规则：什么是俄罗斯农民乘法？我要怎么使用它？
原理：俄罗斯农民乘法的工作原理是什么？
联系：俄罗斯农民乘法是如何与二进制相关联的呢？

什么是俄罗斯农民乘法？我要怎么使用它？

我们绝大多数人学的都是这样做大数字乘法的：

          86
      x  57
    ------
        602
   + 4300
    ------
      4902

如果你懂得乘法算式，那么这种“长式相乘”的方法是快速和相对简单的。不过，还有许多其它的计算方法。其中之一通常被称之为俄罗斯农民算法。使用它时不需要你懂得乘法算式，你只需要将数字加倍，减半再进行合计。具体规则如下：

  * 把每一个数字分别写在列头。
  * 将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
     如果在第二列的数字是奇数，将它除以二并把余数去掉。
  * 如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
  * 继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
  * 将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。

让我们以计算57乘以86为例。
    把每一个数字分别写在列头。
        57     86
    将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
        57     86
      114     43
    如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
        57     86
      114     43
    继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
        57     86
      114     43
      228     21
      456     10
      912      5
      1824     2
      3648     1
    将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。
        57     86
      114     43
      228     21
      456     10
      912      5
      1824     2
  +  3648     1
      4902

真实的俄罗斯农民们可能会用好几碗的鹅卵石来记录他们加倍的数字，用来代替写在列里面的数字。（当然，他们或许不会对我们的例子里那么大的数字感兴趣，要知道四千多个鹅卵石可是很难操作的哟！）俄罗斯的农民们并不是唯一使用这种算法的人，在数千年之前古埃及人就已经发明了类似的方法，而同时在今天的计算机中仍然在使用与之相关的程序。

俄罗斯农民乘法的工作原理是什么？

让我们以计算9×8为例：

          9      8
        18      4
        36      2
        72      1

72是唯一一个留在左列里的数字，所以我们的答案就是72。请注意我们在其中一边乘以2，在另一边除以2，2 × 1/2 = 1，所以对最终结果并没有影响:

9 * 8                         

= 18 * 4                   

= 36 * 2        

= 72 * 1

我们刚才对数字进行了不同的组合，而对结果并没有影响。如果我们将8乘以9，我们应该得到同样的答案。那我们能用同样的方法来解释吗？

         8     9
       16     4
       32     2
    + 64     1
       72

当我们将9除以2，我们将余数去除因为9是一个奇数。由于我们“丢失”了一个，所以接下去的产生的每一行都会变得更小。让我们从第一行和第二行中寻找不同。

      8*9 - 16*4
      = 72 - 64
      = 8

我们可以重写个减法来计算总和：

8 * 9                             

= 16 * 4 + 8                 

因为我们的结果少了8,所以我们就必须在最后把8给加回去。我们可以把这种追加认为是恢复了1组8，就是在前面我们丢掉的余数1。在不同的问题里，我们有可能会恢复不同组的数字。

俄罗斯农民乘法是如何与二进制相关联的呢？

二进制是以2代替10来作为基数的进制。这就意味着在位数上我们要用2的次方来代替10的次方：代替个位、十位和百位，二进制有一位、二位和四位等等。例如，14在二进制里表示为1110：

       1110 (base 2)
       = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0
       = 8 + 4 + 2 + 0
       = 14

俄罗斯农民乘法能快速有效的将数字转换成二进制模式，将它们相乘，然后再转换回我们日常所使用的数字系统。这种关联两种进制的能力并不惊奇，因为二进制使用2作为基数，同时俄罗斯农民乘法使用2来相乘和相除。为了使这种关联更为清晰，让我们来研究一下12*13。

减半

你能够通过对数字进行重复的除以2并且留下余数来将其转换成二进制。让我们试一下12：

        12/2 = 6  余数 0
         6/2 = 3  余数 0
         3/2 = 1  余数 1
         1/2 = 0  余数 1

从下往上读取余数，我们得到了1100,所以12所对应的二进制数字为1100。

这种转换方法的工作原理是什么呢？让我们再一次试着用同样的方法将12减半。这一次，我们将把所有的数字都基于二进制（当然，数字2在二进制里头是10）。

            1100/10 = 110  余数 0
             110/10 =   11  余数 0
              11/10 =     1  余数 1
                1/10 =     0  余数 1

将数字除以2然后再取其余数，最终我们所得到的就是基于二进制的数字。

关于数字12，到目前为止我们所得出的：

       12 = 1100 (base 2)
       = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2 + 0*1
       = 2^3 + 2^2
       = 8 + 4

通过反复的对12减半，我们就可以将其分解成2的次方。

因式分解

我们现在来试着将12乘以13。一种方法是使用长式相乘：

          13
       * 12
        ----
          26
      + 130
      -----
         156

注意我们通过将 2*13 和 10*13 相加来得出我们的最终结果。它的工作原理是因式分解：

       12 * 13
       = (2 + 10) * 13
       = 2*13 + 10*13

当然，我们能将12分解成任何我们想要的形式，并且仍然能得到正确的答案。现在让我们用前面所做的工作来将这个题目分解成2的次方：

       12 * 13
       = (4 + 8) * 13
       = (2^2 + 2^3) * 13
       = 2^2 * 13 + 2^3 * 13

如果我们能将 13 乘以 2^2 和 2^3，那我们就完成了。

加倍

重复的将一个数字乘以2的次方。让我们试试将13加倍：

       数字        累计相乘过程          2的次方
        13              13                    2^0
        26            13*2                  2^1
        52           13*2*2                2^2
       104         13*2*2*2              2^3

