}$

Rumus deret geometri tak hingga

$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}
\end{align}$

Keterangan :
a = suku pertama
r = rasio barisan (r = U_n / U_n-1)
n = banyak suku
U_n = suku ke-n
S_n = jumlah n suku pertama
S = jumlah deret geometri tak hingga

Sifat Sifat Lain

Hubungan U_n , S_n dan S_n-1 pada barisan bilangan :

U_n = S_n - S_n-1

Jika x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka

x + z = 2y

Jika x, y, z membentuk barisan geometri, maka

xz = y²

1. UN 2003
Jumlah deret geometri tak hingga
√2 + 1 + $\frac{1}{2}$√2 + $\frac{1}{2}$ + ... adalah ...
A. $\frac{2}{3}$(√2 + 1)
B. $\frac{3}{2}$(√2 + 1)
C. 2(√2 + 1)
D. 3(√2 + 1)
E. 4(√2 + 1)

Pembahasan :
Jumlah deret geometri tak hingga dengan a = √2 dan r = 1 / √2 adalah

$\begin{align}
\mathrm{S }
& =\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
& = \frac{2}{\sqrt{2}-1} \\
& = \frac{2}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} \\
& = \frac{2\left ( \sqrt{2}+1 \right )}{2-1} \\
& = 2\left ( \sqrt{2}+1 \right )
\end{align}$

Jawaban : C

2. UN 2004
Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3$\frac{5}{9}$ cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah ...
A. 1 cm
B. 1$\frac{1}{3}$ cm
C. 1$\frac{1}{2}$ cm
D. 1$\frac{7}{9}$ cm
E. 2$\frac{1}{4}$ cm

Pembahasan :
U₂ = ar = 2 → r = 2/a
U₄ = ar³ = 3$\frac{5}{9}$ = 32/9

$\begin{align}
\mathrm{ar^{3}} & =\frac{32}{9} \\
\mathrm{a\left ( \frac{2}{a} \right )^{3}} & =\frac{32}{9} \\
\mathrm{\frac{8}{a^{2}}} & = \frac{32}{9} \\
\mathrm{a^{2}} & = \frac{8\cdot 9}{32} \\
\mathrm{a^{2}} & = \frac{9}{4} \\
\mathrm{a} & = \frac{3}{2}
\end{align}$

Jawaban : C

3. UN 2005
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah ...
A. Rp1.315.000,00
B. Rp1.320.000,00
C. Rp2.040.000,00
D. Rp2.580.000,00
E. Rp2.640.000,00

Pembahasan :
a = 50 (dalam ribuan rupiah)
b = 5 (dalam ribuan rupiah)

Jumlah tabungan dalam 2 tahun (24 bulan) adalah
S₂₄ = $\mathrm{\frac{24}{2}}$(2 • 50 + (24 - 1)5)
S₂₄ = 12(100 + 115)
S₂₄ = 2.580 (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D

4. UN 2006
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah ...
A. 95 tahun
B. 105 tahun
C. 110 tahun
D. 140 tahun
E. 145 tahun

Pembahasan :
Karena umur ke-5 anak tersebut membentuk barisan aritmatika, maka 10 tahun kemudian umur mereka juga akan membentuk barisan aritmatika dengan beda yang sama.

Usia si bungsu 10 tahun kemudian = 15 + 10 = 25
Usia si sulung 10 tahun kemudian = 23 + 10 = 33

U₁ = a = 25
U₅ = 33

S₅ = $\mathrm{\frac{5}{2}}$(a + U₅)
S₅ = $\mathrm{\frac{5}{2}}$(25 + 33)
S₅ = 145

Jawaban : E

5. UN 2007
Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ...
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315

Pembahasan :
Diketahui barisan aritmatika :
U₃ = a + 2b = 36 ................................(1)

U₅ + U₇ = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144
a + 5b = 72 ..........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 12 dan b = 12

Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah
S₁₀ = $\frac{10}{2}$ (2 • 12 + (10 - 1)12)
S₁₀ = 5(24 + 108)
S₁₀ = 5(132)
S₁₀ = 660

Jawaban : B

6. UN 2007
Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun?
A. Rp20.000.000,00
B. Rp25.312.000,00
C. Rp33.750.000,00
D. Rp35.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

Pembahasan :
a = 80 (dalam jutaan rupiah)
r = 3/4

Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah U₄.
U₄ = ar³
U₄ = 80(3/4)³
U₄ = 80(27/64)
U₄ = 270/8
U₄ = 33,75 (dalam jutaan rupiah)

Jawaban : C

7. UN 2008
Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ...
A. 368
B. 369
C. 378
D. 379
E. 384

Pembahasan :
Diketahui deret geometri :
U₁ = a = 6
U₄ = ar³ = 48 ..........................(*)

Substitusi a = 6 ke persamaan (*) diperoleh
6r³ = 48 ⇔ r³ = 8 ⇔ r = 2

Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah
$\begin{align}
\mathrm{S_{6}=\frac{6\left ( 1-2^{6} \right )}{1-2}=\frac{6(-63)}{-1}=378}
\end{align}$

Jawaban : C

8. UN 2009
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U₃ + U₉ + U₁₁ = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U₄₃ = ...
A. 218
B. 208
C. 134
D. 132
E. 131

Pembahasan :
Diketahui barisan aritmatika :
U₃ + U₉ + U₁₁ = 75
(a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
3a + 20b = 75 .........................................(1)

Karena banyak suku barisan tersebut 43, maka suku tengahnya adalah suku ke (43 + 1)/2, yaitu U₂₂.
U₂₂ = a + 21b = 68 ................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 3

U₄₃ = a + 42b
U₄₃ = 5 + 42(3)
U₄₃ = 131

Jawaban : E

9. UN 2009
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda positif. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ...
A. 4
B. 2
C. 1/2
D. -1/2
E. -2

Pembahasan :
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah x, y dan z.
x, y, z → aritmatika
x, (y - 1), z → geometri

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
x + z = 2y ..........................................(1)

Karena x, (y - 1), z barisan geometri, maka berlaku
xz = (y - 1)² .......................................(2)

Jumlah ketiga suku barisan geometri = 14, maka
x + (y - 1) + z = 14
y + (x + z) = 15
y + (2y) = 15
3y = 15
y = 5

Substitusi y = 5 ke persamaan (1) dan (2) diperoleh
x + z = 10 ............................................(3)
xz = 16 ................................................(4)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
x = 2 dan z = 8

Catatan : penyelesaian dari persamaan (3) dan (4) bisa juga x = 8 dan z = 2. Namun, karena diketahui beda barisan x, y, z positif, haruslah x < z.

Rasio dari barisan x, (y - 1), z adalah
r = (y - 1)/x = (5 - 1)/2 = 2

Jawaban : B

10. UN 2009
Jumlah tiga bilangan barisan aritmatika adalah 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut adalah ...
A. 1/2
B. 3/4
C. 3/2
D. 2
E. 3

Pembahasan :
Misalkan ketiga bilangan tersebut x, y dan z.
x, y, z → barisan aritmatika
x, (y - 1), (z + 5) → barisan geometri

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
x + z = 2y ............................................(1)

Karena x, (y - 1), (z + 5) barisan aritmatika, maka
x(z + 5) = (y - 1)² ................................(2)

Jumlah ketiga suku barisan aritmatika = 45, maka

x + y + z = 45

y + (x + z) = 45

y + 2y = 45

3y = 45

y = 15

Substitusi y = 15 ke persamaan (1) dan (2) diperoleh
x + z = 30 → z = 30 - x .......................(3)
x(z + 5) = 196 ..........................................(4)

Substitusi persamaan (3) ke (4) diperoleh
x(30 - x + 5) = 196

x² - 35x + 196 = 0

(x - 7)(x - 28) = 0

x = 7 atau x = 28

Rasio dari barisan x, (y - 1), (z + 5) adalah
r = (y - 1)/x

Untuk x = 7, maka r = (15 - 1)/7 = 2
Untuk x = 28, maka r = (15 - 1)/28 = 1/2

Jawaban : A/D

11. UN 2010
Diketahui barisan aritmatika dengan U_n adalah suku ke-n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ...
A. 10
B. 19
C. 28,5
D. 55
E. 82,5

Pembahasan :
Diketahui barisan aritmatika :
U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165
a + 18b = 55

U₁₉ = a + 18b = 55

Jawaban : D

12. UN 2011
Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan ada ...
A. 1.050 kg
B. 1.200 kg
C. 1.350 kg
D. 1.650 kg
E. 1.750 kg

Pembahasan :
a = 120
b = 10

S₁₀ = $\frac{10}{2}$(2 • 120 + (10 - 1)10)
S₁₀ = 5(240 + 90)
S₁₀ = 1.650

Jawaban : D

13. UN 2011
Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah ...
A. 308
B. 318
C. 326
D. 344
E. 354

Pembahasan :
Diketahui suku-suku barisan aritmatika :
U₄ = a + 3b = 110 ....................(1)
U₉ = a + 8b = 150 ....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 86 dan b = 8

U₃₀ = a + 29b
U₃₀ = 86 + 29(8)
U₃₀ = 318

Jawaban : B

14. UN 2012
Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah ...
A. 45.760
B. 45.000
C. 16.960
D. 16.000
E. 9.760

Pembahasan :
a = 1960
b = -120

S₁₆ = $\frac{16}{2}$(2 • 1960 + (16 - 1)(-120))
S₁₆ = 8(3920 - 1800 )
S₁₆ = 16.960

Jawaban : C

15. UN 2012
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan S_n = $\frac{5}{2}$n² + $\frac{3}{2}$n. Suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah ...
A. 49
B. 47$\frac{1}{2}$
C. 35
D. 33$\frac{1}{2}$
E. 29

Pembahasan :
Diketahui S_n = $\frac{5}{2}$n² + $\frac{3}{2}$n

Berdasarkan rumus U_n = S_n - S_n-1 , maka
U₁₀ = S₁₀ - S₉
U₁₀ = { $\frac{5}{2}\cdot$10² + $\frac{3}{2}\cdot$10 } - { $\frac{5}{2}\cdot$9² + $\frac{3}{2}\cdot$9 }
U₁₀ = $\frac{5}{2}$(10² - 9²) + $\frac{3}{2}$(10 - 9)
U₁₀ = $\frac{95}{2}$ + $\frac{3}{2}$
U₁₀ = 49

Jawaban : A

16. UN 2012
Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 1/3 dan rasio = 1/3, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah ...
A. 27
B. 9
C. 1/27
D. 1/81
E. 1/243

Pembahasan :
Diketahui barisan geometri :
U₅ = ar⁴ = 1/3
r = 1/3

U₉ = ar⁸
U₉ = ar⁴ . r⁴
U₉ = (1/3) . (1/3)⁴
U₉ = (1/3) . 1/81
U₉ = 1/243

Jawaban : E

17. UN 2012
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00

Pembahasan :
a = 46 (dalam ribuan rupiah)
b = 18 (dalam ribuan rupiah)

S₁₂ = $\frac{12}{2}$(2 • 46 + (12 - 1)18)
S₁₂ = 6(92 + 198)
S₁₂ = 1.740 (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : A

18. UN 2012
Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp1.600.000,00. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ...
A. Rp25.800.000,00
B. Rp25.200.000,00
C. Rp25.000.000,00
D. Rp18.800.000,00
E. Rp18.000.000,00

Pembahasan :
a = 1600 (dalam ribuan rupiah)
b = 200 (dalam ribuan rupiah)

S₁₀ = $\frac{10}{2}$(2 • 1600 + (10 - 1)200)
S₁₀ = 5(3200 + 1800)
S₁₀ = 25.000 (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : C

19. UN 2013
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...
A. -580
B. -490
C. -440
D. -410
E. -380

Pembahasan :
Diketahui suku-suku barisan aritmatika :
U₃ = a + 2b = 2 ........................(1)
U₈ = a + 7b = -13 .........................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 8 dan b = -3

Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah
S₂₀ = $\frac{20}{2}$(2 • 8 + (20 - 1)(-3))
S₂₀ = 10(16 - 57)
S₂₀ = -410

Jawaban : D

20. UN 2013
Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah ...
A. 6.200 unit
B. 6.400 unit
C. 12.400 unit
D. 12.600 unit
E. 12.800 unit

Pembahasan :
U₁ = a = 200
U₄ = ar³ = 1600 .......................(*)

Substitusi a = 200 ke persamaan (*) diperoleh
200r³ = 1600 ⇔ r³ = 8 ⇔ r = 2

Hasil produksi selama 6 tahun adalah jumlah 6 suku pertama barisan geometri diatas, yaitu :
$\begin{align}
\mathrm{S_{6}}
& = \frac{200(1-2^{6})}{1-2} = \frac{200(-63)}{-1}=12.600
\end{align}$

Jawaban : D

21. UN 2013
Umur Razan, Amel dan Icha membentuk barisan geometri. Jumlah usia mereka 14 tahun. Perbandingan usia Icha dan Amel adalah 2 : 1. Razan berumur paling muda. Usia Razan adalah ...
A. 2 tahun
B. 3 tahun
C. 4 tahun
D. 6 tahun
E. 8 tahun

Pembahasan :
Misalkan :
U₁ = a = usia Razan
U₂ = ar = usia Amel
U₃ = ar² = usia Icha

r = U₃ / U₂ = 2/1 = 2

U₁ + U₂ + U₃ = 14
a + ar + ar² = 14
a + a(2) + a(2)² = 14
a + 2a + 4a = 14
7a = 14
a = 2

Jadi, usia Razan adalah 2 tahun

Jawaban : A

22. UN 2014
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah...
A. 1.200 kursi
B. 800 kursi
C. 720 kursi
D. 600 kursi
E. 300 kursi

Pembahasan :
Pandang ke-15 baris kursi sebagai suku-suku barisan aritmatika, dengan jumlah kursi baris terdepan sebagai suku pertama dan selisih jumlah kursi tiap baris yang berdekatan sebagai beda barisan.
n = 15
a = 20
b = 4

Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu
$\begin{align}
\mathrm{S_{15}}
& = \frac{15}{2}\left ( 2\cdot 20+(15-1)4 \right ) \\
& = \frac{15}{2}\left ( 40+56 \right ) \\
& = 720

\end{align}$

Jawaban : C

23. UN 2015
Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ...
A. 36 meter
B. 38 meter
C. 45 meter
D. 47 meter
E. 51 meter

Pembahasan :
Kasus diatas dapat diselesaikan dengan rumus :

$\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a(c+b)}{c-b}}
\end{align}$

S = panjang lintasan
a = ketinggian awal bola
$\mathrm{\frac{b}{c}}$ = rasio dari ketinggian bola pada pantulan ke-n dengan ketinggian bola pada pantulan sebelumnya.

