TOPOLOGIA I

Intersección de conjuntos compactos

2012-01-12T08:24:00.004+01:00

Ayer hicimos en clase el ejercicio que afirma que en un espacio Hausdorff, la intersección de dos subconjuntos compactos es también compacto. Si el espacio no es Hausdorff, el resultado no es cierto. Quiero dejar en esta entrada el ejemplo que pensamos.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología a derechas $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{[a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. El espacio $(\mathbb{R},\tau)$ no es Hausdorff. Consideramos $A=\{-1\}\cup (0,1)$ y $B=\{-2\}\cup (0,1)$. El conjunto A es compacto, pues si $\{[a_i,\infty);i\in I\}$ es un recubrimiento de $A$, alguno de estos abiertos debe contener al punto $x=-1$. Si $[a_{i_0},\infty)$ es dicho abierto, entonces $A\subset [a_{i_0},\infty)$. Del mismo modo, $B$ es compacto.

La intersección $A\cap B$ es $(0,1)$, pero este conjunto no es compacto ya que $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un recubrimiento por abiertos y no hay un subrecubrimiento finito: la unión de un subrecubrimiento finito de $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un conjunto de la forma $[1/m,\infty)$, que no contiene a $(0,1)$.

La clasificación de las letras

2011-12-30T20:10:00.000+01:00

Francisco Reyes me ha enviado la clasificación topológica de las letras del abecedario, en mayúscula, indicando cuáles son homeomorfas entre sí y cuáles no. Os dejo para que la repaséis.

*********************************

-La A no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
2 salvo dos, que tienen orden uno, y no existe otra letra con dichas
características.
-La B no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
1, al igual que la D y la O, pero no es homeomorfa a estas letras porque
haría falta 'pegar' y 'despegar' puntos para llevar una letra a la otra.
-La C es homeomorfa a la G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z. 'Deformando' o
cambiando de posición dichas letras, podemos formar unas letras a partir
de otras.
-La D es homeomorfa a la O. Todos los puntos de ambas son de orden 1, y
deformando ligeramente el lado vertical de la D hacia la izquierda, se
'obtiene' la O.
-La E es homeomorfa a la F. Ambas tienen un punto de orden 3 y el resto de
orden 2. Es fácil obtener la E a partir de la F.
-La H no es homeomorfa a ninguna otra letra, puesto que no existe otra
distina que tenga dos puntos de orden 3 y el resto de orden 2.
-La K es homeomorfa a la X. Ambas tienen un punto de orden 4 y el resto de
orden 2, y 'torciendo' los lados verticales de la K hacia la izquierda se
forma la X.
-La Ñ no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con todos
sus puntos de orden 3.
-La P no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La Q no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La R no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La T no es homeomorfa a ninguna otra letra. Tiene un punto de orden 3 y
el resto de orden 2, pero no es homeomorfa a la E y a la F porque habría
que 'pegar' y 'despegar' puntos.
-La Y no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con un punto
de orden 3 y el resto de orden 1.

Cabe destacar que la Q ha sido considerada con el 'rabito' sin
introducirse en el agujero de dentro, y la Z sin 'rabito' central.

********************

Por mi parte, creo que la Y es homeomorfa a la T

Orden de intersección

2011-12-28T19:39:00.003+01:00

En un espacio topológico $X$, un punto $p\in X$ se dice que tiene orden de intersección $n\in\mathbb{N}$ si $X-\{p\}$ tiene exactamente $n$ componentes conexas. Evidentemente, el orden de intersección es un invariante topológico. Ha sido justamente éste el que se ha usado para distinguir las letras. Pongo más ejemplos de ello.

La letra H no es homeomorfa a Y. Y esto es por que la letra H tiene dos puntos de orden 3. Si la letra Y fuera homeomorfa a H, tendría dos puntos de orden 3. Sin embargo sólo tiene uno.

En la letra H todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto dos, que tiene orden de intersección 3. En la letra Y todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto un punto que tiene orden 3.

Por último, la letra Y no es homeomorfa a la letra R. Ésta tiene sólo un punto de orden 3, pero tiene otros puntos de orden 1, es decir, al quitar el punto, el conjunto que queda es conexo.

