Toán Học Việt Nam

Sở Sơn La L3 - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án

2026-05-20T07:50:38.676+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Sơn La lần 3

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Sơn La

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT lần thứ ba năm học 2025–2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0110

Hình thức: Trắc nghiệm 3 định dạng

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Tiệm cận đứng):

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[ y=\frac{x^2+4x+1}{x-1} \] là

A. $y=1$.

B. $x=4$.

C. $x=-4$.

D. $x=1$.

Câu 2 (Phương trình mũ):

Nghiệm của phương trình \[ 4^{x+2}=64 \] là:

A. $1$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $0$.

Câu 3 (Cấp số nhân):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=5$. Giá trị của $u_3$ bằng

A. $50$.

B. $7$.

C. $10$.

D. $12$.

Câu 4 (Vectơ trong hình hộp):

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (tham khảo hình vẽ).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

B. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

C. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}. \]

D. \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC'}. \]

Câu 5 (Nhận dạng đồ thị hàm số):

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

A. \[ y=\frac{x^2+3x-4}{x-2}. \]

B. \[ y=x^3-3x^2-4. \]

C. \[ y=\frac{x-4}{x-1}. \]

D. \[ y=-x^3+3x^2-4. \]

Câu 6 (Phương trình lượng giác):

Phương trình \[ \sin x=1 \] có tập nghiệm là

A. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

B. \[ S=\left\{k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

C. \[ S=\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

D. \[ S=\left\{\frac{\pi}{2}+k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

Câu 7 (Nguyên hàm):

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[ f(x)=e^x+\sin x \] là

A. \[ e^x-\sin x+C. \]

B. \[ e^x+\sin x+C. \]

C. \[ e^x+\cos x+C. \]

D. \[ e^x-\cos x+C. \]

Hình ảnh đề thi

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Chi phí chế tác vật phẩm nghệ thuật hình cánh hoa tạo thành từ các đường elip

2026-05-19T10:10:47.123+07:00

Bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm hình cánh hoa (hình elip + hình tròn)

Các bài toán ứng dụng tích phân trong hình học phẳng thường xuất hiện trong đề thi đánh giá năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm dựa trên diện tích các miền giới hạn bởi hai hình elip và đường tròn.

Đề bài toán

[Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT 2026 - Sở GD-ĐT Vĩnh Long]

Đề gõ lại

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm bằng giấy từ hộp kim cao cấp.

Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng $8$ cm, độ dài trục nhỏ bằng $\dfrac{8}{\sqrt{3}}$ cm; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng.

Đường tròn $(O)$ đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí. Phần lõi bên trong đường tròn được tráng đồng để tăng tính thẩm mỹ với chi phí $5.000$ đồng/cm$^2$. Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí $15.000$ đồng/cm$^2$.

Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Viết phương trình các elip và đường tròn

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ trùng với giao điểm của hai trục lớn hai elip.

Khi đó, phương trình elip $(E_1)$ có trục lớn nằm trên trục $Ox$:

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{16} = 1 $$

Suy ra:

$$ y^2 = \frac{16 - x^2}{3} \Rightarrow y = \sqrt{\frac{16 - x^2}{3}} \quad (y \ge 0) $$

Do tính đối xứng, giao điểm của hai elip nằm trên đường phân giác $y=x$.

Thay $y=x$ vào phương trình $(E_1)$:

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3x^2}{16} = 1 \Leftrightarrow x^2 = 4 $$

Vậy hoành độ giao điểm là:

$$ x_{1,2} = \pm 2 $$

Bán kính đường tròn $(O)$:

$$ R^2 = x^2 + y^2 = 2x^2 = 8 $$

Phương trình đường tròn:

$$ x^2 + y^2 = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^2} \quad (y \ge 0) $$

2. Tính diện tích các phần

Diện tích phần lõi hình tròn:

$$ S_1 = \pi R^2 = 8\pi \text{ (cm}^2) $$

Diện tích phần cánh hoa:

Do tính đối xứng, diện tích 4 cánh hoa bằng $8$ lần diện tích một nửa cánh hoa:

$$ S_2 = 8\left(\int_2^4 \sqrt{\frac{16-x^2}{3}}\,dx - \int_2^{2\sqrt2} \sqrt{8-x^2}\,dx \right) $$

$$ S_2 \approx 13,5616 \text{ cm}^2 $$

3. Tính tổng chi phí

Chi phí chế tác:

$$ T = 5S_1 + 15S_2 $$

$$ T \approx 329,088 \text{ (nghìn đồng)} $$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{329}$ nghìn đồng.

Nhận xét

Bài toán khai thác mạnh tính đối xứng của hai elip vuông góc, giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán tích phân. Việc tách riêng diện tích phần lõi và phần cánh hoa là chìa khóa để xử lý bài toán nhanh gọn.

Sở Vĩnh Long - Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán có lời giải chi tiết năm 2026

2026-05-19T09:38:44.935+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Vĩnh Long

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Long

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm 3 dạng

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Tính tích phân):

Cho \[ \int_0^2 f(x)\,dx=3. \] Tính \[ I=\int_0^2 (1+2f(x))\,dx. \]

A. $I=7$.

B. $I=4$.

C. $I=8$.

D. $I=6$.

Câu 2 (Quan hệ vuông góc trong hình chóp):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $(SCD)\perp(SAD)$.

B. $(SBD)\perp(SAC)$.

C. $(SBC)\perp(SIA)$.

D. $(SDC)\perp(SAI)$.

Câu 3 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d$ \[ \begin{cases} x=5+t\\ y=7+2t\\ z=9+3t \end{cases} \] có một vectơ chỉ phương là:

A. $\vec{u}_4=(5;7;9)$.

B. $\vec{u}_2=(3;2;1)$.

C. $\vec{u}_3=(1;2;3)$.

D. $\vec{u}_1=(1;3;2)$.

Câu 4 (Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm):

Cho bảng số liệu sau đây

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [1{,}5;2{,}5) & [2{,}5;3{,}5) & [3{,}5;4{,}5) & [4{,}5;5{,}5) & [5{,}5;6{,}5)\\ \hline \text{Tần số} & 2 & 3 & 7 & 2 & 1\\ \hline \end{array} \]

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu cho bởi bảng trên là:

A. $2$.

B. $5$.

C. $3$.

D. $4$.

Câu 5 (Diện tích hình phẳng):

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\ (a<b)$ được cho bởi công thức nào sau đây?