我们的图表告诉我们 2^2 * 13 + 2^3 * 13 = 52 + 104 = 156，所以 12 * 13 = 156，我们完成计算了。

把所有的一切放在一起

我们刚才通过重复的减半和相乘将12转成二进制模式，然后将其与13相乘。俄罗斯农民算法做得是同样的事情，但是它节省了很多的步骤，过程也更快。让我们结合我们加倍和减半的步骤来比较这两种方法的不同。

数字加倍     累计相乘过程     2的次方       数字减半        除以2         余数
    13              13                2^0           12          12/2 = 6         0
    26             13*2              2^1             6            6/2 = 3         0
    52           13*2*2             2^2             3            3/2 = 1         1
  104         13*2*2*2           2^3            1            1/2 = 0         1

加粗的列使用的是俄罗斯农民乘法。注意当余数列为0时，其所对应的俄罗斯乘法行要删去。

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继续谈论建筑方面的话题,伊斯贝尔在上帝掷骰子网站发了一个关于现实世界中哥尼斯堡桥梁问题最终结局的帖子。 哥尼斯堡曾有七座桥梁，1736年，欧拉证明了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的。

二次世界大战中，哥尼斯堡的树座桥梁被炸，随后一些桥梁被替换。 如今,哥尼斯堡(现称加里宁格勒)只有五座桥梁，你可以找到走过这五座桥且每桥只通过一次的路线了。

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我最近才发现天才数学家陶哲轩也有自己的博客。几天前，他在博客上撰文描绘了一个数学问题“机场数学问题”。我和我的家人觉得讨论这个问题非常有意思，以下就是这个数学问题：

假设你试图从机场航站楼的一头点A走到另一头点B（为简便起见，假设这个航站楼是一条一元线段）。这个航站楼的部分地区有双向自动扶梯，而另外一部分则没有。你的行走是保持匀速，为常量V，但走在自动扶梯上时速度变为v+u，其中u为自动扶梯速度（很显然，旅客都是随着自动扶梯的方向行走的）。你的目标是，以尽可能最短的时间从点A走到点B。问题：

1 假设你需要在行走中暂停一段时间，用来做一些诸如系鞋带之类的事。请问，当在扶梯上与不在扶梯上时，哪一种所需总时间更短（假设在两种情况下暂停需要的时间都是一样的）?

2 假设你需要使用有限的能量进行奔跑，把速度提高到V'(当在扶梯上时速度变为V'+u), 请问，当在扶梯上与不在扶梯上时，那一种奔跑所花时间更少（假设在两种情况下你所耗尽的能量相等）？

3 如果考虑相对论因素在内，以上两个问题的答案发生改变了吗？（这当然是一个学术问题，而非实际问题；不过我们可以假设，一个人想要减少以机场为参照物所花时间，而非自己为参照物所花时间）?

我甚至都不愿意假装我能回答第三个问题。

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I heard this tale in India. A hat seller, on waking from a nap under a tree, found that a group of monkeys had taken all his hats to the top of the tree. In exasperation he took off his own hat and flung it to the ground. The monkeys, known for their imitative urge, hurled down the hats, which the hat seller promptly collected.

我在印度听说过这个故事。一名帽商，在一棵树下打盹，醒来后发现，一群猴子早已把他的全部帽子都戴在树顶。恼怒中，他脱下自己的帽子，并把它扔在地上。这群因强烈的模仿冲动而闻名的猴子也扔下帽子，帽商立即把帽子收起来。

Half a century later his grandson, also a hat seller, set down his wares under the same tree for a nap. On waking, he was dismayed to discover that monkeys had taken all his hats to the treetop. Then he remembered his grandfather's story, so he threw his own hat to the ground. But, mysteriously, none of the monkeys threw any hats, and only one monkey came down. It took the hat on the ground firmly in hand, walked up to the hat seller, gave him a slap and said, "You think only you have a grandfather?"

半个世纪后，他的孙子也卖帽子，孙子把货物搁在同一棵树下打个盹。醒来时，他惊愕地发现，一群猴子早已把他的全部帽子都戴在树梢。那时，他想起他祖父的故事，也就同样把自己的帽子扔在地上。可是，令人难以理解的是，没有一只猴子扔掉帽子，接着，只有一只猴子从树上下来。它把地上的帽子牢牢抓在手里，走近这位帽商，给了他一记耳光，还说：“你以为只有你才有爷爷？”

This story illustrates an important distinction between ordinary decision theory and game theory. In the latter, what is rational for one player may depend on what is rational for the other player. For Lucy to get her decision right, she must put herself in Pete's shoes and think about what he must be thinking. But he will be thinking about what she is thinking, leading to an infinite regression. Game theorists describe this situation by saying that "rationality is common knowledge among the players." In other words, Lucy and Pete are rational, they each know that the other is rational, they each know that the other knows, and so on.

这个故事说明了普通决策理论和博弈论之间的一个重要区别。在后一种理论中，对游戏一方什么是合理的可能取决于对游戏另一方什么是合理的。对于露西来说，要得到正确的决策，她就必须置身皮特的处境，考虑他一定会想到的事情。但他也总是考虑她正在想什么，从而导致无限回归。博弈论工作者用这样的说法描述这种情况：“理性是游戏各方的常识。”换言之，露西和皮特是理性的，他们各自知道另一方是理性的，他们每人都知道别人知道的事情，等等。

The assumption that rationality is common knowledge is so pervasive in game theory that it is rarely stated explicitly. Yet it can run us into problems. In some games that are played over time, such as repeated rounds of Prisoner's Dilemma, players can make moves that are incompatible with this assumption.

