Toán Học Việt Nam

Chuyên Đề Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số - Trắc Nghiệm Đúng Sai Và Trả Lời Ngắn

2026-10-15T20:31:18.230+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu gồm tuyển tập các câu hỏi trắc nghiệm Đúng – Sai trọng tâm về chủ đề Đường tiệm cận của đồ thị hàm số theo định dạng đề thi mới môn Toán 12. Nội dung bao gồm việc tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên từ công thức giải tích, bảng biến thiên, đồ thị cho trước, cùng với các bài toán vận dụng chứa tham số và yếu tố hình học liên quan.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1. Cho hàm số \(y = \frac{x + 2}{x - 2}\) có đồ thị là \((C)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận đứng \(x = 2\).

b) Đồ thị \((C)\) nhận điểm \(I(1; 1)\) làm tâm đối xứng.

c) Đường thẳng \(d : y = x - 1\) cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm phân biệt có độ dài bằng \(4\sqrt{5}\).

d) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc đồ thị \((C)\). Khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai đường tiệm cận của đồ thị \((C)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\).

Câu 2. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}\) có đồ thị \((C)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

b) Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = x + 3\).

c) Trên đồ thị \((C)\) tồn tại đúng \(4\) điểm có tọa độ nguyên.

d) Giả sử đường thẳng \(d_m : y = mx - m\) cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) đồng thời tam giác \(ABC\) vuông tại đỉnh \(C(2; 0)\). Khi đó, tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) tìm được bằng \(9\).

Câu 3. Cho hàm số \(y = \frac{x}{x^2 - 9}\).

a) Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\).

b) Đồ thị của hàm số đã cho không cắt trục hoành.

c) Tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số là đường thẳng có phương trình \(y = 0\).

d) Đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận.

Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)	\(-2\)	\(1\)	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(+\infty\) \(1\)	\(2\) \(-\infty\)	\(m^2\)

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng.

b) Có duy nhất giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có đúng \(1\) tiệm cận ngang.

c) Có \(9\) giá trị nguyên của \(m \in [-4; 4]\) để đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận.

d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2f(x) + 3}\) có một tiệm cận đứng.

Câu 5. Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 2}{x - 2}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đồ thị \(f(x)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\).

b) Đồ thị \(f(x)\) có một đường tiệm cận ngang.

c) Đồ thị \(f(x)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 3\).

d) Gọi \(d_1, d_2\) lần lượt là khoảng cách từ một điểm trên đồ thị \(f(x)\) đến hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Tổng \(d_1 + d_2\) nhỏ nhất bằng \(4\sqrt{2}\).

Câu 6. Gọi \((C)\) là đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của \((C)\).

b) Đường thẳng \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của \((C)\).

c) Đường thẳng \(x = -2\) và \(y = x + 2\) là hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của \((C)\).

d) Khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị \((C)\) đến đường thẳng \(\Delta : 3x + 4y + 1 = 0\) bằng \(1\).

Câu 7. Cho hàm số \(y = \frac{x - 1}{2x - 3}\).

a) Tiệm cận đứng của hàm số là \(x = \frac{3}{2}\).

b) Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thuộc đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

c) Đường thẳng \(2x + y + 1 = 0\) cắt TCĐ, TCN của hàm số tại các điểm \(A\) và \(B\). Diện tích của tam giác \(IAB\) bằng \(\frac{25}{4}\), với \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.

d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ \(I\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Câu 8. Cho hàm số \(y = \frac{mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2}{x + 3m}\), với \(m\) là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

b) Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = -3\).

c) Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

d) Khi góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng \(45^\circ\) thì \(m = 2\).

Câu 9. Gọi \((C)\) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{4x + 1}{3 - x}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = 4\).

c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = 3\).

d) Tích các khoảng cách từ một điểm \(M\) tùy ý trên \((C)\) đến hai đường tiệm cận của nó bằng \(14\).

Câu 10. Cho hàm số \(y = x + 3 - \frac{5}{x + 1}\). Xác định tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1\).

b) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \((3; 0)\).

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 3\).

Câu 11. Hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên.

Xác định tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

b) Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(y = -1\).

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 1\).

Câu 12. Cho hàm số \(y = \frac{-x^2 + 4x + 3 + m}{x - 2}\) \((C)\).

a) Khi \(m = 0\), tiệm cận đứng của hàm số là \(x = 2\).

b) Khi \(m = 0\), tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng đồ thị và đường thẳng \(x - y - 1 = 0\) thuộc parabol \(y = x^2\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Trắc Nghiệm ĐÚNG SAI và TRẢ LỜI NGẮN - Ứng Dụng Đạo Hàm Để KSHS - Toán 12

2026-10-15T19:53:39.452+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu tuyển chọn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn và trắc nghiệm đúng/sai thuộc chương trình Toán 12 (Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số). Nội dung bao gồm các bài toán tối ưu hoá thực tế (chuyển động, kinh tế, quy mô dân số, môi trường) cùng các dạng toán cốt lõi: cực trị, tính đơn điệu, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, đường tiệm cận đứng, ngang và xiên của đồ thị hàm số.

Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 82: Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong khoảng thời gian 5 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là

A. \(v_{\max} = 7\text{ m/s}\).

B. \(v_{\max} = 12\text{ m/s}\).

C. \(v_{\max} = 3\text{ m/s}\).

D. \(v_{\max} = 5\text{ m/s}\).

Câu 83. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc \(O\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là một parabol \[y = -\frac{3}{1000}x^2 + x,\] có tọa độ đỉnh là \(I\left(\frac{500}{3}; \frac{250}{3}\right)\), trong đó \(x\) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc \(O\), \(y\) là độ cao của vật so với mặt đất. Độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay là

A. \(\frac{500}{3}\).

B. \(\frac{250}{3}\).

C. \(\frac{1000}{3}\).

D. \(250\).

Câu 84. Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \[f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}\] (\(f(t)\) được tính bằng nghìn người). Hỏi trong khoảng thời gian từ năm 2025 đến năm 2035, số dân của thị trấn đó tăng thêm bao nhiêu người?

A. 1,1 nghìn người.

B. 0,29 nghìn người.

C. 0,92 nghìn người.

D. 1,29 nghìn người.

Câu 85. Để loại bỏ \(x\%\) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là \[C(x) = \frac{300x}{100 - x}, \quad 0 \le x < 100.\] Ban đầu nhà máy chi 300 triệu đồng trong việc loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của nhà máy, do chủ trương bảo vệ môi trường, nhà máy chi thêm 150 triệu đồng trong việc loại bỏ chất gây ô nhiễm. Hỏi nhà máy đã loại bỏ thêm được bao nhiêu phần trăm chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải?

A. 33%.

B. 60%.

C. 10%.

D. 15%.

Câu 86. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán \(x\) chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được là \[P(x) = -0{,}3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48000.\] Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được là bao nhiêu?

A. 100000 nghìn đồng.

B. 48000 nghìn đồng.

C. 192000 nghìn đồng.

D. 148000 nghìn đồng.

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(y' = f'(x) = x(x - 2)^3\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số \(y = f(x)\) có 2 điểm cực trị.

b) Hàm số \(y = f(x)\) có 1 điểm cực trị.

c) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 1)\).

d) \(f(2024) > f(2025)\).

Câu 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:

\(x\)	\(-\infty\)	4	6	7	\(+\infty\)
\(f'(x)\)		+ 0	- 0	+ 0	-
\(f(x)\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\) 19	\(\searrow\) 12	\(\nearrow\) 21	\(\searrow\) \(-\infty\)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) bằng 21.

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) bằng 12.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số \(h(x) = f(x) + m\) trên đoạn \([0; 5]\) bằng 34 khi \(m = 15\).

d) Hàm số \(g(x) = f(2x - 2)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \((-\infty; 4)\) tại \(x = 3\).

Câu 3. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x + 3}{\sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Đường thẳng \(y = \sqrt{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang, 2 tiệm cận đứng.

d) Đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\).

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((0; 1)\) và \((2; +\infty)\).

d) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((2; 5)\).

Câu 5. Cho hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + m\), với \(m\) là tham số.

a) Khi \(m = 0\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\).

b) \(m = 0\) thì hàm số có hai cực trị.

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) bằng \(m - 2\).

d) \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \([0; 2]\) bằng 3. Khi đó \(S\) có hai phần tử.

Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 2}\), đồ thị \((C)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \((C)\) là \(x = 2\).

b) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \((C)\) là \(y = 2\).

c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \((C)\) là \(y = 2x + 4\).

d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \((C)\) là \(y = 2x\).

Câu 7. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Nếu cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18000 đồng.

a) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm 10000 đồng.

b) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá 39000 đồng.

c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi 21000 đồng.

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 800 chiếc.

Câu 8. Cho hàm số \(f(x) = x^3 - 6x^2 + mx + 3\).

a) \(f'(x) = 3x^2 - 12x + m\).

b) Với \(m = 0\), \(f(x)\) không có cực trị.

c) Điều kiện cần và đủ để \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là \(m \ge 2\).

d) Có 5 giá trị nguyên của \(m\) thuộc \([-7; 1]\) sao cho \(f(x)\) có hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu.

Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị bậc ba với điểm cực tiểu tại \((-1; -1)\) và cực đại tại \((1; 3)\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán 10 THPT Đức Trọng 2026 - 2027

2026-10-15T18:32:15.805+07:00

Tóm tắt đề cương:
Tài liệu tổng hợp các câu hỏi trắc nghiệm ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 10 trường THPT Đức Trọng (Năm học 2026 - 2027). Nội dung tập trung củng cố kiến thức trọng tâm thuộc hai chương chính: Mệnh đề toán học (nhận biết mệnh đề, tính đúng sai, phủ định, mệnh đề đảo) và Tập hợp (liệt kê phần tử, phép giao, hợp, hiệu của tập hợp hữu hạn và các khoảng, đoạn số thực).

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ 1 – TOÁN 10

Câu 1: Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Hôm nay mình mệt.

B. \(3 < 1\).

C. \(4 - 5 = 1\).

D. Hình chữ nhật là hình bình hành.

Câu 2: Câu nào sau đây là mệnh đề?

A. Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam.

B. Bạn học lớp nào.

C. Không được làm việc riêng trong giờ học.

D. Bạn làm bài tập chưa.

Câu 3: Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. \(x^2 - 1 = 0\).

B. 5 là số chẵn.

C. \(4 . 7 = 21\).

D. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Câu 4: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(3^2 > 2^2\).

B. \(4 - 3 = 2\).

C. \(14 + 7 < 19\).

D. \(\sqrt{3} > 2\).

Câu 5: Câu nào sau đây không phải là mệnh đề?

A. 4 là một số nguyên tố.

B. 6 là một số tự nhiên.

C. Nước là một loại chất lỏng.

D. Hôm nay trời mưa to quá.

Câu 6: Cho mệnh đề chứa biến \(P(x): "2x + 5 = 1"\) với \(x\) là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(P(1)\).

B. \(P(2)\).

C. \(P(-2)\).

D. \(P(3)\).

Câu 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề "\(5 > 1\)" là

A. "\(5 < 1\)".

B. "\(5 \ge 1\)".

C. "\(5 = 1\)".

D. "\(5 \le 1\)".

Câu 8: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 > 0\) là

A. \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 \le 0\).

B. \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 \le 0\).

C. \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 < 0\).

D. \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 < 0\).

Câu 9: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 5x \neq 0\) là

A. \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 5x \ge 0\).

B. \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 5x > 0\).

C. \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 5 < 0\).

D. \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 5x = 0\).

Câu 10: Cách viết nào sau đây không đúng?

A. \(1 \subset \mathbb{N}\).

B. \(1 \in \mathbb{N}\).

C. \(\{1\} \subset \mathbb{N}\).

D. \(2 \in \mathbb{N}\).

Câu 11: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\) gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25.

A. \(A = \{0;3;6;9;12;15;18;21;24;27\}\).

B. \(A = \{0;3;6;9;12;15;18;21;24\}\).

C. \(A = \{3;6;9;12;15;18;21;24\}\).

D. \(A = \{0;3;6;9;12;15;18\}\).

Câu 12: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid (x - 1)(x + 2) = 0\}\).

A. \(A = \{-2;0;1\}\).

B. \(A = \{-2;1\}\).

C. \(A = \{-2;0\}\).

D. \(A = \{0;1\}\).

Câu 13: Cho \(A = \{-2;0;1;5;7\}, B = \{0;5;6;9\}\). Tập \(A \cap B\) bằng:

A. \(\{0;5;6\}\).

B. \(\{0;5\}\).

C. \(\{0;1;7\}\).

D. \(\{-2;0;1;5;6;7;9\}\).

Câu 14: Cho \(A = \{-3;2;3;7\}, B = \{0;2;7\}\). Tập \(A \cup B\) bằng

A. \(\{-3;2;7;3\}\).

B. \(\{-3;0;2;7;3\}\).

C. \(\{2;7\}\).

D. \(\{0;-3;2\}\).

Câu 15: Cho \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 3\}, B = \{0;1;2\}\). Tập \(A \cap B\) bằng:

A. \(\{0;1;2;3\}\).

B. \(\{1;2;3\}\).

C. \(\{0;1;2\}\).

D. \(\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\).

Câu 16: Cho \(A = \{0;-3;4;5;2\}, B = \{0;3;4;7\}\). Tập \(A \cup B\) bằng

A. \(\{0;-3;4;5;2;7;3;1\}\).

B. \(\{0;4;5;2;7;3\}\).

C. \(\{0;4\}\).

D. \(\{0;-3;4;5;2;7;3\}\).

Câu 17: Cho hai tập hợp \(A = \{0;1;2\}, B = \{n \in \mathbb{N} \mid 1 \le n < 5\}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(A \cap B = \{2\}\).

B. \(A \cap B = \emptyset\).

C. \(A \cap B = \{1;2\}\).

D. \(A \cap B = \{3\}\).

Câu 18: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?

A. Nếu \(a = b\) thì \(a^2 = b^2\).

B. Nếu hình thoi có một góc bằng \(90^0\) thì hình thoi đó là hình vuông.

C. Nếu \(a\) chia hết cho 6 thì \(a\) chia hết cho 3.

D. Nếu một số tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.

Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?

A. Nếu \(a > b\) thì \(a^2 > b^2\).

B. Nếu góc \(A = 90^0\) thì tam giác ABC vuông.

C. Hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.

D. Nếu một số có chữ số tận cùng bằng 2 thì số đó chia hết cho 2.

Câu 20: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào Sai?

A. Nếu \(a < b\) thì \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

B. Tam giác cân có một góc bằng \(60^0\) thì tam giác đó là tam giác đều.

C. Nếu \(x = 5 \Rightarrow x^2 = 25\).

D. Nếu \(x\) và \(y\) đều chia hết cho 3 thì tổng \(x + y\) cũng chia hết cho 3.

Câu 21: Cho \(A = \{1;5;8\}, B = \{0;5;9\}\). Tập \(A \cap B\) bằng:

A. \(\{0;5\}\).

B. \(\{1;5\}\).

C. \(\{8;9\}\).

D. \(\{5\}\).

Câu 22: Cho \(A = \{1;2;a;b\}, B = \{1;a;b;c\}\). Tập \(A \cup B\) bằng

A. \(\{1;a;b\}\).

B. \(\{1;2;a;b\}\).

C. \(\{1;2;a;c\}\).

D. \(\{1;2;a;b;c\}\).

Câu 23: Cho hai tập hợp \(A = [-2;1)\) và \(B = (0;6)\). Tìm \(A \cap B\).