A. \[ S=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx. \]

B. \[ S=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

C. \[ S=\int_a^b f(x)\,dx. \]

D. \[ S=\pi\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

Câu 6 (Cấp số cộng):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=5$. Giá trị của $u_4$ bằng:

A. $22$.

B. $17$.

C. $12$.

D. $250$.

Câu 7 (Biến đổi logarit):

Với mọi số thực dương $a$, \[ \log_3(27a)-\log_3 a \] bằng:

A. $3$.

B. $3-2\log_3 a$.

C. $9$.

D. $\log_3(26a)$.

Câu 8 (Phương trình mũ):

Nghiệm của phương trình \[ \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2-2x-3}=5^{x+1} \] là:

A. $x=-1;x=2$.

B. Vô nghiệm.

C. $x=1;x=2$.

D. $x=1;x=-2$.

Câu 9 (Tâm mặt cầu):

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \[ (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9. \] Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:

A. $(1;-2;3)$.

B. $(1;2;3)$.

C. $(1;-2;-3)$.

D. $(1;2;-3)$.

Hình ảnh đề thi

Hình ảnh lời giải

Tải file đề và lời giải

Gồm đề thi, đáp án và lời giải chi tiết từng câu đề thi thử toán 2026 Sở Vĩnh Long. [Download ##download##]

Hàm phân thức hữu tỉ - Trắc nghiệm đúng sai về tiệm cận và cực trị

2026-05-18T20:23:51.995+07:00

Hàm phân thức hữu tỉ - Trắc nghiệm đúng sai về tiệm cận và cực trị

Đề bài (Khảo sát hàm số phân thức)

Cho hàm số \[y=\frac{x^{2}-x+7}{x+1}.\]

a) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình $x=-1$.

b) Đạo hàm \[y'=\frac{x^{2}+2x-8}{(x+1)^{2}}.\]

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-4;-1)$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(-\infty;-1)$ bằng $3$.

Lời giải chi tiết

a) Đúng.

Mẫu số bằng $0$ khi $x=-1$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.

b) Đúng.

Ta có: \[y = x - 2 + \frac{9}{x+1}.\]

Suy ra: \[y' = 1 - \frac{9}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2}.\]

c) Sai.

$y'=0 \Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(-4;-1)$.

Vì vậy mệnh đề sai.

d) Sai.

Từ bảng biến thiên, giá trị lớn nhất trên $(-\infty;-1)$ là $-9$, không phải $3$.

Tổng hợp đáp án: Đ, Đ, S, S

Radar và UAV trong không gian Oxyz: bài toán trắc nghiệm đúng sai có lời giải chi tiết

2026-05-18T07:55:32.439+07:00

Bài toán radar và UAV trong không gian Oxyz - Trắc nghiệm đúng sai

Đề bài (Radar phát hiện và gây nhiễu UAV)

Một radar đặt tại $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\,km$. Bán kính phủ sóng là $250\,km$.

Một UAV xuất phát từ $A(1000;-450;0)$, bay thẳng qua $B(968;-435;1)$ với vận tốc không đổi $800\,km/h$.

UAV có thiết bị gây nhiễu hiệu quả trong phạm vi $50\,km$.

a) Phương trình đường thẳng $AB$: \[ \begin{cases} x=1000-32t\\ y=-450+15t\\ z=t \end{cases} \]

b) Vị trí đầu tiên UAV bị phát hiện là $(232;-90;24)$.

c) Gọi $P$ là vị trí đầu tiên gây nhiễu, khi đó $AP>1061\,km$.

d) Tổng thời gian radar theo dõi UAV lớn hơn $32$ phút.

Lời giải chi tiết (Radar - UAV)

a) Đúng.

$\overrightarrow{AB}=(-32;15;1)$ nên:

$AB:\begin{cases} x=1000-32t\\ y=-450+15t\\ z=t \end{cases}$.

b) Đúng.

Mặt cầu radar: $x^2+y^2+z^2=62500$.

Giao với $AB$ được hai điểm: $M(232;-90;24)$, $N(-216;120;38)$.

Vì $AM \lt AN$ nên điểm đầu tiên là $M$.

c) Sai.

Mặt cầu nhiễu: $x^2+y^2+z^2=2500$.

Giao điểm: $P(40;0;30)$, $Q(-24;30;32)$.

$AP \approx 1060,6 \lt 1061$ nên sai.

d) Sai.

Thời gian bị theo dõi:

\[ t=\frac{MN-PQ}{800} =\frac{\sqrt{245000}-\sqrt{5000}}{800} \approx 0,5303\;(\text{giờ}) \approx 31,82\;\text{phút} \]

Không lớn hơn $32$ phút ⇒ Sai.

Tổng hợp đáp án: Đ, Đ, S, S

Sở Gia Lai - Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán năm 2026 có đáp án

2026-05-18T07:28:16.425+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Gia Lai

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai

Kỳ thi: Thi thử trước kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0101

Hình thức: Trắc nghiệm 3 phần

Đề bài (trích dẫn)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (Vectơ chỉ phương đường thẳng):

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \[ \Delta: \frac{x+1}{-2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{-2}. \] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$?