理性是常识这一假设在博弈论中无处不在，以致人们难得明确指出。然而，这可能使我们遇到问题。在一些随时间推移进行的游戏中，如反复几轮囚徒困境，游戏各方都可能采取与这一假设不相容的行动。

I believe that the assumption that rationality is common knowledge is the source of the conflict between logic and intuition and that, in the case of Traveler's Dilemma, the intuition is right and awaiting validation by a better logic. The problem is akin to what happened in early set theory. At that time, mathematicians took for granted the existence of a universal set-a set that contained everything. The universal set seemed extremely natural and obvious, yet ultimately several paradoxes of set theory were traced to the assumption that it existed, which mathematicians now know is flawed. In my opinion, the common knowledge of rationality assumed by game theorists faces a similar demise. -K.B.

我相信，理性是常识这一假设是逻辑和直觉之间冲突的来源，而在旅行者困境的案例中，直觉是正确的，并且期待一个更好逻辑的验证。这个问题类似早期集合论发生的情况。在那个时候，数学家认为，存在一个包罗万象的全集是理所当然的。全集似乎极其自然且显而易见，但是最终，人们从集合论的几个悖论追溯到全集存在的假设，数学家现在知道，这一假设是有瑕疵的。依我的看法，博弈论工作者假定的理性是常识也面临同样的消亡。-K.B.

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作者：Paul Dawkins

在我切入学习数学的正题之前，我想对正在看着这篇文章的你们说，每个人的学习方式都不一样，没有某个固定的可以让你学好数学的方法。在这篇文章中，有很多的建议，我想你肯定不全同意，或者因为时间的约束你没办法全部用到。但是没关系，这很正常。我们有着不同的学习方式，我们能说的就是我们都把自己能做的做到最好。我这篇文章的建议就是帮助你在相应的时间内能作出最好的事。

我认为看这篇文章的会有两种人，噢……当然，我不会说是男人和女人:) 我认为第一种人是那种学习很好的学生，他们想看看这篇文章里到底有什么名堂。第二种人就是那些对数学愁眉苦脸的学生了，他们想要获取一些有用的建议来提高他们的数学成绩。对于这两种人，我下面会有一些提示。

如果你快乐地进行着学习并且在数学课上得到好成绩，你会发现阅读这篇文章会很有意思。当然，如果你已经以现在的习惯取得过成功，那么没有理由让你改变你的学习习惯。但是无论如何，你都可以通过比较你自己的学习习惯和下面这些建议来获得一些有益的东西。

如果你不是上面那种人，那你一定是数学有些糟糕的并且想找些能提高你成绩的方法的人。我在开始讲述正题之前有几个说明。大多数数学不好的人可以分为三类。

第一类学生占了绝大多数，他们没有好的学习习惯，并且（或者）并不真的知道怎样去学习数学。这类学生会发现后面的建议非常有用，可能你并不能全部遵循，但是你会遵循足够的建议去提高你的学习技巧。

第二类是那些每天花费大量的时间去学习但仍然没有好效果的学生。这些学生深陷无效率学习的泥沼，希望下面这些建议可以帮助你更有效地学习，帮助你不浪费时间。

最后一类是那些没有付出足够时间学习的学生。这类学生有各种各样的原因，一些学生因为工作或者家务耽误了通向数学成功之路的时间。大多数处在这个类别的学生很不幸，他们甚至不知道自己就是这类人。很多人不清楚学好数学需要花费多少时间，希望你能通过于都这篇文章明白你需要花费更多时间去学习。很多人仅仅是不愿意花费时间学习，他们认为他们人生中有更重要的事去做。不过到时候你就会下决心去做，你会知道你需要利用更多时间，如果你想通过数学测试的话。

解决了之前的这些问题，现在，让我们进入我的数学建议。我尽力讲这些建议分散到具体的领域，例如整体学习，做家庭作业，为考试学习等等。这篇文章所有的建议都会在下面三个大的范围内：

1.数学不是一项大众体育项目
你不能仅仅去用听课、听老师演讲以及做数学题的方法去学习数学。为了学习数学，你必须积极地融入学习进程，你需要去集中你的注意力去听课，你需要做一个优秀的笔记，你需要去做数学作业，即使你的讲师没有分配。你需要依靠一个正规的时间表，而不是仅仅在考上的前天晚上开夜车。也就是说，你一定要融入这个学习的进程。

现实情况是，大多数学生的的确确需要为了过数学考试而学习，总体上他们需要比其他课程付出更多的努力。如果你愿意做的仅仅是在考试之前花费几个小时学习，你会发现想让数学及格是件非常难的事情。

如果你不管实在教室外还是在教室内都不愿意融入数学学习的进程，你将会在数学上有大麻烦咯。

2.学习去理解原理
你可以通过简单的记忆一些日期，人物和事件通过历史考试。但是你会发现，无论如何，你想要过了数学关你都需要做比记忆公式更多的工作。你需要理解，需要知道怎样去（用）这些原理，这常常和记忆这些公式有着本质的区别。

一些公式有使用的范围限制，为了正确地使用它们你需要知道这些。你需要知道这些。例如，为了使用二次方程式，你需要知道标准的二次平方式。你需要去记住这些，不然你将会得到错误的答案！