A. \(A \cap B = [-2;6)\).

B. \(A \cap B = (1;6)\).

C. \(A \cap B = (0;1)\).

D. \(A \cap B = [-2;0)\).

Câu 24: Cho hai tập hợp \(A = [1;4)\) và \(B = [2;8]\). Tìm \(A \setminus B\).

A. \(A \setminus B = [2;4)\).

B. \(A \setminus B = [4;8]\).

C. \(A \setminus B = [1;8]\).

D. \(A \setminus B = [1;2)\).

Câu 25: Cho tập \(A = [-2;5)\) và \(B = [0;+\infty)\). Tìm \(A \cup B\).

A. \(A \cup B = [0;5)\).

B. \(A \cup B = [-2;0)\).

C. \(A \cup B = [-2;+\infty)\).

D. \(A \cup B = [5;+\infty)\).

Câu 26: Cho tập \(A = [0;7]\) và \(B = [7;+\infty)\). Tìm \(A \setminus B\).

A. \(A \setminus B = [0;7)\).

B. \(A \setminus B = \{7\}\).

C. \(A \setminus B = \emptyset\).

D. \(A \setminus B = [0;+\infty)\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề cương ôn tập kiểm tra Giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 11 đầy đủ nhất

2026-10-15T18:15:57.537+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp các câu hỏi trắc nghiệm ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 11. Nội dung bao gồm: chuyển đổi đơn vị góc (độ - radian), công thức lượng giác cơ bản và nâng cao, tính chất hàm số lượng giác (chẵn, lẻ, tuần hoàn, đồ thị), cũng như công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Phần I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1: Khi quy đổi \(1^\circ\) ra đơn vị radian, ta được kết quả là:

A. \(\pi\text{ rad}\)

B. \(\frac{180}{\pi}\text{ rad}\)

C. \(\frac{\pi}{180}\text{ rad}\)

D. \(\frac{\pi}{360}\text{ rad}\)

Câu 2: Góc có số đo \(250^\circ\) thì có số đo theo đơn vị radian là:

A. \(\frac{25\pi}{12}\)

B. \(\frac{25\pi}{18}\)

C. \(\frac{25\pi}{9}\)

D. \(\frac{35\pi}{18}\)

Câu 3: Nếu một cung tròn có số đo bằng radian là \(\frac{5\pi}{4}\) thì số đo bằng độ của cung tròn đó là:

A. \(172^\circ\)

B. \(15^\circ\)

C. \(225^\circ\)

D. \(115^\circ\)

Câu 4: Cho \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính \(\cos\alpha\).

A. \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\)

B. \(\cos\alpha = \frac{1}{5}\)

C. \(\cos\alpha = -\frac{3}{4}\)

D. \(\cos\alpha = \frac{2}{5}\)

Câu 5: Cho \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Tính \(\cos\alpha\).

A. \(\cos\alpha = -\frac{5}{4}\)

B. \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\)

C. \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\)

D. \(\cos\alpha = \frac{5}{4}\)

Câu 6: Cho \(\cos\alpha = -\frac{1}{4}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Khi đó \(\sin\alpha = ?\)

A. \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)

B. \(-\frac{\sqrt{17}}{4}\)

C. \(\frac{\sqrt{13}}{4}\)

D. \(-\frac{\sqrt{15}}{4}\)

Câu 7: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi \(a, b\)?

A. \(\cos(a-b) = \sin a \sin b - \cos a \cos b\)

B. \(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)

C. \(\cos(a-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)

D. \(\cos(a-b) = \cos a \sin b - \sin a \cos b\)

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\cos 2a = 2\sin a \cos a\)

B. \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\)

C. \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\)

D. \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\)

Câu 9: Biết \(\sin x = \frac{1}{2}\) thì \(\cos 2x\) có giá trị là:

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(-\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = \cot x\)

C. \(y = \cos x\)

D. \(y = \tan x\)

Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = \cos x\)

C. \(y = \cos^2 x\)

D. \(y = \sin^2 x\)

Câu 12: Hàm số nào tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) trong các hàm số sau đây:

A. \(y = \cos 2x\)

B. \(y = \sin x\)

C. \(y = \tan x\)

D. \(y = \cot x\)

Câu 13: Đồ thị hàm số \(y = \sin x\) có đặc điểm nào sau đây?

A. Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O\).

B. Đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Đối xứng với nhau qua trục tung.

D. Đi qua điểm \((0; 1)\).

Câu 14: Đồ thị hàm số \(y = \cos x\) có đặc điểm nào sau đây?

A. Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O\).

B. Đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Đối xứng với nhau qua trục tung.

D. Đi qua điểm \((0; -1)\).

Câu 15: Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) có đặc điểm nào sau đây?

A. Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O\).

B. Đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Đối xứng với nhau qua trục tung.

D. Đi qua điểm \((0; 1)\).

Câu 16: Đồ thị hàm số bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = \cos x\)

C. \(y = \tan x\)

D. \(y = \cot x\)

Câu 17: Đồ thị hàm số bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = \cos x\)

C. \(y = \tan x\)

D. \(y = \cot x\)

Câu 18: Đồ thị hàm số bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = -\sin x\)

C. \(y = \cos x\)

D. \(y = -\cos x\)

Câu 19: Công thức nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \alpha\) (với đơn vị \(\alpha\) là rad) là:

A. \(\left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\)

B. \(x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

C. \(x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

D. \(x = -\alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

Câu 20: Công thức nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \alpha\) (với đơn vị \(\alpha\) là rad) là:

A. \(\left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\)

B. \(x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề thi PISA môn Toán chủ đề Thác Bản Giốc có lời giải chi tiết

2026-10-15T16:30:41.522+07:00

Tóm tắt nội dung: Đề bài PISA Toán học thực tế xoay quanh danh thắng Thác Bản Giốc (Cao Bằng), yêu cầu học sinh sử dụng mô hình hình học phẳng để giải quyết các vấn đề thực tiễn: xác định diện tích các tầng thác (hình chữ nhật, hình thang cân, tam giác cân) và áp dụng định lý Pythagore để thẩm định khoảng cách bay an toàn của thiết bị flycam trong không gian.

BỐI CẢNH ĐỀ BÀI: THÁC BẢN GIỐC

Thác Bản Giốc (Cao Bằng) là một trong những thác nước xuyên biên giới lớn nhất thế giới. Thác gồm có phần thác phụ và phần thác chính. Phần thác chính có cấu trúc gồm 3 tầng đá vôi giật cấp, dòng nước đổ xuống tạo nên những thảm nước trắng xóa.

Một nhóm học sinh trường THPT Pò Tấu đã thực hiện một dự án học tập nhằm mô hình hóa hình học phẳng mặt chính diện của 3 tầng thác này (giả định các tầng thác nằm trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng thẳng góc với góc nhìn) để tính toán diện tích bề mặt dòng chảy và thiết kế flycam khảo sát. Nhóm đã thu thập và đơn giản hóa các số liệu như sau:

Tầng 1 (Tầng đáy): Cao \(15\text{ m}\). Bề mặt dòng chảy có hình dạng một hình thang cân với đáy lớn dài \(120\text{ m}\), đáy nhỏ dài \(100\text{ m}\).
Tầng 2 (Tầng giữa): Cao \(12\text{ m}\). Bề mặt dòng chảy có hình dạng một hình chữ nhật có chiều dài bằng chính đáy nhỏ của tầng 1 (\(100\text{ m}\)).
Tầng 3 (Tầng đỉnh): Cao \(8\text{ m}\). Bề mặt dòng chảy có hình dạng một hình tam giác cân có cạnh đáy dài \(100\text{ m}\) (nằm khít lên đỉnh của tầng 2).

CÂU HỎI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC

CÂU HỎI 1 (M01Q01):

Dựa vào mô hình trên, diện tích bề mặt dòng chảy của riêng Tầng 2 (Tầng giữa) của thác Bản Giốc là bao nhiêu?

A. \(112\text{ m}^2\)

B. \(224\text{ m}^2\)

C. \(600\text{ m}^2\)

D. \(1200\text{ m}^2\)

CÂU HỎI 2 (M01Q02):

Để ước lượng lượng nước bao phủ trên toàn bộ bề mặt thác chính diện, nhóm học sinh cần tính tổng diện tích mô phỏng của cả 3 tầng thác (Tầng đáy, Tầng giữa và Tầng đỉnh). Theo số liệu mô hình hóa ở trên, tổng diện tích này bằng bao nhiêu mét vuông?

CÂU HỎI 3 (M01Q03):

Nhóm học sinh muốn dùng một chiếc flycam bay theo đường thẳng từ một điểm góc nhìn \(M\) dưới lòng sông (nằm trên mặt đất, ngang với chân của Tầng đáy và cách chân thác một khoảng cách an toàn theo phương ngang là \(40\text{ m}\)) bay thẳng lên đỉnh cao nhất của Tầng 3 để chụp ảnh toàn cảnh.

Một bạn trong nhóm quả quyết: "Quãng đường bay thẳng ngắn nhất của flycam từ điểm \(M\) lên đến đỉnh thác chắc chắn sẽ dài hơn 55 mét".

Bằng các kiến thức hình học (định lý, công thức), em hãy cho biết khẳng định của bạn học sinh đó là Đúng hay Sai? Hãy trình bày các bước tính toán để chứng minh cho câu trả lời của em.

HƯỚNG DẪN MÃ HÓA VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 1

Loại câu hỏi	Trắc nghiệm khách quan
Nội dung kiến thức	Quan hệ hình học
Mức độ thành thạo	Mức độ 1

Mức đầy đủ:

Mã 1: Đáp án D. \(1200\text{ m}^2\) (Tính bằng: \(100 \times 12 = 1200\text{ m}^2\)).

Không đạt:

Mã 0: Các phương án khác.

Mã 9: Không trả lời.

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 2

Loại câu hỏi	Trả lời ngắn
Nội dung kiến thức	Quan hệ hình học
Mức độ thành thạo	Mức độ 2

Mức đầy đủ:

Mã 1: \(3250\) (hoặc \(3250\text{ m}^2\)).

Giải thích chi tiết:

Diện tích Tầng 1 (hình thang cân): \[S_1 = \frac{(120 + 100) \times 15}{2} = 1650\text{ m}^2\]
Diện tích Tầng 2 (hình chữ nhật): \[S_2 = 100 \times 12 = 1200\text{ m}^2\]
Diện tích Tầng 3 (hình tam giác): \[S_3 = \frac{100 \times 8}{2} = 400\text{ m}^2\]
Tổng diện tích bề mặt 3 tầng: \[S = 1650 + 1200 + 400 = 3250\text{ m}^2\]

Không đạt:

Mã 0: Các kết quả khác.

Mã 9: Không trả lời.

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 3

Loại câu hỏi	Tự luận
Nội dung kiến thức	Quan hệ hình học
Mức độ thành thạo	Mức độ 3

Mức đầy đủ:

Mã 2: Khẳng định học sinh đó là Sai và đưa ra lời giải thích bằng toán học chính xác.

Các bước giải thích:

- Tổng chiều cao thẳng đứng của cả 3 tầng thác là: \[h = 15 + 12 + 8 = 35\text{ m}\]

- Khoảng cách từ điểm \(M\) đến chân thác theo phương ngang là: \[d = 40\text{ m}\]

- Quãng đường bay thẳng ngắn nhất từ \(M\) đến đỉnh thác chính là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là chiều cao thác \(h = 35\text{ m}\) và khoảng cách ngang \(d = 40\text{ m}\).

- Áp dụng định lý Pythagore, độ dài quãng đường bay là: \[\sqrt{35^2 + 40^2} = \sqrt{1225 + 1600} = \sqrt{2825} \approx 53{,}15\text{ m}\]

- Vì \(53{,}15\text{ m} < 55\text{ m}\) nên khẳng định của bạn học sinh cho rằng quãng đường "dài hơn 55 mét" là Sai.

Mức không đầy đủ:

Mã 1: Xác định được tổng chiều cao là \(35\text{ m}\) và khoảng cách là \(40\text{ m}\), áp dụng đúng định lý Pythagore nhưng tính toán sai số (ra kết quả khác \(53{,}15\text{ m}\)) dẫn đến kết luận Đúng/Sai bị ảnh hưởng; hoặc tính ra đúng \(\approx 53{,}15\text{ m}\) nhưng lại kết luận nhầm là bạn học sinh đó "Đúng".

Không đạt:

Mã 0: Chỉ trả lời "Đúng" hoặc "Sai" mà không có tính toán; giải thích cảm tính không dựa trên mô hình tam giác vuông và định lý Pythagore.

Mã 9: Không trả lời.

Tải về file word đầy đủ

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Đề cương ôn tập Giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 9 THCS Giảng Võ 2

2026-10-15T12:32:14.520+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn ôn tập và kiểm tra định kỳ giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 9 của trường THCS Giảng Võ 2 (Hà Nội). Đề cương hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm về Đại số (phương trình bậc nhất một ẩn, hệ hai ẩn, giải bài toán bằng cách lập phương trình) và Hình học (tỉ số lượng giác, hệ thức lượng, đường tròn). Đi kèm là hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng giải các dạng phương trình và hệ phương trình phong phú, từ cơ bản đến nâng cao.

I. NỘI DUNG KIẾN THỨC

* Đại số:

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình.

* Hình học:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Một số bài toán về đường tròn: chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn.

II. BÀI TẬP ÔN TẬP

Dạng 1. Giải phương trình

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) \( x(2x - 3) - 2x(x - 6) = 5 \)

b) \( (2{,}3x - 4{,}6)(0{,}2x + 3) = 0 \)

c) \( 3\left(\frac{2}{3}x + 1\right) - 4\left(\frac{1}{2}x - 3\right) = 10 \)

d) \( (x - 4)(3x - 5) = 3(4 - x) \)

e) \( (5x - 1)^2 - 16x^2 = 0 \)

g) \( (2x + 5)^2 - (3x - 7)^2 = 0 \)

h) \( x^2 - x - 20 = 0 \)

i) \( x^3 - 4x^2 + 4x = (x^2 - 2x)(5x - 3) \)

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) \( \frac{x}{2x - 1} = \frac{x - 5}{2x + 3} \)

b) \( \frac{2x - 3}{x - 2} = 7 - \frac{3}{x - 2} \)

c) \( \frac{4x}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{3}{x + 4} - \frac{6}{x - 2} \)

d) \( \frac{x + 5}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{2 - x}{x^2 - 9} \)

e) \( \frac{x^2}{x^2 + x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{-4x + 2}{x^3 - 1} \)

g) \( \frac{2x - 1}{2x^2 + 3x - 2} - \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{2x^2 + 2025}{(x + 2)(2x^2 - 5x + 2)} \)

Dạng 2. Giải hệ phương trình

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:

a) \( \begin{cases} 5x - 3y = -4 \\ x - 5y = 11 \end{cases} \)

b) \( \begin{cases} 2x - 11y = -5 \\ 4x - 22y = 1 \end{cases} \)

c) \( \begin{cases} 2(x - 3y - 5) = 2x - y \\ 3(x - 2y) - 4(3x - 2y) = 3 \end{cases} \)

d) \( \begin{cases} (x - 2)(y - 3) = (x - 1)(y + 4) \\ (x - 5)(y + 1) = (x - 3)(y - 1) \end{cases} \)

e) \( \begin{cases} x(4 + 3y) = 7 + 2y + 3xy \\ x - 14 = 2(y + 3) \end{cases} \)

g) \( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{7}{6} \\[6pt] \frac{8}{x} + \frac{15}{y} = 9 \end{cases} \)

h) \( \begin{cases} \frac{3}{x - 2} + \frac{4}{y + 1} = 7 \\[6pt] \frac{5}{x - 2} - \frac{3}{y + 1} = 2 \end{cases} \)

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Tài liệu tập huấn vận dụng PISA trong đánh giá kết quả học tập môn Toán

2026-10-15T11:31:41.607+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu tập huấn chuyên sâu do Cục Quản lý Chất lượng - Bộ Giáo dục và Đào tạo chủ trì, tập trung vào phương pháp vận dụng khung đánh giá PISA trong kiểm tra, đánh giá kết quả môn Toán học tại trường phổ thông. Nội dung hướng dẫn chi tiết cách tiếp cận bài toán bối cảnh thực tiễn, quy trình xây dựng đề thi theo năng lực và cách thức chuyển hóa kỹ thuật đánh giá PISA tương thích với Chương trình Giáo dục phổ thông mới.

