Kutha Ardana Blog

Matematika Bendera

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Mon, 17 Aug 2015 00:47:00 +0000

Di hari Proklamasi, 17 Agustus 2015, Sang Saka Merah Putih berukuran 3 x 2 m² berkibar gagah di Istana Merdeka. Inilah ukuran resmi terbesar Sang Saka Merah Putih yang diatur dalam PP No. 40 tahun 1958. Intinya, nisbah (rasio) panjang : lebar bendera kita adalah 3 : 2. Adakah suatu konsep matematika yang terkait dengan nisbah semacam ini?

Ada, namanya Golden Ratio. Golden Ratio, phi (φ) bernilai positif dan memenuhi persamaan φ² - φ - 1 = 0 atau φ = 1.61803... Ia merupakan konstanta matematik yang sering dikaitkan dengan perancangan karya seni dan estetika. Golden Ratio muncul pada beberapa fenomena alam, rancangan barang-barang industri (wide-screen tv, kartu kredit, buku, dsb), arsitektur bangunan, musik, studi persepsi, metode pengoptimuman, algoritma perdagangan, dsb. (lihat http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio). Karenanya golden ratio juga sering disebut devine proportion, nisbah ilahi.

Pada tahun 1753, matematikawan Skotlandia, Robert Simpson berhasil membuktikan bahwa φ sama dengan F_n/F_n-1 untuk n yang besar, dengan F_n menyatakan suku ke-n barisan Fibonacci {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}. Artinya nisbah {1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …} akan konvergen menuju φ. Perhatikan nilai sepuluh nisbah pertama F_n/F_n-1. beserta nilai numeriknya yang makin mendekati φ, sbb.

{1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55}

{1., 2., 1.5, 1.66667, 1.6, 1.625, 1.61538, 1.61905, 1.61765, 1.61818}

Mari kita kaitkan dengan ukuran bendera beberapa negara. UK, Australia, USA (dengan sedikit koreksi), dll. menggunakan suku ke-2 nisbah F_n/F_n-1, yakni 2 : 1. Indonesia, Prancis, Italia, dll. menggunakan suku ke-3 dengan nisbah 3 : 2. Jerman lebih akurat dengan menggunakan suku ke-4, 5 : 3. Finlandia benar-benar ingin tampil cantik dengan nisbah 18 : 11 = 1.6363. Meski USA hanya menggunakan pendekatan suku ke-2, namun banyaknya bintang serta konfigurasinya pada bendera itu ternyata terkait dengan spiral golden ratio.

Kembaran bendera Indonesia, yakni Monako menggunakan nisbah 5 : 4 = 1.25, yang masih lebih jauh dari Golden Ratio jika dibandingkan dengan nisbah Sang Saka Merah Putih, 3 : 2 = 1.5. Artinya, Sang Merah Putih masih lebih indah dipandang dari sisi estetika.

Berkibarlah Sang Saka Merah Putih yang gagah nan indah. Dirgahayu Indonesiaku, HUT ke 17 + 8 + 45 = 70, 17 Agustus 2015.

The ULTIMATE PI DAY 3+14+15 Fakta Pi

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Sat, 14 Mar 2015 02:26:00 +0000

Kaos MathIPB Sambut Pi Day 2015

Anda termasuk orang yang beruntung menjadi bagian dari komunitas ilmuwan, matematikawan seluruh dunia yang berkesempatan menyaksikan sebuah hari istimewa. Betapa tidak peristiwa ini hanya terjadi satu abad sekali, atau dapat dikatakan sekali seumur hidup! Dialah The Ultimate Pi Day yang tepat jatuh pada bulan Maret, tanggal 14, tahun 2015, tepat pukul 9:26:53 (am/pm). Itulah 10 digit pertama Pi dari tak berhingga dan tak berpola digit-digitnya, 3.141592653...

Untuk menyemarakkan Pi Day yang super istimewa ini, berikut saya sajikan 3+14+15 = 32 fakta-fakta pi yang diambil dari berbagai sumber. Butir terakhir saya peroleh setelah membuat program komputasi sederhana. Selamat menikmati...

Pi merupakan konstanta penting matematika yang menyatakan nisbah antara keliling lingkaran dengan diameternya.
Pi adalah bilangan irasional yang berarti pi tak dapat dinyatakan sebagai pecahan, digit desimalnya tak berulang.
Bukti bahwa pi bilangan irasional pertama kali ditunjukkan oleh matematikawan Johann Heinrich Lambert pada tahun 1766. Pada tahun 1882, matematikawan asal Munich - Jerman, Ferdinand Lindemann berhasil membuktikan bahwa pi bersifat transendental. Ini berarti pi bukanlah merupakan akar dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Sebagai contoh 9 pi^4 - 240 pi^2 + 1492 ~ -0.023237, tetapi dijamin polinom seperti itu tidak akan pernah bernilai tepat 0.
Pecahan 22/7 adalah pendekatan pi dalam bentuk pecahan yang paling sederhana, menghasilkan pi tepat sampai 2 desimal.
Pi Day digagas fisikawan Larry Shaw pada tahun 1988. Tahun 2009 Kongres AS menyetujui penetapan Maret 14 sebagai National Pi Day.
Pi Day bertepatan dengan hari kelahiran ilmuwan tersohor, Albert Einstein.
Pi memiliki dua hari peringatan, Maret 14 (3/14) sebagai Pi Day, sementara 22 Juli (22/7) sebagai Pi Approximation Day.
"I prefer pi" adalah palindrom (sama bila dibaca dari belakang).
Pecahan 22/7 sebagai pendekatan Pi akurat hingga 0.04025%, pecahan 355/113 akurat hingga 0.00000849%, dan pecahan 104348/33215 akurat hingga 0.00000001056%
Jika anda menulis "3.14" dan baca di kaca, akan terlihat "PIE".
Sekitar 2000 SM, orang-orang Babilonia telah menetapkan konstanta nisbah keliling - diameter lingkaran sebesar 3 1/8 atau 3.125. Orang-orang Mesir Kuno menggunakan nilai 3 1/7 atau 3.143.
Salah satu rekor pi awal ditemukan oleh seorang penulis Mesir bernama Ahmes (1650 SM). Hasilnya hanya terpaut kurang dari 1% dari komputasi modern pi (3.141592).
Plato (427-348 SM) memperoleh pendekatan nilai pi dengan akar yang cukup akurat: √2 + √3 = 3.146.
Bapak Kalkulus, Isaac Newton, menghitung pi sampai sedikitnya 16 decimal.
Ludolph Van Ceulen menghabiskan sebagian besar hidupnya untuk menghitung 36 digit Pi. Ini dikenal dengan Ludolphine Number.
William Shanks menghitung 707 digit pi secara manual (tangan), namun sayang ia melakukan kesalahan setelah digit ke-527.
Perhitungan serius tentang pi pertama kali dilakukan oleh Archimedes sekitar 300 tahun SM menggunakan pendekatan poligon.
Lambang π sendiri baru diperkenalkan tahun 1706 oleh matematikawan asal Welsh, Wiliam Jones. Matematikawan Swiss, Leonhard Euler, mulai memopulerkannya pada tahun 1737.
Dalam alfabet Yunani, "π" adalah huruf ke-16, sementara dalam alfabet Latin, "p" juga huruf ke-16.
“Ludolph’s Number”, “Archimedes constant”, “Circular constant” adalah nama-nama yang mengacu pada π.
Dalam episode Star Trek "Wolf in the Fold", Spock memerintahkan komputer jahat untuk menghitung π sampai digit terakhir. Spock adalah satu-satunya makhluk yang rasional yang dapat memecahkan masalah dengan menggunakan bilangan irasional.
Adalah mustahil untuk membuat sebuah lingkaran menjadi bentuk persegi panjang (square the circle).
Tidak ada angka 0 pada 31 digit pertama π.
Pada posisi ke-763 terdapat enam angka sembilan berturutan. Ini dikenal dengan Feynman Point.
314159, enam digit pertama π muncul setidaknya enam kali pada 10 juta pertama digit desimal π.
Bentuk lingkaran yang terkait erat dengan konstanta π dengan sudut penuh 360 (°) muncul mulai posisi digit ke-358 hingga 360 dari digit desimal π.
Digit 0123456789 mulai muncul pada digit ke 17,387,594,880; digit 9,876,543,210 mulai muncul pada digit ke-21,981,157,633; digit 27,182,818,284 (beberapa digit awal konstanta Euler, e) muncul pada digit ke- 45,111,908,393 pada π.
Belum diketahui apakah π bilangan normal, meskipun 30 juta digit pertamanya tampak menyebar seragam.
Komputasi π merupakan uji stress terhadap komputer yang dikenal dengan "digital cardiogram". Rekor dunia banyaknya desimal π telah menembus angka 12 triliun desimal yang dipecahkan 28 Desember 2013 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo. Dua tahun sebelumnya mereka juga memecahkan rekor 10 triliun digit π dalam waktu lebih dari setahun (371 hari). Dengan melakukan optimasi pada implementasi algoritme Chudnovsky melalui program y-cruncher, ditambah dengan pemanfaatan hardware yang lebih canggih, kali ini waktu tersebut dapat dipangkas menjadi 3 bulan (94 hari).
Akira Haraguchi (Jepang) adalah pemegang rekor dunia tak resmi setelah pada tahun 2010 berhasil menghapal 111,700 digit π. Chao Lu (China) tercatat secara resmi sebagai pemegang rekor dunia penghapal digit pi hingga 67,890 digit.
Hanya diperlukan 39 desimal π untuk mengukur keliling bentuk-bentuk lingkaran – kesalahan yang dihasilkan tak lebih dari radius atom hidrogen.
Happy The Ultimate Pi Day 1-2*3+45*678+910 = 31415... :)

Lipat Kertas 42 x, Tumpukannya Sampai di Bulan?

