tag:blogger.com,1999:blog-25065950809851764412024-03-14T07:18:23.722+01:00MOlympiad.NETMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.comBlogger4543125tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-86155865082047722992024-03-08T09:53:00.001+01:002024-03-08T09:53:21.572+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Tuyên Quang 2023-2024 [Đáp Án]Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Tuyên Quang 2023-2024
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\dfrac{3}{2} ; 4\right)$.Xét các số thực dương $x, y$ thoả mãn $$(x-2)(y+1)=\log _2 9 \cdot \log _3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+3 x .$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9 x+y$.Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A BMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-77923617219774070942024-03-07T10:52:00.005+01:002024-03-07T10:53:05.808+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Quảng Ninh 2023-2024 (Bảng A)a) Cho biểu thức $P=x^5-2 x^4-7 x^3-2 x^2+4 x+15$. Tính giá trị biểu thức $P$ khi $x=\dfrac{-7}{\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}$. b) Cho ba số $a, b, c$ thỏa mãn $a b c=1$ và $a-\dfrac{1}{a}+b-\dfrac{1}{b}+c-\dfrac{1}{c}=0$. Chứng minh $$(a-1)(b-1)(c-1)=0.$$a) Giải phương trình $$x^2-3 x+2=\sqrt{4 x-2}.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x^2-2 y^2-x y-x+5 y &=2 \\ 3 x^2-2 y^2 &=1\end{cases}$$MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-75389748014703620852024-03-07T10:48:00.003+01:002024-03-07T10:48:11.053+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Hậu Giang 2023-2024a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}$ có nghĩa. Tìm $x$ để $A=\dfrac{4}{3}$. b) Tính giá trị của biểu thức $P=\left(x^3-x^2-3\right)^{2024}$ với $x=\dfrac{(\sqrt{5}+1) \cdot \sqrt{6-2 \sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}$.a) Cho đa thức $f(x)=a x^5+b x^3+c x+2$ thỏa mãn $f(-1)=2024$. Tính $f(1)$. b) Hiện nay, tổng số tuổi của chú và cháu là $91$ tuổi. Biết rằngMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-90545247991720026842024-02-28T09:39:00.025+01:002024-02-28T09:59:07.816+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Quảng Ngãi 2023-2024a) Tìm số tự nhiên $n$ sao cho số $n^2+2 n+12$ là số chính phương. b) Tìm các cập số nguyên dương $(x ; y)$ thỏa mãn $6 x+5 y+18=2 x y$. c) Chứng minh với mọi số nguyên chã̃n $m$ thì $m^3+20 m$ chia hết cho $48$.a) Cho biểu thức $${A}=\left(\frac{x+3 \sqrt{x}-3}{x \sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}$$ với $x \geq 0$, $x \neq 1$. Rút gọn biểu thức ${A}$ và MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-20275647563865236792024-02-28T09:20:00.006+01:002024-02-28T09:20:55.349+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Bắc Giang 2023-2024 [Đáp Án]Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Bắc Giang 2023-2024
Tính tích phân $$I=\int_1^2 \frac{x^2-1+\sqrt{x^3+x}}{x \sqrt{x^3+x}} d x.$$Cho hình lăng trụ đứng $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy là hình thang cân, $A B=B C=C D=a$, $A D=2 a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime} C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $45^{\circ}$. a) Tính khoảng cách giữa hai đường MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-43489435508393524942024-02-28T09:14:00.002+01:002024-02-28T09:15:55.258+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Kon Tum 2023-2024 [Đáp Án]Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Kon Tum 2023-2024
a) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số $y=x^3-3 x^2+2 m$ luôn có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không phụ thuộc vào tham số $m$.b) Cho $a, b, c$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn $\log _{2024} a=4$, $\log _{\sqrt{a}} b=3$, $\log _{c^2} \sqrt{b}=2$. Tính giá trị của biểu thức $Q=\log _{2024}\left(\sqrt{a b^2 c^4}\right)MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-75904486795931992412024-02-28T09:06:00.004+01:002024-02-28T09:31:02.100+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 11 Tỉnh Bạc Liêu 2023-2024 [Đáp Án]Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 11 Tỉnh Bạc Liêu 2023-2024