另外公式是一个非常总体的概括，你识别问题的部分相当于式的哪些部分。如果你不理解这些公式如何运作已经公式背后的原理，你将会很难利用这些公式。例如，在微积分课程中，记下分步积分法的公式并不是特别难。然而，如果你不理解如何实际地运用这个公式，不知道如何去辨别积分的部分，你会发现记下这个公式是没有丝毫用处的。

3.数学是需要慢慢积累的
你总是需要记住数学课程是慢慢积累的。在数学课上几乎所有的事情都依赖你前面所学的知识。

你会发现没有高中的代数知识你会很难学习大学的代数课。没有三角学和代数学的知识你不会理解微积分。


那么，沿着这三条主要的思路，我们来看看一些学习数学的细节的建议。

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作者安东尼奥·坎吉诺

假如你有一根足够长的绳子，它正好可以沿着地球的赤道将地球紧紧围住，我们假设地球是个完美的正球形，现在我们将绳子加长一米再用它来围我们的地球，假设能够按照规则的形状来形成一个环形，这样就可以在地球与绳子间形成一定的空隙。现在我们对一个高尔夫球来重复上面的动作，比较在地球和高尔夫球周围生成的空隙（宽度），结果如何呢？

大多数能正确理解这个问题的人会立即想到在能环绕地球这个庞大正球体的绳子上增加仅仅一米不会创造出多大的间隙，而给环绕高尔夫球的绳子增加一米则会形成一个较大的空隙。实际上，这两个空隙是相等的。这是违反直觉的，但这却可以很容易的用初等数学来证明。

我们知道：

C=2·pi·r

C+1=2·pi·R

这里C是用来环绕完美正球体的绳子的长度，C+1显然是增加了一米后绳子的长度，r是球体（例如高尔夫球）的半径，R是环面的半径，上面两个等式可以这样表达：

r=C/2·pi

R=(C+1)/2·pi

在绳子和我们用来参考的球体之间空隙的宽度为R-r

所以有：

R-r=(C+1)/2·pi-C/2·pi=1/2·pi=0.159…

可以看出，这个空隙是个常量，约为16厘米，这与我们用来作实验参考的球体的

半径没有任何关系，这意味着长出来的绳子在高尔夫球和我们假设的正球体地球周

围形成的空隙(宽度)相同。

结论很令人惊讶吧？这个例子正是《不可能？：反直觉迷题的奇怪答案》的开篇，我从邮件中收到这本书的一个电子拷贝，它很有趣也很易懂，收录了大量的似是而非的迷题，或是说反直觉的，这些迷题的结论往往是按常通常的思维你确信认为是不可能的。为了获得更好的阅读体验，书中涉及的数学并不高深，任何常握了高中数学知识的人阅读起这本迷人的书来都应该不成问题。

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在Walter Rudin的自传The Way I Remember It中，他评论说一本微积分书“不太好才能用得广”，并且更进一步陈述道：

        广泛使用的微积分书肯定是平庸的。--W. Rudin

出色的书会很强，诱惑我们抛弃这个陈述。但是值得注意到的是，这个陈述确实是实情。教育正在拥抱一个危险的下旋，它冲向一个过度单纯化的数学，只为了让所有学生都通过考试，而不管他们对科目实际的理解。

从不再教孩子们规范的除法步骤的小学，到一种完全的对 非种族数学（anti-racist mathematics）和 教极限时不提delta与epsilon的微积分课程的强调，压低数学的难度都是一个影响到各个层次学生的，危险的趋势。这是因为delta-epsilon语言被认为对于大多数学生“过于复杂”或是“过于混乱”。当然，不是所有的情况都是这样，聪明的，自学的学生总是存在的。（尽管事实是《Idiocracy》（【译注】电影，简体中文名: 蠢蛋进化论）对社会的讽刺可能会比我们想的更准确）。

这个问题的存在是由于教育的变化。例如学生在平均竞争力上的消极表现，意味着一个下一代的正派人物，不管是数学家、工程师或是科学家，他要面临不断变难的课题、为解决的问题和未能充分准备的挑战。大多数学生有着适应他所接受考试难度的倾向。换句话讲，不管一个微积分课有多简单，多数学生都会考个C。压低课程难度只会产生虚假的A、B、C学生，在理解和掌握课程的方面，他们根本没有比得上50年代学生的希望。

因此考虑哪些经典的好书可以被利用是非常重要的。它们能够给学生提供一个坚实的数学基础，同时，还能够指引、启迪、教导那些愿意按照应该的方式去学习的学生 。事实上，仍有一些机构采用了有效的课本而没有严重损害他们的课程，但不幸的，这并不普遍。那么什么是最好的微积分书呢？“最好的”这个词跟学生有很大关联，但是在本文中我将考虑的是对于聪明的对微积分/数学有着真诚的兴趣的学生，“最好的”意味着什么。由此我的书单是已声明的偏心的。以下的书籍在知识的覆盖、课题的解释和微积分1的实在的充分的教授方面，做的非常好。下面列出的每本书都能够指引、启迪、教导那些愿意花时间和功夫在上面的读者们。