Dari soal diketahui a = 9 dan $\mathrm{\frac{b}{c}=\frac{2}{3}}$. Jadi,
$\begin{align}
\mathrm{S}=\frac{9(3+2)}{3-2}=\frac{9(5)}{1}=45
\end{align}$

Jawaban : C

24. UN 2016
Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ...
A. 310 cm
B. 470 cm
C. 550 cm
D. 630 cm
E. 650 cm

Pembahasan :
Pandang ke-enam potongan tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir.
n = 6
U₁ = a = 10
U₆ = ar⁵ = 320 .......................(*)

Substitusi a = 10 ke persamaan (*) diperoleh
10r⁵ = 320 ⇔ r⁵ = 32 ⇔ r = 2

Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah dari ke-enam potongan tali tersebut, yaitu
$\begin{align}
\mathrm{S}_{6}= \frac{10(1-2^{6})}{1-2}=\frac{10(1-64)}{-1} = 630
\end{align}$

Jawaban : D

25. UN 2017
Suatu barisan geometri 16, 8, 4, 2, ..., maka jumlah n suku pertama adalah ...
A. 2^n-5 - 32
B. 2^5-n - 32
C. 32 - 2^5-n
D. 32 - 2^n-5
E. 32 - (1/2)^5-n

Pembahasan :
Diketahui barisan geometri :
a =16
r = 8/16 = 1/2

Jumlah n suku pertama adalah
$\begin{align}
\mathrm{S_{n}}
& = \mathrm{\frac{16(1-(1/2)^{n})}{1-(1/2)}} \\
& = \mathrm{32(1-(1/2)^{n})} \\
& = \mathrm{32-32(1/2)^{n}} \\
& = \mathrm{32-2^{5}\cdot 2^{-n}} \\
& = \mathrm{32-2^{5-n}}
\end{align}$

Jawaban : C

26. UN 2017
Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah ...
A. 80 buah
B. 90 buah
C. 100 buah
D. 110 buah
E. 120 buah

Pembahasan :
n = 6
U₂ = a + b = 9 ........................(1)
U₅ = a + 4b = 21 ......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 4

Jumlah seluruh permen adalah
S₆ = $\frac{6}{2}$(2 • 5 + (6 - 1)4)
S₆ = 3(10 + 20)
S₆ = 90

Jawaban : B

27. UN 2017
Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah ...
A. Rp1.015.000,00
B. Rp1.050.000,00
C. Rp1.290.000,00
D. Rp1.320.000,00
E. Rp1.340.000,00

Pembahasan :
a = 80 (dalam ribuan rupiah)
b = 5 (dalam ribuan rupiah)

Jumlah tabungan dalam 1 tahun (12 bulan) adalah
S₁₂ = $\frac{12}{2}$(2.80 + (12 - 1)5)
S₁₂ = 6(160 + 55)
S₁₂ = 1.290 (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : C

28. UN 2017
Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah...
A. 100 gram
B. 50 gram
C. 25 gram
D. 12,5 gram
E. 6,25 gram

Pembahasan :
06.00 → 1.600 gram
08.00 → 800 gram

10.00 → 400 gram

12.00 → 200 gram

14.00 → 100 gram

atau U₅ = 1600 (1/2)^5-1 = 100

Jawaban : A

29. UN 2017
Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah...
A. 160 spesies
B. 100 spesies
C. 80 spesies
D. 50 spesies
E. 40 spesies

Pembahasan :
07.00 → 5 spesies
09.00 → 10 spesies

11.00 → 20 spesies

13.00 → 40 spesies

15.00 → 80 spesies

atau U₅ = 5 (2)^5-1 = 80

Jawaban : C

Pembahasan Soal UN Persamaan Trigonometri

2018-01-08T17:56:00.000+07:00

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu.

UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...
A. {π/3, π, 5π/3}
B. {2π/3, π, 4π/3}
C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π}
D. {0, π/3, 5π/3, 2π}
E. {0, π/3, 4π/3, 2π}

Pembahasan :
cos 2x = -cos x
cos 2x + cos x = 0
(2cos²x - 1) + cos x = 0
2cos²x + cos x - 1 = 0
(2cos x - 1)(cos x + 1) = 0
cos x = 1/2 atau cos x = -1

cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV.
K.I → x = 60°
K.IV → x = 360° - 60° = 300°

cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π
→ x = 180°

Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} atau {π/3, π, 5π/3}

Jawaban : A

Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian.

UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan 4sin²x - 5sin x - 2 = 2cos²x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 7π/6}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan :
4sin²x - 5sin x - 2 = 2cos²x
4sin²x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin²x)
4sin²x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin²x
6sin²x - 5sin x - 4 = 0
(3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0
sin x = 4/3 atau sin x = -1/2

sin x = 4/3 → tidak mempunyai solusi

sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III → x = 180° + 30° = 210°
K.IV → x = 360° - 30° = 330°

Jadi, HP = {210°, 330°} atau {7π/6, 11π/6}

Jawaban : E

UN 2016
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {60°, 120°, 150°}
B. {60°, 150°, 300°}
C. {90°, 210°, 300°}
D. {90°, 210°, 330°}
E. {120°, 250°, 330°}

Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0
1 - 2sin²x + sin x = 0
2sin²x - sin x - 1 = 0
(2sin x + 1)(sin x - 1) = 0
sin x = -1/2 atau sin x = 1

sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III → x = 180° + 30° = 210°
K.IV → x = 360° - 30° = 330°

sin x = 1, 0 ≤ x ≤ 360°
→ x = 90°

Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}

Jawaban : D

UN 2015
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 pada 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {60°, 120°}
B. {60°, 240°}
C. {60°, 300°}
D. {120°, 240°}
E. {120°, 300°}

Pembahasan :
cos 2x + 3cos x - 1 = 0
(2cos²x - 1) + 3cos x - 1 = 0
2cos²x + 3cos x - 2 = 0
(2cos x - 1)(cos x + 2) = 0
cos x = 1/2 atau cos x = -2

cos x = -2 → tidak mempunyai solusi

cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I → x = 60°
K.IV → x = 360° - 60° = 300°

Jadi, HP = {60°, 300°}

Jawaban : C

UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A. {0°, 20°, 60°}
B. {0°, 20°, 100°}
C. {20°, 60°, 100°}
D. {20°, 100°, 140°}
E. {100°, 140°, 180°}

Pembahasan :
0° ≤ x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540°

2cos 3x = 1
cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1(360°) = 420°
K.IV → 3x = 360° - 60° = 300°

3x = 60° → x = 20°
3x = 420° → x = 140°
3x = 300° → x = 100°

Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}

Jawaban : D

UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos²x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {30°, 150°}
B. {30°, 300°}
C. {60°, 150°}
D. {60°, 300°}
E. {150°, 300°}

Pembahasan :
2cos²x + 5sin x - 4 = 0
2(1 - sin²x) + 5sin x - 4 = 0
2 - 2sin²x + 5sin x - 4 = 0
2sin²x - 5sin x + 2 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 2) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = 2

sin x = 2 → tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I → x = 30°
K.II → x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A

UN 2013
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A. {30°, 150°}
B. {60°, 120°}
C. {30°, 60°, 150°}
D. {60°, 90°, 120°}
E. {60°, 120°, 150°}

Pembahasan :
cos 2x - sin x = 0
(1 - 2sin²x) - sin x = 0
2sin²x + sin x - 1 = 0
(2sin x - 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = -1

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I → x = 30°
K.II → x = 180° - 30° = 150°

sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180°
(tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°)

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A

UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A. {120°, 150°}
B. {150°, 165°}
C. {30°, 150°}
D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}

Pembahasan :
cos 4x + 3sin 2x = -1
(1 - 2sin²2x) + 3sin 2x = -1
-2sin²2x + 3sin 2x + 2 = 0
2sin²2x - 3sin 2x - 2 = 0
(2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0
sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2

sin 2x = 2 → tidak mempunyai solusi

sin 2x = -1/2 , 0° ≤ 2x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III → 2x = 180° + 30° = 210°
K.IV → 2x = 360° - 30° = 330°

2x = 210° → x = 105°
2x = 330° → x = 165°

Jadi, HP = {105°, 165°}

Jawaban : -

UN 2010
Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ...
A. {0, π}
B. {π/2, π}
C. {3π/2, π}
D. {π/2, 3π/2}
E. {0, 3π/2}

Pembahasan :
sin 2x + 2cos x = 0
2sin x cos x + 2cos x = 0
cos x (2sin x + 2) = 0
cos x = 0 atau sin x = -1

cos x = 0, 0 ≤ x < 2π
→ x = 90°

sin x = -1, 0 ≤ x < 2π
→ x = 270°

Jadi, HP = {90°, 270°} atau {π/2, 3π/2}

Jawaban : D

UN 2009
Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ...
A. {10, 50, 170, 230}
B. {50, 70, 230}
C. {50, 170, 230, 350}
D. {20, 80, 100}
E. {0, 50, 170, 230, 350}

Pembahasan :
sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2

Gunakan sifat :
sin A + sin B = 2sin$\mathrm{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}$ cos$\mathrm{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}$ pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh

2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2
2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2
sin (2x + 50)° = 1/2
sin (2x + 50)° = sin 30°

Solusi I :
2x + 50 = 30 + k.360
2x = -20 + k.360
x = -10 + k.180
Untuk k = 1 → x = 170
Untuk k = 2 → x = 350

Solusi II :
2x + 50 = (180 - 30) + k.360
2x = 100 + k.360
x = 50 + k.180
Untuk k = 0 → x = 50
Untuk k = 1 → x = 230

Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}

Jawaban : C

UN 2008
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {240°, 300°}
B. {210°, 330°}
C. {120°, 240°}
D. {60°, 120°}
E. {30°, 150°}

Pembahasan :
cos 2x + 7sin x - 4 = 0
(1 - 2sin²x) + 7sin x - 4 = 0
-2sin²x + 7sin x - 3 = 0
2sin²x - 7sin x + 3 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 3) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = 3

sin x = 3 → tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I → x = 30°
K.II → x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : E

UN 2005
Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos²x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {45°, 105°, 225°, 285°}
B. {45°, 135°, 225°, 315°}
C. {15°, 105°, 195°, 285°}
D. {15°, 135°, 195°, 315°}
E. {15°, 225°, 295°, 315°}

Pembahasan :
Acos x + Bsin x = k cos (x - θ)
dengan
k = $\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}$
tan θ = $\mathrm{\frac{B}{A}}$ atau θ = arctan$\mathrm{\left ( \frac{B}{A} \right )}$
Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B).

2√3 cos²x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0
⇔ 2√3 cos²x - √3 - 2sin x cos x = 1
⇔ √3 (2cos²x - 1) - 2sin x cos x = 1
⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1 ............................(1)

Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ)
A = √3 dan B = -1
k = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}$ = 2
Karena (A, B) = (√3, -1) berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV.
tan θ = $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ → θ = 330°

Diperoleh persamaan
√3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°) .........(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2cos (2x - 330°) = 1
cos (2x - 330°) = 1/2
cos (2x - 330°) = cos 60°

Solusi I :
2x - 330° = 60° + k.360°
2x = 390° + k.360°
x = 195° + k.180°
Untuk k = -1 → x = 15°
Untuk k = 0 → x = 195°

Solusi II :
2x - 330° = -60° + k.360°
2x = 270° + k.360°
x = 135° + k.180°
Untuk k = 0 → x = 135°
Untuk k = 1 → x = 315°

Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}

Jawaban : D

UN 2004
Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...
A. {15°, 105°}
B. {15°, 195°}
C. {75°, 105°}
D. {75°, 345°}
E. {105°, 345°}

Pembahasan :
√6 sin x + √2 cos x = 2
⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................(1)

Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ)
A = √2 dan B = √6
k = $\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}$ = 2√2
Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I.
tan θ = $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ = √3 → θ = 60°

Diperoleh persamaan
√2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos (x - 60°) ......(2)

Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2√2 cos (x - 60°) = 2
cos (x - 60°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
cos (x - 60°) = cos 45°

Solusi I :
x - 60° = 45° + k.360°
x = 105° + k.360°
Untuk k = 0 → x = 105°

Solusi II :
x - 60° = -45° + k.360°
x = 15° + k.360°
Untuk k = 0 → x = 15°

Jadi, HP = {15°, 105°}

Jawaban : A

UN 2003
Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ...
A. {120°, 180°}
B. {90°, 210°}
C. {30°, 270°}
D. {0°, 300°}
E. {0°, 300°, 360°}

Pembahasan :
sin x - √3 cos x - √3 = 0
⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................(1)

Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ)
A = -√3 dan B = 1
k = $\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}$ = 2
Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II.
tan θ = $\frac{1}{-\sqrt{3}}$ = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ → θ = 150°

Diperoleh persamaan
-√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°) .............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
2cos (x - 150°) = √3
cos (x - 150°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos (x - 150°) = cos 30°

Solusi I :
x - 150° = 30° + k.360°
x = 180° + k.360°
Untuk k = 0 → x = 180°

Solusi II :
x - 150° = -30° + k.360°
x = 120° + k.360°
Untuk k = 0 → x = 120°

Jadi, HP = {120°, 180°}

Jawaban : A

Sudut Referensi

2018-01-03T17:13:00.000+07:00

Misalkan θ adalah sudut dalam posisi baku. Sudut referensi dari θ adalah sudut terkecil yang dibentuk sisi terminal sudut θ dengan sumbu-x. Sudut referensi (reference angle) merupakan sudut lancip, selalu bernilai positif dan besarnya antara 0° - 90°.

Perhatikan sudut dalam posisi baku berikut.

Sudut terkecil yang dibentuk sisi terminal sudut θ dengan sumbu x adalah ∠AOQ = α. Jadi, sudut referensi dari sudut θ adalah ∠AOQ = α dengan besarnya α = 180° - 135° = 45°.

Misalkan α adalah sudut referensi dari sudut θ. Besar sudut α dapat ditentukan dengan ketentuan sebagai berikut :

0° < θ < 90° → α = θ
90° < θ < 180° → α = 180° - θ
180° < θ < 270° → α = θ - 180°
270° < θ < 360° → α = 360° - θ

Contoh 1
Tentukan sudut referensi dari sudut-sudut berikut!
a. 45°
b. 120°
c. 210°
d. 300°

Jawab :
Misalkan α adalah sudut referensi dari sudut θ.
a. θ = 45° → α = 45°
b. θ = 120° → α = 180° - 120° = 60°
c. θ = 210° → α = 210° - 180° = 30°
d. θ = 300° → α = 360° - 300° = 60°

Diawal disebutkan bahwa sudut referensi dibentuk dari sisi terminal dengan sumbu x. Dengan demikian, sudut-sudut dengan sisi terminal yang sama akan mempunyai sudut referensi yang sama pula.

Kita tahu bahwa sudut-sudut yang koterminal mempunyai sisi terminal yang sama. Oleh karenanya, sudut-sudut yang koterminal mempunyai sudut referensi yang sama. Sebagai contoh, sudut referensi dari 120° adalah 60°. Karena 120° koterminal dengan 480°, maka sudut referensi dari 480° juga sebesar 60°.

Hal ini dapat kita jadikan acuan dalam menentukan sudut referensi untuk sudut-sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut-sudut negatif.

Contoh 2
Tentukan sudut referensi dari sudut 510° !

Jawab :
Terlebih dahulu kita tentukan sudut yang koterminal dengan 510° dan terletak pada interval 0° - 360°. Misalkan θ koterminal dengan sudut 510°, maka
θ = 510° - 1(360°) = 150°

Sudut referensi dari θ = 150° adalah
α = 180° - 150° = 30°

Karena 150° koterminal dengan 510°, maka sudut referensi dari 510° juga sebesar 30°.

Contoh 3
Tentukan sudut referensi dari sudut -480° !

Jawab :
Misalkan θ koterminal dengan sudut -480°
θ = -480° + 2(360°) = 240°

Sudut referensi dari θ = 240° adalah
α = 240° - 180° = 60°

Karena 240° koterminal dengan -480°, maka sudut referensi dari -480° juga sebesar 60°.

Apakah sudut referensi dari θ sama dengan sudut referensi dari -θ? Jawabannya, ya. Perhatikan ilustrasi berikut!

Dapat kita simpulkan, "Jika sudut referensi dari θ sama dengan α, maka sudut referensi dari -θ juga sama dengan α"

Dalam trigonometri, sudut referensi akan sering kita gunakan dalam menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut selain sudut lancip. Tentunya, dengan memperhatikan tanda positif atau negatif di tiap-tiap kuadran.

Sebagai contoh, sudut referensi dari sudut 150° adalah 30°. Akibatnya,
sin 150° = sin 30°
cos 150° = -cos 30°

Sudut Koterminal

2018-01-03T16:42:00.000+07:00

Dua sudut dikatakan koterminal jika keduanya berada dalam posisi baku (standard position) dan sisi terminalnya berada pada posisi yang sama atau berhimpit. Perhatikan sudut-sudut dalam posisi baku berikut.