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 08 Apr 2014 06:22:00 +0000

Percayakah anda, bahwa dengan melipat kertas seukuran A4 sebanyak 42 kali, lalu hasil lipatannya ditumpuk, maka bentangan tumpukan itu bisa mencapai bulan!

Bagaimana mungkin? Mari kita lihat perhitungan sederhananya. Rata-rata ketebalan kertas adalah 0.1 mm. Kalau kita lipat selembar kertas sekali akan diperoleh 2 tumpukan. Kalau ini dilipat lagi, maka pada lipatan kedua akan menghasilkan 4 tumpukan (2²). Demikian seterusnya, sehingga pada lipatan ke-42 akan diperoleh 2⁴² tumpukan. Berarti ketebalannya adalah 2⁴² × 0.1 × 10^-6 km ≅ 439 805 km. Ini melebihi jarak rata-rata bumi - bulan sebesar 384 400 km. Jadi secara matematis masuk akal, bukan?

Tetapi pada prakteknya mungkinkah hal ini bisa dilakukan? Cobalah lipat secara berulang selembar kertas berukuran sedang. Maksimum kita dapat melakukannya hanya sampai 6-7 lipatan! Lagipula 2⁴² tumpukan itu sama dengan 4 398 046 511 104 (hampir 4.4 triliun) tumpukan. Bisa dibayangkan andaikan bisa betapa kecilnya ukuran tumpukan itu. Mungkin wujud fisik kertas sudah tidak bisa dilihat lagi.

Inilah sebuah contoh yang sangat sederhana bahwa apa yang tidak mungkin secara praktis, bisa jadi masih mungkin secara matematis. Namun demikian, tidak sedikit fenomena-fenomena alam seperti prediksi gempa bumi, tsunami yang baru bisa didekati secara matematis. Konsep-konsep matematika umumnya bersifat abstrak. Dari konsep-konsep abstrak inilah kemudian banyak lahir model-model matematik yang digunakan untuk membantu mengungkap fenomena-fenomena alam atau permasalahan-permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Sang ilmuwan besar - Galileo menulis, "The great book of nature can be read only by those who know the language in which it was written. And that language is mathematics..." Karena itu, janganlah membenci matematika. Bila alat-alat canggih komunikasi, transportasi, dll. "dibedah", pasti di sana ditemukan matematika. Ia adalah alat bantu untuk bisa sukses dalam era persaingan global yang makin ketat dewasa ini...

3/14 Pi Day, Einstein's Birthday

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Fri, 14 Mar 2014 06:59:00 +0000

Jika anda perhatikan waktu posting artikel ini: 1:59 PM, mungkin ada yang sudah dapat mengaitkan dengan judul artikelnya. Ya, saya sengaja memilih waktu tersebut, karena kalau dirangkaikan dengan tanggalnya (dalam format md) akan menjadi 3.14159. Itulah 6 digit pertama konstanta π (Pi) dari takhingga banyaknya digit yang dimilikinya. Fisikawan Larry Shaw adalah penggagas Pi Day pada tahun 1988. Tahun 2009 DPR AS menyetujui penetapan National π Day. Larry Shaw tentu juga ingin memperingati hari istimewa itu karena juga bertepatan dengan hari kelahiran fisikawan tersohor, Albert Einstein.

Komputasi serius π yang telah dirintis Archimedes 300 SM hingga saat ini terus berlanjut. Rekor dunia banyaknya desimal π telah menembus angka 12 triliun desimal yang dipecahkan 28 Desember 2013 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo. Dua tahun sebelumnya mereka juga memecahkan rekor 10 triliun digit π dalam waktu lebih dari setahun (371 hari). Kali ini, dengan melakukan optimasi pada implementasi algoritme Chudnovsky melalui program y-cruncher, ditambah dengan pemanfaatan hardware yang lebih canggih, waktu tersebut dapat dipangkas menjadi 3 bulan (94 hari).

Konstanta π yang digitnya tak berujung dan tak beraturan sering digunakan untuk mencari pola-pola kemunculan digit tertentu. Bentuk lingkaran yang terkait erat dengan konstanta π dengan sudut penuh 360 (°) misalnya, ternyata muncul mulai posisi digit ke-358 hingga 360 dari digit desimal π. Bilangan 169 muncul pada posisi 40, lalu 40 muncul pada posisi 70. Jika proses looping ini diteruskan ternyata akan kembali ke posisi 40 dengan urutan: 40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40.

STOP PRESS
Entah disengaja atau tidak, tepat pada Pi Day ini juga PDIP resmi mencalonkan Jokowi sebagai capres...
Kalau begitu PDIP = Pi Day Indonesia Party? :)

1402/2014: Full Moon Derangement Valentine Day

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Thu, 13 Feb 2014 17:00:00 +0000

Pada awalnya, melalui kalender saya hanya mengetahui bahwa Valentine day tahun 2014 bertepatan dengan bulan purnama. Eksplorasi lebih lanjut menghasilkan sesuatu yang cukup unik dari sudut pandang kombinatorika (cabang matematika yang terkait dengan teknik pencacahan unsur-unsur suatu himpunan). Apa itu? Coba perhatikan susunan tanggal-bulan dengan tahunnya:

1	4	0	2
2	0	1	4

Selain susunan digit tanggal-bulannya merupakan salah satu permutasi (susunan berbeda) dari digit tahunnya, permutasi tersebut memiliki susunan digit yang semuanya berbeda dengan susunan digit tahunnya (1≠2, 4≠0, 0≠1, 2≠4). Susunan yang berbeda semua dengan susunan awalnya inilah di dalam kombinatorika disebut derangement. Tentu saja, derangement seperti ini langka karena di waktu mendatang hanya muncul di tahun-tahun {2041, 2140, 4021, 4120, 4210}.

Saya jadi teringat dengan sebuah lagu Sunda berjudul “Anjeun” (Kamu). Berikut penggalan lagunya:

Dasar kudu kanyahoan
Ngirim surat salah ngasupkeun eusina
Surat sial jeung cilaka
Putus ka ditu ka dieu…

Lagu tersebut berkisah tentang seorang cowok yang mengirimkan dua surat kepada dua ceweq teman dekatnya (sang cowoq tidak menerapkan konsep fungsi 1-1 :-) ). Yang membuat dia sial, dia salah memasukkan suratnya ke dalam amplop yang telah disiapkannya; surat untuk si A dimasukkan ke amplop si B, surat untuk si B malah dimasukkannya ke amplop si A. Tamatlah riwayatnya…

Ini adalah contoh paling sederhana dari derangement dengan dua unsur yang menghasilkan hanya satu cara. Andaikan kedua unsur tersebut kita lambangkan dengan {1, 2}, maka satu-satunya cara yang menghasilkan susunan yang semuanya berbeda adalah {2, 1}. Kalau sang cowok mengirimkan suratnya untuk 3 orang teman dekatnya, {1, 2, 3}, maka nasibnya akan diputus oleh ketiganya bila ia memasukkan suratnya secara salah semuanya yang dalam hal ini ada sebanyak 2 cara, yakni: {2, 3, 1} dan {3, 1, 2}.

Derangement dari n unsur berbeda dilambangkan dengan d(n) atau !n (subfaktorial n) merupakan bentuk rekursif:

d(n) = !n = (n - 1) (d(n - 1) + d(n - 2)) , d(0) = 1, d(1) = 0

yang juga akan menghasilkan bentuk:

d(n) = n! (1/0! – 1/1! + 1/2! – … + (-1)ⁿ/n!)

Bentuk d(n) juga memiliki keterkaitan dengan bilangan Euler, e ≈ 2.71828… sbb.

d(n) = !n = [n!/e]; n ≥ 1

lambang [x] menyatakan bilangan bulat terdekat ke x (rounding).

Dengan demikian peluang bahwa dari permutasi n objek berbeda, akan menghasilkan susunan dengan posisi unsur yang berbeda semua adalah !n/n!. Di dalam teori peluang, untuk n yang besar (n → ∞), peluang ini akan menjadi 1/e ≈ 0.3697…

Dengan Mathematica, derangement dari n unsur dapat dihitung dengan perintah Derangements[n] melalui package Combinatorica`.

Derangements[4]
{{2, 1, 4, 3}, {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {3, 1, 4, 2}, {3, 4, 1, 2}, {3, 4, 2, 1}, {4, 1, 2, 3}, {4, 3, 1, 2}, {4, 3, 2, 1}}

Berikut banyaknya susunan dari 10 derangement pertama dengan perintah Subfactorial.

Table[Subfactorial[n], {n, 1, 10}]
{0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961}

Happy Special Full Moon Derangement Valentine Day… :-)

Artikel terkait:
Teka-teki Matematika Valentine
Matematika Valentine

Happy New Year 1+2+3/4567*8-9+10 = 2014

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 31 Dec 2013 17:00:00 +0000

Selamat Tahun Baru 2014, Happy New Year, 明けましておめでとうございます.

Tambah kreativitas, kurangi kecerobohan, gandakan prestasi, bagi keberhasilan...!

2014 =
1234-5+6+789-10
123*4*5-67*8+9*10
12*34*5-6+7-8-9-10
1+2+345*6-78+9+10
1-2+345*6+7-8*9+10
1-2+345*6-7*8-9+10

(10+9)(8*7+6-5-4)(3-2+1+0)

01/01/14
0 + 1 = 0 + 1 =1^4

0 + 1 + 0 + 1 = 1*sqrt(4)
0*1 + 0/1 = floor(1/4)
cos(0) + 1 - sin(0) + 1 = |1 - 4|

.........

Silakan, dilanjutkan dengan kreativitas lainnya... :)

(Puri Sungsut Azra, 01/01/14)

Math Fallacies2: -1 = 1?

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Thu, 05 Sep 2013 06:52:00 +0000

Mari kita lanjutkan artikel sebelumnya tentang "-1 = 1" dengan teknik manipulasi aljabar yang lain. Tujuannya tentu saja untuk mengevaluasi sejauh mana kecermatan kita dalam melakukan manipulasi aljabar sederhana.