A. $\vec{u}=(2;-3;-2)$.

B. $\vec{u}=(-2;3;-2)$.

C. $\vec{u}=(-1;3;2)$.

D. $\vec{u}=(-1;-3;-2)$.

Câu 2 (Khoảng tứ phân vị mẫu ghép nhóm):

Cho bảng biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sữa trong một ngày như sau:

Nhóm: $[40;50), [50;60), [60;70), [70;80), [80;90)$
Tần số: $3, 6, 19, 23, 9$
Tần số tích lũy: $3, 9, 28, 51, 60$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là:

A. $70{,}87$.

B. $50{,}00$.

C. $14{,}23$.

D. $40{,}00$.

Câu 3 (Giá trị cực đại từ đồ thị):

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. $4$.

B. $2$.

C. $-1$.

D. $1$.

Câu 4 (Tiệm cận ngang):

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[ y=\frac{6x-4}{1-2x} \] là đường thẳng có phương trình

A. $y=-3$.

B. $x=-3$.

C. $y=6$.

D. $y=2$.

Câu 5 (Trọng tâm tứ diện):

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ và $M$ là một điểm bất kì. Phát biểu nào dưới đây sai?

A. $\vec{AG}=\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})$.

B. $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}$.

C. $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MG}$.

D. $\vec{AG}=\dfrac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})$.

Hình ảnh đề

Hình ảnh đáp án

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Tính thể tích khối tròn xoay từ miền giới hạn bởi cung tròn (kèm lời giải)

2026-05-17T15:07:04.261+07:00

Đề bài toán

[Đề thi thử Toán lần 2 năm 2026 - Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]

Đề gốc

Đề gõ lại

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục $AB$.

Miền $(H)$ được giới hạn bởi đường tròn đường kính $AB$ và các cung tròn tâm $A, B$ có cùng bán kính. Biết $AB = 10$ cm, $AH = BK = 2$ cm.

Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị cm$^3$), không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là $1$ cm. Khi đó:

$$ K(3;0), \quad B(5;0) $$

Ta có:

$$ OD = \frac{1}{2}AB = 5 \Rightarrow DK = \sqrt{OD^2 - OK^2} = 4 $$

Suy ra:

$$ BC = BD = \sqrt{BK^2 + KD^2} = 2\sqrt{5} $$

Do đó:

$$ OC = 5 - 2\sqrt{5} \Rightarrow C(5 - 2\sqrt{5}; 0) $$

2. Lập phương trình các đường tròn

Đường tròn đường kính $AB$:

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Đường tròn tâm $B$, bán kính $BD$:

$$ (x - 5)^2 + y^2 = 20 $$

Đặt:

$$ (C_1): y = \sqrt{25 - x^2}, \quad (C_2): y = \sqrt{20 - (x - 5)^2} $$

3. Tính thể tích khối tròn xoay thứ nhất

Gọi $(H_1)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $Ox$, $Oy$, $x = 3$.

Thể tích khi quay quanh trục $Ox$:

$$ V_1 = \pi \int_0^3 (\sqrt{25 - x^2})^2 dx $$

4. Tính thể tích khối tròn xoay thứ hai

Gọi $(H_2)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C_2)$, $Ox$, $x = 5 - 2\sqrt{5}$, $x = 3$.

Thể tích khi quay quanh trục $Ox$:

$$ V_2 = \pi \int_{5 - 2\sqrt{5}}^3 (\sqrt{20 - (x - 5)^2})^2 dx $$

5. Kết luận

Thể tích cần tìm:

$$ V = 2(V_1 - V_2) \approx 275 \text{ cm}^3 $$

Bài toán đếm ma trận 3x3 – Cấp số nhân trên đường chéo (có lời giải chi tiết)

2026-05-16T15:52:15.666+07:00

Bài toán đếm: Sắp xếp ma trận 3×3 với điều kiện cấp số nhân trên đường chéo

Bài toán tổ hợp yêu cầu đếm số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đặc biệt thường xuất hiện trong đề thi nâng cao. MathVN trình bày lời giải chi tiết dựa trên việc phân tích cấu trúc cấp số nhân.

Đề bài toán

[Bài toán đếm – Đề thi thử lần 2 năm 2026 của Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]

Đề gõ lại

Cho tập hợp

\[S = \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}.\]

Gọi $T$ là số cách xếp 9 số phân biệt được chọn từ $S$ vào 9 ô vuông của bảng $3\times3$ sao cho các số trên mỗi đường chéo đều theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Tính giá trị của $\dfrac{T}{80}$.

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Phân tích điều kiện cấp số nhân

Gọi số ở ô trung tâm là $b$. Khi đó mỗi đường chéo gồm ba số $(x; b; z)$ là một cấp số nhân nên:

$$ xz = b^2 $$

2. Xét các giá trị có thể của $b$

Xét trong tập $S$, các cặp số $(x,z)$ sao cho $xz = b^2$:

Với $b = 4$: có các cặp $(1;16), (2;8)$.
Với $b = 6$: có các cặp $(2;18), (3;12), (4;9)$ ⇒ có $3$ cách chọn hai cặp rời nhau.
Với $b = 12$: có các cặp $(8;18), (9;16)$.

⇒ Tổng số cách chọn hai cặp (ứng với hai đường chéo):

$$ 1 + 3 + 1 = 5 \text{ cách} $$

3. Sắp xếp các cặp vào hai đường chéo

Gán hai cặp cho hai đường chéo: $2!$ cách.
Mỗi cặp có thể sắp theo thứ tự tăng hoặc giảm: $2^2$ cách.

$$ \Rightarrow 2! \cdot 2^2 = 8 \text{ cách} $$

4. Điền các ô còn lại

Còn lại $4$ ô, chọn $4$ số bất kỳ từ $10$ số còn lại và sắp xếp:

$$ A_{10}^4 = \frac{10!}{6!} $$

5. Kết quả

Tổng số cách:

$$ T = 5 \cdot 8 \cdot A_{10}^4 $$

Suy ra:

$$ \frac{T}{80} = 2520 $$

Đáp số: $\boxed{2520}$.