THÔNG TIN XUẤT BẢN TÀI LIỆU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỤC QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG

TÀI LIỆU TẬP HUẤN
VẬN DỤNG PISA TRONG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH LĨNH VỰC TOÁN HỌC

VIỆT NAM

Đơn vị thực hiện: Trung tâm Khảo thí quốc gia và Đánh giá chất lượng giáo dục

Thời gian: 7/2026

MỤC LỤC TÀI LIỆU

PHẦN 1. TỔNG QUAN VỀ PISA (Trang 1)

1.1. PISA là gì? (Trang 1)

1.2. Đặc điểm của PISA (Trang 2)

1.3. Điều gì làm cho PISA trở nên độc đáo? (Trang 3)

1.4. Mục tiêu của PISA (Trang 3)

1.5. PISA Việt Nam (Trang 4)

PHẦN 2. KHUNG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÁN HỌC (Trang 7)

2.1. Giới thiệu (Trang 7)

2.2. Khái niệm năng lực Toán học của PISA (Trang 9)

2.2.1. Quan điểm về năng lực Toán học của cá nhân trong PISA (Trang 10)

2.2.2. Liên kết đến nhiều bối cảnh khác nhau cho các vấn đề trong PISA (Trang 13)

2.2.3. Vai trò của các công cụ toán học, bao gồm công nghệ trong PISA (Trang 14)

2.3. Đặc điểm của năng lực Toán học (Trang 14)

2.3.1. Lập luận toán học và quá trình giải quyết vấn đề (Trang 15)

2.3.2. Nội dung đánh giá năng lực toán học của PISA (Trang 23)

2.3.3. Bối cảnh đánh giá năng lực toán học của PISA (Trang 25)

2.4. Các mức độ thành thạo trong đánh giá năng lực Toán học (Trang 27)

2.5. Xây dựng câu hỏi đánh giá trên máy tính (Trang 29)

PHẦN 3. ĐỀ THI PISA VÀ CÁC DẠNG CÂU HỎI (Trang 31)

3.1. Cấu trúc của đề thi (Trang 31)

3.2. Các dạng câu hỏi (Trang 32)

3.3. Mã hóa trong PISA (Trang 34)

PHẦN 4. VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ CỦA PISA TRONG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (Trang 36)

4.1. Định hướng đánh giá kết quả giáo dục của Chương trình GDPT môn Toán và sự tương đồng trong tiếp cận đánh giá của PISA (Trang 36)

4.2. Mối quan hệ giữa đánh giá kết quả học tập học sinh với dạy - học và thực hiện chương trình giáo dục (mục tiêu, yêu cầu cần đạt, nội dung…) (Trang 44)

4.3. Đánh giá năng lực thông qua việc xây dựng được câu hỏi thực tiễn (Trang 45)

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Chuyên đề Xác suất có điều kiện ôn thi tốt nghiệp THPT, HSA và TSA

2026-10-15T07:30:52.291+07:00

Tổng quan tài liệu: Hệ thống bài tập rèn luyện chủ đề Xác suất có điều kiện được biên soạn theo định dạng đề thi mới (Tốt nghiệp THPT, ĐGNL HSA, ĐGTD TSA). Nội dung gồm các câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn và câu hỏi trả lời ngắn, bao quát từ kiến thức cơ bản đến vận dụng cao như định lý xác suất toàn phần, công thức Bayes và các bài toán xác suất thực tế.

V. BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO ĐỊNH DẠNG ĐỀ THI

Kí hiệu: TN: trắc nghiệm 4 lựa chọn; TLN: trả lời ngắn / điền đáp án; Đ/S: Đúng/Sai (4 ý).
Độ khó: ★☆☆ cơ bản, ★★☆ vận dụng, ★★★ vận dụng cao.
Thời gian gợi ý: 2 phút cho câu TN, TLN; 5 phút cho câu Đ/S.

A. Câu hỏi trắc nghiệm 4 lựa chọn

Bài 1. (TN - ★☆☆) Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết tổng số chấm bằng 8, xác suất có một con ra 6 chấm là

A. \(\frac{2}{5}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{18}\)
D. \(\frac{5}{36}\)

Bài 2. (TN - ★☆☆) Một gia đình có hai con, xác suất sinh trai hay gái như nhau. Biết con đầu lòng là con trai, xác suất cả hai đều là con trai là

A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{3}{4}\)

Bài 3. (TN - ★☆☆) Cho hai biến cố \(A, B\) với \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cup B) = 0{,}7\). Giá trị của \(P(A \mid B)\) bằng

A. 0,2
B. 0,4
C. 0,5
D. 0,8

Bài 4. (TN - ★☆☆) Lớp 12A có 40 học sinh gồm 25 nữ và 15 nam; trong đó có 12 bạn nữ và 8 bạn nam đeo kính. Chọn ngẫu nhiên một bạn thì thấy bạn đó đeo kính. Xác suất bạn đó là nữ là

A. 0,30
B. 0,48
C. 0,60
D. 0,50

Bài 5. (TN - ★☆☆) Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt không hoàn lại 2 bi. Xác suất bi lấy ra ở lần thứ hai màu đỏ là

A. \(\frac{4}{7}\)
B. \(\frac{5}{8}\)
C. \(\frac{5}{14}\)
D. \(\frac{1}{2}\)

Bài 6. (TN - ★★☆) Một bệnh có tỉ lệ mắc 1%. Xét nghiệm có độ nhạy 90% và tỉ lệ dương tính giả 9%. Một người có kết quả dương tính. Xác suất người đó mắc bệnh xấp xỉ

A. 90%
B. 50%
C. 9%
D. 1%

Bài 7. (TN - ★★☆) Phân xưởng I sản xuất 60%, phân xưởng II sản xuất 40% sản phẩm của nhà máy, tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 2% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thấy là phế phẩm. Xác suất nó do phân xưởng II sản xuất là

A. 0,375
B. 0,4
C. 0,625
D. 0,05

Bài 8. (TN - ★★★) Trò chơi Monty Hall với 4 cửa (1 xe, 3 dê). Người chơi chọn một cửa; người dẫn (biết xe ở đâu) mở một cửa có dê trong ba cửa còn lại. Người chơi đổi sang ngẫu nhiên một trong hai cửa chưa mở còn lại. Xác suất thắng xe là

A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{3}{8}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{3}{4}\)

Bài 9. (TN - ★★☆) Có ba tấm thẻ: một tấm hai mặt đỏ, một tấm hai mặt trắng, một tấm một mặt đỏ một mặt trắng. Rút ngẫu nhiên một tấm, đặt ngẫu nhiên lên bàn thì thấy mặt trên màu đỏ. Xác suất mặt dưới cũng màu đỏ là

A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{3}{4}\)

Bài 10. (TN - ★★☆) Ba xạ thủ bắn độc lập vào một bia, xác suất trúng lần lượt 0,6; 0,7; 0,8. Biết có đúng một người bắn trúng. Xác suất người đó là xạ thủ thứ nhất là

A. 0,6
B. \(\frac{9}{47}\)
C. 0,036
D. \(\frac{1}{3}\)

Bài 11. (TN - ★★☆) Một học sinh thi hai môn. Xác suất đạt môn thứ nhất là 0,7; nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,8, nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,4. Biết học sinh đạt đúng một môn. Xác suất môn đó là môn thứ hai là

A. \(\frac{6}{13}\)
B. \(\frac{7}{13}\)
C. 0,12
D. 0,4

Bài 12. (TN - ★☆☆) Một hộp có 10 lá thăm, trong đó 3 lá trúng thưởng. Ba người lần lượt rút, mỗi người một lá, không hoàn lại. Xác suất người thứ ba rút được thăm trúng thưởng là

A. \(\frac{1}{10}\)
B. \(\frac{1}{8}\)
C. \(\frac{3}{10}\)
D. \(\frac{1}{3}\)

B. Câu hỏi trả lời ngắn

Bài 13. (TLN - ★★☆) Gieo ba con xúc xắc cân đối. Biết có ít nhất một con ra 6 chấm, tính xác suất tổng số chấm không nhỏ hơn 15 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Quy Hoạch Động Trong Xác Suất Và Kì Vọng - Ôn Thi Đánh Giá Năng Lực HSA, TSA

2026-10-15T06:31:04.903+07:00

Tổng quan chuyên đề: Tài liệu hướng dẫn phương pháp quy hoạch động (phân tích theo bước đầu tiên - First-step Analysis) để xử lý các mô hình xác suất nâng cao xuất hiện trong các kì thi Đánh giá năng lực (HSA, TSA) và kì thi Olympic Toán. Nội dung bao gồm xác suất hấp thụ trong bài toán người chơi phá sản kinh điển và kỹ thuật thiết lập hệ thức truy hồi tính số bước kì vọng dừng quá trình ngẫu nhiên.

Dạng 4. Xác suất hấp thụ – Bài toán người chơi phá sản

Ví dụ 10 (AMC 10B 2014, Bài 25 – cũng là AMC 12B 2014, Bài 22)

Trong ao có 11 lá súng xếp hàng, đánh số 0 đến 10. Một con ếch ngồi ở lá 1. Khi ở lá \(N\) (\(0 < N < 10\)), ếch nhảy sang lá \(N - 1\) với xác suất \(\frac{N}{10}\) và sang lá \(N + 1\) với xác suất \(1 - \frac{N}{10}\), các lần nhảy độc lập. Đến lá 0 ếch bị rắn ăn; đến lá 10 ếch thoát khỏi ao. Tính xác suất ếch thoát.

Trạng thái và hệ thức (phân tích theo bước đầu):

Gọi \(p_N\) là xác suất thoát khi đang ở lá \(N\):

\[p_N = \frac{N}{10} p_{N-1} + \left(1 - \frac{N}{10}\right) p_{N+1}, \quad p_0 = 0, \quad p_{10} = 1\]

Nhận xét đối xứng:

Lá \(N\) và lá \(10 - N\) đối xứng nhau nên \(p_N + p_{10-N} = 1\), đặc biệt \(p_5 = \frac{1}{2}\).

Giải bằng hiệu số:

Đặt \(d_N = p_N - p_{N-1}\). Hệ thức tương đương với \((10 - N)d_{N+1} = N d_N\), nên với \(d_1 = p_1\):

\[d_2 = \frac{d_1}{9}, \quad d_3 = \frac{d_1}{36}, \quad d_4 = \frac{d_1}{84}, \quad d_5 = \frac{d_1}{126}\]

\[\frac{1}{2} = p_5 = d_1 \left(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{84} + \frac{1}{126}\right) = d_1 \cdot \frac{73}{63}\]

Suy ra \(p_1 = \frac{63}{146}\) (đáp án C của đề AMC).

Công thức kinh điển (Huygens; Ross, A First Course in Probability):

Nếu mỗi bước sang phải với xác suất \(p\) không đổi, sang trái với xác suất \(q = 1 - p \neq p\), trạng thái hấp thụ là 0 và \(N\), thì xác suất đạt \(N\) trước khi về 0, xuất phát từ vị trí \(i\), là:

\[P_i = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^i}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^N}\]

Khi \(p = q = \frac{1}{2}\) thì \(P_i = \frac{i}{N}\). Trong trường hợp công bằng, kì vọng số ván đến khi kết thúc là:

\[E_i = i(N - i)\]

Dạng 5. Quy hoạch động cho kì vọng

Ví dụ 11:

Tung liên tiếp một đồng xu cân đối cho tới khi xuất hiện hai mặt ngửa liên tiếp thì dừng. Trung bình phải tung bao nhiêu lần?

Trạng thái:

Gọi \(E_0\) là kì vọng số lần tung còn lại khi chưa có mặt N ở cuối (kể cả lúc bắt đầu);

\(E_1\) là kì vọng khi vừa tung được một mặt N.

Hệ thức:

Mỗi lần tung tốn 1 lượt rồi chuyển trạng thái:

\[E_0 = 1 + \frac{1}{2}E_1 + \frac{1}{2}E_0, \quad E_1 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}E_0\]

Từ phương trình đầu, ta có: \(E_0 = 2 + E_1\).

Thay vào phương trình sau:

\[E_1 = 1 + \frac{1}{2}(2 + E_1) \implies E_1 = 4, \quad E_0 = 6\]

Một kết quả bất ngờ:
Nếu chờ dãy NS (ngửa rồi sấp) thay vì NN, kì vọng chỉ là 4. Lí do: khi đang chờ NN mà tung ra S, ta mất hết “tiến độ”; còn khi chờ NS mà tung ra N, ta vẫn giữ nguyên tiến độ. Đây là câu hỏi kinh điển trong giáo trình Stat 110 (Harvard) của J. Blitzstein và là chủ đề “trò chơi Penney” nổi tiếng.

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Ứng Dụng Quy Hoạch Động Trong Bài Toán Xác Suất Ôn Thi HSA TSA

2026-10-15T05:30:19.104+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn sử dụng tư duy quy hoạch động để mô hình hóa và giải quyết các bài toán xác suất phức tạp theo từng bước chuyển trạng thái (bước ngẫu nhiên trên đa giác và bài toán chuỗi kết quả có điều kiện không liên tiếp liên quan đến dãy số Fibonacci), phục vụ hiệu quả cho các kỳ thi đánh giá năng lực HSA và TSA.

Dạng 2. Quy hoạch động một chiều theo số bước

Ví dụ 8 (AIME II 2003, Bài 13):

Một con bọ xuất phát từ một đỉnh của tam giác đều. Mỗi bước, nó chọn ngẫu nhiên một trong hai đỉnh còn lại và bò sang đỉnh đó. Biết xác suất con bọ ở đúng đỉnh xuất phát sau bước thứ 10 là \(\frac{m}{n}\) với \(m, n\) nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính \(m + n\).

Nhờ tính đối xứng, 3 đỉnh được thu gọn thành 2 trạng thái: “ở A” và “không ở A”.

Trạng thái: Gọi \(p_n\) là xác suất con bọ ở đỉnh xuất phát \(A\) sau \(n\) bước; \(p_0 = 1\).

Hệ thức (theo bước cuối): Muốn ở \(A\) sau bước \(n + 1\) thì sau bước \(n\) phải không ở \(A\) (xác suất \(1 - p_n\)) và chọn đúng \(A\) (xác suất \(\frac{1}{2}\)):

\[p_{n+1} = \frac{1}{2}(1 - p_n)\]

Bảng tính giá trị qua từng bước:

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(p_n\)	1	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{5}{16}\)	\(\frac{11}{32}\)	\(\frac{21}{64}\)	\(\frac{43}{128}\)	\(\frac{85}{256}\)	\(\frac{171}{512}\)

Vậy \(p_{10} = \frac{171}{512}\) và \(m + n = 171 + 512 = 683\). Đáp số này trùng với đáp án chính thức của AIME.

