Độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt là bao nhiêu?

Độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt là 0,08. Kết quả thu được bằng cách lập phương trình parabol, tính đạo hàm để tìm hệ số góc tiếp tuyến và xét giá trị lớn nhất của trị tuyệt đối đạo hàm trên đoạn xác định.

Để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất thì độ dài đoạn MB phải bằng bao nhiêu?

Độ dài MB cần tìm là 25 cm. Tại giá trị này, cạnh MN của hình chữ nhật bằng 50 cm và cạnh MQ bằng 25 căn 3 cm, diện tích đạt cực đại là 1250 căn 3 cm vuông.

Nghiệm (x, y, z) của hệ phương trình trong đề Olympic 30/4 lần thứ 30 là bao nhiêu?

Nghiệm của hệ phương trình là (10, 5, 10). Phương pháp giải là thực hiện tổ hợp tuyến tính các phương trình để tìm ra mối liên hệ x = z, sau đó thế vào các phương trình còn lại để giải tìm x và y.

Sau rất lâu, lợi nhuận của công ty là gì?

Lợi nhuận tiến tới -3/2 nên là số âm. Do đó công ty bị lỗ.

Kết quả cuối cùng của tham số a, b, c trong bài toán đa thức Olympic 30/4 lần thứ 30 là gì?

Kết quả là a = 2, b = -2, c = -4. Phương pháp giải chính bao gồm việc xác định nghiệm chung giữa hai đa thức bậc hai (t = 1) và sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Có bao nhiêu giá trị nguyên n thỏa mãn dãy 2^k * n - 1 là số nguyên tố theo điều kiện đề bài?

Có 2 giá trị thỏa mãn là n = 2 và n = 3. Với n = 2, ta có 2^2 * 2 - 1 = 7 (số nguyên tố). Với n = 3, ta có 2^2 * 3 - 1 = 11 và 2^3 * 3 - 1 = 23 (đều là số nguyên tố). Với các giá trị n >= 4, ta chứng minh được luôn tồn tại ít nhất một số hạng trong dãy là hợp số bằng định lý Fermat nhỏ hoặc phân tích nhân tử.

Giá trị nhỏ nhất có thể có của hiệu số lớn nhất giữa các số của hai ô có chung cạnh là bao nhiêu?

Giá trị nhỏ nhất là 15. Lời giải dựa trên việc xét cách đi hình con rắn và chứng minh bằng phản chứng: nếu hiệu nhỏ hơn 15, quân xe sẽ không thể di chuyển qua các hàng/cột mà không vi phạm quy tắc đi qua mỗi ô đúng một lần hoặc dẫn đến mâu thuẫn về thứ tự lớn bé tại các góc bàn cờ.

Toán Học Việt Nam

Các dạng toán hệ thức Vi-ét không đối xứng trong đề thi tuyển sinh lớp 10

2026-04-16T20:48:00.004+07:00

Bài toán hệ thức Vi-ét không đối xứng trong đề thi vào lớp 10

Dạng toán hệ thức Vi-ét không đối xứng thường được xem là "chướng ngại vật" phân loại thí sinh trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Thay vì các biểu thức đối xứng quen thuộc, yêu cầu của đề bài đòi hỏi học sinh phải linh hoạt vận dụng kỹ thuật hạ bậc hoặc phương pháp thế dựa trên phương trình gốc. Bài viết dưới đây tổng hợp các câu hỏi từ đề thi các tỉnh thành giúp các em rèn luyện tư duy và làm chủ dạng toán này.

Câu 1. (TS lớp 10-Bình Phước 25-26)

Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = x_1^3 + 3x_2^2 + 2x_1 + 2011$.

Câu 2. (TS lớp 10-Huế 25-26)

Cho phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$.
a) Tính giá trị của $\Delta$, từ đó suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $P = \frac{2}{x_1-1} + \frac{x_2}{x_2-1}$.

Câu 3. (TS lớp 10-Hà Nội 25-26)

Biết phương trình bậc hai $x^2 + 8x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, tìm tất cả giá trị của $m$ thỏa mãn $\frac{70 - mx_2^2}{x_2} = x_1 + mx_2$.

Câu 4. (TS lớp 10-Khánh Hòa 25-26)

Cho phương trình bậc hai $x^2 - 3x - 5 = 0$. Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức $B = x_1^2 + x_2^2$ và $C = x_1^2 + x_2(x_1 + 3) - 4,8$.

Câu 5. (TS lớp 10-Trà Vinh 25-26)

Cho phương trình $2x^2 + 4x - 1 = 0$.
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình trên. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $P = \frac{x_2}{x_1} - \frac{2}{x_2}$.

Câu 6. (TS lớp 10-Hà Nam 25-26)

Cho phương trình $x^2 - 7x + 2 = 0$.
a) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: $T = \sqrt{x_1^2 + 2x_1 + 1} + \sqrt{2x_2^2 - x_2 + 11}$.

Câu 7. (TS lớp 10-Hải Dương 25-26)

Cho phương trình $2x^2 - 10x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ với $x_1 > x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $T = \frac{\sqrt{24x_1 - 9} + 2x_2 + 233}{25 - 2x_1 - 6x_2}$.

Câu 8. (TS lớp 10-Kon Tum 25-26)

Cho phương trình $x^2 - 7x + 5 = 0$, biết phương trình có hai nghiệm là $x_1, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = |x_2 - 3| + \sqrt{x_1 + 4}$.

Câu 9. (TS lớp 10-Lào Cai 25-26)

Cho phương trình $x^2 - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{16x_1^2 + 8x_1x_2 + 5x_2} - 2 + 3x_1$.

Câu 10. (TS lớp 10-Nam Định 25-26)

Biết phương trình $x^2 + 9x + 2 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt{-13x_1 + 2} - x_2$.

Câu 11. (TS lớp 10-Nghệ An 25-26)

Cho phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm dương $x_1, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = \frac{|7x_1 - 3x_2^2|}{x_1^2 + \frac{1}{x_1^2} + x_2 + 2}$.

Câu 12. (TS lớp 10-Phú Thọ 25-26)

Cho phương trình $x^2 - (m-1)x - 3m - 6 = 0$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $|x_1| = 5 + |x_2|$.

Câu 13. (TS lớp 10-Thanh Hóa 25-26)

Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 - x_2^2 = 4m + 4$.

Câu 14. (TS lớp 10-PTNK HCM 25-26)

Tìm $m$ để phương trình $2x^2 - 2x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\sqrt{m + 2x_1 - x_1^2} + \sqrt{m + 2x_2 - x_2^2} = 2$.

Sở Hải Phòng - Đề môn Toán khảo sát kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026

2026-04-16T15:52:00.001+07:00

Đề khảo sát kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026 môn Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng

Thông tin kì thi

Đề khảo sát kỳ thi tốt nghiệp THPT năm học 2025–2026

Môn thi: Toán

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Hải Phòng

Thời gian làm bài: 90 phút (không tính thời gian phát đề)

Mã đề: 0107

Ngày thi: 16/4/2026 (thứ Năm)

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Xác định mặt phẳng song song với đường trung bình trong tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng $MN$?

A. $(ACD)$.
B. $(ABD)$.
C. $(ABC)$.
D. $(BCD)$.

Câu 2. Tìm giá trị cực đại từ bảng biến thiên

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -2 & & 2 & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & -1 & \nearrow & 3 & \searrow -\infty \end{array} \]

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

A. $2$.
B. $-2$.
C. $3$.
D. $-1$.

Câu 3. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn hệ thức vectơ

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;2;3)$, $B(2;-2;-1)$. Tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn hệ thức \[ \overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \vec{0} \] là:

A. $(2;-1;0)$.
B. $(-2;-1;0)$.
C. $(2;1;0)$.
D. $(2;-1;1)$.

Câu 4. Thiết lập công thức tính thể tích khối tròn xoay

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ quanh trục $Ox$. Khi đó $V$ bằng:

A. $\displaystyle \int_0^3 e^{2x}\,dx$.
B. $\displaystyle \int_0^3 e^x\,dx$.
C. $\displaystyle \pi\int_0^3 e^x\,dx$.
D. $\displaystyle \pi\int_0^3 e^{2x}\,dx$.

Câu 5. Đếm số nghiệm nguyên của bất phương trình mũ

Có bao nhiêu nghiệm nguyên trong đoạn $[-8;8]$ của bất phương trình \[ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2-1} \le 3? \]

A. $8$.
B. $9$.
C. $16$.
D. $10$.

Câu 6. Tính thể tích khối chóp tam giác vuông

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Biết $SA = AB = 4a$, $BC = 3a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là:

A. $8a^3$.
B. $4a^3$.
C. $16a^3$.
D. $24a^3$.

Ảnh đề thi

Tải file PDF

[Download ##download##]

Sở Sơn La - Đề môn Toán thi thử tốt nghiệp THPT lần thứ 2 năm 2026

2026-04-16T07:32:00.005+07:00

Đề môn Toán thi thử lần 2 năm 2026 Sở GD-ĐT tỉnh Sơn La

Thông tin kì thi

Kỳ thi thử tốt nghiệp THPT lần thứ hai năm học 2025–2026

Môn thi: Toán

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Sơn La

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0120

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Thống kê doanh thu bán hàng

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15) \\ \hline \text{Số ngày} & 2 & 7 & 7 & 3 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $[7;9)$.
B. $[9;11)$.
C. $[11;13)$.
D. $[13;15)$.