Nhận xét

Ý tưởng chính là đưa điều kiện cấp số nhân về dạng tích $xz = b^2$, từ đó chuyển bài toán về việc chọn các cặp số phù hợp. Đây là kỹ thuật quen thuộc trong các bài toán tổ hợp có yếu tố số học.

Sở Hà Tĩnh L2 - Đề thi thử Toán có lời giải chi tiết (lần 2 năm 2026)

2026-05-16T15:41:45.274+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh

Kì thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề: 0101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Thể tích khối chóp vuông

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A. $12$.
B. $6$.
C. $8$.
D. $4$.

Câu 2. Phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$. Phương trình của $(S)$ là

A. $x^2+(y+2)^2+(z-1)^2=5$.
B. $x^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25$.
C. $x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=25$.
D. $x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=5$.

Câu 3. Giải phương trình logarit

Nghiệm của phương trình $ \log_2(x-1)=3 $ là

A. $10$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $9$.

Câu 4. Tiệm cận ngang của hàm phân thức

Cho hàm số $ y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \,(a,b,c,d\in\mathbb{R}, c\ne0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. $x=1$.
B. $x=-1$.
C. $y=-1$.
D. $y=1$.

Câu 5. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

Thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 12A được cho ở bảng sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10] \\ \hline \text{Tần số} & 2 & 8 & 18 & 12 \\ \hline \end{array} \]

Phương sai của mẫu số liệu trên bằng

A. $0{,}7$.
B. $6$.
C. $8{,}5$.
D. $0{,}15$.

Câu 6. Đạo hàm hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số $y=3^x$ là

A. $y'=3^x\ln3$.
B. $y'=3^x$.
C. $y'=x\cdot3^{x-1}$.
D. $y'=3^x\ln x$.

Câu 7. Nghiệm phương trình lượng giác

Phương trình $ \tan x=-1 $ có tất cả các nghiệm là

A. $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
B. $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
C. $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$.
D. $x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$.

Câu 8. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 3x-y-z+2=0$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

A. $(-1;-1;2)$.
B. $(3;-1;2)$.
C. $(3;-1;-1)$.
D. $(3;1;1)$.

Hình ảnh trang đều

Hình ảnh lời giải chi tiết

Tải file đề, đáp án, lời giải

[Download ##download##]

Bài toán tối ưu tín chỉ carbon: giảm lượng CO2 lớn nhất với ngân sách giới hạn

2026-05-15T15:37:03.145+07:00

Bài toán tối ưu tín chỉ carbon – Quy hoạch tuyến tính - Toán lớp 10

Các bài toán tối ưu trong thực tế như tín chỉ carbon thường được mô hình hóa bằng bài toán quy hoạch tuyến tính. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết giúp xác định phương án đầu tư tối ưu để giảm lượng khí thải lớn nhất.

Đề bài toán

[Đề thi thử tốt nghiệp thpt năm 2026 - Tối ưu tín chỉ carbon]

Đề gõ lại

Tín chỉ carbon là một đơn vị thương mại đại diện cho quyền phát thải khí nhà kính, trong đó mỗi tín chỉ tương đương với một tấn $CO_2$ được cắt giảm hoặc loại bỏ khỏi khí quyển.

Một doanh nghiệp cần đầu tư mua tín chỉ carbon từ hai dự án:

Dự án A (trồng rừng): giá $20$ USD/tín chỉ, giảm $1,5$ tấn $CO_2$.
Dự án B (năng lượng sạch): giá $30$ USD/tín chỉ, giảm $2$ tấn $CO_2$.

Biết rằng:

Tổng số tín chỉ không quá $25$.
Tổng ngân sách không quá $600$ USD.

Gọi $x, y$ lần lượt là số tín chỉ mua từ dự án A và B. Hỏi doanh nghiệp cần mua bao nhiêu tín chỉ từ dự án B để lượng $CO_2$ giảm được là lớn nhất?

Hình vẽ

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập mô hình toán học

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tín chỉ của dự án A và B.

Lượng $CO_2$ giảm được cần tối đa:

$$ F = 1,5x + 2y \rightarrow \max $$

Các ràng buộc:

$$ \begin{cases} x + y \le 25 \\ 20x + 30y \le 600 \\ x, y \ge 0 \end{cases} $$

Rút gọn điều kiện ngân sách:

$$ 20x + 30y \le 600 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 60 $$

2. Xét các đỉnh của miền nghiệm

$O(0,0)$: \[F = 0\]
$A(25,0)$:
$$ F = 1,5 \cdot 25 = 37,5 $$
$C(0,20)$:
$$ F = 2 \cdot 20 = 40 $$
Xét giao điểm $B$ của hai đường:
$$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 2x + 3y = 60 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 15 \\ y = 10 \end{cases}$$
Vậy đỉnh $B(15;10).$
Giá trị hàm mục tiêu tại $(15;10)$:
$$ F = 1,5 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 42,5 $$

3. Kết luận

Giá trị lớn nhất của $F$ đạt tại $(x,y) = (15;10)$.

Vậy số tín chỉ cần mua từ dự án B là: $\boxed{10}$.

Nhận xét

Bài toán là một ví dụ điển hình của quy hoạch tuyến tính với miền nghiệm là đa giác lồi. Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu luôn đạt tại các đỉnh của miền nghiệm, giúp việc giải bài toán trở nên nhanh gọn.

