Xét phương trình bậc hai: $x^2 + 5x – m^2 – 2 = 0$ (1)

Ta có các hệ số: $a = 1; \quad b = 5; \quad c = -(m^2 + 2)$

Xét tích: $a \cdot c = 1 \cdot [-(m^2 + 2)] = -(m^2 + 2)$

Vì $m^2 \ge 0, \forall m \Rightarrow m^2 + 2 > 0, \forall m \Rightarrow -(m^2 + 2) < 0, \forall m$.

Do $a \cdot c < 0$ với mọi $m$, nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu $x_1, x_2$ với mọi giá trị của tham số $m$.

Theo giả thiết: $|x_1| – 2\sqrt{x_2} = 4 \quad (*)$

Điều kiện xác định của căn thức: $x_2 \ge 0$.

Vì phương trình có hai nghiệm trái dấu ($x_1 \cdot x_2 < 0$), nên ta suy ra:

$x_2 > 0 \quad \text{và} \quad x_1 < 0$

Do $x_1 < 0$, ta có $|x_1| = -x_1$.

Khi đó, phương trình $(*)$ trở thành:

$-x_1 – 2\sqrt{x_2} = 4 \Leftrightarrow x_1 = -2\sqrt{x_2} – 4 \quad (2)$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -5 \quad (3)\\ x_1 \cdot x_2 = -(m^2 + 2) \quad (4) \end{cases}$

Thay (2) vào (3), ta được:

$(-2\sqrt{x_2} – 4) + x_2 = -5$

$\Leftrightarrow x_2 – 2\sqrt{x_2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x_2} – 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x_2} = 1$

$\Leftrightarrow x_2 = 1 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_2 > 0 \text{)}$

Thay $x_2 = 1$ vào (2), ta tìm được:

$x_1 = -2\sqrt{1} – 4 = -6 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_1 < 0 \text{)}$

Thay $x_1 = -6$ và $x_2 = 1$ vào phương trình (4), ta có:

$(-6) \cdot 1 = -(m^2 + 2)$

$\Leftrightarrow -6 = -m^2 – 2$

$\Leftrightarrow m^2 = 4$

Thay $m^2 = 4$ vào biểu thức $T$ cần tính:

$T = \sqrt{m^2 – 4} = \sqrt{4 – 4} = 0$

Kết luận: Vậy $T = 0$.

The post Giải bài toán Vi-et đề thi thử vào 10 THCS Nguyễn Du 14/5/2026 appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Điều kiện xác định (ĐKXĐ):

$x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$

Giải phương trình:

Phương trình đã cho:

$x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$

$\Leftrightarrow x^2 – 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} = 3$

$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{x}{x+1}\right)^2 + \dfrac{2x^2}{x+1} = 3$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x(x+1) – x}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0 \quad (*)$

Đặt $t = \dfrac{x^2}{x+1}$. Phương trình $(*)$ trở thành:

$t^2 + 2t – 3 = 0$

Ta thấy $a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0$, do đó phương trình có 2 nghiệm:

$\left[ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = -3 \end{array} \right.$

Xét các trường hợp:

• Trường hợp 1: $t = 1$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = 1$

$\Rightarrow x^2 = x + 1$

$\Rightarrow x^2 – x – 1 = 0$

Ta có $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$

$x_2 = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$

• Trường hợp 2: $t = -3$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = -3$

$\Rightarrow x^2 = -3(x + 1)$

$\Rightarrow x^2 + 3x + 3 = 0$

Ta có $\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 – 12 = -3 < 0$.

Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}$.

