Una piccola premessa: gli argomenti che seguono non sono particolarmente difficili (dovete solo conoscere le principali funzioni trigonometriche e il concetto di derivata), ma richiedono (come ogni cosa che tratti della matematica) una certa attenzione. Quindi se vedete qualcosa che non capite, rileggetela ancora, e se proprio non ne venite a capo, lasciate un commento.
La formula che vedete, coinvolge diverse quantità molto importanti in matematica: lo 0, l’1, il pigreco, l’unità immaginaria (numeretto strano, oltre che importante, poichè elevata al quadrato da – 1), ed il numero di Nepero.

Due parole sui gradi e sui radianti

Nella vita di tutti i giorni, solitamente per la misurazione di un angolo si utilizzano quelli che chiamiamo gradi. Diciamo per esempio che un angolo retto ha un’ampiezza di 90°, o che un angolo acuto è minore di 90° e così via. Normalmente è difficile che si dica “quell’angolo misura π radianti”. Tuttavia,la nostra amata unità di misura, non è particolarmente adatta alla matematica, se volete maggiori informazioni sul perchè andate qui.

Una volta visto il perchè, bisogna imparare a convertire da gradi a radianti (e viceversa), il che non è difficile, anche se all’inizio può dare qualche noia rompere un’abitudine come l’uso dei gradi, ma dopo un po’ non dovrebbe più creare problemi. In sostanza se voi avete un angolo di θ°, per ottenere il suo valore in radianti è sufficiente fare:

Da quanto visto sopra, otteniamo anche che se θ è la misura in radianti di un angolo, allora

Facciamo un esempio: se avete un angolo di 90°,allora in radianti sarà:

E ovviamente, “rovesciando” da radianti a gradi otteniamo:

Due parole sulle secanti

Per retta secante di una curva si intende una retta che interseca la curva in due o più dei suoi punti. Questo termine deriva dal latino “secare”, per “tagliare”. (Wikipedia)

Prima di passare alle derivate (fase necessaria per capire il concetto di espansione in serie) vogliamo ricavare l’equazione della secante. Innanzitutto, bisogna ricordare che la secante è una retta, e che quindi se è un punto su di essa, allora la sua equazione sarà:

La variabile m indica il coefficiente angolare della retta che consideriamo, che possiamo definirlo come la “pendenza” della retta. Non so se vi è mai capitato di leggere (su wikipedia en o un qualunque sito in inglese che parli di ciò) un metodo per ricordare come si calcola il coefficiente angolare di una retta. Seguendo il “metodo” (e quindi chiamando il coefficiente angolare della retta slope) la formula viene data da

Il “rise” sta ad indicare la variazione dell’ordinata della retta, quando varia la sua ascissa. Detto in termini più semplici, se consideriamo un punto che abbia un’ordinata di

ed un altro che abbia un’ordinata di

otterremo

. Il “run” invece indica la variazione nell’ascissa, e quindi nel caso che consideriamo abbiamo

. Bene, ora ritorniamo alla secante. Dalla definizione che abbiamo visto, sappiamo che una secante interseca una curva in due o più punti distinti. Ma allora essendo una retta, possiamo trovarne facilmente il coefficiente angolare! Supponiamo per esempio che la secante passi per due punti

,

. Per quanto abbiamo appena visto il suo coefficiente angolare sarà:

Ammettiamo poi anche che la variazione Δx si avvicini sempre di più a 0, a cosa si avvicina il coefficiente angolare della secante? Al coefficiente angolare della tangente! Consideriamo per esempio la nota parabola di equazione y = x². Tracciamone il grafico, incluso di tangente (che poniamo nel punto x = 3) e di secante (che poniamo nei punti x = 3 e x = 5) ed otterremo questo. (la tangente è in verde e la secante in rosso). Prendiamo ora uno “scarto” tra i due punti minore, per esempio x = 3 e x = 3,5, per la tangente poniamo sempre x = 3, otterremo questo.