Sisi terminal sudut -330°, 30° dan 390° ketiganya berada pada posisi yang sama dan jika digambarkan dalam satu bidang koordinat, maka ketiga sisi terminalnya akan berhimpit. Dapat kita simpulkan sudut -330°, 30° dan 390° adalah sudut-sudut yang koterminal.

Karena sudut-sudut yang koterminal mempunyai sisi terminal yang sama, akibatnya sudut-sudut yang koterminal akan berada pada kuadran yang sama. Dapat kita lihat dari gambar diatas. Sudut -330°, 30° dan 390° adalah sudut-sudut yang koterminal dan ketiganya berada di kuadran yang sama, yaitu kuadran I.

Sudut koterminal dapat ditentukan dengan menjumlahkan sudut yang diberikan dengan k kali putaran penuh, yaitu k.360°, dengan k bilangan bulat. Secara umum dapat kita nyatakan sebagai berikut :

Jika sudut α koterminal dengan sudut β, maka terdapat bilangan bulat k sehingga memenuhi
α = β + k.360°.

Atau dapat pula kita nyatakan bahwa untuk setiap k bilangan bulat, maka sudut α koterminal dengan sudut (α + k.360°).

Contoh 1
Diketahui sudut α koterminal dengan sudut 840° dengan 0 < α < 360°. Tentukan α dan di kuadran berapa sudut 840° berada !

Jawab :
Karena α koterminal dengan 840° maka berlaku
α = 840° + k.360°
Untuk k = -1 → α = 840° - 1(360°) = 480°
Untuk k = -2 → α = 840° - 2(360°) = 120°
Untuk k = -3 → α = 840° - 3(360°) = -240°
Karena 0 < α < 360° maka α = 120°.

Sudut 120° berada di kuadran II. Karena sudut 120° koterminal dengan sudut 840°, maka sudut 840° juga berada di kuadran II.

Contoh 2
Jika sudut α koterminal dengan sudut -1020° dengan -360° < α < 360°, tentukan nilai α yang memenuhi dan di kuadran berapa sudut -1020° berada !

Jawab :
Karena α koterminal dengan -1020° maka berlaku
α = -1020° + k.360°
Untuk k = 1 → α = -1020° + 1(360°) = -660°
Untuk k = 2 → α = -1020° + 2(360°) = -300°
Untuk k = 3 → α = -1020° + 3(360°) = 60°
Untuk k = 4 → α = -1020° + 4(360°) = 420°
Karena -360° < α < 360° maka nilai α yang memenuhi adalah α = {-300°, 60}.

Sudut 60° berada di kuadran I. Karena sudut 60° koterminal dengan sudut -1020°, maka sudut -1020° juga berada di kuadran I.

Dalam trigonometri, nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang koterminal adalah sama. Sebagai contoh, nilai sin (-330°), sin (30°) dan sin (390°) adalah sama, yaitu 1/2. Konsep inilah yang digunakan dalam menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang lebih dari 360° , termasuk juga sudut-sudut negatif.

Posisi Baku Sudut

2017-12-23T19:34:00.000+07:00

Sudut dikatakan berada pada posisi baku atau posisi standar (standard position) jika titik sudut terletak pada titik asal (origin) dan salah satu kaki sudut berhimpit dengan sumbu x positif.

Kaki sudut yang berhimpit dengan sumbu x positif disebut sisi awal atau initial side, sedangkan kaki sudut lainnya disebut sisi terminal atau terminal side.

Posisi Baku Sudut

Perhatikan gambar diatas. Dalam posisi baku, sisi awal selalu berada pada sumbu x positif, sedangkan sisi terminal dapat berada di kuadran manapun dan keduanya bertemu di titik asal, yaitu O.

Sisi terminal sudut θ dapat digunakan untuk mengidentifikasi di kuadran mana sudut θ berada. Jika sisi terminal sudut θ berada di kuadran I, maka θ adalah sudut kuadran I. Jika sisi terminal sudut θ berada di kuadran II, maka θ adalah sudut kuadran II dan begitu seterusnya untuk kuadran III dan IV.

Sisi terminal dapat kita pandang sebagai hasil rotasi sisi awal dengan pusat putaran O sejauh θ. Para matematikawan sepakat bahwa sudut bernilai positif jika arah putaran berlawanan arah jarum jam (counterclockwise) dan bernilai negatif jika arah putaran searah jarum jam (clockwise).

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut. Gunakan slider untuk mengubah ukuran sudut secara manual dan gunakan tombol CCW atau CW untuk mengubah arah putaran.

Kesimpulan : Suatu sudut dikatakan berada pada posisi baku jika titik sudut berada pada titik asal (origin) dan salah satu kaki sudut atau sinar (ray) berada pada sumbu x positif. Sudut bernilai positif jika arah putaran berlawanan arah jarum jam dan bernilai negatif jika arah putaran searah jarum jam.

Rumus Trigonometri Sudut Ganda

2017-12-11T12:05:00.000+07:00

Sudut ganda atau sudut rangkap dua biasa dinyatakan dalam sudut 2α. Perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, yaitu sin 2α, cos 2α dan tan 2α dapat kita nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut tunggalnya, yaitu sudut α. Ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut 2α dan sudut α inilah yang nantinya kita sebut dengan rumus trigonometri sudut ganda.

Rumus sudut ganda dapat dengan mudah kita turunkan dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dalam hal ini sin (α + β), cos (α + β) dan tan (α + β).

Penurunan Rumus Sinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus sin (α + β).

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

Karena α + α = 2α dan sin α cos α = cos α sin α, maka persamaan diatas menjadi

sin 2α = 2sin α cos α

Penurunan Rumus Cosinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus cos (α + β).

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

atau dapat kita tulis

cos 2α = cos²α - sin²α

Jika kita substitusikan sin²α = 1 - cos²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 2cos²α - 1

Jika kita substitusikan cos²α = 1 - sin²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 1 - 2sin²α

Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus tan (α + β). $$tan\,(\alpha +\beta )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\beta }{1-tan\,\alpha\cdot tan\,\beta }$$ Jika α = β, maka rumus diatas menjadi $$tan\,(\alpha +\alpha )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\alpha }{1-tan\,\alpha\cdot tan\,\alpha }$$ atau dapat kita tulis $$\mathbf{{ tan\,2\alpha=\frac{2\,tan\,\alpha}{1\,-\,tan^{2}\alpha}}}$$

Rumus trigonometri sudut ganda akan sangat berguna dalam menyederhanakan ekspresi-ekspresi trigonometri nantinya, khususnya pada pokok bahasan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti limit, turunan, integral dan persamaan trigonometri.

Berikut contoh-contoh soal yang dapat kita jadikan latihan dalam menggunakan dan memanipulasi rumus-rumus sudut ganda menjadi bentuk-bentuk lain yang masih tetap ekuivalen.

Contoh 1
Tentukan nilai dari sin 2α, cos 2α dan tan 2α jika diketahui sin α = 3/5, dengan α lancip!

Jawab :
Diketahui sin α = 3/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh cos α = 4/5 dan tan α = 3/4.

sin 2α = 2sin α cos α
sin 2α = 2($\frac{3}{5}$)($\frac{4}{5}$)
sin 2α = $\frac{24}{25}$

cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = ($\frac{4}{5}$)² - ($\frac{3}{5}$)²
cos 2α = $\frac{7}{25}$

tan 2α = $\mathrm{\frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha }}$
tan 2α = $\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}$
tan 2α = $\frac{24}{7}$

Contoh 2
Diketahui sin α = p dan cos β = q.
Nyatakan $\frac{1}{2}$(cos 2α + cos 2β) dalam p dan q.

Jawab :
cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 2p²
cos 2β = 2cos²β - 1 = 2q² - 1

$\frac{1}{2}$(cos 2α + cos 2β) = $\frac{1}{2}$(1 - 2p² + 2q² - 1)
$\frac{1}{2}$(cos 2α + cos 2β) = $\frac{1}{2}$(2q² - 2p²)
$\frac{1}{2}$(cos 2α + cos 2β) = q² - p²

Contoh 3
Jika sin x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dengan 45° < x < 90°, maka cos 2x = ...

Jawab :
cos 2x = 1 - 2sin²x
cos 2x = 1 - 2$\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}$
cos 2x = $\frac{1}{3}$

Karena 45° < x < 90° maka 90° < 2x < 180°. Akibatnya, cos 2x akan bernilai negatif. Jadi, cos 2x = -$\frac{1}{3}$.

Contoh 4
Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan ∠A = ∠B = α dan ∠C = θ. Jika cos α = 4/5, maka tan θ = ...

Jawab :
Diketahui cos α = 4/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh tan α = 3/4.

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + α + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 2α

tan θ = tan (180° - 2α)
tan θ = -tan 2α
tan θ = -$\mathrm{ \frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha } }$
tan θ = -$\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}$
tan θ = -$\frac{24}{7}$

Contoh 5
Gunakan rumus sinus sudut ganda untuk menyederhakankan bentuk-bentuk berikut!

(a) 8sin 3x cos 3x
Jawab :
8sin 3x cos 3x = 4 . 2sin 3x cos 3x
8sin 3x cos 3x = 4 . sin 2(3x)
8sin 3x cos 3x = 4sin 6x

(b) cos 5x sin 5x
Jawab :
cos 5x sin 5x = $\frac{1}{2}$ . 2sin 5x cos 5x
cos 5x sin 5x = $\frac{1}{2}$ . sin 2(5x)
cos 5x sin 5x = $\frac{1}{2}$ sin 10x

(c) (sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x
Jawab :
(sin 4x - cos 4x)² = (sin 4x - cos 4x)(sin 4x - cos 4x)
(sin 4x - cos 4x)² = sin²4x + cos²4x - 2sin 4x cos 4x
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 2(4x)
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x

Contoh 6
Tentukan nilai eksak dari

(a) sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$
Jawab :
sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ = $\frac{1}{2}$ . 2sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$
sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ = $\frac{1}{2}$ . sin 2$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$
sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ = $\frac{1}{2}$ . sin $\left ( \frac{3\pi }{4} \right )$
sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ = $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$√2
sin$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ cos$\left ( \frac{3\pi }{8} \right )$ = $\frac{1}{4}$√2

(b) 4cos²15° - 3
Jawab :
4cos²15° - 3 = 4cos²15° - 2 - 1
4cos²15° - 3 = 2 (2cos²15° - 1) - 1
4cos²15° - 3 = 2 cos 2(15°) - 1
4cos²15° - 3 = 2 cos 30° - 1
4cos²15° - 3 = 2 ($\frac{1}{2}$√3) - 1
4cos²15° - 3 = √3 - 1

Contoh 7
Tunjukkan bahwa

(a) sin²α = $\frac{1}{2}$(1 - cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 1 - 2sin²α
⇔ 2sin²α = 1 - cos 2α
⇔ sin²α = $\frac{1}{2}$(1 - cos 2α)

(b) cos²α = $\frac{1}{2}$(1 + cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 2cos²α - 1
⇔ 2cos²α = 1 + cos 2α
⇔ cos²α = $\frac{1}{2}$(1 + cos 2α)

Contoh 8
Nyatakan cos²2x dan cos⁴x dalam suatu ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri dengan pangkat tertinggi satu ! (Gunakan sifat pada contoh 7)

Jawab :
Berdasarkan sifat cos²α = $\frac{1}{2}$(1 + cos 2α) maka
cos²2x = $\frac{1}{2}$(1 + cos 2(2x))
cos²2x = $\frac{1}{2}$(1 + cos 4x)

cos⁴x = (cos²x)²
cos⁴x = ($\frac{1}{2}$(1 + cos 2x))²
cos⁴x = $\frac{1}{4}$(1 + 2cos 2x + cos²2x)
cos⁴x = $\frac{1}{4}$(1 + 2cos 2x + $\frac{1}{2}$(1 + cos 4x))
cos⁴x = $\frac{1}{4}$($\frac{3}{2}$ + 2cos 2x + $\frac{1}{2}$cos 4x)
cos⁴x = $\frac{3}{8}$ + $\frac{1}{2}$cos 2x + $\frac{1}{8}$cos 4x

Contoh 9
Tunjukkan bahwa 1 - cos nx = 2sin²($\mathrm{\frac{nx}{2}}$), n konstan.

Jawab :
1 - cos nx = 1 - cos 2($\mathrm{\frac{nx}{2}}$)
Misalkan $\mathrm{\frac{nx}{2}}$ = α, sehingga persamaan diatas menjadi

1 - cos nx = 1 - cos 2α

1 - cos nx = 1 - (1 - 2sin²α)

1 - cos nx = 1 - 1 + 2sin²α
1 - cos nx = 2sin²α
Substitusikan kembali α = $\mathrm{\frac{nx}{2}}$ sehingga diperoleh
1 - cos nx = 2sin²($\mathrm{\frac{nx}{2}}$)

Contoh 10
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam sinus! (Gunakan sifat pada contoh 9)

(a) 1 - cos 8x
Jawab :
1 - cos 8x = 2sin²($\mathrm{\frac{8x}{2}}$)
1 - cos 8x = 2sin²4x

(b) cos 6x - 1
Jawab :
cos 6x - 1 = -(1 - cos 6x)
cos 6x - 1 = -2sin²($\mathrm{\frac{6x}{2}}$)
cos 6x - 1 = -2sin²3x

(c) 3 - 3cos 4x
Jawab :
3 - 3cos 4x = 3(1 - cos 4x)
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²($\mathrm{\frac{4x}{2}}$)
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²2x
3 - 3cos 4x = 6sin²2x

Contoh 11
Buktikan identitas berikut :

(a) csc 2α - cot 2α = tan α
Jawab :
csc 2α - cot 2α = $\mathrm{\frac{1}{sin\,2\alpha }-\frac{cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}$
csc 2α - cot 2α = $\mathrm{\frac{1\,-\,cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}$
csc 2α - cot 2α = $\mathrm{\frac{2\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}$
csc 2α - cot 2α = $\mathrm{\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha }}$
csc 2α - cot 2α = tan α

(b) cot 2α = $\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}$
Jawab :
cot 2α = $\mathrm{\frac{cos\,2\alpha}{sin\,2\alpha }}$
cot 2α = $\mathrm{\frac{cos^{2}\alpha \,-\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}$
cot 2α = $\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha }-\frac{sin^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha } \right )}$
cot 2α = $\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos\,\alpha }{sin\,\alpha }-\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha } \right )}$
cot 2α = $\frac{1}{2}$(cot α - $\mathrm{\frac{1}{cot\,\alpha}}$)
cot 2α = $\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{cot\,\alpha } \right )}$
cot 2α = $\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}$

Contoh 12
Untuk 0 < x < 2π, tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x - 3sin x + 1 = 0

Jawab :
cos 2x - 3sin x + 1 = 0
(1 - 2sin²x) - 3sin x + 1 = 0
-2sin²x - 3sin x + 2 = 0
2sin²x + 3sin x - 2 = 0
(sin x + 2)(2sin x - 1) = 0
sin x = -2 atau sin x = 1/2

sin x = -2 → tidak mempunyai solusi
sin x = $\frac{1}{2}$ → x = {30°, 150°}
Jadi, HP = {$\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$}

Pembahasan SBMPTN 2017 Vektor

2017-12-08T00:11:00.000+07:00

Materi-materi vektor yang digunakan pada pembahasan meliputi, penjumlahan dan pengurangan vektor, menentukan panjang vektor (termasuk di dalamnya panjang dari jumlah atau selisih dua vektor), perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, dan sifat-sifat operasi aljabar pada vektor.