The post Giải phương trình dạng a^2 + b^2 = C appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Chọn phân số trung gian là $\dfrac{43}{73}$

So sánh $\dfrac{43}{81}$ và $\dfrac{43}{73}$:

Vì hai phân số có cùng tử số là $43$ và mẫu số $81 > 73$, nên ta có:

$\dfrac{43}{81} < \dfrac{43}{73}$ (1)

So sánh $\dfrac{43}{73}$ và $\dfrac{59}{73}$:

Vì hai phân số có cùng mẫu số là $73$ và tử số $43 < 59$, nên ta có:

$\dfrac{43}{73} < \dfrac{59}{73}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

$\dfrac{43}{81} < \dfrac{59}{73}$

Kết luận: $\dfrac{43}{81} < \dfrac{59}{73}$

The post So sánh hai phân số nhưng không quy đồng appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Gọi $x$ (ha) là diện tích đất trồng cà rốt.

Gọi $y$ (ha) là diện tích đất trồng khoai tây.

Điều kiện: $x \ge 0; y \ge 0$.

Theo đề bài, tổng diện tích khu đất là $5$ ha, nên ta có bất phương trình:

$x + y \le 5$ (1)

Số phân vi sinh cần dùng để trồng $x$ ha cà rốt là $3x$ (tấn).

Số phân vi sinh cần dùng để trồng $y$ ha khoai tây là $5y$ (tấn).

Vì tổng số phân vi sinh sử dụng không được vượt quá $18$ tấn, nên ta có bất phương trình:

$3x + 5y \le 18$ (2)

Tổng số tiền lãi nông trại thu được (đơn vị: triệu đồng) là:

$T = 50x + 75y$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $T$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2).

Biến đổi biểu thức $T$, ta có:

$T = 25(2x + 3y)$

Tách biểu thức $(2x + 3y)$ theo $(x + y)$ và $(3x + 5y)$, ta được:

$2x + 3y = \dfrac{1}{2}(x + y) + \dfrac{1}{2}(3x + 5y)$

Vì $x + y \le 5$ và $3x + 5y \le 18$, nên:

$2x + 3y \le \dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} \cdot 18$

$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 2,5 + 9$

$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 11,5$

Suy ra tổng số tiền lãi là:

$T \le 25 \cdot 11,5$

$T \le 287,5$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các bất phương trình (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng. Khi đó, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}$

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình đầu, ta có $x = 5 – y$. Thế vào phương trình thứ hai:

$3(5 – y) + 5y = 18$

$\Leftrightarrow 15 – 3y + 5y = 18$

$\Leftrightarrow 2y = 3$

$\Leftrightarrow y = 1,5$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $y = 1,5$ vào $x = 5 – y$, ta được:

$x = 5 – 1,5 = 3,5$ (thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Nông trại cần trồng $3,5$ ha cà rốt và $1,5$ ha khoai tây để thu được mức tiền lãi cao nhất là $287,5$ triệu đồng.

The post Giải bài 5 đề KSCL tháng 4/2026 THCS Trưng Vương – Phường Cửa Nam – Hà Nội appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (với $a+b+c \neq 0$), ta có:

$\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b} = \dfrac{(a+b-c) + (b+c-a) + (c+a-b)}{c + a + b} = \dfrac{a+b+c}{a+b+c} = 1$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{a+b-c}{c} = 1 \Rightarrow a+b-c = c \Rightarrow a+b = 2c$

$\dfrac{b+c-a}{a} = 1 \Rightarrow b+c-a = a \Rightarrow b+c = 2a$

$\dfrac{c+a-b}{b} = 1 \Rightarrow c+a-b = b \Rightarrow c+a = 2b$

Ta biến đổi biểu thức $B$:

$B = \left(1 + \dfrac{b}{a}\right)\left(1 + \dfrac{a}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{b}\right)$

$B = \left(\dfrac{a+b}{a}\right)\left(\dfrac{c+a}{c}\right)\left(\dfrac{b+c}{b}\right)$

$B = \dfrac{(a+b)(c+a)(b+c)}{abc}$

Thay $a+b = 2c$, $c+a = 2b$, $b+c = 2a$ vào biểu thức $B$, ta được:

$B = \dfrac{2c \cdot 2b \cdot 2a}{abc}$

$B = \dfrac{8abc}{abc}$

$B = 8$

Vậy $B = 8$.

