Toán và Latex

Vẽ hình bằng tikz trên blogger

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Wed, 15 Apr 2020 15:52:00 +0700

Đây là đường tròn bán kính $R=1$ inch.

\documentclass[margin=0pt]{standalone}
\def\pgfsysdriver{pgfsys-ximera.def}
\usepackage{tikz}
\begin{document}

\end{document}

Gom các file tạm khi biên dịch bằng Texstudio

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 19 Aug 2018 14:09:00 +0700

Khi biên dịch một file .tex bằng chương trình pdftex thì các file .aux, .log, .out, .thm, .pdf,... cũng được tạo ra. Biên dịch càng nhiều file .tex thì các file tạm tạo ra càng nhiều, trong khi ta chỉ sử dụng file .pdf cho mục đích in ấn, lưu trữ, thảo luận. Do đó, việc gom các file tạm vào một thư mục chung để khỏi bị "rối mắt" là cần thiết. Dưới đây là cách thiết lập đối với trình soạn thảo Texstudio.

Bạn vào Options-->Configure Texstudio --> Commands --> PdfLatex thay dòng lệnh trong khung PdfLatex bởi dòng lệnh

pdflatex -synctex=1 -interaction=nonstopmode --aux-directory="D:/YOURNAME" %.tex"

Tiếp đến ở mục Build bạn đánh dấu chọn vào ô Show Advanced Options và trong khung Log File bạn điền vào D:/YOURNAME

Cuối cùng bạn nhấn OK để hoàn tất.

Như vậy trong câu lệnh trên thì các file tạm được gom vào thư mục YOURNAME ở ổ đĩa D. Do đó, nếu bạn muốn gom các file tạm vào vị trí nào trên máy tính của bạn thì bạn thay thế D:/YOURNAME thành đường dẫn tương ứng. Chúc bạn thành công.

Mã html tạo câu hỏi nhiều lựa chọn trên blog

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sat, 4 Feb 2017 19:06:00 +0700

Để tạo câu hỏi nhiều lựa chọn trên blog phục vụ cho việc kiểm tra trắc nghiệm như trong hình trên ta tiến hành 4 bước như sau

1) Trong khung soạn thảo bài viết ở blog ta chọn chức năng soạn thảo HTML.

2) Tạo câu hỏi và các phương án trả lời bằng cách sao chép đoạn mã dưới đây và thay thế phần nội dung của bạn vào chỗ màu đỏ

<form name="quiz">
<b> 1. Nội dung câu hỏi 1...</b>
<ul style="margin-top: 1pt;"> 
<input name="q1" type="radio" value="A" />A) Đáp án thứ nhất...</BR> 
<input name="q1" type="radio" value="B" />B) Đáp án thứ hai...</BR> 
<input name="q1" type="radio" value="C" />C) Đáp án thứ ba...</BR> 
<input name="q1" type="radio" value="D" />D) Đáp án thứ tư...</BR>

<b> 2. Nội dung câu hỏi 2...</b>
<ul style="margin-top: 1pt;"> 
<input name="q2" type="radio" value="A" />A) Đáp án thứ nhất...</BR> 
<input name="q2" type="radio" value="B" />B) Đáp án thứ hai...</BR> 
<input name="q2" type="radio" value="C" />C) Đáp án thứ ba...</BR> 
<input name="q2" type="radio" value="D" />D) Đáp án thứ tư...</BR>

<input onclick="getScore(this.form)" type="button" value="Xem kết quả" /> <input type="reset" value="Làm lại" /> Điểm đạt được = <strong><input class="bgclr" disabled="" name="percentage" size="5" type="text" /></strong> </BR>

Đáp án: <textarea class="bgclr" cols="80" disabled="" name="solutions" rows="10" wrap="virtual"> </textarea> </ul> </ul>

3) Để tạo câu hỏi thứ hai, thứ ba,... bạn làm tương tự bước 2 với lưu ý thay thế q1 (chỗ màu xanh) tương ứng thành thành q2, q3,...