Questo ci permette di calcolare anche l’equazione della tangente in un punto: infatti anche la tangente è una retta, e come tale ha equazione

(di seguito scriveremo y₀ = f(x₀) per evitare confusioni). Ebbene, il coefficiente angolare di tale retta è la derivata della curva in quel punto, cioè f’(x₀). Allora sostituendo abbiamo che l’equazione della tangente è

Bene, ora che “conosciamo” il concetto di derivata, passiamo a quello di espansione in serie. Cosa si intende per espansione in serie? Innanzitutto, cosa si intende per serie? Possiamo dire che una serie è una somma, in cui compaiono potenzialmente infiniti termini. Ovviamente non possiamo scrivere tutti i termini, quindi, come scrivere una serie? Per esempio, come scriviamo la somma infinita di tutti i reciproci dei numeri naturali? (Ricordiamo che per reciproco di un numero a si intende il numero 1/a o se preferite a^-1, ovviamente, lo 0 non ha reciproco). Possiamo scriverla in due modi: il primo è quello di scrivere la somma per esteso, e per evidenziare che la somma è infinita, utilizziamo i “puntini”, cioè la scriviamo in questo modo:

. Questo metodo alla lunga può risultare pesante, oltre che occupa un sacco di spazio. Per cui possiamo ricorrere ad un’altra notazione, utilizzando la lettera greca maiuscola sigma (Σ). Introduciamo poi una variabile (i nostri termini) ed una legge che ci permetta di capire quale sia l’n-esimo termine (per esempio, nel caso della serie considerata prima, l’n-simo termine sarebbe 1/n, sempre considerando n diverso da 0 ecc.). Sotto la lettera sigma, scriviamo il limite inferiore della serie, cioè il termine da cui partire o comunque un “qualcosa” che indichi i termini che si considerano (per esempio, se volessimo indicare che l’n-simo termine è un primo, non saremmo in grado di scrivere a_n = … poichè non siamo in grado di determinare quale sia l’n-simo *, per cui scriveremo semplicemente p ∈ P, dove P è definito come l’insieme dei numeri primi). Sopra la lettera sigma si indica il limite superiore della somma, che può essere, come nel nostro caso infinito. N.B. Volendo, si può anche scrivere in maniera differente, io personalmente ho utilizzato sempre questo). Quindi la nostra serie (che si chiama serie armonica) diventerebbe:

. Ora, ancora due parole sulla serie: volendo possiamo creare quante serie vogliamo, ma fondamentalmente esistono tre tipi di serie: le serie convergenti, le serie divergenti e le serie oscillanti. Il significato di questi termini è intuitivo, ma vediamolo meglio. In sostanza, considerando le somme parziali della serie, la serie è convergente se tali somme tendono sempre più ad un valore finito l. Se tale valore è infinito la serie si dirà divergente, mentre se tale valore non esiste, la serie si dirà oscillante. Facciamo un esempio: la serie armonica che abbiamo considerato, è divergente. Ovviamente, dato che il valore n diventa sempre più grande (e quindi 1/n sempre più piccolo) tale serie diverge molto lentamente. Un’altra serie divergente molto interessante è la serie dei reciproci dei numeri primi cioè:

La divergenza di questa serie venne dimostrata (due volte) da Eulero, e una terza dimostrazione venne data da Erdős (ve ne sono ovviamente anche altre). Se volete vedere le dimostrazioni potete andare qui, oppure qui (e smanettando un po’ probabilmente ne troverete altre). Passiamo ora alle cose serie. Innanzitutto, consideriamo una funzione che sia definita nel seguente modo:

Se prendiamo la derivata prima di questa funzione, e la facciamo tendere a 0 otteniamo:

Si può dimostrare facilmente, che se consideriamo la derivata n-esima di questa funzione e la facciamo tendere a 0, otteniamo:

Sostituiamo i vari termini che abbiamo nella funzione f con quello che abbiamo appena ottenuto:

Ponendo che la funzione che consideriamo sia quella esponenziale otteniamo:

E fino a qui ci siamo. Ci servono solamente altre due espansioni di questo tipo: una è quella della funzione seno, l’altra quella della funzione coseno.