1.《微积分》作者Michael Spivak：

我简直不知道该如何赞美它。对我来说，这就是微积分书。它精选了好的题目，谨慎的而且及其严格的证明，而且它超出了微积分的广度那么多，一个更好的书名应该是“实分析魅力导论”，因为它确实在微积分与高等实分析之间架起了一座桥梁，展示出数学有多么美丽。Spivak简直将你领入一种领悟的感受，揭开微积分的面纱，从数的属性开始，紧接着是它的结构。所举的例子都非常有意义，解释都非常清晰，这门课被这样好的展现并且激发着你的好奇心。我觉得，这是我读过的最鼓舞人心的数学书之一。每章最后的练习题，考察出对课程不同层次的理解，并且对读者来说具有挑战性。这些练习让你觉得实在对课程的再学习。事实上要我说，练习环节是这本书尤其有价值的部分，并且建议你把它们全做了。对那些认真学习数学并希望有坚实的基础去迎接接下来更具挑战性的课程的人来书，这本书实在是很好。Spivak这本书给出了奇数题号的习题的精选解答，但是如果你是自学或者足够的自律，你可以考虑一下参考的《习题解答》（已经出版，尽管Amazon有）。

2. 微积分和数学分析引论，第一卷 作者  Richard Courant与Fritz John：

一本正统的、精妙构思的微积分和单变量分析的入门书，这本书解释清晰，知识覆盖很具启发性。这本书比其他微积分书要更实用而且更易懂，同时在数学的直观和严格方面保持了绝妙的平衡。这本书给出足够的习题，它们能够充实学生的知识。充足的物理应用，让它成为物理学专业学生与工程师理想的读物。这是Springer版的三部曲的第一卷，如果你对微积分很认真，你会考虑更高级的另外两卷:卷II/1和 卷II/2。绝对是一套非常美丽的书。

3.微积分.卷1：作者Tom M. Apostol：

一本非常全面的书，定理/证明方面很有系统，被一些高端的大学采用，当作第一年微积分课程的课本。他对课题的覆盖度是惊人的，而且他提供了一些精选的经典的习题。这是一部杰出的参考书与课本，尽管一开始你可能会觉得它有些枯燥或是没那么有激情。但是最终你将喜欢它的教授方法。你会发现这是他它的第一卷，并且第二卷也值得去读：微积分, 卷 2:多远微分与与线性代数及其应用。

4.纯数学教程：作者：哈代：

这是伟大的数学家哈代1908年出版的一本书的第10版。这是一本正统的教科书，它带来许多必需的严格，并且改良了20世纪英国的数学教学方法。这本书有意去满足那个年代最聪明的学生。因此这是一部非常有激情与启发性的作品，它有着非常优美的证明与提示，而且习题是非常有挑战性的。举个例子，有很多练习是取自上世纪初的剑桥大学的数学荣誉学位考试，它们绝对会让你忙上一阵。有些注释有点过时，而且作为第一本书，对实分析的介绍可能有点过多了。虽然如此这本书仍然是一本杰作，而且作为数学家，你会想要拥有一本在你的藏书室。我觉得它是一本理想的参考书也是对其他教科书理想的补充（例如Spivak）。

不只只是微积分，这些书也是数学分析的导引书。并且一般而言，对于数学本科而言，他们是具有挑战性的。对于数学爱好者，它不是微小的心灵悸动，而是终极的喜悦。

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大约有5万人读了我的另一篇叫做“3 swesome free math programs”的文章。其中一部分人大概已经下载并安装了Maxima。如果你是其中一人，但是却不太擅长这类CAS(计算机代数系统)软件的话，Maxima可能让你感觉很复杂，并且很难掌握，甚至仅仅是简单的高中代数问题都会无从下手。事实上，Maxima用起来没有那么可怕，10分钟的教程足以让你明白它的用法，找到正确的方向。一旦你开始了第一步，对于实际问题中的特定的功能，你只要去搜寻它的文档就可以了。或者，你可以用以下这种形式（问号 ＋ 一个字符串）去得到相应帮助（比如 ? integrate）。这个教程将会结合实际动手，使用一些简单的例子来讲解怎么去计算一些常见的问题。当然，这仅仅是冰山一脚。Maxima能做很多很多的其他事情，但是在开头阶段，接触这些问题足以帮助你明白并且让你能够使用。并且，最后一点，你不会牺牲超过10分钟的时间。

把Maxima当做计算器用

你可以把Maxima当作一个快速的并且可靠的计算器用。它的精度在计算机硬件的限度内可以是任意的。跟很多编程语言一样，在Maxima，你需要输入一个或者多个指令和表达式，并以分号"$$"分隔。

(%i1) 9+7;
(%o1) 
(%i2) -17*19;
(%o2) 
(%i3) 10/2;
(%o3) 

上一次计算的结果可以用“％”符号来表示，而且之前的任意一次的输入和输出可以通过符号 “%i”（输出）或者“%o”（输出）来表示。

(%i4) % - 10;
(%o4) 
(%i5) %o1 * 3;
(%o5) 

简单一点，从这里起，我们将会省略掉那些标有号码的输入和输出，并且用 a => sign 来表示输出。分数情况下，分子和分母都是整数的情况下，maxima会返回一个相应的简化的分数或者一个整数。这些可以通过一些使用“float”方法来验证（或者bfloat，在大的浮点数字的情况下）：

8/2;
=> 
8/2.0;
=> 
2/6;
=> 
float(1/3);
=> 
1/3.0;
=> 
26/4;
=> 
float(26/4);
=> 

如上所述，在这里，大数值的数字不是个问题:

13^26;
=> 
13.0^26
=> 
30!;
=> 
float((7/3)^35);
=> 

一些定量和常见的方程

这里是一些常见的定量数值，在日常使用中会经常用到：

• %e - Euler’s Number
• %pi -
• %phi - the golden mean ()
• %i - the imaginary unit ()
• inf - real positive infinity ()
• minf - real minus infinity ()
• infinity - complex infinity