Mở rộng: công thức tổng quát

Đặt \(u_n = p_n - \frac{1}{3}\) thì \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n\) (cấp số nhân), suy ra:

\[p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\]

Khi \(n\) lớn, \(p_n\) dần tới \(\frac{1}{3}\) – con bọ “quên” điểm xuất phát. Đây là ví dụ cơ bản về phân phối dừng của xích Markov.

Dạng 3. Dãy kết quả có ràng buộc “không liên tiếp”

Ví dụ 9:

Tung một đồng xu cân đối 10 lần. Tính xác suất để không có hai lần ngửa (N) nào liên tiếp.

Trạng thái: Gọi \(a_n\) là số dãy “hợp lệ” độ dài \(n\) kết thúc bằng sấp (S), \(b_n\) là số dãy hợp lệ kết thúc bằng ngửa (N).

Sơ đồ chuyển trạng thái: Sau trạng thái N không được xuất hiện thêm N liên tiếp.

Hệ thức: Thêm S vào mọi dãy hợp lệ đều được; thêm N chỉ được vào dãy tận cùng bằng S:

\[a_{n+1} = a_n + b_n, \quad b_{n+1} = a_n\]

Đặt \(T_n = a_n + b_n\) thì \(T_{n+1} = T_n + T_{n-1}\) – chính là dãy Fibonacci, với \(T_1 = 2, T_2 = 3\).

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(a_n\)	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
\(b_n\)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
\(T_n\)	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

Xác suất cần tìm:

\[\frac{144}{2^{10}} = \frac{144}{1024} = \frac{9}{64} \approx 0,14\]

Bình luận: Có thể đếm trực tiếp theo số lần ngửa \(k\): chọn \(k\) vị trí đôi một không kề nhau trong 10 vị trí có \(C_{11-k}^k\) cách, nên:

\[T_{10} = \sum_{k=0}^{5} C_{11-k}^k = 1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144\]

Cách này đòi hỏi nhớ bài toán “chọn không kề nhau”, còn quy hoạch động thì không cần mẹo và có thể mở rộng ngay sang trường hợp “không có ba ngửa liên tiếp” hoặc đồng xu không cân đối: khi đó ta lập bảng xác suất thay cho bảng số dãy, với \(a_{n+1} = q(a_n + b_n)\), \(b_{n+1} = p a_n\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Quy hoạch động trong bài toán đếm và xác suất ôn thi ĐGNL HSA - TSA

2026-10-15T04:30:38.952+07:00

Tóm tắt nội dung: Chuyên đề phân tích kỹ thuật vận dụng tư duy Quy hoạch động (Dynamic Programming) để giải quyết các bài toán đếm và xác suất phục vụ ôn thi Đánh giá năng lực (HSA, TSA). Bài viết tập trung vào hai mô hình kinh điển: bài toán bước cầu thang và di chuyển trên lưới tọa độ ô vuông, đồng thời làm rõ sự khác biệt bản chất giữa xác suất trên không gian mẫu đồng khả năng và mô hình ngẫu nhiên từng bước.

III. KHỞI ĐỘNG: QUY HOẠCH ĐỘNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

Trước khi bước vào xác suất, ta luyện “cơ tay” với bài toán đếm. Đây là cách tiếp cận của nhiều tài liệu chuyên đề (chẳng hạn tài liệu “Ứng dụng quy hoạch động trong bài toán đếm và tính xác suất” và bộ bài giảng “Làm chủ tư duy quy hoạch động”): mọi bảng đếm đều trở thành bảng xác suất khi ta chia cho tổng số khả năng.

1. Bài toán leo cầu thang

Ví dụ 1 (bài toán kinh điển): Một cầu thang có 10 bậc. Mỗi bước có thể bước lên 1 bậc hoặc 2 bậc.

a) Có bao nhiêu cách leo hết cầu thang?

b) Nếu mỗi bước người đó chọn ngẫu nhiên bước 1 bậc hoặc 2 bậc (xác suất \(\frac{1}{2}\) mỗi loại), tính xác suất người đó đặt chân lên bậc thứ 10.

(Hình minh họa: Muốn đến bậc \(i\), bước cuối xuất phát từ bậc \(i - 1\) hoặc bậc \(i - 2\). Công thức: \(f(i) = f(i-1) + f(i-2)\) với \(f(0) = f(1) = 1\))

a) Gọi \(f_i\) là số cách leo đến bậc \(i\). Bước cuối là 1 bậc (từ \(i - 1\)) hoặc 2 bậc (từ \(i - 2\)), nên:

\[f_i = f_{i-1} + f_{i-2} \quad \text{với } f_0 = f_1 = 1\]

Dãy giá trị: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 cho \(f_{10} = 89\) cách.

b) Gọi \(p_i\) là xác suất đặt chân lên bậc \(i\). Muốn chạm bậc \(i\) thì phải chạm bậc \(i - 1\) rồi bước 1, hoặc chạm bậc \(i - 2\) rồi bước 2 – hai trường hợp xung khắc:

\[p_i = \frac{1}{2}p_{i-1} + \frac{1}{2}p_{i-2}, \quad p_0 = 1, p_1 = \frac{1}{2} \implies p_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\]

Do đó:

\[p_{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 1024} = \frac{683}{1024}\]

Lưu ý: Hai câu a, b cùng một bảng nhưng khác bản chất: câu a đếm đường đi đến đúng bậc 10, câu b tính xác suất chạm bậc 10 khi bước ngẫu nhiên – con số \(\frac{89}{2^{10}}\) không phải đáp án câu b, vì các con đường có số bước khác nhau nên không đồng khả năng.

2. Đường đi trên lưới ô vuông

Ví dụ 2 (theo Vũ Mạnh Quân): Một con kiến đi theo các cạnh của lưới ô vuông kích thước \(7 \times 5\) từ góc \(A(0; 0)\) đến góc \(B(7; 5)\), mỗi bước sang phải hoặc lên trên một đơn vị (đường đi ngắn nhất).

a) Có bao nhiêu đường đi?

b) Chọn ngẫu nhiên một đường đi. Tính xác suất đường đi qua điểm \(C(3; 2)\).

(Hình minh họa: Bảng “vết dầu loang” – số ở mỗi nút bằng tổng nút bên trái và nút bên dưới)

a) Mỗi nút \((x; y)\) chỉ đến được từ nút bên trái hoặc nút bên dưới, nên số đường:

\[N(x; y) = N(x - 1; y) + N(x; y - 1)\]

Lan dần từ \(A\), ta được tam giác Pascal xoay nghiêng và:

\[N(7; 5) = 792 = C_{12}^5\]

b) Số đường qua \(C\) bằng:

\[(\text{số đường } A \to C) \times (\text{số đường } C \to B) = C_5^2 \cdot C_7^3 = 10 \cdot 35 = 350\]

Xác suất cần tìm:

\[P = \frac{350}{792} = \frac{175}{396} \approx 0{,}44\]

Cẩn thận: “chọn ngẫu nhiên một đường” khác “đi ngẫu nhiên từng bước”. Nếu thay vì chọn đều một trong 792 đường, con kiến ở mỗi nút tung đồng xu để chọn phải/lên (đến biên thì chỉ còn một hướng) thì các đường đi không còn đồng khả năng: đường men theo biên có xác suất lớn hơn. Khi đó phải lập bảng xác suất riêng.

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Chuyên Đề Quy Hoạch Động Trong Bài Toán Xác Suất Ôn Thi HSA Và TSA

2026-10-14T20:33:48.057+07:00

Tóm tắt nội dung trọng tâm: Chuyên đề giới thiệu cách tiếp cận hiện đại trong việc giải các bài toán xác suất nâng cao thông qua tư duy quy hoạch động. Ba dạng toán tiêu biểu được trình bày gồm: (1) Phân phối tổng dựa trên phép tích chập rời rạc để giải quyết bài toán lịch sử kinh điển của Galileo; (2) Thiết lập hệ thức truy hồi tuyến tính giải quyết bài toán tính chẵn lẻ; (3) Mô hình xích Markov theo thời gian rời rạc với công thức xác suất toàn phần để theo dõi trạng thái chuyển dịch của đối tượng.

Dạng 6. Phân phối của tổng – quy hoạch động “tích chập”

Ví dụ 12 (Bài toán của Galileo): Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm bằng 10.

Ghi chú lịch sử: Đầu thế kỉ XVII, những người chơi ở Florence thắc mắc vì sao tổng 10 ra nhiều hơn tổng 9, dù cả hai đều có 6 cách phân tích thành ba số từ 1 đến 6. Galileo giải thích trong ghi chép Sopra le scoperte dei dadi: phải đếm bộ có thứ tự, khi đó tổng 9 có 25 kết quả còn tổng 10 có 27 kết quả.

Thiết lập trạng thái: Gọi \(N_k(s)\) là số kết quả có thứ tự của \(k\) con xúc xắc có tổng số chấm bằng \(s\). Phân tích theo con xúc xắc cuối cùng (ra \(t\) chấm với \(1 \le t \le 6\)):

\[N_k(s) = \sum_{t=1}^{6} N_{k-1}(s - t), \quad N_1(s) = 1 \; (1 \le s \le 6)\]

Bảng phân phối cho hai con xúc xắc \(N_2(s)\):

\(s\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(N_2(s)\)	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

\[N_3(10) = N_2(9) + N_2(8) + \dots + N_2(4) = 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27\]

Xác suất cần tìm là: \[P = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}\]

Biến thể: Nếu bài toán chỉ hỏi tổng chia hết cho 3, ta không cần lưu trữ toàn bộ giá trị của tổng mà chỉ cần lưu số dư của tổng khi chia cho 3 (bảng trạng thái chỉ còn 3 cột). Kĩ năng lựa chọn trạng thái "vừa đủ" là mấu chốt quan trọng nhất của phương pháp quy hoạch động.

Dạng 7. Tính chẵn – lẻ

Ví dụ 13: Một đồng xu không cân đối có xác suất ra ngửa là \(p\). Tung đồng xu \(n\) lần. Tính xác suất để số lần xuất hiện mặt ngửa là một số chẵn.

Gọi \(e_n\) là xác suất cần tìm sau \(n\) lần tung, điều kiện ban đầu \(e_0 = 1\).

Số lần ngửa sau \(n\) lần là số chẵn xảy ra trong hai trường hợp xung khắc:

Trước đó chẵn lần ngửa và lần này xuất hiện mặt sấp (xác suất \(1 - p\)).
Trước đó lẻ lần ngửa và lần này xuất hiện mặt ngửa (xác suất \(p\)).

Ta có hệ thức truy hồi:

\[e_n = (1 - p)e_{n-1} + p(1 - e_{n-1}) \implies e_n - \frac{1}{2} = (1 - 2p)\left(e_{n-1} - \frac{1}{2}\right)\]

\[\implies e_n = \frac{1}{2}\left[1 + (1 - 2p)^n\right]\]

Chẳng hạn với \(p = \frac{1}{3}\) và \(n = 5\), ta tính được: \[e_5 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{243}\right) = \frac{122}{243}\]

Đối chiếu bằng khai triển nhị thức Newton (với \(q = 1 - p\)): \[e_n = \frac{(q + p)^n + (q - p)^n}{2}\] Kết quả từ hai phương pháp hoàn toàn trùng khớp.

Dạng 8. Xích Markov theo thời gian – bảng phân phối

Khi đối tượng di chuyển liên tục giữa nhiều vị trí và bài toán yêu cầu xác định trạng thái tại một mốc thời gian cụ thể, ta lập bảng phân phối xác suất: mỗi hàng tương ứng với một thời điểm, mỗi cột là một vị trí và mỗi ô thể hiện xác suất đang có mặt tại vị trí đó. Hàng kế tiếp được suy ra từ hàng trước qua công thức xác suất toàn phần:

\[p_{t+1}(Y) = \sum_{X} p_t(X) \cdot P(X \to Y)\]

Mẹo kiểm tra nhanh: Tổng xác suất trên mỗi hàng luôn luôn bằng 1, do đó với không gian 3 vị trí chỉ cần tính toán 2 cột, giá trị của cột còn lại được suy ra trực tiếp.

Ví dụ 14 (Dạng Đúng/Sai): Một robot di chuyển giữa 3 vị trí A, B, C. Mỗi lần di chuyển mất 1 phút, robot chuyển sang vị trí khác theo quy tắc:

Tại A: chuyển sang B hoặc C với xác suất bằng nhau là 0,5.
Tại B: chuyển sang A với xác suất 0,6 và sang C với xác suất 0,4.
Tại C: chuyển sang A với xác suất 0,8 và sang B với xác suất 0,2.

Ban đầu (thời điểm \(t = 0\)) robot đang ở vị trí A. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Xác suất robot ở A tại thời điểm \(t = 1\) bằng 0.
b) Xác suất robot ở A tại thời điểm \(t = 2\) bằng 0,7.
c) Tại \(t = 3\), A là vị trí robot có khả năng ở cao nhất.
d) Xác suất để robot trở về A lần đầu tiên tại thời điểm \(t = 5\) là 0,0176.

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 10 THPT Hoàng Văn Thụ

2026-10-14T19:32:44.144+07:00

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn ôn tập giữa học kì I môn Toán lớp 10 trường THPT Hoàng Văn Thụ. Đề cương bao gồm chuẩn kiến thức, kĩ năng trọng tâm về mệnh đề, tập hợp, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, giá trị lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác; ma trận đề thi chuẩn cùng hệ thống bài tập trắc nghiệm chọn lọc mở đầu phần Mệnh đề - Tập hợp.

TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ - MÔN TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I - MÔN TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2026 - 2027

1. MỤC TIÊU

1.1. Kiến thức

Học sinh ôn tập các kiến thức về:

Mệnh đề, mệnh đề chứa biến.
Tập hợp, các phép toán trên tập hợp.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giá trị lượng giác của một góc.
Hệ thức lượng trong tam giác.

1.2. Kĩ năng

Học sinh rèn luyện các kĩ năng:

Xác định tập hợp và các phép toán tập hợp.
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ, vận dụng giải một số bài toán thực tế.
Tính giá trị lượng giác của một góc.
Vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm các yếu tố trong tam giác...

2. NỘI DUNG

2.1. Các dạng câu hỏi định tính

Mệnh đề toán học, bao gồm: mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương, mệnh đề có chứa kí hiệu \(\forall, \exists\)...
Tập hợp, tập hợp con, hai tập hợp bằng nhau, tập rỗng, các phép toán tập hợp.
Khái niệm nghiệm, miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Các giá trị lượng giác, hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau.
Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác.

2.2. Các dạng câu hỏi định lượng

Xác định được tính đúng/sai của một mệnh đề toán học trong những trường hợp đơn giản.
Thực hiện được phép toán trên các tập hợp (hợp, giao, hiệu của hai tập hợp, phần bù của một tập con). Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn chúng trong những trường hợp cụ thể.
Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phép toán trên tập hợp (ví dụ: những bài toán liên quan đến đếm số phần tử của hợp các tập hợp,...).
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Vận dụng được kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn (ví dụ: bài toán tìm cực trị của biểu thức \(F = ax + by\) trên một miền đa giác,...).
Tính các giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) bằng máy tính cầm tay.
Giải tam giác và vận dụng được vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp,...).