Notiamo innanzitutto che la derivata del seno (meglio, di sin x) è cos x . La derivata seconda di sin x è la derivata prima di cos x che è -sin x . La derivata terza è la derivata di – sin x, che è – cos x. La derivata quarta è nuovamente sin x e si ricomincia. Perchè tutto ciò? Semplice, perchè quando x è zero, anche sin x è 0, mentre cos x è 1. Ricapitolando il tutto otteniamo:

Ora, abbiamo bisogno dell’espansione di cos x. Innanzitutto come per sin x osserviamo le derivate: la derivata prima di cos x è – sin x, la derivata seconda è la derivata prima di – sin x, che è – cos x, e così via. Otteniamo quindi:

Molto bene, ancora un’ultima cosa: cosa succede se poniamo che in e^x x sia un numero immaginario, cioè x = it? (i è ovviamente,l’unità immaginaria). Prima di vederlo, un piccolo accenno alle potenze successive di i: se eleviamo i ad un numero multiplo di 4, otteniamo 1. Se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 1, otteniamo sempre i. Se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 2, otteniamo invece – 1, mentre se eleviamo i ad un numero che diviso per 4 lasci un resto di 3, otteniamo – i. Bene, ora espandiamo nuovamente e^x ponendo x = it:

Calcolando poi i valori di i come abbiamo visto prima abbiamo:

Proseguendo, possiamo notare che alcuni termini, vengono moltiplicati per i o per – i, per cui utilizzando la proprietà distributiva possiamo riscrivere:

Cosa “dice” questa formula? Inizialmente magari niente.. poi EUREKA, ci accorgiamo che:

Allora possiamo riscrivere tutto come:

Questa è quella che viene chiamata formula di Eulero. Da qui all’identità di Eulero, è un attimo: è sufficiente porre t = π, ricordare che cos π = – 1, e che sin π = 0, e inoltre che anche l’unità immaginaria moltiplicata per 0, da 0. Abbiamo allora:

Ed eccola qui la formula più “elegante” della matematica. Ma cos’è di preciso l’eleganza in matematica? E’ difficile dirlo, poichè parole che ricordano concetti astratti come eleganza (da non confondersi con l’eleganza nel senso di essere vestiti bene) o bellezza e così via sono difficili da esprimere. Qualcuno (non mi ricordo chi ) disse che la bellezza è indefinibile, eppure tutti sarebbero più o meno d’accordo sul fatto che una cosa sia bella o non lo sia. In matematica succede la stessa cosa. Paul Erdős (un matematico di origini ungheresi nato nel 1913 a Budapest e morto nel 1996 a Varsavia, la cui biografia la potete trovare nel libro “l’uomo che amava solo i numeri” di Paul Hoffman) creò, o meglio, ideò un fantomatico libro, Il Libro, nel quale venivano custodite tutte le dimostrazioni più eleganti di tutti i problemi più interessanti della matematica. Un matematico quindi, quando dimostrava qualcosa in maniera elegante (ed Erdős lo fece) aveva dato uno sguardo a questo Libro.

Facciamo un esempio: la dimostrazione dell’infinità dei primi data da Euclide. Tale dimostrazione può apparire banale, poichè la si studia nelle scuole e più o meno tutti la conoscono. Invece non è affatto così! Euclide non usa metodi pesanti per ottenere quello che vuole, usa solamente quella che potremmo chiamare una sorta di “astuzia”. Il metodo da lui usato segue il principio di non contraddizione quindi ragiona per assurdo. Rivediamola (in grassetto i punti fondamentali della dimostrazione): immaginiamo che i numeri primi siano finiti, ovviamente allora ne esiste uno che è più grande di tutti. Consideriamo ora il prodotto di tutti i numeri primi fino a questo primo, che da qui in poi chiameremo p_n. Fatto questo, aggiungiamo 1, e otteniamo un nuovo numero, che chiamiamo N che avrà questa forma:

Sappiamo che N (essendo ovviamente un numero intero, maggiore di 1 e diverso da 0) o è un numero primo, oppure lo possiamo scrivere come prodotto di primi*. Vediamo dunque:

1)N è un primo: vi è una contraddizione, poichè certamente N > p_n ed abbiamo supposto che p_n sia il più grande tra tutti i primi

2)N non è un primo: possiamo allora decomporlo come prodotto di primi. Certamente, nessuno di questi suoi fattori primi è compreso tra 2 e p_n poichè N diviso ognuno di questi primi lascia un resto di 1. Ma allora N è divisibile per qualche primo maggiore di p_n e questa è ancora una contraddizione.

