Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Cho phương trình bậc hai (ẩn $x$): $x^2+5x-m^2-2=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1|-2\sqrt{x_2}=4$. Tính giá trị của biểu thức $T=\sqrt{m^2-4}$.
Bài làm:

Xét phương trình bậc hai: $x^2 + 5x – m^2 – 2 = 0$ (1)

Ta có các hệ số: $a = 1; \quad b = 5; \quad c = -(m^2 + 2)$

Xét tích: $a \cdot c = 1 \cdot [-(m^2 + 2)] = -(m^2 + 2)$

Vì $m^2 \ge 0, \forall m \Rightarrow m^2 + 2 > 0, \forall m \Rightarrow -(m^2 + 2) < 0, \forall m$.

Do $a \cdot c < 0$ với mọi $m$, nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu $x_1, x_2$ với mọi giá trị của tham số $m$.

Theo giả thiết: $|x_1| – 2\sqrt{x_2} = 4 \quad (*)$

Điều kiện xác định của căn thức: $x_2 \ge 0$.

Vì phương trình có hai nghiệm trái dấu ($x_1 \cdot x_2 < 0$), nên ta suy ra:

$x_2 > 0 \quad \text{và} \quad x_1 < 0$

Do $x_1 < 0$, ta có $|x_1| = -x_1$.

Khi đó, phương trình $(*)$ trở thành:

$-x_1 – 2\sqrt{x_2} = 4 \Leftrightarrow x_1 = -2\sqrt{x_2} – 4 \quad (2)$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -5 \quad (3)\\ x_1 \cdot x_2 = -(m^2 + 2) \quad (4) \end{cases}$

Thay (2) vào (3), ta được:

$(-2\sqrt{x_2} – 4) + x_2 = -5$

$\Leftrightarrow x_2 – 2\sqrt{x_2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x_2} – 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x_2} = 1$

$\Leftrightarrow x_2 = 1 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_2 > 0 \text{)}$

Thay $x_2 = 1$ vào (2), ta tìm được:

$x_1 = -2\sqrt{1} – 4 = -6 \quad \text{(thỏa mãn ĐK } x_1 < 0 \text{)}$

Thay $x_1 = -6$ và $x_2 = 1$ vào phương trình (4), ta có:

$(-6) \cdot 1 = -(m^2 + 2)$

$\Leftrightarrow -6 = -m^2 – 2$

$\Leftrightarrow m^2 = 4$

Thay $m^2 = 4$ vào biểu thức $T$ cần tính:

$T = \sqrt{m^2 – 4} = \sqrt{4 – 4} = 0$

Kết luận: Vậy $T = 0$.

Bài viết liên quan

• Bài toán vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1
• Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp
• Bài toán vẽ đồ thị hàm số y = x^2

The post Giải bài toán Vi-et đề thi thử vào 10 THCS Nguyễn Du 14/5/2026 appeared first on Bài Toán.

Kiến thức và cách làm phù hợp

Bài lớp 9 có thể dùng điều kiện xác định, phương trình bậc hai, căn thức và phép đặt biểu thức phụ khi giúp biến đổi gọn hơn. Mỗi nghiệm cuối cùng cần được đối chiếu điều kiện.

Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Giải phương trình $x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$

Lời giải:

Điều kiện xác định (ĐKXĐ):

$x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$

Giải phương trình:

Phương trình đã cho:

$x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$

$\Leftrightarrow x^2 – 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} = 3$

$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{x}{x+1}\right)^2 + \dfrac{2x^2}{x+1} = 3$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x(x+1) – x}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0 \quad (*)$

Đặt $t = \dfrac{x^2}{x+1}$. Phương trình $(*)$ trở thành:

$t^2 + 2t – 3 = 0$

Ta thấy $a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0$, do đó phương trình có 2 nghiệm:

$\left[ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = -3 \end{array} \right.$

Xét các trường hợp:

• Trường hợp 1: $t = 1$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = 1$

$\Rightarrow x^2 = x + 1$

$\Rightarrow x^2 – x – 1 = 0$

Ta có $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$

$x_2 = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$

• Trường hợp 2: $t = -3$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = -3$

$\Rightarrow x^2 = -3(x + 1)$

$\Rightarrow x^2 + 3x + 3 = 0$

Ta có $\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 – 12 = -3 < 0$.

Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}$.

Kiểm tra kết quả

Sau khi đặt t = x²/(x+1), phương trình trở thành t² + 2t – 3 = 0. Nhánh t = 1 cho hai nghiệm (1 ± √5)/2; nhánh t = -3 dẫn đến phương trình có biệt thức âm nên không có nghiệm thực.

Bài viết liên quan

• Giải một phương trình vô tỷ nâng cao
• Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y
• Giải 1 số bài toán bằng cách lập bất phương trình lớp 9

The post Giải phương trình dạng a^2 + b^2 = C appeared first on Bài Toán.

Chọn phân số trung gian

Chọn $43/73$ vì nó có cùng tử với $43/81$ và cùng mẫu với $59/73$. Nhờ vậy dùng được hai quy tắc so sánh đơn giản của lớp 4.

Kiểm tra chuỗi so sánh

$43/81<43/73$ vì cùng tử, mẫu 81 lớn hơn. $43/73<59/73$ vì cùng mẫu, tử 43 nhỏ hơn. Suy ra $43/81<59/73$.

Lời giải

Bài toán: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh hai phân số sau: $\dfrac{43}{81}$ và $\dfrac{59}{73}$

Lời giải:

Chọn phân số trung gian là $\dfrac{43}{73}$

So sánh $\dfrac{43}{81}$ và $\dfrac{43}{73}$:

Vì hai phân số có cùng tử số là $43$ và mẫu số $81 > 73$, nên ta có:

$\dfrac{43}{81} < \dfrac{43}{73}$ (1)

So sánh $\dfrac{43}{73}$ và $\dfrac{59}{73}$:

Vì hai phân số có cùng mẫu số là $73$ và tử số $43 < 59$, nên ta có:

$\dfrac{43}{73} < \dfrac{59}{73}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

$\dfrac{43}{81} < \dfrac{59}{73}$

Kết luận: $\dfrac{43}{81} < \dfrac{59}{73}$

Bài viết liên quan

• Toán lớp 4
• Trung bình cộng nâng cao lớp 4
• So sánh phân số nâng cao lớp 4

The post So sánh hai phân số nhưng không quy đồng appeared first on Bài Toán.

Lập hệ bất phương trình từ dữ kiện

Gọi $x,y$ lần lượt là diện tích cà rốt và khoai tây. Khi đó $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le5$ và $3x+5y\le18$. Lợi nhuận là $T=50x+75y=25(2x+3y)$.

Vì $2x+3y=\frac12(x+y)+\frac12(3x+5y)$ nên $2x+3y\le\frac12\cdot5+\frac12\cdot18=11,5$. Dấu bằng đạt được khi cả hai ràng buộc cùng chạm biên, cho $x=3,5$, $y=1,5$.

Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh, Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần phải dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

Lời giải:

Gọi $x$ (ha) là diện tích đất trồng cà rốt.

Gọi $y$ (ha) là diện tích đất trồng khoai tây.

Điều kiện: $x \ge 0; y \ge 0$.

Theo đề bài, tổng diện tích khu đất là $5$ ha, nên ta có bất phương trình:

$x + y \le 5$ (1)

Số phân vi sinh cần dùng để trồng $x$ ha cà rốt là $3x$ (tấn).

Số phân vi sinh cần dùng để trồng $y$ ha khoai tây là $5y$ (tấn).

Vì tổng số phân vi sinh sử dụng không được vượt quá $18$ tấn, nên ta có bất phương trình:

$3x + 5y \le 18$ (2)

Tổng số tiền lãi nông trại thu được (đơn vị: triệu đồng) là:

$T = 50x + 75y$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $T$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2).