2.3. Ma trận đề kiểm tra giữa học kỳ I

MÔN: TOÁN, LỚP 10 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

STT	NỘI DUNG	HÌNH THỨC
STT	NỘI DUNG	TN 4 lựa chọn (mức độ 1, 2)	TN Đúng – Sai (mức độ 1, 2, 3)	TL ngắn (mức độ 2, 3)	Tự luận (mức độ 2, 3)
1	Mệnh đề, tập hợp	6	1	2	1
2	Bất phương trình và Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn	2		1
3	Giá trị lượng giác của một góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\)	1		1
4	Hệ thức lượng trong tam giác	3	1		1
Tổng số câu		12	2	4	2
Tổng số điểm		3	2	2	3
Tỉ lệ %		30%	20%	20%	30%

2.4. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: Câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án lựa chọn

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

A. Thời gian làm bài thi môn toán là bao nhiêu phút?

B. Bạn có mệt không?

C. Tôi hạnh phúc quá!

D. Việt Nam có 34 tỉnh thành.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.

B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.

C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.

D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.

Câu 3. Hình nào sau đây minh họa tập hợp \(A\) là tập con của tập hợp \(B\)?

A. Hai hình tròn \(A\) và \(B\) giao nhau.

B. Hình tròn \(B\) chứa hoàn toàn hình tròn \(A\) bên trong.

C. Hình tròn \(A\) chứa hoàn toàn hình tròn \(B\) bên trong.

D. Hai hình tròn \(B\) và \(A\) cắt nhau một phần.

Câu 4. Cho tập hợp \(P\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. \(P \subset P\).

B. \(\varnothing \subset P\).

C. \(P \in \{P\}\).

D. \(P \in P\).

Câu 5. Cho tập \(X = \{2; 4; 6; 9\}\), \(Y = \{1; 2; 3; 4\}\). Tập nào sau đây bằng tập \(X \setminus Y\)?

A. \(\{1; 2; 3; 5\}\)

B. \(\{1; 3; 6; 9\}\)

C. \(\{6; 9\}\)

D. \(\{1\}\)

Câu 6. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

A. \(T_1 = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 + 3x - 4 = 0\}\).

B. \(T_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3 = 0\}\).

C. \(T_1 = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 = 2\}\).

D. \(T_1 = \{x \in \mathbb{Q} \mid (x^2 + 1)(2x - 5) = 0\}\).

Câu 7. Cho tập hợp \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid -5 < x \le 5\}\). Tập hợp \(A\) được viết dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng là:

A. \(A = [-5; 5]\).

B. \(A = (-5; 5]\).

C. \(A = [-5; 5)\).

D. \(A = (-5; 5)\).

Câu 8. Cho các tập hợp \(P = (-2; 5)\), \(Q = (0; +\infty)\) và \(R = [5; 7]\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A. \(P \cup Q = (0; 5)\).

B. \(Q \cap R = (5; 7]\).

C. \(P \cap R = \{5\}\).

D. \(P \cap Q = (0; 5)\).

Câu 9. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Ban tổ chức đã huy động cho hội nghị đó số người là:

A. 45.

B. 81.

C. 65.

D. 49.

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề cương Ôn tập Giữa kỳ 1 môn Toán lớp 11 THPT Hoàng Văn Thụ 2026-2027

2026-10-14T18:30:57.530+07:00

Tóm tắt đề cương: Đề cương kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 11 (năm học 2026 – 2027) trường THPT Hoàng Văn Thụ tổng hợp toàn bộ mục tiêu kiến thức, kỹ năng cơ bản về Giá trị lượng giác, Công thức lượng giác, Hàm số lượng giác, Phương trình lượng giác, Dãy số, Cấp số cộng và Hình học không gian. Đề cương đi kèm ma trận đề thi 90 phút và bộ câu hỏi trắc nghiệm minh họa chuẩn cấu trúc.

1. MỤC TIÊU ÔN TẬP

1.1. Kiến thức

Giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
Công thức lượng giác.
Hàm số lượng giác.
Phương trình lượng giác cơ bản.
Dãy số.
Cấp số cộng.
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Hai đường thẳng song song.

1.2. Kĩ năng

Xác định giá trị lượng giác của góc lượng giác; mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
Xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số lượng giác; nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác cơ bản.
Giải quyết một số bài toán thực tiễn liên quan đến giá trị lượng giác, hàm số lượng giác và biến đổi lượng giác.
Giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Tìm số hạng của dãy số cho bởi liệt kê, công thức tổng quát, hệ thức truy hồi, mô tả.
Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy số là cấp số cộng.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Chứng minh hai đường thẳng song song và vận dụng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

2. NỘI DUNG VÀ MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

Thời gian làm bài: 90 phút

TT	NỘI DUNG	HÌNH THỨC
		Trắc nghiệm khách quan			Tự luận (mức 2,3)
		Nhiều lựa chọn (mức 1,2)	Đúng-sai (mức 1,2,3)	Trả lời ngắn (mức 1,2,3)	Tự luận (mức 2,3)
1	Giá trị lượng giác của một góc lượng giác	1	1	2	3
2	Công thức lượng giác	2
3	Hàm số lượng giác	2
4	Phương trình lượng giác cơ bản	1
5	Dãy số	1		1
6	Cấp số cộng	1		1	1
7	Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian	2	1	1	2
8	Hai đường thẳng song song	2	1	1	2
Tổng số câu		12	2	4	6
Tổng số điểm		3	2	2	3
Tỉ lệ %		30%	20%	20%	30%

3. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

B. Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \([-1;1]\).

C. Hàm số \(y = \sin x\) có tập giá trị là \([-1;1]\).

D. Hàm số \(y = \cot x\) có tập giá trị là \([0;\pi]\).

Câu 2. Hàm số \(y = \sin 2x\) có chu kì tuần hoàn là

A. \(T = \pi\).

B. \(T = \frac{\pi}{2}\).

C. \(T = 4\pi\).

D. \(T = 2\pi\).

Câu 3. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. \(\tan \alpha + \cot \alpha = 1 \quad \left(\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right)\).

B. \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha \quad \left(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right)\).

C. \(\frac{1}{\cot^2 \alpha} = 1 + \sin^2 \alpha \quad \left(\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right)\).

D. \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1\).

Câu 4. Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

B. Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

C. Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.

D. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\).

A. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

B. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

C. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

D. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số \(y = \cot\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)\).

A. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

B. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

C. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

D. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 7. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{\sin x - 1}{\tan x}\) là

A. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

B. \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

C. \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\).

D. \(D = \mathbb{R}\).

Câu 8. Rút gọn biểu thức \(A = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi - x) + \cos(3\pi + x)\), ta được:

A. \(A = -\cos x\).

B. \(A = -\sin x\).

C. \(A = \cos x\).

D. \(A = \sin x\).

Câu 9. Biến đổi biểu thức \(B = \cos 4x - \cos 2x\) thành tích, ta được:

A. \(B = 2\cos 3x \sin x\).

B. \(B = 2\cos 3x \cos x\).

C. \(B = 2\sin 3x \cos x\).

D. \(B = -2\sin 3x \sin x\).

Câu 10. Cho đường tròn có bán kính 8cm. Tính độ dài cung tròn có số đo \(\frac{2\pi}{9}\) của đường tròn đó.

A. \(l = \frac{16\pi}{9} \text{ cm}\).

B. \(l = \frac{4\pi}{9} \text{ cm}\).

C. \(l = \frac{36}{\pi} \text{ cm}\).

D. \(l = \frac{4}{9} \text{ cm}\).

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề Cương Ôn Tập Giữa Học Kỳ 1 Môn Toán Lớp 12 Trường THPT Hoàng Văn Thụ

2026-10-14T17:30:57.748+07:00

Nội dung tài liệu tổng hợp mục tiêu kiến thức, kĩ năng và cấu trúc ma trận đề kiểm tra giữa kì 1 môn Toán lớp 12 trường THPT Hoàng Văn Thụ. Đi kèm với đó là chuỗi câu hỏi trắc nghiệm minh họa nhằm hỗ trợ học sinh ôn luyện kiến thức về tính đơn điệu, cực trị và đồ thị hàm số.

1. MỤC TIÊU VÀ MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

1.1. Kiến thức: Ôn tập về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất, đường tiệm cận của đồ thị hàm số; các phép toán vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian.

1.2. Ma trận đề kiểm tra giữa học kỳ I (Thời gian làm bài: 90 phút):

STT	NỘI DUNG	HÌNH THỨC
STT	NỘI DUNG	TN 4 lựa chọn (mức 1, 2)	TN Đúng – Sai (mức 1, 2, 3)	TL ngắn (mức 2, 3)	Tự luận (mức 2, 3)
1	Tính đơn điệu và cực trị của hàm số	4	1	1	2
2	Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số	2	1	1	1
3	Đường tiệm cận của đồ thị hàm số	2		1	1
4	Vectơ và Hệ trục tọa độ trong không gian	4	1	1	2
Tổng số câu		12	2	4	6
Tổng số điểm		3	2	2	3
Tỉ lệ %		30%	20%	20%	30%

2. CÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

2.1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((-1;0)\)

B. \((1;+\infty)\)

C. \((-\infty;1)\)

D. \((0;1)\)

Câu 2. Cho hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(f(2) > f(-1)\)

B. \(f(1) > f(3)\)

C. \(f(3) > f(\pi)\)

D. \(f\left(\frac{2}{3}\right) < f\left(\frac{3}{4}\right)\)

Câu 3. Hàm số \(y = \frac{2}{x^2 + 1}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((-1;1)\)

B. \((-\infty;+\infty)\)

C. \((0;+\infty)\)

D. \((-\infty;0)\)

Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{mx + 4m}{x + m}\) với \(m\) là tham số. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của \(S\).

A. 5

B. 4

C. Vô số

D. 3

Câu 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị là đường cong cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \(-1\), \(1\), \(4\).

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. \((-\infty;-1)\)

B. \((-1;1)\)

C. \((1;4)\)

D. \((1;+\infty)\)

Câu 6. Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x(x-1)(x+2)^3, \forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là:

A. 3

B. 2

C. 5

D. 1

Câu 7. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực tiểu của hàm số bằng \(-3\).

B. Cực tiểu của hàm số bằng \(1\).

C. Cực tiểu của hàm số bằng \(-6\).

D. Cực tiểu của hàm số bằng \(2\).

Câu 8. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị đường cong với 5 điểm cực trị. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề Cương Ôn Tập Giữa Kì 1 Môn Toán Lớp 9 THCS Chu Văn An 2026-2027

2026-10-14T15:34:50.850+07:00

Tóm tắt tài liệu: Tài liệu tuyển chọn hệ thống câu hỏi trọng tâm ôn tập giữa kì 1 môn Toán 9 của trường THCS Chu Văn An. Nội dung bao quát kiến thức về phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình quy về bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc nhất một ẩn và các bài toán thực tế liên quan.

I. NỘI DUNG ÔN TẬP

Chương I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Chương III - Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai.

II. BÀI TẬP THAM KHẢO

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(2x^2 - 3y = 1\)

B. \(2x - y = 7\)

C. \(-x^2 - y = 1\)

D. \(0x + 0y = 2\)

Câu 2. Cho các cặp số sau: \((2; -1)\); \((-5; 0)\) và \(\left(0; -\frac{5}{3}\right)\). Có bao nhiêu cặp số là nghiệm của phương trình \(x - 3y = 5\)?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 3. Nghiệm tổng quát của phương trình \(2x - y = 3\) là:

A. \(\begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ y = 2x - 3 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = \frac{y}{2} + 3 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2x + 3 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2x - 3 \end{cases}\)

Câu 4. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy (cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(\frac{5}{3}\) và song song với trục tung Oy) biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nào dưới đây?

A. \(0x + 5y = -3\)

B. \(5x + 0y = -3\)

C. \(3x + 0y = 5\)

D. \(0x + 3y = 5\)

Câu 5. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\begin{cases} 2x^2 + y = 3 \\ x - y = 2 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} xy - y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} 2x - yx = 5 \\ x + 2y = 0 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}\)

Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases} x - 3y = 1 \\ -2x + 5y = 1 \end{cases}\) là:

A. \((7; 3)\)

B. \((-2; -1)\)

C. \((-8; -3)\)

D. \((4; 1)\)

Câu 7. Tìm các hệ số \(x, y\) trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau: \[2\text{Fe} + y\text{Cl}_2 \rightarrow x\text{FeCl}_3\]

A. \(\begin{cases} 2 = x \\ y = 3 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} 1 = x \\ 2y = 3x \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} 2 = x \\ 2y = 3 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} 2 = x \\ 2y = 3x \end{cases}\)

Câu 8. Cho hai số tự nhiên biết rằng tổng của hai số là 17 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119. Tìm số lớn hơn.

A. 12

B. 13

C. 32

D. 33

Câu 9. Giá tiền mua 14 quyển vở và 13 cái bút là 112 900 đồng. Nếu mua 7 quyển vở và 10 cái bút cùng loại đó thì hết 68 000 đồng. Nếu gọi giá tiền mỗi quyển vở là \(x\) (đồng), giá tiền mỗi cái bút là \(y\) (đồng) thì ta được hệ nào biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) trong các hệ dưới đây?

A. \(\begin{cases} 14x + 7y = 112\,900 \\ 13x + 10y = 68\,000 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} 14x + 7y = 112,9 \\ 13x + 10y = 68 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} 14x + 13y = 112,9 \\ 7x + 10y = 68 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} 14x + 13y = 112\,900 \\ 7x + 10y = 68\,000 \end{cases}\)

Câu 10. Phương trình \(x(x - 2) = 0\) có nghiệm là:

A. \(x = 0\) và \(x = -2\)

B. \(x = -2\) và \(x = 2\)

C. \(x = 0\) và \(x = 2\)

D. \(x = 2\)

Câu 11. Tổng các nghiệm của phương trình \((2x + 1)(3x - 2) = 0\) là:

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(-\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{2}{3}\)

D. \(-\frac{1}{6}\)

Câu 12. Phân tích vế trái thành nhân tử rồi giải phương trình \(3x(x - 6) + 8(x - 6) = 0\) ta thu được hai nghiệm \(x = a\) và \(x = b\). Tính \(3a + 3b\).

Trả lời: ……………………………………………………………………………………

Câu 13. Nghiệm của phương trình \(\frac{2}{2x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(2x + 1)(x + 1)}\) là:

A. \(x = 0\) và \(x = 1\)

B. \(x = -1\) và \(x = -12\)

C. \(x = -1\)

D. \(x = 0\)

Câu 14. Số nghiệm của phương trình \(\frac{3x - 8}{x + 6} = 2\) là:

A. 0

B. 4

C. 1

D. 2

Câu 15. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. \(x^2 + 1 \le 0\)

B. \(0x - 5 < 0\)

C. \(5x - 7y \le 0\)

D. \(a + 2024 > 0\)

Câu 16. Biển báo giao thông R.306 báo tốc độ tối thiểu cho xe cơ giới (ghi số 60). Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với vận tốc không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với vận tốc \(a\text{ (km/h)}\) thì \(a\) phải thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau?

A. \(a < 60\)

B. \(a > 60\)

C. \(a \ge 60\)

D. \(a \le 60\)

Câu 17. Viết đẳng thức hoặc bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:

a) Tuần tới, nhiệt độ \(t\ (^\circ\text{C})\) tại Tokyo là trên \(-5^\circ\text{C}\).