Che fare dunque? N nè può essere un primo nè può non essere un primo, il che è ovviamente assurdo. Perciò la nostra ipotesi iniziale, cioè che esistono finiti numeri primi, è errata, e p_n non è il più grande di tutti, poichè di fatto, questo primo non esiste.

* Questo risultato è noto come teorema fondamentale dell’aritmetica

** In realtà, dal teorema dei numeri primi discende che l’n-simo numero è circa pari a ln(n)n (ln indica il logaritmo naturale, cioè in base e).

Un’altra accusa ingiusta è la mancanza di libertà in matematica: le sue regole vanno seguite in maniera ferrea. Questo è giusto (ovviamente, non posso dire che una cosa è sia falsa che vera) ma da qui a dire che la matematica è una sorta di carcere logico c’è un enorme differenza. Mi spiego meglio: se vi capiterà di parlare con un matematico (e intendo un matematico vero, non uno che sa fare a mente calcoli astrusi come per esempio calcolare a mente in pochi secondi la radice quinta di un numero a 20 cifre, nè uno che a scuola va bene in matematica) vi dirà che anzi, la matematica è una tra le scienze in cui si gode di più libertà in assoluto. Un fisico o un biologo o un astronomo, sono vincolati dalla realtà, e quindi le loro teorie si basano su ciò che è reale (e quindi non ideale). Un matematico invece può immaginare un mondo ideale, per esempio dove esistono oggetti unidimensionali (le rette,i segmenti..). Come ultima cosa citiamo Galileo Galilei: “L’universo è scritto in lingua matematica”.

Premesso questo, c’è una cosa che affascina anche i non-addetti: queste sono quelle che in matematica vengono chiamate costanti, come il Pigreco. Ovviamente non tutte le costanti appassionano la gente, per esempio se io dicessi “Costante dei primi gemelli” otterrei sicuramente un effetto diverso rispetto a se dicessi “Pigreco”. La sezione aurea è una di quelle costanti più simili al Pigreco,quelle che affascinano anche i non-addetti. Durante la storia ne sono stati ammaliati musicisti, pittori, matematici e ovviamente numerologi (In effetti Pitagora sarebbe stato contento e dispiaciuto di questo numero!), e appare in tanti e svariati contesti, al punto da essere chiamata “Sezione divina“.

Vedremo più avanti anche la cosidetta “spirale aurea”, ma iniziamo prima introducendo il nostro numero: Euclide lo presenta,in quel che è stato un vero e proprio best-seller (i suoi Elementi), così: “Diciamo che un segmento è diviso in media e estrema ragione se il tutto sta alla parte come la parte sta al rimanente”. Piuttosto criptico no? Vediamo di semplificarlo: innanzitutto dobbiamo prendere un segmento che abbia una lunghezza x che suddividiamo in due grandezze,a e b. Sarà allora a + b = x. In questo caso a+b è il nostro tutto, a è la nostra parte e b è il rimanente. La frase di Euclide in tempi moderni sarebbe allora:

Ora potrete dire: “E’ ancora criptico!”, ma non vi preoccupate, sono sufficienti alcuni accorgimenti: innanzitutto riscriviamo quanto sopra così:

Noi cerchiamo la quantità che sarà la nostra incognita,allora modifichiamo ancora e scriviamo:

Se ora riscriviamo il tutto otterremo:

Da cui moltiplicando entrambi i termini per x, arriviamo all’equazione di secondo grado che ha le due soluzioni

Il rapporto tra i due segmenti a e b è necessariamente positivo, quindi la soluzione che cercavamo è
.
Questa è la celebberima sezione aurea, anche se sembra tutto meno che un numero “divino”. Poco maggiore di 1, irrazionale (non si può cioè, scriverlo come una frazione c/d , dove c e d sono due numeri interi), nulla di cui stupirsi insomma,no? No. La prima particolarità che salta all’occhio (oltre al fatto che è irrazionale ecc.) sono le potenze successive di “phi”. Se nell’equazione sostituiamo quanto abbiamo trovato e continuiamo a moltiplicare i membri per phi,otterremo:

Ma basta tutto ciò? No,è infatti non è tutto. Questa è una proprietà che può interessare un matematico, o uno a cui piace la matematica, ma per la persona media ha ben poco interesse che l’n-esima potenza di phi è uguale alla somma delle due potenze precedenti, anche se andando a spulciare ci si accorge che l’n-esimo numero di Fibonacci è uguale alla somma dei due precedenti.. ma ne parleremo nella prossima parte. Per ora limitiamoci a quello che possiamo osservare chiaramente.