¡ FELIZ NAVIDAD !... y conexión

2011-12-27T20:44:00.001+01:00

Siguiendo con la entrada anterior sobre 'letras', tomo la expresión ¡ FELIZ NAVIDAD ! y clasifico topológicamente cada uno de sus elementos. Primero, los signos de admiración ¡ y ! son homeomorfos entre sí, y no son homeomorfos a ninguna letra ya que las letras son conexas, pero los signos de admiración no: cada uno tiene dos componentes conexas.

Para el resto, la clasificación es:

Las letras L, I, Z, N y V son homeomorfas entre sí. Además, son homeomorfas a un intervalo abierto $(a,b)$.
Las letras F y E son homeomorfas entre sí.
La letra D no es homeomorfa a ninguna y es homeomorfa a $\mathbb{S}^1$.
Lo mismo pasa con la letra A.
La letra F tiene un punto que al quitarlo queda tres componentes conexas, cosa que no pasa ni para L, D y A.
La letra A tiene exactamente dos puntos que al quitarlos queda dos componentes conexas: esto no pasa a L (hay infinitos) ni a D, que no tiene ninguno.
La letra D no es homeomorfa a L, pues al quitarle un punto, queda conexo, y esto no sucede con la letra L.

Sobre letras

2011-12-26T20:10:00.002+01:00

Todos los años, al llegar al tema de conexión y explicar las componentes conexas, siempre hago referencia a un ejercicio que vi hace tiempo en un libro de topología en el que se distinguía topológicamente las letras del alfabeto. Concretamente, vamos a suponer las letras del alfabeto escritas en mayúsculas, es decir, A B C D E, etc. El problema es, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, distinguirlas topológicamente. Y usaremos conexión y componentes conexas.

En principio, y para simplificar las dificultades que se pueden prestar, supondré que cuanto una letra acaba en un trozo de segmento, el 'último' punto no está en la letra, es decir, considero ese extremo abierto. Por ejemplo, los dos extremos inferiores de la letra A no están incluidos en la letra.

Empiezo con la letra A y B. Ambas son conexas, pero no son homeomorfas. Supongo que hay un homeomorfismo f entre A y B. En la letra A, considero uno de los dos puntos de intersección entre el segmento vertical de la izquierda y el segmento horizontal. Llamo a ese punto $p$. Mediante el homeomorfismo f, dicho punto irá a alguno $f(p)$ de la letra B. Quito $p$ de $A$ y por tanto, $A-\{p\}$ es homeomorfo a $B-\{f(p)\}$. Sin embargo $A-\{p\}$ tiene dos componentes conexas, y si quito cualquier punto de la letra B, siempre queda conexo. Por tanto, llegamos a una contradicción, probando que A no es homeomorfo a B.

Del mismo modo, la letra E no es homeomorfa a la letra A. Para ello, tomamos el punto q y por tanto $E-\{q\}$ es homeomorfo a $A-\{f(q)\}$. En la letra A no hay puntos que al quitarlos quede tres componentes conexas. Esta contradicción prueba que A no es homeomorfa a E.

Y así podemos seguir con todas las letras del alfabeto.

Por ejemplo, las letras C, I, J y L son homeomorfas entre sí: son todas homeomorfas al intervalo $(0,1)$.

Sobre conos

2011-12-25T10:17:00.003+01:00

La conexión, como invariante topológico, nos sirve para distinguir espacios topológicos ¡aunque ambos sean conexos!

Un ejemplo es considerar el cono. Tomamos $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2\}$, que aparece en la siguiente figura.

Y tomamos el conjunto $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$, que es el auténtico cono de los helados.

Entonces, usando un argumento de conexión, $X$ no es homeomorfo a $Y$. Llamamos $p=(0,0,0)$, que pertenece a ambos conjuntos. Concretamente, si $f:X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo entre ellos, sea $f(p)=q$. Si restringimos $f$ al conjunto $X-\{p\}$ y su imagen, a saber, $Y-\{q\}$, queda un homemorfismo. Por tanto $X-\{p\}\cong Y-\{q\}$.