Câu 2. Thể tích khối chóp đều

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên bằng $2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A. $\dfrac{4a^3}{3}$.
B. $\dfrac{a^3}{3}$.
C. $\dfrac{2a^3\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2a^3}{3}$.

Câu 3. Hình chóp và vuông góc với mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $SA = SC$, $SB = SD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $SO \perp (ABCD)$.
B. $SC \perp (ABCD)$.
C. $SB \perp (ABCD)$.
D. $SA \perp (ABCD)$.

Câu 4. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): 2x - y + z + 3 = 0$?

A. $\vec{n}_1 = (2;-1;1)$.
B. $\vec{n}_3 = (2;-1;3)$.
C. $\vec{n}_2 = (2;1;1)$.
D. $\vec{n}_4 = (-1;1;3)$.

Câu 5. Tính tích phân

Cho \[ \int_0^1 f(x)\,dx = 1 \quad \text{và} \quad \int_0^2 f(x)\,dx = -4. \] Tích phân \[ \int_1^2 f(x)\,dx \] bằng:

A. $3$.
B. $5$.
C. $-3$.
D. $-5$.

Câu 6. Cực tiểu của hàm số từ đồ thị

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực tiểu của hàm số đó là:

A. $x = -2$.
B. $x = 2$.
C. $x = 0$.
D. $y = -2$.

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x$ là:

A. $-\sin x + C$.
B. $\sin x + C$.
C. $-\cos x + C$.
D. $\cos x + C$.

Câu 8. Tâm mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu \[ (S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4. \] Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là:

A. $(-2;1;-3)$.
B. $(-4;2;-6)$.
C. $(4;-2;6)$.
D. $(2;-1;3)$.

Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của hàm số \[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 5 \] trên đoạn $[-2;2]$ là:

A. $\max\limits_{[-2;2]} f(x) = 13$.
B. $\max\limits_{[-2;2]} f(x) = 14$.
C. $\max\limits_{[-2;2]} f(x) = -4$.
D. $\max\limits_{[-2;2]} f(x) = 23$.

Ảnh đề thi thử

Tải file để in

[Download ##download##]

Sở Phú Thọ - Đề thi môn Toán KSCL lớp 12 THPT đợt 2 năm 2026

2026-04-14T20:57:00.007+07:00

Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 THPT (đợt 2) năm học 2025–2026 – Môn Toán

Thông tin đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề khảo sát gồm 4 trang)
KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT (ĐỢT 2) NĂM HỌC 2025–2026
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề: 0102

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Tính tích phân của biểu thức tuyến tính

Cho $ \int_2^5 f(x)\,dx = 2 $ và $ \int_2^5 g(x)\,dx = 5 $. Tính
\[ \int_2^5 [f(x) - 2g(x)]\,dx. \]
A. $-8$
B. $1$
C. $-3$
D. $12$

Câu 2. Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Đường kính (cm): $[20;22), [22;24), [24;26), [26;28), [28;30)$
Tần số: $5, 20, 18, 7, 10$
Nhóm chứa mốt là:
A. $[24;26)$
B. $[28;30)$
C. $[22;24)$
D. $[20;22)$

Câu 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản

Tập nghiệm của phương trình $ \sin x = 0 $ là:
A. $ S=\{k\pi, k\in\mathbb{Z}\} $
B. $ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\} $
C. $ S=\{\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\} $
D. $ S=\{2k\pi, k\in\mathbb{Z}\} $

Câu 4. Tính tổng hai nghiệm của phương trình chứa căn

Biết phương trình $ \sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x $ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$.
A. $-2$
B. $-3$
C. $2$
D. $-1$

Câu 5. Tìm số hạng của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -2$, công sai $d=3$. Tính $u_{10}$.
A. $u_{10} = -2\cdot 3^9$
B. $u_{10} = 25$
C. $u_{10} = 28$
D. $u_{10} = -29$

Câu 6. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng qua $A(1;2;3)$, $B(5;4;-1)$ có phương trình chính tắc là:
A. $ \frac{x+5}{-2} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z-1}{2} $
B. $ \frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+3}{-2} $
C. $ \frac{x-5}{2} = \frac{y-4}{1} = \frac{z+1}{-2} $
D. $ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} $

Câu 7. Tính xác suất chọn được hai viên bi đỏ

Một hộp có 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác suất lấy được 2 viên đỏ.
A. $ \frac{5}{33} $
B. $ \frac{7}{22} $
C. $ \frac{5}{22} $
D. $ \frac{2}{33} $

Câu 8. Giải bất phương trình logarit

Tập nghiệm của bất phương trình $ \log_{1}(2x-1) > -2 $ là:
A. $(-\infty;5)$
B. $\left(\frac{1}{2};5\right)$
C. $\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$
D. $(5;+\infty)$

Đầy đủ đề thi Toán

Đề thi thử môn Toán lần 2 năm 2026 của Sở GD-ĐT tỉnh Phú Thọ.

Tải file để in

[Download ##download##]

Các loại hoán vị thường gặp: công thức, nhận biết nhanh và ví dụ dễ hiểu

2026-04-14T19:05:00.008+07:00

Các loại hoán vị thường gặp

1. Hoán vị

Sắp xếp tất cả $n$ phần tử khác nhau vào $n$ vị trí.

Công thức:

\[ P_n = n! \]

Ví dụ:

Có 3 học sinh A, B, C xếp vào 3 ghế.
Số cách xếp là:
\[ P_3 = 3! = 6 \]

2. Hoán vị vòng quanh

Sắp xếp $n$ phần tử thành một vòng tròn (không phân biệt quay vòng).

Công thức:

\[ Q_n = (n-1)! \]

Ví dụ:

Có $5$ người xếp ngồi quanh một bàn tròn.
Số cách sắp xếp là:
\[ Q_5 = (5-1)! = 4! = 24 \]

3. Hoán vị lặp

Sắp xếp $n$ phần tử nhưng có các nhóm giống hệt nhau.
Giả sử có $n_1, n_2, \dots$ phần tử giống nhau từng nhóm.

Công thức:

\[ P_n(n_1,n_2,\dots)=\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots} \]

Ví dụ:

Sắp xếp các chữ cái của từ "AAB".
Có 3 chữ cái, trong đó A lặp 2 lần.
Số cách sắp xếp là:
\[ \dfrac{3!}{2!} = 3 \]

4. Hoán vị lệch (Derangement)

Là hoán vị của $n$ phần tử sao cho không có phần tử nào đứng đúng vị trí ban đầu.

Ký hiệu: $D_n$ hoặc $!n$.

Công thức:

\[ D_n = n!\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!} \]
Dạng khai triển:
\[ D_n = n!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right) \]

Ví dụ:

Có $4$ lá thư và $4$ phong bì đã ghi sẵn tên người nhận, trong đó không có lá thư nào bỏ đúng phong bì của mình.
Số cách bỏ là:
\[ D_4 = 4!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)=9. \]

Xem thêm bài toán về hoán vị lệch ($D_1 \to D_6$): Bấm xem.

Bài toán khoảng cách giữa hai con kiến trong căn phòng hình hộp chữ nhật

2026-04-14T08:03:00.004+07:00

Bài toán thực tế không gian: Tính khoảng cách giữa hai con kiến trong căn phòng hình hộp chữ nhật

Các bài toán thực tế trong hình học không gian thường gắn với chuyển động và tọa độ. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết bài toán tính khoảng cách giữa hai con kiến đang di chuyển trong một căn phòng hình hộp chữ nhật.

Đề bài toán

[Bài toán thực tế về hình học không gian - Đề thi thử Sở Đồng Nai 2026]

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với:

$AB = 3$ m,
$BB' = BC = 4$ m.

Tại điểm $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A'$ bò về tổ với vận tốc $0,02$ m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A'B$, $BC$.

Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06$ m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $DC'$, $C'C$.

Biết rằng hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ $1$ m thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

1. Tính thời gian kiến 2 di chuyển đến vị trí còn cách tổ 1 m

Gọi $M$ là vị trí của kiến 2 khi còn cách tổ $1$ m.

Khi đó quãng đường kiến 2 đã đi là:

$$ DC' + C'M = 8 \text{ (m)}. $$

Vì vận tốc của kiến 2 là $0,06$ m/s nên thời gian kiến 2 đi đến $M$ là:

$$ t=\frac{8}{0,06}=\frac{400}{3}\text{ (s)}. $$

2. Tính vị trí của kiến 1 sau cùng khoảng thời gian đó

Do hai con kiến xuất phát cùng lúc nên trong thời gian trên, kiến 1 đi được quãng đường:

$$ A'N=t\cdot0,02=\frac{400}{3}\cdot0,02=\frac{8}{3}\text{ (m)}. $$

Gọi $N$ là vị trí của kiến 1 tại thời điểm đó.

3. Thiết lập hệ trục tọa độ trong không gian

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với:

gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $B$;
$Ox \equiv BA$;
$Oy \equiv BC$;
$Oz \equiv BB'$.