Biến đổi biểu thức $T$, ta có:

$T = 25(2x + 3y)$

Tách biểu thức $(2x + 3y)$ theo $(x + y)$ và $(3x + 5y)$, ta được:

$2x + 3y = \dfrac{1}{2}(x + y) + \dfrac{1}{2}(3x + 5y)$

Vì $x + y \le 5$ và $3x + 5y \le 18$, nên:

$2x + 3y \le \dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} \cdot 18$

$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 2,5 + 9$

$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 11,5$

Suy ra tổng số tiền lãi là:

$T \le 25 \cdot 11,5$

$T \le 287,5$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các bất phương trình (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng. Khi đó, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}$

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình đầu, ta có $x = 5 – y$. Thế vào phương trình thứ hai:

$3(5 – y) + 5y = 18$

$\Leftrightarrow 15 – 3y + 5y = 18$

$\Leftrightarrow 2y = 3$

$\Leftrightarrow y = 1,5$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $y = 1,5$ vào $x = 5 – y$, ta được:

$x = 5 – 1,5 = 3,5$ (thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Nông trại cần trồng $3,5$ ha cà rốt và $1,5$ ha khoai tây để thu được mức tiền lãi cao nhất là $287,5$ triệu đồng.

Lưu ý khi làm bài

Phương án tối ưu dùng hết 5 ha đất và đủ 18 tấn phân. Thay lại: $3\times3,5+5\times1,5=18$ và lợi nhuận $50\times3,5+75\times1,5=287,5$ triệu đồng.

Bài viết liên quan

• bài toán lập bất phương trình lớp 9
• bài toán tìm max min lớp 9
• bài Vi-et đề thi thử vào 10

The post Giải bài 5 đề KSCL tháng 4/2026 THCS Trưng Vương – Phường Cửa Nam – Hà Nội appeared first on Bài Toán.

Kiến thức và cách làm phù hợp

Bài lớp 7 có thể dùng tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi đại số cơ bản. Khi biến đổi phân thức cần ghi rõ điều kiện để các mẫu số khác 0.

Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thỏa mãn \(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}\) và \(a+b+c\ne0\). Tính \(C=\left(1+\dfrac ba\right)\left(1+\dfrac ac\right)\left(1+\dfrac cb\right)\).

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ số chung bằng \(\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\).

Suy ra \(a+b=2c\), \(b+c=2a\), \(c+a=2b\).

\(C=\dfrac{a+b}{a}\cdot\dfrac{a+c}{c}\cdot\dfrac{b+c}{b}=\dfrac{2c\cdot2b\cdot2a}{abc}=8\).

Vậy C = 8.

Kiểm tra kết quả

Tổng ba tử số bằng a+b+c và tổng ba mẫu cũng bằng a+b+c nên tỉ số chung bằng 1. Từ đó a+b=2c, b+c=2a, c+a=2b và biểu thức bằng 8.

Bài viết liên quan

• Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C lớp 7
• Tính giá trị của biểu thức ở lớp 7
• Bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức – Toán lớp 7

The post Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C – Toán nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Cách làm phù hợp

Có thể dùng tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau, số hữu tỉ, biểu thức đại số và kiến thức hình học lớp 7. Các điều kiện của mẫu hoặc phép chia cần được nêu rõ.

Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Cho $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$. Tính giá trị biểu thức: $C = \dfrac{5x^2 + 3y^2}{10x^2 – 3y^2}$

Lời giải:

Đặt $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = k$

$\Rightarrow x = 3k; \quad y = 5k$

Thay $x = 3k$ và $y = 5k$ vào biểu thức $C$, ta được:

$C = \dfrac{5(3k)^2 + 3(5k)^2}{10(3k)^2 – 3(5k)^2}$

$C = \dfrac{5 \cdot 9k^2 + 3 \cdot 25k^2}{10 \cdot 9k^2 – 3 \cdot 25k^2}$

$C = \dfrac{45k^2 + 75k^2}{90k^2 – 75k^2}$

$C = \dfrac{(45 + 75)k^2}{(90 – 75)k^2}$

$C = \dfrac{120k^2}{15k^2}$

$C = 8$

Vậy $C = 8$.