4) Cuối cùng bạn chép đoạn mã dưới đây vào sau đoạn mã trên

<style type="text/css">
.bgclr {background-color: white; color: blue; font-weight: bold;}
</style> <script language="JavaScript">
// Số câu hỏi 
var numQues = m;
//Số phương án trả lời 
var numChoi = 4;
//Số câu hỏi được hiển thị đáp án 
var answers = new Array(M);
// Đáp án đúng cho câu hỏi 
answers[0] = "C"; 
answers[1] = "A";

function getScore(form) {
  var score = 0;
  var currElt;
  var currSelection;
  for (i=0; i<numQues; i++) {
     currElt = i*numChoi; 
     for (j=0; j<numChoi; j++) {
        currSelection = form.elements[currElt + j]; 
        if (currSelection.checked) {
           if (currSelection.value == answers[i]) {
              score++; 
              break;
        }
      }
    }
  }
  score = Math.round(score/numQues*100); 
  form.percentage.value = score + "%" ; 
  var correctAnswers = "";
  for (i=1; i<=numQues; i++) {
     correctAnswers += i + ". " + answers[i-1] + "\r\n";
  }
  form.solutions.value = correctAnswers;
}
</script>

+) Nếu trong bài trắc nghiệm của bạn có tất cả 9 câu hỏi thì bạn thay m trong var numQues = m; thành số 9.

+) Nếu bạn muốn hiển thị đáp án đúng cho 7 câu trắc nghiệm trong bài trắc nghiệm thì thay M trong var answers = new Array(M); thành 7.

+) Nếu Câu 1 có đáp án đúng là C thì khai báo answers[0] = "C"; Câu 2 có đáp án đúng là A thì khai báo answers[1] = "A";,... Tương tự như vậy bạn tạo thêm các đáp án đúng cho câu thứ ba, thứ tư,... bằng cách thêm

answers[2] = " ";
answers[3] = " ";
...

Chúc bạn thành công.

Trắc nghiệm cực trị (1)

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Mon, 10 Oct 2016 08:26:00 +0700

1. Cho hàm số $ y=x^3-2x $. Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại $ y_{\text{CĐ}} $ và giá trị cực tiểu $ y_{\text{CT}} $ là

2. Giá trị cực đại của hàm số $ y=x^3-3x^2-3x+2 $ là

3. Hàm số $ y=(x^2-1)^2 $ có

4. Đồ thị hàm số $ y=\sqrt{3x^2-x^3} $ có tọa độ các điểm cực trị là

5. Hàm số $ y=\dfrac{x^2+3x+5}{x+2} $ có giá trị cực tiểu bằng

6. Đồ thị hàm số $ y=x^4-2x^2+2 $ có khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu bằng

7. Với giá trị nào của $ m $ thì hàm số $ y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1 $ đạt cực tiểu tại $ x=1 $?

8. Cho hàm số $ y=ax^4+bx^2+c $ với $ a.b>0$. Hỏi đồ thị hàm số có mấy điểm cực trị?

9. Cho hàm số $ f $ có đạo hàm tại $ x_0 $. Chọn câu đúng trong các câu sau

10. Cho hàm số $ f $ có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng $ (a; b) $ chứa $ x_0 $ và $ f^\prime (x_0)=0 $. Khẳng định nào sau đây sai?

11. Chọn câu sai trong các câu sau

12. Cho hàm số $ y=ax^3+bx^2+cx+d,\;(a\neq 0) $. Chọn đáp án sai

13. Cho hàm số $ y=ax^4+bx^2+c, \;(a\neq 0) $. Chọn phát biểu sai

14. Cho hàm số $ y=\dfrac{ax+b}{cx+d},\; (c\neq 0, ad-bc\neq 0) $. Chọn phương án đúng

15. Cho hàm số $ y=-3x^3+x+1 $. Chọn đáp án sai

Điểm đạt được = Đáp án:

Các bài tập trắc nghiệm được tham khảo từ nhiều nguồn chia sẻ miễn phí trên Internet như: http://tracnghiem.math.vn/, ...

Trắc nghiệm tính đơn điệu (1)

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Fri, 7 Oct 2016 08:35:00 +0700

1. Cho hàm số $ y=f(x) $ đơn điệu trên tập $ K $. Phát biểu nào sau đây là sai?

2. Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên khoảng $ (a; b) $. Phát biểu nào sau đây là đúng?

3. Cho hàm số $ y=-x^3+6x^2-9x+4 $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

4. Cho hàm số $ y=x^4-2x^2+3 $ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

5. Cho hàm số $ y=(x+1)^2(x-1)^2 $. Mệnh đề nào sau đây sai?

6. Cho hàm số $ y=\dfrac{x-1}{x+1} $. Mệnh đề nào sau đây sai?

7. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y=\sqrt{25-x^2} $.