1. SBMPTN 2017  Saintek 120
Diberikan vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$. Jika $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |^{2}$ dan $|\vec{b} |=2\left | \vec{a} \right |$, maka sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah ...
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
(E) 120°

Pembahasan :
Misalkan sudut antara vektor a dan b adalah θ, sehingga
a.b = |a| |b| cos θ

Karena a.b = |a|² dan |b| = 2|a|, maka persamaan diatas menjadi
|a|² = |a| 2|a| cos θ
|a|² = 2|a|² cos θ
1 = 2 cos θ
cos θ = 1/2 → θ = 60°

Jawaban : C

2.  SBMPTN 2017  Saintek 124
Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut α, dengan $\mathrm{sin\,\alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{30}$, maka $\vec{b}\cdot \vec{b}$ = ...
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9

Pembahasan :
sin α = $\frac{1}{\sqrt{7}}$ → cos α = $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
√30 = √5 |b| $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
√30 = |b| $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{7}}$
⇒ |b| = √7

Jadi, b.b = |b|² = (√7)² = 7.

Jawaban : C

3.  SBMPTN 2017  Saintek 133
Diketahui $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{c}$ vektor-vektor pada bidang datar sehingga $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ tegak lurus $\vec{a}+\vec{b}$. Jika $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=4$, dan $\vec{a}\cdot \vec{c}=-24$, maka $|\vec{c}|=...$
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 16

Pembahasan :
Vektor a tegak lurus vektor b, akibatnya a.b = 0.
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2a.b
|a + b|² = 3² + 4² + 2(0)
|a + b|² = 25
|a + b| = 5

Misalkan sudut antara a dan a + b adalah θ, sehingga sin θ = $\frac{4}{5}$. Perhatikan gambar!

Karena c tegak lurus a + b, maka besar sudut antara a dan c adalah (90 + θ), sehingga berlaku :
a.c = |a| |c| cos (90 + θ)
-24 = 3 |c| (-sin θ)
-24 = 3 |c| (-$\frac{4}{5}$)
⇒   |c| = 10

Jawaban : C

4. SBMPTN 2017  Saintek 134
Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul α, dengan $\mathrm{sin\,\alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $|\vec{b}|=\sqrt{7}$, maka $\vec{a}\cdot \vec{b}=...$
(A) 30
(B) √30
(C) -√30
(D) -20
(E) -30

Pembahasan :
sin α = $\frac{1}{\sqrt{7}}$ → cos α = $-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
(cos α bernilai negatif karena α tumpul /kuadran II)

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
a.b = √5 √7 (-$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$)
a.b = -√30

Jawaban : C

5. SBMPTN 2017  Saintek 135
Diketahui $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor-vektor pada bidang datar sehingga $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{a}+\vec{b}$. Jika $|\vec{a}|:|\vec{b}|=1:2$ maka besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah ...
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 120°
(E) 150°

Pembahasan :
Karena a tegak lurus a + b, maka besar sudut antara keduanya adalah 90°. Misalkan sudut antara b dan a + b adalah θ dengan |a| = 1 dan |b| = 2 sehingga |a| : |b| = 1 : 2. Perhatikan gambar!

Berdasarkan gambar diatas, maka :
sin θ = $\frac{1}{2}$ → θ = 30°

Jadi, besar sudut antara a dan b adalah
90° + 30° = 120°

Jawaban : D

6. SBMPTN 2017  Saintek 136
Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w - u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka ...
(A) ||u|| = 2||v||
(B) ||v|| = 2||w||
(C) ||v|| = 2||u||
(D) ||w|| = 2||v||
(E) ||w|| = 2||u||

Pembahasan :
Karena v = w - u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| cos 60°
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| $\frac{1}{2}$
|v|² = |w|² + |u|² - |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² - |v|² .............................(1)

Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0 ⇔ u.v = 0

Karena v = w - u maka w = u + v sehingga berlaku :
|w|² = |u|² + |v|² + 2u.v
|w|² = |u|² + |v|² + 2(0)
|w|² = |u|² + |v|² ........................................(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² - |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|

Jawaban : E

7. SBMPTN 2017  Saintek 138
Diketahui vektor $\vec{a}$ = (4, 6), $\vec{b}$ = (3, 4), dan $\vec{c}$ = (p, 0). Jika $|\vec{c}\,-\,\vec{a}|=10$, maka kosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...
(A) $\frac{2}{5}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{3}{5}$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{3}{4}$

Pembahasan :
a = (4, 6) → |a| = $\sqrt{4^{2}\,+\,6^{2}}$ = $\sqrt{52}$
b = (3, 4) → |b| = $\sqrt{3^{2}\,+\,4^{2}}$ = 5
c = (p, 0) → |c| = $\sqrt{\mathrm{p}^{2}\,+\,0^{2}}$ = p
a.c = 4.p + 6.0 = 4p

Diketahui |c - a| = 10
|c - a|² = |c|² + |a|² - 2a.c
10² = (p)² + (√52)² - 2(4p)
100 = p² - 8p + 52
p² - 8p - 48 = 0
(p - 12)(p + 4) = 0
p = 12 atau p = -4

Untuk p = 12 diperoleh
c = (12, 0) → |c| = $\sqrt{\mathrm{12}^{2}\,+\,0^{2}}$ = 12
b.c = 3.12 + 4.0 = 36

Misalkan sudut antara b dan c adalah θ.
b.c = |b| |c| cos θ
36 = 5 . 12 cos θ
⇒ cos θ = $\frac{3}{5}$

Jawaban : C

8. SBMPTN 2017  Saintek 139
Vektor $\vec{a}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ dan sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{a}$ adalah 45°. Jika $\sqrt{2}\,\vec{a}=\vec{w}$, maka $\vec{u}\cdot \vec{v}=...$
(A) $|\vec{a}|$($|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|$)
(B) $|\vec{a}|$($|\vec{v}|\,-\,|\vec{u}|$)
(C) $|\vec{a}|$($|\vec{a}|\,-\,|\vec{w}|$)
(D) $|\vec{u}|$($|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|$)
(E) $|\vec{v}|$($|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|$)

Pembahasan :
Karena w = u + v dan √2 a = w maka √2 a = u + v.
(√2 a)(√2 a) = (u + v)(u + v)
2a.a = u.u + v.v + 2u.v
2|a|² = |u|² + |v|² + 2u.v .........................(1)

Karena √2 a = u + v maka v = √2 a - u.
v.v = (√2 a - u)(√2 a - u)
v.v = 2a.a + u.u - 2√2u.a
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2u.a

Karena sudut antara u dan a adalah 45°, maka berlaku u.a = |u| |a| cos 45°, sehingga persamaan diatas menajdi :
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2 |u| |a| cos 45°
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2 . $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |u| |a|
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2|u| |a| ...................................(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
2|a|² = |u|² + 2|a|² + |u|² - 2|u| |a| + 2u.v
2|a|² = 2|a|² + 2|u|² - 2|u| |a| + 2u.v

2|u| |a| - 2|u|² = 2u.v

|u| |a| - |u|² = u.v
|u| (|a| - |u|) = u.v

Jawaban : D

9. SBMPTN 2017  Saintek 140
Diketahui tiga vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=3$, $|\vec{c}|=4$, dan $\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Jika γ adalah sudut antara vektor $\vec{b}$ dan $\vec{c}$, dengan $\vec{a}\cdot \vec{c}=25$, maka sin γ = ...
(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{\sqrt{3}}{4}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{\sqrt{7}}{6}$
(E) $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Pembahasan :
Karena a = c - b dan sudut antara vektor b dan c adalah γ, maka berlaku :
|a|² = |c|² + |b|² - 2|b| |c| cos γ
|a|² = (4)² + (3)² - 2(3)(4)cos γ
|a|² = 25 - 24cos γ   ...........................(1)

Karena a = c - b maka b = c - a, sehingga berlaku :
|b|² = |c|² + |a|² - 2a.c
3² = 4² + |a|² - 2(25)
⇒ |a|² = 43 ......................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :
43 = 25 - 24cos γ
24cos γ = -18
cos γ = -$\frac{3}{4}$ → sin γ = $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Jawaban : E

10. SBMPTN 2017  Saintek 145
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,\,1)$, $\vec{b}\perp \vec{c}$, dan $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0$. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah √5, maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah ...
(A) √2
(B) 2
(C) √3
(D) √6
(E) 3

Pembahasan :
b = (-2, 1) → |b| = $\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{5}$
b ⊥ c → b.c = 0
Karena a - b + c = 0 maka a = b - c, sehingga berlaku
|a|² = |b|² + |c|² - 2b.c
|a|² = (√5)² + |c|² - 2(0)

|a|² = 5 + |c|² ........................(1)

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui luas segitiga ABC adalah √5 dan dari gambar dapat kita lihat luas segitiga ABC adalah setengah dari luas jajar genjang OABC, sehingga :
Luas Δ ABC = $\frac{1}{2}$× OC × OB
√5 = $\frac{1}{2}$× OC . √5
OC = 2

Substitusikan OC = |c| = 2 ke persamaan (1) :
|a|² = 5 + 2²
|a|² = 9
|a| = 3

Jawaban : E

11. SBMPTN 2017 Saintek 146
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,\,1)$, $\vec{b}\perp \vec{c}$, dan $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}|=5$ dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah α, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...
(A) 5√5
(B) $\frac{\sqrt{5}}{2}$
(C) $\frac{2}{\sqrt{5}}$
(D) 5
(E) 10

Pembahasan :
b = (-2, 1) → |b| = $\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{5}$
b ⊥ c → b.c = 0
Karena a - b - c = 0 maka a = b + c, sehingga berlaku
|a|² = |b|² + |c|² + 2b.c
5² = (√5)² + |c|² - 2(0)

|c|² = 20 → |c| = √20

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bahwa luas segitiga ABC adalah setengah dari luas persegi panjang ABOC, sehingga
Luas Δ ABC = $\frac{1}{2}$× OB × OC
Luas Δ ABC = $\frac{1}{2}$× $\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}$
Luas Δ ABC = 5

Jawaban : D

12. SBMPTN 2017 Saintek 147
Diketahui tiga vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}\cdot \vec{c}=9 $, dan $\vec{c}=\vec{b}+\vec{a}$. Misalkan γ adalah sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{c}$. Jika γ = 30° dan $|\vec{c}|=6$, maka $|\vec{a}|=...$
(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(D) $\frac{\sqrt{7}}{4}$
(E) 3√3

Pembahasan :
c = b + a → b = c - a
c = b + a → a = c - b

Karena a = c - b, maka berlaku

|a|² = |c|² + |b|² - 2b.c

|a|² = (6)² + |b|² - 2(9)
|a|² = |b|² + 18 ....................................................(1)

Karena b = c - a dan sudut antara vektor a dan c adalah 30°, maka berlaku :
|b|² = |c|² + |a|² - 2 |a| |c| cos 30°
|b|² = (6)² + |a|² - 2 |a| 6 . $\frac{1}{2}$√3
|b|² = 36 + |a|² - 6√3 |a| ......................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :
|b|² = 36 + |b|² + 18 - 6√3 |a|
6√3 |a| = 54
⇒ |a| = 3√3

Jawaban : E

13. SBMPTN 2017 Saintek 148
Diketahui tiga vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=8$, $|\vec{c}|=3$, dan $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. Misalkan α adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, serta γ adalah sudut antara vektor $\vec{b}$ dan $\vec{c}$. Jika $|\vec{a}|=7$ dan γ = 120°, maka sin α = ...
(A) $\frac{1}{5}$
(B) $\frac{\sqrt{7}}{5}$
(C) $\frac{3\sqrt{3}}{14}$
(D) $\frac{3}{4}$
(E) $\frac{4}{5}$

Pembahasan :
Diketahui c = a - b dan sudut antara a dan b adalah α, sehingga berlaku :
|c|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos α
(3)² = (7)² + (8)² - 2(7)(8) cos α
⇒ cos α = $\frac{13}{14}$

Berdasarkan identitas phythagoras :
sin α = $\sqrt{1-\mathrm{cos}^{2}\alpha }$ = $\sqrt{1-\left ( \frac{13}{14} \right )^{2}}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{14}$

Jawaban : C

14. SBMPTN 2017 Saintek 151
Diketahui tiga vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{a}\cdot \vec{c}=-9 $, $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$ dan $\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}$. Misalkan α adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$. Jika $|\vec{a}|=6$, $|\vec{c}|=3$, maka sin α = ...
(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(D) $\frac{\sqrt{7}}{4}$
(E) $\frac{3}{4}$

Pembahasan :
Karena c = b - a maka b = a + c sehingga berlaku
|b|² = |a|² + |c|² + 2a.c
|b|² = (6)² + (3)² + 2(-9)
|b|² = 27
|b| = √27 = 3√3

Karena c = b - a dan sudut antara a dan b adalah α, maka berlaku :
|c|² = |b|² + |a|² - 2 |b| |a| cos α
(3)² = (3√3)² + (6)² - 2(3√3)(6) cos α
⇒ cos α = $\frac{1}{2}$√3

Karena cos α = $\frac{1}{2}$√3 maka sin α = $\frac{1}{2}$.

Jawaban : B

Pembahasan SBMPTN 2017 Persamaan Trigonometri

2017-12-06T20:50:00.001+07:00

Secara umum, penyelesaian soal-soal SBMPTN 2017 untuk materi persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mengubah persamaan trigonometri yang diberikan ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan variabelnya merupakan fungsi trigonometri tertentu. Oleh karenanya, penguasaan materi identitas trigonometri dan persamaan kuadrat akan sangat dibutuhkan.

1. SBMPTN 2017  Saintek 120
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari $\mathrm{sec\,x-2-15\,cos\,x=0}$ dengan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ $\frac{\pi}{2}$, maka $\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}=\,...}$
(A) -20
(B) -15
(C) -10
(D) -5
(E) 0

Pembahasan :
sec x - 2 - 15cos x = 0
$\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}$ - 2 - 15cos x = 0   (× cos x)
1 - 2cos x - 15cos²x = 0
15cos²x + 2cos x - 1 = 0

Berdasarkan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos x₁ . cos x₂ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-1}{15}$

Jadi, $\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}}$ = $\frac{1}{\left ( -\frac{1}{15} \right )}$ = -15

Jawaban : B

2.  SBMPTN 2017  Saintek 124
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari $\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}-5\,tan\,x+5=0}$, maka tan (x₁ + x₂) = ...
(A) $-\frac{5}{7}$
(B) $-\frac{5}{3}$
(C) $\frac{\sqrt{5}}{7}$
(D) $\frac{\sqrt{5}}{3}$
(E) $\frac{5}{3}$

Pembahasan :
tan (A + B) = $\mathrm{\frac{tan\,A\,+\,tan\,B}{1\,-\,tan\,A\,\cdot\,tan\,B}}$
cot 2x = $\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}$

$\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}}$ - 5tan x + 5 = 0
2tan x . cot 2x - 5tan x + 5 = 0
2tan x . $\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}$ - 5tan x + 5 = 0
1 - tan²x - 5tan x + 5 = 0
tan²x + 5tan x - 6 = 0
(tan x + 6)(tan x - 1) = 0
tan x = -6 atau tan x = 1

Untuk tan x₁ = -6 dan tan x₂ = 1, maka :
tan (x₁ + x₂) = $\mathrm{\frac{tan\,x_{1}\,+\,tan\,x_{2}}{1\,-\,tan\,x_{1}\cdot tan\,x_{2}}}$ = $\frac{-6\,+\,1}{1\,-\,(-6)(1)}$ = $-\frac{5}{7}$

3.  SBMPTN 2017  Saintek 133
Banyaknya solusi yang memenuhi
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0 dengan 0 < x < π adalah ...
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Pembahasan :
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0
-2tan x (sec x + 1) + 5sin x = 0
5sin x = 2tanx (sec x + 1)
5sin x = $\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}$(sec x + 1)
5 = $\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}$(sec x + 1)
5cos x = 2(sec x + 1)
5cos x = $\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}$ + 2 (× cos x)
5cos²x = 2 + 2cos x
5cos²x - 2cos x - 2 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
cos x = $\mathrm{\frac{2+\sqrt{44}}{10}}$ atau cos x = $\mathrm{\frac{2-\sqrt{44}}{10}}$
Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua persamaan diatas mempunyai solusi pada interval 0 < x < π. Jika keduanya mempunyai solusi, artinya persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Untuk interval 0 < x < π, maka -1 < cos x < 1, dapat ditulis |cos x| < 1. Artinya, kedua persamaan diatas akan mempunyai solusi jika memenuhi |cos x| < 1.
$\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,+\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,+\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{9}{10} \right |<1$