Khi đó:

$B(0;0;0)$,
$A(3;0;0)$,
$C(0;4;0)$,
$B'(0;0;4)$.

Vị trí của kiến 2 là:

$$ M(0;4;1). $$

Vị trí của kiến 1 là:

$$ N\left(\frac{21}{15};0;\frac{28}{15}\right). $$

4. Tính khoảng cách giữa hai con kiến

Theo công thức khoảng cách trong không gian:

$$ MN=\sqrt{\left(\frac{21}{15}\right)^2+4^2+\left(\frac{28}{15}-1\right)^2}. $$

Tính được:

$$ MN\approx 4,33\text{ m}. $$

5. Kết luận

Khi kiến 2 còn cách tổ $1$ m thì khoảng cách giữa hai con kiến là $\boxed{\mathbf{4,33}}$ m.

Nhận xét

Bài toán kết hợp khéo léo giữa chuyển động đều và hình học tọa độ không gian. Việc chọn hệ trục phù hợp giúp việc xác định vị trí hai con kiến trở nên đơn giản và trực quan hơn.

Bài toán tìm độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có hình dạng parabol

2026-04-13T16:56:00.005+07:00

Bài toán thực tế: Tìm độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có dạng parabol

Các bài toán ứng dụng hàm số vào thực tế luôn giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong đời sống. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết bài toán xác định độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol.

Đề bài

[Bài toán thực tế đề thi thử tốt nghiệp lần 1 năm 2026 - Sở GD-ĐT Đồng Nai]

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A, B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB = 400$ m. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8$ m.

Xét tiếp tuyến tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan(\Delta,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$. Hỏi độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

1. Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

$O$ là trung điểm của đoạn $AB$;
trục $Ox$ trùng với đường thẳng $AB$;
trục $Oy$ đi qua đỉnh của parabol.

Khi đó:

$A(-200;0)$, $B(200;0)$ vì $AB = 400$ m;
đỉnh parabol là $(0;8)$.

Phương trình parabol có dạng:

$$ y = ax^2 + 8 \quad (a<0). $$

2. Xác định phương trình parabol

Vì điểm $B(200;0)$ thuộc parabol nên:

$$ 0 = a\cdot 200^2 + 8. $$

Suy ra:

$$ a = -\frac{8}{200^2}. $$

Vậy phương trình mặt cắt của cây cầu là:

$$ y = -\frac{8}{200^2}x^2 + 8. $$

3. Tính độ dốc tại một điểm bất kỳ

Đạo hàm của hàm số là:

$$ y' = -\frac{16}{200^2}x. $$

Gọi $M(x_0;y_0)$ là một điểm bất kỳ trên mặt cầu. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là:

$$ k = y'(x_0) = -\frac{16}{200^2}x_0. $$

Độ dốc tại điểm $M$ được xác định bởi:

$$ \tan(\Delta,d)=|k|=\left|y'(x_0)\right|=\frac{16}{200^2}|x_0|. $$

4. Tìm độ dốc lớn nhất

Vì điểm $M$ nằm trên mặt cầu nên hoành độ thỏa mãn:

$$ |x_0| \le 200. $$

Suy ra:

$$ \tan(\Delta,d)\le \frac{16}{200^2}\cdot 200=\frac{16}{200}=\frac{8}{100}=0,08. $$

5. Kết luận

Độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt là $\boxed{\mathbf{0,08}}$.

Nhận xét

Bài toán cho thấy đạo hàm không chỉ dùng để khảo sát hàm số mà còn có ý nghĩa thực tiễn rất rõ ràng: hệ số góc tiếp tuyến biểu diễn độ dốc tức thời của mặt đường tại từng vị trí.

Đề môn Toán thi thử 2026 Sở GD Đồng Nai có lời giải chi tiết từng câu

2026-04-13T07:06:00.009+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần 1 môn Toán (Sở GD Đồng Nai)

Thông tin đề thi thử

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 06 trang)

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Mã đề: 0101

Trích dẫn một số câu

PHẦN I. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a,$ $SA \bot (ABCD), SA = a\sqrt3$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A. $a^3\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{a^3}{3}$.
C. $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
D. $a^3$.

Câu 2

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-3$, $x=2$. Đặt

\[a=\int_{-3}^{1}f(x)\,dx,\quad b=\int_{1}^{2}f(x)\,dx.\]

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $S=-a-b$.
B. $S=a+b$.
C. $S=b-a$.
D. $S=a-b$.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P): x+5y-2z-2=0$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $2x+10y-4z+1=0$.
B. $x-5y+2z+2=0$.
C. $x+5y-2z-2=0$.
D. $-x-5y-2z+2=0$.

Câu 4

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn:

\[u_4=10,\quad u_4+u_6=26.\]

Công sai của $(u_n)$ là

A. $d=-3$.
B. $d=3$.
C. $d=6$.
D. $d=5$.

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 4. Đúng/Sai

Một bình đựng 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất lấy được 4 viên bi có đủ 3 màu là $\dfrac{9}{20}$.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $A_{16}^4$.

c) Xác suất lấy được 4 viên bi có đúng 2 màu là $\dfrac{11}{20}$.

d) Xác suất lấy được 4 viên bi cùng màu trắng là $\dfrac{1}{52}$.

Lời giải câu 4 đúng sai

a) Mệnh đề “Số phần tử của không gian mẫu là $A_{16}^4$” là sai.

Vì lấy ngẫu nhiên 4 viên bi nên số phần tử của không gian mẫu là:

\[ n(\Omega)=C_{16}^{4}. \]

b) Mệnh đề “Xác suất lấy được 4 viên bi cùng màu trắng là $\dfrac{1}{52}$” là đúng.

Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được đúng 4 viên bi màu trắng”.

Số kết quả thuận lợi là:

\[ n(A)=C_{7}^{4}. \]

Vậy:

\[ P(A)=\dfrac{C_{7}^{4}}{C_{16}^{4}}=\dfrac{1}{52}. \]

c) Mệnh đề “Xác suất lấy được đủ 3 màu là $\dfrac{9}{20}$” là đúng.

Gọi $B$ là biến cố: “Lấy được đủ 3 màu”.

Các trường hợp:

– 1 trắng, 1 đen, 2 đỏ: $C_{7}^{1}C_{6}^{1}C_{3}^{2}$.

– 1 trắng, 2 đen, 1 đỏ: $C_{7}^{1}C_{6}^{2}C_{3}^{1}$.

– 2 trắng, 1 đen, 1 đỏ: $C_{7}^{2}C_{6}^{1}C_{3}^{1}$.

Do đó:

\[ n(B)=C_{7}^{1}C_{6}^{1}C_{3}^{2}+C_{7}^{1}C_{6}^{2}C_{3}^{1}+C_{7}^{2}C_{6}^{1}C_{3}^{1}=819. \]

Vậy:

\[ P(B)=\dfrac{819}{C_{16}^{4}}=\dfrac{9}{20}. \]

d) Mệnh đề “Xác suất lấy được đúng 2 màu là $\dfrac{11}{20}$” là sai.

Gọi $C$ là biến cố: “Lấy được đúng 2 màu”.

Số cách lấy đúng 1 màu:

\[ C_{7}^{4}+C_{6}^{4}. \]

Số cách lấy đủ 3 màu:

\[ C_{7}^{1}C_{6}^{1}C_{3}^{2}+C_{7}^{1}C_{6}^{2}C_{3}^{1}+C_{7}^{2}C_{6}^{1}C_{3}^{1}. \]

Do đó:

\[ n(C)=C_{16}^{4}-\left(C_{7}^{4}+C_{6}^{4}+C_{7}^{1}C_{6}^{1}C_{3}^{2}+C_{7}^{1}C_{6}^{2}C_{3}^{1}+C_{7}^{2}C_{6}^{1}C_{3}^{1}\right)=951. \]

Vậy:

\[ P(C)=\dfrac{951}{C_{16}^{4}}=\dfrac{951}{1820}. \]

Chọn đáp án: a sai, b đúng, c sai, d đúng.

Đầy đủ đề thi - đáp án - lời giải chi tiết

Đề thi toán Sở Đồng Nai

Lời giải chi tiết

Đáp án Phần I

Lời giải chi tiết phần II

Lời giải chi tiết Phần III

Tải file PDF

[Download ##download##]

Đề Toán chuyên - Kỳ thi thử lần 2 vào lớp 10 Chuyên Sư phạm năm 2026

2026-04-12T18:01:00.006+07:00

Đề Toán chuyên - Kỳ thi thử vào lớp 10 THPT Chuyên năm 2026 lần 2

Thông tin đề thi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đề thi gồm có: 01 trang

BÀI THI MÔN: TOÁN CHUYÊN
Dành cho các thí sinh thi thử vào chuyên Toán, chuyên Tin

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Nội dung đề thi

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn:

\[ ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{(a^2+b)(b^2+a)}=0. \]

Tính giá trị biểu thức:

\[ S=a\sqrt{b^2+a}+b\sqrt{a^2+b}. \]

b) Mỗi cạnh của một hình vuông được tô màu một cách ngẫu nhiên bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì của hình vuông luôn khác màu.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho các số thực $a,b,c \ge 1$. Chứng minh:

\[ \frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b} \le \frac{a+b+c}{4}. \]

b) Cho đa thức \[f(x)=a^{2026}x^2+bx+a^{2026}c-1,\] với $a,b,c$ là các số nguyên. Giả sử phương trình $f(x)=-2$ có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng:

\[ \frac{(f(1))^2+(f(-1))^2}{2} \] là hợp số.