Sở Nghệ An L3 - Đề TOÁN khảo sát chất lượng kết hợp thi thử THPT 2026 đợt 3

2026-05-14T16:41:46.552+07:00

Đề khảo sát chất lượng kết hợp thi thử THPT 2026 môn Toán – Nghệ An (Đợt 3)

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An

Kỳ thi: Khảo sát chất lượng kết hợp thi thử lớp 12 năm học 2025–2026 (Đợt 3)

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu có tâm $I(1;-1;1)$, bán kính $R=2$ là
A. $(x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=2$
B. $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2$
C. $(x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4$
D. $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4$

Câu 2. Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$?
A. $(SBD)$
B. $(SCD)$
C. $(SBC)$
D. $(SAD)$

Câu 3. So sánh khoảng tứ phân vị của hai mẫu ghép nhóm

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [1;3) & [3;5) & [5;7) & [7;9) & [9;11) \\ \hline \text{Tần số }(M_1) & 2 & 5 & 7 & 3 & 3 \\ \hline \text{Tần số }(M_2) & 4 & 10 & 14 & 6 & 6 \\ \hline \end{array} \]

Gọi $\Delta_{Q_1}, \Delta_{Q_2}$ lần lượt là khoảng tứ phân vị của $M_1, M_2$. Phát biểu đúng là
A. $4\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$
B. $\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$
C. $\Delta_{Q_1}=2\Delta_{Q_2}$
D. $2\Delta_{Q_1}=\Delta_{Q_2}$

Câu 4. Công sai cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1, u_2=4$. Công sai là
A. $4$
B. $\frac{3}{2}$
C. $2$
D. $3$

Câu 5. Quan hệ vectơ trong hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B'C'}$
B. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$
C. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA'}$
D. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A'B'}$

Câu 6. Giải phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $ \cot x=1 $ là
A. $S=\left\{\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}$
B. $S=\left\{-\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}$
C. $S=\left\{\frac{\pi}{4}+k2\pi\right\}$
D. $S=\left\{-\frac{\pi}{4}+k2\pi\right\}$

Câu 7. Đạo hàm hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số $y=11^x$ là
A. $y'=11^x\ln 11$
B. $y'=\dfrac{11^x}{\ln 11}$
C. $y'=11^x$
D. $y'=x\cdot 11^{x-1}$

Hình ảnh 1 trang

Tải file PDF

Gồm đề thi (4 trang) và đáp án (1 trang). [Download ##download##]

Trắc nghiệm đúng sai: Đồ thị đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

2026-05-13T08:37:23.192+07:00

Trắc nghiệm đúng sai: Đồ thị đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Đề bài: Đồ thị đạo hàm

[Đề thi thử tốt nghiệp THPT cụm chuyên môn số 1 Hà Nội 2026]

Cho hàm số $ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} $ với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[2;4]$ bằng $6$. Khi đó:

a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.

b) Giá trị của $f(2)$ bằng $6$.

c) Giá trị $\dfrac{a+b}{2c-d}$ bằng $1$.

d) Có $4$ điểm trên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tọa độ nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Sai.

Ta có:

\[f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}.\]

Từ đồ thị, nhận thấy $f'(x) \lt 0$ với mọi $x \ne 1$.

Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Suy ra hàm số không đồng biến trên $(1;+\infty)$.

b) Sai.

Hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty)$ nên trên đoạn $[2;4]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=4$.

Theo đề: $ \min =6 \Rightarrow f(4)=6$.

Suy ra $f(2) > f(4)=6$.

c) Đúng.

Từ tiệm cận đứng $x=1 \Rightarrow (c.1+d)^2=0 \Rightarrow d=-c$.

Khi đó:

$2c-d=2c-(-c)=3c$.

Từ đồ thị ta có: $f'(0)=-3$.

\[ f'(0)=\frac{ad-bc}{d^2}=\frac{-ac-bc}{c^2}=-\frac{a+b}{c}=-3 \]

\[\Rightarrow \dfrac{a+b}{c}=3 \Rightarrow a+b=3c.\]

Do đó:

\[ \frac{a+b}{2c-d}=\frac{3c}{3c}=1. \]

d) Đúng.

Từ câu b), ta có \[f(4)=6 \Rightarrow 4a+b=6(4c+d).\] Kết hợp với $d=-c$ và $a+b=3c$ từ câu c), ta suy ra \[a=5c, \ b=-2c.\]

Ta biến đổi:

\[ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{5cx-2c}{cx-c}=5+\frac{3}{x-1}. \]

Để $f(x)$ nguyên với $x$ nguyên thì $\dfrac{3}{x-1}$ phải nguyên.

$\Rightarrow x-1 \in \{\pm1, \pm3\}$.

$\Rightarrow x \in \{2,0,4,-2\}$.

Vậy có $4$ điểm nguyên trên đồ thị.

Sở Bắc Ninh 2 - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có đáp án (lần 2)

2026-05-13T08:18:14.645+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Lần 2

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 lần thứ 2

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Hình học không gian – quan hệ vuông góc

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
Đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $(SAC)$
B. $(SAD)$
C. $(SBC)$
D. $(SAB)$

Câu 2. Bất phương trình logarit

Tập nghiệm của bất phương trình $ \log_{0,5} x > -1 $ là
A. $(0;2)$
B. $(-\infty;2)$
C. $(0;+\infty)$
D. $(2;+\infty)$

Câu 3. Tiệm cận đứng của hàm phân thức

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x-3}{x+1} $ là đường thẳng có phương trình
A. $x=2$
B. $y=-1$
C. $y=2$
D. $x=-1$

Câu 4. Phép toán vectơ trong hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
Vectơ $ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} $ bằng vectơ nào dưới đây?
A. $ \overrightarrow{BD'} $
B. $ \overrightarrow{BC'} $
C. $ \overrightarrow{BA'} $
D. $ \overrightarrow{BD} $

Câu 5. Xét tính đơn điệu qua đồ thị

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1;+\infty)$
B. $(-1;1)$
C. $(-1;+\infty)$
D. $(-\infty;0)$

Câu 6. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình
\[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{-3}. \]
Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có tọa độ là
A. $(2;1;3)$
B. $(1;2;4)$
C. $(1;-2;4)$
D. $(2;1;-3)$

Câu 7. Nguyên hàm lượng giác

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x$ trên $(-\infty;+\infty)$ là
A. $-3\cos x + C$
B. $3\sin x + C$
C. $-3\sin x + C$
D. $3\cos x + C$

