Vivendo entre Símbolos

Juros Compostos: Olhar Matemático x Olhar Financeiro

2018-01-17T22:59:00.002-03:00

Quando se faz uma aplicação, em capitalização composta, o aplicador talvez esteja interessado em saber apenas quanto terá em sua conta no futuro, ou seja, qual será o montante do seu dinheiro. Para isso usa-se o raciocínio matemático.

Se além de seu interesse em saber quanto terá em sua conta no futuro, o aplicador tem também interesse em saber quanto dos seus juros totais são juros simples e quantos são juros compostos, usa-se o raciocínio financeiro.

Este artigo é um trabalho feito pelo professor Sebá sobre o conteúdo de Juros Compostos analisado sobre dois pontos de vista distintos, o matemático e o financeiro, com base em situações problemas para tornar sua explicação mais agradável e simples de ser compreendida. Desejo a você uma ótima leitura.

Juros compostos do ponto de vista matemático

Suponha que uma pessoa aplique, no regime de capitalização composta, $R\$10.000,00$ à taxa de $10\%$ a.m. (ao mês). Quais seriam os valores dos juros compostos do $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses gerados por essa aplicação? A seguir apresento a resolução para este problema.

DADOS:
\begin{matrix}
C & = & R\$10.000,00 \\
i & = & 10\% \quad a.m\\
t & = & 3 \\
M & = & montante? \\
\end{matrix}
Lembre-se que:
\begin{matrix}
i & = & 10\% \quad a.m \\
i & = & \frac{10}{100} \quad a.m\\
i & = & 0,1 \quad a.m. \\
\end{matrix}
Com isso podemos montar uma tabela para mostrar o valor do montante no fim de cada mês:

Pode-se observar, na tabela acima, que o juros do primeiro período foi incorporado ao capital inicial constituindo um montante de $ \displaystyle R\$11.000,00$. Já no segundo período temos um montante de $ \displaystyle R\$11.000,00 $ rendendo juros de $ \displaystyle R\$10.000,00 \text{(capital inicial)} + R\$1.000,00 \text{(juros do primeiro período)}$, ou seja, não somente os $ R\$10.000,00 $ estão rendendo juros, mas também os $ \displaystyle R\$1.000,00 $.

No raciocínio matemático não houve realmente juros sobre juros, mas sim, juros sobre o montante de $ \displaystyle R\$11.000,00 $, ou seja, $ \displaystyle \text{capital} (R\$10.000,00) + \text{juros} (R\$1.000,00) $.

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, como:

Lembrando que para o tempo "$t$" temos a fórmula $ \displaystyle M = C(1 + i)^{t} $, então:

DADOS:
\begin{matrix}
C & = & R\$10.000,00 \\
i & = & 10\% \quad a.m\\
t & = & 3 \\
M & = & montante? \\
\end{matrix}
E lembrando ainda que:
\begin{matrix}
i & = & 10\% \quad a.m \\
i & = & \frac{10}{100} \quad a.m\\
i & = & 0,1 \quad a.m. \\
\end{matrix}

Temos a seguinte solução:

\begin{matrix}
M & = & C(1+i)^{t} \\
M & = & 10000(1+0,1)^{3} \\
M & = & R\$13.310,00 \\
\end{matrix}

Como os juros são dados por $\displaystyle J=M – C$, logo, os juros produzidos foram:
\begin{matrix}
J & = & M - C \\
J & = & R\$13.310,00 \ – R\$10.000,00 \\
J & = & R\$3.310,00 \\
\end{matrix}
Aviso do autor Romirys Cavalcante
Se você quiser conhecer mais sobre o significado de alguns termos financeiros como juros, montante, capital, tempo, entre outros, que estão sendo apresentados neste artigo, recomendo a leitura do artigo "Introdução a Matemática Financeira" disponível no link abaixo. Nesse artigo você aprenderá sobre todos os termos mais utilizados no mundo financeiro de maneira bem simples por meio de vários exemplos práticos.

Introdução à Matemática Financeira

Juros compostos do ponto de vista financeiro

Para termos uma melhor compreensão da natureza da capitalização composta, podemos desdobrar os $ \displaystyle R\$12.100,00 $, do $ \displaystyle 2^{o} $ mês, em $ \displaystyle 3 $ componentes:

1) $ \displaystyle R\$10.000,00 $ que é o principal;

2) juros sobre os $ \displaystyle R\$10.000,00 $ sendo $R\$1.000,00 $ no $ \displaystyle 1^{o} $ mês e outros $ \displaystyle R\$1.000,00 $ no $ \displaystyle 2^{o} $. Os juros sobre o principal são chamados de juros simples ($ \displaystyle R\$2.000,00 $ em nosso exemplo);

3) existem $ \displaystyle R\$100,00 $ de juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ mês, ou seja, $ \displaystyle R\$1.000,00 \cdot 0,10 = R\$100,00 $. Os juros obtidos sobre os juros já ganhos (juros sobre juros) são chamados juros compostos.

O total de juros obtidos ($ \displaystyle R\$2.100,00 $) é a soma dos juros simples ($ \displaystyle R\$2.000,00 $) mais os ($ \displaystyle R\$100,00$) obtidos dos juros compostos. É importante ressaltar que os juros simples somados com os juros compostos são chamados de capitalização composta.

Como o montante no $ \displaystyle 2^{o} $ mês foi de $ \displaystyle R\$12.100,00 $, logo, o montante do $ \displaystyle 3^{o} $ mês será dado por:

\begin{matrix}
M & = & R\$10.000,00 \text{(Principal)} \\
& + & R\$2.100,00 \text{(Juros)} \\
& + & R\$10.000 \cdot 0,10 = R\$1.000,00 \text{(Juros simples)} \\
& + & R\$2.100,00 \cdot 0,10 = R\$210,00 \text{(Juros compostos)} \\
M & = & R\$13.310,00 \\
\end{matrix}
Falando em termos práticos, o aplicador não se interessa em saber quanto de seus juros totais ($ \displaystyle R\$2.210,00 $) são juros simples e quantos são juros compostos. O que interessa ao aplicador é saber quanto terá em sua conta no futuro, ou seja, o valor futuro (montante, valor final) do seu dinheiro.

Conclusão

Pelo raciocínio matemático, os juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, respectivamente, $ \displaystyle R\$2.100,00 $ e $ \displaystyle R\$3.310,00 $, não são resultantes de juros sobre juros e sim, de juros sobre os montantes dos meses anteriores, $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, portanto, não são juros sobre juros, ou seja, não são juros compostos.

Por outro lado, pelo raciocínio financeiro, os juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, respectivamente, $ \displaystyle R\$100,00 $ e $ \displaystyle R\$210,00 $, são resultantes de juros sobre juros, portanto, são juros compostos.

Quem é o professor Sebá?

Este é um artigo criado pelo professor Sebastião Vieira do Nascimento, conhecido por todos como professor Sebá. Ele é graduado em Economia pela UFPB – Universidade Federal da Paraíba e Mestre em Engenharia de Produção também pela UFPB. É professor titular aposentado da UFCG – Universidade Federal de Campina Grande – PB.

Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matemática Financeira, Engenharia Econômica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as áreas em que atuou e sobre Teoria dos Números. Desde sua aposentadoria até hoje, ele já publicou sete livros pela Editora Ciência Moderna.

O que achou deste artigo? Deixe seu questionamento ou pensamento no campo de comentários aqui do site. Será um prazer conversar com você sobre o tema abordado neste artigo.

Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

Método de completar quadrados: processo prático

2018-01-11T18:16:00.001-03:00

Já pensou ser capaz de determinar as raízes de uma equação do segundo sem utilizar a famosa fórmula de Bhaskara? Sim, isso é possível e, por sinal, é bem mais fácil de ser feito do que você pode imaginar. Ficou curioso ou curiosa para saber como esse método funciona? Se a resposta for sim, recomendo que continue lendo o artigo de hoje aqui no Vivendo entre Símbolos. Desejo a você uma ótima leitura.

Você sabia?

Antes de começar a explicar como esse método de completar quadrados funciona gostaria de lhe contar uma curiosidade. Você sabia que a fórmula de Bhaskara não é de Bhaskara? Pode parecer loucura, mas essa é a mais pura verdade. O fato é que, na realidade, a fórmula de Bhaskara foi desenvolvida pelo matemático Al-Khwarizm e na época era conhecida como método de completar quadrados. Ele é conhecido como o avô da informática e pai da álgebra. Não é de se estranhar que o termo álgebra derive do seu nome. Se você quiser conhecer, um pouco mais, sobre a vida e as contribuições de Al-Khwarizm recomendo a leitura dos dois artigos a seguir:

A vida de Al-Khwarizm (InfoEscola) Biografia de Al-Khwarizm (Iqara Islam)
O que Bhaskara fez foi sistematizar esse processo por meio da utilização de letras o que acabou gerando uma fórmula padrão que, mais tarde, ficou conhecida como a fórmula de Bhaskara. Provavelmente ele entendia mais de marketing do que Al-Khwarizm, pois acabou ficando com toda a fama (risos).

O método de completar quadrados

Esse método pode ser compreendido por meio de dois processos. O primeiro é conhecido como processo prático e envolve mais a parte algébrica. Já o segundo é conhecido como processo geométrico onde utilizamos figuras geométricas para sua compreensão.

Neste artigo irei abordar o processo prático desse método apresentando suas principais características, mas você também pode aprender o método de completar quadrados pelo processo geométrico aqui no Vivendo entre Símbolos.

Entendendo o processo prático desse método

Para explicar como funciona esse método iremos utilizar a seguinte equação do segundo grau:
$$ { 2x }^{ 2 }+16x+14=0 $$ Agora vamos seguir alguns passos para facilitar a compreensão desse método.

1º passo:

Vamos analisar o coeficiente que está multiplicando o termo $x^{2}$ da nossa equação.

Se esse coeficiente for diferente de $1$ dividiremos ambos os lados da equação por ele mesmo;
Se esse coeficiente for igual a $1$ não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e podemos prosseguir para passo número $2$.

No nosso exemplo o coeficiente que está multiplicando o termo $x^{2}$ é igual a $2$ então devemos dividir os dois lados da equação por este número, veja:
$$ \frac { { 2x }^{ 2 }+16x+14 }{ 2 } =\frac { 0 }{ 2 } $$Resultando em:
$$ { x }^{ 2 }+8x+7 =0 $$

2º passo:

O segundo passo consiste em adicionar, a ambos os lados da equação, o quadrado da metade do coeficiente que está multiplicando o termo "$x$" da nossa equação. O coeficiente que está multiplicando o termo "$x$" da nossa equação é igual a $8$.

Lembre-se: Para determinar o quadrado da metade de um número basta que você divida esse número por $2$ e depois eleve seu resultado ao quadrado.

Então para determinarmos o quadrado da metade de $8$ basta dividi-lo por "$2$" e depois elevar o resultado ao quadrado. Vamos realizar as seguintes operações, veja:
$$ \frac { 8 }{ 2 } =4 $$ Depois elevamos esse resultado ao quadrado obtendo:
$$ 4^{2} =16 $$

Acabamos de descobrir que o quadrado da metade de $8$ é igual a $16$, então iremos adicionar este número a ambos os lados da nossa equação de acordo com o que foi solicitado no segundo passo. Veja como nossa equação vai ficar: $$ { x }^{ 2 }+8x+7+16=0+16 $$ A ideia aqui é não somar os valores $7$ e $16$, pois nossa intenção é completar um quadrado no primeiro membro de nossa equação, logo vamos "passar" o $7$ para o segundo membro e deixar os demais termos, que sobraram, no primeiro membro.
$$ { x }^{ 2 }+8x+7+16=16\\ { x }^{ 2 }+8x+16=16-7\\ { x }^{ 2 }+8x+16=9 $$

3º passo:

Agora é que chegamos na parte mais interessante desse método. Quando adicionamos o quadrado da metade do coeficiente que estava multiplicando o termo "$x$" a ambos os membros da nossa equação transformamos o seu primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito.

De modo bem simples, um trinômio quadrado perfeito é o resultado do desenvolvimento da seguinte operação:
$$ { \left( p+q \right) }^{ 2 }={ p }^{ 2 }+2pq+{ q }^{ 2 } $$ Para saber mais sobre o que é um trinômio e um trinômio quadrado perfeito leia o artigo a seguir:
Trinômio Quadrado Perfeito - Brasil Escola Perceba que o termo que está no primeiro membro pode ser reescrito da seguinte maneira:

$$ { x }^{ 2 }+8x+16 \leftrightarrow { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 } $$ Que ainda pode ser reescrito como:
$$ { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 }\leftrightarrow { \left( x+4 \right) }^{ 2 } $$

Substituindo essa nova informação na nossa equação temos que:
$$ { x }^{ 2 }+8x+16=9\\ { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 }=9\\ { \left( x+4 \right) }^{ 2 }=9\\ x+4=\pm \sqrt { 9 } \\ x+4=\pm 3 $$ Considerando o valor positivo temos:
$$ x+4=3\\ x=3-4\\ x=-1 $$ Considerando o valor negativo temos:
$$ x+4=-3\\ x=-3-4\\ x=-7 $$
Com isso, chegamos a conclusão de que as raízes da equação $ { 2x }^{ 2 }+16x+14=0 $ são $x_{1}= -1$ e $x_{2}= -7$.

Determinamos as raízes da nossa equação sem utilizarmos a famosa fórmula de Bhaskara. Esse método pode ser aplicado a toda equação do 2° grau do tipo: $$ a{ \cdot x }^{ 2 }+b\cdot x+c=0 $$

Com $ a\neq 0 $ e $ b,c\in \Re $

Vamos praticar mais um pouco?

Acredito que apenas um exemplo não seja suficiente para tirar todas as dúvidas a respeito desse conteúdo, então irei resolver outro exemplo para você compreender melhor o método da completação de quadrados.

Na equação a seguir tanto o coeficiente que multiplica o termo $x^{2}$ como o coeficiente que multiplica o termo $x$ são ímpares para enfatizar que esses coeficientes não precisam ser, obrigatoriamente, pares para dar certo.

Exemplo 2:

Vamos utilizar a seguinte equação: $$ 3{ x }^{ 2 }-17x+20=0 $$ Vamos realizar os mesmos passos que foram ensinados no primeiro exemplo.

1º passo:

Como o coeficiente que multiplica o termo $x^{2}$ é diferente de $1$ temos que dividir os dois membros da equação por ele mesmo, ou seja, vamos dividir ambos os membros por $3$.
$$ \frac { { 3x }^{ 2 }-17x+20 }{ 3 } =\frac { 0 }{ 3 } $$
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } =0 $$

2°passo:

Agora devemos adicionar, a ambos os membros dessa equação, o quadrado da metade do coeficiente que questão multiplicando o coeficiente $x$. O coeficiente que está multiplicando o termo $x$ é $ -\frac { 17 }{ 3 } $, logo, a metade desse valor será:
$$ \frac { -\frac { 17 }{ 3 } }{ 2 } =\frac { -\frac { 17 }{ 3 } }{ \frac { 2 }{ 1 } } =\frac { -17 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { -17 }{ 6 } $$
Agora elevamos esse valor ao quadrado:
$$ { \left( \frac { -17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } $$
Agora adicionamos esse valor a ambos os termos de nossa equação, veja:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } =0\\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =0+\frac { 289 }{ 36 } \\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } +\frac { 20 }{ 3 } =\frac { 289 }{ 36 } $$
Lembre-se que não devemos somar os valores $ \frac { 289 }{ 36 } $ e $ \frac { 20 }{ 3 } $, pois queremos criar um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro de nossa equação, ou seja, queremos completar seu quadrado. Por isso devemos passar o valor $ \frac { 20 }{ 3 } $ para o segundo membro de nossa equação, não esquecendo de mudar o sinal:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } +\frac { 20 }{ 3 } =\frac { 289 }{ 36 } \\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } $$

3º passo:

Note agora que o primeiro membro da nossa equação é um trinômio quadrado perfeito que pode ser reescrito da seguinte maneira:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } \leftrightarrow { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 } $$
Que ainda pode ser reescrito como:
$$ { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }\leftrightarrow { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 } $$
Logo substituindo essa informação na nossa equação temos:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } $$
Agora temos que nos preocupar com o segundo membro da nossa equação, pois temos que subtrair as duas frações. Para isso temos que deixá-las com o mesmo denominador, logo vamos fazer o seguinte, iremos multiplicar a fração $ \frac { 20 }{ 3 } $ por $12$ tanto no numerado como no seu denominador, veja:
$$ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20\cdot 12 }{ 3\cdot 12 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 240 }{ 36 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 289-240 }{ 36 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 49 }{ 36 } \\ $$
Agora basta "passar" o expoente $2$ do primeiro membro em forma de raiz quadrada para o segundo membro da nossa equação e continuar com a resolução, veja:
$$ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 } \right) }^{ 2 }=\frac { 49 }{ 36 } \\ x-\frac { 17 }{ 6 } =\pm \sqrt { \frac { 49 }{ 36 } } \\ x-\frac { 17 }{ 6 } =\pm \frac { 7 }{ 6 } $$
Considerando o valor positivo temos:
$$ x-\frac { 17 }{ 6 } =+\frac { 7 }{ 6 } \\ x=+\frac { 7 }{ 6 } +\frac { 17 }{ 6 } \\ x=+\frac { 24 }{ 6 } \\ x=+4 $$
Considerando o valor negativo temos:
$$ \\ x=-\frac { 7 }{ 6 } +\frac { 17 }{ 6 } \\ x=\frac { -7+17 }{ 6 } \\ x=\frac { +10 }{ 6 } \\ x=+\frac { 5 }{ 3 } $$
Logo, chegamos a conclusão de que as raízes da equação $ 3{ x }^{ 2 }-17x+20=0 $ são iguais a $x_{1}= +4$ e $x_{2}= +\frac { 5 }{ 3 } $

Espero poder ter esclarecido suas dúvidas sobre o assunto de completação de quadrados. É sempre um grande prazer poder contribuir com seu aprendizado. Mas e aí, o que achou desse método tão bacana para resolver equações do segundo grau sem utilizar a fórmula de Bhaskara? Deixe sua opinião nos comentários desse artigo e compartilhe com seus amigos que gostariam de aprender esse conteúdo.