我们可以用它们中的一些在一些常见的方程里：

sin(%pi/2) + cos(%pi/3);
=> 
tan(%pi/3) * cot(%pi/3);
=> 
float(sec(%pi/3) + csc(%pi/3));
=> 
sqrt(81);
=> 
log(%e);
=> 

声明定义方程和变量

变量可以用一个冒号来赋值，而方程需要用":="来定义。以下的程序是用来演示怎么去使用它们：

a:7; b:8;
=> 
=> 
sqrt(a^2+b^2);
=> 
f(x):= x^2 -x + 1;
=> 
f(3);
=> 
f(a);
=> 
f(b);
=> 

请注意，Maxima只提供自然对数计算功能 log. 默认情况下，不提供 log10，但是你可以自己定义，如下：

log10(x):= log(x)/log(10);
=> 
log10(10)
=> 

符号计算方法

我们可以使用 factor 来进行因数分解：

factor(30!);
=> 

或者多项式的因子计算

factor(x^2 + x -6);
=> 

然后，展开

expand((x+3)^4);
=> 

简化有理数表达式：

ratsimp((x^2-1)/(x+1));
=> 

简化三角方程：

trigsimp(2*cos(x)^2 + sin(x)^2);
=> 

类似的，展开三角表达方程：

trigexpand(sin(2*x)+cos(2*x));
=> 

请注意，2x在Maxima中不是乘法表达式，相应的，它要求明确使用 2＊x。如果你想使用TeX来生成相应的表达式，你可以使用方程tex:

 tex(%);

=> $$-\sin ^2x+2\,\cos x\,\sin x+\cos ^2x$$

公式求解

我们可以用方程“solve”轻松的解一个，或者一组公式:

solve(x^2-4,x);
=> 
%[2]
=> 
solve(x^3=1,x);
=> 
trigsimp(solve([cos(x)^2-x=2-sin(x)^2], [x]));
=> 
solve([x - 2*y = 14,  x + 3*y = 9],[x,y]);
=> 

二维和三维画图

Maxima提供了二维和三维画图功能，并且有更多的功能在同一个图表里。"plot2d"和"plot3d"用起来非常直接。第二个（或者第三个，在使用plot3d的时候）参数就是一系列x(和y)的数值，用来定义画图的取值范围。

plot2d(x^2-x+3,[x,-10,10]);

plot2d([x^2, x^3, x^4 -x +1] ,[x,-10,10]);

f(x,y):= sin(x) + cos(y);
plot3d(f(x,y), [x,-5,5], [y,-5,5]);

极限

limit((1+1/x)^x,x,inf);
=> %
limit(sin(x)/x,x,0);
=> 
limit(2*(x^2-4)/(x-2),x,2);
=> 
limit(log(x),x,0,plus);
=> 
limit(sqrt(-x)/x,x,0,minus);
=> 

微分

diff(sin(x), x);
=> 
diff(x^x, x);
=> 

我们能使用一个任选的数字来定义微分计算的阶数，从而来计算更高阶的微分方程:

diff(tan(x), x, 4);
=> 

积分

Maxima提供了一些类型的几分计算。当计算不定积分时候：

integrate(1/x, x);
=> 

定积分的情况下，只需要把后两个参数定义成积分的范围：

integrate(x+2/(x -3), x, 0,1);
=> 
integrate(%e^(-x^2),x,minf,inf);
=> 

如果方程integrate不能计算一个积分的时候，你可以运行数值计算，用一个合适的方程（例如：romberg):

romberg(cos(sin(x+1)), x, 0, 1);
=> 0.57591750059682

累加和累乘

sum 和 product 是用于计算累加和累乘的方法。当需要简化结果的时候，可以使用simpsum选项。注意，你也可以用product来定义你自己的方程。

sum(k, k, 1, n);
=> 
sum(k, k, 1, n), simpsum;
=> 
sum(1/k^4, k, 1, inf), simpsum;
=> 
fact(n):=product(k, k, 1, n);
=> 
fact(10);
=>  

展开级数

级数展开可以通过方法taylor来进行（最后一个参数用于定义展开深度），或者用powerseries:

niceindices(powerseries(%e^x, x, 0));
=> 
taylor(%e^x, x, 0, 5);
=> 

当taylor的输出需要用图形表示的时候，trunc方法和plot2d一起使用（去解决泰勒级数尾部输出的符号问题）：

plot2d([trunc(%), %e^x], [x,-5,5]);

我希望这个能对你有帮助，而且希望它能帮你快速开始使用Maxima。CAS是非常清大的工具，如果你想学会正确的使用它们，你会很快发现它很值得所投入的时间。

翻译的很烂，望多包涵。纯属练笔，同时自己也在学习这个软件。其中很多大学的术语已经忘记了。

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如下文所述，当今复杂研究的核心是结合或然论和决定论的论述，以及宏观和微观的视角，开辟一种多层次研究的方法。

复杂预测系统

在一个特定的时间段，通过主流状态的分析，我们可以使用概率分布为其未来的趋势作出可靠预测，这要感谢它们固有的显性和稳定性特征。特别有趣的是对极端事件的预测，它们位于某些类型的状态多次出现的时刻，以及临界状态。有关概率预测的状态可以理解为在点态附近粗粒度的感觉集合（比如决定论方法中的特征）。这种方法如今被越来越多地用于气象预报，在这个领域它被称为集合预测（ensemble forecasting）。