Trang đầu đề thi

Tải file để in

[Download ##download##]

Sở GD-ĐT An Giang - Đề môn Toán kì thi thử tốt nghiệp THPT 2026 có đáp án

2026-05-12T08:19:50.374+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Sở GD&ĐT An Giang

Thông tin kì thi

Đơn vị ra đề: Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang

Kỳ thi: Thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề: 0102

Số trang: 04 trang

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Giải phương trình logarit cơ bản

Nghiệm của phương trình $ \log_2(3x-1)=3 $ là
A. $x=\frac{10}{3}$
B. $x=3$
C. $x=2$
D. $x=4$

Câu 2. Trung vị của bảng tần số ghép nhóm

Một người thống kê thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại trong một tuần và lập bảng:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [0;40) & [40;80) & [80;120) & [120;160) & [160;200) & [200;240) \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 12 & 6 & 3 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Trung vị $M_e$ là:
A. $80$
B. $\frac{260}{3}$
C. $86,5$
D. $84$

Câu 3. Cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=3$, công sai $d=-2$. Tính $u_7$.
A. $15$
B. $-14$
C. $-11$
D. $-9$

Câu 4. Tập nghiệm phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $ \cos x=0 $ là:
A. $S=\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}$
B. $S=\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$
C. $S=\{k2\pi\}$
D. $S=\{k\pi\}$

Câu 5. Tọa độ vectơ trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho $ \vec{u}=-3\vec{i}+5\vec{j}+2\vec{k} $. Tọa độ của $\vec{u}$ là:
A. $(-3;5;2)$
B. $(3;5;2)$
C. $(5;-3;2)$
D. $(-3;5;-2)$

Câu 6. Xét tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x^2+1)(x-2)$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(2;+\infty)$
B. $(0;2)$
C. $(-\infty;-1)$
D. $(-1;2)$

Câu 7. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(2;1;-1)$, $N(4;-1;0)$. Vectơ chỉ phương của $MN$ là:
A. $(-2;2;1)$
B. $(6;0;-1)$
C. $(2;-2;1)$
D. $(2;2;1)$

Câu 8. Nguyên hàm hàm số mũ

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=5\cdot 2^x$ là:
A. $ \frac{5\cdot 2^x}{\ln 2}+C $
B. $5\cdot 2^x \ln 2 + C$
C. $ \frac{5\cdot 2^{x+1}}{x+1}+C $
D. $ \frac{2^x}{\ln 2}+C $

Hình ảnh trang đầu

Tải file đề, đáp án

[Download ##download##]

Tính thể tích nước trong vỏ nhựa hình paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

2026-05-11T16:54:33.446+07:00

Tính thể tích nước trái cây trong vỏ nhựa paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

Các bài toán thực tế kết hợp giữa đường cong Parabol và hình cầu thường xuất hiện trong các đề thi định hướng năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tính thể tích phần nước trái cây trong vỏ nhựa hình tròn xoay dựa trên các tính chất tiếp tuyến và tích phân.

Đề bài toán

[Bài toán ứng dụng tích phân - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 Sở Ninh Bình lần 3]

Đề gõ lại

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ (với $h > 0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là mm.

Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (mặt phẳng $y=h$). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Xác định tọa độ các điểm và thông số hình cầu

Theo đề bài, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành là $20$ mm, nên tung độ của $M$ là $y_M = 20$. Vì $M \in (P): y = x^2$, ta có:

$$ x_M^2 = 20 \Rightarrow x_M = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \quad (\text{do } x_M > 0) \Rightarrow M(2\sqrt{5}; 20) $$

Gọi tâm viên kẹo là $I(0; y_I)$. Tại điểm tiếp xúc $M$, đường thẳng $IM$ phải vuông góc với tiếp tuyến của parabol. Ta có:

Đạo hàm: $y' = 2x$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là $k_1 = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Hệ số góc của pháp tuyến $IM$ là $k_2 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}$.

Phương trình đường thẳng $IM$: $y - 20 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}(x - 2\sqrt{5})$. Với $x=0$, ta tìm được tung độ tâm $I$:

$$ y_I = 20 + \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 20,5 \text{ (mm)} $$

Bán kính viên kẹo $R$ là độ dài đoạn $IM$:

$$ R^2 = (2\sqrt{5}-0)^2 + (20-20,5)^2 = 20 + 0,25 = 20,25 \Rightarrow R = 4,5 \text{ (mm)} $$

2. Xác định giới hạn vỏ nhựa

Viên kẹo tiếp xúc với mặt đáy $y = h$ và nằm gọn bên trong vỏ, do đó:

$$ h = y_I + R = 20,5 + 4,5 = 25 \text{ (mm)} $$

3. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân

Thể tích vật thể tròn xoay (vỏ nhựa $V_{vỏ}$): Quay $(P)$ quanh trục $Oy$ từ $0$ đến $25$.

$$ V_{vỏ} = \pi \int_{0}^{25} x^2 dy = \pi \int_{0}^{25} y dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{25} = 312,5\pi \text{ (mm}^3) $$

Thể tích viên kẹo hình cầu ($V_{kẹo}$):

$$ V_{kẹo} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (4,5)^3 = 121,5\pi \text{ (mm}^3) $$

4. Kết quả

Thể tích nước trái cây là:

$$ V = V_{vỏ} - V_{kẹo} = 312,5\pi - 121,5\pi = 191\pi. $$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được: $\boxed{600}$ mm³.

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán nằm ở việc xác định tâm $I$ của viên kẹo thông qua tính chất vuông góc của bán kính tại điểm tiếp xúc. Một sai lầm thường gặp là giả sử tâm $I$ có tung độ bằng $20$ hoặc tính sai bán kính $R$, dẫn đến kết quả không chính xác.