Um grande abraço e até a nossa próxima aula.

Aniversário de 6 anos do Vivendo entre Símbolos + Desafio

2018-01-05T13:09:00.000-03:00

Hoje, dia 5 janeiro de 2018, completamos 6 anos de existência na web. É sempre muito bom poder comemorar essa data com as pessoas que fazem parte desse projeto, você leitor(a). Para alguns isso pode parecer algo desnecessário, mas para quem conhece a realidade de ser um blogueiro profissional entende como isso é importante para manter a autoestima e motivação para continuarmos com nossos projetos. Neste artigo irei compartilhar com você um pouco do que foi o ano de 2017 aqui no Vivendo entre Símbolos e nossas metas para o ano de 2018 que está só começando. Desejo a você uma ótima leitura!

Para quem acompanha meus artigos aqui no Vivendo entre Símbolos sabe que sempre que comemoramos um aniversário faço questão de lembrar como é difícil criar e manter um site, principalmente de matemática, ativo na web por tanto tempo. Muitas são as pessoas que criam blogs, mas desistem em menos de um ano de existência por não conseguir atingir os objetivos que havia planejado naquele momento.

Uma dica de quem tem blog a 6 anos "rsrsrs":

Não desista do seu projeto só porque ele não deu certo no primeiro ou nos primeiros anos. O sucesso, muitas vezes, só vem depois de muito trabalho duro e persistência, ainda mais quando o assunto é ter um blog de sucesso.

Acredito que tenho obtido um grande sucesso com meu blog nos últimos anos uma vez que vários indicadores de desempenho me apresentam isso. Nos primeiros anos do blog a média de visitas não passava de 100 a 200 pessoas por dia, mas depois que investi em um template pago e graças a grande ajuda do meu amigo Edigley Alexandre consegui fazer com que a média passasse para 10.000 a 15.000 visitas diárias em média.

Atualmente o site conta com mais de 4.823.190 visualizações ao longo desses 6 anos e esse número vem aumentando exponencialmente a cada minuto. Possuímos mais de 6.300 assinantes em nosso Feed de notícias da Google. Em nossa página oficial no Facebook já somos mais de 4.300 seguidores. No Google Plus (em minha conta pessoal) na coleção Matemática/Educação, relacionada ao site, já somos mais de 3.700 seguidores. Ao todo somos mais de 14.300 pessoas engajadas com o site a fim de estar por dentro do trabalho divulgado aqui no Vivendo entre Símbolos. Isso, sem dúvidas, me deixa muito feliz e empolgado.

Um pouco sobre 2017

O ano de 2017 foi bem agitado na minha vida profissional. Nesse ano acabei mudando para uma Escola de educação profissional e tive que me readaptar a nova realidade que iria presenciar. Mais dedicação seria esperado de mim naquele novo ambiente de trabalho e isso fez com que a frequência de publicações aqui no site diminuísse drasticamente, embora isso não seja desculpa, uma vez que eu poderia muito bem ter me organizado mais para continuar com meus artigos.

De certa maneira, sinto-me culpado por não ter correspondido às expectativas de muitos leitores no ano de 2017. Como eu mesmo disse, no início deste artigo, é muito difícil manter um site atualizado por tanto tempo ainda mais quando se trata de um site de matemática.

O interessante disso tudo é que, mesmo não tendo publicado tantos artigos no ano de 2017, percebi que a média de acessos estava se mantendo crescente com algumas leves alterações decorrentes de datas comemorativas e feriados que já eram esperadas. E isso me fez perceber que esse site ainda é fonte de referência para os estudos de muitas pessoas e que eu não poderia desistir dele.

Eu quero fazer com que a matemática seja vista com bons olhos pelas pessoas do mundo inteiro, esse é o meu maior sonho para com esse projeto e é por esse motivo que eu não vou desistir de alcançar esse sonho com a sua ajuda e de todos os demais leitores e amigos que conquistei ao longo do tempo.

Metas para 2018

É sempre bom traçar metas no início do ano para que possamos nos motivar a continuar com nossos projetos e fazê-los crescer. É por esse motivo que decidi traçar algumas metas, bem ousadas por sinal, para esse ano de 2018. A seguir irei apresentar cada uma dessas metas para que você possa ficar por dentro de tudo.

# Curso de Cálculo Diferencial e Integral

A primeira meta é continuar com o nosso Curso de Cálculo para aqueles leitores que estão no nível superior e estão precisando "enfrentar" essa disciplina tão fascinante. Atualmente nosso curso conta com apenas 8 aulas publicadas, porém percebi que esse material pode ser melhorado. A ideia é refazer as aulas já publicadas com o intuito de melhorar seu conteúdo e proporcionar um melhor entendimento dos assuntos apresentados.

Além de proporcionar material escrito irei preparar vídeo-aulas para o curso e divulgá-las gratuitamente em nosso canal no YouTube. Também irei disponibilizar listas de atividade para download com direito a correção em vídeo. Sempre que possível irei disponibilizar simulados para testar os conhecimentos adquiridos ao longo do curso, pelos leitores, possibilitando uma maior interação deles com o conteúdo do curso e, consequentemente, proporcionando um maior aprendizado.

# Minicursos no YouTube

Ao longo do ano irei disponibilizar minicursos no YouTube sobre os principais conteúdos de matemática que são cobrados pelo ENEM e demais vestibulares. A ideia é poder disponibilizar material gratuito suficiente para que você possa ter a melhor preparação possível para enfrentar o ENEM e demais vestibulares com mais confiança na área da matemática.

# Curso de Raciocínio Lógico

Neste ano de 2018 irei lançar o curso de Raciocínio Lógico para Concursos Públicos. Esse curso vai contar com aulas elaboradas por escrito e divulgadas em versões PDF para download, com vídeo aulas no YouTube e simulados para colocar em prática o conhecimento adquirido ao longo do curso. Vale lembrar que esse curso será inteiramente gratuito para qualquer leitor(a) do Vivendo entre Símbolos.

# Preparação para o ENA 2019 (ProfMat)

O Mestrado Profissional em Matemática é uma opção muito boa para professores da área da matemática que desejam realizar um mestrado sem ter a necessidade de apresentar um projeto logo no início para ser aprovado. Para ingressar nesse mestrado é necessário que o candidato seja aprovado na prova de seleção do mestrado chamada de Exame Nacional de Admissão (ENA). Neste ano irei disponibilizar materiais em PDF para download e em vídeo para aqueles que querem se preparar para o ENA 2019 de maneira inteiramente gratuita.

# Preparação para o SPAECE

Essa é uma meta bem mais específica, uma vez que o SPAECE é uma prova de larga escala aplicada somente no estado do Ceará. Esse projeto visa ajudar professores e alunos, do meu querido Estado, a se preparem, da melhor maneira possível, para essa prova que acontecerá por volta do mês de novembro nesse ano de 2018.

Vou oferecer um Curso para o SPAECE no YouTube, além de disponibilizar listas de exercícios e material para download sobre o exame. Também vou compartilhar gratuitamente meu primeiro E-book (ainda em fase de construção) sobre o SPAECE contendo todos os principais conteúdos e informações para se dar bem nesse exame.

# Manter as redes sociais mais atualizadas

Minha última meta será a de manter as redes sociais do site mais atualizadas para que você possa ser notificado de todas as nossas novidades sempre que publicarmos algo novo. São inúmeras redes sociais disponíveis pela internet, porém irei focar apenas nas principais, que são:

- Facebook
- Google Plus (página pessoal)
- Twitter (página pessoal)
- Instagram
- YouTube (Novidade!)

Lembre-se de seguir nossas redes sociais para ficar por dentro de todas as nossas atualizações e novidades.

Agradecimentos

Como já é de costume, não poderia deixar de agradecer as pessoas que fazem com que eu continue com o projeto Vivendo entre Símbolos atualizado. O carinho e a gratidão que os leitores desse site demonstram em seus comentários é sem explicação e isso me motiva a continuar cada vez mais. Obrigado por fazer parte dessa história aqui no Vivendo entre Símbolos. Saiba que tudo o que eu faço aqui no site é pensando no seu aprendizado e é feito com a maior dedicação e carinho possível.

Gostaria de agradecer também aos amigos que fiz ao longo do tempo com esse projeto e que até hoje estão presentes em minha vida me apoiando e dando dicas que me motivam a continuar. Os amigos Charles Bastos, Edigley Alexandre e Kleber Kilhian, são mais do que especiais para mim. Obrigado por todo o apoio, vocês são demais.

Topa um desafio?

Se você chegou até este ponto desta publicação é sinal que realmente está motivado a "devorar" todo o conteúdo que o site Vivendo entre Símbolos está disposto a compartilhar com você. Como forma de gratidão e com o objetivo de sempre fazer o melhor pelos nossos leitores, gostaria de propor um desafio a você.

Esse desafio é divido em dois passos:

1° passo: Eu te desafio a deixar nos cometários desta publicação 3 metas, que você idealizou, para 2018. Se você for um estudante faça metas relacionadas aos seus estudos ou a sua vida pessoal por exemplo, se você for um blogueiro deixo como dica fazer metas relacionadas ao seu site ou blog. As metas devem fazer com que você cresça pessoal/profissionalmente.

2° passo: Você deverá retornar neste artigo no final do ano para dizer quais metas conseguiu realizar durante o ano respondendo ao seu próprio comentário. Acredito que esse desafio fará com que você realize coisas fantásticas nesse ano que se inicia. E aí, topa o desafio?

Desejo um feliz 2018 a você e toda a sua família além de muito sucesso em seus estudos.

TOP 6: Assuntos mais quentes de Matemática para o ENEM + BÔNUS

2017-11-09T10:40:00.000-03:00

Faltam poucos dias para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) onde cerca de 6 milhões de candidatos deverão participar, de acordo com o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), que é o órgão responsável pela realização do ENEM.

Irei compartilhar com você, neste artigo de hoje, os possíveis temas que poderão cair na prova de Matemática do ENEM de 2017. Lembre-se que ainda dá tempo para aprender uma ou outra coisa para ganhar mais algumas questões de matemática nesse exame tão concorrido e importante.

1º lugar: Análise de gráficos e tabelas

Não é mistério para quem faz o exame que praticamente, em todas as edições, caem questões para interpretação de gráficos e tabelas. É por esse motivo que eu indico esse tema como primeira opção para aqueles alunos que precisam estudar alguns conteúdos de última hora para o ENEM. Lembre-se que o tema análise de gráficos e tabelas envolve basicamente os conteúdos:

- Média, Moda e Mediana

- Desvio Padrão (regularidade)

- Porcentagem

2° lugar: Conjuntos numéricos

Esse é um tema bem abrangente que envolve assuntos que são relativamente bem mais simples, ou seja, a grande maioria das questões fáceis do ENEM estão presentes dentro desse tema. Dentre os principais conteúdos que eu poderia indicar para você estudar sobre conjuntos numéricos, posso citar:

- Operações Básicas

- Proporção

- Regra de Três

- Escalas

- Conversão de Unidades de Medidas

3° lugar: Geometria espacial

Esse é outro tema bem frequente nas edições passadas do ENEM e que não é tão complicado para ser aprendido nesse últimos dias antes da prova de matemática. Os principais assuntos que eu posso indicar para você estudar sobre esse tema são:

- Área lateral e superficial do Cilindro, Cone, Pirâmides, Cubo e Paralelepípedo.

- Volume do Cilindro, Cone, Pirâmides, Cubo e Paralelepípedo.

- Planificações desses sólidos mencionados

4° lugar: Geometria Plana

O tema geometria plana é outro tema bem tranquilo para ser estudado faltando alguns dias para a prova de matemática do ENEM. Dentre os principais assuntos que eu poderia recomendar para você estudar sobre esse tema eu indico:

- Teorema de Pitágoras

- Área do Retângulo, Quadrado, Triângulo Equilátero, Losango e Hexaedro Regular.

- Perímetro do Retângulo, Quadrado, Triângulo Equilátero, Losango e Hexaedro Regular.

5° lugar: Probabilidade e Análise Combinatória

De acordo com a análise que fiz das provas de matemática do ENEM de 2009 a 2016 é muito frequente cair, em média, de duas a cinco questões envolvendo probabilidade e combinatória nesse exame. Os principais assuntos que eu poderia citar para você estudar de última hora são:

- Anagramas

- Permutação Simples

- Arranjo Simples

- Combinação Simples

- Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

- Princípio Aditivo da Contagem (PAC)

Obs: Para revisar esse conteúdo de Análise Combinatória recomendo que você assista ao ótimo aulão do professor Rafael Procópio no YouTube em seu canal do Matemática Rio. Abaixo eu deixo o link para você assistir a essa aula gratuita.

- Revisão ENEM 2017 ANÁLISE COMBINATÓRIA (PFC, Permutação, Arranjo e Combinação) + Dicas de Física

6° lugar: Funções

Por fim eu gostaria de destacar o tema de funções que também é bem frequente no ENEM. Dentre os principais assuntos que você pode estudar para a prova destaco:

- Função do 1° grau ou Função Afim (análise de seu gráfico e sua estrutura básica)

- Função do 2° grau ou Função Quadrática (análise de seu gráfico e sua estrutura básica)

- Função Exponencial (análise do seu gráfico e sua estrutura básica)

- Função Logarítmica (análise de seu gráfico e sua estrutura básica)

Obs: Para revisar esse conteúdo de função recomendo que você assista ao ótimo aulão do professor Rafael Procópio no YouTube em seu canal do Matemática Rio. Abaixo eu deixo o link para você assistir a essa aula gratuita.

- Revisão ENEM 2017 FUNÇÕES (Afim, Quadrática, Exponencial e Logarítmica) + Dicas de Química

Infográfico de Matemática ENEM 2017

Abaixo você pode conferir um infográfico que criamos para resumir nosso top 6. Fique a vontade para baixá-lo e compartilhar com seus amigos que estão se preparando para a prova de matemática do ENEM.

Bônus de Estudos

Para você que conseguiu chegar até o fim dessa publicação deixo como bônus algumas "listas de reprodução" dos melhores canais do YouTube no Brasil para estudar Matemática, Física, Química e Biologia nas vésperas da prova de Ciências da Natureza e Matemática do ENEM.

- Matemática Rio (Rafael Procópio)

- Física Total (Ivys Urquiza)

- Química em Ação (Paulo Valim)

- Biologia Total (Paulo Jubilut)

Conclusão

Você acrescentaria algum outro tema a essa lista que eu fiz neste artigo? Qual é a sua expectativa para a prova de Matemática do ENEM este ano? Será que eles vão aumentar o nível? Participe! Deixe um um comentário neste blog e ajude-nos a crescer.

Espero ter ajudado a nortear um pouco seus estudos nessa reta final para o segundo dia de provas do ENEM. Desejo a você todo o sucesso do mundo e espero que se garanta nessa prova de Matemática. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima.

ENEM 2009 - Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos

2017-09-06T21:46:00.000-03:00

ENEM 2009 - Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.

Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a:
A) 355 milhões.
B) 400 milhões.
C) 426 milhões.
D) 441 milhões.
E) 477 milhões.

Resolução passo a passo

Para visualizar a resolução dessa questão clique na imagem abaixo:

Caso o link na imagem não esteja funcionando acesse: ENEM 2009 - Questão 01.

Obrigado pela leitura, um grande abraço, bons estudos e até a próxima aula.

O uso da Geometria em questões Algébricas

2017-08-13T15:09:00.000-03:00

Talvez você não saiba, mas há muito tempo o pensamento matemático era mais voltado à Geometria, ou seja, à utilização de artifícios geométricos do que à utilização de artifícios algébricos. Neste artigo você irá conhecer toda a história por trás do uso das figuras geométricas em questões algébricas. Desejo a você uma ótima leitura!

O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais. A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a empregá-la, sempre que possível, na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos de Euclides se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

$$ { (a+b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2\cdot a\cdot b+{ b }^{ 2 }\\ (a+b)\cdot (a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }\\ 4\cdot a\cdot b+{ (a-b) }^{ 2 }={ (a+b) }^{ 2 } $$

Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações utilizando artifícios geométricos.

Por exemplo: O produto “$ a\cdot b $ ” era visto como o resultado da área de um retângulo de base “$a$” e altura “$b$”. Assim a identidade $ {(a+b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2\cdot a\cdot b+{ b }^{ 2 } $ era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:

E enunciada da seguinte maneira:

Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.

Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação. Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de vértices $ABDE$, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas $a^{2}$ e $b^{2}$ (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são os dois retângulos de área “$ a\cdot b $” (em verde).

Essa proposição (4) é uma representação da maneira como os problemas que envolviam álgebra eram concebidos e apresentados naquela época. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.

Sem dúvidas a utilização da Geometria em questões algébricas proporciona um melhor entendimento dos assuntos por que podemos "visualizar" assuntos, antes abstratos para os alunos. Você concorda com a utilização da Geometria para explicar alguns assuntos que antes eram explicados exclusivamente por meio de artifícios algébricos? O que você pensa sobre o impacto que esse tipo de aplicação pode causar nos alunos de hoje em dia? Será que para eles é mais fácil utilizar a Álgebra em detrimento da Geometria ou vice-versa ou será que a melhor saída ainda é trabalhar com as duas sempre que possível?

Obrigado pela leitura, um grande abraço, bons questionamentos e até a próxima.

Aniversário de 5 anos do blog Vivendo entre Símbolos

2017-01-17T20:45:00.000-03:00

No dia 5 janeiro de 2017 completamos 5 anos de existência na web. Mais uma vez estamos comemorando essa data tão importante para nosso site. Nesse curto período de tempo aprendemos muitas coisas, divulgamos muitos assuntos, criamos inúmeros conteúdos e conhecemos várias pessoas. Enfim, contribuímos, da melhor maneira possível, nesse pequeno período de tempo, para que você pudesse atingir o aprendizado em matemática desejado.