Câu 3 (1,5 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau $(a,b,c)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì biểu thức

\[ (a^n+b^n+c^n)^2 \] chia hết cho $ab+bc+ca$.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ và có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Các đường thẳng $AM, BC$ cắt nhau tại $K$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh $KI \perp AI.$

b) Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $KE$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh:

\[ \frac{MC}{MB}\cdot\frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}. \]

Câu 5 (1,0 điểm)

Một khu vực được chia thành lưới $8\times 8$ gồm 64 ô vuông. Một số ô được đặt camera giám sát. Một ô không có camera gọi là được giám sát đầy đủ nếu tổng số camera nằm trên hàng và cột chứa ô đó không nhỏ hơn 8.

Biết rằng mọi ô không có camera đều được giám sát đầy đủ. Hỏi: Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô không có camera?

Đề gốc (ảnh)

Đề Toán chung kì thi thử (ĐGNL) vào 10 THPT Chuyên Sư phạm năm 2026 – Lần 2

2026-04-12T11:59:00.010+07:00

Kì thi thử (ĐGNL) vào 10 THPT Chuyên Sư phạm lần 2 năm 2026

Thông tin đề thi

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đề thi gồm có: 02 trang
Mã đề: 124

Môn: Toán chung
Dành cho tất cả các thí sinh thi thử

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Trích dẫn đề thi

Câu 1

Khi đo chiều cao (đơn vị: cm) của 40 học sinh lớp 7A tại một trường THCS người ta thu được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Chiều cao (cm): $[150;155), [155;160), [160;165), [165;170)$

Số học sinh: $5,\ 12,\ 15,\ 8$

Số học sinh có chiều cao dưới $160$ cm là:

A. 15
B. 17
C. 23
D. 32

Câu 2

Mẫu số liệu ghép nhóm về lượng rau (đơn vị: tấn):

Lượng rau:

$[5;10), [10;15), [15;20), [20;25), [25;30), [30;35)$

Tần số: $2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 6,\ 7$

Tần số tương đối bằng $25\%$ là nhóm:

A. $[10;15)$
B. $[30;35)$
C. $[20;25)$
D. $[15;20)$

Câu 3

Cho đường tròn $(O)$ và góc nội tiếp $\widehat{BAC}=130^\circ$ (B, C thuộc đường tròn). Số đo của $\widehat{BOC}$ là:

A. $260^\circ$
B. $130^\circ$
C. $100^\circ$
D. $50^\circ$

Câu 4

Tích hai nghiệm của $x^2-4x-2=0$ là:

A. 4
B. -4
C. -2
D. 2

Câu 5

Điểm thuộc đồ thị $y=-2x^2$ là:

A. $M(-2;1)$
B. $P(-1;2)$
C. $Q(2;-1)$
D. $N(1;-2)$

Câu 6

Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$:

\[ x^2-(3m+1)x+m-5=0 \]

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{5}{4}$
C. $-\frac{3}{2}$
D. $-\frac{5}{2}$

Câu 7

Xác suất chọn số chia hết cho 3 từ 1 đến 100:

A. $\frac{33}{100}$
B. $\frac{32}{100}$
C. $\frac{31}{100}$
D. $\frac{34}{100}$

Câu 8

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ kẻ tiếp tuyến $MA$ tới đường tròn (A là tiếp điểm). Đoạn thẳng $MO$ cắt đường tròn tại điểm $B$. Biết $MA=3$ cm và $MB=1$ cm. Bán kính $R$ của đường tròn bằng:

A. $\frac{7}{2}$ cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. $\frac{9}{2}$ cm

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3$ cm, $BC=6$ cm. Tính $\tan B$.

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Xem đề thi đầy đủ

Đáp án - Lời giải chi tiết

Cắt hình chữ nhật có diện tích lớn nhất từ một tam giác đều

2026-04-12T07:02:00.010+07:00

Bài toán tối ưu: Cắt hình chữ nhật diện tích lớn nhất từ tấm nhôm hình tam giác đều

Các bài toán cực trị hình học thường xuất hiện trong chương trình Toán phổ thông và các đề thi ứng dụng thực tế. MathVN xin giới thiệu lời giải cho bài tập tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp trong một tam giác đều cho trước.

Đề bài

[Đề kiểm tra cuối học kỳ 2 Toán 9]

Cho một tấm nhôm có hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $100$ cm. Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác để được hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M, N$ thuộc $BC$; $P$ thuộc $AC$ và $Q$ thuộc $AB$). Tìm độ dài $MB$ để hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập các đại lượng

Đặt $MB = x$ (đơn vị: cm, điều kiện: $0 < x < 50$).

Do tính đối xứng của tam giác đều và hình chữ nhật nội tiếp, ta có $NC = MB = x$.

Khi đó, độ dài cạnh $MN$ của hình chữ nhật là:

$$ MN = BC - MB - NC = 100 - 2x $$

Xét tam giác vuông $BMQ$ tại $M$, có góc $\widehat{B} = 60^\circ$ (do tam giác $ABC$ đều). Ta có:

$$ MQ = MB \cdot \tan 60^\circ = x\sqrt{3} $$

2. Tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ được tính bởi công thức:

$$ S = MN \cdot MQ = (100 - 2x) \cdot x\sqrt{3}= 2\sqrt{3} \cdot (50 - x) \cdot x.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất của $S$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Cô-si) cho hai số dương $(50 - x)$ và $x$:

$$ S \le 2\sqrt{3} \left[ \frac{(50 - x) + x}{2} \right]^2 = 2\sqrt{3} \cdot 25^2 = 1250\sqrt{3} $$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $50 - x = x \Leftrightarrow 2x = 50 \Leftrightarrow x = 25$ (cm).

4. Kết luận

Khi $MB = 25$ cm thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.

Nhận xét

Ta cũng có thể đánh giá $S$ bằng phương pháp tách bình phương như sau:

$$ S = 2\sqrt{3}(50x - x^2) = 2\sqrt{3}\Big[625 - (x^2 - 50x + 625)\Big] = 2\sqrt{3}\Big[625 - (x - 25)^2\Big] $$

Vì $(x - 25)^2 \ge 0$ nên $$S \le 2\sqrt{3} \cdot 625 = 1250\sqrt{3}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $$x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 25.$$

Cách tính khoảng cách địa lý giữa hai điểm A(0°N, 0°E) và B(45°N, 30°E) trên Trái đất

2026-04-11T15:29:00.006+07:00

Tính khoảng cách giữa hai điểm A(0°N, 0°E) và B(45°N, 30°E) trên Trái đất

Bạn có bao giờ thắc mắc làm thế nào các ứng dụng bản đồ tính được khoảng cách giữa hai thành phố chỉ dựa vào tọa độ địa lý? Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải mã bài toán này bằng công cụ Hình học không gian $Oxyz$ thông qua ví dụ cụ thể giữa điểm $A$ và $B$ có vĩ độ và kinh độ cho trước.

Đề bài

[Luyện tập 5 - trang 58 - SGK Toán 12 tập 2 KNTT]

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B: 45^\circ N, 30^\circ E$. Biết bán kính Trái Đất xấp xỉ $6\,371 \text{ km}$.

Quy ước hệ tọa độ $Oxyz$ và mô hình Trái Đất:

Mô hình: Trái Đất được xem như một mặt cầu tâm $O$, bán kính $R = 1$ đơn vị trong không gian $Oxyz$ (tương ứng với $6\,371 \text{ km}$ thực tế).
Hệ tọa độ:
- Gốc tọa độ $O$ tại tâm Trái Đất.
- Trục $Oz$ đi qua cực Bắc.
- Trục $Ox$ đi qua giao điểm của xích đạo và kinh tuyến gốc ($0^\circ N, 0^\circ E$).
Công thức tọa độ: Một điểm $P$ có vĩ độ $\alpha^\circ N$ và kinh độ $\beta^\circ E$ sẽ có tọa độ là: \[ P(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ) \]

Lời giải chi tiết

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ trục $Oxyz$

Theo công thức tọa độ $P(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ)$:

Vị trí $A$ ($0^\circ N, 0^\circ E$): \[ A(\cos 0^\circ \cos 0^\circ; \cos 0^\circ \sin 0^\circ; \sin 0^\circ)\] \[\Rightarrow A(1; 0; 0) \]
Vị trí $B$ ($45^\circ N, 30^\circ E$): \[ B(\cos 45^\circ \cos 30^\circ; \cos 45^\circ \sin 30^\circ; \sin 45^\circ)\] \[\Rightarrow B\left(\frac{\sqrt{6}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Bước 2: Tính góc ở tâm $\widehat{AOB}$

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ đơn vị $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$:

\[ \cos \widehat{AOB} = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \]

Suy ra góc ở tâm: $\widehat{AOB} = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right) \approx 52,2388^\circ$.