Sở Ninh Bình - Đề Toán khảo sát chất lượng lớp 12 lần 3 năm 2026 có đáp án

2026-05-11T08:42:10.696+07:00

Đề khảo sát chất lượng giáo dục lớp 12 lần 3 năm 2026 môn Toán – Sở GD-ĐT Ninh Bình

Thông tin kì thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT, ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG GIÁO DỤC LỚP 12 THPT

LẦN THỨ BA – NĂM HỌC 2025–2026

Môn thi: TOÁN – THPT, GDTX

Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề: 0103

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Giải phương trình lượng giác cot

Nghiệm của phương trình $ \cot(3x-45^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ là:
A. $x=25^\circ+k180^\circ, k\in\mathbb{Z}$.
B. $x=35^\circ+k60^\circ, k\in\mathbb{Z}$.
C. $x=30^\circ+k60^\circ, k\in\mathbb{Z}$.
D. $x=60^\circ+k180^\circ, k\in\mathbb{Z}$.

Câu 2. Hình chiếu đường thẳng trong không gian

Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Hình chiếu của đường thẳng $SC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là đường thẳng:
A. $SB$.
B. $AB$.
C. $SA$.
D. $AC$.

Câu 3. Vector chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \[ d:\frac{x-3}{2}=\frac{4-y}{5}=\frac{z+1}{3}. \] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?
A. $\vec{u}_2=(2;4;-1)$.
B. $\vec{u}_1=(2;5;3)$.
C. $\vec{u}_4=(3;4;-1)$.
D. $\vec{u}_3=(2;-5;3)$.

Câu 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ đồ thị

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;5]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-1;5]$. Giá trị của $M-m$ bằng:
A. $5$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $1$.

Câu 5. Tọa độ vectơ trong không gian

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{k}-\vec{j}$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}$.
A. $\vec{u}=(16;15;-7)$.
B. $\vec{u}=(10;-3;-6)$.
C. $\vec{u}=(16;3;5)$.
D. $\vec{u}=(10;6;-4)$.

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số logarit

Hàm số $F(x)=\ln x$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $(0;+\infty)$?
A. $f(x)=-\dfrac{1}{x}$.
B. $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
C. $f(x)=2026-\dfrac{1}{x}$.
D. $f(x)=\dfrac{1}{x}+2026$.

Câu 7. Giải phương trình logarit

Nghiệm của phương trình $ \log_4(x-1)=3 $ là:
A. $x=63$.
B. $x=66$.
C. $x=65$.
D. $x=68$.

Hình ảnh 1 trang

Đáp án các mã đề

Tải file PDF đề và đáp án

[Download ##download##]

Sở Hưng Yên - Đề thi thử tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2026 môn Toán có đáp án

2026-05-10T15:46:21.629+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT lần 2 năm học 2025–2026 môn Toán – Sở GD-ĐT Hưng Yên

Thông tin kì thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 2 NĂM HỌC 2025–2026

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Mã đề: 0102

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+2x$ và trục $Ox$ có diện tích bằng:
A. $\frac{20}{3}$.
B. $\frac{2}{3}$.
C. $\frac{4}{3}$.
D. $\frac{8}{3}$.

Câu 2. Vector chỉ phương của đường thẳng trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \[ d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{-2}. \] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?
A. $\vec{u}_1=(1;-2;3)$.
B. $\vec{u}_4=(-1;2;-3)$.
C. $\vec{u}_3=(-2;-1;2)$.
D. $\vec{u}_2=(2;-1;-2)$.

Câu 3. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A, B$ thỏa mãn $P(A)=0{,}4;\;P(B)=0{,}3;\;P(A|B)=0{,}2$. Khi đó, $P(B|A)$ bằng:
A. $0{,}15$.
B. $0{,}5$.
C. $0{,}35$.
D. $0{,}25$.

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=-2x^3+3x^2+1$ trên đoạn $[-1;1]$ bằng:
A. $7$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $6$.

Câu 5. Thể tích hình lăng trụ đều

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $2$ cm (xem hình vẽ). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
A. $8\sqrt{3}\,\text{cm}^3$.
B. $6\sqrt{3}\,\text{cm}^3$.
C. $2\sqrt{3}\,\text{cm}^3$.
D. $4\sqrt{3}\,\text{cm}^3$.

Câu 6. Công bội của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=2, u_3=6$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:
A. $-3$.
B. $-4$.
C. $4$.
D. $3$.

Câu 7. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bảng sau đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại di động trong ngày của nhân viên công ty X (đơn vị: giờ):
Nhóm: $[1{,}0;1{,}2), [1{,}2;1{,}4), [1{,}4;1{,}6), [1{,}6;1{,}8), [1{,}8;2{,}0)$
Tần số: $20, 34, 13, 10, 3$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. $1{,}2$.
B. $1{,}22$.
C. $1{,}25$.
D. $1{,}19$.

Câu 8. Phương trình mặt cầu trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(-3;0;5)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:

Hình ảnh trang đề

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Sở Đồng Tháp - Đề môn Toán thi thử tốt nghiệp THPT 2026 có đáp án

2026-05-09T09:43:41.021+07:00

Đề Toán thi thử tốt nghiệp THPT 2026 – Sở GD&ĐT Đồng Tháp - có đáp án

Thông tin kì thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Mã đề: 0118

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 3. Hạt chuyển động

Một hạt chuyển động dọc theo trục $Ox$. Vị trí của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) được xác định bởi hàm số: \[ x(t)=20t^2e^{-0{,}5t}, \quad (t \ge 0). \] Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Vận tốc xuất phát của hạt tại thời điểm $t=0$ là $20\,m/s$.
b) Trong suốt quá trình chuyển động, hạt chỉ đổi chiều chuyển động đúng một lần duy nhất.
c) Khoảng cách xa nhất mà hạt đạt được so với gốc tọa độ $O$ là $320e^{-2}$ (m).
d) Tổng quãng đường hạt đi được không quá $320e^{-2}$ (m).