Silakan dicermati di mana letak kekeliruannya. Bila ingin menuliskan komentar, silakan berbagi di bawah ini.

Math Fallacies1: -1 = 1 ?

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Wed, 28 Aug 2013 08:50:00 +0000

Jelas bahwa -1 ≠ 1. Tapi, bagaimana jika seseorang bersikukuh telah membuktikannya dengan langkah aljabar sederhana sebagai berikut.

-1 = (-1)¹ = (-1)^2/2 = √ (-1)² = 1.

Di manakah letak kekeliruannya? Silakan berikan komentar anda di bawah ini.

7 Jurusan yang Lulusannya Bergaji Besar

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Sat, 16 Feb 2013 02:33:00 +0000

JAKARTA, KOMPAS.com, 16 Feb 2013 — Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Nasional (SNMPTN) 2013 sudah memasuki masa pendaftaran. Para siswa sekolah menengah atas (SMA) yang kini sedang bingung dengan jurusan apa yang tepat bagi mereka sehingga mampu menjamin masa depannya.

Ina Liem, penulis buku bertajuk Tujuh Jurusan Bergaji Besar, mengatakan bahwa ada tujuh jurusan yang dapat dijadikan pilihan oleh anak-anak yang hendak melanjutkan pendidikan tinggi. Tujuh jurusan ini diyakini mampu menunjang masa depan yang cerah karena bisa menuai penghasilan besar bagi lulusannya.

"Semua pekerjaan memang bisa mendapat gaji besar jika dirintis dengan benar. Tapi, untuk fresh graduate yang ingin mendapat gaji besar, tujuh jurusan ini bisa mewujudkannya," kata Ina saat World Education Expo Indonesia (WEEI) 2013 di Balai Kartini, Jakarta, Jumat (15/2/2013).

Lantas, apakah tujuh jurusan itu?

1. Matematika
Wanita yang juga menjabat sebagai In-Country Manager La Trobe University ini memaparkan bahwa jurusan pertama yang mampu menghasilkan gaji besar adalah jurusan Matematika. Jangan salah, masuk ke jurusan Matematika justru membuka peluang untuk dapat bergabung dengan perusahaan besar kelas internasional.

"Biasanya kan lulusan Matematika disebutnya hanya bisa jadi guru. Enggak seperti itu juga. Justru lulusan Matematika ini berpotensi menjadi pakar analisa untuk perusahaan besar," ujar Ina.

2. Teknik Informatika
Jurusan kedua yang mampu menghasilkan uang banyak saat ini adalah jurusan Teknik Informatika atau lebih akrab disebut Information Technology (IT). Hal ini masuk akal melihat teknologi yang kian maju dan kebutuhan perusahaan akan ahli teknologi untuk memajukan bisnis yang dikelolanya.

3. Teknik Kimia
Jurusan ketiga yang mendongkrak masa depan seseorang adalah jurusan Teknik Kimia. Tentu tidak ada yang menyangka bahwa jurusan Teknik Kimia termasuk yang berpotensi bergaji besar. Pasalnya, jurusan ini justru tidak populer jika dibandingkan dengan jurusan Psikologi, Hukum, dan Kedokteran.

"Memang terlihatnya tidak populer. Tapi sekali lagi jangan salah, Teknik Kimia ini juga banyak dilirik. Contoh pasta gigi, sabun, atau cat tembok yang digunakan itu semua ada campur tangan lulusan Teknik Kimia," jelas Ina.

4. Manajemen
5. Geologi
6. Teknik Pertambangan
7. Teknik Perminyakan

Secara berturut-turut empat jurusan ini memang selalu disebut-sebut mampu menghasilkan uang berlimpah bagi para lulusannya. Apalagi, tiga jurusan terakhir.

"Geologi, pertambangan, dan perminyakan ini tidak usah ditanya. Biasanya, begitu masuk langsung bisa dapat gaji double digit," ungkap Ina.

"Namun, semua itu tidak cukup jika tidak memiliki soft skills yang baik. Jadi, jangan lupa kembangkansoft skills," tandasnya.

Menurut Oxford Dictionaries, soft skills adalah karakter pribadi yang memudahkan seseorang untuk berinteraksi dengan efektif dan harmonis dengan orang lain di sekitarnya.

(Sumber: http://edukasi.kompas.com/read/2013/02/16/09064375/7.Jurusan.yang.Lulusannya.Bergaji.Besar)

Happy New Year 1 + 23 + 4567*8/9 - 10 = 2013 20 Keistimewaan 13

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Mon, 31 Dec 2012 17:00:00 +0000

Apa harapan anda di tahun 2013? Yang jelas semuanya ingin dapat berkiprah lebih "prima". Ada yang ingin membuat event prima dengan memilih tanggal istimewa di tahun 2013, seperti: 13/1/13, 1/2/13, 1/3/13, 11/12/13. Agar lebih afdol, ada tambahan: "Acara dimulai pk. 20:13". Bisa juga ditambahkan 'bumbu': "2013 pendaftar pertama akan mendapat diskon 20.13%" (setelah harganya dinaikkan lebih dari 20%, :) )

Sebagian orang percaya bahwa 13 (yang merupakan singkatan tahun 2013 ini) adalah angka sial. Ketakutan akan angka 13 ini sering disebut Triskaidekaphobia. Benarkah? Bergantung cara memandangnya. Berikut adalah hasil eksplorasi saya berupa 20 poin terkait bilangan 13 untuk menyambut tahun baru 2013.

Sial: Siapa saja pihak yang ikut memercayai 13 sebagai angka sial? Bisa jadi salah satunya adalah perusahaan raksasa software Microsoft. Buktinya? Coba cermati versi Microsoft Officenya. MS Office 2007 disebut Office 12, namun produk berikutnya, Microsoft 2010 tidak disebut sebagai Office 13, melainkan Office 14. Jadi versi 13 diloncati. Selanjutnya MS Office 2013 kembali normal, disebut Office 15.
Sial: "Salah duanya", Federasi Automobil Internasional, FIA, tidak mencantumkan nomor 13 dalam Formula One World Championship Entry List, setelah seringnya terjadi kecelakaan maut pada pembalap bernomor mobil 13 (lihat entry list 2013).
Sial: Apollo 13 diluncurkan 11 April 1970, pk. 13:13. Dua hari kemudian, 13 April, dalam perjalanannya menuju bulan, terjadi ledakan pada tangki oksigennya hingga misi pendaratan di bulan dihentikan. Beruntung, seluruh awak dapat kembali ke bumi dengan selamat.
Sial: Mendiang Puteri Diana tewas dalam kecelakaan maut bersama Dodi al Fayed setelah Mercedes-Benz yang membawanya menabrak pilar ke-13 terowongan Pont de l'Alma, Paris, pada 31 Agustus 1997.
Sial: SADDAM HUSSEIN (13 huruf) ditangkap pada 13/12/2003; 1+3+1+2+2+0+0+3 = 13.
Mujur: Pesepakbola Jerman, Michael Ballack, pesepakbola Korsel, Park Ji Sung berjaya dalam karier profesionalnnya dengan kostum bernomor punggung 13. Dalam timnas Korsel, Park mengemas 13 goal.
Haid: Seorang wanita dewasa yang memiliki siklus haid normal (28 hari) akan mengalami 13 kali "kedatangan tamu" dalam setahun.
Abjad: Abjad ke-13 adalah M yang terdiri atas 1 + 3 ruas garis.
Anagram 13: ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE
Publikasi: Sejak 2007, kode ISBN (International Standard Book Number) terdiri atas 13 digit.
Math: 13 malah disebut Lucky Number.
Math: 13 merupakan bilangan emirp yang pertama (terkecil). Bilangan emirp (baca terbalik: "prime") didefinisikan sebagai bilangan prima yang bila digitnya diurut terbalik, juga menghasilkan bilangan prima yang baru. Bila tahun-tahun di abad 21 ini disingkat, kita akan menemukan 8 "tahun emirp", yakni: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, dan 97. Sebagian diantara anda termasuk beruntung pernah menikmati langsung tahun emirp tanpa disingkat, yang jumlahnya di abad 20 hanya ada lima, yakni: 1901, 1913, 1933, 1949, dan 1979. Tentu saja tidak ada tahun emirp di abad 21, karena bila tahun-tahunnya dibalik akan merupakan bilangan genap. Setelah itu tahun emirp baru muncul sepuluh abad lagi: 3011, 3019, 3023, ...
Math: Jumlah 13 bilangan prima pertama 2 + 3 + 5 + ... + 41 = 238. Jumlah digitnya, 2 + 3 + 8 = 13.
Math: 131211109876543212345678910111213 adalah bilangan prima.
Math: Para siswa yang pernah belajar tripel Phythagoras tentu ingat dengan 13 yang masuk dalam tripel (5, 12, 13).
Math: Bilangan prima 13 adalah bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Bilangan Fibonacci ke-13 adalah 233 yang juga merupakan bilangan prima.
Math: Bilangan 13 muncul pertama kali pada digit ke-111 pada desimal Pi, 3.1415926535897... Menariknya, jumlah dari faktor primanya, (111 = 3 x 37) adalah 3 + 3 + 7 = 13.
Math: Istilah matematika berikut terdiri atas 13 karakter: ANTILOGARITHM, APPROXIMATION, CIRCUMFERENCE, INDETERMINATE, PERPENDICULAR, QUADRILATERAL, IntegralLipat, Belah_Ketupat :)
Semi Sial? Ada banyak bangunan gedung, rumah sakit, hotel di Indonesia yang menghindari penamaan lantai 13. Namun uniknya masyarakat kita justru memandang 12 sebagai angka sial. Buktinya, orang lebih sering mengatakan "Celaka 12" dibanding "Celaka 13". Lalu, hukuman pinalti pada sepak bola di kampung disebut "12 pass", bukan "13 pass" :)
Blog: Numpang beken lagi (biar pass 20); penulis blog ini bernama N. K. Kutha Ardana, 13 huruf... heh heh... :D

So, tidak perlu ikut-ikutan jadi triskaidekaphobia yang takluk dengan mitos sial 13. Apalagi sampai ganti setting kalender menjadi tahun 2012A, seperti komentar seorang pembaca blog ini. Toh 13 adalah lucky number, bilangan prima. Semoga makin primalah kiprah dan prestasi kita di 2013 ini.