C’è,in matematica,un particolare tipo di rettangolo, che viene chiamato rettangolo aureo, il motivo è chiaro: la proporzione tra i suoi lati è quella aurea. Se volete costruirne uno con riga e compasso potete dare un’occhiata qui. Ora,creiamo all’interno del rettangolo aureo un quadrato di lato pari al lato più corto del rettangolo. Otterremo un quadrato ed un nuovo rettangolo (che sarà anch’esso un rettangolo aureo). Nel nuovo rettangolo facciamo la stessa cosa (in questo caso, il lato del quadrato è pari al lato corto del nuovo rettangolo) e così via. Dopodichè tracciamo in ogni quadrato,una spirale che vada da vertice a vertice (usate un compasso, ogni volta che tracciate una spirale all’interno di un quadrato,dategli un’ampiezza pari al lato del quadrato). Se non avete capito cosa intendo,cliccate qui. La spirale che otterrete è la spirale citata prima,la spirale aurea che è un particolare tipo di spirale logaritmica.

Questo tipo di spirali sono molto famose anche tra chi non ama particolarmente la matematica, e la maggior parte della gente potrebbe definirle “belle”. Quello che è più interessante però, è che in natura ci sono molti, chiamiamoli disegni, che sembrano amare questa particolare forma, per citarne due le galassie a spirale (come la nostra Via Lattea) e il Nautilus, che è un genere di mollusco. Vedremo nella seconda parte, che anche oggetti di comune uso, come per esempio le carte di credito, presentano proporzioni “auree”. Ma per ora è tutto, nella speranza che questo primo piccolo excursus vi sia piaciuto vi dico “Alla prossima!”

Avete mai sentito parlare di Alberto Antonini? Alberto è un ragazzo di 13 anni che ha sviluppato un’applicazione per il Mac, venduto sull’App Store per 4€.

L’applicazione in questione si chiama iSortPhoto e rinomina le foto aggiungendo data e ora di scatto.

Vi propongo un’intervista fatta da me circa 3 mesi fa.

Alcune domande erano improvvisate, e sono state aggiustate durante la pubblicazione. Altre sono state unite per rendere l’intervista più leggibile.

techNoDin: Quali programmi hai scritto fino ad ora?
Alberto: Programmi finiti solo iSortPhoto, poi ho in ballo vari altri programmini inclusi una chat, un programma per risolvere le espressioni e poi un paio di programmi per iPhone che sto finendo. Stavo anche sviluppando un gioco, ma il mio amico che mi disegnava gli sprite si è messo a giocare con la PS3 e non l’ho più potuto contattare.

t: La chat che protocollo utilizza? Come funziona?
A: TCP, me la sono inventata. Uso la libreria AsyncSocket, ma era solo un’idea e non penso la ultimerò.

t: Prima programmavi sotto Windows?
A: Solo qualche programmino da linea di comando e la mia prima versione del programma per risolvere le espressioni, ma è una vita che non lo uso più.

t: Hai già  in mente altri programmi che potresti scrivere? Hai un team o sei da solo?
A: Come programmatore sono da solo, poi c’è il designer di mio padre che alla fine inventa loghi e immagini, a programma ultimato.

t: Quali linguaggi conosci?
A: C, PHP, Objective C e uso Cocoa, C++ solo qualche idea, MySQL.

t: Secondo te quali sono i punti di forza di Mac OS X e da cosa derivano?
A: Semplicità d’uso, efficienza, potenza e stabilià, che derivano dai programmatori Apple, da Steve Jobs e da Unix. Penso che il sistema, confrontato a Windows è nettamente migliore e costa molto meno.

t: Hai confrontato Mac OS a Windows. Confrontandolo a software libero? Prendiamo come esempio una distribuzione di Linux che negli ultimi anni ha sfondato: Ubuntu.
A: Penso che Ubuntu debba ancora avanzare in termini di facilità  d’uso, numero di programmi e stabilità per poterlo confrontare obiettivamente con Mac OS.