Para quem acompanha meus artigos aqui no Vivendo entre Símbolos sabe que toda vez que comemoramos um aniversário faço questão de mencionar como é difícil criar e manter um site de matemática na web por tanto tempo. Muitas são as pessoas que criam blogs e desistem em menos de um ano de existência, isso porque se dedicar a um blog e procurar criar artigos de qualidade neles não é uma tarefa fácil.

Felizmente tenho obtido muito êxito com os artigos publicados aqui no Vivendo entre Símbolos, desde os artigos do Curso de Cálculo a artigos mais gerais sobre assuntos diversos de matemática. Atualmente temos uma média de 10.000 a 15.000 acessos diariamente em nosso site. Isso nos dá uma média de 450.000 acessos mensais, ou seja, temos quase meio milhão de visitas em nosso humilde site todos os meses desde que atualizamos nosso template. Isso sem dúvidas me deixa muito feliz.

O carinho e a gratidão que os leitores desse site demonstram em seus comentários é sem explicação. Todos os dias recebo comentários e e-mail's de pessoas agradecendo por meus artigos que foram publicados e que, de alguma forma, contribuíram para seus aprendizados. Todos os dias pessoas se inscrevem em nosso Feed de Notícias para acompanhar novos artigos, tanto é que, em apenas um ano, aumentamos nosso número de assinantes em mais 2000, totalizando +5323 assinantes em nosso site atualmente.

Em nossa página do Facebook também temos muitas pessoas que apoiam nosso projeto e que participam diariamente seja curtindo, compartilhando, comentando ou, simplesmente, visualizando nossas publicações. Atualmente temos +4000 curtidas em nossa página oficial no Facebook. Esses números são o melhor pagamento que alguém poderia desejar ter em um site de matemática. É por esses motivos que estamos na web até hoje, firmes e fortes criando materiais de qualidade para que você tenha o melhor aprendizado possível.

Como é de costume eu não poderia deixar de agradecer as pessoas que fizeram com que tudo isso fosse possível atualmente, você leitor. A você que visita, sempre que pode, meus artigos desejo todo o sucesso do mundo e o meu muitíssimo obrigado. Gostaria de deixar um agradecimento especial para os parceiros, quer dizer, amigos mais próximos que conquistei ao longo desse tempo aqui no Vivendo entre Símbolos, que são Charles Bastos, Edigley Alexandre e Kleber Kilhian. Esses grandes blogueiros part-time são grandes amigos meus e já me ajudaram bastante, todos esses anos, a crescer com meu site e torná-lo o que ele é hoje.

Um feliz 2017 a todos vocês e muito sucesso em seus estudos.

Aula 8 - Limites laterais por meio dos gráficos de suas funções

2017-01-13T18:22:00.000-03:00

Estou dando início a aula 8 do nosso curso de cálculo aqui no Vivendo entre Símbolos. Hoje vamos analisar os limites laterais de uma função real por meio de seus gráficos. Para isso iremos utilizar o GeoGebra como ferramenta de apoio em nossos estudos.

Na aula passada vimos como os limites laterais ajudam na hora de determinarmos o limite de uma função real. Basicamente, trouxemos a ideia de unicidade do limite de uma função, ou seja, mostramos que uma função só possui limite se seus limites laterais forem iguais.

Hoje vamos trabalhar, basicamente, o mesmo assunto só que de uma maneira um pouco diferente, ou seja, vamos realizar essa análise dos limites laterais de uma função utilizando seus gráficos.

Observação: Para um(a) aluno(a) que está cursando cálculo em sua graduação, saber construir (ou plotar) gráficos de funções é um pré-requisito que espera-se que ele tenha aprendido em seu período de ensino médio. Caso você tenha dificuldades nesse assunto recomendo que estude um pouco sobre ele no canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie no YouTube.

Uma vez que você esteja familiarizado com a construção de gráficos de uma função iremos começar a nossa aula. Em cada caso, a seguir, iremos utilizar as representações dos gráficos, das funções em questão, construídas com o auxílio da ferramenta GeoGebra.

Exemplo 01: Vamos determinar o limite da função $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$. Perceba que vamos começar com uma função mais simples (função do 1° grau) para que possamos compreender claramente como devemos realizar a análise de seus limites por meio de seus gráficos.

Na medida em que avançarmos com os exemplos iremos aumentar o nível de dificuldade das funções analisadas.

Abaixo você pode conferir o gráfico da função $f(x)=2x+3$

Por se tratar de uma função do 1° grau temos uma reta como gráfico para essa função. Perceba que essa reta possui um ponto, marcado em azul, que iremos utilizar como base para nossas observações.

De acordo com esse gráfico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ a valores próximos de $2$, tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ (eixo das coordenadas) aproximam-se de $7$. Abaixo você pode ver isso com mais facilidade com auxílio das setas em azul.

Logo, podemos afirmar, com base no gráfico, que o limite da função $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$, pois seus limites laterais se aproximam desse valor, ou seja, são ambos iguais a $7$.

Algebricamente temos: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+3) } =7 $$Lê-se: o limite de $2x+3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$.

Percebeu como fica fácil de determinar o limite de uma função quando conhecemos o seu gráfico?

Exemplo 02: Vamos determinar o limite da função $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $ quando $x$ tende a $0$ (zero). Perceba, a princípio, que essa função não está definida para $x=0$, pois não podemos efetuar a divisão de alguma coisa por nada.

Porém, sabemos que o limite não se trata de saber o que acontece com a função no valor de $x$ que estamos analisando e sim o que acontece em suas extremidades, ou seja, nas laterais de $x$. Por isso uma função pode possuir um limite para um determinado valor $x$ mesmo que ela não esteja definida nesse ponto em seu domínio. Nunca se esqueça desse "pequeno" detalhe.

Abaixo você pode conferir o gráfico da função $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $.

Perceba que na origem do plano cartesiano colocamos uma "bolinha" em branco na hora de montarmos nosso gráfico. Isso quer dizer que essa função está definida para todos os demais pontos do eixo das abscissas (eixo horizontal) com exceção daquele ponto, ou seja, ele não faz parte do gráfico de $f(x)$.

Note que a medida em que aproximamos valores de $x$ próximos de zero, pela direita, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito positivo e a medida em que aproximamos valores de $x$ próximos de zero, pela esquerda, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito só que, dessa vez, negativo. Você pode conferir isso na imagem abaixo com auxílio das setas em azul.

Logo, podemos concluir, de acordo com a análise de seu gráfico, que essa função não possui limite, uma vez que seus limites laterais são diferentes.

Exemplo 03: Vamos determinar o limite da função $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } $ quando $x$ tende a $2$. Note que essa função também não está definida para $x=2$, pois ela gera uma indeterminação matemática, veja:
$$ f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(2)=\frac { 4-{ 2 }^{ 2 } }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 4-4 }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 0 }{ 0 } $$
Por esse motivo dizemos que a função $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x }$ não está definida para $x=2$.

Felizmente sabemos que o limite não se preocupa com o que acontece com a função exatamente no valor de $x$, mas sim o que acontece em suas extremidades. Sabemos também que, em alguns casos, podemos utilizar de alguns artifícios matemáticos para procurar "fugir" dessas indeterminações matemáticas.

Na maioria dos casos podemos utilizar o artifício da fatoração utilizando algumas propriedades matemáticas que já foram mencionadas e até comentadas nesse curso de cálculo em nossa aula 2.

Se analisarmos atentamente a função $f(x)$ perceberemos que seu denominador é um polinômio conhecido como diferença de dois quadrados e que pode ser reescrito como o produto da soma pela diferença, logo:
$$f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { 2^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { (2+x)\cdot (2-x) }{ 2-x } $$
Nesse momento podemos fazer o cancelamento do termo ($2-x$) do numerador com o termo ($2-x$) do denominador somente por que sabemos que $x\neq 2$, caso contrário esse cancelamento não poderia ser feito. Então ficamos com a seguinte expressão:
$$f'(x)=2+x$$
Logo podemos concluir que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2+x) } $$
Observação: É importante que você saiba que essas duas funções possuem, apenas, o mesmo limite, porém isso não quer dizer que elas sejam iguais, ou seja, a primeira função $f(x)$ não está definida para $x=2$ enquanto que a segunda, que tomamos o cuidado de identificar por $f'(x)$, está definida para $x=2$, por esse motivo não podemos dizer que são a mesma função. Nunca se esqueça disso.

De fato podemos perceber a veracidade dessa informação quando plotamos os gráficos de ambas essas funções no GeoGebra, veja:

Note que a primeira função (representada pela cor preta) tem o mesmo gráfico da segunda função (representada pela cor vermelha) ficando ambas uma em cima da outra. Lembre-se que a única diferença é que para a segunda função (representada pela cor vermelha) o valor de $x=2$ está bem definido.

Perceba que colocamos mais uma vez a "bolinha" branca para indicar que, para a primeira função (representada pela cor preta) o valor para $x=2$ não pertence a ela.

Agora que plotamos nosso gráfico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ de valores próximos de $2$ tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ aproximam-se, cada vez mais, de $4$.

Perceba isso com auxílio das setas em azul na imagem abaixo:

Com base nesse gráfico, podemos concluir que o limite da função $f(x)$ em questão é igual a $4$. Algebricamente temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } } =4 $$

Considerações finais

Essa foi uma aula bem simples sobre como podemos determinar os limites laterais de uma função por meio de seus gráficos com ajuda do GeoGebra. Estou procurando ser bem direto nas explicações e por esse motivo elas tendem a ser curtas e bem rápidas.

Na medida do possível pretendo manter a frequência de publicações das aulas desse curso gratuito de cálculo para ajudar o máximo de pessoas possível. Em breve iniciarei as vídeo aulas de cálculo em nosso canal no YouTube. Bons estudos, um grande abraço e até a próxima aula.

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Aula 7 - O que são Limites Laterais?

2016-12-20T20:28:00.000-03:00

Estou dando início a aula 7 do nosso curso de cálculo aqui no VS. Hoje vamos conhecer e compreender um pouco sobre o que são os limites laterais de uma função e como esse conhecimento pode ser útil na hora de determinarmos o limite de uma função.

Por que estudar limites laterais?

Você, muito provavelmente, deve ter se peguntado no início deste artigo por que precisa estudar e aprender sobre limites laterais ou em como isso vai lhe ajudar ao longo deste curso.

Para que possa perceber a importância desse assunto você deverá lembrar do conteúdo abordado em nossa aula 4 desse curso onde explanei sobre a unicidade do limite de uma função.

Durante essa aula expliquei, por meio de demonstrações básicas, que se uma função possui limites laterais iguais, então podemos afirmar que existe ($\exists $) um limite para ela, caso contrário, ou seja, se uma função possuir limites laterais distintos, então podemos afirmar que o limite da função em questão não existe ($\nexists $).

É nesse momento que vemos a importância desse assunto, pois é ele quem nos dirá se uma função possui ou não limite.

O que são limites laterais?

Quando analisamos o comportamento de uma função em um ponto específico, nos preocupamos em observar o que acontece com os valores de $f(x)$ quando $x$ se aproxima desse ponto tanto pela direita quanto pela esquerda.

É isso que chamamos de limites laterais, ou seja, os resultados para o limite de uma função $f(x)$ quando a variável $x$ se aproxima de um valor em suas extremidades.

Observação: Vale lembrar que nesta aula utilizaremos o domínio e o contradomínio de nossas funções dos Reais nos Reais, ou seja, $f\left( x \right) :\Re \rightarrow \Re $.

Vamos encontrar o limite da função a seguir por meio de seus limites laterais.

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+1) } $$

Lê-se: Limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$.

Vamos analisar o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, ou seja, para valores menores que $2$.

Para $x=1,2$ temos que $f(x)=3,4$

Para $x=1,9$ temos que $f(x)=4,8$

Para $x=1,99$ temos que $f(x)=4,98$

Para $x=1,999$ temos que $f(x)=4,998$

Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela esquerda para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela esquerda é igual a $5$.

Nota: Perceba que ao lado do $2$ existe um sinal de subtração, isso significa que estamos falando do limite lateral esquerdo dessa função. Lembre-se que quando estivermos trabalhando com limites laterais precisaremos utilizar o sinal de subtração ou adição para identificarmos os limites pela esquerda ou pela direita, respectivamente, da função.

Vamos analisar agora o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela direita, ou seja, para valores maiores que $2$.

Para $x=2,2$ temos que $f(x)=5,4$

Para $x=2,001$ temos que $f(x)=5,002$

Para $x=2,0001$ temos que $f(x)=5,0002$

Para $x=2,00001$ temos que $f(x)=5,00002$

Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela direita para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela direita é igual a $5$.

Nota: Perceba que dessa vez utilizamos o sinal de adição, ao lado do $2$ para identificarmos que estamos trabalhando com o limite lateral direito dessa função.

Uma vez que encontramos os dois limites laterais dessa função e identificamos que ambos os limites são iguais, podemos simplesmente dizer que:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }}{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $5$.

Vamos partir para um novo exemplo a fim de fundamentarmos esse conteúdo.

Seja
$$f\left( x \right) =\begin{cases} { x }^{ 2 }-4,\quad se\quad x>0 \\ 3-x,\quad se\quad x\le 0 \end{cases} $$
Determine:
$$ \lim _{ x\rightarrow {0}}{ f(x) }$$
Perceba que essa função possui duas condições, ou seja, devemos considerá-la como sendo ${ x }^{ 2 }-4$ quando $x>0$ e considerá-la como sendo $3-x$ quando $ x\le 0$.

Analisando o limite dessa função a direita de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela direita a função $f(x)$ irá se aproximar de $-4$, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =-4 $$

Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela direita é igual a $-4$.

Analisando o limite dessa função a esquerda de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela esquerda a função $f(x)$ irá se aproximar de $3$, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x) } =3 $$

Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela esquerda é igual a $3$.

Note que os limites laterais dessa função são diferentes, portanto podemos afirmar que essa função não possui limite quando $x$ tende a $0$ (zero), ou seja:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }}{ f(x) } = \nexists $$

Considerações Finais

Na aula de hoje aprendemos basicamente o que são limites laterais e para que servem. Na próxima aula iremos aprender a realizar essa análise de limites laterais de uma maneira bem mais prática e rápida utilizando os gráficos das funções que iremos trabalhar.

Para complementar essa aula de hoje deixo, ainda, como recomendação de estudo que assistam a seguinte aula: Limites através de gráficos de funções, do meu amigo Rafael Procopio do Canal Matemática Rio.

É fundamental que você pratique em casa como construir o gráfico de funções básicas como: funções do primeiro e segundo grau, funções modulares, funções exponenciais entre outras. Recomendo que assistam as aulas do canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie, lá você irá encontrar todas essas explicações sobre construção de gráficos de funções.

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Vivendo entre Símbolos: Novidades e Atualizações

2016-09-11T14:00:00.000-03:00

Na medida em que o tempo passa as coisas ao nosso redor mudam. Umas das coisas que mudaram bastante de uns tempos pra cá foi a maneira como as pessoas adquirem informação. Hoje em dia temos informação ilimitada na palma de nossas mãos graças a dispositivos como smartphones e tabletes combinada a uma ferramenta chamada internet.

A fim de manter-se atualizado com essas mudanças e com o objetivo de proporcionar a melhor transmissão de informação e conteúdo possível para você leitor, o site Vivendo entre Símbolos mudou e mudou para melhor.

O site Vivendo entre Símbolos já está na web há mais de 4 anos e nesse pequeno intervalo de tempo já passou por várias mudanças. Todas essas mudanças são necessárias para que possamos atingir o nosso principal objetivo, ou seja, transmitir informações e conteúdos com qualidade e praticidade para que você tenha a melhor experiência possível ao visitar nosso site de matemática. Veja o que há de novo no site Vivendo entre Símbolos.

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Aniversário de 4 anos do blog Vivendo entre Símbolos

2016-01-05T22:03:00.000-03:00

No dia 05 de janeiro de 2012, há exatos 4 anos atrás, tive a ideia de criar este blog de matemática. Nunca pensei que fosse permanecer e manter esse projeto por tanto tempo. Devo atribuir esse feito a todas as pessoas que visitam e participam deste site ao longo desses 4 anos e que me encorajam à manter esse projeto em andamento.

Se você tem um blog ou já teve um, alguma vez, sabe como é difícil mantê-lo por tanto tempo na web. Muitos são os motivos que podem fazer você abandonar um blog. Navegando pela web encontrei 8 razões pelas quais as pessoas abandonam seus sites no site Pinceladas da Web.

Para se ter uma pequena ideia de quantos blogs existem atualmente, em 2006, já existiam mais de 50 milhões de blogs no mundo. Desse número 2% eram de língua portuguesa, o que já representa um total de 1 milhão de blogs. Atualmente esse número é bem maior, mas infelizmente a taxa de "morte" desses sites é muito grande, por isso é bem provável que a grande maioria desses blogs que foram criados já não sejam mais atualizados ou não existam mais. Isso acontece por vários motivos. No site do Gerenciando Blog do grande ProBlogger Adelson Smania ele explica Por que os Blogs Morrem, recomendo a leitura.

Esse ano de 2016 promete ser um ano de muitas mudanças. Espero poder manter uma frequência melhor de publicações de artigos aqui no blog para não desapontar meus leitores. Pretendo voltar ainda este mês com as publicações sobre o Curso de Cálculo que estou criando aqui no blog e que tem rendido muitos comentários e muitos assinantes. Já são mais de 3.400 assinantes. Enfim, poderei dar início as vídeo aulas tão sonhadas para o blog e ainda estou vendo a possibilidade de dar uma repaginada no visual do site que está com esse formato a um certo tempo.

Não é minha intenção aqui tornar este artigo extenso. Meu intuito com esta publicação foi a de agradecer mais uma vez as pessoas que me ajudaram a ainda ajudam com o andamento desse site, em especial aos colegas Edigley Alexandre, Charles Bastos e Kleber Kilhian que, além de parceiros do blog Vivendo entre Símbolos, tornaram-se grandes amigos na web. Não posso esquecer de agradecer, também, a todas as pessoas que visitam e participam direta e indiretamente do blog seja elogiando ou seja criticando, sem vocês eu não teria chegado até aqui. Muito Obrigado!