$\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,-\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,-\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{-5}{10} \right |<1$

Karena keduanya memenuhi, kita simpulkan bahwa persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Jawaban : C

4.  SBMPTN 2017  Saintek 134
Jika $\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}-5=0}$, dengan 0 < x < $\frac{\pi}{2}$ maka $\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=...}$
(A) $\frac{1}{\sqrt{26}}$
(B) $\frac{2}{\sqrt{26}}$
(C) $\frac{3}{\sqrt{26}}$
(D) $\frac{4}{\sqrt{26}}$
(E) $\frac{5}{\sqrt{26}}$

Pembahasan :
Karena tan 2x = $\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}$, akibatnya
$\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}$ - 5 = 0 ⇔ tan 2x = 5

Berdasarkan gambar diatas :
tan 2x = 5 → cos 2x = $\frac{1}{\sqrt{26}}$
Karena cos 2x = cos²x - sin²x, maka
cos 2x = cos²x - sin²x = $\frac{1}{\sqrt{26}}$

Jawaban : A

5.  SBMPTN 2017  Saintek 135
Jika x₁ dan x₂ memenuhi persamaan $\mathrm{2\,sin\,x+sec\,x-2\,tan\,x-1=0}$, maka nilai $\mathrm{sin\,x_{1}+cos\,x_{2}}$ yang mungkin adalah ...
(A) $\frac{4}{5}$
(B) $\frac{3}{4}$
(C) $\frac{4}{3}$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) 2

Pembahasan :
2sin x + sec x - 2tan x - 1 = 0
2sin x + $\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}$ - $\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}$ - 1 = 0 (× cos x)
2sin x . cos x + 1 - 2sin x - cos x = 0
2sin x . cos x - 2sin x - cos x + 1 = 0
2sin x(cos x - 1) - (cos x - 1) = 0
(2sin x - 1)(cos x - 1) = 0
sin x = 1/2 atau cos x = 1

Untuk sin x₁ = 1/2 dan cos x₂ = 1, maka
sin x₁ + cos x₂ = 1/2 + 1 = 3/2

Jawaban : D

6.  SBMPTN 2017  Saintek 136
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x₁) . (cot x₂) = ...
(A) -2
(B) -1
(C) 1
(D) 2
(E) 3

Pembahasan :
cot 2x = $\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}$

2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 $\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}} \right )$cot x + cot x - 1 = 0
cot²x - 1 + cot x - 1 = 0
cot²x + cot x - 2 = 0
(cot x + 2)(cot x - 1) = 0
cot x = -2 atau cot x = 1

Untuk cot x₁ = -2 dan cot x₂ = 1, maka
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(1) = -2

Jawaban : A

7.  SBMPTN 2017  Saintek 140
Jika 2sin x + 3cot x - 3csc x = 0, dengan 0 < x < $\frac{\pi}{2}$, maka sin x . cos x = ...
(A) √3
(B) $\frac{1}{2}$√3
(C) $\frac{1}{3}$√3
(D) $\frac{1}{4}$√3
(E) $\frac{1}{5}$√3

Pembahasan :
2sin x + 3cot x - 3csc x = 0
2sin x + $\mathrm{\frac{3\,cos\,x}{sin\,x}}$ - $\mathrm{\frac{3}{sin\,x}}$ = 0 (× sin x)
2sin²x + 3cos x - 3 = 0
2(1 - cos²x) + 3cos x - 3 = 0
2 - 2cos²x + 3cos x - 3 = 0
2cos²x - 3cos x + 1 = 0
(2cos x - 1)(cos x - 1) = 0
cos x = 1/2 atau cos x = 1

Untuk 0 < x < $\frac{\pi}{2}$, maka cos x = 1 tidak mempunyai solusi.
cos x = 1/2 → sin x = $\frac{1}{2}$√3

Jadi, sin x . cos x = $\frac{1}{2}$√3 . $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$√3

Jawaban : D

8.  SBMPTN 2017  Saintek 145
Diketahui persamaan $\mathrm{sec\,\theta \left ( sec\,\theta (sin\,\theta )^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\,sin\,\theta \right )=1}$. Jika θ₁ dan θ₂ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka nilai tan θ₁ . tan θ₂ = ...
(A) -1
(B) -0,5
(C) 0
(D) 0,5
(E) 1

Pembahasan :
sec θ (sec θ (sin θ)² + $\frac{2}{3}$√3 sin θ) = 1
(sec θ (sin θ)² + $\frac{2}{3}$√3 sin θ) = $\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}$
$\mathrm{\frac{1}{cos\,\theta}}$ . sin²θ + $\frac{2}{3}$√3 sin θ = cos θ   (× cos θ)
sin²θ + $\frac{2}{3}$√3 sin θ . cos θ = cos²θ
$\frac{\sqrt{3}}{3}$. 2sinθ . cos θ = cos²θ - sin²θ
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ . sin 2θ = cos 2θ
$\mathrm{\frac{sin\,2\theta }{cos\,2\theta }}$ = $\frac{3}{\sqrt{3}}$
tan 2θ = √3

Berdasarkan rumus sudut rangkap, persamaan diatas dapat ditulis menjadi
$\mathrm{\frac{2\,tan\,\theta }{1\,-\,tan^{2}\theta }}$ = √3
2tan θ = √3 - √3 tan²θ
√3 tan²θ + 2tan θ - √3 = 0
(√3 tan θ - 1)(tan θ + √3) = 0
tan θ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ atau tan θ = -√3

Untuk tan θ₁ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dan tan θ₂ = -√3, maka :
tan θ₁ . tan θ₂ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . (-√3) = -1

Jawaban : A

9.  SBMPTN 2017  Saintek 146
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari $\mathrm{csc^{2}x+3\,csc\,x-10=0}$, dengan $-\frac{\pi}{2}$ < x < $\frac{\pi}{2}$, x ≠ 0, maka $\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}=...}$
(A) -1
(B) -2
(C) -3
(D) -4
(E) -5

Pembahasan :
csc²x + 3csc x - 10 = 0
(csc x + 5)(csc x - 2) = 0
csc x = -5 atau csc x = 2

csc x = -5 ⇔ sin x = -$\frac{1}{5}$
csc x = 2 ⇔ sin x = $\frac{1}{2}$

Untuk sin x₁ = -$\frac{1}{5}$ dan sin x₂ = $\frac{1}{2}$, maka
$\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}}$ = $\frac{-\frac{1}{5}\,+\,\frac{1}{2}}{-\frac{1}{5}\,\cdot \,\frac{1}{2}}$ = $\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{10}}$ = -3

Jawaban : C

10.  SBMPTN 2017  Saintek 148
Jika cot x ≠ 1, dan cot²x - 6cot x = 1, maka nilai $\mathrm{\left | sin\,x_{1}\cdot sin\,x_{2} \right |}$ adalah ...
(A) $\frac{1}{\sqrt{10}}$
(B) $\frac{1}{2\sqrt{10}}$
(C) $\frac{1}{3\sqrt{10}}$
(D) $\frac{1}{4\sqrt{10}}$
(E) $\frac{1}{5\sqrt{10}}$

Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus kuadrat pada persamaan cot²x - 6cot x - 1 = 0 akan diperoleh :
cot x = 3 + √10 atau cot x = 3 - √10

Berdasarkan gambar diatas :
cot x = 3 + √10 → |sin x| = $\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}$
cot x = 3 - √10 → |sin x| = $\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}$

Untuk |sin x₁| = $\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}$ dan |sin x₂| = $\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}$ maka
|sin x₁ . sin x₂| = |sin x₁| . |sin x₂ |

|sin x₁ . sin x₂| = $\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}$ . $\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}$

|sin x₁ . sin x₂| = $\frac{1}{\sqrt{\left ( 20\,+\,6\sqrt{10} \right )\left ( 20\,-\,6\sqrt{10} \right )}}$

|sin x₁ . sin x₂| = $\frac{1}{\sqrt{400\,-\,360}}$

|sin x₁ . sin x₂| = $\frac{1}{\sqrt{40}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{10}}$

Jawaban : B

11. SBMPTN 2017 Saintek 155
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari $\mathrm{2\,cot\,x-2\,tan\,x-4\,sin\,x\cdot cos\,x=0}$ untuk 0 < x < $\frac{\pi}{2}$, maka sin²x₁ + sin²x₂ = ...
(A) $\frac{1}{2}$
(B) 1
(C) $\frac{3}{2}$
(D) 2
(E) $\frac{5}{2}$

Pembahasan :
2cot x - 2tan x - 4sin x . cos x = 0
$\mathrm{\frac{2\,cos\,x}{sin\,x}}$ - $\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}$ = 4sin x . cos x
$\mathrm{\frac{2cos^{2}x\,-\,2sin^{2}x}{sin\,x\cdot cos\,x}}$ = 4sin x . cos x
2cos²x - 2sin²x = 4(sin x . cos x)²
2(cos²x - sin²x) = (2sin x . cos x)²
2cos 2x = (sin 2x)²
2cos 2x = 1 - (cos 2x)²
(cos 2x)² + 2cos 2x - 1 = 0

Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos 2x₁ + cos 2x₂ = $\frac{-b}{a}$ = $\frac{-2}{1}$ = -2

cos 2x₁ + cos 2x₂ = -2
(1 - 2sin²x₁) + (1 - 2sin²x₂) = -2
2 - 2sin²x₁ - 2sin²x₂ = -2
4 = 2sin²x₁ + 2sin²x₂
2 = sin²x₁ + sin²x₂

Jawaban :D

Pembahasan SBMPTN 2017 Saintek 136 Matematika IPA

2017-12-06T20:40:00.000+07:00

Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2017 untuk Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) kode naskah 136 mata uji Matematika IPA.

Materi uji meliputi : Sistem persamaan linier, Bunga majemuk, Pertidaksamaan rasional, Vektor, Persamaan trigonometri, Persamaan parabola dan asimtotnya, Suku banyak, Geometri datar (lingkaran), Integral tentu, Limit fungsi trigonometri, Limit trigonometri di tak hingga, Fungsi rasional dan asimtotnya, Turunan fungsi trigonometri, Persamaan garis singgung kurva, Peluang.

1. SBMPTN 2017 Sistem Persamaan Linier
Jika x, y adalah solusi sistem $\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{3\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=2\\ -\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{6\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=-1

\end{matrix}\right.$
maka x + 2y = ...
(A) $\frac{5}{3}$
(B) $\frac{7}{3}$
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Pembahasan :
Jika dimisalkan $\mathrm{\frac{x}{y+1}}$ = p dan $\mathrm{\frac{y}{x+1}}$ = q, maka sistem diatas dapat ditulis menjadi
p + 3q = 2 .................(1)
-3p + 6q = -1 ............(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh p = 1 dan q = $\frac{1}{3}$. Sehingga
$\mathrm{\frac{x}{y+1}}$ = 1 ⇔ x - y = 1 ............(3)
$\mathrm{\frac{y}{x+1}}$ = $\frac{1}{3}$ ⇔ x - 3y = -1 .........(4)

Eliminasi (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 1.
Jadi, x + 2y = 2 + 2(1) = 4

Jawaban : D

2. SBMPTN 2017 Bunga Majemuk
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga pertahun adalah ...
(A) 2$\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )$
(B) 2$\left ( \sqrt[5]{2}\,-\,1 \right )$
(C) 2$\left ( \sqrt{2} \right )$
(D) 2$\left ( \sqrt[5]{2} \right )$
(E) 2$\left ( \sqrt[10]{2} \right )$

Pembahasan :
Jika kita perhatikan opsi jawaban (memuat bentuk akar), maka bunga yang dimaksud pada soal adalah bunga majemuk, sehingga berlaku :
M_n = M_o(1 + i)ⁿ
dengan
M_n = jumlah tabungan setelah n periode
M_o = jumlah tabungan awal
i = tingkat suku bunga

Jumlah tabungan dalam 5 tahun (10 semester) adalah
M₁₀ = M_o(1 + i)¹⁰
(n = 10, karena keuntungan dihitung per semester)

Diketahui jumlah tabungan dalam 5 tahun (10 smster) menjadi 2 kali lipat, dapat ditulis
M₁₀ = 2M_o

Sehingga diperoleh persamaan
M_o(1 + i)¹⁰ = 2M_o
⇔ (1 + i)¹⁰ = 2
⇔ 1 + i = $\sqrt[10]{2}$
⇔ i = $\sqrt[10]{2}$ - 1

Jadi, besar suku bunga /semester adalah i = $\sqrt[10]{2}$ - 1 dan besar suku bunga /thn adalah 2i = 2$\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )$.

Jawaban : A

3. SBMPTN 2017 Pertidaksamaan Rasional
Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan $\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}\leq 1}$ adalah ...
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6

Pembahasan :
⇔ $\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}-1\leq 0}$

⇔ $\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)\,-\,(x+3)(x-4)}{(x+3)(x-4)}\leq 0}$

⇔ $\mathrm{\frac{10}{(x+3)(x-4)}\leq 0}$

Nilai x yang memenuhi adalah -3 < x < 4.
Jadi, banyak bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan diatas ada 6, yaitu {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Jawaban : E

4. SBMPTN 2017  Vektor
Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w - u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka ...
(A) ||u|| = 2||v||
(B) ||v|| = 2||w||
(C) ||v|| = 2||u||
(D) ||w|| = 2||v||
(E) ||w|| = 2||u||

Pembahasan :
Karena v = w - u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| cos 60°
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| $\frac{1}{2}$
|v|² = |w|² + |u|² - |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² - |v|² .............................(1)

Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0 ⇔ u.v = 0

Karena v = w - u maka w = u + v sehingga berlaku :
|w|² = |u|² + |v|² + 2u.v
|w|² = |u|² + |v|² + 2(0)
|w|² = |u|² + |v|² ........................................(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² - |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|

Jawaban : E

5. SBMPTN 2017  Persamaan Trigonometri
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x₁) . (cot x₂) = ...
(A) -2
(B) -1
(C) 1
(D) 2
(E) 3

Pembahasan :
cot 2x = $\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}$

2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 $\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}} \right )$cot x + cot x - 1 = 0
cot²x - 1 + cot x - 1 = 0
cot²x + cot x - 2 = 0
(cot x + 2)(cot x - 1) = 0
cot x = -2 atau cot x = 1

Karena pada soal tidak diberikan syarat untuk x, akibatnya persamaan trigonometri diatas memiliki tak hingga banyaknya solusi. Meskipun demikian, nilai (cot x₁) . (cot x₂) hanya ada tiga kemungkinan.

Jika x₁ dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = -2, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(-2) = 4
Jika x₁ dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = 1, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (1)(1) = 1
Jika x₁ dipilih dari persamaan cot x = -2 dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = 1 ataupun sebaliknya, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(1) = -2

Jadi, nilai (cot x₁) . (cot x₂) yang mungkin adalah 4, 1 atau -2. Dari opsi jawaban, yang memenuhi adalah A dan C. Secara pribadi, saya memilih opsi A dengan asumsi cot x₁ ≠ cot x₂.

Jawaban : A

6. SBMPTN 2017  Hiperbola dan Asimtotnya
Jika y = $\frac{2}{3}$x - 5 adalah asimtot hiperbola $\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}$, maka salah satu nilai n yang mungkin adalah ...
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
(E) 4

Pembahasan :
Asimtot hiperbola $\mathrm{\frac{(x\,-\,p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y\,-\,q)^{2}}{b^{2}}=1}$ adalah
y - q = $\mathrm{\frac{b}{a}}$(x - p) atau y - q = -$\mathrm{\frac{b}{a}}$(x - p).