Bước 3: Tính độ dài cung

Độ dài cung nhỏ $\overset{\smallfrown}{AB}$ trên mặt cầu đơn vị ($R=1$) là:

\[ \ell = \frac{52,2388}{360} \cdot 2\pi \approx 0,9117 \]

Bước 4: Khoảng cách thực tế

Khoảng cách trên thực tế giữa hai vị trí $A$ và $B$ là: \[ d = 0,9117 \cdot 6\,371 \approx \mathbf{5\,808,8 \text{ (km)}} \]

Kết luận

Vậy khoảng cách từ giao điểm kinh tuyến gốc và xích đạo đến điểm $B(45^\circ N, 30^\circ E)$ là xấp xỉ $\boxed{5 \,808,8}$ km.

Thử thách trải nghiệm

Sử dụng công cụ đo khoảng cách (Measure distance) trên Google Maps, thực hiện đo từ tọa độ $(0, 0)$ đến $(45, 30)$. Bạn sẽ thấy kết quả thực tế cực kỳ sát với con số toán học chúng ta vừa tính toán!

Xem lại bài viết trước: Khoảng cách giữa hai điểm trên Trái đất.

Tính khoảng cách giữa hai điểm trên Trái Đất bằng cách đưa vào hệ toạ độ Oxyz

2026-04-11T08:15:00.014+07:00

Tính khoảng cách giữa hai điểm trên Trái Đất (mặt cầu)

Đề bài toán

[Ví dụ 5 - SGK Toán 12 tập 2 - trang 58]

Biết rằng nếu vị trí $M$ có vĩ độ và kinh độ tương ứng là $\alpha^\circ N, \beta^\circ E$ ($0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 90$) thì có tọa độ $M(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ)$ trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $1$ đơn vị trên trục bằng $6\,371\text{ km}$ trong thực tế ($O$ là tâm Trái Đất).

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $P: 10^\circ N, 15^\circ E$ đến vị trí $Q: 80^\circ N, 70^\circ E$.

Lời giải

Ta có tọa độ các điểm trong hệ trục $Oxyz$ (với bán kính Trái Đất giả định là 1 đơn vị):

\[ P(\cos 10^\circ \cos 15^\circ; \cos 10^\circ \sin 15^\circ; \sin 10^\circ) \]

\[ Q(\cos 80^\circ \cos 70^\circ; \cos 80^\circ \sin 70^\circ; \sin 80^\circ) \]

Suy ra các vectơ tọa độ:

\[ \vec{OP} = (\cos 10^\circ \cos 15^\circ; \cos 10^\circ \sin 15^\circ; \sin 10^\circ) \]

\[ \vec{OQ} = (\cos 80^\circ \cos 70^\circ; \cos 80^\circ \sin 70^\circ; \sin 80^\circ) \]

Tích vô hướng của hai vectơ:

\[ \vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \cos 10^\circ \cos 15^\circ \cos 80^\circ \cos 70^\circ + \cos 10^\circ \sin 15^\circ \cos 80^\circ \sin 70^\circ + \sin 10^\circ \sin 80^\circ \]

\[ \vec{OP} \cdot \vec{OQ} \approx 0,2691 \]

Vì $P, Q$ thuộc mặt đất nên $|\vec{OP}| = |\vec{OQ}| = 1$.

Do đó: \[ \cos \widehat{POQ} = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OQ}|} \approx 0,2691 \]

Suy ra góc ở tâm: $\widehat{POQ} \approx 74,3893^\circ$.

Mặt khác, đường tròn tâm $O$, đi qua $P, Q$ có bán kính 1 và chu vi là $2\pi \approx 6,2832$. Độ dài cung nhỏ $\overset{\smallfrown}{PQ}$ xấp xỉ bằng:

\[ \frac{74,3893}{360} \cdot 6,2832 \approx 1,2983 \]

Quy đổi thực tế: Do 1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6\,371 \text{ km}$ trên thực tế.

Khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí $P$ và $Q$ là:

\[ 1,2983 \cdot 6\,371 \approx 8\,271,4693 \text{ (km)} \]

Kết luận

Khoảng cách giữa $P$ và $Q$ xấp xỉ $\boxed{8\, 271,47}$ km.

Đề bài tự luyện

Luyện tập 5 - SGK

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B: 45^\circ N, 30^\circ E$.

Nhấn nút để xem đáp số

Đề thi thử TOÁN tốt nghiệp THPT năm 2026 của Sở GD-ĐT tỉnh Quảng Ninh (word)

2026-04-10T18:44:00.009+07:00

Đề thi thử môn Toán tốt nghiệp THPT năm 2026 Sở Quảng Ninh

Thông tin đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Thi ngày 10/4/2026

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi này có 04 trang)

Họ, tên thí sinh: ..................................................
Số báo danh: ..................................................
Mã đề: 0102 và 0116

Trích dẫn đề thi

Phần I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Cho cấp số nhân $ (u_n) $ với $ u_1 = 2 $ và $ u_5 = 162 $. Giá trị của công bội $ q $ bằng

A. $ q = 3 $.
B. $ q = \pm \dfrac{1}{3} $.
C. $ q = \pm 3 $.
D. $ q = \dfrac{1}{3} $.

Câu 2

Nghiệm của phương trình $ \log_3(x+1) = 2 $ là

A. $ x = 8 $.
B. $ x = 6 $.
C. $ x = 10 $.
D. $ x = 5 $.

Câu 3

Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có độ dài cạnh đáy là $ \sqrt{2} $ và tam giác $ SAC $ đều. Độ dài cạnh bên của hình chóp đã cho bằng

A. 1.
B. 2.
C. $ \sqrt{2} $.
D. $ \sqrt{3} $.

Câu 4

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Doanh thu: [5;7), [7;9), [9;11), [11;13), [13;15)
Số ngày: 2, 7, 7, 3, 1

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 12.
B. 10.
C. 11.
D. 13.

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, mặt phẳng đi qua $ M(1;2;-4) $ và vuông góc với trục $ Oz $ có phương trình là

A. $ x + 2y - 4z - 21 = 0 $.
B. $ z = 4 $.
C. $ z = -4 $.
D. $ x + 2y + 4z - 21 = 0 $.

Câu 6

Tập giá trị của hàm số $ y = 3\cos 2x $ là

A. $ \mathbb{R} $.
B. $ [-6;6] $.
C. $ [-3;3] $.
D. $ [-2;2] $.

Câu 7

Cho hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và có bảng xét dấu của $ f'(x) $ như sau. Số điểm cực đại của hàm số là

A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.

Câu 8

Cho tứ diện $ ABCD $. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ AD $ và $ BC $. Tổng $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} $ bằng

A. $ 2\overrightarrow{NM} $.
B. $ 2\overrightarrow{AD} $.
C. $ 2\overrightarrow{MN} $.
D. $ \overrightarrow{0} $.

Câu 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, cho các điểm $ A(1;1;2), B(3;2;-3) $. Phương trình mặt cầu $ (S) $ có tâm $ A $ và đi qua điểm $ B $ là

A. $ (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 30 $.
B. $ (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+2)^2 = \sqrt{30} $.
C. $ (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = \sqrt{30} $.
D. $ (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+2)^2 = 30 $.

Đầy đủ đề thi và đáp án (gồm file ảnh và file word)

Mã đề thi 0102

Đề thi

Đáp án

Mã 0116

Đề 0116

Đáp án

File word để in

[Download ##download##]

Bài toán quả bóng nảy: tính độ cao sau 5 lần chạm đất và tổng quãng đường chuyển động đến khi dừng hẳn

2026-04-10T15:54:00.007+07:00

Bài toán quả bóng nảy – Ứng dụng cấp số nhân lùi vô hạn

Đề bài toán

[Đề ĐGNL ĐHQG-HCM 2026 đợt 1]

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao $10m$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng một đoạn bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao trước đó.

Câu a

Sau $5$ lần chạm đất độ cao cực đại của quả bóng là:

A. $3,16$.

B. $1,78$.

C. $2,37$.

D. $3,25$.

Câu b

Tổng quãng đường quả bóng đi được đến khi dừng hẳn:

A. $40$.

B. $70$.

C. $50$.

D. $80$.

Lời giải

Lời giải a

Độ cao (m) sau mỗi lần nảy tạo thành một cấp số nhân với:

Số hạng đầu $h_1 = 10$.

Công bội $q = \dfrac{3}{4}$.

Sau $5$ lần chạm đất, độ cao cực đại là:

$$h_6 = 10\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \approx 2,37.$$

Chọn C.

Lời giải b

Quãng đường (m) gồm:

Lần rơi đầu tiên: $u_0=10$.

Các lần nảy lên và rơi xuống tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với:

$$u_1 = 10\cdot\dfrac{3}{4} = 7,5,\ q = \dfrac{3}{4}.$$

Tổng quãng đường:

$$S = 10 + 2\cdot\left(\dfrac{7,5}{1 - \frac{3}{4}}\right)$$

$$= 10 + 2\cdot 30 = 70.$$

Chọn B.