Um feliz 2016 a todos e até breve!

Prof. Romirys Cavalcante

Avaliação de uma proposta de investimento por meio de sua Rentabilidade Real (RR) - Prof. Sebá

2015-07-27T16:37:00.000-03:00

Pretende-se mostrar neste trabalho, por meio de um exemplo numérico e sem usar o rigor matemático que é próprio dos massacradores de cérebros, as distorções nos resultados, quando se usa a taxa média de inflação dos períodos considerados, para calcular a taxa interna de retorno real (TIRR), ou seja, a RR do investimento, ao invés de se usar a taxa ocorrida em cada período.

Por uma proposta de investimento, segundo (FARO, $1990$), “entende-se a inversão de capital num determinado empreendimento, quer seja ele uma aplicação no mercado de capitais ou no projeto de uma fábrica, com a finalidade de obtenção de receitas.” E por rentabilidade real entende-se como sendo a TIRR do investimento, ou seja, a rentabilidade em moeda constante.

Como a taxa de inflação por período é variável com o tempo, o que é o caso comum, iremos analisar uma proposta de investimento hipotética. Caso algum investidor venha a se defrontar com um caso real no seu dia a dia, basta substituir os valores hipotéticos pelos valores reais, e aplicar a metodologia a seguir.

1.1 – Proposta de Investimento Constituída por um Único Recebimento

Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 10.000,00$ e obtenha no fim de dois meses o montante de $R\$ 13.800,00$. Sabendo-se que a inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, $3\%$ e $4\%$, pergunta-se: qual a RR do investimento?

1.1.1 – Usando a Inflação de cada Período

Se a inflação do 1º e 2º meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a inflação acumulada dos dois meses foi:

$$\left[ (1,03)\cdot (1,04)\quad –\quad 1 \right] \cdot 100=7,12\%$$

Deflacionando os $R\$ 13.800,00$, obtém-se:

$$ \frac { R$13.800,00 }{ 1,0712 } =R$12.882,75 $$

O diagrama de fluxos de caixa (DFC), em termos de poder de compra, ou seja, em moeda constante, é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:

$$ 1000=\frac { 12882,75 }{ { \left( 1+RR \right) }^{ 2 } } \\ RR=13,50\% $$

1.1.2 – Usando a Fórmula da Taxa Real

A fórmula que nos dá a taxa real de um investimento, é a seguinte:

$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1+{ i }_{ a } }{ 1+{ I }_{ M } } - 1 \right) \cdot 100 $$

Onde:

${ i }_{ r }$ = Taxa real do investimento

${ i }_{ a }$ = Taxa aparente do investimento

${ I }_{ M }$ = taxa média de inflação

A taxa aparente do investimento é a taxa interna de retorno, quando não se leva em consideração a taxa de inflação, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$ do $1º$ e $2º$ meses.

O DFC em moeda corrente é o seguinte:

Calculando a rentabilidade do investimento em moeda corrente, ou seja, a rentabilidade aparente, obtém-se:

$$ 1000=\frac { 13800 }{ { \left( 1+{ i }_{ a } \right) }^{ 2 } } \\ { i }_{ a }=17,47\% $$

Se a inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a taxa média de inflação (TMI) foi:

$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,03 \right) \cdot \left( 1,04 \right) } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=3,5\% $$

Substituindo os valores da ${ i }_{ a }$ e da TMI na fórmula da taxa real, obtém-se:

$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,1747 }{ 1,035 } -1 \right) \cdot 100=13,5\% $$

1.1.3 – Usando a Taxa Média de Inflação (TMI)

Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, a TMI como foi visto no item $1.1.2$, foi de $3,5\%$ a.m. Como os $R\$ 13.800,00$, do $2º$ mês, vão ser deflacionados com a taxa de inflação acumulada do $1º$ e $2º$ meses, e como a taxa de inflação acumulada é a mesma tanto usando a taxa média de inflação como a inflação de cada mês, então, a RR do investimento usando a TMI, também é a mesma, ou seja, $13,5\%$ a.m.

Conclusão

Se uma proposta de investimento for constituída de um único recebimento, é indiferente usar: ou a inflação de cada período, ou a taxa média de inflação ou a fórmula da taxa real, para se determinar a rentabilidade real de um investimento.

Será que se uma proposta de investimento for constituída por mais de um recebimento, chega-se à mesma conclusão? É o que veremos a seguir.

1.2 – Proposta de investimento Constituída por mais de um Recebimento

Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 1.000,00$, numa instituição financeira, por dois meses, e obtenha em cada mês $R\$ 800,00$. Se durante os dois meses a taxa de inflação foi de $4\%$ no $1º$ mês e de $5\%$ no $2º$, qual foi a RR do investimento, ou seja, a rentabilidade mensal do investimento em termos de poder de compra?

1.2.1 – Usando a Taxa Média de Inflação

Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, em regime de juros compostos, a taxa média de inflação é dada por:

$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=4,5\% \quad a.m.$$

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1º mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,045 } =R\$ 765,55 $$

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 2º mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,045 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } =R\$729,10 $$

O DFC em moeda constante é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:

$$ RR=31,85\%\quad a.m. $$

E caso a inflação de cada mês tivesse sido de $5\%$ e $4\%$ ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual seria, agora, a RR do investimento? Ora, seria a mesma; haja vista que a TMI não se alteraria.

Será que se chega à mesma conclusão fazendo a análise do investimento com a taxa de inflação de cada mês, ao invés de se usar a taxa média de inflação? É o que veremos a seguir.

1.2.2 – Usando a Inflação de Cada Mês

Como a taxa de inflação, no $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,04 } =R\$ 769,23 $$

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } =R\$ 732,60 $$

O DFC é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:

$$ RR = 32,30\%\quad a.m. $$

Nos item $1.2.1$ e $1.2.2$ as RR's “falam” por si, ou seja, a RR do investimento quando se usa a taxa de inflação por período é um pouco maior do que a RR do investimento quando se usa a taxa média de inflação. A RR do investimento cresce ainda mais, quando se usam as taxas de inflação por período, à medida que essas taxas se distanciam umas das outras.

1.2.3 – Mudando a Ordem de Ocorrência da Inflação

Suponha que no exemplo em estudo, a inflação tenha sido, no $1º$ e $2º$ meses, respectivamente, $5\%$ e $4\%$, ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual será, agora, a RR do investimento?

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1º mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,05 \right) \cdot \left( 1,04 \right) } =R\$ 732,60 $$

O DFC é o seguinte:

Calculando a RR, encontra-se:
$$ RR = 31,78\% \quad a.m. $$

1.2.4 – Usando a Fórmula da Taxa Real

Por ser correto o uso da fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento, quando esta é constituída de um único recebimento, isso induz, a um analista de investimento, a usar, incorretamente, a fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento com mais de um recebimento. É o que veremos a seguir.

O DFC, sem se levar em consideração a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses, é o seguinte:

Calculando a ${i}_{a}$, do DFC acima, encontra-se:
$${i}_{a} = 37,98\% \quad a.m. $$

A TMI, de acordo com o resultado obtido no item 1.2.1., é:
$$TMI = 4,5\%$$

Calculando a RR por meio da fórmula da taxa real, obtém-se:

$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,045 } -1 \right) \cdot 100=32,04\%\quad a.m.\quad \text{(Errado)} $$

Vejamos a seguir por que a RR de $32,04\% $ a.m. não é a correta.

Conforme os resultados obtidos nos itens $1.2.2$ e $1.2.3$, a RR do investimento é de $32,30\%$ a.m. para uma inflação de $4\%$ no $1º$ mês e $5\%$ no $2º$ ou $31,78\%$ a.m. para uma inflação de $5\%$ no $1º$ mês e $4\%$ no $2º$. Portanto, a RR correta é de $32,30\%$ a.m. ou $32,78\%$ a.m.; e não $32,04\%$ a.m.

Suponha que no exemplo apresentado, a taxa de inflação tivesse se mantido constante no $1º$ e $2º$ meses. Vamos supor $5\%$. Se a taxa de inflação fosse de $5\%$ no $1º$ e $2º$ meses, é claro que a taxa média de inflação seria também de $5\%$ a.m.

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês, obtém-se:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês, encontra-se:

$$ \frac { R\$ 800,00 }{ { \left( 1,05 \right) }^{ 2 } } =R\$ 725,62 $$

O DFC, em moeda constante, é o seguinte:

Calculando a RR do DFC acima, encontra-se:
$$ RR = 31,41\%\quad a.m. $$

Já que a ${i}_{a}$ do investimento foi de $37,98\%$ a.m., conforme resultado do item $1.2.4$, e a TMI foi de $5\%$ a.m., logo, a RR do investimento é dada por:

$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,05 } -1 \right) \cdot 100=31,41\%\quad a.m. $$

A RR do investimento, nos dois casos, foi de 31,41% a.m., o que nos assegura ser correto o novo processo de cálculo, da RR do investimento, usando a fórmula da taxa real.

Conclusão

Caso alguém aplique $R\$ 1.000,00$, hoje, em regime de juros compostos, durante dois meses, e obtenha em cada mês $R\$ 800,00$, se a inflação por hipótese for, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$ ou $5\%$ e $4\%$ no $1º$ e $2º$ meses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) será:

a) $17,46\%$, em ambos os casos, quando se considera a taxa média de inflação (Item $1.2.1$) ou a fórmula da taxa real (Item $1.2.4$);

b) $32,30\%$ a.m., quando se considera a inflação de $4\%$ e $5\%$ cada mês (Item $1.2.2$);

c) $31,78\%$ a.m., quando se muda a ordem de ocorrência da inflação de $4\%$ a.m. e $5\%$ a.m. para $5\%$ a.m. e $4\%$ a.m. para cada mês. (Item $1.2.3$).

Mesmo sendo igual a inflação acumulada, ou seja:
$$ (1,04)\cdot (1,05)–1=(1,05)\cdot (1,04)–1 $$
Nas duas hipóteses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) foi diferente:

- $32,30\%$ a.m. para uma inflação acumulada de:
$$(1,04)\cdot (1,05)–1$$
- $31,78\%$ a.m. para uma inflação acumulada de:
$$(1,05)\cdot (1,04)–1$$

Há ainda um fato marcante a se observar nas letras "b" e "c": a inflação sendo mais intensa no $1º$ mês e depois decrescendo no $2º$, conduz ao resultado de menor TIRR, letra "c"; e inversamente, quando a inflação começa em menor escala no $1º$ mês e depois crescendo no $2º$, letra "b". Já na letra "a", como a inflação média mensal é a mesma, esse fato não é percebível.

Portanto, é desaconselhável, totalmente, a utilização da taxa média de inflação e da fórmula da taxa real, nas tomadas de decisão sobre a rentabilidade real de uma proposta de investimento, quando ela é constituída por mais de um pagamento ou recebimento. O correto é usar a inflação de cada período, caso ela seja variável com o tempo. Se a inflação se mantiver constante, com o tempo, então, é indiferente usar: a taxa média de inflação, a fórmula da taxa real ou a inflação de cada período.

Importante

Este é um artigo criado por Sebastião Vieira do Nascimento, conhecido por todos como Sebá. Ele é graduado em Economia pela UFPB – Universidade Federal da Paraíba e mestre em Engenharia de Produção também pela UFPB. É professor titular aposentado da UFCG – Universidade Federal de Campina Grande – PB.

Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matemática Financeira, Engenharia Econômica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as áreas em que atuou e sobre Teoria dos Números. Desde sua aposentadoria até hoje, ele já publicou sete livros pela Editora Ciência Moderna.

Aula 6 - Exercícios envolvendo as Propriedades de Limites

2015-07-23T18:30:00.000-03:00

Estou dando início a aula 6 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos colocar em prática as propriedades de Limites que aprendemos na aula passada. Irei resolver uma série de exercícios de forma detalhada dando ênfase em quais propriedades estão sendo utilizadas em cada processo de resolução.

Em todos os casos abaixo calcule os limites das funções, caso existam, detalhando as propriedades utilizadas em cada processo de sua resolução.

Exercício 01:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } $$

Observe que este é um limite bem simples e que poderia, muito bem, ser resolvido apenas da seguinte maneira:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } =4\cdot 2+3=8+3=11 $$

Isso por que ao substituirmos o valor em que $x$ está tendendo não chegamos em nenhuma indeterminação matemática, porém como queremos entender como as propriedades dos limites podem ser aplicadas iremos resolver esse limite da seguinte maneira. Primeiro vamos aplicar a propriedade do limite da soma que diz que o limite da soma é igual a soma dos limites, logo chegamos a seguinte conclusão:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } $$

Agora se observarmos o primeiro termo dessa nova expressão podemos aplicar a propriedade do limite do produto, que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } =\left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 } \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x } \right) \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } $$

Agora podemos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo dessa expressão e podemos aplicar a propriedade $2$ da aula passada no segundo termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:

$$ \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 } \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x } \right) \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } =\left( 4\cdot 2 \right) +3=8+3=11 $$

Importante: Note que este tipo de resolução leva um pouco mais de tempo, porém nos mostra como podemos aplicar as propriedades dos limites em suas resoluções, no entanto, isso não quer dizer que você precise, necessariamente, resolver todos os seus limites dessa maneira, pois, como eu disse, isso é apenas para entendermos melhor suas propriedades. Fique ligado nisso!

Exercício 02:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right) } $$

Note que este é outro limite bem fácil de ser resolvido e que poderia ser solucionado apenas substituindo o valor que $x$ está tendendo na função, pois isso não geraria nenhuma indeterminação, porém, como queremos aplicar as propriedades dos limites, vamos, mais uma vez resolvê-lo de forma diferente e mais detalhada.

Esse limite é bem interessante por que pode ser resolvido de maneiras diferentes, utilizando propriedades diferentes, portanto irei mostrar duas maneiras de como poderíamos resolver esse limite. A primeira maneira é bem simples. Note que podemos aplicar a propriedade do limite da diferença, pois sabemos que o limite da diferença é igual a diferença dos limites, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right) } $$

Agora podemos aplicar em ambos os termos dessa expressão a propriedade do limite do produto que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } $$

Agora podemos aplicar a propriedade 8 da aula passada que diz que o limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x } \right) }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } $$

Por fim iremos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo da expressão e a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x } \right) }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } =6\cdot { 3 }^{ 2 }-4\cdot 3=6\cdot 9-12=54-12=42 $$

Essa foi uma das maneiras que poderíamos ter resolvido este limite usando suas propriedades. Outra maneira bem interessante seria a de primeiro colocarmos em evidência o $2x$ da função $f(x)=6{ x }^{ 2 }-4x$, logo teríamos então que calcular o limite da seguinte expressão:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right) \right] } $$

Com base nessa nova expressão poderíamos a princípio aplicar a propriedade 6 da aula passada que diz que o limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções, logo temos que:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right) \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right) } $$

Agora podemos aplicar no segundo termo dessa expressão a propriedade do limite da diferença que diz que o limite da diferença é igual a diferença dos limites, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] $$

Agora vamos aplicar a propriedade que diz que o limite do produto é igual produto dos limites no primeiro e segundo termo dessa expressão, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] $$

Por fim, vamos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro, terceiro e quinto termo dessa expressão e vamos aplicar a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] =2\cdot 3\cdot \left[ \left( 3\cdot 3 \right) -2 \right] =6\cdot 7=42 $$

Importante: Note que ambas as resoluções resultaram no mesmo limite, pois por mais que tenhamos utilizado métodos diferentes devemos sempre encontrar o mesmo resultado, já que não mexemos na função inicial a ponto de mudar o seu limite. Perceba que você pode utilizar artifícios matemáticos para mudar seus cálculos como o que fiz nessa resolução acima quando coloquei um termo em evidência da função. Existem casos em que fazer esse tipo de "jogada" minimiza e muito nossos cálculos. Fique ligado nisso!

Exercício 03:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x } \right) } $$

Observe que neste caso calcular o limite não é tão simples quanto pode parecer, pois se apenas substituirmos o valor que $x$ está tendendo na função chegaremos a uma indeterminação matemática, pois teremos zero dividido por zero, logo faz-se necessário que utilizemos outro artifício matemático para "fugir" dessa indeterminação que no caso será a fatoração.

Note que o numerador dessa função é um produto notável conhecido como diferença de dois quadrados, logo ele pode ser reescrito como o produto da soma pela sua diferença de acordo com a propriedade que foi apresentada na aula $2$ do nosso curso, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 } }{ x^{ 2 }-2x } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x^{ 2 }-2x } \right] } $$
Agora, se observarmos o denominador dessa função podemos perceber que o termo $x$ é o fator comum dessa expressão, logo podemos colocá-lo em evidência, então teremos a seguinte expressão resultante, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x^{ 2 }-2x } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x\cdot \left( x-2 \right) } \right] } $$
Como sabemos que $x$ se aproxima de $2$, mas nunca será igual a $2$, então podemos afirmar que "$x-2$" é diferente de zero, portanto podemos realizar a simplificação do "$x-2$" do numerador com o "$x-2$" do denominador, resultando na seguinte expressão:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x\cdot \left( x-2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) }{ x } \right] } $$
Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da função que fica no denominador, nesse exemplo, é diferente de zero, então podemos aplicar esta propriedade, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) }{ x } \right] } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } $$
Agora podemos aplicar no numerador a propriedade que diz que o limite da soma é igual a soma dos limites, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } $$
Para finalizar resolvemos os três limites dessa expressão conforme as propriedades do limite da constante e da propriedade que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } =\frac { 2+2 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } =2 $$
Importante: Perceba que por mais que essa função não esteja definida no ponto "$x=2$" ela possui limite quando se aproxima desse valor. Isso serve para enfatizar que uma função não precisa estar necessariamente definida no ponto onde estamos querendo calcular o seu limite. Note também que para sairmos de indeterminações matemáticas, nos limites, precisamos conhecer muito bem os conteúdos que envolvem fatoração de polinômios por isso é de fundamental importância que você estude bastante esses assuntos por meio de resoluções de exercícios e com o auxílio da aula $2$ do nosso curso onde mostramos várias dessas propriedades de fatoração.