Mathematica 9: Makin Andal, Lengkap & Mudah

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Fri, 30 Nov 2012 07:43:00 +0000

Ada sebuah "kebetulan" pada kunjungan perwakilan Wolfram Research dari US ke kampus IPB kemarin, Rabu, 29 November 2012 dalam rangkaian "Wolfram Indonesia Tour 2012". Hari itu pula bertepatan dengan peluncuran Mathematica 9. Saya pun langsung mendownload versi trial 30 hari. Setelah mencoba, di awal langsung dapat merasakan efisiennya bekerja dengan fitur baru, "Predictive Interface".

Fitur ini berupa:

Tawaran analisis lanjut dari sembarang sel output,
Tawaran melengkapi perintah secara langsung saat mulai menuliskan perintah,
Tawaran memilih sintaks argumen suatu perintah.

Pada setiap sel output akan muncul menu yang berisi beberapa tawaran analisis lanjut yang dapat dilakukan. Misalkan kita punya list dua dimensi berupa matriks sebagai input. Maka di sel output, Mathematica akan menawarkan banyak pilihan analisis lanjut berupa fungsi-fungsi terkait matriks, fitting data (regresi), plot, dsb., termasuk meminta bantuan WolframAlpha untuk melakukan analisis lebih lanjut.

Next Computation Suggestion Bars

Context Sensitive Input Assistant

Anda yang banyak bekerja dalam analisis data secara statistika boleh bergembira dengan dintegrasikannya bahasa pemrograman R (free, open source) ke dalam Mathematica melalui fasilitas RLink. Dengan demikian anda dapat memanfaatkan keandalan R dalam analisis data dari Mathematica.

Wolfram tampaknya terus konsisten dengan mimpinya: menyediakan sebanyak mungkin tools dalam satu sistem Mathematica. Secara keseluruhan terdapat 400 kemampuan baru dalam 57 area aplikasi, termasuk:

New graph and network analysis, including built-in links for Facebook, LinkedIn, Twitter, and more,
Markov chains, queueing theory, time series, and stochastic differential equations,
Major new data science, probability, and statistics functionality, including survival and reliability analysis,
Highly integrated units support, including free-form linguistic entry, conversions, and dimensional consistency checking across graphics and numeric and symbolic calculations,
3D volumetric image processing and out-of-core technology that scales up performance to very large 2D and 3D images and video,
Integrated analog and digital signal processing.

Anda dapat melihat fitur-fitur ini dalam screencast video dari Wolfram.

Sayang, saya tidak menemukan fitur "step by step solution" seperti yang bisa diperoleh melalui WolframAlpha. Tapi baguslah. Bukankah perwakilan Wolfram kemarin mengatakan, hanya 20% dari para pelajar/mahasiswa yang menggunakan fitur itu sebagai alat bantu pembelajaran. Sisanya, 80% hanya copy-paste untuk menjawab tugas/PR yang diberikan... :(

Font Crash, Updated Dec 04, 2012
Bila anda menginstall Mathematica 9, kemudian terjadi crash (blue screen) pada komputer, itu disebabkan adanya error ketika update font dari versi sebelumnya. Download file EXE berikut dari Wolfram, jalankan, restart komputer, fixed...
http://support.wolfram.com/kb/data/uploads/2012/11/restoremathfonts.exe

Hal ini tidak akan terjadi bila anda mengunduh Mathematica 9 sejak Dec 4 karena Wolfram telah mengganti file installnya dengan memperbaiki masalah crash ini.

22/7: Pi Approximation Day - Bukti Elegan Pi ≠ 22/7

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Sat, 21 Jul 2012 20:14:00 +0000

Dalam sebuah kesempatan memberikan workshop pada beberapa guru matematika SMA di DKI Jakarta, saya menanyakan "Apakah Pi = 22/7?" Seperti yang saya duga, masih ada segelintir peserta yang menjawab "Ya". Saya tekankan, "22/7 bukanlah nilai Pi", ia hanya merupakan pendekatan dengan pecahan yang sederhana yang tepat hanya sampai dua desimal. Karenanya, setiap tanggal 22 Juli (22/7) diperingati sebagai "Pi Approximation Day" (silakan simak artikel ringan saya tepat tanggal 22/7 setahun y.l., "22/7: Happy Pi Approximation Day").

Para matematikawan selalu ingin menunjukkan suatu fakta secara matematis dengan cara yang elok, elegan... Dan beruntunglah, bahwa Pi < 22/7 telah ditunjukkan dengan cara yang sederhana, namun mampu membuat seseorang berdecak kagum (bagi yang mengaguminya, tentu... :) ) Adalah K. Mahler, seorang dosen matematika Univ. of Sydney yang memberikan pembuktian sederhana dan pertama kali muncul sebagai soal ujian masuk di Univ. of Sydney pada November 1960. Tercatat kemudian Putnam Mathematical Competition turut memuatnya sebagai soal no. 1 pada kompetisi tahun 1968. Yang terkini, Indian Institutes of Technology juga memuatnya sebagai soal ujian masuk tahun 2010.

Pembuktiannya hanya melibatkan ketaksamaan dan integral sederhana, yakni

0 < ∫₀¹ x⁴(1 - x)⁴/(1 + x²) dx = 22/7 - π.

Bahwa integral tersebut selalu positif mudah ditunjukkan dari integran (fungsi yang diintegralkan) yang positif, dengan batas bawah integral (0) lebih kecil dari batas atasnya (1). Selanjutnya, dengan membagi pembilang dan penyebut, akan diperoleh

0 < ∫₀¹[x⁶ - 4x⁵ + 5x⁴ - 4x² + 4 - 4/(1 + x²)] dx

yang dengan integral fungsi standar menghasilkan

0 < (x⁷/7 - 2x⁶/3 + x⁵ - 4x³/3 + 4x - 4 arctan x )|₀¹ = 22/7 - π

Dengan demikian terbuktilah bahwa π < 22/7. QED

Archimedes bahkan telah menunjukkan hal ini 250 tahun SM dengan metode poligon - lingkarannya. Karenanya, janganlah sampai kita diledek, "Hari gini masih nyebut π = 22/7..." Happy π Approximation Day...

Artikel terkait

Komputasi Math di Android

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Fri, 25 May 2012 14:25:00 +0000

Di tengah hingar bingarnya persaingan tablet atau smartphone dari vendor-vendor ternama, saya hanya punya kriteria sederhana sebelum bisa memilikinya, "Alangkah praktisnya bila dapat melakukan komputasi matematik yang cukup memadai di tablet atau smartphone karena akan amat praktis (bentuknya imut-imut, mudah dibawa kemana-mana). Kini, harapan saya itu telah menjadi kenyataan.

Dengan tablet atau smartphone berbasis sistem Android, kita antara lain dapat melakukan komputasi ala Matlab, Mathematica/Maple, pemrograman C, penulisan dokumen matematik dengan sistem LaTeX, dll. Yang tak kalah menggembirakannya, sebagian besar berupa free applications alias gratis. Berikut beberapa aplikasi terkait yang dapat dicoba.

Matlab Like

ADDI - Free Matlab Like

Anda dapat mengunduh gratis cloning Matlab versi Android, yakni: ADDI, Mathmatiz. Keduanya mampu menangani M-file. ADDI dirancang menggunakan open source berbasis Java, JMathLib. Fungsi Matlab yg sudah diintegrasikan dapat dilihat di lis ini. Dibandingkan Mathmatiz, tampaknya ADDI telah mengintegrasikan lebih banyak fungsi-fungsi Matlab, namun Mathmatiz mempunyai disain antar muka (GUI) serta fasilitas visualisasi grafik yang lebih apik.

Mathematica/Maple Mini

MathStudio

MathStudio adalah aplikasi sistem aljabar komputer berbasis Android (bisa juga untuk iPad, Windows). Tersedia perintah-perintah baku Mathematica/Maple dengan fasilitas grafik 2 maupun 3 dimensi. MathStudio dibandrol dengan harga hampir $20.

C\C++

C4droid - C/C++ Compiler

Anda seorang C/C++ programmer? Jangan khawatir! Anda dapat merancang dan mengkompilasi program C/C++ dengan C4droid (hanya $1.5 = Rp 15 000,-). C4droid menyertakan editor dengan fasilitas syntax highlighter. Agar dapat mengkompilasi program C++, unduhlah free GCC plugin for C4droid. Pengembang C4droid juga menyediakan compiler bahasa pemrograman Pascal - PasGUI.

LaTeX
LaTeX telah menjadi standar penulisan dokumen matematis. Anda yang telah terbiasa dengan typesetting LaTeX dapat bekerja di sistem Android dengan mengunduh VerbTex secara gratis. VerbTex akan mengkompilasi dokumen anda secara online


VerbTex - Latex Typesetting

Masih banyak aplikasi-aplikasi terkait matematik yang tersedia di Android. Semuanya tentu diharapkan akan dapat meningkatkan efisiensi proses komputasi matematik, baik secara numerik maupun simbolik.

Proses pengajaran matematika pun mesti mulai disinergikan dengan perkembangan teknologi komputasi. Hal-hal yang mengedepankan proses bernalar yang logis, sistematis dan analitis perlu mendapat penekanan. Gunakan tools komputasi untuk masalah komputasi yang berukuran besar/rumit, namun pahamilah dengan baik, konsep-konsep yang melandasi tools tersebut sehingga anda akan dapat mengarahkannya untuk pengembangan lebih lanjut.