Công thức hoán vị mũ – logarit: chứng minh và ví dụ áp dụng

2026-04-10T06:36:00.015+07:00

Công thức hoán vị mũ – logarit là một trong những dạng biến đổi quan trọng giúp rút gọn nhanh biểu thức chứa lũy thừa và logarit. Bài viết này sẽ trình bày công thức, chứng minh công thức và các ví dụ minh họa có lời giải.

Công thức hoán vị mũ – logarit và ứng dụng

1. Công thức

Công thức hoán vị mũ – logarit (tính đối xứng):

\[\boxed{\Large a^{\log_b c} = c^{\log_b a}} \]

với $ a > 0,\; a \ne 1;\; b > 0,\; b \ne 1;\; c > 0 $.

2. Chứng minh công thức

Đặt:

\[ t = \log_b c \]

Khi đó:

\[ c = b^t \]

Thay vào vế phải:

\[ c^{\log_b a} = (b^t)^{\log_b a} = b^{t \cdot \log_b a} = (b^{\log_b a})^t = a^t = a^{\log_b c} \]

Kết luận:

\[\large a^{\log_b c}=c^{\log_b a}. \]

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Không sử dụng máy tính, hãy tính: $ 9^{\log_3 2}. $

Giải: \[ 9^{\log_3 2}=2^{\log_3 9} = 2^2 = 4. \]

Ví dụ 2

Không sử dụng máy tính, hãy tính: $8^{\log_2 5}.$

Giải: \[ 8^{\log_2 5}=5^{\log_2 8} = 5^3 = 125. \]

Ví dụ 3

Không dùng máy tính, tính: $ A = 4^{\log_2 3} \cdot 9^{\log_3 2}. $

Giải:

Ta có

\[ A = 3^{\log_2 4} \cdot 2^{\log_3 9}= 3^2 \cdot 2^2 = 36. \]

Ví dụ 4

Không dùng máy tính, so sánh: $ 4^{\log_5 7} $ và $ 7^{\log_5 3}. $

Giải:

Áp dụng công thức:

\[ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} \] Ta có \[ \log_5 4>\log_5 3\] nên \[7^{\log_5 4}>7^{\log_5 3}\] Dó đó: \[ 4^{\log_5 7} > 7^{\log_5 3}. \]

Ví dụ 5 (tìm m)

Tìm tất cả số thực $ m $ để:

\[ (m+2)^{\log_5 (m-1)} = (2026 - m)^{\log_5 (m+2)}. \]

Giải:

Điều kiện:

\[ 1 < m < 2026. \]

Áp dụng công thức hoán vị mũ lôgarit:

\[ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \]

Vế phải:

\[ (2026 - m)^{\log_5 (m+2)} = (m+2)^{\log_5 (2026 - m)} \]

Khi đó phương trình trở thành:

\[ (m+2)^{\log_5 (m-1)} = (m+2)^{\log_5 (2026 - m)} \]

Từ điều kiện ta có $ m+2 > 0,\; m+2 \ne 1 $, nên ta suy ra:

\[ \log_5 (m-1) = \log_5 (2026 - m) \] \[ \Leftrightarrow m-1 = 2026 - m \] \[ \Leftrightarrow m = \dfrac{2027}{2} \]

Giá trị này thỏa điều kiện.

Kết luận:

\[ \boxed{m = \dfrac{2027}{2}} \]

Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số chứa tham số m - Đề V-ACT1 2026

2026-04-09T17:02:00.017+07:00

Cách tìm điểm cố định của đồ thị hàm số chứa tham số m

Đề bài

[Đề thi ĐGNL ĐHQG-HCM V-ACT 1 năm 2026]

Cho hàm số

\[ y=\frac{-mx+1}{x-m}. \]

Khi $m$ thay đổi trên $(3;+\infty)$, đồ thị hàm số luôn đi qua bao nhiêu điểm cố định?

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

Lời giải

Xét phương trình:

\[ y=\frac{-mx+1}{x-m}. \]

Nhân chéo (điều kiện $x \ne m$):

\[ y(x-m)=-mx+1. \]

\[\Leftrightarrow yx-ym=-mx+1. \]

Chuyển vế:

\[ (y-x)m=yx-1. \]

Để điểm $(x;y)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số thì đẳng thức trên phải đúng với mọi giá trị của $m$, do đó:

\[ \begin{cases} y-x=0 \\ yx-1=0 \end{cases} \]

Phương trình đầu tiên cho ta:

\[ y=x. \]

Thay vào phương trình sau:

\[ x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1. \]

Lưu ý: $m \in (3;+\infty)$ nên hai giá trị của $x$ vừa giải ra đều thoả mãn điều kiện $x\ne m$.

Vậy có hai điểm cố định (luôn thuộc đồ thị hàm số, với mọi giá trị của $m \in (3;+\infty)$):

\[ P(1;1),\ Q(-1;-1). \]

Kết luận

Chọn phương án B.

Bài tập tương tự

Đề bài tự luyện

Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị hàm số \[ y = x^2 + (2 - m)x + 3m \] luôn đi qua ($m$ là tham số thực).

Nhấn nút để xem đáp số

Giải chi tiết Câu 1 (Hệ phương trình) - Đề thi Olympic 30/4 XXX môn Toán khối 10

2026-04-08T16:06:00.006+07:00

Giải chi tiết câu Hệ phương trình - Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX (2026)

Trong đề thi môn Toán khối 10 - kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 năm 2026, câu hệ phương trình được đánh giá là một câu hỏi kiểm tra kỹ năng quan sát và biến đổi đại số khéo léo. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho Câu 1 dưới đây.

Đề bài (hệ phương trình)

Tìm tất cả các số thực $x > 0, y > 0, z > 0$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$ \begin{cases} x(x-3) + 2y(y-3) - 9z = 0 \quad (1) \\ x(2x-9) - 12y + z(z-15) = 0 \quad (2) \\ -6x + y(y-9) + 2z(z-6) = 0 \quad (3) \end{cases} $$

Lời giải chi tiết

1. Tìm mối liên hệ giữa các biến

Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) rồi trừ đi 2 lần phương trình (3), ta thu được:

$$ [x^2 - 3x + 2y^2 - 6y - 9z] + [2x^2 - 9x - 12y + z^2 - 15z] - 2[-6x + y^2 - 9y + 2z^2 - 12z] = 0 $$

Rút gọn ta được:

$$ 3x^2 - 3z^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = z^2 $$

Do điều kiện $x > 0, z > 0$, ta dẫn đến $\boxed{z = x}$.

2. Giải hệ phương trình theo biến $x$ và $y$

Thế $z = x$ vào phương trình (1), ta được:

$$x^2 - 3x + 2y^2 - 6y - 9x = 0 \Leftrightarrow x^2 - 12x + 2y^2 - 6y = 0.$$

Thế $z = x$ vào phương trình (2), ta được:

$$2x^2 - 9x - 12y + x^2 - 15x = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 24x - 12y = 0.$$

Từ phương trình thứ hai, ta rút ra: $$y = \frac{3x^2 - 24x}{12} = \frac{x^2 - 8x}{4}.$$

Thế ngược $y$ vào phương trình đầu tiên:

$$ x^2 - 12x + 2 \cdot \left( \frac{x^2 - 8x}{4} \right)^2 - 6 \cdot \frac{x^2 - 8x}{4} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 8x^2 - 96x + x^4 - 16x^3 + 64x^2 - 12x^2 + 96x = 0 $$ $$ \Leftrightarrow x^4 - 16x^3 + 60x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x-6)(x-10) = 0 $$

Vì $x > 0$ nên ta có hai trường hợp: $x=\mathbf{6}$ hoặc $x=\mathbf{10}$.

3. Kiểm tra điều kiện và thử lại

Với $x = 6$: Ta có $$y = \frac{6^2 - 8 \cdot 6}{4} = -3$$ không thoả điều kiện $y > 0$.
Với $x = 10$: Ta có $$y = \frac{10^2 - 8 \cdot 10}{4} = 5$$ thỏa mãn điều kiện $y > 0$. Khi đó $$z = x = 10.$$

Thử lại, ta thấy bộ số $$(x; y; z) = (10; 5; 10)$$ thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ.

Kết luận

Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là $(10; 5; 10)$.

Tính giới hạn hàm căn thức để xác định lợi nhuận công ty - Đề V-ACT 2026 đợt 1

2026-04-08T07:30:00.012+07:00

Xét dấu hàm lợi nhuận trong thời gian dài

Đề bài toán

[Đề đánh giá năng lực ĐHQG-HCM đợt 1 năm 2026 - VACT 05/4/2026]

Một công ty có lợi nhuận tuân theo hàm số

\[f(x) = \sqrt{x^2 - x + 5} - \sqrt{x^2 + 2x + 2}.\]

Trong đó, $f(x)$ là lợi nhuận (đơn vị: tỷ đồng), $x$ là thời gian (đơn vị: năm). Sau rất lâu, nhận xét đúng về lợi nhuận của công ty là:

A. Công ty lỗ.
B. Không xác định.
C. Công ty lời.
D. Công ty hòa vốn.

Lời giải chi tiết

1. Cách 1: Dùng giới hạn (phương pháp chuẩn)

Xét giới hạn khi $x \to +\infty$:

$$ L=\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - x + 5} - \sqrt{x^2 + 2x + 2}\right) $$

Nhân liên hợp:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - x + 5) - (x^2 + 2x + 2)}{\sqrt{x^2 - x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 2}} $$

Rút gọn tử số:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x + 3}{\sqrt{x^2 - x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 2}} $$

Chia cả tử và mẫu cho $x$:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}}} $$

Lấy giới hạn:

$$L = -\frac{3}{2} $$

Vì giới hạn âm nên lợi nhuận về lâu dài là âm, do đó công ty bị lỗ.