Exercício 04:

Seja a função $f$ definida por:
$$ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } ,\quad se\quad x\neq 1 \\ 3,\quad se\quad x=1 \end{cases} $$
Calcule: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x) } $$

Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca será igual a $1$, portanto podemos concluir que a função que devemos utilizar para $f(x)$ deve ser a primeira, logo temos que calcular o seguinte limite:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } \right) } $$
Observe que se substituirmos o valor que $x$ está tendendo na função acima chegaremos em uma indeterminação de zero dividido por zero, logo temos que utilizar algum artifício matemático para tentarmos "fugir" novamente dessa indeterminação, ou seja, vamos ter que realizar uma fatoração.

Na aula 2 do nosso curso de cálculo ensinei como colocar uma equação do 2° grau na sua forma fatorada e disse que para fazer isso precisamos conhecer as raízes da nossa equação. Portanto o primeiro passo que devemos fazer é encontrar as raízes da equação do 2° grau que se encontra no numerador da nossa função.

Aviso: Calcular as raízes de uma equação do 2° grau é uma tarefa fácil para quem já está na faculdade estudando Cálculo I, portanto irei pular essa parte de nosso cálculo e ir direto para o próximo passo, uma vez que já sabemos que as raízes de nossa equação são: $1$ e $2$.

A forma fatorada de uma equação do 2° grau é a seguinte:
$$ a\cdot \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \cdot \left( x-{ x }_{ 2 } \right) $$
Onde ${ x }_{ 1 }$ e ${ x }_{ 2 }$ são as raízes da equação do 2° grau e $a$ é o termo que multiplica o $x^{2}$, logo:
$$ { x }^{ 2 }-3x+2=1\cdot \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) =\left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) $$
Substituindo essa informação na nossa função temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x-1 } \right] } $$
Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca será igual a $1$, portanto podemos afirmar que "$x-1$" é diferente de zero, logo podemos efetuar sua simplificação na expressão acima, então temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x-1 } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right) } $$
Aplicando a propriedade 4 da aula passada que diz que o limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right) } $$
Aplicando a propriedade do limite da constante no primeiro termo e a propriedade que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, no segundo termo, temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right) } =1-2=-1 $$
Importante: Observe que essa função estava bem definida para "$x=1$". De acordo com ela "$f(1) =3$", porém vimos que o limite dessa função quando $x$ se aproximava de $1$ foi igual a $-1$. Isso quer dizer que mesmo a função estando definida em um ponto não quer dizer que o limite dessa função será igual ao valor que essa função possui nesse ponto. Fique bem atento a essas observações!

Exercício 05:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 } \right) } $$
Observe que no limite acima se substituirmos o valor que $x$ está tendendo iremos chegar em uma indeterminação matemática, ou seja, uma divisão de zero por zero. Para fugirmos dessa indeterminação poderíamos utilizar novamente a fatoração, mas perceba que neste caso não podemos fatorar mais esta expressão, logo temos que buscar outro artifício matemático.

Uma saída para esse caso é multiplicarmos tanto o numerador como o denominador dessa expressão pelo conjugado do numerador. Se você não sabe o que é um conjugado recomendo que pesquise mais sobre isso pela internet para familiarizar-se com esse tema. De maneira bem simples eu poderia dizer que o conjugado é uma espécie de número oposto de um número composto, por exemplo, imagine que você tem o número "$a+b$" então o seu conjugado será o número "$a-b$".

Fique por dentro: Uma observação interessante é que quando multiplicamos um número composto por seu conjugado ele sempre gera o famoso produto notável conhecido como diferença de dois quadrados.

Com essas informações podemos chegar a conclusão de que o conjugado do número $\sqrt { 1+x } -2$ nada mais é do que o número $\sqrt { 1+x } +2 $, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 } \cdot \frac { \sqrt { 1+x } +2 }{ \sqrt { 1+x } +2 } \right) = } \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { { \left( \sqrt { 1+x } \right) }^{ 2 }-{ (2) }^{ 2 } }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$
Agora o que precisamos fazer é desenvolver essa expressão e simplificar o que for possível, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1+x-4 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$
Como $x$ se aproxima de $3$, mas nunca será igual a $3$, então, podemos afirmar que "$x-3$" é diferente de zero e, portanto, podemos realizar a simplificação desse termo na expressão acima, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$
Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da função que fica no denominador, nesse exemplo, é diferente de zero, então podemos aplicar esta propriedade, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } } $$
Vamos aplicar a propriedade 3 da aula passada no denominador que diz que o limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } \right) } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } } $$
Agora iremos aplicar as propriedades mais básicas dos limites que já vem sendo executadas desde o primeiro exemplo e que dessa vez deixarei de mencionar pelo simples fato de querer evitar que o artigo fique longo e repetitivo demais, então temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } \right) } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } } =\quad \frac { 1 }{ \sqrt { 1+3 } +2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } +2 } =\frac { 1 }{ 2+2 } =\frac { 1 }{ 4 } $$

Conclusão

Estamos chegando ao fim de mais uma aula do nosso curso. Embora tenham sido mostrados apenas cinco exercícios resolvidos nesta aula creio que abordei os principais assuntos em cada um deles. Lembre-se de por em prática essas propriedades resolvendo outros exercícios em casa. Caso queiram posso deixar mais tarde uma pequena lista com exercícios parecidos com estes para serem respondidos por vocês.

É complicado criar artigos de resoluções de exercícios pelo fato de ser difícil realizar a inserção das equações no editor do blogger devido a sua limitação, espero em breve, conseguir refazer essas aulas em formatos de vídeos para que eu possa responder mais exercícios e assim ajudar mais ainda com as dúvidas. Desde já agradeço pela presença nesta aula.

Deixem o feedback de vocês na área de comentários e digam se gostaram da aula e quais conteúdos gostariam de ver nas próximas aulas do curso. Sua participação é muito importante para o desenvolvimento deste curso.

Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

Referências bibliográficas:

[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; José Machado, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Noções de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2005.
[2] Régis Vieira Alves, Francisco. Cálculo I. Equipe de elaboração UAB/IFCE, Fortaleza, 2011.

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Introdução a Matemática Financeira

2015-06-21T14:35:00.000-03:00

Sabemos que, nos dias atuais, a Matemática Financeira se faz presente em nosso dia a dia nos mais variados lugares e nas mais diversas situações. Tal fato faz com que seja muito importante conhecer noções básicas sobre a Matemática Financeira para melhor compreendermos os mecanismos por trás das operações financeiras a nossa volta.

Problemas do dia a dia como o cálculo de prestações, pagamentos de contas de luz, água, telefone, cartão de crédito, internet, saber se é mais vantajoso pagar uma dívida a vista, resgatando a aplicação da poupança, ou continuar pagando as prestações e deixar o dinheiro aplicado no banco ou em um bem material, um terreno, por exemplo, são dúvidas que a Matemática Financeira nos ajuda a resolver diariamente.

A Matemática Financeira utiliza em quase $100 \% $ dos casos conceitos de porcentagem, portanto se você ainda não sabe muito bem o que é porcentagem ou como efetuar operações envolvendo esse conteúdo, recomendo que leia o artigo:

O que é Porcentagem?

Termos mais utilizados em Matemática Financeira

Como esse artigo trata-se de uma introdução ao conteúdo de Matemática Financeira, irei abordar os termos mais utilizados nesse conteúdo, explicando cada um deles e apresentando suas principais características. Abaixo você confere a lista, que preparei, com os principais termos utilizados em Matemática Financeira.

Unidade Monetária - (UM)

A unidade monetária representa a moeda que está sendo utilizada em uma operação financeira. Ela pode ser expressa em Reais, Dólares, Euros, ou em qualquer outra moeda conhecida.

Capital - (C)

Chamamos de Capital e representamos pela letra C, o valor inicial que é investido em uma operação financeira.

Exemplo: João depositou $R\$200,00$ no Banco Ômega e percebeu que depois de certo tempo seu saldo nesse banco era de $R\$215,00$. Nesse exemplo o capital nada mais é do que o valor inicial investido por João no banco, que foi de $R\$200,00$.

Juros - (J)

Chamamos de Juros e representamos pela letra J, o rendimento gerado por uma aplicação financeira, ou seja, quando queremos calcular os juros de uma operação financeira estamos, na verdade, querendo saber quanto essa operação rendeu.

Exemplo: Thiago havia depositado $R\$400,00$ no Banco Ômega e percebeu que depois de certo tempo seu saldo no banco era de $R\$415,00$, ou seja, o dinheiro que João havia depositado rendeu $R\$15,00$, ou em outras palavras, podemos dizer que os juros obtidos nessa operação financeira foram de $R\$15,00$.

Montante - (M)

Chamamos de montante e representamos pela letra M, o valor total acumulado por uma aplicação financeira, ou seja, é soma do investimento inicial (Capital) com o rendimento da aplicação (Juros). O montante também é conhecido como o saldo final de uma aplicação financeira. Matematicamente temos que:

$$ M=C+J $$

Exemplo: Marcos havia depositado $R\$100,00$ no Banco Ômega e percebeu que depois de certo tempo essa aplicação havia gerado juros de $R\$40,00$, ou seja, o dinheiro que Marcos havia depositado rendeu $R\$40,00$. Nesse caso o montante dessa aplicação financeira foi de $R\$140,00$, já que o montante nada mais é do que, o investimento inicial somado com os juros dessa aplicação.

Taxa de Juros - (i)

A taxa de juros é representada pela letra i. Ela corresponde a um valor que é acrescido ou descontado em cima de uma aplicação financeira, dependendo da situação, e que é representado na forma de porcentagem.

Exemplo: João emprestou $R\$200,00$ para seu colega Thiago por apenas dois meses e disse que iria cobrar uma "pequena taxa" de $10 \% $ para cada mês que se passasse. Portanto, depois de um período de $2$ meses Thiago deveria devolver os $R\$200,00$ mais $10 \% $ de $R\$200,00$ para o primeiro mês e mais $10 \% $ de $R\$200,00$ para o segundo mês que dá um total de $R\$40,00$, logo, ao final dos $2$ meses, Thiago deveria pagar $R\$240,00$ para seu amigo João pelo empréstimo.

Obs: Para calcular $10 \% $ de $R\$200,00$ apenas transformamos os $10 \% $ em fração ou em um número decimal e multiplicamos esse resultado por $R\$200,00$. Para saber mais, recomendo que leia nosso artigo: O que é porcentagem?.

A taxa de juros sempre vem associada a uma unidade de tempo e, geralmente, essa informação vem de forma abreviada nas questões que envolvem matemática financeira. Abaixo deixo alguns exemplos de como podem vir essas abreviações e o que pode significar cada uma delas, dependendo da situação.

$10 \% \quad a.m.$ = $10 \%$ ao mês
$30 \% \quad a.a.$ = $30 \%$ ao ano
$20 \% \quad a.t.$ = $20 \%$ ao trimestre
$15 \% \quad a.b.$ = $15 \%$ ao bimestre

Uma observação bem importante é que em uma aplicação financeira, se o tempo estiver, por exemplo, em meses, a taxa de juros deve estar necessariamente ao mês, ou se, por exemplo, a taxa de juros estiver ao trimestre, o tempo necessariamente deve estar em trimestres, ou seja, a taxa de juros e o tempo devem estar expressos na mesma unidade de medida de tempo.

Amortização

Quando estamos pagando uma dívida a tendência é que, com o tempo ela chegue ao fim. A esse ato de pagar uma dívida por um valor que pode ser fixo, ou variar de acordo com o período de tempo damos o nome de Amortização. No Brasil, usamos bastante o sistema de amortização constante mais conhecido como SAC, onde os juros e o capital são calculados no início da operação financeira e em seguida essa valor é dividido dentro do período de meses que será realizada essa operação financeira.

Exemplo: Ao comprar um celular de $R\$900,00$ você pode optar por pagar uma única vez, à vista, ou pode parcelar essa valor em algumas vezes, por exemplo, 5 vezes, o que resultaria em 5 parcelas de $R\$150,00$ (se não tiver juros) para serem pagos por um período de 5 meses. Ao realizar qualquer uma dessas duas situações estamos realizando a chamada amortização de nossa dívida, que como você percebeu, pode ocorrer de várias maneiras.

Para saber mais tipos de amortização recomendo a leitura do artigo: Sistemas de amortização do site InfoEscola.

Desconto

O desconto é um termo bem comum e que refere-se a diminuição de um valor a ser pago dentro de um período de tempo em uma operação financeira e que pode acontecer por vários motivos. Lembre-se de que o desconto está associado a ideia de tempo.

Obs: Ao contrário do que muitos pensam, ao comprar um vestido à vista, por exemplo, uma loja pode conceder ao cliente uma porcentagem de abatimento e não de desconto, como estamos acostumados a falar, pois quando compramos um vestido à vista não temos, nesse caso, a ideia de tempo, já que a roupa vai ser paga na mesma hora em que está sendo comprada. No entanto esse termo já vem sendo utilizado a tanto tempo que tornou-se padronizado. Mas lembre-se, matematicamente falando o correto seria receber um abatimento em uma mercadoria que é comprada na hora (à vista) ao invés de desconto, pois o desconto está associado a ideia de tempo.

Reajuste

O reajuste nada mais é do que o oposto do desconto, ou seja, nesse caso, quando realizamos um reajuste sobre um valor, este tende a aumentar.

Exemplo: Quando dizemos que o salário dos professores teve um reajuste de $13 \%$ estamos querendo dizer que ele agora é $13 \%$ maior do que era antes.

Estou chegando ao fim de mais uma publicação aqui no blog Vivendo entre Símbolos. Gostaria de pedir desculpas pela demora em publicar artigos ultimamente, infelizmente minha vida andava bem corrida e atarefada esses dias e tive que abdicar um pouco do blog, mas não pensem que irei desistir dele. Nesse mês de julho terei tempo suficiente para colocar em dia todas as publicações que estou devendo a vocês. Obrigado pela atenção, um abraço e até breve.

O que é porcentagem?

2015-02-22T14:21:00.003-03:00

A porcentagem é um assunto que está bastante presente em nosso dia a dia em situações, principalmente, financeiras. Quando efetuamos a compra de uma roupa e recebemos um desconto por pagá-la a vista, estamos presenciando um caso onde a porcentagem se faz presente. Hoje você vai aprender a trabalhar com a porcentagem em várias situações problemas e vai perceber como é fácil calcular porcentagens em matemática.

A porcentagem ou percentagem, basicamente, é uma fração onde o denominador é igual a $100$. No entanto, podemos dizer que a porcentagem também pode ser considerada como uma observação feita das situações em nosso cotidiano, seja de acréscimo ou de diminuição, sempre tomando como base o valor $100$ em específico.

Mais adiante você irá compreender melhor esse segundo conceito. Vale ressaltar que aqui não é minha intenção demonstrar ou provar propriedades acerca do tema porcentagem nem o de simplesmente resolver exercícios, mas o de, principalmente, mostrar os conceitos mais básicos que caracterizam uma porcentagem e como eles devem ser interpretados em cada situação problema.

Representação da porcentagem

Você já sabe que uma porcentagem nada mais é do que uma fração cujo denominador é igual a $100$. Para representar uma porcentagem utilizamos o símbolo " % " (lê-se: por cento). Veja abaixo como ficaria algumas frações representadas em forma de porcentagem:
$$ \frac { 3 }{ 100 } =3 \% $$
$$ \frac { 57 }{ 100 } =57 \% $$
$$ \frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3\cdot 20 }{ 5\cdot 20 } =\frac { 60 }{ 100 } =60 \% $$
Nota: Observe que nem sempre teremos o caso em que o denominador da fração é igual a $100$ (exemplo $3$), portanto, faz-se necessário que utilizemos algum artifício matemático para transformar o denominador no valor $100$, porém sem alterar o resultado da nossa fração e para isso utilizamos o conceito de frações equivalentes.

Frações equivalentes

Duas frações são ditas equivalentes quando representam a mesma parte de um todo ou, em outras palavras, quando simplificadas apresentam a mesma fração irredutível, ou ainda quando o produto do meios for igual ao produto dos extremos dessas frações.

Exemplo: $$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$
A fração $ \frac { 3 }{ 4 }$ já está em sua forma irredutível, pois não pode ser mais simplifica. Já a fração $ \frac { 12 }{ 16 }$ pode ser simplificada por $4$. Logo temos:
$$ \frac { 12:4 }{ 16:4 } =\frac { 3 }{ 4 } $$
Como o resultado é igual a primeira fração dizemos então que essas duas frações são equivalentes.

Para mostrar essa afirmação podemos utilizar a terceira definição multiplicando os meios pelos extremos dessas duas frações, observe:
$$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$
$$ 3\cdot 16\quad ?\quad 4\cdot 12 $$
$$ 48\quad =\quad 48 $$
Como o produto foi igual em ambos os membros podemos afirmar novamente que essas duas frações são equivalentes.

Para encontrarmos frações equivalentes basta multiplicarmos uma fração por um número constante pertencente aos reais tanto no numerador como no denominador dessa fração. Vamos encontrar por exemplo $3$ frações equivalentes a fração $ \frac {2} {3} $. Para isso podemos multiplicá-la pelos números $2$, $3$, e $4$, veja:
$$ \frac { 2\cdot (2) }{ 3\cdot (2) } =\frac { 4 }{ 6 } $$
$$ \frac { 2\cdot (3) }{ 3\cdot (3) } =\frac { 6 }{ 9 } $$
$$ \frac { 2\cdot (4) }{ 3\cdot (4) } =\frac { 8 }{ 12 } $$
Logo, as frações $\frac { 4 }{ 6 }$, $\frac { 6 }{ 9 }$ e $\frac { 8 }{ 12 }$ são frações equivalentes a fração $\frac { 2 }{ 3 }$.