8. Với giá trị nào của $ m $ thì hàm số $ y=x^3-3mx^2+3(2m-1)x+1 $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $.

9. Với giá trị nào của $ m $ thì hàm số $ y=\dfrac{x+m}{x-m} $ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

10. Với giá trị nào của $ m $ thì hàm số $ y=x^3-6x^2+mx+1 $ đồng biến trên khoảng $ (0; +\infty) $?

Score = Đáp án:

Thay đổi kiểu đánh chỉ mục trong enumerate

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Fri, 1 Jan 2016 16:40:00 +0700

Khi dùng latex để soạn thảo một nội dung gồm có nhiều ý nhỏ, bạn cần phải dùng môi trường liệt kê. Và enumerate là một trong những môi trường giúp bạn thực hiện điều đó.

Theo mặc định, môi trường enumerate dùng các số 1, 2, ... để liệt kê ra các ý nhỏ như trong hình dưới đây.

Tuy nhiên việc đánh số như vậy nhiều lúc cũng đơn điệu và bạn muốn thay đổi sang kiểu liệt kê như a, b, c,...; hoặc i, ii, ... Để đáp ứng yêu cầu này, bạn chỉ cần sử dụng gói enumerate bằng cách thêm lệnh \usepackage{enumerate} trong phần khai báo và dùng môi trường enumerate trong soạn thảo với cú pháp

\begin{enumerate}[tùy chọn]
  \item Nội dung
  \item Nội dung
\end{enumetate}

1) Đổi sang kiểu liệt kê: a), b), c),... thì trong phần tùy chọn bạn điền a)

2) Đổi sang kiểu liệt kê: đánh số La Mã thường như i), ii), iii), v),... thì trong phần tùy chọn bạn điền i)

3) Đổi sang kiểu liệt kê: C-1), C-2), C-3),... thì trong phần tùy chọn bạn điền {C}-1)

Trên đây là các kiểu đánh chỉ mục thông dụng. Hy vọng bài viết sẽ giúp cho các bạn mới làm quen với Latex có thêm sự lựa chọn khi dùng môi trường enumerate.

Latex cho facebook trên trình duyệt Chrome

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Wed, 11 Nov 2015 22:54:00 +0700

Ngày nay mạng xã hội phát triển rộng rãi, ngày càng có nhiều người dùng facebook hơn. Trong số đó có nhiều người có nhu cầu trao đổi, thảo luận với nhau về Toán học. Vì thế việc hiển thị được các biểu thức Toán học trên facebook là điều "mơ ước" của những người thích Toán.

Trong bài viết này xin giới thiệu một cách làm để đáp ứng mong mỏi đó. Cũng xin nói trước là cách này mang tính thủ công, chỉ dành cho những ai muốn hiển thị các đoạn code latex trong bài viết trên facebook thành biểu thức Toán học tương ứng.

Yêu cầu đầu tiên là bạn phải duyệt web bằng trình duyệt Chrome. Nếu chưa có thì bạn tải về và cài đặt tại Chrome.

Yêu cầu tiếp theo là trong trình duyệt Chrome bạn phải cài Tiện ích Tex all the things.

1) Vào google tìm kiếm với từ khóa Tex all the things.

2) Nhấn chuột vào liên kết có được và tiến hành cài đặt.

3) Xác nhận cài đặt.

Vậy là xong, giờ bạn mở facebook và đăng bài hoặc bình luận với các đoạn code latex để xem kết quả. Nếu sau khi đăng bài mà không hiển thị công thức Toán thì bạn bấm phím F5 hoặc biểu tượng tải lại trang trên trình duyệt thì sẽ có kết quả như ý thôi.

Chú ý:

+) Cách làm trên không giải quyết triệt để vấn đề. Nghĩa là cùng một bài đăng có chứa biểu thức Toán học đó, nhưng chỉ những trình duyệt Chrome nào có cài thêm tiện ích Tex all the things thì bạn mới thấy được các công thức Toán học có trong bài đăng facebook. Vì thế nếu bạn dùng máy tính khác thì phải làm lại các thao tác trên. Hoặc là bạn đăng nhập vào tài khoản Google của bạn trước khi cài thêm một tiện ích cho Chrome thì sau này ở máy tính khác, bạn chỉ cần đăng nhập vào tài khoản Google đó là trong trình duyệt Chrome sẽ tự đồng bộ để có tiện ích mà bạn đã cài.