2. Cách 2: So sánh trực tiếp (nhanh)

Xét hiệu hai biểu thức dưới căn:

$$ (x^2 + 2x + 2) - (x^2 - x + 5) = 3x - 3 $$

Với $x > 1$ thì $3x - 3 > 0$ nên:

$$ \sqrt{x^2 + 2x + 2} > \sqrt{x^2 - x + 5} $$

Suy ra:

$$ f(x) < 0, \quad \forall x > 1 $$

Như vậy với $x > 1 $, lợi nhuận luôn âm nên công ty bị lỗ.

Kết luận

A. Công ty lỗ

Nhận xét

Đề bài khá lộ, dễ dàng nhận thấy $f(x)<0$ khi $x>1$ mà không cần tính giới hạn.

Giải chi tiết Câu 2 (Đa thức) - Đề Toán 10 Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX năm 2026

2026-04-07T12:11:00.003+07:00

Giải chi tiết câu Đa thức - Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX (2026)

Tiếp nối chuỗi lời giải các câu hỏi trong đề thi Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX năm 2026, MathVN xin gửi tới các bạn lời giải chi tiết Câu 2 môn Toán khối 10 về chủ đề Đa thức.

Đề bài (Câu 2)

[Câu 2. (3 điểm) - Đề Toán khối 10 Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ 30 năm 2026]

Tìm tất cả các số thực $a, b, c$ sao cho mỗi đa thức $x^2 - 3x + a$ và $x^2 + x + b$ có 2 nghiệm thực phân biệt và đều là nghiệm của đa thức $x^3 - x^2 + cx + 4$.

Lời giải chi tiết

1. Lập luận về nghiệm chung

Do hai đa thức bậc hai $x^2 - 3x + a$ và $x^2 + x + b$ có tổng cộng 4 nghiệm (tính cả lặp lại), trong khi đa thức bậc ba $x^3 - x^2 + cx + 4$ có tối đa 3 nghiệm thực, nên hai đa thức bậc hai này phải có ít nhất một nghiệm chung.

Gọi $t$ là nghiệm chung đó, ta có hệ điều kiện:

$$ \begin{cases} t^2 - 3t + a = 0 \\ t^2 + t + b = 0 \end{cases} $$

Trừ hai vế của hệ phương trình, ta được: $4t + b - a = 0 \Rightarrow t = \frac{a - b}{4}$.

2. Sử dụng đồng nhất thức và so sánh hệ số

Vì các nghiệm của hai đa thức bậc hai đều là nghiệm của đa thức bậc ba, ta có mối liên hệ:

$$ (x^3 - x^2 + cx + 4)(x - t) = (x^2 - 3x + a)(x^2 + x + b) $$

So sánh hệ số của $x^3$ ở hai vế:

Vế trái: Hệ số của $x^3$ là $-t - 1$.
Vế phải: Hệ số của $x^3$ là $1 - 3 = -2$.

Từ đó suy ra: $-t - 1 = -2 \Rightarrow \mathbf{t = 1}$. Thay vào biểu thức của $t$, ta có $a = b + 4$.

Khi $t = 1$, đồng nhất thức trở thành:

$$ (x^3 - x^2 + cx + 4)(x - 1) = (x^2 - 3x + a)(x^2 + x + b) $$

Khai triển và so sánh các hệ số còn lại ($x^2, x$ và hệ số tự do), ta thu được hệ phương trình:

$$ \begin{cases} c + 1 = 2b + 1 \\ -c + 4 = -2b + 4 \\ -4 = b(b + 4) \end{cases} $$

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được: $c = -4; b = -2$ và từ đó $a = 2$.

3. Thử lại điều kiện

Với $a = 2, b = -2, c = -4$:

$x^2 - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $1$ và $2$.
$x^2 + x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $1$ và $-2$.
$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$ có ba nghiệm là $1, 2, -2$.

Các điều kiện về nghiệm thực phân biệt và nghiệm chung đều thỏa mãn.

Kết luận

Các giá trị cần tìm là \[\boxed{a = \mathbf{2}, b =\mathbf{-2}, c = \mathbf{-4}}\]

Giải chi tiết Câu 3 (Số học) - Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XXX môn Toán khối 10

2026-04-07T06:24:00.011+07:00

Giải chi tiết bài toán số nguyên tố và lũy thừa $2^k \cdot n - 1$

Trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán, ở lĩnh vực số học, dạng bài về tính chất số nguyên tố của các biểu thức lũy thừa luôn là một thử thách khó. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tìm số nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện dãy số nguyên tố dưới đây.

Đề bài toán

[Câu 3. (4 điểm) - Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XXX môn Toán khối 10 năm 2026]

Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 2$ sao cho mỗi số $2^2 \cdot n - 1, 2^3 \cdot n - 1, \dots, 2^n \cdot n - 1$ là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

1. Kiểm tra các giá trị nhỏ của $n$

Trước hết, ta xét các giá trị đầu tiên của $n$ để tìm quy luật:

Với $n = 2$: Ta có số duy nhất $2^2 \cdot 2 - 1 = 7$ (là số nguyên tố). Thỏa mãn.
Với $n = 3$: Các số là $2^2 \cdot 3 - 1 = 11$ và $2^3 \cdot 3 - 1 = 23$ (đều là số nguyên tố). Thỏa mãn.
Với $n = 4$: Xét số đầu tiên $2^2 \cdot 4 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$ (hợp số). Loại.
Với $n = 5$: Xét số $2^3 \cdot 5 - 1 = 39 = 3 \cdot 13$ (hợp số). Loại.

2. Xét trường hợp $n \ge 6$ và $n-1$ có ước nguyên tố lẻ

Giả sử $n \ge 6$, khi đó $n - 1 \ge 5$. Nếu $n - 1$ có một ước nguyên tố lẻ $p$, ta có $3 \le p \le n-1$.

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Khi đó xét số hạng trong dãy ứng với số mũ $k = p-1$:

$$ 2^{p-1} \cdot n - 1 \equiv 1 \cdot n - 1 = n - 1 \equiv 0 \pmod{p} $$

Vì $n - 1 \ge 5$ và $p$ là ước của $n-1$ nên hiển nhiên $2^{p-1} \cdot n - 1 > p$. Do đó số này là hợp số.

3. Xét $n \ge 6$ và $n - 1$ chỉ có ước nguyên tố là 2

Nếu $n-1$ không có ước nguyên tố lẻ, thì $n-1$ phải có dạng $2^k$ hay $n = 2^k + 1$. Với $n \ge 6$, ta xét $k \ge 3$.

Xét số hạng ứng với số mũ $k-1$ trong dãy (với $k-1 < n$):

$$ 2^{k-1} \cdot n - 1 = 2^{k-1}(2^k + 1) - 1 = 2^{2k-1} + 2^{k-1} - 1 $$

Biến đổi biểu thức:

$$ 2^{2k-1} + 2^k - 2^{k-1} - 1 = 2^{k-1}(2^k - 1) + (2^k - 1) = (2^k - 1)(2^{k-1} + 1) $$

Vì $k \ge 3$, cả hai thừa số $(2^k - 1)$ và $(2^{k-1} + 1)$ đều lớn hơn 1, nên biểu thức trên là hợp số.

Kết luận

Các giá trị $n$ cần tìm là $\boxed{n = 2}$ và $\boxed{n = 3}$.

Đáp số

$\boxed{n=\mathbf{2}}$ và $\boxed{n=\mathbf{3}}$.

Bài toán quân xe trên bàn cờ vua và lời giải chi tiết (Tìm GTNN của n)

2026-04-07T01:24:00.007+07:00

Giải chi tiết câu toán rời rạc trên bàn cờ vua 8x8

Trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh chuyên, các bài toán tổ hợp và rời rạc trên bàn cờ luôn là những thử thách thú vị. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán về quân xe di chuyển trên bàn cờ ($8 \times 8$) dưới đây.

Đề bài toán

[Câu 5. (4 điểm) - Đề Olympic 30/4 lần thứ XXX môn Toán khối 10]

Một quân xe di chuyển $63$ nước đi trên bàn cờ vua ($8 \times 8$), đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và mỗi nước đi nó chỉ di chuyển từ một ô sang một ô có chung cạnh. Đánh số các ô của bàn cờ từ 1 đến 64 theo thứ tự mà quân xe đi qua (vị trí ban đầu của quân xe được đánh số 1).