a) Cho tam giác $A B C$ có diện tích $S$ thỏa mãn đẳng thức $S=B C^2-(A C-A B)^2$. Tính $\tan A$. b) Giải phương trình $$(1-\cos x) \cot x+\cos 2 x+\sin x=\sin 2 x.$$Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $$u_1=16,\quad u_{n+1}+14=\frac{15\left(n \cdot u_n+1\right)}{n+1},\,\forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Tìm $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-30976953821002408692024-02-21T11:50:00.009+01:002024-02-21T11:51:43.628+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Bắc Giang 2023-2024a) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{x-4 \sqrt{x}}{x \sqrt{x}+1}+\frac{1-3 \sqrt{x}+x}{x^2+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{x \sqrt{x}-x+\sqrt{x}}$$ với $x>0$. b) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho đường thẳng $d : y=(m-1) x+m-2$ $(m \neq 1)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $2$. c) Giải phương trình $$8 x^3+26 x^2+3 \MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-17100566523962815582024-02-21T11:44:00.007+01:002024-02-21T11:45:08.130+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Quảng Bình 2023-2024a) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$ với $x \geq 0$, $x \neq 1$. b) Tính giá trị của biểu thức $${Q}=\sqrt{28+12 \sqrt{5}}+\sqrt{28-12 \sqrt{5}}+2 \sqrt{43-30 \sqrt{2}}.$$a) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt{2 y-x}+\sqrt{3 x+y} &=5 \\ 2 \sqrt{2 y-x}-3 \sqrt{3 x+y} &=-5\end{cases}$$ b) Giải phương trình $$\sqrt{x-3}MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-20835990637649305822024-02-21T11:37:00.004+01:002024-02-21T11:37:57.501+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Thái Bình 2023-2024a) Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $b(a+1)=1-a$. Tính giá trị của biểu thức $${P}={a} \sqrt{\frac{1+{b}^2}{1+{a}^2}}+{b} \sqrt{\frac{1+{a}^2}{1+{b}^2}}+\sqrt{\frac{\left(1+{a}^2\right)\left(1+{b}^2\right)}{4}}.$$ b) Chứng minh rằng biểu thức $${Q}=\sqrt{1+2023^2+\frac{2023^2}{2024^2}}+\frac{2023}{2024}$$ là số tự nhiên.Trong hệ trục tọa độ ${Oxy}$ cho hai điểm ${A}(-1 ; 1)$, ${B}(-5 ;-3)$ MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-65189064822924531332024-02-21T11:24:00.009+01:002024-02-21T11:25:51.763+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Thanh Hóa 2023-2024a) Cho biểu thức $$A=\left(2-\frac{2 \sqrt{x y}+1}{1+\sqrt{x y}}+\frac{1}{1-\sqrt{x y}}+\frac{2 \sqrt{x}}{1-x y}\right):\left(\frac{\sqrt{x y}-\sqrt{x}}{\sqrt{x y}+1}-\frac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x y}-1}\right)$$ với ${x}$, ${y}>0$, ${xy} \neq 1$. Rút gọn biểu thức ${A}$. b) Cho số thực $a$ thỏa mãn ${a}^3-{a}-1=0$. Tính giá trị của biểu thức $$B=a \sqrt{2 a^6-4 a^4+4 a^2+3 a}-\sqrt{2 a^2MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-12363811660037811472024-02-21T11:19:00.002+01:002024-02-21T11:20:04.007+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Điện Biên 2023-2024Cho biểu thức $$P=\frac{3 x+5 \sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}-1.$$ a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $$\left(x-\sqrt{x^2+5}\right)\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=5.