Sin embargo, $X-\{p\}$ no es conexo, concretamente, tiene dos componentes conexas:
$$X^+:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z>0\},$$
$$X^{-}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z<0\}.$$ Pero $Y-\{q\}$ es conexo. El conjunto $Y$ es homeomorfo $\mathbb{R}^2$ (usando la proyección $(x,y,z)\longmapsto (x,y)$). Por tanto, $Y-\{q\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ menos un punto, que es conexo (además es homeomorfo a un cilindro $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$).

Partición por conexos y componentes conexas

2011-12-22T19:37:00.001+01:00

Si dado un espacio topológico $X$ tenemos una partición $\{A_i;i\in I\}$ del mismo por conjuntos conexos, estos no tienen porqué ser las componentes conexas. El ejemplo más sencillo de esto es que en cualquier espacio topológico (sea o no conexo), la partición $\{\{x\};x\in X\}$ es una partición por conexos.

Tenemos un resultado de clase que nos dice que, si además los conjuntos $A_i$ son abiertos, entonces sí coinciden con las componentes conexas.

Con esta entrada lo que pregunto es por ejemplos de espacios topológicos de forma que la partición de las componentes conexas no esté formada por conjuntos abiertos. Y también, si es posible encontrar estos ejemplos como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual.

Un ejemplo que se me ocurre es el siguiente. En la topología de Sorgenfrey, los puntos son las componentes conexas. Sin embargo, el conjunto formado por un punto no es abierto.

Componentes conexas y topologías inducidas

2011-12-19T23:52:00.001+01:00

Con las componentes conexas podemos plantear varias preguntas relacionadas con las formas de construir espacios topológicos. Por ejemplo, se sabe que en un producto topológico $X\times Y$, la componente conexa de $(x,y)$ es
$C_x\times C_y'$.

¿Y con las topologías inducidas? Supongamos que $X$ es un espacio topológico, $A\subset X$ y $a\in A$. La pregunta es qué relación hay entre la componente conexa $C_a$ de $a$ en $X$ y la componente conexa de $a$ en $(A,\tau_{|A})$, $C_a^A$. Como $C_a^A$ es un conjunto conexo en $X$ que contiene a $a$, entonces $C_a^A\subset C_a$. Es natural preguntarse si $C_a^A=C_a\cap A$.

En $\mathbb{R}$ vemos ejemplos que esto no es cierto. Por ejemplo, si $A=(0,2)\cup (3,4)$ y tomamos $a=1$. Entonces
$C_a^A=(0,2)$ y $C_a=\mathbb{R}$. Por tanto, $C_a\cap A=A=(0,2)\cup (3,4)$.

Si $A$ es conexo, $C_a^A=A$ y $C_a\supset A$. Dejo aquí si es posible hacer un 'teorema' diciendo cuándo se tiene la igualdad $C_a^A=C_a\cap A$.

Separando mediante una función (II)

2011-12-18T19:35:00.004+01:00

Siguiendo con la entrada de ayer, es conveniente aclarar dos cosas.

Primero es que el hecho de poder 'separar' el conjunto en dos 'partes' no quiere decir que tenga exactamente dos componentes conexas, sino, como se dijo ayer, que el conjunto no es conexo, y por tanto, tiene al menos dos componentes conexas. Así por ejemplo, si $X$ es el conjunto de $\mathbb{R}^2$ dado por tres puntos, a saber, $X=\{(0,-2),(0,-1),(0,1)\}$, la recta $y=0$ separa el conjunto, es decir,
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
El conjunto $X\cap f^{-1}((-\infty,0))$ no es conexo, aunque sí lo es $X\cap f^{-1}((0,\infty))$. En verdad, los tres puntos constituyen las componentes conexas, es decir, hay tres.

La segunda observación es que un conjunto puede no ser conexo, y puede que no haya una función $f$ que pueda separar el mismo. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ no es conexo en $\mathbb{R}^2$, y yo al menos no soy capaz de encontrar una función continua que 'separe' el conjunto en dos trozos.

Finalmente, y enlazando con esto último, os dejo como ejercicio encontrar un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que tenga exactamente dos componentes conexas y no sea claro encontrar una función que separe el conjunto en dos trozos (en el ejemplo anterior, el conjunto tiene infinitas componentes conexas).