Kombinatorika: Kombinasi dengan Perulangan

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Wed, 09 May 2012 13:53:00 +0000

Seorang anggota group fb math menanyakan bagaimana menurunkan formula untuk masalah kombinatorika, "Ada berapa cara menempatkan r objek yang identik ke dalam n wadah yang berbeda, tanpa batasan penempatan?" Sebagai ilustrasi sederhana, ada berapa cara mendistribusikan 5 komputer (identik) pada 4 sekolah secara bebas? Artinya, dimungkinkan kondisi penyebaran yang ekstrim: sebuah sekolah bisa tidak mendapatkan bagian, atau sebuah sekolah bisa mendapatkan 1 sampai 5 komputer.

Untuk menganalisa permasalahan ini, perhatikan beberapa kemungkinan penyeberan (di sebelah kiri) beserta lambangnya (di sebelah kanan):

1 1 2 3 4 → xx | x | x | x
1 2 3 3 4 → x | x | xx | x
2 2 3 4 4 → | xx | x | xx
4 4 4 4 4 → | | | xxxxx

Tiga lambang garis tegak "|" menghasilkan empat bagian (sekolah 1, 2, 3, 4): 1 di kiri untuk sekolah 1; 2 di antara untuk sekolah 2 dan 3; dan 1 di kanan "|" untuk sekolah 4. Sementara banyaknya lambang "x" menyatakan banyaknya komputer yang diterima sebuah sekolah. Baris pertama menyatakan sekolah 1 menerima 2 komputer, sekolah 2 sampai 4 masing-masing menerima 1 komputer. Dari sini mudah dilihat bahwa keseluruhan cara penyebaran yang dimaksud sama maknanya dengan menyusun 8 objek yang terdiri atas 5 objek identik "x" dan 3 objek identik "|" (= 4 sekolah - 1). Ini akan ada sebanyak 8!/(5! 3!) = C(8, 5) = C(8, 3) = 56 cara. Hal ini mirip dengan menyusun karakter "INI", yang ada sebanyak 3!/(2! 1!) = 3 cara: "INI", "IIN", "NII", yakni dengan membagi banyaknya susunan seluruh objek (seandainya berbeda) dengan banyaknya susunan masing-masing objek jika diandaikan berbeda.

Dengan cara yang serupa, banyaknya cara menempatkan r objek identik ke dalam n wadah berbeda sama dengan menghitung banyaknya susunan r + n - 1 objek yang terdiri atas r objek identik "x" serta n - 1 objek identik "|". Hal ini akan ada sebanyak (r + n - 1)!/[r ! (n - 1)!], atau

C(r + n - 1, r) = C(r + n - 1, n - 1)

Perhatikan bahwa masalah tersebut di atas bermakna sama dengan dua masalah berikut:

Banyaknya solusi bilangan bulat taknegatif x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5, x_i ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4.
Banyaknya cara memilih 5 objek dengan perulangan, dari 4 objek berbeda.

Berikut adalah solusi ketiga masalah setara tersebut menggunakan Mathematica yang menghasilkan 56 cara berbeda.

sol1 = Solve[{x1 + x2 + x3 + x4 == 5 && x1 >= 0 && x2 >= 0 && 
     x3 >= 0 && x4 >= 0}, {x1, x2, x3, x4}, Integers];
sol2 = Map[#[[2]] &, sol1, {2}]
Length@sol2

{{0, 0, 0, 5}, {0, 0, 1, 4}, {0, 0, 2, 3}, {0, 0, 3, 2}, {0, 0, 4, 1}, {0, 0, 5, 0}, {0, 1, 0, 4}, {0, 1, 1, 3}, {0, 1, 2, 2}, {0, 1, 3, 1}, {0, 1, 4, 0}, {0, 2, 0, 3}, {0, 2, 1, 2}, {0, 2, 2, 1}, {0, 2, 3, 0}, {0, 3, 0, 2}, {0, 3, 1, 1}, {0, 3, 2, 0}, {0, 4, 0, 1}, {0, 4, 1, 0}, {0, 5, 0, 0}, {1, 0, 0, 4}, {1, 0, 1, 3}, {1, 0, 2, 2}, {1, 0, 3, 1}, {1, 0, 4, 0}, {1, 1, 0, 3}, {1, 1, 1, 2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 3, 0}, {1, 2, 0, 2}, {1, 2, 1, 1}, {1, 2, 2, 0}, {1, 3, 0, 1}, {1, 3, 1, 0}, {1, 4, 0, 0}, {2, 0, 0, 3}, {2, 0, 1, 2}, {2, 0, 2, 1}, {2, 0, 3, 0}, {2, 1, 0, 2}, {2, 1, 1, 1}, {2, 1, 2, 0}, {2, 2, 0, 1}, {2, 2, 1, 0}, {2, 3, 0, 0}, {3, 0, 0, 2}, {3, 0, 1, 1}, {3, 0, 2, 0}, {3, 1, 0, 1}, {3, 1, 1, 0}, {3, 2, 0, 0}, {4, 0, 0, 1}, {4, 0, 1, 0}, {4, 1, 0, 0}, {5, 0, 0, 0}}

56

Semoga bermanfaat!

Happy Pi Day 3/14

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 13 Mar 2012 20:14:00 +0000

Pi Pie at Delft University (Wikipedia)

Bila suatu saat anda beruntung memiliki kesempatan mengenyam kuliah di universitas terkemuka MIT (Massachusets Institute of Technology), terhitung sejak tahun 2012 anda akan menerima surat pemberitahuan diterima sebagai mahasiswa yang dikirim tepat di hari Pi Day pada tanggal 3/14 (Maret, 14) pk. 6.28. Konstanta 6.28 adalah "adik kandung" Pi (π), disebut konstanta Tau (τ) dengan nilai Tau = 2 Pi.

Meski konstanta Pi = 3.1415... berupa bilangan irasional dengan desimal yang tak berulang dan tak berujung, fisikawan Larry Shaw pada tahun 1988 menggagas setiap Maret tanggal 14 (3/14) sebagai Pi Day, bersamaan dengan tanggal lahir ilmuwan tersohor, Albert Einstein (3/14, 1879). Gayung pun bersambut. DPR AS pada tahun 2009 menetapkan 3/14 sebagai National Pi Day.

Perhitungan serius tentang Pi pertama kali dilakukan oleh Archimedes sekitar 300 tahun SM menggunakan pendekatan poligon. Namun lambang π sendiri baru diperkenalkan tahun 1706 oleh matematikawan asal Welsh, Wiliam Jones.

Sifat π dengan desimal tak berulang dan tak berujung telah memacu para matematikawan untuk berlomba menemukan formula komputasi π, baik dalam bentuk deret, limit, konstruksi geometri, maupun iterasi (http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html). Di pihak lain, berbagai algoritme terus dikembangkan untuk mengimplementasikan komputasi π. Tak ketinggalan para perancang perangkat keras komputer terus tertantang untuk mengembangkan processor yang makin canggih.

Sampai saat ini, rekor dunia banyaknya desimal π telah menembus angka 10 triliun desimal yang dipecahkan 17 Oktober 2011 dengan program y-cruncher oleh Alexander Yee dan desktop komputer yang dirakit oleh Shigeru Kondo. Diperlukan waktu komputasi selama lebih dari 1 tahun (371 hari), 24 x 2TB harddisk komputasi, serta 5 x 2TB penyimpan output ( 1 TB = 2^40 bytes) (http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html). Program y-cruncher ini juga telah memecahkan rekor dunia untuk konstanta-konstanta matematika lainnya, termasuk konstanta Euler (e) dan Golden Ratio.

Tahukah anda, bahwa puncak perayaan hari Pi (disebut: "Real Pi Day" akan jatuh pada bulan Maret tanggal 14, 2015 pk. 9:26:53 AM. Bila angka-angka ini dipadukan (3/14/15, 9:26:53) akan membentuk 10 digit pertama π (3.141592653). Saya pun sudah menyiapkan judul artikel untuk yang satu amat spesial ini, "Happy 1-2*3+45*678+910..."

Formula Matematik Terindah

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Fri, 09 Mar 2012 15:04:00 +0000

Bak seorang selebritis, formula matematik pun punya fans. Dan andalah, para math lovers yang dapat menilai apakah suatu formula matematik tergolong indah atau tidak. Meski keindahan itu sendiri bersifat subyektif, tapi kita coba tetapkan kriteria yang umum bagi suatu formula yang elegan, yakni: i) ringkas, ii) dalam, dan iii) mencengangkan!

Lalu, siapakah sang ratu formula math terindah? Berdasarkan penilaian dari beberapa matematikawan, ilmuwan ternama, dan kontes formula yang pernah diadakan, pilihan jatuh pada Identitas Euler,

$$e^{i\,\pi}+1=0$$

Inilah sebuah persamaan ringkas yang mampu mengaitkan 5 konstanta penting matematika, serta 3 operator dasar aritmetika, yaitu:

bilangan Euler, e, yang merupakan basis logaritme alami,
konstanta Pi, $\pi$, yakni nisbah keliling terhadap diameter sebuah lingkaran.
bilangan imajiner i, dengan sifat $i^2=-1$,
identitas perkalian, 1,
identitas penjumlahan, 0, dan
operator pangkat, kali, tambah.

Fisikawan kondang, Richard Feynman, menjuluki persamaan tersebut sebagai, "the most remarkable formula in mathematics". Anda tentu sudah dapat menduga penemunya; matematikawan ternama, Leonhard Euler. Identitas Euler merupakan kasus khusus dari formula Euler, $e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$, dengan mengambil $\theta=\pi$.

Menyimak keindahan yang tersurat dan tersirat di balik Identitas Euler, saya punya gagasan, alangkah uniknya bila seorang Cerdas yang menjuarai suatu kompetisi matematika misalnya, diberikan sertifikat yang berbunyi

"Penghargaan diberikan kepada Sdr. Cerdas sebagai
JUARA $-e^{i\,\pi}$..."