$$ Tính giá trị của biểu thức ${A}={x}^{2023}+{y}^{2023}$.a) Giai phương trình $$\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-32931722654389355832024-02-21T11:14:00.003+01:002024-02-21T11:14:44.938+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Khánh Hòa 2023-2024a) Cho biểu thức $$A=\frac{a \sqrt{a}-b \sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$$ với $a, b>0$ và $a \neq b$. Rút gọn và tính giá trị biểu thức ${B}=\dfrac{{A}}{\sqrt{{a}}+\sqrt{{b}}}$ khi ${a}=\sqrt[3]{8 \sqrt{5}-16}$, ${b}=\sqrt{5}+1$. b) Chứng minh rằng biểu thức $${C}=4 {x}({x}+{y})({x}+{y}+{z})({x}+{z})+{y}^2 {z}^2$$ là một số chính phương với $x, y, z$ là MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-77657927955375836522024-02-21T11:08:00.006+01:002024-02-21T11:09:52.218+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2023-2024Cho ${x}=\sqrt[3]{5+2 \sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2 \sqrt{13}}$. Tính giá trị của biểu thức $${P}=\frac{{x}^4-4 {x}^3+{x}^2+6 {x}+12}{{x}^2-2 {x}+12}.$$Cho đường thẳng $({d}): {y}=({m}-1) {x}+3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để đường thẳng $(d)$ cắt trục ${Ox}$, ${Oy}$ lần lượt tại ${A}$ và ${B}$ sao cho tam giác ${OAB}$ là tam giác vuông cân.Cho dãy số được $x$ ác định bởi $$u_1=1,\quad u_MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-19034648603901322462024-02-21T11:01:00.004+01:002024-02-28T09:25:22.029+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Bắc Ninh 2023-2024 [Đáp Án]Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Bắc Ninh 2023-2024
a) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{a b}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a b}}\left(\frac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{a b}}+\frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{a b}}\right)$$ với $a, b>0$, $a \neq b$. b) Cho phương trình $x^2-3 x-5=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Đặt $g(x)=x^2-4$. Tính giá trị của biểu thức $${T}={g}\left({x}_1\right) {MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-81311438836903927372024-02-21T10:54:00.009+01:002024-02-21T10:56:30.570+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc 2023-2024Cho biểu thức $$P=\left(1-\frac{3}{1+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-6}{x-5 \sqrt{x}+6}+\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\right).$$ a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.a) Trong mặt phẳng tọa độ ${Oxy}$, các đường thẳng ${y}=2$, ${y}=6$, ${y}={mx}-2$ $({m} \neq 0)$ và trục tung cắt nhau, phần chung giữa chúng tạo MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-4148262657674432482024-02-21T10:47:00.009+01:002024-02-21T10:53:34.526+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 TP Hà Nội 2023-2024a) Giải phương trình $$7 x+3=(2 x+3) \sqrt{x+3} .$$ b) Cho ba số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x y+y z+z x=0$ và $x+2 y+3 z=0$. Tính giá trị của biểu thức $$P=x^2+y^2+z^2.$$a) Cho ba số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c$ và $a b+b c+c a$ đều chia hết cho $8$. Chứng minh rằng $a b c$ chia hết cho $64$. b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x, y$ lớn hơn $1$ sao cho $(x+y)(y+1)-1$ chia hết choMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-53484163760265692142024-02-14T13:28:00.012+01:002024-02-15T08:28:16.983+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Hưng Yên 2023-2024a) Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-3}$ có đồ thị là $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ $O x$, $O y$ lần lượt tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $O B=4 O A$. b) Gọi $\left(C_m\right)$ là đồ thị của hàm số $y=2 x^3-3(2 m+1) x^2+6\left(m^2+m\right) x+2024$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu điểm $M$ sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau $MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-2333395682641463472024-01-29T14:01:00.005+01:002024-01-29T14:01:29.336+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Phú Thọ 2023-2024a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+2 x^2+(m-3) x+m$ có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. b) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2 a b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a+b+c+48\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\right).