Separando mediante una función

2011-12-17T21:27:00.002+01:00

A veces, la prueba de que un conjunto de $\mathbb{R}^n$ no es conexo es conseguir "separarlo" de algún modo. Un ejemplo podría ser el siguiente. En $\mathbb{R}^2$, tomamos como conjunto $X=\{(x,y);y=1\}\cup \{(0,-1)\}$. Este conjunto no es conexo, pues
$$X=(X\cap\{(x,y);y<0\})\cup (X\cap \{(x,y);y>0\})$$
y cada uno de los dos conjuntos anteriores son abiertos de $X$ y no triviales. Por supuesto, es una partición de $X$ ya que $X$ no tiene puntos con $y=0$.

Se puede pensar que lo que se ha hecho con $X$ es probar que el plano $y=0$ lo separa. Definimos la función en $\mathbb{R}^2$ dada por $f(x,y)=0$, a cual es continua. El grafo de la función es el plano $P$ de ecuación $y=0$, el cual separa $X$ en el sentido que $X$ no corta el grafo, y hay puntos de $X$ con $f$ positiva y punto de $X$ con $f$ negativa. Por tanto, una partición por abiertos y no trivial de $X$ es
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
Igual que se ha hecho con $f(x,y)=0$, se puede considerar otras funciones para otros conjuntos. Por ejemplo, tomamos en $\mathbb{R}^3$ el conjunto $X=\{(0,0)\}\cup \{(x,y);y=2\}$. Este conjunto no es conexo porque la función $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ separa $X$ del siguiente modo:
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,1)))\cup (X\cap f^{-1}((1,\infty))).$$
O dicho con palabras, lo de dentro de la bola de radio 1 y lo de fuera de dicha bola.

La espada salomónica y el teorema del valor intermedio

2011-12-16T23:27:00.000+01:00

¿Es posible partir un bocadillo con el corte de un cuchillo en justamente dos partes iguales?

La respuesta es sí, y la demostración hace uso del teorema del valor intermedio. Cada vez que cortemos el bocadillo, tenemos dos trozos a ambos lado del corte. Si empezamos cortando, por ejemplo, de izquierda a derecha, tendríamos que al principio la parte de la izquierda es pequeña, y la de la derecha, grande. Conforme vamos haciendo los cortes más hacia la derecha, la cantidad a la izquierda se va haciendo mayor, y la de la derecha, más pequeña.

Supongamos que el bocadillo tiene longitud L, y peso P, y colocamos el bocadillo en el eje de abcisas, de forma que el extremo de la izquierda coincide con el origen.

La cantidad (peso) de bocadillo que hay a la izquierda del corte es una función continua de x (la variable del eje de abcisas). Sea f(x) la cantidad de bocadillo a la izquierda de x. Entonces f(0)=0 y f(L)=P. Por tanto, por el teorema del valor intermedio, existe un T tal que f(T)=P/2.

El teorema nos dice que dicho punto existe, aunque no nos dice dónde.

Sobre homeomorfismos

2011-11-23T22:42:00.000+01:00

Un comentario de la entrada anterior motiva ésta. Cuando se dice que un conjunto es abierto (o cerrado), está diciendo 'Un conjunto $A\subset X$ es abierto en el espacio topológico $(X,\tau)$ si...', es decir, un conjunto es abierto en.

El intervalo $(0,1)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$. Por otro lado:

El intervalo $(0,1)$ es abierto en $\mathbb{R}$ y no es cerrado.
El conjunto $\mathbb{R}$ es abierto y cerrado en $\mathbb{R}$.
El conjunto $\mathbb{R}\times\{0\}$, es decir, el eje de abcisas, es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$ y no es abierto.

Creo que estos ejemplos aclaran un poco la cuestión planteada al principio. Y por supuesto, no tiene nada que ver con el hecho de ser o no ser homeomorfos a....

Distinguir intervalos

2011-11-20T11:34:00.002+01:00

¿Hay alguna forma de distinguir topológicamente el intervalo $[0,1)$ y $(0,1)$, con la topología usual, y que no sea usando un argumento de conexión?