……………………………………………………………………………………

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 9 trường THCS & THPT M.V. Lô-mô-nô-xốp Hà Nội

2026-10-14T14:52:05.123+07:00

Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 9 – Trường THCS và THPT M.V. Lô-mô-nô-xốp (Hà Nội), thời gian làm bài 90 phút. Đề thi có cấu trúc hiện đại kết hợp giữa Trắc nghiệm (2,5 điểm) (gồm trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, trắc nghiệm đúng/sai và câu hỏi trả lời ngắn) cùng Tự luận (7,5 điểm) bao quát các chủ đề: phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bất đẳng thức – bất phương trình, căn thức bậc hai và bài toán thực tế cực trị.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2,5 ĐIỂM)

1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (1,0 điểm)

Câu 1. Cho hệ phương trình: \(\begin{cases} 3x - y = 5 & (1) \\ x + 2y = 4 & (2) \end{cases}\). Khi nhân hai vế của phương trình (2) với 3 ta được hệ phương trình nào sau đây?

A. \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 3x + 6y = 4 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}\)

Câu 2. Phương trình \((x+1)(2-3x)=0\) có nghiệm là:

A. \(x = -1\);

B. \(x = -1; x = \dfrac{2}{3}\);

C. \(x = -1; x = 2\);

D. \(x = -1; x = \dfrac{-2}{3}\).

Câu 3. Nghiệm của bất phương trình \(x + 2 > -5\) là:

A. \(x > -7\);

B. \(x > -3\);

C. \(x < -3\);

D. \(x < -7\).

Câu 4. Kết quả của phép tính \(\sqrt{(-8)^2} + 1\) là:

A. \(-7\);

B. \(-63\);

C. \(65\);

D. \(9\).

2. Câu trắc nghiệm đúng, sai (1,0 điểm)

Câu 5. Nhân dịp Tết Trung thu, một cửa hàng bánh gia truyền đã bán được tổng cộng 500 chiếc bánh gồm hai loại: bánh nướng và bánh dẻo. Giá niêm yết ban đầu của mỗi chiếc bánh nướng là 80 nghìn đồng, mỗi chiếc bánh dẻo là 60 nghìn đồng. Để tri ân khách hàng, cửa hàng đã giảm giá 5% cho mỗi chiếc bánh nướng và giảm giá 10% cho mỗi chiếc bánh dẻo. Tổng số tiền cửa hàng thu được sau khi bán hết 500 chiếc bánh là 34 700 nghìn đồng. Gọi \(x\) là số chiếc bánh nướng mà cửa hàng đã bán (\(x \in \mathbb{N}^*; x < 500\)).

a) Tổng số tiền bán bánh dẻo sau giảm giá là \(54(500 - x)\) (nghìn đồng).

b) Giá thực tế của một chiếc bánh nướng sau khi giảm là 4 nghìn đồng.

c) Phương trình biểu thị số tiền bán được là \(76x + 54(500 - x) = 34700\).

d) Cửa hàng đã bán được 350 chiếc bánh nướng và 150 chiếc bánh dẻo.

3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (0,5 điểm)

Câu 6. Thu gọn biểu thức \(\sqrt{(2-x)^2} - x + 7\) (điều kiện \(x \ge 2\)), ta được kết quả là:

Câu 7. Cho bất phương trình \(2a - 3 > a - 5\). Có bao nhiêu số nguyên âm \(a\) thỏa mãn bất phương trình đã cho?

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)

Bài I (2,0 điểm).

1) (0,75 điểm). Giải phương trình: \(x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0\).

2) (0,75 điểm). Giải hệ phương trình: \(\begin{cases} 2x + y = 8 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}\).

3) (0,5 điểm). Giải bất phương trình: \(\dfrac{x - 1}{3} - \dfrac{2x + 3}{2} > 6\).

Bài II (1,0 điểm).

1) (0,5 điểm). Cho hai số thực \(a, b\) thỏa mãn \(a < b\). So sánh: \(-2 + 3a\) và \(-2 + 3b\).

2) (0,5 điểm). Cho bất đẳng thức: \(-2 + a \ge -3 + b\). Chứng minh: \(b - a \le 1\).

Bài III (1,0 điểm). Thực hiện các phép tính sau:

1) (0,5 điểm). \((\sqrt{33} - 2\sqrt{77} + 5\sqrt{11}) : \sqrt{11} + 2\sqrt{7}\);

2) (0,5 điểm). \(\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2}\).

Bài IV (3,0 điểm).

1) (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một khu đất có dạng hình chữ nhật có chu vi bằng \(300\text{ m}\). Biết 4 lần chiều dài hơn 3 lần chiều rộng là \(110\text{ m}\). Tính chiều dài và chiều rộng của khu đất trên.

2) (1,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình:

Bạn An đã tiết kiệm được \(1\,500\,000\) đồng. Để mua một chiếc xe đạp thể thao giá \(3\,560\,000\) đồng, mỗi ngày An dự định để dành thêm \(25\,000\) đồng từ tiền tiêu vặt. Hỏi bạn An phải để dành ít nhất bao nhiêu ngày thì mới đủ tiền mua chiếc xe đạp đó?

Bài V (0,5 điểm). Cho ba số thực \(a, b, c\) thỏa mãn \(a \ge -1; b \ge -1; c \ge -1\) và \(a^2 + b^2 + c^2 = 9\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[P = a^3 + b^3 + c^3\]

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Đề Cương Ôn Tập Giữa Kì 1 Môn Toán Lớp 9 THCS Nguyễn Huệ NH 2026-2027

2026-10-14T12:34:43.745+07:00

Tóm tắt nội dung đề cương: Đề cương kiểm tra giữa học kì I môn Toán 9 (từ bài 1 đến hết bài 9) bao gồm 3 chủ đề trọng tâm: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn, Căn bậc hai và căn bậc ba. Cấu trúc gồm phần trắc nghiệm nhận biết - thông hiểu và phần tự luận với các dạng giải toán bằng cách lập hệ phương trình, giải phương trình/bất phương trình, rút gọn căn thức và biểu thức chứa căn.

I. NỘI DUNG ÔN TẬP: Từ bài 1 đến hết bài 9

- Chương I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba (đến bài 9)

II. MỘT SỐ CÂU HỎI, BÀI TẬP THAM KHẢO

A. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(2x^2 + 2 = 0\)

B. \(3y - 1 = 5(xy - 2)\)

C. \(2x + \frac{y}{2} = 1\)

D. \(3\sqrt{x} + y^2 = 0\)

Câu 2. Phương trình nào dưới đây nhận cặp số \((-2; 4)\) làm nghiệm?

A. \(x - 2y = 0\)

B. \(2x + y = 0\)

C. \(x - y = 2\)

D. \(x + 2y + 1 = 0\)

Câu 3. Cặp số \((-2; -3)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

A. \(\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} 2x - y = -1 \\ x - 3y = 8 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} 2x - y = -1 \\ x - 3y = 7 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} 4x - 2y = 0 \\ x - 3y = 5 \end{cases}\)

Câu 4. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. \(x + 2y > 0\)

B. \(\frac{1}{x} - 3 > 0\)

C. \(x^2 + 1 > 0\)

D. \(\frac{x}{2} + 1 > 0\)

Câu 5. Cho \(m\) bất kỳ, chọn khẳng định đúng?

A. \(m - 3 > m - 4\)

B. \(m - 3 < m - 5\)

C. \(m - 3 \ge m - 2\)

D. \(m - 3 \le m - 6\)

Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình \(\left(\frac{1}{3}x - 3\right)(x + 8) = 0\) là

A. \(5\)

B. \(1\)

C. \(-5\)

D. \(-1\)

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{2x + 1} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x}{(2x + 1)(x - 5)}\) là

A. \(x \ne -\frac{1}{2}\)

B. \(x \ne -\frac{1}{2}\) và \(x \ne 5\)

C. \(x \ne -5\)

D. \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne -5\)

Câu 8. Căn bậc hai của \((-4)^2\) là:

A. \(-4\)

B. \(4\) và \(-4\)

C. \(4\)

D. \(16\)

Câu 9. Biểu thức \(\sqrt{2 - \frac{x}{2}}\) xác định khi:

A. \(x > \frac{1}{2}\)

B. \(x \ge \frac{1}{2}\)

C. \(x < 4\)

D. \(x \le 4\)

Câu 10. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\sqrt{\frac{3}{5x^3}}\) với \(x > 0\) ta được kết quả là

A. \(\frac{\sqrt{15x}}{5x^2}\)

B. \(-\frac{\sqrt{15x}}{5x^2}\)

C. \(-\frac{\sqrt{6x}}{5x^2}\)

D. \(\frac{\sqrt{6x}}{5x^2}\)

B. Bài tập tự luận

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\begin{cases} 3x + y = 0 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} x - 5y = 21 \\ -6x + 3y = -45 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} -4x + 5y = 8 \\ 2x - y = 2 \end{cases}\)

d) \(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{6}{x} - \frac{2}{y} = 1 \end{cases}\)

Bài 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.

Bài 3. Một ô tô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu?

Bài 4. Một ô tô xuất phát từ A đến B và một xe máy đi từ B đến A, hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe máy xuất phát trước ô tô 40 phút thì hai xe gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc xe máy khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 400km.

Bài 5. Hai công nhân cùng làm chung công việc thì hoàn thành sau 10 giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 6 giờ thì nghỉ, sau đó người thứ hai làm tiếp trong 3 giờ thì được 40% công việc. Hỏi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc mất bao lâu?

Bài 6. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 7. Cho \(a < b\), hãy so sánh:

a) \(a - 3\) và \(b - 3\)

b) \(-5a + 1\) và \(-5b + 1\)

Bài 8. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1) \((x - 1)(3x - 6) = 0\)
2) \((2x + 3)^2 = (x - 5)^2\)
3) \((3x - 2)(x + 1) = x^2 - 1\)
4) \(-5(4x - 1)(x - 2) = 2(4x - 1)^2\)
5) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2}\)
6) \(\frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x + 2}\)
7) \(\frac{3x - 2}{x + 7} = \frac{6x + 1}{2x - 3}\)
8) \(\frac{x + 3}{x - 3} - \frac{3}{x^2 - 3x} = \frac{1}{x}\)
9) \(\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{2 + x} = \frac{x^2 + 16}{x^2 - 4}\)
10) \(8x + 2 < 7x - 1\)
11) \(3x - 8 > 4x - 12\)
12) \(3(x - 2) - 5 \ge 3(2x - 1)\)
13) \(\frac{x + 1}{3} + \frac{x}{2} \ge 4\)
14) \(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} > \frac{5x + 4}{6}\)

Bài 9. Tìm điều kiện xác định:

a) \(\sqrt{-4x}\)

b) \(\sqrt{-5x - 15}\)

c) \(\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\)

d) \(\sqrt{x^2 + 1}\)

Bài 10. Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}\)
b) \(1 - \sqrt{2} + \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2}\)
c) \(\sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5})\)
d) \((\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5})\cdot\sqrt{5}\)
e) \((\sqrt{12} + \sqrt{3})(\sqrt{27} - \sqrt{3})\)
f) \(\sqrt{200} - \sqrt{50} + 4\sqrt{\frac{1}{8}}\)
g) \((\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{20}):\sqrt{5}\)
h) \(2\sqrt{3} - \sqrt{75} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}\)
i) \(\frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} - (\sqrt{2} + \sqrt{3})\)
k) \(\left(\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} - 2\right)\left(\frac{5 + 3\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} - 2\right)\)
l) \(\left(\frac{\sqrt{22} - \sqrt{11}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{3}}\right)(\sqrt{7} - \sqrt{11})\)

Bài 11. Cho biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2 - 5\sqrt{x}}{x - 4}\) \((x \ge 0, x \ne 4)\)

a) Rút gọn \(A\)?

b) Tìm \(x\) để \(A = 3\)?

Bài 12. Cho biểu thức \(A = \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\) với \(x \ge 0, x \ne 1\).

a) Rút gọn \(A\)?

b) Tìm \(x\) để \(A < 1\)?

Bài 13. Cho biểu thức: \(A = \left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}\right)\) \((a > 0, a \ne 1)\)

a) Rút gọn \(A\)?

b) Tìm \(a\) để \(A < 0\)?

c) Tìm \(a\) để \(A = -2\)?

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Tài liệu Hướng dẫn Xây dựng Kế hoạch Bài dạy STEM cấp THPT - Bộ GD&ĐT

2026-10-14T08:30:22.304+07:00

Tổng quan tài liệu: Bộ tài liệu chính thức do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành trong khuôn khổ Chương trình Phát triển Giáo dục Trung học Giai đoạn 2. Nội dung tập trung trang bị kiến thức chuyên môn, quy trình thiết kế và định hướng tổ chức các hoạt động giáo dục STEM nhằm nâng cao năng lực giảng dạy cho cán bộ quản lý cùng giáo viên các trường THPT trên toàn quốc.

Thông tin bìa tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHƯƠNG TRÌNH PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC TRUNG HỌC GIAI ĐOẠN 2

HƯỚNG DẪN XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY

STEM

CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Tài liệu tập huấn cán bộ quản lý, giáo viên cấp Trung học phổ thông

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Hà Nội - 2022

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Bản Đặc Tả Đề Kiểm Tra Toán 10, 11, 12 (Chương Trình GDPT 2018) Chuẩn Bộ GD&ĐT

2026-10-14T07:32:04.669+07:00

Tóm lược định hướng ma trận đề thi: Tài liệu hướng dẫn chuẩn hóa cấu trúc đề kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 theo chương trình GDPT mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Đề thi được thiết kế kết hợp 70% trắc nghiệm khách quan (35 câu, mỗi câu 0,2 điểm) và 30% tự luận (6 câu/ý, mỗi ý 0,5 điểm). Tỉ lệ phân bổ các mức độ nhận thức gồm: 30% Nhận biết, 40% Thông hiểu, 20% Vận dụng và 10% Vận dụng cao, bao quát 3 chủ đề trọng tâm đầu năm học: Mệnh đề - Tập hợp, Bất phương trình và Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cùng Hệ thức lượng trong tam giác - Vectơ.

1. Khung Ma Trận Đề Kiểm Tra Giữa Học Kì 1 Toán Lớp 10

Cấu trúc phân phối tỉ lệ điểm số theo thời lượng giảng dạy từng mạch kiến thức:

Chủ đề 1: Tập hợp và Mệnh đề (7 tiết) – Chiếm 29% tổng số điểm.
Chủ đề 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (6 tiết) – Chiếm 26% tổng số điểm.
Chủ đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác và Vectơ (10 tiết) – Chiếm 45% tổng số điểm.

Chủ đề kiến thức	Nhận biết (30%)		Thông hiểu (40%)		Vận dụng (20%)		Vận dụng cao (10%)		Tổng % điểm
Chủ đề kiến thức	TNKQ	TL	TNKQ	TL	TNKQ	TL	TNKQ	TL	Tổng % điểm
Mệnh đề toán học, mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương	3 câu	0	3 câu	0	0	0	0	0	12%
Tập hợp và các phép toán trên tập hợp	3 câu	0	2 câu	0	1 câu	1 câu	0	0	17%
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng	1 câu	0	1 câu	1 ý	1 câu	0	0	1 ý	11%
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng	2 câu	0	2 câu	0	1 câu	0	0	0	15%
Hệ thức lượng trong tam giác (định lí côsin, sin, diện tích)	3 câu	0	4 câu	0	1 câu	1 ý	0	1 ý	26%
Vectơ và các phép toán tổng, hiệu hai vectơ	3 câu	0	3 câu	1 câu	1 câu	0	0	0	19%
Tổng cộng	15 TN	0	15 TN	2 TL	5 TN	2 TL	0	2 TL	100%

2. Bản Đặc Tả Yêu Cầu Cần Đạt

Chủ đề 1: Mệnh đề và Tập hợp

Nhận biết: Phát biểu được mệnh đề phủ định, đảo, tương đương, mệnh đề chứa kí hiệu \(\forall\), \(\exists\); nhận diện tập con, tập hợp bằng nhau, tập rỗng và các kí hiệu \(\in\), \(\notin\), \(\subset\).
Thông hiểu: Xác định tính đúng/sai của mệnh đề; thực hiện các phép toán giao \((A\cap B)\), hợp \((A\cup B)\), hiệu \((A\setminus B)\), phần bù \((C_E A)\) và biểu diễn bằng biểu đồ Ven.
Vận dụng: Giải quyết bài toán thực tế đếm số phần tử gắn với công thức hợp hai tập hợp: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).