Transformando fração em porcentagem

Agora que você conhece o conceito de fração equivalente vamos aprender a transformar frações em porcentagem seguindo essa linha de raciocínio (sempre que possível).

Para transformar uma fração em porcentagem sabemos que o denominador dessa fração precisa ser igual a $100$ para substituirmos ele pelo símbolo da porcentagem " $\%$ ". Logo, quando o denominador não for igual a $100$, precisamos encontrar um fator pertencente aos reais que multiplicado por esse denominador resulte no valor $100$. Veja alguns exemplos abaixo:
$$ \frac { 2 }{ 5 } =\frac { 2\cdot (20) }{ 5\cdot (20) } =\frac { 40 }{ 100 } =40 \% $$
$$ \frac { 7 }{ 25 } =\frac { 7\cdot (4) }{ 25\cdot (4) } =\frac { 28 }{ 100 } =28 \% $$
Observe que os exemplos acima são bem fáceis de se encontrar um valor que multiplicado pelo denominador resultem no valor $100$, porém nem sempre nos deparamos com situações fáceis como essa, por isso vamos aprender outro método para transformar frações em porcentagem, confira o exemplo a seguir:
$$ \frac { 1 }{ 8 } =0,125=0,125\cdot 100 \% =12,5 \% $$

Nota: Multiplicar um número por $100 \%$ é o mesmo que multiplicar esse número por 1, pois $100 \%$ é igual a $ \frac { 100 }{ 100 } = 1 $, logo isso não modificará em nada o valor do número que estamos multiplicando por $100 \%$.

No exemplo anterior dividimos o numerador pelo denominador e depois multiplicamos por $100 \%$, como queríamos que a porcentagem aparecesse multiplicamos o resultado por "100" e permanecemos com o símbolo da porcentagem ao lado. Observe abaixo mais exemplos com esse método:
$$ \frac { 3 }{ 5 } =0,6=0,6\cdot 100 \%=60 \% $$
$$ \frac { 9 }{ 12 } =0,75=0,75\cdot 100 \%=75 \% $$
$$ \frac { 1 }{ 4 } =0,25=0,25\cdot 100 \%=25 \% $$
$$ \frac { 2 }{ 3 } =0,666...\cong 0,6667\cdot 100 \%=66,67 \% $$

Cálculo da porcentagem de um valor

Agora vamos aprender a calcular porcentagens de determinados valores. Para calcular uma certa porcentagem de um valor é necessário simplesmente multiplicar essa porcentagem por esse valor, por exemplo queremos saber quanto vale $20 \%$ de $100$, para isso basta multiplicarmos:
$$ 20 \%\cdot 100=\left( \frac { 20 }{ 100 } \right) \cdot 100=\frac { 2000 }{ 100 } =20 $$
Ou seja, $20 \%$ de $100$ é igual a $20$. Podemos resolver esse tipo de situação usando o conceito de porcentagem, que diz que estamos trabalhando com a retirada de um valor fixo a cada $100$ unidades de um valor solicitado, logo, se queremos $20 \%$ de $100$ isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos retirar $20$ e como tínhamos apenas $100$ unidades nosso resultado final foi o próprio $20$.

Vamos imaginar agora uma situação em que temos que encontrar $20 \%$ de $300$, mas para isso vamos utilizar o conceito de porcentagem para resolvê-la, veja como é simples.

Se queremos $20 \%$ de $300$, isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos pegar $20$ para gente, logo como temos $300$ unidades então pegaremos $20$ da primeira centena, mais $20$ da segunda centena e mais $20$ da terceira centena totalizando $60$ unidades. Portanto $20 \%$ de $300$ nada mais é do que $60$.

Vamos comprovar isso agora com o cálculo:
$$ 20 \%\cdot 300=\left( \frac { 20 }{ 100 } \right) \cdot 300=\frac { 6000 }{ 100 } =60$$
Perceba que trabalhar com porcentagem não é complicado quando se entende o conceito de porcentagem. Em alguns casos podemos resolver porcentagens até mesmo de cabeça bem rápido. Vamos resolver alguns exemplos onde podemos fazer isso, veja.

Exemplo 1: Calcular $40 \%$ de $500$.

Resolução: Observe que devemos apenas pegar $40$ unidades a cada $100$ unidades dos $500$. Como sabemos que o $100$ "cabe" $5$ vezes dentro de $500$ então basta multiplicarmos o $40$ por $5$ e pronto, encontramos nossa resposta, ou seja:
$$ 40 \%\quad de\quad 500=40+40+40+40+40=200 $$
Veja a explicação para isso na imagem abaixo:

Exemplo 2: Calcular $30 \%$ de $300$.

Resolução: Para isso devemos pegar $30$ unidades para cada $100$ unidades do valor solicitado, como o valor é $300$ vamos conseguir pegar $3$ vezes o valor de $30$ unidades o que resulta em $90$ unidades logo, $30 \%$ de $300$ é igual a $90$.

Vale ressaltar aqui, mais uma vez, que nem sempre teremos valores fechados como esses dos exemplos acima. Quando isso acontece fica um pouco mais complicado utilizar essa regrinha de resolver a porcentagem pelo conceito, logo, devemos utilizar o método que eu ensinei anteriormente que resume-se a multiplicar a porcentagem pelo valor solicitado.

Para fundamentar esse método veja mais exemplos abaixo:

$$ 60 \%\quad de\quad 120=60 \%\cdot 120=\left( \frac { 60 }{ 100 } \right) \cdot 120=\frac { 7200 }{ 100 } =72 $$

$$ 12 \%\quad de\quad 96=12 \%\cdot 96=\left( \frac { 12 }{ 100 } \right) \cdot 96=\frac { 1152 }{ 100 } =11,52 $$

$$ 23 \%\quad de\quad 238=23 \%\cdot 238=\left( \frac { 23 }{ 100 } \right) \cdot 238=\frac { 5474 }{ 100 } =54,74 $$
Como você pode perceber o conteúdo de porcentagem não é complicado quando se entende o conceito de porcentagem e se aprende a trabalhar com ele. Nas próximas publicações sobre porcentagem irei ensinar como calcular descontos e reajustes. Nessas próximas publicações vamos ver onde a porcentagem se aplica em situações do nosso dia a dia e como é importante conhecer esse conteúdo para evitar possíveis enganos na hora de fazer compras, por exemplo.

O que você gostaria que eu focasse sobre porcentagem nos próximos artigos dessa série? Será que este artigo está faltando informações? O que você achou dessa aula sobre porcentagens? Que tal deixar sua opinião nos comentários abaixo? Com sua ajuda e participação pretendo tornar esse ambiente mais completo e organizado para que mais pessoas possam aprender com mais facilidade essa ciência tão magnífica que é a Matemática.

Obrigado pela leitura, um abraço e até a próxima!

Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função

2015-01-17T12:05:00.000-03:00

Estou dando início a aula 5 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos estudar sobre as propriedades operatórias dos limites, conteúdo de grande importância quando estamos trabalhando com limites. Já pensou ter que resolver limites pela definição toda vez? Seria muito complicado e chato não é mesmo? Com o conteúdo de hoje você vai aprender caminhos e métodos mais fáceis para encontrá-los.

Propriedades Básicas dos Limites

Abaixo você vai conhecer os dois limites mais básicos de se aprender quando estudamos as propriedades de limites.

Seja $f(x)=x$ e $k$ uma constante, temos:

Propriedade 1: O limite de uma função $f(x)=x$ será equivalente ao valor que o "$x$" se aproxima, no caso abaixo, o limite da função $f(x)$ será "$p$", pois este é valor em que "$x$" está se aproximando.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow p }{ x=p } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x=3 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ x=5 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow \pi }{ x=\pi } $$
Propriedade 2: O limite de uma constante é a própria constante.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ k=k } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 9=9 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \pi =\pi } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ 12=12 } $$

Principais Propriedades dos Limites

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)=M }$ e $ n\in { N }^{ \ast } $, então:

Propriedade 3: O limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)+g(x) \right] =L+M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)+\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$

Exemplos:

$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }+4 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }+\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4=1+4=5 } } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( 3x+7 \right) =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ { 3x }+\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=15+7=22 } } } $$

Propriedade 4: O limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)-g(x) \right] =L-M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)-\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { x }-7 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 5 }{ { x }-\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=5-7=-2 } } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x-1 \right) =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { 4x }-\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 1=8-1=7 } } } $$

Propriedade 5: O limite de uma constante por uma função é equivalente ao produto da constante pelo limite da função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ k\cdot f(x) \right] =k\cdot L=k\cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left[ 3\cdot \left( { 4x }+7 \right) \right] = } 3\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { 4x }+7 \right) } \right] =3\cdot \left[ 4\cdot 5+7 \right] =3\cdot 27=81$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ 2\cdot \left( { x }+1 \right) \right] = } 2\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+1 \right) } \right] =2\cdot \left[ 1+1 \right] =2\cdot 2=4 $$

Propriedade 6: O limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =L\cdot M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( 2x \right) \cdot \left( x+4 \right) \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x } \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+4 \right) } \right] =4\cdot 6=24$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( { x }^{ 3 } \right) \cdot \left( x-1 \right) \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { x }^{ 3 } } \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x-1 \right) } \right] =8\cdot 1=8 $$

Propriedade 7: O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero, no caso abaixo, a propriedade é válida se $ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)\neq 0 } $.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ \frac { f(x) }{ g(x) } \right] =\frac { L }{ M } =\frac { \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } }{ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( 4x \right) }{ \left( x+2 \right) } \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x } \right] }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } \right] } =\frac { 8 }{ 4 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { \left( 8x \right) }{ \left( 3x-3 \right) } \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 8x } \right] }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-3 \right) } \right] } =\frac { 24 }{ 6 } =4 $$

Propriedade 8: O limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left[ f(x) \right] }^{ n }={ { \left( L \right) }^{ n }=\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \right] }^{ n } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left[ x+2 \right] }^{ 3 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left( x+2 \right) } } \right] }^{ 3 }={ \left( 4 \right) }^{ 3 }=64$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left[ 3x-1 \right] }^{ 2 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left( 3x-1 \right) } } \right] }^{ 2 }={ \left( 11 \right) }^{ 2 }=121$$

Outras Propriedades Importantes de Limites

As propriedades abaixo são pouco conhecidas, mas são de grande importância em alguns casos para resolução de limites, por isso é importante conhecer e aprender cada uma delas.

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $ n\in { N }^{ \ast } $, então:

Propriedade 9: O limite da raiz enésima de uma função é equivalente a raiz enésima do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } =\sqrt [ n ]{ L } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4x } = } \sqrt [ 3 ]{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (4x) } } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \sqrt { 3x+4 } = } \sqrt { \lim _{ x\rightarrow 4 }{ (3x+4) } } =\sqrt { 16 } =4 $$

Propriedade 10: O limite do logaritmo natural de uma função é equivalente ao logaritmo natural do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \ln { f(x) } =\ln { (L) } =\ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \right] } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \ln { \left( x+2 \right) } \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } \right] } =\ln { 4 } \cong 1,39$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left[ \ln { \left( 3x-2 \right) } \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left( 3x-2 \right) } \right] } =\ln { 10 } \cong 2,3 $$

Propriedade 11: O limite de "$e$" elevado a uma função é equivalente a "$e$" elevado ao limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left( e \right) }^{ f(x) }={ \left( e \right) }^{ L }={ \left( e \right) }^{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { e }^{ \left( x+1 \right) }= } { \left( e \right) }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x+1 } \right] }={ \left( e \right) }^{ 3 }\cong 20,08$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { e }^{ \left( 4x \right) }= } { \left( e \right) }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4x } \right] }={ \left( e \right) }^{ 4 }\cong 54,6 $$

Propriedade 12: O limite do seno de uma função é equivalente ao seno do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ sen\left[ f(x) \right] } =sen\left[ L \right] =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \right] $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ sen\left[ 3x+1 \right] } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 3x+1 \right) } \right] =sen(4) $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ sen\left[ { x }^{ 2 }+4 \right] } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right) } \right] =sen(8) $$

Espero que tenha gostado desta aula. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima aula. Não se esqueça de por em prática todas essas propriedades com vários exercícios, pois só assim você vai conseguir fixar esse conteúdo em sua cabeça.

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Aniversário de 3 anos do blog Vivendo entre Símbolos

2015-01-10T11:17:00.000-03:00

Manter um blog na web não é uma tarefa fácil, ainda mais quando estamos falando de um blog de matemática. Temos que aprender a criar gráficos e tabelas, aprender a criar equações em Latex, aprender a editar Templates e entender o mínimo de CSS e HTML. É amigo(a), ser blogueiro não é uma tarefa fácil, porém, mesmo com tantas dificuldades, conseguimos chegar aos nossos 3 anos de atividades online no blog Vivendo entre Símbolos. Quer saber porque? Continue lendo...

Ter um blog sem dúvidas é uma experiência única na vida de uma pessoa, você aprende a escrever melhor, aprende a trabalhar com a informação de modo a torná-la mais clara para seu leitor, você faz amizades (melhor de todos os benefícios), você aprende que por mais que existam milhares de sites que falem do mesmo assunto que o seu, sempre existirão pessoas que irão visitar o seu site, por que se familiarizaram com ele e não com os demais, enfim, você aprende muitas coisas.

Você sabia que...

[...] são 75 mil blogs criados por dia. É como se um novo blog fosse criado a cada segundo. E, para assustar ainda mais, são aproximadamente 1,2 milhões de textos novos por dia, o que dá um total de 50 mil "posts" por hora. (fonte: terra.com.br)

Eu posso me considerar um vencedor ao ver essa notícia e, mesmo assim, saber que recebo cerca de 2000 visitas por dia em meu humilde blog e que existem centenas de pessoas que gostam e compartilham o trabalho que eu faço aqui no VS. Para ser sincero com você é exatamente assim que me sinto todos os dias ao ver o blog Vivendo entre Símbolos ganhando uma curtida ou um compartilhamento ou um comentário ou um novo contato.

O início desse blog foi muito complicado e difícil de conciliar, mas com o tempo, com o passar dos meses, fui aprendendo o real sentido de ter um blog, descobri que "ter um blog" significa bem mais do que apenas publicar qualquer coisa de qualquer jeito só pelo fato dele ser "seu blog".

Descobri, nesses 3 anos, que ter um blog e mantê-lo ativo é aprender que quanto maior for o seu amor por aquele espaço, por aquele blog, maior será a sua recompensa com ele.

Quando digo recompensa não estou falando de dinheiro, pelo contrário, quando digo recompensa estou falando das inúmeras parcerias que conquistei nesses 3 anos, dos inúmeros amigos que conheci por meio deste blog (que converso até hoje), das centenas de comentários de agradecimentos de pessoas que puderam aprender um pouquinho mais sobre um determinado conteúdo.

Isso sim é recompensa pra mim, isso sim é o que me motiva a continuar com este blog por tanto tempo e é por esses (e vários outros) motivos que eu sei que este blog irá continuará por muitos e muitos anos ainda.

Queria agradecer a você que chegou até esse ponto deste artigo. Você é a peça fundamental para este blog permanecer online por tanto tempo. É por esse motivo que eu desejo a você (em nome de toda a nossa equipe) o nosso MUITO OBRIGADO!!!

Um grande abraço e até a próxima!

Calendário Dodecaédrico 2015 em Português

2015-01-07T11:18:00.001-03:00

Devido ao recente número de pedidos e procura por um calendário dodecaédrico de 2015 em português resolvi criar um para os leitores do blog Vivendo entre Símbolos. Espero que gostem!

Sobre o Dodecaedro

Segundo o Mundo Educação o Dodecaedro é o mais harmonioso e soberano dos sólidos Platônicos. Segundo Platão, ele representa o universo ou o cosmos. É constituído por doze pentágonos e não se divide em outros poliedros regulares. Possui 30 arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais.

É pelo fato de possuir 12 faces que ele foi escolhido para servir de modelo para o nosso calendário dodecaédrico de 2015.

Donwload

Antes de disponibilizar os arquivos para download gostaria de mencionar que os créditos da criação do calendário devem ser dedicados ao site ii.uib.no onde podemos baixar o modelo do calendário dodecaédrico.

[1] Donwload em PDF - via DropBox

[2] Donwload em PNG (melhor qualidade) - via DropBox

Comentem depois como ficaram seus calendários e o que acharam da personalização. Um grande abraço e até a próxima!

Recomendação de leitura

[1] Calendários 2015 personalizados no Excel para diversos fins de uso - no blog TICs na Matemática

Aula 4 - Unicidade do Limite de uma Função

2015-01-06T18:59:00.000-03:00

Estou dando início a aula 4 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral do blog Vivendo entre Símbolos. Nesta aula de hoje, você vai aprender sobre a Unicidade do Limite de uma Função. Mas o que isso quer dizer? Você já ouvir falar nessa tal de unicidade alguma vez? Tem dificuldade para compreender esse teorema? Não se preocupe, você não está sozinho. Com esta aula espero tornar esse teorema bem mais simples de ser entendido e estudado por nossos alunos do curso de Cálculo. Aproveitem!

Teorema

Se o limite de uma função $f(x)$ existe então ele é único. Matematicamente falando temos que:

Se $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=L }$ e $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=M }$ então $L=M$.

Para mostrar que isso é verdade iremos utilizar o método da prova por contradição ou redução ao absurdo como é mais conhecido.

Demonstração

Na aula passada quando falei sobre a definição formal de limites aprendemos que $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$ existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $0<\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-L \right| <\varepsilon$.

Supondo, por contradição, $L$ e $M$ positivos e $L\neq M$ e ainda que $ L < M $ ao representar-mos esses dois valores $L$ e $M$ em uma reta real teremos:

Representando esses dois limites pela definição formal temos:

Sendo $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$, logo:

$\forall \varepsilon >0,\quad \exists { \delta }_{ 1 }>0\quad |\quad 0<\left| x-a \right| <{ \delta }_{ 1 }\Rightarrow \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $

Sendo $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =M$, logo:

$\forall \varepsilon >0,\quad \exists { \delta }_{ 2 }>0\quad |\quad 0<\left| x-a \right| <{ \delta }_{ 2 }\Rightarrow \left| f(x)-M \right| <\varepsilon $

Note que utilizei $\delta_1$ e $\delta_2$, pois estamos trabalhando com, supostamente, dois limites distintos.