复杂，熵和广义尺度

类熵量等级可以刻画一个概率过程的特性，描述数据的总量需要一个特定的系统状态（香农熵），或在限定尺度下的一个近似序列（块或动态熵）。Kolmogorov-Sinai熵是无限尺度下block熵的极限，并且它也可以用来描绘系统的动态随机程度。类熵量另外还派生了一种类维度的量，通常称为分形，它为复杂性提供了一个有用的几何特性描述。

复杂和信息

复杂系统的概率描述提供了一种状态序列的表示方法，涉及到一个包含符号和字母的符号系统。在这方面，复杂系统涉及信息的源头和信息的加工者。用算法加工符号序列，使其长度最小化，并允许观察者将其还原，这涉及算法复杂度，或Kolmogorov-Chaitin复杂度（柯氏复杂度或KCC）。从这个角度看，完全随机序列是最为复杂的一类，但该理论认为自然的复杂度位于完全秩序和完全随机之间，从这个意义上说，算法复杂度的概念是一种动力学“平衡”的状态。

比例，相互关系和自相似

复杂系统另外一个特性是相关性，用平均方法提供一系列数值描述，在系统的一部分遭受外界施与的扰动时，系统可以保留多少有关时间和空间的记忆。作为一条规则，复杂行为开始的标志是产生持久的相关性，一些极端情况下时间和空间的尺度完全自由，表现出完全没有特权的特点。相关的概率分布显示，在转换中遵循能量定律。这些特征涉及到自相似，或分形律。

模拟复杂系统

直接模拟复杂有趣的过程，而不是计算一套枯燥的演化公式，这是如今复杂系统研究中必不可少的要素。从少量的最初信息开始，被认为很有必要，这已经被不同的研究所证实。可以通过模型，仅仅用简单的局部规则就可以在一个广谱区域观察复杂行为的特性（它们的组成单位可以组成复杂的结构，并且与物理法则相比，它们之间的相互作用很多情况下不为人知）。从蒙特卡洛和多主体模拟系统到细胞自动机游戏，这些以计算机为工具的模型为我们提供了直观的演示，以及深刻的洞察。

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1987年7月，Carol和Douglas Hofstadler在东俄勒冈的Wallowa的群山之中互相点着对方的鼻子，象征着“strange loop”。

随着我逐渐长大，我，我的哥哥和姐姐都读了一本书。那是一本非常古怪的书，就像是一本集合了艺术、数学、音乐、哲学、数理逻辑、电脑、遗传学、各种各样的悖论、回文以及禅宗和其他许多各种各样的知识组合起来的玩具。这其中的内容给我留下了深刻的印象--我那个过于早熟的姐姐，她因此而成为了一名数学家，后来甚至又因此而一个雕塑家和一位不折不扣的倾听者--它那玩笑似的语言、与常人生活格格不入的怪异感以及那绝佳的智慧成为了一个封闭而又自命不凡的少年反复咀嚼的精神食粮。我和我的兄弟姐妹们并不亲密，但是我们却在这本书中找到了共同语言，这是我们书呆子们的圣经。

这本书叫做Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid--Gödel是奥地利数学家Kurt Gödel；Escher则是极具传奇色彩的荷兰艺术家M.C. Escher；而Bach，则正是巴洛克作曲家Johann Sebastian Bach。把这三个完全不同的人物共同放置在同一本书中的奇特想法来自于一位名叫Douglas Hofstadter的人，他是一名物理博士，那时仅仅34岁。他在1980年因为Gödel, Escher, Bach这本书而获得了普利册奖。而这本书之后也变成了一代思想者们心目中顶礼膜拜的经典之作。在这之后，Hofstadter又发表了一系列的文章，可惜他再也没有回头理会他的那一系列让他功成名就的理论。

在这个月的晚些时候，Hofstadter又将出版一本书名叫I Am a Strange Loop的书（基础读物，412页），在这本书中，他将用自己的语言为自己的早期的作品打下坚实的基础。在过去的28年里，Hofstadter吃够了思考的苦头，而他的妻子的悲剧性的死亡则让着苦涩的滋味又添一分，因此，比我少年时所读到的那本爱打趣的Gödel, Escher, Bach而言，I Am a Strange Loop要更为个人，也更为黑暗。

Hofstadter那独一无二的充满智慧的语言从他的童年时期就开始生根发芽了。他的父亲名叫Robert Hofstadter，在1961年是获得了诺贝尔物理学奖。在他还是一个男孩时，他就被一个个视觉上的、概念上的“loop”深深吸引住了：不论是feedback、self-reference还是recursiveness、还是任何一样能够以一种意想不到的方法自己弯取回来的事物都能够引起他的注意。他在I Am a Strange Loop中取出了一些例子（也就是说，书中包含了很多其他的事情，看起来像是一个极富知识性的自传）。比如说在漫画Nancy中，Sluggo作了一个梦，梦见了一个正在做梦的Sluggo，而这个做梦的Sluggo却恰恰梦到的是一个正在做梦的Sluggo，这个故事不断地讲下去，就成为了一个无穷无尽的链条。又比如说，一个被印在Morton's Salt盒子上的女孩手中拿着一个Morton's Salt盒子，而他手中的盒子上印着另外一个女孩拿着盒子的照片，这一组照片可以不停的轮换下去，除非那个女孩腾出手来干一点别的。同样的事情也可以用摄像机来替换，Hofstadter指出，如果我们从电视机的屏幕上看到摄像机镜头，同样也可以制造出一个无限循环的链条。