+) Có tìm hiểu sơ qua các trình duyệt khác nhưng thấy cách giải quyết vấn đề trên không đơn giản bằng Chrome nên không tìm hiểu kỹ và không trình bày lại.

Cuối cùng hy vọng bài viết giúp ích được cho các bạn có nhu cầu thảo luận toán học qua facebook. Và cũng xin gửi lời cảm ơn đến bạn Thùy Quyên đã đặt câu hỏi, nhờ đó mà có ý tưởng viết bài này.

Cơ bản về bất đẳng thức

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 12 Apr 2015 08:22:00 +0700

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán phổ thông. Nói bất đẳng thức khó là bởi vì kiến thức ban đầu hết sức đơn giản, tuy nhiên để thực hành tốt đòi hỏi người học phải vững các kỹ năng cơ bản và một sự linh hoạt, nhạy bén. Để góp phần cung cấp cho học sinh vài kỹ năng cơ bản nay xin giới thiệu tập tài liệu nhỏ này. Chúc các em học sinh bớt "sợ hãi" khi nói đến bất đẳng thức.

Để tải về tài liệu bạn nhấn dấu mũi tên hướng lên nghiêng qua phải (mở trong cửa sổ mới) rồi vào "Tệp" và bấm "Tải xuống". (Nếu bạn đang duyệt web mà chưa thoát ra khỏi tài khoản Google thì bạn sẽ không thấy những hiển thị như mô tả. Do đó bạn hãy thoát khỏi tài khoản Google để tải tài liệu)

Vẽ nét đứt trong môi trường bảng trong latex

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Thu, 7 Aug 2014 22:48:00 +0700

Trong nhiều tình huống, do yêu cầu công việc ta phải lập bảng. Hơn nữa, để phân biệt giữa các phần với nhau một cách rõ ràng ta phải dùng nét liền và nét đứt để làm nổi bật chúng. Việc làm này đối với chương trình soạn thảo Word của Microsoft thì quả là dễ dàng. Tuy nhiên, nếu bạn soạn thảo bằng Latex thì không hề đơn giản chút nào. Nói thì nói vậy nhưng bạn cũng đừng cho là quá khó khăn. Bởi gói \usepackage{arydshln} sẽ giúp cho mọi việc trở nên thuận tiện hơn nhiều.

Trước tiên bạn khai báo gói \usepackage{arydshln} ở phần đầu tập tin *.tex. Chú ý rằng nếu trong tập tin *.tex của bạn có sử dụng các gói \usepackage{array}, \usepackage{longtable}, \usepackage{colortab}, \usepackage{colortbl} thì bạn phải khai báo gói \usepackage{arydshln} trước các gói đó.

+) Lệnh \hdashline dùng để vẽ đường ngang qua tất cả các cột trong bảng và nét vẽ là nét đứt.

+) Lệnh \cdashline{m-n} dùng để vẽ đường ngang qua từ cột thứ m đến cột thứ n trong bảng và nét vẽ là nét đứt.

Hy vọng thông tin từ bài viết này giúp ích được cho các bạn đang làm quen và sử dụng Latex.

Hướng tiếp cận bài toán tích phân

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Wed, 2 Jul 2014 23:42:00 +0700

Bài toán tính tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng như Tốt nghiệp trung học phổ thông, Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là một bài toán không quá khó đối với học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, nếu không biết cách tiếp cận thì đôi lúc học sinh cũng gặp vài khó khăn nhất định.

Để giúp các em có cái nhìn bao quát hơn, cũng như có những xử lý ban đầu phù hợp khi giải bài toán tính tích phân, xin giới thiệu tập tài liệu nhỏ dưới đây. Hy vọng nó có ích cho việc học tập của các em học sinh.

Đưa nội dung tài liệu trên Google drive vào blog

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Thu, 15 May 2014 06:03:00 +0700

Bạn có tài liệu hay được lưu trữ trên Google drive và bạn muốn chia sẻ với mọi người thông qua các bài viết của bạn trên blog. Ngoài việc cung cấp liên kết đến tài liệu đó bạn còn có thể đưa nội dung đó vào bài viết trên blog để người đọc xem trước. Vậy làm thế nào để thực hiện được? Mời bạn thực hiện theo các bước sau:

1) Trong khung soạn thảo bài viết ở blog ta chọn chức năng soạn thảo HTML.