Belajar Pemrograman dari Project Euler

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Thu, 01 Mar 2012 04:01:00 +0000

Anda punya minat dalam komputasi matematik? Bisa jadi anda telah bergabung dalam Project Euler. Bila belum, cobalah kunjungi situs webnya di http://projecteuler.net/. Pengelola situs ini secara berkala memuat open problem terkait komputasi matematik. Hingga 28 Februari 2012, lebih dari 210 ribu peserta dari 205 negara (termasuk Indonesia) turut serta dalam projek ini. Untuk mengikutinya, anda harus mendaftar terlebih dahulu. Setelah berpartisipasi aktif, anda dapat mengukur level kemampuan anda atau berdiskusi dengan sesama peserta. Yang tak kalah pentingnya tentu saja peserta bisa belajar melihat pendekatan solusi peserta lain. Hal ini dapat meningkatkan kemampuan peserta dalam perancangan algoritme dan pemrograman sehingga dapat menghasilkan program yang elegan dan efisien.

Untuk menyelesaikan sebuah soal, selain pemahaman secara matematis, anda disarankan menggunakan alat bantu komputasi. Hingga akhir Februari 2012, ada 59 bahasa pemrograman/softwares yang dilaporkan peserta sebagai alat bantu komputasi. Grafik berikut menampilkan urutan 10 besar bahasa pemrograman berdasarkan rataan skor indeks banyaknya pengguna dan persentase banyaknya soal yang dapat diselesaikan. Urutan dua teratas ditempati sistem aljabar komputer (CAS) Pari/GP dan Mathematica. Berbeda dengan CAS komersial Mathematica, Pari/GP adalah free CAS yang dikembangkan sebagai alat bantu, khususnya dalam komputasi teori bilangan.

Source: http://projecteuler.net/languages (as of Feb 27, 2012)

Berikut adalah contoh sebuah soal Project Euler (Problem 2):

Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

Ada tiga tahapan utama dalam masalah ini: i) membangkitkan barisan Fibonacci dengan bilangan yang tidak melebihi 4 juta, ii) memilih bilangan Fibonacci genap, lalu iii) menjumlahkannya. Mari kita lihat implementasinya pada beberapa bahasa pemrograman, baik yang bertipe fungsional maupun prosedural.

Mathematica (Fungsional)

Select[Fibonacci/@Range@NestWhile[(#+1)&,1,Fibonacci[#]<=4*10^6&]-1, 
  EvenQ]//Total

Mathematica (Prosedural)

sum = 0;
For[i = 1, Fibonacci[i] <= 4000000, i++, 
 If[EvenQ@Fibonacci[i], sum += Fibonacci[i]]]
sum

Pari/GP (Prosedural)

s=0;
forstep(i=1,100,1,a=fibonacci(i);if(a<=4e6,if(Mod(a,2)==0,s+=a)));
s

C/C++ (Prosedural)

#include <iostream>
using namespace std;

int main(void)
{
  int s = 0;
  for (int i = 1, j = 2; j < 4e6; j += i, i = j-i)
    if (j % 2 == 0)
      s += j;

  cout << s << endl;
  return 0;
}

APL/J/K (Fungsional, perintah hanya dengan karakter :) )

fib=: {."1@(]`(({: , +/)@])@.(> {:)^:(<_))&1 2
   +/ (#~ -.@(2&|)) fib 4e6

Tipe manakah yang menjadi andalan anda, atau yang mungkin memberikan inspirasi untuk memperdalamnya? Cobalah jalan-jalan sambil 'cuci otak' ke Project Euler...

2102 2012: Palindrom

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 21 Feb 2012 07:10:00 +0000

Pagi ini saya dibangunkan oleh suara tanda sms dari seorang teman. Ia mengingatkan bahwa susunan digit tanggal hari ini sangat menarik, 2102 | 2012, "Tanggal dan bulan merupakan cermin tahun", demikian pesannya. Ini termasuk kejadian langka, karena kita baru akan menemukannya delapan tahun lagi, 0202 | 2020. Susunan seperti inilah yang dikenal dengan palindrom angka – deretan angka dengan urutan dari depan ke belakang sama dengan dari belakang ke depan. Hal ini bisa diperluas menjadi palindrom kata, seperti: "katak", atau bahkan palindrom kalimat seperti "Kasur NababaN rusaK" :) .

Sebagian besar bilangan non-palindrom dapat dengan mudah dibuat menjadi palindrom melalui proses iterasi dengan cara menjumlahkannya dengan kebalikan dari urutan bilangan tersebut. Misal, 36+63=99 (1x iterasi), 39+93=132 → 132+231=363 (2x iterasi). Anda dapat mengeksplorasinya melalui aplikasi interaktif CDF Wolfram Mathematica di bawah. Namun tidak demikian halnya dengan bilangan 196. Banyak orang telah mencoba bahkan hingga jutaan iterasi, namun belum menghasilkan bilangan palindrom (lihat misalnya, http://en.wikipedia.org/wiki/Palindromic_number). Karenanya ini merupakan salah satu konjektur, karena belum ada yang mampu membuktikannya secara matematis, apakah pada akhirnya akan menghasilkan bilangan palindrom atau tidak.

Kalau pun anda tidak terlalu tertarik dengan bilangan palindrom, anda masih dapat mengambil hikmah dari makna palindrom, yakni "objek berkaca". Setidaknya ia bisa mengingatkan kita untuk rajin berkaca diri, agar dapat membedakan mana hal yang patut, mana yang tak patut dilakukan...

Happy 1-2+3+4567*8-910 Teka-teki Matematika Valentine

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 14 Feb 2012 00:08:00 +0000

Ini kisah rekaan tentang sepasang kekasih matematikawan – Valen dan Tine yang merayakan Valentine Day. Mereka ingin mencari cara yang unik untuk mengekspresikannya. Jadilah seperti pada gambar di samping. Cobalah copas "1-2+3+45*6*7*8-910" ke Google atau hitung dengan kalkulator (perkalian terlebih dahulu). Hasilnya adalah 14 2 12 - hari Valentine tahun 2012.

Eksplorasi lebih lanjut menunjukkan bahwa 14212 hanya dapat dinyatakan secara unik sebagai operasi aritmetik sederhana (+, -, *, /) terhadap sepuluh bilangan asli pertama secara berurutan, 1, 2, ..., 10, baik secara utuh (1, 2, 3, 6, 7, 8) maupun berupa gabungan (45, 910). Dalam hal ini operasi "/" tidak terpakai.

Nah, sekarang anda dipersilakan melakukan eksperimen komputasi untuk menyelesaikan teka-teki berikut,

Ekspresikan 14212 sebagai operasi dari seluruh atau sebagian operator +, - , *, / terhadap sepuluh digit pertama PI secara berurutan, yakni 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3.

Anda akan menemukan beberapa kemungkinan hasil. Silakan berbagi melalui fasilitas Post a Comment di bawah, bila anda menemukan jawabannya atau ingin mendiskusikan prosesnya.

Happy Ending
Valen dan Tine saling berkirim coklat yang dirancang dengan formula persamaan permukaan jantung di atas, disertai ucapan,

Happy 1-2+3+45*6*7*8-910. Semoga rasa sayang di antara kita terus bersemi bagai sebuah relasi simetrik dalam matematika (Valen sayang Tine $\Rightarrow$ Tine sayang Valen) ;) :P

Related Posts

2^3^4 = ...? Gunakan ()

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Thu, 09 Feb 2012 02:26:00 +0000

Apa yang membedakan kalkulator pintar dengan kalkulator murahan? Barangkali anda bisa mencoba menghitung "1+2*3". Bila hasilnya 9 [=(1+2)*3], itu kalkulator murahan, karena belum bisa membedakan preseden operator aritmetik. Bila hasilnya 7, anda patut bersyukur karena memiliki kalkulator pintar yang bisa membedakan hirarki operator aritmetik, yakni (dari tinggi ke rendah): 1) kurung: ( ), 2) pangkat: ^, 3) kali, bagi: *, /, 3) tambah, kurang: +, -

Tapi pernahkah anda berpikir bagaimana sifat keasosiatifan operator pangkat, "^"? Inilah yang membuat gundah JerWei Zhang, seorang pengguna Google+, yang mencoba mengevaluasi 2^3^4 (${2^{3^4}}$) pada berbagai software komputasi. Hasilnya? TIDAK KONSISTEN!

Bisa ditebak, ada dua kelompok output, yaitu:

asosiatif kiri: 2^3^4 = (2^3)^4 = 4096
asosiatif kanan: 2^3^4 = 2^(3^4) = 2 417 851 639 229 258 349 412 352

Saya mencoba mengevaluasinya pada beberapa software/sistem dengan hasil sebagai berikut.

Asosiatif kiri
Asosiatif kanan

Tampaknya lebih banyak yang menggunakan sifat asosiatif kanan. Alasan "^" dikategorikan sebagai asosiatif kanan dapat dilihat di http://en.wikipedia.org/wiki/Associative_property pada bagian "Notation for non-associative operations". Namun pelajaran paling penting dari kasus ini adalah betapa pentingnya lambang kurung dalam komputasi karena dia merupakan preseden aritmetik tertinggi. Artinya, anda akan aman menuliskan (2^3)^4 ataukah 2^(3^4) di sistem manapun. Kerancuan ini juga tidak akan terjadi pada bahasa pemrograman seperti C, PHP yang menggunakan perintah dengan dua argumen, pow(x, y), yang akan menghasilkan x^y.