$$Cho hàm số $f(x)=\fracMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-4989870079180950832024-01-12T13:53:00.003+01:002024-01-27T13:40:53.933+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Hải Dương 2023-2024a) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}+\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^2-4(x-1)}} \left(1-\frac{1}{x-1}\right)$$ với $x>1$, $x \neq 2$. b) Cho các số thực $x, y, z$ khác $0$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=0$. Chứng minh rằng $$Q=\sqrt{\frac{6 x^2}{x^2-y^2-z^2}+\frac{6 y^2}{y^2-z^2-x^2}+\frac{6 z^2}{z^2-x^2-y^2}}$$ là một số nguyên.a) Giải phương trình $$2 x^2+4 x+4=(2 x+3) \sqrt{x^2MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-36241972038373750692024-01-05T14:06:00.016+01:002024-01-08T10:57:37.283+01:00[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2023-2024Với mỗi số thực $x$, ta gọi $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi $\displaystyle a_n=\frac{1}{4^{\left [ -\log_4n \right ]}}$, $\forall n\ge 1$. Đặt $$b_n=\frac{1}{n^2}\left ( \sum_{k=1}^na_k-\frac{1}{a_1+a_2} \right ),\,\forall n\ge 1.$$ a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P\left ( \frac{a_n}{n} \right ),MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-89301015046136521302023-12-28T18:07:00.003+01:002023-12-28T18:07:47.245+01:00Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Quảng Nam Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2020-2021Giải hệ phương trình $$\begin{cases}2 x^2-x-3+x \sqrt{x^2+1} &=(y+1) \sqrt{y^2+2 y+2} \\ x^2+y^2 &=x-2 y+2\end{cases}$$Cho dãy $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $$u_1=1,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+2 u_n+3}-\sqrt{u_n^2-2 u_n+3},\, \forall n \in \mathbb{N}.$$ Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân $A B<A C$, MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-1082523279761394302023-12-03T12:16:00.010+01:002023-12-03T12:35:12.513+01:00Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Hà Nam Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2023-2024Cho dãy số $\left(x_n\right),(n=0,1,2, \ldots)$ được xác định bởi $$x_0=-2,\quad x_n=\frac{1-\sqrt{1-4 x_{n-1}}}{2}.$$ Đặt $u_n=nx_n$ và $v_n=\left(1+x_0^2\right)\left(1+x_1^2\right) \ldots\left(1+x_n^2\right)$. Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.Hãy tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb R \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đẳng thức $$f\left(x f(y)+x^2\right)=x MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-78560076049330663492023-12-03T12:14:00.019+01:002023-12-03T12:35:40.060+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Hà Nam 2023-2024Cho dãy số $\left(x_n\right),(n=0,1,2, \ldots)$ được xác định bởi $$x_0=-2,\quad x_n=\frac{1-\sqrt{1-4 x_{n-1}}}{2}.$$ Đặt $u_n=nx_n$ và $v_n=\left(1+x_0^2\right)\left(1+x_1^2\right) \ldots\left(1+x_n^2\right)$. Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.Hãy tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb R \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đẳng thức $$f\left(x f(y)+x^2\right)=x MOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2506595080985176441.post-66694091756554174432023-12-03T12:08:00.007+01:002023-12-03T12:09:27.583+01:00Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Ninh Bình 2023-2024Giải phương trình $$\left(x^2-10 x+21\right) \sqrt{x-3}=x^3-11 x^2+34 x-27 \quad(x \in \mathbb{R}).$$Cho dãy số $\left(x_n\right)$ được xác định như sau $$x_1=x_2=a,\quad x_{n+2}=x_{n+1}+2 \cdot \frac{\sqrt{x_n}}{(n+1)^3},\, \forall n \geq 1$$ trong đó $a$ là một số thực dương cho trước. a) Chứng minh rằng dãy $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn. b) Giả sử $\displaystyle \lim _{n \rightarrowMOlympiad.NEThttp://www.blogger.com/profile/04417751336418696335noreply@blogger.com0