2) Chèn đoạn mã

<iframe  src="https://docs.google.com/file/d/0B8sStMf3Y7dAcVVGQldEMnpMaGc/preview" height="480" width="600"></iframe >

Trong đó,

height="480" thì số 480 chỉ độ cao của khung xem trước.

width="600" thì số 600 chỉ độ rộng của khung xem trước. Bạn có thể thay đổi các thông số 480, 600 theo nhu cầu của bạn.

src="https://docs.google.com/file/d/0B8sStMf3Y7dAcVVGQldEMnpMaGc/preview"

+) /preview: là tính năng xem trước,

+) https://docs.google.com/file/d/0B8sStMf3Y7dAcVVGQldEMnpMaGc là đường dẫn đến tập tin mà bạn lưu trữ trên Google drive. Vậy làm thế nào để có được đường dẫn này?

Đầu tiên bạn vào Google drive đến tập tin mà bạn muốn đưa nội dung vào blog. Bạn nhấn chuột phải vào tập tin đó và chọn "chia sẻ".

Tiếp đến bạn nhấn vào tùy chọn "Thay đổi" để thiết lập chia sẻ tập tin công khai trên web, blog.

Đánh dấu vào tùy chọn "Công khai trên web" rồi "Lưu".

Bây giờ hộp thoại ban đầu hiện trở lại, ta copy liên kết trong ô "Liên kết để chia sẻ" và dán vào trong đoạn mã ở trên với chú ý thay thế tính năng "/edit?usp=sharing" thành "/preview".

Tóm lại, cú pháp để đưa khung xem trước của nội dung tài liệu vào blog có dạng:

<iframe  src="đường dẫn đến tập tin/preview" height="độ cao khung nhìn" width="độ rộng khung nhìn"></iframe >

Chúc các bạn thành công.

Tự động tạo mã Latex bảng biến thiên của hàm số

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 16 Feb 2014 22:17:00 +0700

Bạn mới làm quen với Latex và nhiều điều còn lạ lẫm lắm. Trong khi đó, bạn có nhu cầu vẽ bảng biến thiên của một hàm số cho tài liệu mà bạn đang soạn thảo. Lúc này bạn thực sự gặp khó khăn vì "vốn liếng" về Latex hãy còn ít. Và bạn có ước rằng có một chương trình nào đó mà khi ta nhập vào một hàm số thì chương trình sẽ tự động tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, tính giới hạn và lập thành bảng biến thiên? Hơn nữa, chương trình ấy có thể cung cấp cho bạn mã Latex của bảng biến thiên đó để bạn chép vào tài liệu mà bạn đang soạn thảo?

Hôm nay lang thang trên internet, tình cờ bắt gặp một chương trình đáp ứng được những tiêu chí mà bạn hằng ao ước. Xin giới thiệu nhanh dưới đây.

Đầu tiên bạn tải về chương trình tại liên kết http://sourceforge.net/projects/wxgeometrie/. Bạn cũng có thể tham quan trang chủ của chương trình này tại: http://wxgeo.free.fr/wordpress/. Đây là một chương trình hỗ trợ cho nhiều lĩnh vực toán như: hình học, đại số, thống kê,... nhưng trong phạm vi bài viết này chỉ giới thiệu chức năng tự động tạo bảng biên cho một hàm số bất kỳ.

Sau khi tải về, bạn giải nén tập tin tải về sẽ được thư mục WxGeometrie và bên trong nó có các thư mục con và biểu tượng như trong hình sau.

Tiếp đến, bạn nhấn vào biểu tượng wxgeometrie để chạy chương trình.

Để sử dụng chức năng tạo bảng biến thiên, bạn vào Outils --> Options --> Modules và đánh dấu chọn vào mục Tableaux Latex rồi nhấp Ok để đồng ý.

Bây giờ ta thử lập bảng biến thiên cho hàm số $y=x^3-3x+5$ bằng cách vào Tableaux Latex và nhập hàm số vào ô trống có con trỏ đang nhấp nháy rồi nhấn vào Ok và đợi kết quả.

Copy đoạn mã Latex được sinh ra ở vùng trống bên dưới rồi chép vào tập tin .tex

Biên dịch ta thu được kết quả

Chúc bạn thành công và khám phá thêm nhiều điều thú vị.