Gọi $n$ là hiệu số lớn nhất giữa các số của hai ô có chung cạnh. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$ là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

1. Xét một trường hợp cụ thể (Cách đi hình con rắn)

Trước hết, xét cách đi hình con rắn của quân xe: Bắt đầu từ góc dưới bên trái, đi sang phải, mỗi nước sang ô bên cạnh cho đến hết hàng, sau đó đi lên ô ở hàng ngay trên, rồi đi sang trái, mỗi nước sang ô bên cạnh cho đến hết hàng, rồi đi lên ô ở hàng phía trên, v.v.

Với cách đi này, ta dễ thấy rằng hiệu số lớn nhất của 2 ô chung cạnh bằng 15.

2. Chứng minh giá trị nhỏ nhất cần tìm là 15

Ta chứng minh đây là giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử ngược lại rằng $n < 15$.

Xét các số ở hàng trên cùng:

Vì hiệu giữa hai số kề nhau trong hàng này không vượt quá 14, nên quân xe đi từ một số nhỏ hơn đến một số lớn hơn ở trên hàng này mà không đi qua một ô ở hàng dưới cùng (vì để xuống đó cần ít nhất 7 nước, và để quay lại cũng cần ít nhất 7 nước, cộng thêm một nước trong chính hàng dưới).
Do đó quân xe đã đi qua tất cả các ô của hàng trên cùng mà không đi xuống hàng dưới cùng.

Tương tự, quân xe di chuyển qua các ô của hàng dưới cùng mà không đi lên hàng trên cùng. Điều này có nghĩa là tất cả các số ở hàng trên cùng đều lớn hơn (hoặc đều nhỏ hơn) các số ở hàng dưới cùng.

Lập luận tương tự cho các cột:

Tất cả các số ở cột ngoài cùng bên trái đều lớn hơn (hoặc đều nhỏ hơn) các số ở cột ngoài cùng bên phải.
Không mất tính tổng quát, giả sử các số ở cột ngoài cùng bên trái lớn hơn các số ở cột ngoài cùng bên phải, còn các số ở hàng dưới cùng lớn hơn các số ở hàng trên cùng.

Bây giờ, gọi $A$ là số của ô góc trên cùng bên trái và $B$ là số của ô góc dưới cùng bên phải.

Theo giả thiết:

\[ \begin{cases} \text{Nếu xét theo cột thì: } A > B \\ \text{Nếu xét theo hàng thì: } A < B \end{cases} \]

Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

3. Kết luận

Giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$ là $\boxed{\mathbf{15}}$.

Đề kiểm tra Toán 9 học kì 2 năm học 2025-2026 chuyên Hà Nội - Amsterdam

2026-04-06T15:15:00.009+07:00

Thông tin đề thi

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM
TỔ TOÁN - TIN HỌC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2025-2026
Môn thi: TOÁN LỚP 9
Ngày thi: 06/04/2026
Thời gian làm bài: 90 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)

Nội dung đề thi

Câu I (1,5 điểm)

1. Kết quả khảo sát 40 học sinh về thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) được cho trong bảng tần số tương đối ghép nhóm sau đây:

Thời gian (phút): [0;10) [10;20) [20;30)

Tần số tương đối: 30% 45% 25%

a) Xác định tần số tương đối và tần số của nhóm [10;20).

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số 40 học sinh tham gia khảo sát. Tính xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn có thời gian đi từ nhà đến trường dưới 10 phút”.

Câu II (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \[ A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1},\] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{2}{x - 1} \] với $x \ge 0, x \ne 1$.

a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 9$.

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$.

c) Đặt $P = A \cdot B$. Tìm tất cả các số nguyên tố $x$ để $|P| + P = 0$.

Câu III (2,5 điểm)

1. Lớp 9A có $35$ học sinh, trong đó chỉ có 25% của số học sinh nam và 20% của số học sinh nữ không bị cận thị. Biết tổng số học sinh nam và học sinh nữ bị cận thị là $27$ học sinh, tính số học sinh nữ không bị cận thị.

2. Biết phương trình bậc hai $x^2 - 4x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Tìm các giá trị của $m$ thỏa mãn \[ 2x_1 + 3x_2 + m = \sqrt{x_1^2 + 16x_2 + 4x_1x_2 - 8}. \]

Câu IV (4,0 điểm)

1. Một bể chứa đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều dài 5m, chiều rộng 3m và chiều cao 2m. Do cần sửa chữa bể nên người ta cần bơm nước ra các bình nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng 2m và chiều cao bằng 2m. Hỏi cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu bình nước như trên để chứa được hết lượng nước bơm ra từ bể chứa?

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$, $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh điểm $B, F, E, C$ cùng thuộc một đường tròn và $HB \cdot HE = HC \cdot HF$.

b) Vẽ đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$, cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$. Chứng minh tứ giác $AKMN$ là hình bình hành.

c) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $EF$, $J$ là điểm thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $HI = HJ$. Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh tam giác $PBC$ đồng dạng với tam giác $HFE$ và $\widehat{FAI} = \widehat{BKN}$.

Câu V (0,5 điểm)

Một góc sân vườn có hình tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $10$ m. Người ta lát gạch thành hình chữ nhật $MNPQ$ có $Q$ thuộc cạnh $AB$, $P$ thuộc cạnh $AC$ và $M, N$ thuộc cạnh $BC$ (như hình vẽ). Phần tô màu đen được dùng để trồng hoa. Tìm độ dài $MB$ để diện tích phần lát gạch $MNPQ$ là lớn nhất.

Ghi chú

Chú ý: Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay.

Họ tên thí sinh: ....................................

Số báo danh: ....................................

Ảnh gốc đề thi

Bài toán đếm đường đi Hamilton từ E đến F – Đề V-ACT 2026 đợt 1

2026-04-06T06:50:00.014+07:00

Bài toán đếm đường đi Hamilton trong đồ thị - Đề V-ACT 2026

Đề bài

[Đề thi ĐGNL ĐHQG-HCM năm 2026 đợt 1, thi ngày 05/4/2026]

Một khu du lịch gồm $6$ địa điểm $A, B, C, D, E, F$ được nối với nhau. Bạn Anh Thư muốn đi từ $E$ lần lượt qua các điểm khác và kết thúc tại $F$. Số cách đi là:

A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.

Lời giải

Ta hiểu rằng mỗi địa điểm chỉ được đi qua đúng một lần (bài toán đếm đường đi Hamilton từ $E$ đến $F$).

Từ $E$, có $2$ lựa chọn để đến địa điểm tiếp theo: $A, B$.

Xét các khả năng đi hết các điểm mà không lặp:

$E \to A \to B \to C \to D \to F$
$E \to B \to A \to D \to C \to F$

Các cách còn lại không thể đi hết các điểm mà không lặp đỉnh.

Vậy có tất cả $2$ cách đi.

Đáp án: B.

Ghi chú

- Đây là một bài toán thuộc lĩnh vực đồ thị trong Toán rời rạc, cụ thể là đếm số đường đi Hamilton. Đường đi Hamilton là đường đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.

- Trong đề bài, cụm “lần lượt đi qua các điểm khác” được hiểu ngầm là mỗi địa điểm chỉ đi qua một lần. Nếu cho phép lặp đỉnh thì số cách đi sẽ rất lớn (thậm chí vô hạn nếu không chặn bước).

- Dạng bài này thường xuất hiện trong đề thi đánh giá năng lực dưới dạng bài toán thực tế (du lịch, lộ trình, mạng lưới giao thông,...).

Bài toán đồ thị ngụy trang Hóa học – Giải nhanh bằng định lý bắt tay

2026-04-06T05:07:00.006+07:00

Bài toán lý thuyết đồ thị ngụy trang Hóa học

Đề bài

[Đề thi ĐGNL ĐHQG-HCM đợt 1 năm 2026, ngày thi 05/4/2026]

Một phân tử được cấu tạo từ $8$ nguyên tử liên kết với nhau. Tổng số liên kết trong phân tử này là $8$. Các nhà khoa học đo được số liên kết của $7$ nguyên tử đầu tiên là:

\[4, 2, 2, 1, 1, 1, 1\]

Hỏi nguyên tử thứ $8$ có bao nhiêu liên kết?

A. $1$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $3$.

Lời giải

Mô hình hóa bài toán bằng đồ thị:

Mỗi nguyên tử được biểu diễn bởi một đỉnh, mỗi liên kết là một cạnh của đồ thị.

Khi đó đồ thị có $8$ đỉnh và $8$ cạnh.

Áp dụng định lý bắt tay:

\[\text{Tổng bậc các đỉnh} = 2 \times \text{số cạnh}\]

\[= 2 \times 8 = 16\]

Tổng bậc của $7$ nguyên tử đầu tiên là:

\[4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12\]

Gọi số liên kết của nguyên tử thứ $8$ là $x$, ta có:

\[12 + x = 16\Leftrightarrow x = 4.\]

Vậy nguyên tử thứ 8 có $4$ liên kết.

Đáp án: B.

Minh hoạ đồ thị

Ghi chú

Đây là một bài toán thuộc lĩnh vực đồ thị trong Toán rời rạc, sử dụng định lý bắt tay:

\[\sum \text{bậc} = 2\times \text{số cạnh}.\]

Dạng bài này thường xuất hiện trong các đề thi đánh giá năng lực dưới dạng “ngụy trang” trong bối cảnh Hóa học.