The post Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C – Toán nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Đặt $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = k$

$\Rightarrow x = 3k; \quad y = 5k$

Thay $x = 3k$ và $y = 5k$ vào biểu thức $C$, ta được:

$C = \dfrac{5(3k)^2 + 3(5k)^2}{10(3k)^2 – 3(5k)^2}$

$C = \dfrac{5 \cdot 9k^2 + 3 \cdot 25k^2}{10 \cdot 9k^2 – 3 \cdot 25k^2}$

$C = \dfrac{45k^2 + 75k^2}{90k^2 – 75k^2}$

$C = \dfrac{(45 + 75)k^2}{(90 – 75)k^2}$

$C = \dfrac{120k^2}{15k^2}$

$C = 8$

Vậy $C = 8$.

The post Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Ta cần tính $q(100)$, tức là $x = 100 \Rightarrow 101 = x + 1$.

Thay $101 = x + 1$ vào đa thức $q(x)$, ta có:

$q(x) = x^8 – (x + 1)x^7 + (x + 1)x^6 – (x + 1)x^5 + \dots + (x + 1)x^2 – (x + 1)x + 2022$

$q(x) = x^8 – (x^8 + x^7) + (x^7 + x^6) – (x^6 + x^5) + \dots + (x^3 + x^2) – (x^2 + x) + 2022$

$q(x) = x^8 – x^8 – x^7 + x^7 + x^6 – x^6 – x^5 + \dots + x^3 + x^2 – x^2 – x + 2022$

$q(x) = -x + 2022$

Thay $x = 100$ vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

$q(100) = -100 + 2022$

$q(100) = 1922$

Vậy $q(100) = 1922$.

The post Giải bài toán tính q(100) nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Ta có: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Thay $x = -1$ vào đa thức $f(x)$, ta được:

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$f(-1) = a – b + c$

Mà theo giả thiết, ta có: $a – b + c = 0$

$\Rightarrow f(-1) = 0$

Vậy $x = -1$ là một nghiệm của đa thức $f(x)$ (đpcm).

The post Giải bài toán: Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Điều kiện: $4a + 5b \neq 0$ và $4c + 5d \neq 0$ (để các phân thức có nghĩa).

$\dfrac{7a – 11b}{4a + 5b} = \dfrac{7c – 11d}{4c + 5d}$

$\Rightarrow (7a – 11b)(4c + 5d) = (7c – 11d)(4a + 5b)$

$\Leftrightarrow 28ac + 35ad – 44bc – 55bd = 28ac + 35bc – 44ad – 55bd$

$\Leftrightarrow 35ad – 44bc = 35bc – 44ad$

$\Leftrightarrow 35ad + 44ad = 35bc + 44bc$

$\Leftrightarrow 79ad = 79bc$

$\Leftrightarrow ad = bc$

$\Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (đpcm)

The post Giải bài toán Tỉ lệ thức nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Lời giải:

Ta có đa thức:

$G = x^{2023} + 7x^{2022} + x^{2021} + 7x^{2020} + 2021$

Tiến hành nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung:

$G = (x^{2023} + 7x^{2022}) + (x^{2021} + 7x^{2020}) + 2021$

$G = x^{2022}(x + 7) + x^{2020}(x + 7) + 2021$

$G = (x + 7)(x^{2022} + x^{2020}) + 2021$

Thay $x = -7$ vào biểu thức đã biến đổi, ta được:

$G = (-7 + 7) \cdot [(-7)^{2022} + (-7)^{2020}] + 2021$

$G = 0 \cdot [(-7)^{2022} + (-7)^{2020}] + 2021$

$G = 0 + 2021$

$G = 2021$

Kết luận: Giá trị của đa thức $G$ tại $x = -7$ là $2021$.

The post Giải bài toán tính giá trị đa thức – kiếm điểm 10 thi HK2 Toán lớp 7 appeared first on Bài Toán.