Xác suất

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sat, 31 Aug 2013 21:18:00 +0700

Xác suất là một bài toán không hề đơn giản với học sinh lớp 11. Để giúp các em một vài kinh nghiệm nhỏ trong việc giải bài tập xác suất, nay xin gửi đến các em vài trang viết vắn tắt, hy vọng nó có ích.

Số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Wed, 31 Jul 2013 22:13:00 +0700

Ví dụ
Khai triển $P(x)=\left(1+3x\right)^8$ thành đa thức $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{8}x^{8}$. Tìm số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.
Giải.
Ta có $\displaystyle P(x)=\left(1+3x\right)^8=\sum_{k=0}^8C_8^k.3^k.x^k.$ Như vậy $a_k=C_8^k.3^k,\;k=0, 1, 2,..., 8$.
Giả sử $a_k\leq a_{k+1}$. Khi đó, \begin{align*}
&\;C_8^k.3^k\leq C_8^{k+1}.3^{k+1}\Leftrightarrow \dfrac{8!}{k!(8-k)!}\leq 3\cdot\dfrac{8!}{(k+1)!(7-k)!}\\
\Leftrightarrow&\; k+1\leq 3(8-k)\Leftrightarrow k\leq \dfrac{23}{4}=5.75\Leftrightarrow k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}.
\end{align*}
Suy ra, $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$ và $a_7\geq a_8$.
So sánh $a_6=C_8^6.3^6=20412$ với $a_7=C_8^7.3^7=17496$ ta có $a_6$ là số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.

Nhận xét.

+) Lời giải trên đã sử dụng ý tưởng phân dãy số hạng $a_1, a_2, \dots, a_n$ thành nhiều nhóm nhỏ, rồi tìm số hạng lớn nhất trong mỗi nhóm, từ đó so sánh chúng với nhau và tìm được số hạng lớn nhất.

+) Để dễ hình dung, giả sử ta phân được thành 3 nhóm và các số hạng trong mỗi nhóm sẽ tăng dần hoặc giảm dần. Chẳng hạn như,
$$\big| \underbrace{a_1\leq a_2\leq \dots\leq a_i}_{\text{nhóm 1}}\big| \underbrace{ a_{i+1}\geq a_{i+2}\geq\dots\geq a_j}_{\text{nhóm 2}} \big|\underbrace{a_{j+1}\leq a_{j+2}\leq\dots\leq a_n}_{\text{nhóm 3}}\big|$$
Như vậy, số hạng lớn nhất trong nhóm 1 là $a_i$, số hạng lớn nhất trong nhóm 2 là $ a_{i+1}$, số hạng lớn nhất trong nhóm 3 là $a_n$. Tiếp tục so sánh 3 số $a_i, a_{i+1}, a_n$ với nhau để tìm ra số hạng lớn nhất trong cả dãy $a_1, a_2, \dots, a_n$.

+) Bằng cách giải bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ với ẩn là số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ ta sẽ phân được thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm tăng dần. Còn lại các số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ nhưng không thỏa mãn bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ thì sẽ là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nên các số nguyên $k$ này sẽ phân thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm giảm dần. Cụ thể như trong ví dụ trên, bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ nghiệm đúng với các số nguyên $k\leq \dfrac{23}{4}=5.75$, tức là $k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$. Như thế $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$. Các số nguyên còn lại là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nghĩa là $a_7\geq a_8$.

Bài tập.
1) Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của $\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}$.

Hệ phương trình

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 30 Jun 2013 22:20:00 +0700

Trong chương trình phổ thông, có một số lượng lớn các bài toán mà việc giải gần như quy về việc tìm phương án thỏa mãn những ràng buộc mà bài toán đặt ra (như vậy, phương án tìm được là "nghiệm" của "hệ điều kiện" của bài toán). Chính vì thế kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình là một trong những kỹ năng quan trọng và cơ bản của người học toán.

Ở mức độ bình thường, học sinh cần phải nhận biết được dạng của một số hệ phương trình thường gặp và thành thạo về các cách giải của nó. Ở mức độ cao hơn, học sinh cần phải nắm bắt được những phương pháp giải đặc trưng cho những hệ phương trình "lạ". Để đáp ứng yêu cầu đó, nay xin giới thiệu với các em một tài liệu nhỏ về hệ phương trình và hy vọng nó giúp các em sáng tỏ phần nào về một đơn vị kiến thức rất quen thuộc (là hệ phương trình) nhưng lâu nay ta lại không chú ý.