t: Riguardo ai sistemi UNIX-Like?
A: Sono sistemi che hanno sicuramente tanto davanti (ndr: questa mi sembra una contraddizione…) ma che non sono ancora pronti secondo me a diventare la nuova moda.

t: Secondo me la debolezza di Mac OS X è che non è per niente adatto per chi vuole capire come funziona una qualsiasi cosa del computer. Preferisco piuttosto Arch Linux o Gentoo in tutta la loro freddezza ma chiarezza piuttosto che Mac OS, che ti nasconde anche buona parte del contenuto dell’Hard Disk. Tu cosa ne pensi?
A: Io preferisco Mac OS, le numerosissime altre varianti di linux non mi attirano particolarmente.

t: Cosa pensi del Free Software, della FSF e dell’Open Source?
A: Penso che sono molto utili anche per programmatori di tutti i ranghi per rendere più facile la loro vita e anche per mettere in comune le tecnologie che si inventano e che non si intende vendere.

t: Allora perché vendi iSortPhoto e non distribuisci il codice sorgente?
A: Perché c’è dietro molto lavoro e impegno da parte di tutto il team. Penso che sia un modo per dare al mio lavoro uno scopo. Magari un giorno lo distribuirò.

Speravo che avesse un’idea migliore sui sistemi UNIX (che non siano Mac OS…), comunque va bene lo stesso XD

Ciao!

Selezione

La selezione permette di eseguire un’operazione o un’altra in base ad una condizione.
Un esempio di pseucodice:

se a < 0 allora scrivi("Ciao")
altrimenti se a < 1 allora scrivi("Salve")
altrimenti scrivi("Buongiorno")

Esiste spesso anche la selezione multipla, cioé in base al valore di una variabile vengono eseguite diverse azioni:

seleziona a
caso a = 1: scrivi("Salve")
caso a = 2: scrivi("Ciao")
caso a = 3: scrivi("Buongiorno")
caso a < 0: scrivi("Buona giornata")
caso a > 5: scrivi("Meno male")
caso a < 9: scrivi("Ahia")

La particolarità di questo metodo è che vengono verificate tutte e che non si ferma da solo una volta eseguito un caso.
Poniamo ad esempio a = 2. Verrà eseguito sia il caso a = 2 sia il caso a < 9.

Iterazione

L’iterazione consiste nel ripetere una serie di operazioni.
Non è solo un modo per risparmiare tempo nello scrivere un programma ma è estremamente utile, ve ne accorgerete utilizzandola.

I costrutti iterativi sono genericamente tre:

- Il primo che ripete mentre una variabile soddisfa una certa condizione
- Il secondo è come il primo ma esegue le operazioni almeno una volta
- Il terzo ripete fino a quando la variabile non soddisfa una certa condizione

Poniamo attenzione alla differenza tra il primo e il terzo.
Il primo verifica che la variabile soddisfi la condizione. Se la soddisfa esegue il codice, altrimenti no.
Diversamente il terzo lavora al contrario: verifica che la variabili soddisfi la condizione. Se la soddisfa non esegue il codice altrimenti sì.

Questi costrutti sono molto diversi da linguaggio a linguaggio per cui non faremo esempi.

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Alcuni hanno tentato di applicare la psicologia inversa (succ(7) = 8 ) ma non è andata molto bene.
Vediamo insieme come si fa, in caso di funzioni molto semplici.

Prendiamo come esempio questo codice C:

int succ(int i) {
    if(i <= 2)
      return(i);
    else
      return(3*succ(i-1)+2*succ(i-2)-succ(i-3));
}

main(){
     printf("num=%d",succ(7));
} 

O questo codice Pascal:

function succ (i: Integer): Integer;
begin
  if (i<=2) then
    succ:=1
  else
    succ:=3*succ(i-1)+2*succ(i-2)-succ(i-3)
end; 

begin
  write('num=',succ(7))
end. 

Che tra l’altro sono quelli dati come quesiti.