23+1 Keistimewaan Bilangan 23

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Mon, 23 Jan 2012 04:23:00 +0000

Bilangan 23 muncul dalam berbagai aspek. Demikian istimewanya, sampai ada kalangan yang memercayai the 23 enigma – keyakinan bahwa banyak kejadian terkait dengan bilangan 23, langsung atau tidak langsung. Inilah koleksi saya, dengan tautan (link) dari sumber yang layak dipercaya, diposting tepat tanggal 23, pk. jam posting siap : 23 menit... :) Silakan disimak, anggap saja membaca pengetahuan umum, yang dikemas berbeda...

Genetika. Anda mungkin tak akan membaca posting ini bila tidak mewarisi 23 kromosom masing-masing dari ayah dan ibu anda.
Bioritme. Kondisi fisik manusia memiliki siklus periodik 23 hari.
Abjad. Huruf "W" adalah abjad ke-23, 2 titik ujungnya berada di bawah, 3 titik ujungnya di atas. :)
Komputer. Huruf "W" (abjad ke-23) di keyboard komputer terletak di bawah di antara tombol angka 2 dan 3. :)
Internet. Alamat internet sebagian besar diawali 2 "//" dan 3 "www". :)
Internet. 23 adalah nomor default portal TCP/IP yang digunakan telnet.
Kimia: Bilangan Avogadro. Banyaknya atom dalam 1 mol unsur adalah 6.21 x 10^23.
Agama. Kitab suci Qur'an diturunkan kepada Nabi Muhammad dalam kurun waktu 23 tahun. Ayat pertamanya diturunkan pada malam ke-23 di bulan suci Ramadhan.
Kalender. 23 Desember 2012 adalah saat dimana sistem kalender suku Maya akan berakhir.
Film. Film The Number 23 mencatat rekor box office dengan mengangkat tema the 23 enigma.
Kisah kehidupan John Forbes Nash, matematikawan yang memenangkan Hadiah Nobel ekonomi 1994, diangkat dalam film A Beautiful Mind. Ia digambarkan sebagai seorang yang terobsesi dengan bilangan 23. Nash telah memublikasikan 23 artikel ilmiahnya.
Ada belasan film dan serial televisi yang mengangkat tema 23, termasuk film Jerman "23".
Tragedi. Kapal mewah Titanic tenggelam 15/4/1912, 1+5+4+1+9+1+2 = 23. :(
Tragedi. Bom atom Hiroshima dijatuhkan tanggal 6/8/'45, 6+8+4+5 = 23, tepat pk. 8:15, 8+15 = 23. :(
Tragedi. Kaisar Romawi, Julius Caesar terbunuh secara brutal mengalami 23 kali tikaman. Di hari naasnya, seorang peramal mengingatkan akan datangnya potensi bahaya yang dapat mengancam jiwanya, namun sang kaesar tidak memercayainya. :(
Sastra. Penyair kenamaan, William Shakespeare dipercaya lahir dan meninggal di hari ulang tahunnya, 23 April (1564 - 1616).
Olahraga. Pebasket profesional kenamaan, Michael Jordan mengenakan kostum bernomor 23 di klub Chicago Bull. David Beckham mengikuti jejak Jordan dengan memilih nomor punggung 23 sejak bermain di Real Madrid tahun 2003. Nomor ini terus dipertahankan ketika bergabung dengan Los Angeles Galaxy tahun 2007. Ketika Beckham dipinjam AC Milan, ia rela memilih kebalikan 23, yakni #32, karena #23 sudah digunakan di klub itu.
Math. 23 adalah satu-satunya bilangan prima yang terdiri atas dua bilangan berurutan yang masing-masing juga merupakan bilangan prima.
Math. 23 adalah bilangan prima terkecil yang bukan merupakan prima kembar (twin prime).
Math. Ada 23 "Definisi" pada buku I Euclid's Elements tentang geometri.
Math. Tentukan minimum banyaknya orang dalam satu ruangan sehingga peluang menemukan sedikitnya dua orang berulang tahun sama > 50%. Jawab: 23 orang. Inilah yang disebut dengan Birthday Paradox, sebuah contoh klasik ketika belajar hitung peluang.
Math. Ada 23 David Hilbert's unsolved mathematical problems yang sangat terkenal. Hilbert – matematikawan Jerman, mengusulkan 23 open problems pada tahun 1900 yang mewarnai arah perkembangan matematika abad 20. Saat ini beberapa di antaranya masih belum terselesaikan.
Math. Kenapa David Hilbert akhirnya mengusulkan 23 open problems, padahal semula ia telah menyiapkan 24 open problems? Tak ada yang tahu persis. Saya mencoba menduga, sederhana saja; tampaknya ia cukup fanatik dengan keistimewaan tanggal lahirnya. Hilbert lahir tanggal 23, tepatnya 23/1/1862 di Konigsberg, Prusia. Istimewanya lagi, 2+3 + 1 + 1+8+6+2 = 23. Masuk akal? ;)
Math. Newton melakukan korespondensi pertama dengan Leibniz tanggal 23 Juni 1676. Surat perdananya ini disebut "Epistola prior". Seperti diketahui, Newton dan Leibniz keduanya berjasa dalam menghubungkan kalkulus integral dengan kalkulus turunan. Jasanya tercatat dalam Teorema Dasar Kalkulus yang memudahkan perhitungan integral seperti diajarkan sekarang.
Math. Sang ratu matematikawan, Carl Friedrich Gauss meninggal tanggal 23 Februari 1855. Kejeniusannya telah terlihat ketika pada usia 3 tahun ia menginformasikan ayahnya tentang adanya kesalahan aritmatik pada perhitungan rumit penggajian yang dikerjakan ayahnya. Di bangku SD kelas 2, ia kembali membuat gurunya tercengang ketika hanya dalam hitungan detik, ia telah menemukan jawaban penjumlahan 1 + 2 + ··· + 100 dengan cara 'super'. Gauss berpesan agar di batu nisannya kelak diberikan lambang heptadecagon (poligon sisi 17, yang konsepnya ditemukannya pada usia 19 tahun), namun pemahatnya menolak dengan alasan sulit dibedakan dari lingkaran (istilah lain bagi "ribet" mengerjakannya :P ). Patung Gauss yang berdiri di atas heptadecagonnya akhirnya didirikan di kota kelahirannya, Braunschweig.

-- end of 23 points ---

Blogger. Tambah satu lagi, numpang beken, penulis blog ini lahir tanggal 23, bernama lengkap NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA, 23 karakter, heh, heh, heh... :D

Ada tambahan, atau komen? Post your comments, please...

Humor: Terbukti, Tertunjuk, QED...

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Thu, 19 Jan 2012 05:25:00 +0000

Alangkah indahnya ketika kita sedang bekerja serius tetap bisa tersenyum. Itulah yang saya alami ketika beberapa waktu yang lalu memeriksa ribuan berkas ujian matematika. Betapa tidak, beberapa peserta ujian cukup 'kreatif' dengan membuat istilah baru.

Lazimnya, bila ada soal pembuktian, "Buktikan bahwa ...", maka jawaban pamungkasnya adalah "terbukti". Tapi yang membuat saya 'terhibur', ada beberapa peserta ujian yang mengakhiri jawabannya dengan cukup meyakinkan, "tertunjuk". Koq bisa?

Usut punya usut, ternyata bunyi soalnya bukan "Buktikan bahwa...", tetapi "Tunjukkan bahwa..."

Sang pembuat soal tentu tidak salah menerjemahkan istilah "Show that..." dengan "Tunjukkan bahwa..." dan ini sesuatu yang lazim. Hanya saja jawaban "tertunjuk"-lah yang tidak lazim, meskipun si penjawab bisa jadi cukup cerdas karena sempat-sempatnya membedakan soal "buktikan bahwa" dengan "tunjukkan bahwa". Bayangkan apa jadinya, kalau ia menjawab soal, "Sebutkan ...". Mungkin jawabannya ditutup dengan "tersebut". Lalu, kalau misalnya ada soal, "Nyatakan masalah tersebut dalam suatu model matematik", bisa jadi jawabannya akan diakhiri dengan "ternyata" (saya salah, saya lupa, ... :P )

Paul R. Halmos

Ketika membaca textbook matematika, tentu anda sudah tidak asing dengan istilah QED atau q.e.d. yang lazim digunakan di bagian akhir jawaban pembuktian secara matematik. Tahukah anda kalau QED berasal dari bahasa Latin "quod erat demonstrandum" yang kurang lebih berarti "telah dibuktikan". Belakangan banyak literatur matematika yang menggunakan lambang kotak (disebut "Halmos tombstone", batu nisan Halmos) sebagai pengganti lambang tradisional QED. Lambang ini untuk mengenang jasa matematikawan besar abad 20, Paul R. Halmos (1916 - 2006). Ia memopulerkan lambang ini yang dilihatnya dari majalah-majalah yang banyak mengakhiri artikelnya dengan lambang kotak tersebut. Istilah favorit lainnya kontribusi Halmos adalah "iff" atau "if and only if" – "jhj, jika dan hanya jika".

Terinspirasi dari istilah "Automatic Teller Machine" (ATM) yang secara kreatif diterjemahkan menjadi "Anjungan Tunai Mandiri", barangkali tak ada salahnya kita mengingat QED dengan "Qubuktikan Engkau Dech...". Bagaimana kalau jawaban tak nyambung bahkan tak bisa menjawab, tetapi tetap tulis QED? Boleh saja, karena di sini berarti "Qubiarkan Engkau Dech...". Tapi pada kasus terakhir, anda pun harus siap menerima "QED" dari pemeriksa soal, "Qunolkan Engkau, Daa..." Fleksibel, bukan? :D

Tutorial: Integrasi CDF ke Blogger

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Sat, 14 Jan 2012 07:42:00 +0000

Beberapa pembaca setia blog ini meminta saya untuk mengulas cara membenamkan (embedding) aplikasi interaktif Wolfram CDF (Computable Document Format) di blogger (blogspot). Memang, setahu saya informasi di web terkait hal ini umumnya untuk membenamkan CDF di blog WordPress.

Silakan simak melalui tayangan berikut. Beberapa informasi pendukung ada di bawah.