Casi un homeomorfismo (II)

2011-11-17T14:41:00.002+01:00

Este post está motivado por el comentario de Daniel en la anterior entrada.

Otro ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua pero no es homeomorfismo es el siguiente ejemplo 'simple'. Sea $X$ un conjunto con dos topologías distintas $\tau_1$ y $\tau_2$ tal que $\tau_1\subset\tau_2$. Consideramos la aplicación identidad:
$$1_X:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1).$$
Esta aplicación es biyectiva y continua porque $\tau_1$ es menos fina que $\tau_2$. Sin embargo, la aplicación no es un homeomorfismo pues entonces se tendría $\tau_1=\tau_2$.

Casi un homeomorfismo

2011-11-16T22:17:00.003+01:00

Pongo un ejemplo de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua, pero no es homeomorfismo. Para ello tomo $X=[0,2\pi)$ e $Y=S^1$. Tomamos la aplicación $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$. Esta aplicación es continua y es biyectiva.

Sin embargo, la inversa de $f$ no es continua. Para ello, tomamos una sucesión de puntos $\{x_n\}\subset S^1$ que se aproxima a $(1,0)$ por debajo, es decir, puntos que pertenecen al cuarto cuadrante. Entonces la sucesión $\{f^{-1}(x_n)\}$ no es convergente: en verdad converge en $[0,2\pi]$, pero no en nuestro espacio topológico $X$. Debería de haber convergido a $x=0$, pues $f^{-1}((1,0))=0$.

Propongo que dejéis más ejemplos.

La continuidad es una cuestión local

2011-11-15T08:14:00.002+01:00

Decir que la continuidad es una 'cuestión local' significa que para estudiar la continuidad en un punto, basta con estudiar la función 'alrededor' de dicho punto. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación entre dos espacios topológicos y $x\in X$, entonces son equivalentes:

1. $f$ es continua en $x$.
2. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que $f:(U,\tau_{|U})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.
3. Existe un abierto $O\in\tau$ con $x\in O$ tal que $f:(O,\tau_{|O})\rightarrow (Y,\tau')$ es continua en $x$.

O dicho de otro modo, 'alrededor de $x$' quiere decir, en un 'entorno de $x$'. De entre los muchos ejemplos que se pueden poner sobre esta cuestión, propongo el siguiente.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ del punto incluido para $p=0$ y $f:(\mathbb{R},\tau)\rightarrow
(\mathbb{R},\tau)$ la aplicación dada por $f(x)=x+2$. Esta aplicación no es continua en ningún punto. Sin embargo, si tomamos $x=1$, y $V=(0,2)$, con $x\in V$, la aplicación $f:((0,2),\tau_{|V})\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es continua en todo punto, en particular, en $x=1$.

Distinguir topologías

2011-11-14T12:29:00.000+01:00

Sabemos que los invariantes topológicos sirven para clasificar espacios topológicos, concretamente, para saber que dos espacios no son homeomorfos. Voy a tomar dos espacios con los que trabajamos habitualmente. En $\mathbb{R}$ tomamos la topología $\tau_1$ que tiene por base los abiertos de la forma $[a,\infty)$ y $\tau_2$ la que tiene por base los intervalos $(a,\infty)$. Lo que propongo es encontrar el mayor número de invariantes topológicos que distinga un espacio de otro.

De primeras, se me ocurre el siguiente invariante: "tener cada punto una base de entornos con un único elemento". Es evidente que el primer espacio lo satisface tomando $\beta_x^1=\{[x,\infty)\}$ pero no el segundo, pues en tal caso, si $\beta^2_x=\{V\}$ es una base de entornos, sabemos que existe $a\in\mathbb{R}$ tal que $x\in (a,\infty)\subset V$. En particular, $a < x$. Pero $(a,\infty)$ también es un entorno de $x$, luego $V\subset (a,\infty)$. Esto probaría que $V=(a,\infty)$. Si tomamos ahora $b$ tal que $a < b < x$, entonces $(b,\infty)$ es un entorno de $x$, pero es claro que $V\not\subset (b,\infty)$. ¿Hay más invariantes topológicos que prueben que estos espacios no son homeomorfos?