Mẫu soạn đề thi và đáp án bằng Latex

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 26 May 2013 20:51:00 +0700

Như đã biết, Latex hỗ trợ rất đắc lực cho các ngành khoa học tự nhiên trong soạn thảo tài liệu, văn bản chuyên ngành. Bên cạnh việc cung cấp đầy đủ hệ thống các ký hiệu đặc thù chỉ có trong khoa học tự nhiên, Latex còn có bố cục trình bày rất khoa học và kết quả tập tin sau khi biên dịch dùng để in ấn phải nói là cực kỳ đẹp. Chính vì thế việc soạn thảo đề thi Toán bằng Latex tất nhiên sẽ cho kết quả đẹp hơn nhiều so với khi soạn thảo bằng các chương trình khác. Tuy nhiên, đối với người mới dùng Latex thì khó khăn lớn nhất là "vốn" các lệnh Latex còn ít. Do đó, việc tự tay soạn thảo một đề thi theo ý muốn là không hề dễ. Với mong muốn trợ giúp một phần rất nhỏ cho người mới, hôm nay xin giới thiệu mẫu soạn đề thi và đáp án bằng Latex để các bạn tham khảo và chỉnh sửa cho phù hợp với nhu cầu cá nhân. Các bạn tải về tập tin mẫu ở liên kết cuối bài viết. Chúc các bạn thành công.

Tải về tập tin mẫu tại: mediafire.com

Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sat, 11 May 2013 22:48:00 +0700

Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng là bài toán cơ bản. Nó làm cơ sở cho các bài toán tính thể tích của khối đa diện, xác định góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng, góc tạo bởi hai mặt phẳng, dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Như đã biết, muốn tìm hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ thì phải tìm được điểm $H$ thuộc $(\alpha)$ sao cho $MH\bot (\alpha)$. Tuy nhiên, trên một đối tượng "rộng mênh mông" là mặt phẳng $(\alpha)$ thì việc tìm chính xác điểm $H$ sao cho $MH\bot (\alpha)$ không hề dễ. Do đó, ta cần có một thuật toán "khoanh vùng" điểm $H$ thuộc một đối tượng "hẹp" hơn để xác định vị trí cụ thể của điểm $H$. Mời các em học sinh xem chi tiết trong bài viết dưới đây.

Phép biến đổi tương đương trong giải phương trình

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Tue, 30 Apr 2013 23:04:00 +0700

Phương trình đóng một vai trò quan trọng trong toán học ở bậc phổ thông. Do đó, các kỹ năng giải phương trình là một phần không thể thiếu trong quá trình học sinh tích lũy cho mình những kiến thức toán học cơ bản.

Ta đã biết, hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Vì thế, nếu biết một phương trình phức tạp tương đương với một phương trình đơn giản thì ta chỉ việc giải phương trình đơn giản và từ đó tìm được tập nghiệm của phương trình phức tạp. Vậy làm thế nào để biết một phương trình phức tạp có tương đương với một phương trình đơn giản? Hoặc làm thế nào để biến đổi một phương trình phức tạp thành một phương trình đơn giản mà không làm thay đổi tập nghiệm của nó?. Để trả lời câu hỏi này, ta cần phải biết có những phép biến đổi tương đương nào? Mời các em học sinh ôn lại các phép biến đổi tương đương thường gặp trong giải phương trình ở bậc trung học phổ thông trong bài viết dưới đây.

Tạo công thức có hệ số thay đổi được trong GSP

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 14 Apr 2013 21:20:00 +0700

Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, ứng với mỗi hàm số ta có một đồ thị, ứng với mỗi phương trình ta có một đường. Vì thế, nếu ta thiết lập được công thức, hàm số có hệ số thay đổi được thì sẽ góp phần giúp học sinh thấy rõ mối tương quan giữa hình dáng của đồ thị, hình dáng của đường với các hệ số có trong công thức của hàm số, phương trình. Mời các bạn xem cách thực hiện trong flash dưới đây.

Tải về flash tại: mediafire.com

Dựng hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 24 Mar 2013 22:44:00 +0700

Flash dưới đây ghi lại các thao tác dựng hình chóp có đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với đáy.