如果不是他的妹妹，他或许会直接被培养成一个像他的父亲那样的物理学家。在Hofstadter12岁那年，他的妹妹被诊断为有严重的精神问题，她从来没有学过说话，也不懂得别人的语言。“我曾经有一段时间对自己内心中的感受极为感兴趣，”Hofstadter说道。（他轻轻地说道，还带着一点讽刺的味道，仿佛Rogers先生是一名智商极高的火箭专家，而不是一明长老会的成员）“当Molly的病情越来越明显时，她的糟糕状况也越来越为人们所熟知。这使得人们不得不思考大脑与人本身的关系，想一想大脑到底是通过怎样的方式的自己是谁的。”

这些在理论上不断循环的“loop”以及意识的物理起源--被Hofstadter以一种让人意想不到的方法编织在一起，并且把它们写进了自己的新书I Am a Strange Loop 。这本书从Hofstadter初始啼音的第一本书Gödel, Escher, Bach开始：Gödel在1931年证明出，代数这种极度符合逻辑而且看起来似乎始终如一的数学系统，事实上也是有能力制造出各种各样有关自己的陌生而又似是而非并且还带有一些自我指向性的状况。而作者Hofstadter正是通过这一状况来探寻人类思想的本质。举例来说，Gödel发现，有一些数学理论，如果他是正确的，则这一理论永远都不可能被证明。这个世界上有一种理论可以同时被定义为正确和无法证明吗？人们大致上称这一理论为为“incompleteness”，你可以将其与Heisenberg的那个著名的uncertainty principle对人们所产生的冲击（相对而言好一点）进行比较。事实证明，数额并不是向人们所想象的那样，是一个巧妙而整洁的直线，倒更像是一个曲线，这也是它最让人们感到困惑的的地方之一。

Hofstadter则一头扎进了人类思想这一与Gödel的工作完全平行的神秘领域。大脑，只不过是一个疯狂的生成神经元的黏糊糊的块状物，按理说并没有思考的能力--或者说，她明没有能力意识到自己的存在，徘徊于对自己的思考，最后生成出一个自己来，也就是我们所说的“我，”可是，她就是这么做了。正如Gödel的数学一样，人类意识同样也是一种奇怪的，以自我为中心的曲线--这正是一种海市蜃楼一般的幻觉，不过“这种幻觉是非常特殊的……它可以让人们感知到自己的存在，人们当然不会相信这不是一种幻景，但是无论如何--它确实是的。”

Hofstadter有关于自己的观点实际上是十分中立的，同时在逻辑哲学上也是很难站的住脚的--他不是精神性的--实际上作者本人并不信教--也不拘泥于那些冷冰冰的唯物精神病学中的细胞机械理论之中。对于Hofstadter而言，人类的性格就是在对自己的哲学引导之中那一道光明的、闪烁的、不断的自维持的奇迹：“模糊的，富有隐喻性的，充满不确定性的，然而同时却又是极为美丽的。

I Am a Strange Loop在某些理论上又攀登上了一个新的高度，但是他依然是一部非常个人的作品，并且被深深打上了Hofstadter近年生活的印记。1993年，Hofstadter心爱的妻子突然死于脑部肿块，年仅42岁，留下了他带着两个年幼的孩子生活在这个世界上。Hofstadter被巨大的悲痛吞噬了下去，I Am a Strange Loop这本书中处处流淌着他的妻子Carol的气息，仿佛是Carol的精神、性格复活于他的身上--她的思想就像那奇特的曲线一般坚定而固执的运行于他的身上，她的思维软件冥冥之中被复制之后运行于他的硬件之上，又如同她的歌曲则被放在他的器械上播放，如此的微弱，但是却又如此的真实。“我们两人的心灵之中仿佛能够感觉到相同的东西，那绝对不是两种不同的感觉，那完完全全是一种相同的感受，”Hofstadter说道。“如果你相信意识本身在某种程度上就是一幅抽象画的话，那么出现在我的脑中的画也会出现在这个世界上的其他人脑中。”I Am a Strange Loop是一部有关于严肃思考的作品，但是那也是一份来自于那些有关于浪漫爱情的记忆的礼物：它记载着两位数学家共同度过的有关于那些不可思议的思考的日日夜夜。

在为I Am a Strange Loop作结之前，我要向大家展示一幅几乎能够被称为雕塑的照片，这是一个弯曲着、交织在一起的金属结，那正是Hofstadter一生所迷恋的recursive、self-referential arguments之类的真实写照。当我第一眼看到它时，我不仅仅为它的美丽所折服，同时也被照片之后的事实所震惊：这幅照片是我的姐姐拍摄的，她在28年前从 Gödel, Escher, Bach获得了极大的灵感。机缘巧合之下，姐姐在一个圣诞节为Hofstadter拍下了这张照片，而他又将这张照片放在了自己的书中。我告诉Hofstadter谁才是真正喜欢的思想的并且将这让人惊讶的奇特之处的展示出来的人--至于它的证据，或许正是Hofstadter的精神力量使得他写下了这样的文字，最终感染了我的姐姐，侵染了她的作品，最终让他的作品去到了它该去的地方，而Hofstadter本人，正好为整件事画下了一个完整的圆圈。“那真是一样意外的惊喜，”Hofstadter说道。“这才是真正的‘strange loop’。”

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