$\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}$
$\mathrm{\frac{(x\,-\,n)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y\,+\,1)^{2}}{2^{2}}=1}$

Persamaan asimtotnya adalah
y + 1 = $\frac{2}{3}$(x - n) atau y + 1 = -$\frac{2}{3}$(x - n)

Diketahui persamaan asimtotnya y = $\frac{2}{3}$x - 5 dengan koefisien x bernilai positif. Jadi, pilih yang bertanda (+), yaitu :
y + 1 = $\frac{2}{3}$(x - n) ⇔ y = $\frac{2}{3}$x - $\frac{2}{3}$n - 1

Diperoleh persamaan :
-$\frac{2}{3}$n - 1 = -5
⇔ -$\frac{2}{3}$n = -4
⇔ n = 6

Jawaban : C

7. SBMPTN 2017  Suku Banyak
Jika sisa pembagian p(x) oleh x - 1 adalah 1, maka sisa pembagian p(x) oleh (x - 1)(x - 3) adalah ...
(A) -$\frac{1}{2}$[p(3) - 1](x - 1) + 1
(B) $\frac{1}{2}$[p(3) - 1](x - 1) + 1
(C) -$\frac{1}{2}$[p(3) + 1](x - 1) + 1
(D) [p(3) + 1](x - 1) + 1
(E) -[p(3) + 1](x - 1) + 1

Pembahasan :
p(x) = pembagi × hasil bagi + sisa

Diketahui p(x) dibagi (x - 1) bersisa 1. Dapat kita tulis :
p(x) = (x - 1) q(x) + 1 .............................(1)
(untuk suatu suku banyak q(x) )

Untuk x = 3, maka
p(3) = (3 - 1) q(3) + 1
p(3) = 2q(3) + 1
q(3) = $\frac{1}{2}$[p(3) - 1] ............................(2)

Berdasarkan teorema sisa, jika q(x) dibagi (x - 3) maka sisanya adalah q(3). Dapat ditulis
q(x) = (x - 3) r(x) + q(3) .........................(3)
(untuk suatu suku banyak r(x) )

Substitusi persamaan (2) ke (3) diperoleh :
q(x) = (x - 3) r(x) + $\frac{1}{2}$[p(3) - 1] .............(4)

Substitusi persamaan (4) ke pers (1) diperoleh :
p(x) = (x - 1) {(x - 3) r(x) + $\frac{1}{2}$[p(3) - 1]} + 1
p(x) = (x - 1)(x - 3) r(x) + $\frac{1}{2}$[p(3) - 1](x - 1) + 1

Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x - 1)(x - 3) adalah
$\frac{1}{2}$[p(3) - 1](x - 1) + 1

Jawaban : B

8. SBMPTN 2017  Geometri Datar

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
(A) 18π + 18
(B) 18π - 18
(C) 14π + 14
(D) 14π - 15
(E) 10π + 10

Pembahasan :

Perhatikan gambar (a), luas daerah irisan kedua lingkaran adalah : L_I + L_II

Perhatikan gambar (b), karena ruas garis AB merupakan diameter lingkaran kecil dan O terletak pada lingkaran kecil, maka ∠ AOB = 90°.
L_I = Luas juring AOB - Luas segitiga AOB
L_I = $\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}$ × π.6² - $\frac{1}{2}$ × 6.6
L_I = 9π - 18

Perhatikan gambar (c), karena AB adalah diameter lingkaran kecil maka
L_II = $\frac{1}{2}$ × luas lingkaran kecil
L_II = $\frac{1}{2}$ × π(3√2)²
L_II = 9π

Jadi, luas irisan adalah (9π - 18) + (9π) = 18π - 18

Jawaban : (B)

9. SBMPTN 2017  Integral Tentu
Jika $\int_{-4}^{4}\mathrm{f(x)(sin\,x+1)\,dx=8}$, dengan f(x) fungsi genap dan $\int_{-2}^{4}\mathrm{f(x)\,dx=4}$, maka $\int_{-2}^{0}\mathrm{f(x)\,dx=...}$
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Pembahasan :
(i) Jika f(x) fungsi ganjil maka
$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = 0
(ii) Jika f(x) fungsi genap maka
$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = 2$\int_{0}^{a}$ f(x) dx
(iii) Jika a < b < c maka berlaku
$\int_{a}^{c}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(x) dx  +  $\int_{b}^{c}$ f(x) dx

Diketahui f(x) fungsi genap dan sin x adalah fungsi ganjil. Akibatnya, f(x).sin x adalah fungsi ganjil.

$\int_{-4}^{4}$ f(x) (sin x + 1) dx = 8
$\int_{-4}^{4}$ [f(x).sin x + f(x)] dx = 8
$\int_{-4}^{4}$ f(x).sin x dx + $\int_{-4}^{4}$ f(x) dx = 8

Berdasarkan sifat (i) dan (ii), persamaan diatas menjadi
0  + 2$\int_{0}^{4}$ f(x) dx = 8
⇒ $\int_{0}^{4}$ f(x) dx = 4

Diketahui $\int_{-2}^{4}$ f(x) dx = 4. Berdasarkan sifat (iii), persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$\int_{-2}^{0}$ f(x) dx + $\int_{0}^{4}$ f(x) dx = 4
$\int_{-2}^{0}$ f(x) dx  +  4 = 4
$\int_{-2}^{0}$ f(x) dx  = 0

Jawaban : A

10. SBMPTN 2017  Limit Trigonometri
$\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;x\cdot \left ( 1-sin\left ( x-\frac{\pi }{2} \right ) \right )\cdot cot(2x-\pi )=...}$
(A) $\frac{1}{2}$
(B) 1
(C) $\frac{3}{2}$
(D) 2
(E) $\frac{5}{2}$

Pembahasan :
Berdasarkan sifat sudut negatif dan sudut relasi :
sin (x - $\frac{\pi }{2}$) = - sin ($\frac{\pi }{2}$ - x)
sin (x - $\frac{\pi }{2}$) = - cos x

cot (2x - π) = - cot (π - 2x)
cot (2x - π) = - (-cot 2x)
cot (2x - π) = cot 2x

Jadi, limit pada soal dapat kita tulis menjadi
$\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}$ x . (1 - (-cos x)) . cot 2x
$\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}$ x . (1 + cos x) . $\mathrm{\frac{cos\,2x}{sin\,2x}}$
$\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;\frac{x}{sin\,2x} \;\cdot\; _{x \to 0 }^{lim}}$ (1 + cos x) . cos 2x

$\frac{1}{2}$ . (1 + cos 0) . cos 2(0)
$\frac{1}{2}$ . (1 + 1) . 1 = 1

Jawaban : B

11. SBMPTN 2017  Limit Trigonometri di Tak Hingga
$\mathrm{_{x \to \infty }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x^{2}}=...}$
(A) -1
(B) -$\frac{1}{2}$
(C) -$\frac{1}{3}$
(D) -$\frac{1}{4}$
(E) -$\frac{1}{5}$

Pembahasan :
Limit pada soal dapat ditulis menjadi
$\mathrm{_{x \to \infty }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x}\cdot \frac{1}{1\,+\,x}}$

Misalkan y = $\mathrm{\frac{1}{x\,+\,1}}$, maka x = $\mathrm{\frac{1}{y}}$ - 1
Jika x → ∞ maka y → 0

Sehingga limit diatas menjadi
$\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{(\frac{1}{y}-1)\,cot\,5y}{1\,-\,(\frac{1}{y}-1)}\cdot y}$

$\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2\,-\,\frac{1}{y}}\cdot \frac{{\color{Red} y}}{{\color{Red} y}}}$

$\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{y(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2y\,-\,1}}$

$\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{y}{sin\,5y}\cdot \frac{(1\,-\,y)\,cos\,5y}{2y\,-\,1}}$

$\frac{1}{5}$ . $\mathrm{\frac{(1\,-\,0)\,cos\,5(0)}{2(0)\,-\,1}}$ = -$\frac{1}{5}$

Jawaban : E

12. SBMPTN 2017  Fungsi Rasional dan Asimtotnya
Grafik fungsi f(x) = $\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}$, k bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika k = ...
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Pembahasan :
Banyaknya asimtot tegak fungsi rasional dapat dihitung dari banyaknya pembuat nol pada bagian penyebut, dan pembuat nol ini berbeda dengan pembuat nol pada pembilang. Untuk itu, kita dapat mulai dengan mengeliminasi pembuat nol yang sama pada pembilang dan penyebut, atau dengan kata lain mencoret faktor linier yang sama pada pembilang dan penyebut.

f(x) = $\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}$

f(x) = $\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x\,{\color{red} \not}+\,1)(x\,{\color{red} \not}-\,1)}{(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}-\,1)(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}+\,1)}}$

f(x) = $\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}}{(x\,+\,2)(x\,+\,2)}}$

Dari fungsi terakhir yang diperoleh, mudah bagi kita untuk menebak berapa nilai k agar penyebutnya hanya memiliki satu pembuat nol, yaitu ketika k = 1.
f(x) = $\mathrm{\frac{(x\,{\color{red} \not}+\,2)^{1}}{(x\,{\color{red} \not}+\,2)(x\,+\,2)}}$ = $\mathrm{\frac{1}{x\,+\,2}}$

Jadi, agar f(x) mempunyai satu asimtot tegak haruslah k = 1, dengan asimtot tegaknya adalah x = -2.

Jawaban : A

13. SBMPTN 2017  Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan f(x) = sin (cos²x), maka f'(x) = ...
(A) -2 sin x . cos (cos²x)
(B) -2 sin 2x . cos (cos²x)
(C) - sin x . cos (cos²x)
(D) - sin 2x . cos (cos²x)
(E) - sin²x . cos (cos²x)

Pembahasan :
Diketahui f(x) = sin (cos²x)
Misalkan g(x) = cos²x sehingga f(x) = sin g(x)

Turunan dari g(x) = cos²x adalah
g'(x) = 2 cos x . (-sin x) = - sin 2x

Turunan dari f(x) = sin g(x) adalah
f'(x) = g'(x) . cos g(x)
f'(x) = - sin 2x . cos (cos²x)

Jawaban : D

14. SBMPTN 2017 Garis Singgung Kurva
Garis singgung kurva y = $\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}$ yang melalui titik $(1,\,-1)$ adalah ...
(A) x - 8y - 9 = 0
(B) x + 4y + 3 = 0
(C) 2x - 8y - 10 = 0
(D) x + 8y + 7 = 0
(E) x - 4y - 5 = 0

Pembahasan :

Titik (1, -1) bukan titik singgung kurva karena tidak memenuhi persamaan kurva. Jadi, harus dicari terlebih dahulu titik singgung pada kurva yang juga melalui titik (1, -1).

Misalkan titik singgung adalah (a, b). Jika kita substitusikan pada persamaan kurva akan diperoleh
b = $\mathrm{\frac{a}{2\,-\,2a}}$ ⇔ b = $\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}$ .........................(1)

Dengan menggunakan rumus turunan hasil bagi dua fungsi pada kurva y = f(x) = $\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}$ akan diperoleh
f '(x) = $\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,x)^{2}}}$.

Gradien garis singgung kurva di titik (a, b) adalah
m = f '(a) = $\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}$

Gradien garis yang melalui titik (1, -1) dan (a, b) adalah
m = $\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}$

Dari kedua gradien diatas diperoleh persamaan :
$\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}$ = $\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}$
$\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}$ = -1 - b ...............................(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
$\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}$ = -1 - $\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}$
$\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}$ + $\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}$ = -1
$\mathrm{\frac{1\,+\,a}{2(1\,-\,a)}}$ = -1
1 + a = -2(1 - a)
⇒ a = 3
Substitusi a = 3 ke persamaan (1) diperoleh
b = $\mathrm{\frac{3}{2(1\,-\,3)}}$ = $-\frac{3}{4}$
Sehingga titik singgungnya adalah (a, b) = (3, $-\frac{3}{4}$).
dengan gradien garis singgungnya adalah
m = f '(3) = $\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,3)^{2}}}$ = $\frac{1}{8}$

Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik (3, $-\frac{3}{4}$) dengan gradien m = $\frac{1}{8}$ adalah
y + $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{8}$ (x - 3) (kali 8)
8y + 6 = x - 3
x - 8y - 9 = 0

Jawaban : A

15. SBMPTN 2017 Peluang
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah ...
(A) 0,04
(B) 0,10
(C) 0,16
(D) 0,32
(E) 0,40

Pembahasan :
Kotak I : 12P 3M
Kotak II : 4P 4M

Dari masing-masing kotak diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Peluang yang terambil 1 bola merah :

Kotak I terambil MP dan kotak II terambil PP :
$\left (\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}$
Kotak I terambil PM dan kotak II terambil PP :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}$
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil MP :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}$
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil PM :
$\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}$
Jadi, peluang yang terambil 1 bola merah adalah
$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$= $\frac{10}{25}$ = 0,40

Jawaban : E

Pembahasan SBMPTN 2017 TKPA 226 Matematika Dasar

2017-11-19T15:50:00.001+07:00

Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2017 untuk Tes Kemampuan Dasar dan Potensi Akademik (TKPA) kode naskah 226 mata uji Matematika Dasar.

Materi uji meliputi : Matriks, Pertidaksamaan nilai mutlak, Geometri datar (segitiga), Aljabar fungsi (domain), Statistika, Barisan aritmatika, Aplikasi turunan, Barisan/deret geometri, Fungsi komposisi (range), Dimensi tiga, SPLDV, Transformasi geometri, Integral tak tentu, Limit tak tentu, Kaedah pencacahan.

1. SBMPTN 2017  Matriks
Misalkan A^T adalah transpos matriks A. Jika $\mathrm{A=\begin{pmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{pmatrix}}$ sehingga $\mathrm{A^{T}A=\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{pmatrix}}$, maka nilai x² - x adalah ...
(A) 0
(B) 2
(C) 6
(D) 12
(E) 20

Pembahasan :
$\mathrm{A^{T}A=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}}$

$\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
2 & {\color{white} -}0\\
\mathrm{x} & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
4 & \mathrm{2x}\\
\mathrm{2x} & \mathrm{x^{2}}+4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
2x = 4 → x = 2
Jadi, (x² - x) = (2² - 2) = 2

Jawaban : B

2. SBMPTN 2017  Pertidaksamaan Nilai mutlak
Jika himpunan penyelesaian $\mathrm{|2x-\mathit{a}|<5}$ adalah $\left \{ \mathrm{x/-1<x<4} \right \}$, maka nilai a adalah ...
A. -4 D. 3
B. -3 E. 4
C. -1

Pembahasan :
Untuk k konstan dan k > 0, berlaku :
| f(x) | < k ⟺ -k < f(x) < k

Berdasarkan sifat diatas maka
| 2x - a | < 5 ⟺ -5 < 2x - a < 5
| 2x - a | < 5   ⟺  a - 5 < 2x < a + 5
| 2x - a | < 5 ⟺  $\frac{a-5}{2}$ < x < $\frac{a+5}{2}$

Karena -1 < x < 4 maka haruslah
$\frac{a-5}{2}$ = -1 atau $\frac{a+5}{2}$ = 4
Dari persamaan diatas diperoleh a = 3.