Tải về flash tại: mediafire.com

Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tìm tham số m

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Fri, 22 Feb 2013 20:09:00 +0700

Đây là một tài liệu hay về ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Tác giả đã viết rõ ràng, chi tiết và sắp xếp các ví dụ từ dễ đến khó. Vì thế tài liệu này rất phù hợp cho việc tự học của học sinh. Chúc các em học sinh thu hoạch được nhiều tri thức sau khi đọc kỹ phương pháp và thực hành giải bài tập kèm theo trong tài liệu.

(Sưu tầm từ kinhhoa.violet.vn)

Chuyên đề tích phân

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Wed, 20 Feb 2013 22:04:00 +0700

Thầy Nguyễn Minh Hiếu trường THPT Phan Đình Phùng, Đồng Hới, Quảng Bình đã biên soạn chuyên đề tích phân rất rõ ràng và chi tiết. Trân trọng giới thiệu đến các học sinh một tài liệu bổ ích. Chúc các em học tốt.

Sưu tầm từ mathvn.com

Tải về tại: mediafire.com

Chức năng trình diễn (Presentation) trong GSP

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 10 Feb 2013 23:44:00 +0700

Để có một mô hình hình học sinh động, ngoài việc sử dụng thành thạo các chức năng: Show, Hide, Move, Animated thì bạn cũng nên biết một chức năng dùng để điều khiển các chức năng vừa kể, đó là Presentation. Presentation cho phép ta điều khiển các hành động thực hiện cùng một lúc hoặc theo một thứ tự mà ta mong muốn. Nhờ tính linh động đó, người giáo viên có thể sáng tạo ra nhiều mô hình hữu ích.

Để rõ hơn, mời các bạn cùng xem chi tiết trong flash dưới đây.

Tải về flash tại: mediafire.com

Sự kỳ diệu của Toán học

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sat, 2 Feb 2013 22:13:00 +0700

Bạn không cần giải các bài toán, cũng không nhất thiết phải là một nhà toán học để có thể khám phá sự kỳ diệu của toán học. Quyển sách này là một bộ sưu tập các ý tưởng ít nhiều có liên quan đến các khái niệm toán. Nó không phải là một cuốn sách giáo khoa, không đòi hỏi bạn phải giỏi toán và cũng sẽ không làm bạn phải tốn nhiều công sức để hiểu được. Sự kỳ diệu của toán học tập trung viết về thế giới của những ý tưởng, những khám phá và các quy luật toán học trong cuộc sống của chúng ta, nó sẽ phần nào giúp các bạn tìm hiểu toán học ngay tại những nơi mà bạn ít ngờ tới nhất.

Rất nhiều người trong chúng ta nghĩ rằng toán là một môn học cứng nhắc và tẻ nhạt, không gì hơn ngoài sự đúng, sai. Trí tuệ của con người luôn không ngừng sáng tạo nên những ý tưởng và thế giới toán mới trở nên đầy quyến rũ, tồn tại độc lập với thế giới của chúng ta. Nhưng thật lạ kỳ, những ý tưởng này kết nối thật phù hợp với thế giới của chúng ta như một phép nhiệm mầu. Cách mà các vật thể từ không gian này có thể biến mất vào một không gian khác, một điểm mới luôn tồn tại giữa hai điểm bất kỳ; cách thực hiện các phép tính số, giải phương trình, vẽ đồ thị hàm số, ứng dụng của những vô cùng hay cách thành lập công thức,... tất cả dường như đều mang một tính chất thần kỳ.

Trích lời nói đầu của "Sự kỳ diệu của toán học".

Bạn có thể tải sách về đọc tại đây:mediafire.com

Tạo hiệu ứng nhấp nháy trong GSP

noreply@blogger.com (Hồng Phi) — Sun, 27 Jan 2013 23:57:00 +0700

Khi cho học sinh tương tác với mô hình GSP để tìm tòi kiến thức mới, chắc chắn sẽ có những đối tượng toán học trong mô hình mà người giáo viên muốn nhấn mạnh cho người học. Những lúc như vậy người giáo viên có thể tạo cho đối tượng toán học đó hiệu ứng nhấp nháy. Vậy bạn đã biết cách tạo hiệu ứng này trong GSP chưa? Nếu bạn đã biết cách Tô màu bằng tham số rồi thì việc tạo hiệu ứng nhấp nháy là đơn giản.

Để rõ hơn, mời các bạn cùng xem chi tiết trong flash dưới đây.

Tải về flash tại: mediafire.com