Chủ đề 2: Bất phương trình và Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết: Nhận dạng dạng tổng quát của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Thông hiểu: Xác định và biểu diễn hình học miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
Vận dụng & Vận dụng cao: Mô hình hóa bài toán kinh tế thực tiễn, quy hoạch tuyến tính để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mục tiêu \(F=ax+by\) trên miền đa giác nghiệm.

Chủ đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác & Vectơ

Nhận biết: Nhớ giá trị lượng giác góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\); định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài và vectơ cùng phương.
Thông hiểu: Áp dụng định lí côsin \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\), định lí sin \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\), công thức diện tích \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{abc}{4R}=pr\); thực hiện cộng, trừ vectơ theo quy tắc ba điểm, hình bình hành.
Vận dụng & Vận dụng cao: Giải bài toán đo đạc khoảng cách không thể tiếp cận trực tiếp ngoài thực địa; bài toán tổng hợp lực cân bằng trong Vật lí bằng vectơ.

Tải về file word (3 khối 10, 11, 12 cả năm)

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Kế Hoạch Bài Dạy STEM: Hàm Số Bậc Hai và Ứng Dụng Thực Tiễn Môn Toán 10

2026-10-14T00:30:40.137+07:00

Tóm tắt bài học: Kế hoạch bài dạy STEM chủ đề Hàm số bậc hai (Toán 10) với thời lượng 2 tiết. Bài học giúp học sinh tiếp cận hình dạng đồ thị parabol, xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng thông qua hoạt động thực nghiệm và mô hình hóa toán học bài toán tính chiều cao nhịp cầu Trường Tiền (Huế).

I. Mục tiêu bài dạy

1. Kiến thức:

Nhận biết các yếu tố đặc trưng của parabol: đỉnh, trục đối xứng và hướng bề lõm.
Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)).
Vận dụng mô hình parabol để giải bài toán đo đạc thực tế không đo trực tiếp được.

2. Năng lực & Phẩm chất: Rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học, giao tiếp hợp tác và tư duy giải quyết vấn đề sáng tạo.

II. Hoạt động hình thành kiến thức: Đồ thị hàm số bậc hai

Nhiệm vụ 1: Xét hàm số bậc hai \(y = -2x^2 + 20x\). Lập bảng giá trị và biểu diễn tọa độ các điểm trên mặt phẳng \(Oxy\):

\(x\)	0	2	4	5	6	8	10
\(y\)	0	32	48	50	48	32	0

Biến đổi hàm số về dạng bình phương cộng hằng số: \[y = -2(x - 5)^2 + 50\]

Kiến thức trọng tâm:

Đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)) là một đường parabol có:

Tọa độ đỉnh: \(I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)\).
Trục đối xứng: Đường thẳng \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Bề lõm quay lên trên khi \(a > 0\), quay xuống dưới khi \(a < 0\).

III. Hoạt động STEM: Đo chiều cao nhịp cầu Trường Tiền

Tình huống thực tiễn: Đề xuất phương án xác định chiều cao đỉnh vòm của một nhịp cầu Trường Tiền khi không thể đo trực tiếp.

Mô hình hóa toán học:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O(0;0)\) tại một chân cầu, chân cầu còn lại là điểm \(A(65;0)\) trên trục hoành (độ dài nhịp cầu là \(65\text{ m}\)).
Lấy điểm mốc đo đạc thực tế trên vòm cầu: \(M(1; 0{,}33)\).
Phương trình parabol có dạng khuyết: \(y = ax^2 + bx\).

Các bước giải và tính toán kết quả:

Do parabol đi qua điểm \(A(65;0)\) và \(M(1; 0{,}33)\), ta thiết lập hệ phương trình:

\[\begin{cases} a \cdot 65^2 + b \cdot 65 = 0 \\ a \cdot 1^2 + b \cdot 1 = 0{,}33 \end{cases} \iff \begin{cases} 65a + b = 0 \\ a + b = 0{,}33 \end{cases}\]

Giải hệ phương trình ta được các hệ số xấp xỉ:

\[a \approx -0{,}005156; \quad b \approx 0{,}335156\]

Hoành độ đỉnh vòm cầu là trung điểm của hai chân cầu:

\[x_I = \dfrac{65}{2} = 32{,}5\text{ (m)}\]

Chiều cao của nhịp cầu chính là tung độ đỉnh \(y_I\):

\[y_I = (-0{,}005156) \cdot (32{,}5)^2 + 0{,}335156 \cdot 32{,}5 \approx 5{,}45\text{ (m)}\]

Kết luận: Chiều cao của nhịp cầu Trường Tiền xấp xỉ \(5{,}45\text{ m}\).

Tải về file word đầy đủ

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Giáo án STEM Toán 10: Chế tạo Bếp năng lượng mặt trời ứng dụng Parabol

2026-10-13T23:31:17.466+07:00

Tóm tắt chủ đề: Kế hoạch bài dạy tích hợp STEM bài học "Đường Parabol" (Toán 10 - Chương trình GDPT 2018) giúp học sinh kết nối lý thuyết hình học tọa độ với ứng dụng thực tế. Dựa trên tính chất quang học đặc trưng của parabol: mọi tia sáng song song với trục đối xứng khi chiếu tới mặt gương cong đều hội tụ tại tiêu điểm, học sinh tiến hành nghiên cứu, lên bản vẽ kỹ thuật và chế tạo mô hình Bếp đun năng lượng mặt trời nhằm tận dụng năng lượng sạch, thân thiện với môi trường.

I. Mục tiêu và Chuẩn kiến thức kĩ năng

1. Kiến thức cốt lõi:

Hiểu định nghĩa hình học của Parabol, phương trình chính tắc dạng \(y^2 = 2px\) \((p > 0)\), xác định tọa độ tiêu điểm \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right)\) và phương trình đường chuẩn \(\Delta: x = -\frac{p}{2}\).
Nắm vững tính chất phản xạ quang học: chùm tia tới song song với trục đối xứng (vuông góc với đường chuẩn) của gương parabol cho chùm tia phản xạ hội tụ tại tiêu điểm.
Ứng dụng kiến thức để giải thích nguyên lý và tối ưu hóa vị trí đặt nồi thu nhiệt trên bếp mặt trời.

2. Năng lực - Phẩm chất: Rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề sáng tạo, kĩ năng làm việc nhóm và nâng cao ý thức sử dụng năng lượng tái tạo.

II. Tiến trình tổ chức dạy học theo chu trình STEM

Hoạt động	Nội dung trọng tâm	Thời lượng	Hình thức
HĐ 1: Xác định vấn đề	Tìm hiểu thực trạng năng lượng, nhu cầu sử dụng năng lượng sạch và nhiệm vụ chế tạo bếp mặt trời.	5 phút	Trên lớp
HĐ 2: Nghiên cứu kiến thức nền	Hoàn thành phiếu học tập về phương trình chính tắc parabol, tính chất quang học; phác thảo bản vẽ thiết kế.	25 phút	Trên lớp
HĐ 3: Báo cáo phương án thiết kế	Trình bày, phản biện giải pháp thiết kế kĩ thuật và danh mục vật liệu (giấy bạc, khung thép, ống PVC).	15 phút	Trên lớp
HĐ 4: Chế tạo và thử nghiệm	Gia công mô hình thực nghiệm, kiểm tra khả năng hội tụ nhiệt độ ngoài trời.	Ngoại khóa	Làm việc nhóm
HĐ 5: Đánh giá và hoàn thiện	Báo cáo kết quả thử nghiệm đun nóng, đo nhiệt độ thức ăn/nước; đề xuất cải tiến sản phẩm.	45 phút	Lớp học & Ngoài trời

III. Phiếu học tập kiến thức nền: Ứng dụng Toán học

Nhiệm vụ học tập: Học sinh nghiên cứu tài liệu và hoàn thành các câu hỏi sau:

Câu 1: Nêu định nghĩa và phương trình chính tắc của đường Parabol trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Câu 2: Cho parabol có phương trình chính tắc: \(y^2 = 4x\). Hãy xác định tham số tiêu \(p\), tọa độ tiêu điểm \(F\) và phương trình đường chuẩn \(\Delta\).

Câu 3: Vận dụng tính chất quang học: Điền vào chỗ trống để hoàn thành nhận định: "Nếu chùm tia sáng tới song song với trục đối xứng của mặt gương parabol thì chùm tia phản xạ sẽ đi qua ...................."

HƯỚNG DẪN GIẢI & ĐÁP ÁN PHIẾU HỌC TẬP:

Câu 1: Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định \(F\) (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định \(\Delta\) (đường chuẩn). Phương trình chính tắc có dạng:

\[y^2 = 2px \quad (p > 0)\]

Câu 2: Từ phương trình \(y^2 = 4x\), ta có \(2p = 4 \Rightarrow p = 2\). Suy ra:

Tọa độ tiêu điểm: \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(1; 0)\).
Phương trình đường chuẩn: \(\Delta: x = -\frac{p}{2} \Leftrightarrow x = -1\).

Câu 3: Cụm từ cần điền là: tiêu điểm \(F\) của parabol. Đây là nguyên tắc bố trí đế giữ nồi đun nấu tại vị trí tiêu điểm để hấp thụ năng lượng mặt trời tối đa.

IV. Tiêu chí đánh giá sản phẩm STEM

Tiêu chí đánh giá	Thang điểm	Mô tả yêu cầu
1. Lựa chọn vật liệu	10 điểm	Dễ tìm kiếm, thân thiện với môi trường, chi phí hợp lý.
2. Tính thẩm mĩ & Kỹ thuật	20 điểm	Mô hình chuẩn hình dáng chảo parabol, kết cấu chắc chắn, có chân đỡ.
3. Giá thành sản phẩm	20 điểm	Tiết kiệm, có tính khả thi ứng dụng thực tiễn cao.
4. Hiệu quả hội tụ nhiệt	40 điểm	Khả năng làm nóng lon nước hoặc làm chín trứng sau 20 phút thử nghiệm.
5. Báo cáo & Thuyết trình	10 điểm	Lập luận chặt chẽ, giải thích đúng kiến thức Toán - Lý ứng dụng.

Tải về file word đầy đủ

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Kế hoạch bài dạy STEM: Hệ thức lượng trong tam giác môn Toán lớp 10

2026-10-13T22:35:46.040+07:00

Tóm tắt nội dung: Kế hoạch bài dạy STEM chủ đề "Hệ thức lượng trong tam giác" (Toán 10 - 2 tiết) do GV Nguyễn Hùng Chính thiết kế theo chương trình GDPT 2018. Bài học hướng dẫn học sinh tiếp cận định lí côsin từ định lí Pythagore thông qua mô phỏng trực quan, chứng minh hình học cho góc nhọn và góc tù, đồng thời ứng dụng giải tam giác để giải quyết vấn đề thực tế: đo đạc và tính diện tích mặt nước, vật thể từ xa mà không thể tiếp cận trực tiếp.

I. Mục tiêu và Thiết bị dạy học

1. Mục tiêu bài học:

Kiến thức: Nắm vững định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích và kỹ năng giải tam giác.
Năng lực: Dự đoán mối quan hệ giữa các cạnh từ tam giác vuông sang tam giác bất kì; chứng minh định lí côsin; vận dụng giải toán thực tiễn để xác định kích thước, diện tích từ xa.
Phẩm chất: Tỉ mỉ quan sát, phân tích số liệu biến thiên hình học để rút ra quy luật.

2. Thiết bị dạy học: Phần mềm/video mô phỏng biến thiên hình học, thước đo góc, thước cuộn, giác kế.

II. Tiến trình dạy học trọng tâm

Hoạt động 1: Đặt vấn đề và dự đoán mối liên hệ cạnh - góc

Nhiệm vụ: Quan sát sự biến đổi của biểu thức \(d = BC^2 - (AB^2 + CA^2)\) trong \(\triangle ABC\) khi đỉnh \(A\) di chuyển.

Sản phẩm dự kiến của học sinh:

Khi \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\): theo định lí Pythagore, \(d = 0\).
Khi góc \(A\) nhọn: \(d < 0\), độ lớn \(|d|\) tăng khi các cạnh \(AB, CA\) tăng.
Khi góc \(A\) tù: \(d > 0\), độ lớn \(d\) tăng khi \(AB, CA\) tăng.
Dự đoán: Biểu thức \(d\) tỉ lệ với tích \(AB \cdot CA\) và phụ thuộc vào dấu của \(\cos A\), tức \(d \sim -2 AB \cdot CA \cdot \cos A\).

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức - Chứng minh định lí côsin

Nhiệm vụ: Cho tam giác \(ABC\) kẻ đường cao \(BH\). Sử dụng định lí Pythagore và hệ thức lượng trong tam giác vuông để biểu diễn \(d = BC^2 - (AB^2 + CA^2)\).

1. Trường hợp góc \(A\) nhọn:

\[\begin{aligned} d &= BC^2 - (AB^2 + CA^2) \\ &= (BH^2 + HC^2) - (BH^2 + AH^2) - (CH + HA)^2 \\ &= -2AH^2 - 2CH \cdot HA = -2HA(HA + CH) = -2HA \cdot CA. \end{aligned}\]

Vì \(HA = AB \cdot \cos A\), suy ra: \[d = -2AB \cdot CA \cdot \cos A\]

2. Trường hợp góc \(A\) tù:

\[\begin{aligned} d &= BC^2 - (AB^2 + CA^2) \\ &= (BH^2 + HC^2) - (BH^2 + AH^2) - (CH - HA)^2 \\ &= 2CH \cdot HA - 2HA^2 = 2HA(CH - HA) = 2HA \cdot CA. \end{aligned}\]

Vì \(HA = AB \cdot \cos(180^\circ - A) = -AB \cdot \cos A\), ta cũng thu được: \[d = -2AB \cdot CA \cdot \cos A\]

Kết luận (Định lí côsin): Trong mọi tam giác \(ABC\), ta có:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]

\[b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\]

Hoạt động 3: Ứng dụng STEM - Tính diện tích mặt thoáng từ bờ hồ

Tình huống thực tiễn: Một lồng nuôi cá dạng hình tròn nằm giữa hồ nước lớn. Do địa hình mặt nước, người quan sát không thể bơi ra đo trực tiếp. Em hãy đề xuất giải pháp đo đạc từ bờ để tính diện tích lưới tròn cần phủ kín miệng lồng cá.