Kode Kurva Cinta

Manipulate[
 Plot[Sqrt[Cos[x]] Sin[k x] + Sqrt[Abs[x]] - 1, {x, -Pi/2, Pi/2}, 
  PlotStyle -> Pink], {{k, 100}, 50, 200, 25}]

JavaScript

<script type="text/javascript" 
src="http://www.wolfram.com/cdf-player/plugin/v2.1/cdfplugin.js">
</script>

<script type="text/javascript">
var cdf = new cdfplugin();
cdf.embed('http://Change/ServerPath/myheart.cdf', 437, 326);
</script>

Hasil

Selamat mencoba, selamat terintegrasi dengan kurva cinta...

Humor: Matematikawan Lokal Ternama

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Sat, 07 Jan 2012 05:04:00 +0000

Siapa bilang matematikawan dalam negeri belum menemukan konsep-konsep matematik yang mendunia? Simaklah hasil penelusuran saya berikut, sambil santai dan senyum tentu. :)

Kalkulus

Mereka yang sudah belajar deret di kalkulus tentu ingat dengan nama deret yang amat terkenal, Taylor Series alias deret Taylor. Cobalah sedikit lebih kritis. Andaikan "Taylor" adalah nama penemunya, tidakkah mungkin ia dulunya berasal dari dalam negeri? Andai ia tidak pindah kewarganegaraan, tentu namanya bukan deret Taylor, tapi deret Panjaitan... :P

Sirnalah harapan menemukan matematikawan lokal kelas dunia karena konsep deret Taylor ditemukan oleh matematikawan Inggris, Brook Taylor, lalu diperluas oleh matematikawan Skotlandia, Collin Maclaurin sehingga bentuk umumnya disebut deret Taylor-Maclaurin.

Fungsi Transenden

Salah satu fungsi non-aljabar yang banyak terapannya dalam model pertumbuhan adalah fungsi (yang nasibnya agak malang ;) ) eksponensial,

$$f(t) = \exp(t) = e^t$$

dan e di sini adalah sebuah konstanta penting matematika yang berupa bilangan irasional (tak dapat dinyatakan sebagai pecahan, desimal tak berulang). Nilainya, e = 2.718... dan sering disebut dengan bilangan Euler. Penemunya? Siapa lagi kalau bukan "Euler" sendiri. Dilihat dari namanya yang ada "eu"-nya mungkin ada yang mengaitkan dengan nama Sunda. Tapi ternyata penelusuran serius membantah hal itu, karena nama lengkapnya adalah Leonhard Euler, dan melafalkannya bukan seperti melafalkan "eu" khas Sunda, namun "Oiler". Ia adalah matematikawan Swiss yang amat tersohor karena karya-karyanya yang fenomenal.

Masalah pelafalan "eu" khas Sunda merupakan kenangan tersendiri bagi saya. Ketika pertama kali saya sampai di Bogor, saya naik bemo roda tiga di Tugu Kujang, lalu saya minta kang sopir untuk mengantarkan saya ke sebuah alamat. Saya pun membaca alamatnya dengan jelas, "Pak, tolong antar saya ke CIHEULEUT". Sopir bemo pun tersenyum-senyum mendengar ucapan "Ciheuleut" polos saya... :)

Aljabar Linear

Ketika anda belajar Sistem Persamaan Linear (SPL), tentu akan mempelajari salah satu metode ampuh untuk menyelesaikan SPL, yakni metode eliminasi "Gayus". Memang semua textbook menyebutnya Gauss elimination. Namun, saya mengaitkannya karena i) ucapannya sangat mirip, ii) keduanya sama-sama terkenal, dan iii) tampaknya Gayus ini memang cukup "cerdas" sebagai penemu metode, hanya sayang bukan metode eliminasi dalam SPL, namun eliminasi dalam "spl" (sistem penilepan laporan) pajak hingga milyaran rupiah... :(

Fakta: Gauss elimination dikaitkan dengan nama matematikawan ternama, Carl Friedrich Gauss, karena dialah yang berhasil memopulerkan metode ini, meski metodenya sendiri telah dikenal jauh sebelumnya.

Last but not least

Apa yang dituliskan di atas bukan untuk memperolok matematikawan kita, namun sebagai harapan mudah-mudahan kelak akan lahir anak bangsa yang mampu mengharumkan nama bangsa sebagai matematikawan kaliber dunia... Gambar wajahnya mungkin akan disandingkan dengan gambar wajah-wajah berikut...

2012 Bilangan Prima... Proses Sederhana Menemukan Kebenaran Secara Matematik

noreply@blogger.com (Kutha Ardana) — Tue, 03 Jan 2012 04:24:00 +0000

Saat menyambut tahun 2011 dari tahun 2010 y.l., di web Dep. Matematika FMIPA IPB atas nama Departemen saya membuat ucapan tahun baru yang diawali dengan perintah Mathematica dan Matlab, sbb.

"PrimeQ[2011] == True, isprime(2011) == 1. Artinya, 2011 adalah tahun PRIMA.

Segenap staff dan karyawan Dep. Matematika IPB mengucapkan Selamat Tahun Baru 2011.

Semoga langkah dan karya kita pun makin PRIMA di tahun ini"

Sekarang saya ingin mencari cara agar tahun 2012 juga bilangan "prima", untuk memotivasi agar prestasi kita pun tetap prima. Muncullah gagasan, nyatakan saja 2012 dengan basis selain 10, konversi hasilnya ke dalam basis 10, lalu lihat apakah hasil akhir itu prima atau tidak.

Syukur, dalam sekali langkah sudah ketemu hasil yang diinginkan.

$$ 2012_3 = 2\cdot 3^3 + 1 \cdot 3^1 + 2 = 59_{10} $$

Kita tahu bahwa 59 adalah bilangan prima, sehingga kita bisa mengatakan 2012 adalah bilangan prima dalam basis 3.

Setiap tahun "prima"?
Dari konjektur ke analisis

Awalnya saya berharap semua tahun yang bukan prima pada basis 10, bisa dibuat prima melalui perubahan basis seperti pada kasus 2012. Saya coba buat program kecil di Mathematica untuk tahun 2013 (= 3 * 11 * 61, bukan prima).

Position[PrimeQ@
  Table[FromDigits[{2, 0, 1, 3}, n], {n, 4, 10000}], True]

{}

Artinya eksplorasi 2013 dalam basis 4 hingga basis 10 000 ternyata tidak menghasilkan bilangan prima. Dari situ muncul konjektur (dugaan sementara), "2013 tidak dapat dibuat prima melalui perubahan basis". Inilah kelemahan eksplorasi komputasi. Kalaupun kita telah mencoba hingga 1 triliun kasus serta tidak ada hasil, tetap saja belum bisa menyimpulkan bahwa 2013 tidak dapat dibuat prima melalui perubahan basis. Tetapi, bukankah ekplorasi secara komputasi juga bermanfaat dalam memberikan dugaan awal suatu masalah yang kita hadapi?

Oo..., harus dicari cara lain. Masuk ke tahap analisis sederhana. Konversi bilangan 2013 dalam basis bilangan bulat $n \geq 4 $ ke basis 10,

FromDigits[{2, 0, 1, 3}, n]
% // Factor

3 + n + 2 n^3
(1 + n) (3 - 2 n + 2 n^2)

Yes!, berarti

$$ 2013_n = 2n^3 + n + 3 $$

dan $ 2n^3 + n + 3$ dapat difaktorkan menjadi $ (2n^2-2n+3)(n+1)$

Jadi jelas, 2013 dinyatakan dengan basis berapapun, tidak akan menghasilkan bilangan prima karena hasilnya dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan bulat selain dirinya sendiri dan satu. Pupuslah harapan bahwa semua tahun dapat dinyatakan sebagai tahun prima dengan aturan perubahan basis.

Eksplorasi komputasi, contoh sanggahan, bukti

Keseluruhan proses di atas bisa dijadikan contoh sederhana bagaimana proses mencari suatu kebenaran secara matematik. Di dalam matematika, untuk membuktikan suatu proposisi (pernyataan) salah, kita bisa menggunakan contoh sanggahan (counter examples). Cukup anda berikan satu contoh yang menyangkal pernyataan tersebut, maka anda sudah membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah. Seandainya saya tidak terpaku dengan "2013", tetapi sedikit lebih "cerdas" mengambil kasus tahun 2000, maka mudah terlihat bahwa $2000_n=2n^3$ yang berarti selalu berupa bilangan genap, dan tidak akan pernah berupa bilangan prima. Tidak perlu bikin program komputasi karena kasusnya sangat sederhana.

Akan tetapi untuk membuktikan suatu pernyataan benar untuk suatu bilangan n yang takhingga banyaknya, kita tidak boleh memberikan contoh, berapa pun banyaknya. Mengapa demikian? Karena dengan bantuan komputer tercanggih pun, tetap tidak akan mampu mencakup takhingga banyaknya n yang mesti dipenuhi. Namun demikian, hasil eksplorasi secara komputasi akan membantu anda misalnya dalam menemukan konjektur, menemukan adanya pola-pola keteraturan. Jadi eksplorasi komputasi dapat memberikan arah atau fokus dalam pembuktian formal matematik. Makna lain, anda yang membidangi matematika murni juga akan sangat terbantu memanfaatkan perkembangan teknologi komputasi, khususnya kemudahan-kemudahan yang diberikan oleh suatu sistem aljabar komputer seperti Mathematica.

Anda masih menginginkan tahun 2013 atau bahkan setiap tahun agar prima? Barangkali untuk memotivasi agar setiap saat capaian anda tetap prima. Kita pikirkan aturan main yang lain. Atau mungkin ada yang sudah punya gagasan itu, atau masukan tentang topik ringan ini Silakan tuliskan di bagian comment di bawah, berbagi sesama penggemar matematika. Semoga kita tetap prima dalam mencari ide-ide segar...