"Pasando de epsilons": la continuidad de f(x)=x^2

2011-11-08T17:26:00.001+01:00

La aplicación $f(x)=x^2$ es continua vista de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau_u$. Si uno hace la demostración como se le ha enseñado en la asignatura de Cálculo, tendría que probar que es continua en cada punto $x_0\in \mathbb{R}$. Para ello, dado $\epsilon>0$, habría que encontrar un $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|x^2-x_0^2|<\epsilon$. ¿Cuál es el valor de $\delta$?

"Pasando" de epsilons y deltas, veamos ahora el problema como un ejercicio de la asignatura de "Topología I", probando que es continua en $\mathbb{R}$. Para ello es suficiente probar que, dada una base de $\mathbb{R}$ (espacio codominio) la imagen inversa mediante $f$ de cada elemento de la base es un abierto en $\mathbb{R}$ (espacio dominio). Tomamos $\beta=\{(a,b);a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Entonces $$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} \emptyset&\mbox{si $b\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{si $a\leq 0$}\\ (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup (\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{si $0 < a $} \end{array}\right.$$
Por tanto, $f^{-1}((a,b))$ es abierto de $(\mathbb{r},\tau_u)$.

Actualización del blog y de la página web

2011-11-04T11:51:00.002+01:00

Acabo de actualizar el blog en el sentido que he añadido los nuevos materiales docentes de este curso. Concretamente, el resumen teórico de los contenidos de la asignatura que entregué al principio del curso, las relaciones de ejercicios de los temas, así como los exámenes.

También podéis ver esto en mi página web, en el siguiente enlace:

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia11-12/topologia11-12.htm

Interior en la topología relativa

2011-11-02T08:21:00.001+01:00

Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y $B\subset A\subset X$. Es conocida la propiedad que relaciona la adherencia $\overline{B}$ de $B$ en $X$ con la adherencia $\overline{B}^{A}$ de $B$ en $(A,\tau_{|A})$: $\overline{B}^A=\overline{B}\cap A$. En esta entrada nos preguntamos qué sucede con la 'correspondente' propiedad con el interior, es decir, si hay alguna relación entre $int(B)$ e $int(B)^A$.

Lo que se le ocurre a uno es que se tendría $int(B)^A=int(B)\cap A$. Veamos un ejemplo. Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología usual, $A=\{0\}\cup[1,2]$ y $B=\{0\}$. Entonces $B$ es un abierto en $(A,\tau_{|A})$ y por tanto, $int(B)^A=B$. Sin embargo $int(B)=\emptyset$. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
$$int(B)\cap A\subset int(B)^A.$$
Efectivamente, si $x\in int(B)\cap A$, entonces existe un entorno $U$ de $x$ en $X$ tal que $U\subset B$. En particular, $U\cap A\subset B\cap A=B$. Ya que $U\cap A$ es un entorno de $x$ en la topología relativa $\tau_{|A}$ y como $x\in A$, entonces $x\in int(B)^A$.

El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.

Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.

Interior, adherencia y grafos de funciones

2011-10-25T23:55:00.004+02:00

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una aplicación y $A=\{(x,f(x));x\in\mathbb{R}\}$ la gráfica de $f$.

Se sabe que $int(A)=\emptyset$. Para esto no hace falta que $f$ sea continua. Sin embargo, $\overline{A}=A$ si $f$ es continua, y no es cierta la igualdad en general si la aplicación no es continua. El ejemplo es considerar la función $f$ dada por $\sin(1/x)$ si $x\not=0$ y $f(0)=0$. Entonces $A\not\subset \overline{A}$.

Consideramos ahora $A=\{(x,y);y>f(x), x\in\mathbb{R}\}$. Es conocido que si $f$ es continua, entonces $int(A)=A$. El ejercicio que propongo es buscar una función $f$ de forma que el conjunto $int(A)$ no sea $A$.