Jawaban : D

3. SBMPTN 2017  Geometri Datar : Segitiga

Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas ΔABC adalah x cm², maka luas ΔKMN adalah ... cm².
(A) $\mathrm{\frac{x}{3}}$
(B) $\mathrm{\frac{2x}{9}}$
(C) $\mathrm{\frac{x}{9}}$
(D) $\mathrm{\frac{x}{18}}$
(E) $\mathrm{\frac{x}{36}}$

Pembahasan :
L ΔABC = $\frac{1}{2}$(BC)(AB) = x
MN = $\frac{1}{3}$BC dan KB = $\frac{2}{3}$AB

L ΔKMN = $\frac{1}{2}$(MN)(KB)
L ΔKMN = $\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{3}$BC) ($\frac{2}{3}$AB)
L ΔKMN = $\frac{2}{9}$ . $\frac{1}{2}$(BC)(AB)
L ΔKMN = $\frac{2}{9}$ . x
L ΔKMN = $\mathrm{\frac{2x}{9}}$

Jawaban : B

4. SBMPTN 2017  Aljabar Fungsi : Domain
Jika f(x) = x² - 1 dan g(x) = $\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}$, maka daerah asal fungsi f.g adalah ...
(A) {x/ -∞ < x < ∞}
(B) {x/ x ≠ -1}
(C) {x/ x ≠ 2}
(D) {x/ x < -1}
(E) {x/ x ≥ 2}

Pembahasan :
Misalkan daerah asal (domain) fungsi f adalah D_f dan domain fungsi g adalah D_g. Jika domain fungsi f.g dan f/g berturut-turut adalah D_f.g dan D_f/g, maka :
D_f.g = D_f ∩ D_g
D_f/g = D_f ∩ D_g ∩ g ≠ 0

f(x) = x² - 1 → D_f = {x ∈ ℝ}
g(x) = $\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}$ → D_g = {x ≠ -1}

D_f.g = D_f ∩ D_g
D_f.g = {x ∈ ℝ} ∩{x ≠ -1}
D_f.g = {x ≠ -1}

Jawaban : B

5. SBMPTN 2017  Statistika
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah ... kg.
(A) 4
(B) $\frac{9}{2}$
(C) 5
(D) 6
(E) $\frac{13}{2}$

Pembahasan :
Misalkan berat badan 5 balita setelah diurutkan adalah a, b, c, d, e dan berat badan balita terakhir yang ditambahkan adalah x.

Median dari 5 data a, b, c, d, e adalah c.
Rata-rata berat badan ke-5 balita adalah $\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}$.
Rata-rata berat badan setelah ditambahkan 1 balita yang beratnya x adalah $\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}$.

Karena median dan rata-rata ke-5 balita sama, maka :
c = $\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}$ atau a + b + c + d + e = 5c

Karena rata-rata meningkat 1 kg setelah ditambahkan 1 balita, diperoleh persamaan
$\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}$ + 1 = $\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}$
c + 1 = $\mathrm{\frac{5c+x}{6}}$
6c + 6 = 5c + x
x = c + 6
Karena x = c + 6, maka x > c. Akibatnya, x tidak mungkin menempati urutan 1, 2 atau 3.

Agar median sesudah ditambahkan 1 data nilainya tetap, maka berat badan urutan ke-3, yaitu c harus sama dengan berat badan urutan ke-4, dengan alasan median dari 6 data dihitung dari $\mathrm{\frac{U_{3}+U_{4}}{2}}$. Akibatnya, x bukan urutan ke-4 karena x ≠ c. Jadi, urutan ke-4 adalah d, dengan d = c.

Dengan demikian, selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah x - d = (c + 6) - (c) = 6.

Jawaban : D

6. SBMPTN 2017  Barisan Aritmatika
Suku ke-11 suatu barisan aritmatika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut adalah -3, maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke...
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9

Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah
U_n = a + (n - 1)b
a = suku pertama
b = beda

Diketahui suku ke-11 sama dengan empat kali suku ke-16, kita tulis
U₁₁ = 4 U₁₆
a + 10b = 4(a + 15b)
a + 10b = 4(a + 13b + 2b)
a + 10b = 4(U₁₄ + 2b)
a + 10b = 4U₁₄ + 8b
a + 2b = 4U₁₄
U₃ = 4U₁₄
Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3

Jawaban : B

7. SBMPTN 2017  Aplikasi Turunan
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6 - 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah ... (kg)
(A) 400
(B) 420
(C) 435
(D) 450
(E) 465

Pembahasan :
Misalkan total bobot semua ikan adalah Y. Jika x menyatakan banyak ikan yang dipelihara, maka rata-rata bobot ikan per ekor adalah $\mathrm{\frac{Y}{x}}$. Karena rata-rata bobot ikan per ekor adalah (6 - 0,02x), maka :
$\mathrm{\frac{Y}{x}}$ = (6 - 0,02x)
Y = (6 - 0,02x)x
Y = 6x - 0,02x²

Total bobot semua ikan akan maksimum jika Y' = 0
6 - 0,04x = 0 (kali 100)
600 - 4x = 0
⇒ x = 150

Jadi, maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah
Y = 6(150) - 0,02(150)² = 450 kg.

Jawaban : D

8. SBMPTN 2017  Barisan dan Deret Geometri
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah 1/32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah ...
(A) 30
(B) 40
(C) 50
(D) 60
(E) 70

Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
U_n = ar^n-1
a = suku pertama
r = rasio

Diketahui $\mathrm{\frac{U_{6}}{U_{1}}=\frac{1}{32}}$, dapat ditulis
$\mathrm{\frac{ar^{5}}{a}=\frac{1}{32}}$
$\mathrm{r^{5}=\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}$
⇒ r = $\frac{1}{2}$

Diketahui U₃ + U₄ = 15, dapat ditulis
ar² + ar³ = 15
a($\frac{1}{2}$)² + a($\frac{1}{2}$)³ = 15 (kali 8)
2a + a = 120
⇒ a = 40

Diperoleh suku pertama 40 dan rasio $\frac{1}{2}$, sehingga barisannya adalah
40, 20, 10, ...

Jadi, jumlah 3 suku pertama adalah
40 + 20 + 10 = 70

Jawaban : E

9. SBMPTN 2017  Fungsi Komposisi : Range
Jika f(x) = 1 - x² dan g(x) = $\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}$, maka daerah hasil fungsi komposisi fog adalah ...
(A) {y/ -∞ < y < ∞}
(B) {y/ y ≤ -1 atau y ≥ 1}
(C) {y/ y ≤ 5}
(D) {y/ y ≤ 1}
(E) {y/ 1 ≤ y ≤ 1}

Pembahasan :
Untuk menentukan daerah hasil (range) fungsi komposisi fog, dapat kita mulai dengan menentukan domainnya terlebih dahulu.
fog(x) = f($\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}$)
fog(x) = 1 - ($\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}$)² → D_fog = {5 - x ≥ 0} = {x ≤ 5}
fog(x) = 1 - (5 - x)
fog(x) = x - 4

Catatan : Domain fungsi komposisi diperoleh sebelum fungsi disederhanakan (penyederhanaan yang dimaksud adalah penyederhanaan yang merubah domain fungsi, seperti menghilangkan tanda akar atau mencoret penyebut). Jika ingin menentukan domain setelah fungsi komposisi disederhanakan, maka domain yang diperoleh harus diiris kembali dengan domain fungsi input (untuk kasus diatas fungsi inputnya adalah g(x)).

Diatas telah diperoleh y = fog = x - 4, dengan domain x ≤ 5. Untuk daerah hasilnya, dapat ditentukan dengan memanipulasi domain fog.
x ≤ 5 (kurangkan kedua ruas dengan 4)
x - 4 ≤ 5 - 4
x - 4 ≤ 1
y ≤ 1 (karena y = x - 4)

Jawaban : D

10. SBMPTN 2017  Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah HG dan BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 4 cm, maka jarak P ke Q adalah ... cm.
(A) 2√3
(B) 2√6
(C) 6√2
(D) 6√3
(E) 6√6

Pembahasan :
Perhatikan gambar !

PR² = 4² = 16
RQ² = RC² + CQ² = 2² + 2² = 8

Perhatikan segitiga PRQ siku-siku di R.
PQ² = PR² + RQ²
PQ² = 16 + 8
PQ² = 24
PQ = √(24) = 2√6

Jawaban : B

11. SBMPTN 2017 SPLDV
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 3, 3x + 2y ≥ 6, y ≥ 0 adalah ... satuan luas.
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{3}{4}$
(C) 1
(D) $\frac{3}{2}$
(E) 2

Pembahasan :
Sketsa terlebih dahulu daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas!

Daerah penyelesaiannya adalah segitiga arsiran dengan alas = 1 dan tinggi 3. Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $\frac{1}{2}$ . 1 . 3 = $\frac{3}{2}$.

Jawaban : D

12. SBMPTN 2017   Transformasi Geometri
Titik (1, 0) dipetakan dengan translasi $\begin{pmatrix}
a\\ 2

\end{pmatrix}$ dan kemudian dicerminkan terhadap garis $\mathrm{x = 3}$ ke titik (6, 2). Peta titik (2, 1) di bawah transformasi yang sama adalah ...
(A) (5, 3)
(B) (6, 2)
(C) (6, 3)
(D) (7, 2)
(E) (7, 3)

Pembahasan :
Peta titik (x, y) oleh translasi (a, b) adalah $\begin{pmatrix}

\mathrm{x+a}\\ \mathrm{y+b}

\end{pmatrix}$
Peta titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = k adalah $\begin{pmatrix}
\mathrm{2k-x}\\ \mathrm{y}

\end{pmatrix}$

Berdasarkan sifat diatas maka :
Peta titik (1, 0) oleh translasi (a, 2) adalah $\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ \mathrm{0+2}

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ 2

\end{pmatrix}$.
Peta titik (1+a, 2) oleh pencerminan terhadap garis $\mathrm{x = 3}$ adalah $\begin{pmatrix}
\mathrm{2(3)-(1+a)}\\ \mathrm{2}

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2

\end{pmatrix}.$
Diketahui hasil petanya adalah (6, 2), sehingga diperoleh persamaan $\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6\\ 2

\end{pmatrix}$.
Dari persamaan diatas diperoleh
5 - a = 6
a = -1

Selanjutnya, akan ditentukan peta titik (2, 1) oleh transformasi yang sama, yaitu translasi (-1, 2) dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 3.

Peta titik (2, 1) oleh translasi (-1, 2) adalah $\begin{pmatrix}
2+(-1)\\ 1+2

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\ 3

\end{pmatrix}$.
Peta titik (1, 3) oleh pencerminan terhadap garis x = 3 adalah $\begin{pmatrix}
2(3)-1\\ 3

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\ 3

\end{pmatrix}$.

Jawaban : A

13. SBMPTN 2017   Integral Tak Tentu
$\int \mathrm{\frac{3(1\,-\,x)}{1\,+\,\sqrt{x}}\;dx=...}$
(A) 3x - 2x√x + C
(B) 2x - 3x√x + C
(C) 3x√x - 2x + C
(D) 2x√x - 3x + C
(E) 3x + 2x√x + C

Pembahasan :
$\begin{align}
\mathrm{\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}\;dx} & = \mathrm{3\int \frac{\left (1+\sqrt{x} \right )\left ( 1-\sqrt{x} \right )}{1+\sqrt{x}}\;dx} \\
& = \mathrm{3\int (1-\sqrt{x})\;dx} \\
& = \mathrm{3\left ( x-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right )+C} \\
& = \mathrm{3x-2x^{\frac{3}{2}}+C} \\
& = \mathrm{3x-2x\sqrt{x}+C}
\end{align}$

Jawaban : A

14. SBMPTN 2017   Limit Tak Tentu
Jika kurva f(x) = ax² + bx + c memotong sumby-y di titik (0, 1) dan $\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{f(x)}{x\,-\,1}=-4}$, maka $\frac{b\,+\,c}{a}=...$
(A) -1
(B) -$\frac{1}{2}$
(C) 0
(D) 1
(E) $\frac{3}{2}$

Pembahasan :
Karena kurva f(x) = ax² + bx + c memotong sumbu-y di titik (0, 1), maka c = 1.

Limit diatas merupakan bentuk limit tak tentu 0/0, dapat kita identifikasi dari penyebutnya yang bernilai nol ketika x = 1, sedangkan limitnya ada, yaitu -4. Jadi, haruslah f(1) = 0.
f(1) = a(1)² + b(1) + 1 = 0 atau
a + b = -1 ............................................(1)

Dengan menggunakan aturan L'Hospital pada $\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{\mathit{a}x^{2}+\mathit{b}x+\mathit{c}}{x\,-\,1}=-4}$ diperoleh
$\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{2\mathit{a}x+\mathit{b}}{1}=-4}$
2a(1) + b = -4
2a + b = -4 ...........................................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh a = -3 dan b = 2.

Jadi, $\frac{b\,+\,c}{a}$ = $\frac{2\,+\,1}{-3}$ = -1

Jawaban : A

15. SBMPTN 2017   Kaedah Pencacahan
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
(A) 720
(B) 705
(C) 672
(D) 48
(E) 15

Pembahasan :
Banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan dapat dihitung dari selisih banyaknya susunan bebas dengan banyaknya susunan setiap pemain dan pasangannya berdekatan.

Banyak susunan pemain dengan susunan bebas adalah 6! = 720.
Banyak susunan pemain dengan setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
(A1 A2) (B1 B2) (C1 C2) = 3! . 2! . 2! . 2! = 48

Jadi, banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
720 - 48 = 672

Jawaban : C

Matriks Transformasi Geometri

2017-11-02T12:12:00.005+07:00

Misalkan peta titik A(x, y) oleh transformasi T adalah A'(x', y'). Matriks $\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

Matriks Refleksi (Pencerminan)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x', y') dapat kita tulis dalam persamaan
x' = -x ⇔ x' = (-1)x + (0)y
y' = -y ⇔ y' = (0)x + (-1)y

Dalam persamaan matriks kita tulis
$$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$Jadi, matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O adalah $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}$$
Dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh matriks-matriks pencerminan lainnya sebagai berikut :

Matriks pencerminan terhadap sumbu x
$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}$

Matriks pencerminan terhadap sumbu y
$\mathrm{M_{y}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$

Matriks pencerminan terhadap garis y = x
$\mathrm{M_{y=x}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}$

Matriks pencerminan terhadap garis y = -x
$\mathrm{M_{y=-x}}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}$

Contoh 1
Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 2

\end{bmatrix}$

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)

Contoh 2
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & {\color{white} -}0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}x\\ -y

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x → x = 4
-2 = -y → y = 2

Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)

Contoh 3
Bayangan garis 2x + y - 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = -x → x = -x'
y' = -y → y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis 2x + y - 3 = 0
2(-x') + (-y') - 3 = 0
-2x' - y' - 3 = 0
2x' + y' + 3 = 0

Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0

Matriks Rotasi (Perputaran)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut

Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α

Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh
x' = r cos (α + θ )
x' = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' = x cos θ - y sin θ

y' = r sin (α + θ )
y' = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' = y cos θ + x sin θ
y' = x sin θ + y cos θ

Diperoleh
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ

Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta \\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta\\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}$$

Contoh 4
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...

Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°

Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,(-90^{\circ}) & -sin\,(-90^{\circ})\\
sin\,(-90^{\circ}) & cos\,(-90^{\circ})
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 4

\end{bmatrix}$

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)

Contoh 5
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\
sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x → x = -x'
y' = -y → y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1

Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x - a = r cos α
y - b = r sin α

Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh
x' - a = r cos (α + θ)
x' - a = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ

y' - b = r sin (α + θ)
y' - b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' - b = (y - b) cos θ + (x - a) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ

Diperoleh
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ

Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta \\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}$$

Contoh 6
Persamaan bayangan parabola y = x² + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\
sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
y+3\\ -x+2

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' - 2 = y + 3 → y = x' - 5
y' + 3 = -x + 2 → x = -y' - 1

Substitusi x dan y ke parabola y = x² + 2x + 1
x' - 5 = (-y' - 1)² + 2(-y' - 1) + 1
x' - 5 = (y')² + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1
x' - 5 = (y')²
(y')² = x' - 5

Jadi, persamaan bayangannya adalah y² = x - 5

Matriks Dilatasi (Perkalian)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Sebagai catatan, titik A'(x', y') dapat berada disepanjang garis m, tergantung nilai k.

Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x', y') dapat kita tulis dalam persamaan
x' = kx ⇔ x' = kx + 0y
y' = ky ⇔ y' = 0x + ky

Dalam persamaan matrik kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$ dengan matriks dilatasinya $$\mathrm{M_{[O,\;k]}}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}$$ Untuk pusat (a, b), persamaan matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}$$

Contoh 7
Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2x\\ 2y

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = 2x → x = $\frac{1}{2}$x'
y' = 2y → y = $\frac{1}{2}$y'

Substitusi x dan y ke persamaan x² + y² = 5
($\frac{1}{2}$x')² + ($\frac{1}{2}$y')² = 5
$\frac{1}{4}$(x')² + $\frac{1}{4}$(y')² = 5 (kali 4)
(x')² + (y')² = 20

Jadi, bayangannya adalah x² + y² = 20

Contoh 8
Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah ...

Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x', y') = ?

Persamaan matriksnya
$\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1+2\\ 3-4

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3\\ -1

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-6\\ 2

\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' + 2 = -6 → x' = -8
y' - 4 = 2 → y' = 6

Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)

Cara lain menemukan matriks transformasi

Jika titik A(1, 0) dan B(0, 1) kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} 1}
\end{bmatrix}$$
Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran.

Perhatikan gambar berikut :

Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(-1, 0) dan B'(0, -1). Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(1, 0) dan B'(0, -1). $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'(0, 1) dan B'(-1, 0). $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}
\end{bmatrix}$$
Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.

Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan

Misalkan $\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$ adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T₁ dan $\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}$ adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T₂ . Jika A'(x', y') adalah hasil pemetaan titik A(x, y) oleh transformasi T₁ dan dilanjutkan transformasi T₂ , ditulis T₂ o T₁ , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1} \right ]}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$$
Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.

Contoh 9
Diketahui T₁ adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan T₂ adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh transformasi :
a. T₂ o T₁
b. T₁ o T₂

Jawab :
M₁ = $\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$ dan M₂ = $\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}$

a. T₂ o T₁ (T₁ dilanjutkan T₂)

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5\\ 2

\end{bmatrix}$

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T₂ o T₁ adalah A'(5, 2).

b. T₁ o T₂ (T₂ dilanjutkan T₁)

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}0 & -1\\
-1 & {\color{white} -}0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-5\\ -2

\end{bmatrix}$

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T₁ o T₂ adalah A'(-5, -2).

Contoh 10
Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1\; & 0\;\\
-2\; & 1\;
\end{bmatrix}$ dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah ...

Jawab :
$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$

Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan x dan y.

$\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4}x'\\ \frac{1}{2}x'+\frac{1}{4}y'

\end{bmatrix}$

dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x = $\frac{1}{4}$x'
y = $\frac{1}{2}$x' + $\frac{1}{4}$y'

Substitusi x dan y ke garis x + y = 1
$\frac{1}{4}$x' + $\frac{1}{2}$x' + $\frac{1}{4}$y' = 1 (kali 4)
x' + 2x' + y' = 4
3x' + y' = 4

Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4

Penyelesaian Persamaan Eksponen

2017-10-13T19:04:00.000+07:00

Penyelesaian dari suatu persamaan eksponen dalam peubah x adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya.

A. Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

Sifat A Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

B. Bentuk a^f(x) = b^f(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk a, b ≠ 0, maka a⁰ = 1 dan b⁰ = 1. Akibatnya a⁰ = b⁰, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan a^f(x) = b^f(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

Sifat B Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka f(x) = 0

Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1

C. Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

Sifat C Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x)

Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari ($\frac{2}{3}$)^{^x} = 6^{^1-x}

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log ($\frac{2}{3}$)^{^x} = log 6^{^1-x}
x log ($\frac{2}{3}$) = (1 - x) log 6 log aⁿ = n log a
x log ($\frac{2}{3}$) = log 6 - x log 6
x log ($\frac{2}{3}$) + x log 6 = log 6
x (log ($\frac{2}{3}$) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6 log a + log b = log (ab)
x = $\mathrm{\frac{log\;6}{log\;4}}$
x = ⁴log 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6

D. Bentuk f(x)^g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

Karena 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
Karena (-1)^g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
Karena f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

Sifat D  Jika f(x)^g(x) = 1 maka
(1) f(x) = 1
(2) f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
(3) g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0

Contoh 4
Tentukan HP dari (2x + 3)^x-1 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  ✘
Periksa :
Untuk x = -2 → g(x) = -2 - 1 = -3 (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  ✔
Periksa :
Untuk x = 1 → f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}

E. Bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x)

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).
Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)^h(x) = (-2)^h(x) bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.
Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)⁰ = 1 dan g(x)⁰ = 1. Akibatnya, f(x)⁰ = g(x)⁰ ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x) akan bernilai benar jika h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

Sifat E  Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka
(1) f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x), dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

Contoh 5
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1, g(x) = x + 5 dan h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x), dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2 → h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}

F. Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Persamaan eksponen diatas memiliki basis yang sama, yaitu f(x). Namun kedua pangkatnya berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu g(x) = h(x).
Untuk berapapun nilai g(x) dan h(x), maka 1^g(x) = 1 dan 1^h(x) = 1. Akibatnya, 1^g(x) = 1^h(x) untuk berapapun nilai g(x) dan h(x). Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 1.
Karena (-1)^g(x) = (-1)^h(x) benar ketika g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil.
Untuk g(x) dan h(x) positif, maka 0^g(x) = 0 dan 0^h(x) = 0. Akibatnya, 0^g(x) = 0^h(x) ketika g(x) dan h(x) positif. Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua positif.

Sifat F  Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka
(1) g(x) = h(x)
(2) f(x) = 1
(3) f(x) = -1, g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4) f(x) = 0, g(x) dan h(x) keduanya positif

Contoh 6
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4, g(x) = 4x dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1, g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12 (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10 (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0, g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16 (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13 (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}

Coba perhatikan kembali solusi-solusi yang menyangkut syarat pangkat genap pada sifat-sifat diatas. Yang menarik untuk dipertanyakan adalah bagaimana seandainya pangkatnya berbentuk pecahan. Hal ini perlu diulas karena tidak menutup kemungkinan saat memeriksa apakah pangkatnya genap atau ganjil, ternyata yang kita temukan adalah bilangan pecahan, yang sudah jelas bukan merupakan bilangan genap ataupun ganjil.

Yang perlu dipahami adalah ketika kita memberikan syarat bahwa pangkatnya harus genap tujuannya adalah ingin memperoleh nilai positif. Kita tahu bahwa (-1)^p bernilai positif ketika p genap. Namun, bagaimana seandainya p bukan bilangan bulat melainkan bilangan pecahan, misalkan $\mathrm{\frac{m}{n}}$ dengan m dan n bilangan bulat.

Pertanyaan spesifiknya adalah kapan (-1)$\mathrm{^{\frac{m}{n}}}$ bernilai positif ?

Berdasarkan sifat eksponen, hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar dapat kita nyatakan sebagai berikut $$(-1)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(-1)^{m}}$$ Dari bentuk diatas, dapat kita simpulkan bahwa

(-1)$\mathrm{^{\frac{m}{n}}}$ bernilai positif, jika m genap.
(-1)$\mathrm{^{\frac{m}{n}}}$ bernilai negatif, jika m dan n ganjil
(-1)$\mathrm{^{\frac{m}{n}}}$ tidak terdefinisi untuk bilangan real, jika m ganjil dan n genap.

Karena (-1)$\mathrm{^{\frac{{\color{Red} m}}{n}}}$ bernilai positif ketika m genap, maka syarat pangkat genap terpenuhi ketika m genap. Namun, bukan berarti kita mengganggap bahwa m/n adalah bilangan genap.

Sebagai contoh, (3x - 2)^x+1 = 1
Salah satu solusi dari persamaan diatas adalah ketika basisnya -1 dengan syarat pangkatnya genap (sifat D.2)
3x - 2 = -1
3x = 1
x = $\frac{1}{3}$

Periksa :
Untuk x = $\frac{1}{3}$ → x + 1 = $\frac{1}{3}$ + 1 = $\frac{{\color{Red} 4}}{3}$
Karena 4 bilangan genap, maka x = $\frac{1}{3}$ memenuhi.

Selain bentuk-bentuk diatas, terdapat pula persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Biasanya, persamaan seperti ini memuat 3 suku dengan 1 diantaranya konstan. Untuk solusinya dapat disimak pada contoh berikut!

Contoh 7
Tentukan HP dari 2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0

Jawab :
2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0
(2^x)^² - 3. 2^x . 2¹ + 8= 0
(2^x)^² - 6(2^x) + 8 = 0

Misalkan 2^x = p, sehingga
p² - 6p + 8 = 0
(p - 2)(p - 4) = 0
p = 2 atau p = 4

Untuk p = 2
2^x = 2
2^x = 2¹
x = 1

Untuk p = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

Jadi, HP = {1, 2}

Ketika mencari solusi dari persamaan eksponen, langkah pertama yang kita lakukan adalah memperhatikan basis dan pangkat pada kedua ruas persamaan tersebut, apakah sama atau berbeda. Hal ini kita lakukan sebagai acuan dalam memilih sifat mana yang akan digunakan. Seandainya kedua basisnya konstan dan memungkinkan untuk disamakan, maka samakan basisnya terlebuh dahulu.

Berikut beberapa contoh latihan soal persamaan eksponen.

Latihan 1
Tentukan penyelesaian dari (0,125)^x+1 = $\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}$

Jawab :
(0,125)^x+1 = $\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}$
$\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}}$ = $16^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}$
$\mathrm{\left ( 2^{-3} \right )^{x+1}}$ = $\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}$
(2)^-3x-3 = (2)^2-2x

Berdasarkan sifat A diperoleh
-3x - 3 = 2 - 2x
-x = 5
x = -5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5

Latihan 2
Jika penyelesaian dari 5^t⁴-1 = 3^t⁴-1 adalah t₁ dan t₂ dengan t₁ > t₂, tentukan nilai t₂ - t₁ !

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t⁴ - 1 = 0
(t² - 1)(t² + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t² + 1) = 0
t = -1 atau t = 1
Catatan : t² + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t₁ > t₂ , maka t₁ = 1 dan t₂ = -1. Akibatnya
t₂ - t₁ = -1 - 1 = -2

Latihan 3
Tentukan HP dari 3^x²-1 = 2^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat C, maka
log 3^x²-1 = log 2^x+1
(x² - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu (x + 1). Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika (x + 1) = 0.
x + 1 = 0
x = -1

Untuk (x + 1) ≠ 0, maka
~~(x + 1)~~(x - 1) log 3 = ~~(x + 1)~~ log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = $\mathrm{\frac{log\;6}{log\;3}}$
x = ³log 6

HP = {-1, ³log 6}

Latihan 4
Tentukan HP dari (x² - x - 1)^{^3x-9} = 1

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x² - x - 1 = 1
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x² - x - 1 = -1
x² - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0 → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1 → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi adalah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3 → (x² - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3}

Latihan 5
Tentukan HP dari (x² + 3x - 2)^{^2x+3} = (x² + 2x + 4)^{^2x+3}

Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2 → (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2 → (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6}

Latihan 6
Tentukan HP dari (x² - 1)^{^x-1} = (x² - 1)^{^x+1}

Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x² - 1 = 1
x² = 2
x = √ 2 atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x² - 1 = -1
x² = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x² - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2}

Latihan 7
Akar-akar persamaan 9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, tentukan x₁ - x₂

Jawab :
9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0
9^x.9¹ - 10.3^x + 1 = 0
9(3^x)^² - 10(3^x) + 1 = 0

Misalkan a = 3^x sehingga
9a² - 10a + 1 = 0
(9a - 1)(a - 1) = 0
a = $\frac{1}{9}$ atau a = 1

Untuk a = $\frac{1}{9}$
3^x = $\frac{1}{9}$
3^x = 3^-2
x = -2

Untuk a = 1
3^x = 1
3^x = 3⁰
x = 0

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 0 dan x₂ = -2. Akibatnya
x₁ - x₂ = 0 - (-2) = 2
Jadi, nilai x₁ - x₂ adalah 2.

Latihan 8
Akar-akar persamaan 6^x²-x = 2^x+1 adalah x₁ dan x₂. Tentukan nilai x₁ + x₂

Jawab :
Berdasarkan sifat C :
log 6^x²-x = log 2^x+1
(x² - x) log 6 = (x + 1) log 2
x² log 6 - x log 6 = x log 2 + log 2
x² log 6 - x log 6 - x log 2 - log 2 = 0
x² log 6 - (log 6 + log 2)x - log 2 = 0
(log 6)x² - (log 12)x - log 2 = 0

Pandang persamaan diatas sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien :
a = log 6
b = - log 12
c = - log 2

Berdasarkan rumus kuadrat :
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ + x₂ = log12 / log 6
x₁ + x₂ = ⁶log 12

Jadi, x₁ + x₂ = ⁶log 12

SMAtika

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

Panjang Proyeksi Vektor

Proyeksi Skalar

Proyeksi Vektor

Soal Latihan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

Perkalian Titik (Dot Product)

Sifat-Sifat Perkalian Titik

Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor

Soal Latihan dan Pembahasan

Vektor dalam Kajian Matematika

Komponen-Komponen Vektor

Panjang Vektor

Vektor Nol

Penjumlahan Vektor

Pengurangan Vektor

Vektor Posisi

Perkalian Vektor dengan Skalar

Vektor Satuan

Basis Standar

Kesamaan Dua Vektor

Vektor-Vektor Kolinear

Aljabar Vektor

Soal Latihan Vektor

Deret Geometri Tak Hingga

Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri

Soal Latihan Deret Geometri Beserta Pembahasan

Barisan Geometri

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Soal Latihan Barisan Geometri Beserta Pembahasan

Deret Aritmatika

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika

Sifat-Sifat Deret Aritmatika

Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan

Suku Tengah dan Sisipan Barisan Aritmatika

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Sisipan Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika Naik dan Barisan Aritmatika Turun

Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan

Pembahasan Soal UN Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Pembahasan SBMPTN 2017 Peluang

Limit di Tak Hingga

Sinus dan Cosinus Berdasarkan Lingkaran Satuan

Definisi Sinus dan Cosinus pada Lingkaran Satuan

Tanda Trigonometri di Setiap Kuadran

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

Perbandingan Trigonometri Sudut Kuadrantal

Perbandingan Trigonometri Suatu Berelasi

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Koterminal

Pembahasan Soal UN Barisan dan Deret

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Geometri

Sifat Sifat Lain

Pembahasan Soal UN Persamaan Trigonometri

Sudut Referensi

Sudut Koterminal

Posisi Baku Sudut

Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Penurunan Rumus Sinus Sudut Ganda

Penurunan Rumus Cosinus Sudut Ganda

Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Pembahasan SBMPTN 2017 Vektor

Pembahasan SBMPTN 2017 Persamaan Trigonometri

Pembahasan SBMPTN 2017 Saintek 136 Matematika IPA

Pembahasan SBMPTN 2017 TKPA 226 Matematika Dasar

Matriks Transformasi Geometri

Matriks Refleksi (Pencerminan)

Matriks Rotasi (Perputaran)

Matriks Dilatasi (Perkalian)

Cara lain menemukan matriks transformasi

Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan

a. T2 o T1 (T1 dilanjutkan T2)

b. T1 o T2 (T2 dilanjutkan T1)

Penyelesaian Persamaan Eksponen

A. Bentuk af(x) = ag(x)

a. T₂ o T₁ (T₁ dilanjutkan T₂)

b. T₁ o T₂ (T₂ dilanjutkan T₁)

A. Bentuk a^f(x) = a^g(x)

B. Bentuk a^f(x) = b^f(x)

C. Bentuk a^f(x) = b^g(x)

D. Bentuk f(x)^g(x) = 1

E. Bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x)

F. Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x)