Nas representações formais de limites que acabei de mostrar observe que podemos reescrever os termos "$\left| f(x)-L \right| <\varepsilon$" e "$\left| f(x)-M \right| <\varepsilon$" da seguinte maneira, veja

$$ \left| f(x)-L \right| < \varepsilon = L-\varepsilon < f(x) < L+ \varepsilon $$

$$ \left| f(x)-M \right| < \varepsilon = M-\varepsilon < f(x) < M+ \varepsilon $$

Agora que temos todas essas informações vamos voltar nossa atenção para o nosso amigo "$\delta$". Podemos escolher qualquer "$\delta$" para representar qualquer um desses dois limites, mas o que vamos fazer é encontrar um "$\delta$" que satisfaça ambas as representações, então faz-se sensato escolher o mínimo valor entre os dois citados, ou seja, façamos $\delta= min(\delta_1 ,\delta_2)$, logo quando escolhermos esse "$\delta$" ambas as representações deverão acontecer, ou seja, existir.

Agora que temos nosso "$\delta$", que satisfaz ambas as representações, precisamos escolher um "$\varepsilon$" de modo que ele garanta que os limites "$L$" e "$M$" sejam realmente diferentes, para isso devemos observar mais atentamente aquela representação na reta real que fizemos no início desse artigo e escolher um valor que garanta a condição $L\neq M$.

Note que é fácil observar que todo valor menor que $\frac { M-L }{ 2 }$ gera limites diferentes porém nada garante que no ponto $P$, ou seja, quando $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ teremos dois limites distintos então faz-se sensato considerar $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ e ver o que acontece.

Lembre-se de que se nesse ponto encontrarmos dois limites distintos mostraremos que o teorema é falso, mas se cairmos em um absurdo/contradição mostraremos que o teorema é verdadeiro.

Considerando $\delta= min(\delta_1 ,\delta_2)$, se $0<\left| x-a \right| <{ \delta }$ então deverão existir as desigualdades:

$$\left| f(x)-L\right| < \varepsilon$$

$$\left| f(x)-M \right| < \varepsilon$$

Mas sabemos que podemos reescrevê-las da seguinte maneira:

$$L-\varepsilon < f(x) < L+ \varepsilon$$

$$M-\varepsilon < f(x) < M+ \varepsilon$$

Como $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ temos que:

$$L-\left( \frac { M-L }{ 2 } \right) < f(x) < L + \left( \frac { M-L }{ 2 } \right) $$

$$M-\left( \frac { M-L }{ 2 } \right) < f(x) < M+ \left( \frac { M-L }{ 2 } \right) $$

Desenvolvendo ambas as desigualdades chegamos à:

$$\frac { 3L-M }{ 2 } < f(x) < \frac { M+L }{ 2 } $$

$$\frac { M+L }{ 2 } < f(x) < \frac { 3M-L }{ 2 } $$

Comparando atentamente ambas as desigualdade percebemos que existe uma pequena contradição em sua representação, veja que $f(x)$ é, ao mesmo tempo, menor e maior que o termo $\frac { M+L }{ 2 }$ o que é um absurdo, logo mostramos que $L\neq M$ não pode acontecer e portanto $ L = M $, ou seja, o limite de uma função, se existir, será único.

Se tivéssemos escolhido $M < L$ teríamos chegado a mesma conclusão, ou seja, por analogia chegaríamos ao absurdo provando então que $L = M$.

Espero que tenha gostado desta aula e que tenha compreendido os passos utilizados para sua demonstração. Note que esse teorema faz com que tenhamos certeza de que se uma função $f(x)$ possui limite então este deverá ser único.

É importante ressaltar que nesta aula foram utilizados artifícios matemáticos e conceitos vistos em aulas anteriores que foram necessários para o desenvolvimento desta demonstração, por esse motivo é de fundamental importância que você acompanhe este curso na sequência correta sem pular nenhuma aula.

Material de apoio

Navegando pela internet encontrei no youtube um vídeo que explica de forma similar e bem didática esta demonstração e que servirá de embasamento para esta aula, recomendo que assista:

Unicidade do Limite por Prof. Marcelo Furtado

Recomendação de Leitura

[1] Demonstração do Limite Fundamental Exponencial - O Baricentro da Mente
[2] Integrais Impróprias com Limites Finitos - O Baricentro da Mente
[3] Use o Excel para apresentar uma introdução sobre Limites - TICs na Matemática
[4] Definição Formal de Limites - Aqui no blog Vivendo entre Símbolos

Lembre-se de deixar aquele velho comentário agradecendo, deixando sua opinião ou sugestão ou até mesmo deixando uma crítica (construtiva é claro) para melhorarmos ainda mais este curso, assim saberei que estão acompanhando nossas aulas.

Um grande abraço e até a próxima aula do nosso curso!

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Barcelona lança aplicativo para incentivar crianças a gostarem de Matemática

2014-12-13T17:27:00.003-03:00

Já imaginou conhecer notícias exclusivas sobre os jogadores do seu time favorito? Isso, sem dúvidas, seria um máximo não é mesmo? Foi pensando nisso que um dos maiores times da Europa e por que não dizer, o maior time da Europa, resolveu apostar na criação de um aplicativo que incentiva crianças a gostarem um pouco mais de matemática e, ao mesmo tempo, divulga notícias, fotos, vídeos e informações exclusivas sobre os seus jogadores e o próprio time em si.

Sobre o Barcelona

O Barcelona é um clube espanhol da cidade de Barcelona, Catalunha. Este time é conhecido como Barcelona, Barça ou ainda pela sigla FCB. Seus torcedores do clube são conhecidos como culés (ou culers, em catalão). Em 2010, uma pesquisa realizada pela empresa alemã Sport+Markt concluiu que a torcida do Barcelona é a maior da Europa, contando com cerca de 57,8 milhões de pessoas. O time do Barcelona foi o primeiro clube espanhol a ganhar na mesma temporada o triplete, composto da Liga dos Campeões, da Copa do Rei da Espanha e da La Liga, sem falar que o Barcelona é, atualmente, uma das marcas mais conhecidas do planeta.

Sobre o aplicativo FCB Math Champion

O aplicativo desenvolvido pelo clube espanhol chama-se FCB Math Champion. Ele tem como objetivo unir futebol, tecnologia e educação a fim de fazer com que crianças, a partir dos 7 anos de idade, gostem de matemática.

Este app coloca seus usuários para baterem pênaltis decisivos, mas para que eles consigam acertar o chute é necessário que acertem operações básicas de matemática.

Conforme os acertos vão acontecendo os usuários passam a ter acesso a fotos, vídeos e informações exclusivas de seus jogadores como o brasileiro Neymar Jr. e o argentino Lionel Messi.

Download do aplicativo

O aplicativo FCB Math Champion está disponível para os sistemas iOS e Android. Infelizmente este aplicativo não é gratuito e conta com opções de venda de pacotes dentro do próprio jogo, caso o usuário queira adquirir opções exclusivas do aplicativo, como novos campeonatos. Ele custa menos que 10 reais se você quiser comprar o pacote completo do jogo. Ao todo, o jogo contém 240 níveis de dificuldades, em quatro tipos de desafios.

Adquirir - Android
Adquirir - iOS

Caso você possua um leitor de QR Code (recomendo o QR Droid) utilize-o para scanear a imagem abaixo, assim você será direcionado automaticamente para o aplicativo FCB Math Champion.

Considerações finais

Penso que atitudes como essas deveriam ser tomadas por mais times grandes pelo mundo. A matemática ainda é tida como um bicho papão por muitos de nossos alunos, mas sinto que aos poucos ela vem conquistando-os por meio de simples atitudes como essa.

Mas e você, o que tem a dizer sobre tudo isso? Será que conseguiremos um dia mudar a visão que muitos alunos ainda tem da matemática e mostrar para eles a beleza dessa Rainha das ciências?

Referências bibliográficas

[1] Blog Estadão - Barcelona lança app para incentivar crianças a gostar de matemática

[2] Futebol Clube Barcelona (FCB ) - Wikipédia

[3] Official FC Barcelona, Més que un club

Material de Cálculo Diferencial e Integral - Aulas, Livros e Dicas

2014-11-10T15:49:00.000-03:00

Tendo em vista o crescente número de artigos sobre o conteúdo: Cálculo Diferencial e Integral, neste site, faz-se necessário que exista um ambiente destinado à divulgação de todos os materiais relacionados a este conteúdo que disponibilizamos aqui no blog Vivendo entre Símbolos. Desse modo, você será capaz de encontrar de forma fácil e organizada dicas, aulas do nosso curso, livros para downloads e muito mais.

Aulas do nosso Curso de Cálculo

Aula 1 - O que é Limite?

Aula 2 - Produtos Notáveis, Fatoração e Funções Transcendentais

Aula 3 - Definição Formal de Limite

Aula 4 - Unicidade do Limite de uma Função
Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função
Aula 6 - Exercícios envolvendo as Propriedades de Limites
Aula 7 - O que são Limites Laterais?
Aula 8 - Limites laterais por meio dos gráficos de suas funções
Aula 9 - Em breve...

- Curso Pré-Cálculo no Matemática Rio com o professor Rafael Procopio.

- Curso de Cálculo no site Me Salva.

Importante

Esta página será atualizada constantemente à medida que novos artigos sobre Cálculo sejam publicados aqui no blog, portanto recomendo que fique por dentro das novidades e atualizações sempre que possível.

Apostila de Matemática com todos os Descritores do SPAECE - 1° ano

2014-11-01T16:09:00.000-03:00

O Sistema Permanente de Avaliação da Educação do Ceará ou SPAECE, como é mais conhecido, vem sendo implementado desde o ano de 1992 pelo Governo do Estado do Ceará, por meio da Secretaria da Educação (SEDUC).

O que é o SPAECE?

O Sistema Permanente de Avaliação da Educação do Ceará (SPAECE) caracteriza-se como uma avaliação externa em larga escala que avalia as competências e habilidades dos alunos do Ensino Fundamental e Médio, em Língua Portuguesa e Matemática. As informações coletadas a cada avaliação identificam o nível de proficiência e a evolução do desempenho dos alunos.

Para conhecer mais sobre o projeto SPAECE, seus resultados, suas oficinas entre outras características acesse a página oficial em: spaece.caedufjf.net.

Elaboração da Apostila do SPAECE de Matemática

A Escola de Ensino Fundamental e Médio Waldemar Alcântara, onde leciono, elaborou com ajuda dos professores de matemática Everton dos Santos, Roniel Caetano, Carlos Fábio, Francisco Ferreira, Antônio Josemar, Ronny Paiva e minha (Romirys Cavalcante) uma apostila para a disciplina de Matemática englobando todos os descritores do SPAECE do 1° ano do Ensino Médio.

Vale ressaltar que esta apostila só foi elaborada graças a iniciativa do nosso coordenador da escola Waldemar Alcântara, Régis Nascimento de Sousa, que foi o responsável por organizar as ações que deveriam ser tomadas por cada um dos professores para a elaboração da apostila.

Venho, por meio deste artigo, compartilhar este ótimo material de estudo, para que possa ser utilizado da melhor maneira possível, seja por outras escolas ou por outros alunos, o importante é que esse material seja útil para a construção do aprendizado em Matemática e seja uma ferramenta a mais para que nossos alunos possam realizar uma boa avaliação do SPAECE em Novembro.

Download da Apostila

A apostila se encontra em formato PDF e pode ser baixada por um dos servidores abaixo:

>> Dropbox: Download - Visualizar

>> Google Drive: Download - Visualizar (É preciso estar conectado ao Google)

Obrigado pela visita, um grande abraço, bons estudos e até a próxima. A propósito, não deixe de dar sua opinião sobre a apostila que divulguei aqui neste artigo. Sua participação é muito importante para o crescimento deste blog.

Aula 3 - Definição Formal de Limite

2014-10-27T20:18:00.000-03:00

Estou dando início a aula 3 do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral. Nesta aula você vai aprender sobre a definição formal de Limite. Muitos amigos professores que conheço dizem que essa é uma das partes mais chatas do Cálculo, pois é muito complicado resolver limites pela definição, no entanto esta definição é de suma importância para que você não sinta dificuldades em conteúdos futuros dessa disciplina.

Definição formal de Limite

Abaixo irei apresentar a definição formal de Limite e em seguida irei explicá-la de modo a esclarecer alguns pontos importantes desse conteúdo. Por fim irei resolver alguns limites pela definição para que fique claro como devemos proceder em situações que exijam a resolução de limites utilizando a definição.

Seja uma função $y=f(x)$ definida sobre algum intervalo aberto que contenha o número $a$, mas não obrigatoriamente essa função necessita estar definida nesse ponto $a$. Podemos dizer então que, o limite de $f(x)$ vale $L$ quando $x$ se aproxima, ou quando $x$ tende ao número $a$ e representamos essa afirmação por $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$, existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $.

Importante: A Matemática usa símbolos para indicar diferenças muito pequenas. Os símbolos mais comuns utilizados são $\varepsilon$ (lê-se: Épsilon) e $\delta$ (lê-se: Delta).

Note que em nenhum momento dessa definição é mencionado algo sobre o valor da função quando $x=a$, ou seja, não é necessário que a função esteja definida em $a$, pois o que importa no limite é o que acontece com o valor de $f(x)$ nas proximidades do número $a$ tanto pela direita quanto pela esquerda.

Estudando a definição formal de Limite

Nesse momento irei relatar as minhas conclusões e observações acerca da definição formal de limites. Espero que alguma dessas observações sejam úteis para a sua compreensão desse conteúdo.

A definição formal de Limites diz que se conseguirmos fazer $\left| x-a \right|$ tão pequeno quanto possível e $\left| f(x)-L \right|$ também tão pequeno quanto possível, mas maiores que zero e pudermos associar essas diferenças por meio de uma relação, então existirá o limite $L$ da função $f(x)$ quando $x$ tende ao número $a$.

Em outras palavras se pudermos atribuir um valor "$\varepsilon$" maior que zero de modo que exista um valor correspondente "$\delta$" também maior que zero então:

$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$$

Interpretação geométrica da definição formal de Limite

Observe a função $f(x)$ representada no gráfico abaixo:

Perceba que se pudermos relacionar "$\varepsilon$" em função de "$\delta$", então para qualquer intervalo no eixo $x$ próximo de $a$ podemos fazer um intervalo no eixo $y$ próximo de $L$, ou seja, $f(x)$ tende a $L$ quando $x$ tende a $a$ se fizermos "$\varepsilon$" e "$\delta$" tão pequenos quanto possível, porém maiores que zero, e se pudermos encontrar uma relação entre "$\varepsilon$" e "$\delta$".

Resolução de limites pela definição formal

Veja como resolver limites pela definição formal. Preste atenção nos passos que devemos seguir para resolver limite pela definição e perceba que em alguns casos devemos fazer manipulações matemática para atingirmos o resultado que queremos. Faz-se necessário que você saiba algumas propriedades de módulo para trabalhar com esse tipo de situação.

Para isso recomendo que você faça a leitura do artigo: Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular, do professor e grande amigo Kleber Kilhian, lá você vai compreender a definição de módulo e conhecer suas principais propriedades de forma bem didática.

Exemplo 1

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon }{ 2 }$, pois:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x+1-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon }{ 2 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Exemplo 2

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon }{ 3 }$, pois:

$$0<\left| x-1 \right| <\delta =\frac { \varepsilon }{ 3 } \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x+2-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon }{ 3 }>0 $, tal que: $0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Exemplo 3

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon }{ 4 } $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon }{ 4 }$, pois:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon }{ 4 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon }{ 4 } \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-1-7 \right| <\varepsilon \\ \left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon }{ 4 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Deixo como desafio provar pela definição de limite que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ x^2=4 } $$

Como será a próxima aula

Na aula 4 irei explicar as propriedades de limites e irei resolver alguns exemplos para fixar essas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog. O que você achou dessa aula? Gostaria que ela contemplasse mais alguma informação? Gostaria de sugerir edições e melhorias para as próximas aulas? Fique a vontade para deixar sua opinião nos comentários deste artigo ou entre em contato por e-mail: contato@vivendoentresimbolos.com

Referências bibliográficas:

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Dica para acompanhar as atualizações do blog por e-mail

2014-10-18T14:58:00.000-03:00

No vídeo abaixo irei mostrar para você a melhor maneira de acompanhar as novidades do blog Vivendo entre Símbolos por e-mail. Estou falando de se inscrever em nosso Feed de notícias gratuitamente para receber os novos artigos direto em sua caixa de entrada de e-mail de maneira totalmente gratuita. Para isso faz-se necessário que você siga todos os passos indicados no vídeo para que você faça a inscrição de forma correta e consiga visualizar nossos artigos por e-mail.

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Abaixo você vai conferir nosso vídeo intitulado: Como se inscrever no Feed de Notícias de um site pelo FeedBurner? O vídeo é rápido e de fácil compreensão...

Observação: Desculpe pela qualidade do vídeo. Ainda estou me adaptando a essa forma de divulgação de conteúdo e estou me esforçando para fazer os melhores vídeos possíveis. Com o tempo irei atualizar esses primeiros vídeos para deixá-los com uma melhor qualidade e mais fáceis de compreender.

Inscreva-se em nosso canal: youtube.com/vivendoentresimbolos

Obrigado pela leitura, um abraço, comente o que acho do vídeo para que eu tenha um feedback desse material e possa melhorá-lo e até breve.

Aula 2 - Produtos Notáveis, Fatoração e Funções Transcendentais

2014-10-15T17:31:00.001-03:00

Estou inciando a aula 2 do Curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Hoje irei fazer uma revisão bem simplificada dos seguintes conteúdos: Produtos Notáveis, Fatoração e Funções Transcendentais (Função Exponencial, Função Logarítmica e Função Trigonométrica), pois penso que sejam de suma importância para a resolução de problemas envolvendo Limites. Este artigo servirá como um nivelamento para o Cálculo, espero que goste da aula. Bons estudos!