Phương án thực hiện đề xuất:

Xác định 3 điểm mốc \(A, B, C\) phân biệt trên mép vòng tròn miệng lồng cá. Miệng lồng là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ABC\) bán kính \(R\).
Chọn hai mốc quan sát \(X, Y\) trên bờ hồ với khoảng cách \(XY = d\) đo được trực tiếp.
Dùng giác kế đo các góc nhìn từ bờ tới các tiêu điểm \(A, B, C\) để tính toạ độ và chiều dài các cạnh \(AB, BC, CA\) cùng góc \(\widehat{BAC}\) của tam giác.
Áp dụng định lí sin: \[\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies R = \frac{BC}{2\sin A}\]
Tính diện tích miệng lồng tròn: \[S = \pi R^2\]

Tải về file word đầy đủ

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Giải chi tiết Đề kiểm tra giữa kỳ 1 môn Toán 12 trường THPT Phan Bội Châu năm học 2026 - 2027

2026-10-13T19:33:45.406+07:00

Tóm tắt nội dung tài liệu: Tài liệu tổng hợp toàn bộ đề thi giữa học kỳ I môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027 của Trường THPT Phan Bội Châu (Hà Nội) - Mã đề 1108. Đề thi được thiết kế chuẩn theo định dạng cấu trúc mới bao gồm 3 phần: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn (12 câu), Trắc nghiệm Đúng/Sai (4 câu) và Trắc nghiệm trả lời ngắn (6 câu), kèm bảng đáp án và bài giải chi tiết.

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Câu 1. Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. \(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\)
B. \(y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1}\)
C. \(y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\)
D. \(y = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}\)

Câu 2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}\) là

A. \(y = 2x - 3\)
B. \(y = 2x + 3\)
C. \(y = x - 3\)
D. \(y = x + 3\)

Câu 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên trên nửa khoảng \([-5; 7)\) như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(\min_{[-5;7)} f(x) = 6\)
B. \(\max_{[-5;7)} f(x) = 9\)
C. \(\min_{[-5;7)} f(x) = 2\)
D. \(\max_{[-5;7)} f(x) = 6\)

Câu 4. Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm của phương trình \(f(x) = -1\) là

A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\) trên đoạn \([-2; 2]\) bằng

A. \(0\)
B. \(2\)
C. \(1\)
D. \(4\)

Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((0; 2)\)
B. \((-∞; -2)\)
C. \((-2; 2)\)
D. \((2; +∞)\)

Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) là

A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)

Câu 8. Tọa độ tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\) là

A. \(I(-1; 2)\)
B. \(I(1; 2)\)
C. \(I(-1; -1)\)
D. \(I(2; -1)\)

Câu 9. Hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 1\) nghịch biến trên khoảng

A. \((0; 2)\)
B. \((2; +∞)\)
C. \((-∞; 2)\)
D. \((0; +∞)\)

Câu 10. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên cho trước. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. \(-2\)
B. \(1\)
C. \(-1\)
D. \(2\)

Câu 11. Cho hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a > 0, b > 0, c > 0, d < 0\)
B. \(a < 0, b < 0, c > 0, d < 0\)
C. \(a < 0, b > 0, c < 0, d < 0\)
D. \(a < 0, b > 0, c > 0, d < 0\)

Câu 12. Hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\) có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây?

A. Hình A
B. Hình B
C. Hình C
D. Hình D

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Câu 1. Một công ty sản xuất sản phẩm với chi phí 600 nghìn đồng/sản phẩm và bán ra 900 nghìn đồng/sản phẩm. Số lượng sản phẩm bán ra tăng theo tiền quảng cáo \(x\) (triệu đồng) là \(S(x) = 400 + 350 \frac{x}{x + 2}\) (sản phẩm).

a) Lợi nhuận lớn nhất là 210 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Lợi nhuận thu được là \(L(x) = 300S(x) - x\) (triệu đồng).
c) \(S'(x) = \frac{700}{(x + 2)^2}\).
d) Lợi nhuận thu được lớn nhất khi ta sử dụng số tiền cho quảng cáo là 34 triệu đồng.

Câu 2. Làm một cửa sổ hình bán nguyệt ghép với hình chữ nhật từ 8m dây thép. Gọi \(x\) là độ dài cạnh đáy khung hình chữ nhật và \(y\) là chiều cao.

a) Giá trị của \(y\) tính theo \(x\) là \(y = \frac{16 - (2 + \pi)x}{4}\).
b) Khi diện tích cửa sổ lớn nhất thì \(x = \frac{16}{4 + \pi}\).
c) Diện tích cửa sổ là \(S = 4x - \frac{4+\pi}{8}x^2\).
d) Chiều dài dây để uốn ra hình bán nguyệt là \(\frac{\pi x}{2}\).

Câu 3. Hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh 50 cm, cao 80 cm, bên trong chứa quả cầu sắt bán kính 20 cm. Xả nước lưu lượng \(V\) cm³/phút, sau 120 phút thì đầy bình.

a) Thời gian để nước chảy ngập hết quả cầu là 48 phút.
b) Sau 24 phút đầu tiên mực nước cao 20 cm.
c) \(V = 1388\) cm³/phút.
d) Thể tích quả cầu sắt là 33150 cm³.

Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\).

a) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I(1; 1)\).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; 1) \cup (1; +∞)\).
c) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \((2; 3)\).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \((0; 2)\) bằng \(-1\).

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Câu 1. Trong hình lập phương cạnh 1, có 8 phần hình cầu tâm tại 8 đỉnh bán kính \(r\) và 1 hình cầu tâm khối lập phương tiếp xúc với 8 phần cầu đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thể tích 9 phần hình cầu đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\) trên đoạn \([2; 4]\) là \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính tích \(a \cdot b\).

Câu 3. Thiết kế dải LED dạng đồ thị hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) bắt đầu từ điểm \(A(0;0)\) đến \(D\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\). Tính giá trị \(a + b + c + d\).

Câu 4. Cá bơi ngược dòng 300 km với vận tốc nước là 6 km/h. Năng lượng tiêu hao trong 1 giờ là \(E(v) = c \cdot v^3\). Xác định vận tốc \(v\) của cá để tổng năng lượng tiêu hao ít nhất.

Câu 5. Vệ tinh di chuyển theo quỹ đạo \(y = \frac{2x^2 - x + 3}{x - 1}\). Tích khoảng cách từ vệ tinh tới hai đường tiệm cận là hằng số \(k\). Tính \(k\).

Câu 6. Cắt bìa hình vuông cạnh 6 dm gấp thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn đến hàng phần mười)?

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN I

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	A	C	B	D	B	C	A	B	A	D	B

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN II

Câu	a	b	c	d
Câu 1	Đúng	Sai	Đúng	Sai
Câu 2	Đúng	Đúng	Sai	Đúng
Câu 3	Đúng	Đúng	Đúng	Sai
Câu 4	Đúng	Sai	Đúng	Đúng

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN III

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp số	0,68	513	2	9	7	7,3

LỜI GIẢI PHẦN I

Câu 1: Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x - 1\). Hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}\) thỏa mãn các điều kiện. Chọn A.

Câu 2: Ta có \(y = x - 2 + \frac{4}{x - 1}\). Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là phần thương \(y = 2x - 3\) (sau khi lấy đạo hàm hoặc chia đa thức). Chọn A.

Câu 3: Dựa vào BBT, trên nửa khoảng \([-5; 7)\), giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại \(x = 1\) với \(y = 2\). Chọn C.

Câu 4: Đường thẳng \(y = -1\) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt, vậy phương trình có 2 nghiệm. Chọn B.

Câu 5: Xét \(y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Ta có \(f(-2) = 0\), \(f(-1) = 4\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = 4\). Giá trị lớn nhất trên \([-2; 2]\) là 4. Chọn D.

Câu 6: Đạo hàm \(y' < 0\) trên các khoảng \((-∞; -2)\) và \((0; 2)\). Chọn B.

Câu 7: Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\). Tổng cộng có 2 đường tiệm cận. Chọn C.

Câu 8: Tiệm cận đứng \(x = -1\), tiệm cận ngang \(y = 2\). Tâm đối xứng \(I(-1; 2)\). Chọn A.

Câu 9: \(y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2) < 0 \Leftrightarrow x \in (-∞; 0) \cup (2; +∞)\). Chọn B.

Câu 10: Từ BBT, giá trị cực tiểu của hàm số là \(y_{CT} = -2\) tại \(x = 2\). Chọn A.

Câu 11: Nhánh phải đi xuống nên \(a < 0\). Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm âm nên \(d < 0\). Hai điểm cực trị thỏa mãn \(x_1 + x_2 > 0 \Rightarrow -\frac{2b}{3a} > 0 \Rightarrow b > 0\). Chọn D.

Câu 12: Tiệm cận đứng \(x = -1\), tiệm cận ngang \(y = 2\), giao \(Oy\) tại \((0; 1)\). Chọn B.

Tải về file word đầy đủ

[Tải file .DOCX gốc ##download##]

Mô Hình Hóa Toán Học: Ứng Dụng Giải Tích Tính Tốc Độ Biến Thiên Mực Nước

2026-10-13T17:31:44.079+07:00

Tóm tắt chuyên đề: Bài viết nghiên cứu bài toán thực tế về tốc độ dâng/hạ của mực chất lỏng trong bồn chứa thông qua công cụ giải tích. Từ mối liên hệ vi phân giữa thể tích và chiều cao mực nước, tài liệu tổng hợp và so sánh 3 phương pháp tiếp cận: biến đổi đại số trực tiếp, quy tắc đạo hàm hàm hợp liên kết và công thức tối ưu qua diện tích mặt cắt ngang.

I. Đặt vấn đề và Mục tiêu mô hình hóa

Trong các bài toán thực tế và đề thi môn Toán, việc xác định tốc độ thay đổi mực nước theo thời gian là một dạng toán mô hình hóa quan trọng.

Chủ đề nghiên cứu: Ứng dụng Giải tích để tính tốc độ biến thiên mực nước.

Định hướng: Hành trình đi tìm giải pháp tối ưu từ Đại số đến Hình học mặt cắt.

II. Cơ sở giải tích và 3 phương pháp tiếp cận cốt lõi

Xét một bể chứa có dạng hình học bất kỳ với mực nước tại thời điểm \(t\) có độ cao là \(h(t)\), diện tích thiết diện mặt thoáng nước là \(S(h)\) và thể tích nước là \(V(t)\).

Khi xét trong một khoảng biến thiên thời gian rất nhỏ \(\Delta t\), độ biến thiên thể tích xấp xỉ:

\[\Delta V = S(h) \times \Delta h\]

Khi cho \(\Delta t \to 0\), ta thu được hệ thức đạo hàm cơ bản giữa tốc độ biến thiên thể tích và tốc độ biến thiên chiều cao mực nước:

\[V'(t) = h'(t) \cdot S(h)\]

III. Chi tiết ba phương pháp giải

1. Cách 1: Đại số hóa

Thiết lập biểu thức thể tích \(V\) theo chiều cao \(h\), từ đó rút hàm số \(h\) theo biến thời gian \(t\) dựa vào phương trình thể tích đã biết: \[h = h(t)\]

Sau đó lấy đạo hàm trực tiếp \(h'(t)\) theo biến \(t\).

2. Cách 2: Đạo hàm hàm hợp (Liên hệ tỉ lệ biến thiên)

Sử dụng quy tắc chuỗi (chain rule) của đạo hàm hàm hợp:

\[V'(t) = V'(h) \cdot h'(t)\]

Từ việc biết tốc độ cấp nước \(V'(t)\) và đạo hàm hình học \(V'(h)\), suy ra tốc độ biến thiên mực nước \(h'(t)\).

3. Cách 3: Diện tích mặt cắt ngang

Nhận xét rằng \(V'(h) = S(h)\) (diện tích thiết diện mặt thoáng). Do đó, có thể áp dụng trực tiếp công thức tính nhanh:

\[h'(t) = \frac{V'(t)}{S(h)}\]

Đây là phương pháp hình học mặt cắt tối ưu nhất, giúp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm thực tế mà không cần thiết lập phương trình toàn phần của thể tích.

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]

Toán Học Việt Nam

Chuyên Đề Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số - Trắc Nghiệm Đúng Sai Và Trả Lời Ngắn

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Trắc Nghiệm ĐÚNG SAI và TRẢ LỜI NGẮN - Ứng Dụng Đạo Hàm Để KSHS - Toán 12

Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán 10 THPT Đức Trọng 2026 - 2027

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ 1 – TOÁN 10

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Đề cương ôn tập kiểm tra Giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 11 đầy đủ nhất

Phần I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Đề thi PISA môn Toán chủ đề Thác Bản Giốc có lời giải chi tiết

BỐI CẢNH ĐỀ BÀI: THÁC BẢN GIỐC

CÂU HỎI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC

HƯỚNG DẪN MÃ HÓA VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 1

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 2

THÁC BẢN GIỐC: HƯỚNG DẪN MÃ HÓA CÂU HỎI 3

Tải về file word đầy đủ

Đề cương ôn tập Giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 9 THCS Giảng Võ 2

I. NỘI DUNG KIẾN THỨC

II. BÀI TẬP ÔN TẬP

Dạng 1. Giải phương trình

Dạng 2. Giải hệ phương trình

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Tài liệu tập huấn vận dụng PISA trong đánh giá kết quả học tập môn Toán

THÔNG TIN XUẤT BẢN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU TẬP HUẤNVẬN DỤNG PISA TRONG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH LĨNH VỰC TOÁN HỌC

MỤC LỤC TÀI LIỆU

PHẦN 1. TỔNG QUAN VỀ PISA (Trang 1)

PHẦN 2. KHUNG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÁN HỌC (Trang 7)

PHẦN 3. ĐỀ THI PISA VÀ CÁC DẠNG CÂU HỎI (Trang 31)

PHẦN 4. VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ CỦA PISA TRONG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (Trang 36)

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Xác suất có điều kiện ôn thi tốt nghiệp THPT, HSA và TSA

V. BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO ĐỊNH DẠNG ĐỀ THI

A. Câu hỏi trắc nghiệm 4 lựa chọn

B. Câu hỏi trả lời ngắn

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Quy Hoạch Động Trong Xác Suất Và Kì Vọng - Ôn Thi Đánh Giá Năng Lực HSA, TSA

Dạng 4. Xác suất hấp thụ – Bài toán người chơi phá sản

Dạng 5. Quy hoạch động cho kì vọng

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Ứng Dụng Quy Hoạch Động Trong Bài Toán Xác Suất Ôn Thi HSA TSA

Dạng 2. Quy hoạch động một chiều theo số bước

Dạng 3. Dãy kết quả có ràng buộc “không liên tiếp”

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Quy hoạch động trong bài toán đếm và xác suất ôn thi ĐGNL HSA - TSA

III. KHỞI ĐỘNG: QUY HOẠCH ĐỘNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

1. Bài toán leo cầu thang

2. Đường đi trên lưới ô vuông

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Chuyên Đề Quy Hoạch Động Trong Bài Toán Xác Suất Ôn Thi HSA Và TSA

Dạng 6. Phân phối của tổng – quy hoạch động “tích chập”

Dạng 7. Tính chẵn – lẻ

Dạng 8. Xích Markov theo thời gian – bảng phân phối

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Đề cương ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 10 THPT Hoàng Văn Thụ

TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ - MÔN TOÁN

1. MỤC TIÊU

1.1. Kiến thức

1.2. Kĩ năng

2. NỘI DUNG

2.1. Các dạng câu hỏi định tính

2.2. Các dạng câu hỏi định lượng

2.3. Ma trận đề kiểm tra giữa học kỳ I

2.4. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: Câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án lựa chọn

Xem và tải tài liệu đầy đủ

Đề cương Ôn tập Giữa kỳ 1 môn Toán lớp 11 THPT Hoàng Văn Thụ 2026-2027

1. MỤC TIÊU ÔN TẬP

1.1. Kiến thức

1.2. Kĩ năng

2. NỘI DUNG VÀ MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

3. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Xem và tải tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU TẬP HUẤN
VẬN DỤNG PISA TRONG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH LĨNH VỰC TOÁN HỌC