A questo punto sappiamo che per ogni i <= 2, succ(i) = 1

Per cui calcoliamo:

succ(2) = succ(1) = succ(0) = 1
succ(3) = 3 * succ(2) + 2 * succ(1) – succ(0) = 3 * 1 + 2 * 1 – 1 = 3 + 2 – 1 = 4
succ(4) = 3 * succ(3) + 2 * succ(2) – succ(1) = 3 * 4 + 2 * 1 – 1 = 12 + 2 – 1 = 13
succ(5) = 3 * succ(4) + 2 * succ(3) – succ(2) = 3 * 13 + 2 * 4 – 1 = 39 + 8 – 1 = 46
succ(6) = 3 * succ(5) + 2 * succ(4) – succ(3) = 3 * 46 + 2 * 13 – 4 = 138 + 26 – 4 = 160
succ(7) = 3 * succ(6) + 2 * succ(5) – succ(4) = 3 * 160 + 2 * 46 – 13 = 480 + 92 – 13 = 559

Ecco il nostro risultato.

Per calcolare una funzione ricorsiva basta partire dal basso, e non dall’alto!

Un commento non è altro che un testo inserito nel programma che viene eliminato in fase di compilazione.
Sebbene possa sembrare inutile è spesso l’unico modo per comprendere un codice, in particolare se scritto da altre persone.

Ci sono diversi modi per inserire un commento, dipendenti dal linguaggio di programmazione in uso.
Ricordate di scrivere non quello solo quello che fa il codice ma principalmente perché lo fa in quel modo.

È particolarmente eloquente il commento di un programmatore in un programma da lui scritto:

//When I wrote this, only God and I understood that I was doing
//Now, God only knows

Che suona più o meno così:

//Quando scrissi questo codice solo io e Dio capivamo cosa stavo facendo
//Ora lo capisce solo Dio

Questo potrebbe essere il risultato di un vostro programma, per cui scrivete i commenti!

Per altri commenti divertenti, leggete qua (se vi serve una mano con la traduzione, contattatemi):
http://cobaia.net/2010/09/top-funny-source-code-comments/
http://stackoverflow.com/questions/184618/what-is-the-best-comment-in-source-code-you-have-ever-encountered
http://www.jwz.org/doc/censorzilla.html

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Spreaker è un servizio online che permette di creare una vera e propria trasmissione radiofonica online, oltre ai soliti podcast.

Dopo la semplicissima registrazione gratuita (è possibile anche usare l’account Facebook) si hanno due opzioni: Ascolta e Trasmetti.
Tutto il servizio è caratterizzato da una grandissima semplicità d’uso.

La modalità Ascolta permette di accedere alle puntate delle trasmissioni di ogni utente.

La modalità Trasmetti permette di registrare una propria trasmissione, scegliendo se pubblicarla Live o come podcast.

Tutto avviene online tramite una comoda interfaccia in Flash (per la sfortuna degli utenti Linux).

L’interfaccia di pubblicazione assomiglia ad una rudimentale console per DJ, con varie opzioni molto comode.

Dal punto di vista social è simile a YouTube: i sottoscrittori qui diventano “Follower” alla Twitter, ma la sostanza è la stessa.

La versione gratuita è limitata a 30 minuti di trasmissione con break commerciale e ad un massimo di 60 minuti di spazio per caricare effetti, sample e altro. Non ci sono limiti per quanto riguarda i podcast.

La versione premium (14,90€) è anche ottenibile invitando cinque amici al mese. La diretta sarà di ben 3 ore e lo spazio disponibile sarà pari a 60 ore.

In conclusione, ve lo consiglio vivamente. Gli appassionati troveranno un’ottima alternativa ad altre piattaforme mentre tutti gli altri potrebbero scoprire una nuova passione, o solo divertirsi un po’. E in fondo, provar non nuoce.

Se siete interessati al background matematico, contattatemi e scriverò una lezione apposita (forse lo farò lo stesso).

Sebbene genericamente questo dipenda dal linguaggio di programmazione, di solito il primo elemento di un vettore ha indice 0, per cui l’ultimo avrà un indice n-1, dove n è il numero di elementi dell’array.

Un array potrà contenere vari tipi di dato: numeri interi, a virgola mobile, o caratteri. In quest’ultimo caso il vettore è una stringa.