Bài viết liên quan

• Giải bài toán vẽ đồ thị hàm số y = -x
• Giải bài toán vẽ đồ thị hàm số y = -2x
• Bài tập lũy thừa của một số hữu tỉ

The post Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Thay giá trị trước khi biến đổi

Điểm quan trọng là chỉ dùng $101=100+1$ sau khi đã thay $x=100$. Không được viết $101=x+1$ như một đẳng thức đúng với mọi $x$.

Nhận ra dạng triệt tiêu

Mỗi tích $101·100^k$ tách thành hai lũy thừa liên tiếp. Dấu cộng trừ xen kẽ khiến phần lớn hạng tử triệt tiêu từng cặp.

Lời giải đúng

Bài toán: $q(x)=x^8-101x^7+101x^6-101x^5+…+101x^2-101x+2022$. Tính $q(100)$.

Ta thay trực tiếp $x=100$. Lúc này $101=100+1$.

Vì $101·100^k=(100+1)100^k=100^{k+1}+100^k$, các hạng tử liên tiếp triệt tiêu:

$q(100)=100^8-(100^8+100^7)+(100^7+100^6)-(100^6+100^5)+…+(100^3+100^2)-(100^2+100)+2022$.

Còn lại $q(100)=2022-100=1922$.

Bài viết liên quan

• Toán lớp 7
• Cộng trừ đa thức một biến
• Lũy thừa của số hữu tỉ

The post Giải bài toán tính q(100) nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.

Cách nhận biết nghiệm của đa thức

Một số $x_0$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ khi và chỉ khi $f(x_0)=0$. Vì vậy dạng bài này chỉ cần thay giá trị cần kiểm tra vào đa thức rồi rút gọn.

Kiểm tra lời giải

Không cần giải phương trình $f(x)=0$. Điều kiện $a-b+c=0$ đã đúng bằng giá trị thu được khi thay $x=-1$.

Lời giải

Bài toán: Nếu $a-b+c=0$, chứng tỏ $x=-1$ là nghiệm của $f(x)=ax^2+bx+c$.

Muốn kiểm tra một số có là nghiệm của đa thức hay không, ta thay trực tiếp số đó vào đa thức. Với $x=-1$:

$f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c$.

Theo giả thiết $a-b+c=0$, nên $f(-1)=0$. Vậy $x=-1$ là nghiệm của $f(x)$.

Bài viết liên quan

• Toán lớp 7
• Cộng trừ đa thức một biến
• Lũy thừa của số hữu tỉ

The post Giải bài toán: Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm appeared first on Bài Toán.

Kiến thức và cách làm phù hợp

Bài lớp 7 có thể dùng tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi đại số cơ bản. Khi biến đổi phân thức cần ghi rõ điều kiện để các mẫu số khác 0.

Nội dung bài toán và lời giải

Bài toán: Chứng minh \(\dfrac ab=\dfrac cd\), biết \(\dfrac{7a-11b}{4a+5b}=\dfrac{7c-11d}{4c+5d}\).

Giả sử các mẫu số trong đề và trong kết luận đều khác 0: \(4a+5b\ne0\), \(4c+5d\ne0\), \(b\ne0\), \(d\ne0\).

Lời giải:

\((7a-11b)(4c+5d)=(7c-11d)(4a+5b)\).

\(28ac+35ad-44bc-55bd=28ac+35bc-44ad-55bd\).

\(79ad=79bc\), suy ra \(ad=bc\).

Vì \(b\ne0\) và \(d\ne0\), suy ra \(\dfrac ab=\dfrac cd\).

Kiểm tra kết quả

Khai triển hai tích chéo cho 79ad = 79bc, suy ra ad = bc. Khi b và d khác 0, điều này tương đương a/b = c/d.

Bài viết liên quan

• Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
• Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
• Giải bài toán Tính giá trị biểu thức C lớp 7

The post Giải bài toán Tỉ lệ thức nâng cao lớp 7 appeared first on Bài Toán.