Continuando con el juego

2011-10-24T09:47:00.000+02:00

Seguimos con este juego de interior y frontera. Sabemos que dado un espacio espacio topológico $(X,\tau)$ y $A\subset X$ entonces $X$ es unión disjunta de $int(A)$, $Fr(A)$ y $ext(A)$. La cuestión que propongo en esta entrada es qué sucede si uno hace interior de $A$, luego la frontera de lo que ha dado, luego su exterior, luego el interior de este conjunto, y así sucesivamente. Por ejemplo, ¿llega un momento en que el conjunto resultante es siempre el mismo?

He empezado por interior, pero podíamos comenzar con la frontera, etc.

Por ejemplo, en la topología usual de R, $A=(0,1)$, su interior es $A$; la frontera de éste es $\{0,1\}$, el exterior de éste es $R-\{0,1\}$, el interior de este conjunto es de nuevo $R-\{0,1\}$; la frontera de éste es ahora $\{0,1\}$, su exterior, $R-\{0,1\}$. Por tanto, en este caso concreto, tenemos un sucesión oscilante.

Siguiendo con el mismo espacio topológico, si $A=\{0\}$, entonces su interior es el vacío; la frontera del vacío es vacío; el exterior es $R$; el interior de éste es $R$; la frontera, el vacío. De nuevo tenemos una sucesión oscilante.

¿Sucede lo mismo con cualquier conjunto y en cualquier espacio topológico?

Continuando con la frontera

2011-10-23T17:07:00.004+02:00

De nuevo esta entrada tiene que ver con la frontera de un conjunto y con una propiedad que tiene el interior y la adherencia de un conjunto. Se sabe que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset B\subset X$ entonces $int(A)\subset int(B)$. La pregunta que propongo es si es cierto la propiedad análoga para la frontera, es decir, si $Fr(A)\subset Fr(B)$.

Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.

Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si $A=(0,1)$ y $B=[0,1]$. Entonces $Fr(A)=Fr(B)$, luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos $A$ por $A=\{0,1\}$.

Frontera de frontera

2011-10-22T10:31:00.003+02:00

Es conocido que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset X$ entonces $int(int(A))=int(A)$ y que $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$. Dicho con otras palabras, si $f:{\cal P}(X)\rightarrow {\cal P}(X)$ es la aplicación $f(A)=int(A)$, entonces $f\circ f=f$, es decir, $f$ es idempotente. Y lo mismo para la adherencia.

La pregunta que me hago es si pasa lo mismo para la 'frontera'. Por ejemplo, ¿$Fr(Fr(A))=Fr(A)$?

Si la respuesta es que no, ¿hasta dónde podríamos llegar?, quiero decir, cuántas veces podemos hacer 'frontera de' hasta que nos quede siempre el mismo conjunto (si fuera posible).

Relacionado con lo anterior, pregunto si es posible que exista un espacio topológico y un conjunto $A\subset X$ de forma que cada vez que haga la frontera salga conjuntos diferentes. Concretamente, la pregunta es si existe un conjunto $A\subset X$ tal que si llamo $A_1=A$ y $A_{n+1}=Fr(A_n)$, los conjuntos $A_n$ son todos distintos.

También, si existen conjuntos $A$ tales que la sucesión $\{A_n\}$ haga cosas 'raras', por ejemplo, que sea oscilante, es decir, que a partir de un cierto lugar, $A_{n}=A_{n+2}$.

Pocos comentarios en el blog

2011-10-21T09:04:00.000+02:00

Esta entrada es para hacer un comentario sobre los comentarios que se realizan en el blog. Al paso del tiempo, y excepto en pequeñas temporadas donde comentar en el blog significaba nota de clase, observo que apenas hay comentarios y participación en el blog.

También sé que el número de visitas al blog es relativamente alto para el tipo de blog que es (¡sobre topología en los estudios de Matemáticas!). Por ejemplo, las visitas semanales en este último mes rondan las 600. Además, se deduce de las estadísticas que aporta Google Analytics, que la mayor parte de esas visitas no son de estudiantes de 'Granada' sino de muchos y variados lugares, por ejemplo, de Hispanoamérica.

Sin embargo esto no repercute en esa participación y pienso que, por parte de los estudiantes, el blog se transforma en un 'amontonar apuntes', lo cual no está mal, pero pienso que un blog es algo más que 'leer y acumular'.