Produtos Notáveis

Nessa seção irei apresentar os principais produtos notáveis que mais aparecem no Cálculo de Limites e exemplificar cada um deles.

Quadrado da soma de dois termos

$${ \left( x+y \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 2\cdot x\cdot y }+{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

${ \left( x+3y \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 2\cdot x\cdot 3y }+{ \left( 3y \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 6\cdot x\cdot y }+{ 9y }^{ 2 }$

${ \left( 7x+1 \right) }^{ 2 }={ \left( 7x \right) }^{ 2 }+{ 2\cdot 7x\cdot 1 }+{ \left( 1 \right) }^{ 2 }={ 49x }^{ 2 }+{ 14\cdot x }+{ 1 }$

Quadrado da diferença de dois termos

$${ \left( x-y \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-{ 2\cdot x\cdot y }+{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

${ \left( 7x-3 \right) }^{ 2 }={ \left( 7x \right) }^{ 2 }-{ 2\cdot 7x\cdot 3 }+{ \left( 3 \right) }^{ 2 }={ 49x }^{ 2 }-{ 42\cdot x }+9$

${ \left( 5a-b \right) }^{ 2 }={ \left( 5a \right) }^{ 2 }-{ 2\cdot 5a\cdot b }+{ \left( b \right) }^{ 2 }={ 25a }^{ 2 }-{ 10\cdot a\cdot b }+{ b }^{ 2 }$

Produto da soma pela diferença de dois termos

$$\left( x+y \right) \cdot \left( x-y \right) ={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

$\left( 3a+x \right) \cdot \left( 3a-x \right) ={ \left( 3a \right) }^{ 2 }-{ \left( x \right) }^{ 2 }=9{ a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }$

$\left( { x }^{ 2 }+5p \right) \cdot \left( { x }^{ 2 }-5p \right) ={ \left( { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( 5p \right) }^{ 2 }={ x }^{ 4 }-{ 25p }^{ 2 }$

Cubo da soma de dois termos

$${ \left( x+y \right) }^{ 3 }={ x }^{ 3 }+3\cdot { x }^{ 2 }\cdot { y }+3\cdot { x }\cdot { y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

Exemplos:

${ \left( 2a+5 \right) }^{ 3 }=\left( 2a \right) ^{ 3 }+3\cdot \left( 2a \right) ^{ 2 }\cdot 5+3\cdot { 2a }\cdot { \left( 5 \right) }^{ 2 }+{ \left( 5 \right) }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =8a^{ 3 }+60\cdot a^{ 2 }+150\cdot { a }^{ 2 }+{ 125 }$

${ \left( x+2 \right) }^{ 3 }=\left( x \right) ^{ 3 }+3\cdot \left( x \right) ^{ 2 }\cdot 2+3\cdot x\cdot { \left( 2 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2 \right) }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =x^{ 3 }+6\cdot x^{ 2 }+12\cdot x+{ 8 }$

Cubo da diferença de dois termos

$${ \left( x-y \right) }^{ 3 }={ x }^{ 3 }-3\cdot { x }^{ 2 }\cdot { y }+3\cdot { x }\cdot { y }^{ 2 }-{ y }^{ 3 }$$

Exemplos:

${ \left( a-4 \right) }^{ 3 }=\left( a \right) ^{ 3 }-3\cdot \left( a \right) ^{ 2 }\cdot 4+3\cdot { a }\cdot { \left( 4 \right) }^{ 2 }-{ \left( 4 \right) }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =a^{ 3 }-12\cdot a^{ 2 }+48\cdot { a }-{ 64 }$

${ \left( a-2b \right) }^{ 3 }=\left( a \right) ^{ 3 }-3\cdot \left( a \right) ^{ 2 }\cdot 2b+3\cdot { a }\cdot { \left( 2b \right) }^{ 2 }-{ \left( 2b \right) }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =a^{ 3 }-6\cdot a^{ 2 }\cdot b+12\cdot { a }\cdot b^{ 2 }-{ 8b }^{ 3 }$

Fatoração

Nessa seção irei apresentar as principais fatorações que devemos conhecer para nos darmos bem na disciplina de Cálculo de Limites e irei exemplificar cada um deles.

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. Quando todos os termos de um polinômio tem um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Diferença de dois quadrados

$${ x }^{ 2 }-y^{ 2 }=\left( x+y \right) \cdot \left( x-y \right) $$

Exemplos:

Encontre a forma fatorada do polinômio ${ x }^{ 2 }-25$

Resolução:

Como $25$ é o mesmo que $5^2$ temos que: ${ x }^{ 2 }-25={ x }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }=\left( x+5 \right) \cdot \left( x-5 \right) $

Trinômio quadrado perfeito

$${ x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot y+{ y }^{ 2 }={ \left( x+y \right) }^{ 2 }$$
$$e$$
$${ x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot y+{ y }^{ 2 }={ \left( x-y \right) }^{ 2 }$$

Exemplos:

Encontre a forma fatorada do polinômio ${ x }^{ 2 }+12\cdot x+36$

Resolução:

Neste caso observamos que $x^2$ e $36$ são quadrados e possuem bases $x$ e $6$, respectivamente, e podemos observar também que $12\cdot x=2\cdot 6\cdot x$, logo:

$${ x }^{ 2 }+12\cdot x+36=\left( x \right) ^{ 2 }+2\cdot x\cdot 6+{ \left( 6 \right) }^{ 2 }={ \left( x+6 \right) }^{ 2 }\quad ou\quad \left( x+6 \right) \cdot \left( x+6 \right) $$

Fator comum de uma expressão

Quando um termo de uma expressão está presente em todos os fatores dela dizemos então que ele é um fator comum dessa expressão.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Exemplos:

Considere a seguinte expressão: $3xy+9xz+6x$, note que ela pode ser reescrita da seguinte maneira: $(3x)\cdot y+(3x)\cdot 3z+(3x)\cdot 2$, observe que agora podemos perceber que o termo "$3x$" está presente em todos os fatores dessa expressão, logo podemos concluir que ele é o fator comum. Essa expressão pode ser reescrita ainda como:

$$(3x)\cdot y+(3x)\cdot 3z+(3x)\cdot 2\quad =\quad (3x)\cdot (y+3z+2)$$

Fatoração por agrupamento de fatores

Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento devemos realizar os seguintes passos:

1. Formamos grupos com os termos da expressão;
2. Em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;
3. Colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).

Exemplos:

Considere a seguinte expressão: $ax + ay + bx + by$. Neste caso, não temos um fator comum a todas as parcelas. No entanto, $a$ é o fator comum às duas primeiras parcelas e $b$ é o fator comum às duas últimas. Por isso, podemos separar a expressão em dois grupos e, colocar em evidência o fator comum de cada grupo, veja:

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)$$

Note que agora temos o termo $x+y$ que é comum a ambas as parcelas dessa expressão, portanto é um fator comum a ela, logo podemos colocá-lo em evidência, veja:

$$a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$$

Esse processo é o que chamamos de fatoração por agrupamento.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Seja o trinômio quadrado perfeito definido por $a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$, com $\Delta \ge 0$ ele poderá ser reescrito da seguinte maneira:

$$a{ x }^{ 2 }+bx+c=a(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })$$

com ${ x }_{ 1 }$ e ${ x }_{ 2 }$ sendo as raízes desse trinômio quadrado perfeito.

Exemplo:

Considere a seguinte equação: ${ x }^{ 2 }-6x+8=0$, vamos calcular as raízes dela para reescrevermos ela de forma fatorada.

Primeiro calculamos o valor do discriminante delta, veja:

$${ x }^{ 2 }-6x+8=0\\ a=1,\quad b=-6,\quad c=8\\ \Delta ={ b }^{ 2 }-4\cdot a\cdot c\\ \Delta ={ \left( -6 \right) }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot 8\\ \Delta =36-32\\ \Delta =4$$

Agora vamos calcular as raízes:

$$x=\frac { -b\pm \sqrt { \Delta } }{ 2a } \\ \\ x=\frac { -(-6)\pm \sqrt { 4 } }{ 2\cdot 1 } \\ \\ x=\frac { 6\pm 2 }{ 2 } \\ \\ x'=\frac { 6+2 }{ 2 } =\frac { 8 }{ 2 } =4\\ \\ x''=\frac { 6-2 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } =2$$

Agora reescrevemos a equação da seguinte maneira:

$$a{ x }^{ 2 }+bx+c=a(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })\\ { x }^{ 2 }-6x+8=1\cdot (x-4)\cdot (x-2)\\ { x }^{ 2 }-6x+8=(x-4)\cdot (x-2)$$

Funções Transcendentais

Nessa seção irei apresentar as principais funções transcendentais que devemos conhecer para nos darmos bem na disciplina de Cálculo de Limites.

Função Exponencial

Chamamos de Função exponencial toda função $f(x)$ definida dos Reais nos Reais positivos e não-nulos, tal que $f(x)=a^n$ com "$a$" pertencente ao conjunto dos números Reais diferente de 1.

Para esclarecer melhor esse tópico é interessante que você conheça todas as propriedades da potenciação, para isso recomendo a leitura do artigo abaixo:

Todas as propriedades da Potenciação

Algumas propriedades importantes no conjunto dos Reais que merecem destaque:

$${ a }^{ x+y }={ a }^{ x }\cdot { a }^{ y }$$
$${ a }^{ x-y }=\frac { { a }^{ x } }{ { a }^{ y } } $$
$${ \left( { a }^{ x } \right) }^{ y }={ a }^{ x\cdot y }$$
$${ \left( { a }\cdot b \right) }^{ x }={ a }^{ x }\cdot { b }^{ x }$$

Se $a>0$ e diferente de $1$ temos:
$${ a }^{ x }={ a }^{ y }\Longleftrightarrow x=y$$

Função Logarítmica

Uma função logarítmica de base "$a$" é toda função definida dos Reais não nulos e positivos nos Reais de modo que:

$$f(x)=\log _{ a }{ b }$$

Com $a>0$ e $a\neq 1$.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, ou seja:

$${ a }^{ x }=b\quad \Longleftrightarrow \quad \log _{ a }{ b } =x$$

com $a>0,\quad b>0\quad e\quad a\neq 1$.

Lembre-se que:
$a$ = base
$b$ = logaritmando
$x$ = logarítmo

Algumas consequências da definição:

$$\log _{ a }{ 1=0 } $$
$$ { a }^{ \log _{ a }{ b } }=b $$
$$ \log _{ a }{ { a }^{ m } } =m $$
$$ \log _{ a }{ { a } } =1 $$
$$ \log _{ a }{ { b } } =\log _{ a }{ { c } } \quad \Longrightarrow \quad b=c $$

Propriedades dos logaritmos

Considerando "$a$", "$b$" e "$c$" $>0$ e $a \neq 1$, temos que:

$$\log _{ a }{ \left( b\cdot c \right) } \quad =\quad \log _{ a }{ b } +\log _{ a }{ c } $$
$$\log _{ a }{ \left( \frac { b }{ c } \right) } \quad =\quad \log _{ a }{ b } -\log _{ a }{ c } $$
$$\log _{ a }{ \left( { b }^{ n } \right) } \quad =\quad n\cdot \log _{ a }{ b } $$

Mudança de base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base $a$ para uma outra base $b$ usamos:

$$\log _{ a }{ c } \quad =\quad \frac { \log _{ b }{ c } }{ \log _{ b }{ a } } $$

Logaritmos naturais

Os logaritmos na base "$e$" são chamados de logaritmos naturais e têm uma notação especial:

$$\log _{ e }{ x } \quad =\quad \ln { x } $$

Logo, fazendo $a = e$, e substituindo $\log _{ e }{ } $ por $\ln { }$ nas propriedades já descritas para logaritmos, as propriedades que definem a função logaritmo natural ficam:

$$\ln { x } =y\quad \Longleftrightarrow \quad { e }^{ y }=x$$
$$\ln { { e }^{ x } } =x\quad com\quad x\epsilon R $$
$${ e }^{ \ln { x } }=x,\quad com\quad x>0$$
$$\ln { { e } } =1$$

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas mais conhecidas são: seno (sen), cosseno (cos) e a tangente (tg). Dado o triângulo retângulo abaixo temos que:

$$sen(\theta )=\frac { \text{cateto oposto} }{\text{hipotenusa}} =\frac { b }{ a } $$
$$cos(\theta )=\frac { \text{cateto adjacente} }{\text{hipotenusa}} =\frac { c }{ a } $$
$$tg(\theta )=\frac {\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} =\frac { b }{ c } \quad \text{ou} \quad tg(\theta )=\frac { sen(\theta ) }{ cos(\theta ) } $$

Relação fundamental da trigonometria

$${ sen }^{ 2 }\theta +cos^{ 2 }\theta =1$$

INVERSO das Funções Trigonométricas (Seno, Cosseno e Tangente)

As funções seno, cosseno e tangente admitem inversas e para cada uma dessas inversas atribuímos um nome diferente, são eles:

Inversa do seno = cossecante ($cossec$)
Inversa do cosseno = secante ($sec$)
Inversa da tangente = cotangente ($cotg$)

Uma dica para não confundir quem é a inversa de quem é você observar a 3° letra de cada nome das inversas, ela será a primeira letra da função a que se refere, por exemplo:

A 3° letra da palavra secante é "c" então refere-se a função cosseno.
A 3° letra da palavra cossecante é "s" então refere-se a função seno.
A 3° letra da palavra cotangente é "t" então refere-se a função tangente.

Aviso: Note que nem sempre existirá o INVERSO dessas funções, pois em casos, por exemplo, que o $sen(x)$ ou $cos(x)$ ou $tg(x)$ for igual a zero, o inverso não poderá existir, pois não existe divisão por zero, ou seja, isso gera uma indeterminação matemática.

Algumas Relações Trigonométricas importantes de conhecer:

$$1+{ tg }^{ 2 }\theta ={ sec }^{ 2 }\theta $$
$$1+{ cotg }^{ 2 }\theta =co{ sec }^{ 2 }\theta $$
$$sen\left( a+b \right) =sen(a)\cdot cos(b)+sen(b)\cdot cos(a)$$
$$sen\left( a-b \right) =sen(a)\cdot cos(b)-sen(b)\cdot cos(a)$$
$$cos\left( a+b \right) =cos(a)\cdot cos(b)-sen(a)\cdot sen(b)$$
$$cos\left( a-b \right) =cos(a)\cdot cos(b)+sen(a)\cdot sen(b)$$
$$tg\left( a+b \right) =\frac { tg(a)+tg(b) }{ 1-tg(a)\cdot tg(b) } $$
$$tg\left( a-b \right) =\frac { tg(a)-tg(b) }{ 1+tg(a)\cdot tg(b) } $$
$$sen\left( 2a \right) =2\cdot sen(a)\cdot cos(a)$$
$$cos\left( 2a \right) ={ cos }^{ 2 }(a)-sen^{ 2 }(a)$$
$$tg\left( 2a \right) =\frac { 2\cdot tg(a) }{ 1-{ tg }^{ 2 }(a) } $$
$$sen(a)+sen(b)=2\cdot sen\left( \frac { a+b }{ 2 } \right) \cdot cos\left( \frac { a-b }{ 2 } \right) $$
$$sen(a)-sen(b)=2\cdot sen\left( \frac { a-b }{ 2 } \right) \cdot cos\left( \frac { a+b }{ 2 } \right) $$
$$cos(a)+cos(b)=2\cdot cos\left( \frac { a+b }{ 2 } \right) \cdot cos\left( \frac { a-b }{ 2 } \right) $$
$$cos(a)+cos(b)=-2\cdot sen\left( \frac { a+b }{ 2 } \right) \cdot sen\left( \frac { a-b }{ 2 } \right) $$
$${ sen }^{ 2 }(a)=\frac { 1-cos(2a) }{ 2 } $$
$${ cos }^{ 2 }(a)=\frac { 1+cos(2a) }{ 2 } $$

Material de apoio para esses conteúdos

Para fundamentar esses conteúdos que abordei nesse artigo de hoje irei disponibilizar uma apostila com essas teorias mais detalhadas e com uma lista de exercícios para cada conteúdo para que você possa treinar em casa cada uma dessas propriedades. Dependendo do andamento dessa semana irei ver a possibilidade de fazer um vídeo resolvendo todos esses exercícios propostos.

Apostila de Nivelamento para Cálculo:

Google Docs: Visualizar - Baixar
Dropbox: Visualizar - Baixar
Google Drive: Visualizar - Baixar

Recomendo que leia também:

Já que estou falando de revisão de conteúdos deixo como dica de leitura o ótimo artigo do meu colega Kleber Kilhian (criador do O Baricentro da Mente) chamado Fatoração de Expressões Algébricas. Vale muito a pena conferir.

Outra dica de leitura que eu dou é a do professor Edigley Alexandre (criador do Blog do Prof. Edigley Alexandre) do artigo intitulado Fatore polinômios com esse Widget. Neste artigo você vai ser capaz de ver a forma fatorada de expressões polinomiais (até o grau 100) utilizando um programa bem bacana do Wolfram Alpha, sem dúvidas vale muito a pena conferir.

Por fim gostaria de sugerir, também, que fizessem a leitura do artigo do meu colega Charles Bastos (criador do TIC's na Matemática) intitulado Funções e Transformações Trigonométricas no Excel, nele você vai analisar o comportamento de algumas funções trigonométricas abordadas nesta aula com auxílio da ferramenta Excel e vai compreender mais detalhadamente algumas fórmulas trigonométricas que também mencionei nesta aula de hoje. Vale a pena ler também!

Como será a próxima aula?

Na aula 3 irei explicar a definição formal de Limite e suas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog, pois o curso está apenas começando. Peço que caso encontrem algum erro relatem para mim por meio da página de contato do blog. Dicas e sugestões são sempre bem vindas também.

Obrigado pela leitura, bons estudos e até a próxima.

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