Esempio di pseudocodice:

int vettore[12] // Creo un vettore di interi che contiene 12 elementi
vettore[0] = 12 // Assegno 12 al primo elemento dell'array
vettore[1] = 134 // Assegno 134 al secondo elemento dell'array
vettore[12] = 34 // v[12] non appartiene all'array, che finisce a v[11] (inizia da 0)
// il programma andrà in crash (probabilmente)

Esistono anche degli array multidimensionali detti matrici.
IMPORTANTE: Se non ci capisci nulla, non deprimerti, è un argomento complesso.
Possiamo considerare una matrice come un vettore di vettori: ad ogni indice, invece di corrispondere una variabile corrisponde un altro vettore.

Un modo utile per rappresentare una matrice è questo:

Dove l’1 è il primo elemento del primo vettore: v[0][0] e 6 è il secondo elemento del primo vettore: v[0][1].
In una matrice si considerano righe e colonne.

Esempio di pseudocodice:

int vettore[2][3] // Creo una matrice di interi di 2 righe e 3 colonne
int array[3][3] // Creo una matrice di interi di 3 righe e 3 colonne (come quella sopra)
array[0][0] = 1 // E assegno i valori della matrice sopra
array[0][1] = 6
array[0][2] = 7
array[1][0] = 10
array[1][1] = 3
array[1][2] = 8
array[2][0] = 2
array[2][1] = 6
array[2][2] = 5

In una matrice di due righe e due colonne, viene definito il determinante come il prodotto della prima diagonale meno il prodotto della seconda diagonale:

Esempio di pseudocodice:

int vettore[2][2] // Creo la matrice di interi di due righe e due colonne
vettore[0][0] = 2 // Assegno i valori (questa volta quelli della matrice d'esempio
vettore[0][1] = 1
vettore[1][0] = 2
vettore[1][1] = 3
determinante = vettore[0][0] * vettore[1][1] - vettore[0][1] * vettore[1][0]

N.B: Ovviamente ci sono dei modi più semplici e veloci di assegnare valori ad un array/matrice, ma dipendono dal linguaggio.

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1. Iniziamo il salvataggio

Se non avete cd o dvd massacrati, potete sempre masterizzarne uno, buttarlo in acqua e verificare poi che il procedimento funzioni.

A parte gli scherzi, se i cd/dvd hanno una custodia, apritela con molta cura e togliete il disco.
Se hanno attaccata della carta o altro non rimuovetela ora, ma aspettate il prossimo punto.

2. Bagnamoli con acqua

Può sembrare una contraddizione, ma questo metodo funziona!

Prepariamo una vaschetta con parecchia acqua pulita. NON USATE SOLVENTI, DETERSIVI O ALTRO! Distruggerebbero i vostri dischi.
Lasciateli riposare per almeno 30 minuti, ma non per più di 16 ore.

In questo periodo di tempo, la carta attaccata sui cd7dvd dovrebbe andare via da sola.

3. Prima pulizia

Mentre sono ancora immersi, prendete un panno morbido, bagnatelo in acqua e, ripeto, mentre sono ancora immersi, puliteli delicatamente su tutta la superficie.

Non tirateli fuori. Una volta completata questa operazione, preparate un’altro contenitore come quello di prima, riempitelo d’acqua pulita senza solventi né detersivi, e spostateci i cd/dvd.
Come prima aspettate da 30 minuti a 16 ore.

4. Seconda pulizia e asciugatura

Puliamoli di nuovo come abbiamo fatto prima: mentre sono ancora immersi, puliteli delicatamente con un panno morbido.

Preparate un grosso panno morbido per assorbire l’acqua. Stendetelo su un piano e posateci sopra i dischi.
NON USATE CARTA e NON METTELI ALLA LUCE DEL SOLE!

Attendete per 30-90 minuti su un lato, poi girateli e aspettate sempre per 30-90 minuti sull’altro.

5. Terza pulizia

Una volta asciugati prendete un panno di microfibra o camoscio e puliteli per bene, rimuovendo tutti i residui d’acqua.
Non usate alcun altro tipo di panno, li rovinerete definitivamente!

Vanno bene le pezzette per pulire gli occhiali o le lenti, ma non quelli per pulire la macchina.

Finito!

Via | Instructables

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