Câu 4. Khảo sát hàm số

Cho hàm số \[ y=\frac{x^2+x-6}{x+1} \] có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A, B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là điểm $I(-1;-1)$.
b) Có 2 tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $d: y=7x+18$.
c) Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt{5}$.
d) Gọi $(K)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[ y=\frac{x^2+x-6}{x+1}-x, \] trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=m, m>0$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(K)$ quanh trục hoành. Khi đó \[ \lim_{m \to +\infty} V = 36\pi. \]

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tổng số tiền sơn tường

Bác Tuấn trang trí bức tường hình vuông $ABCD$ có $AB = 4$ m như hình vẽ bên. Trong đó, bốn đường cong $AQB, APD, BEC, CFD$ đều là các đường parabol có các đỉnh lần lượt là $Q, P, E, F$. Biết rằng trục đối xứng của mỗi parabol trùng với một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$. Cho biết: \[ OE = OF = OP = OQ = 1 \text{ m}. \] Phần diện tích giới hạn bởi bốn đường parabol (phần gạch chéo) được sơn màu đỏ với chi phí 500 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Phần diện tích còn lại được sơn màu trắng với chi phí 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bác Tuấn cần để hoàn thành việc sơn bức tường đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2. Số cách tô màu

Bác Huy định tô màu hình vẽ là hình tròn được chia thành 5 phần $O, A, B, C, D$ bằng 6 màu khác nhau (mỗi phần tô một màu) sao cho hai phần hình cạnh nhau thì không được tô cùng màu. Hai phần có chung biên được gọi là cạnh nhau (ví dụ: $C$ và $D$ là cạnh nhau; $C$ và $A$ không cạnh nhau). Hỏi bác Huy có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn yêu cầu trên?

Hình ảnh một số câu

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Sở Đồng Nai - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 lần 2 môn Toán có đáp án

2026-05-09T09:17:42.129+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 lần 2 môn Toán – Sở GD&ĐT Đồng Nai

Thông tin kì thi

Kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 – lần 2

Môn thi: Toán

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Đồng Nai

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0107

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Nguyên hàm của hàm đa thức và lượng giác

Họ nguyên hàm của hàm số \[ f(x)=3x^2+2\sin x \] là

A. $x^3-2\cos x + C$.
B. $x^3+2\cos x + C$.
C. $3x^3+2\cos x + C$.
D. $3x^3-2\cos x + C$.

Câu 2. Tọa độ trung điểm trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;3;1)$ và $B(-4;-1;5)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

A. $M(6;4;-4)$.
B. $M(-6;-4;4)$.
C. $M(-1;1;3)$.
D. $M(-2;2;6)$.

Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3+3x$ tại điểm có hoành độ bằng 1. Hệ số góc của $\Delta$ bằng

A. $4$.
B. $6$.
C. $1$.
D. $3$.

Câu 4. Công bội của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=6,\ u_3=12$. Công bội của cấp số nhân $(u_n)$ bằng

A. $6$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $2$.
D. $3$.

Câu 5. Bán kính mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;-4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng

A. $3$.
B. $16$.
C. $4$.
D. $2$.

Câu 6. Tính tích phân kết hợp

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn \[ \int_{-2}^{1} f(x)\,dx = 2. \] Tính \[ \int_{-2}^{1} (1+f(x))\,dx. \]

A. $1$.
B. $-1$.
C. $-5$.
D. $5$.

Câu 7. Giá trị cực đại từ bảng biến thiên

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Giá trị cực đại của hàm số $f(x)$ là

A. $3$.
B. $2$.
C. $-2$.
D. $-1$.

Câu 8. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(2;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$ là

A. $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{1}$.
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{3}$.
D. $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+1}{3}$.

Câu 9. Chu kỳ của hàm số lượng giác

Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ

A. $T=3\pi$.
B. $T=2\pi$.
C. $T=\dfrac{\pi}{2}$.
D. $T=\pi$.

Hình ảnh đề thi

Đáp án 24 mã đề

Tải file đề và đáp án

[Download ##download##]

Cụm 10 Đăk Lăk - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán có lời giải chi tiết

2026-05-06T09:42:54.112+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán – Cụm chuyên môn số 10 Sở GD&ĐT Đắk Lắk

Thông tin kì thi

Kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026

Môn thi: Toán

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Đắk Lắk – Cụm chuyên môn số 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0104

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Giải phương trình logarit

Tập nghiệm $S$ của phương trình \[ \log_2(x-3)=\log_2(2x-1) \] là

A. $S=\{-2\}$.
B. $S=\varnothing$.
C. $S=\{2\}$.
D. $S=\{0\}$.

Câu 2. Diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

A. $\displaystyle \int_{-1}^{2}(-2x^2-2x+4)\,dx.$
B. $\displaystyle \int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx.$
C. $\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x^2-2x-4)\,dx.$
D. $\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x^2+2x-4)\,dx.$

Câu 3. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y-\dfrac{z}{2}=1$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

A. $\vec{n}_1=(2;2;-1)$.
B. $\vec{n}_3=(1;1;2)$.
C. $\vec{n}_4=(2;2;1)$.
D. $\vec{n}_2=(1;1;-2)$.

Câu 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[ y=\frac{3x+6}{x-2} \] là đường thẳng

A. $x=3$.
B. $x=-3$.
C. $x=-2$.
D. $x=2$.

Câu 5. Số hạng của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3,\ q=\dfrac{2}{3}$. Số hạng $u_5$ của cấp số nhân bằng

A. $u_5=\dfrac{-27}{16}$.
B. $u_5=\dfrac{16}{27}$.
C. $u_5=\dfrac{27}{16}$.
D. $u_5=\dfrac{-16}{27}$.

Câu 6. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau. Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn đến hàng phần trăm).

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số lần gặp sự cố} & [0{,}5;2{,}5) & [2{,}5;4{,}5) & [4{,}5;6{,}5) & [6{,}5;8{,}5) & [8{,}5;10{,}5) \\ \hline \text{Số xe} & 17 & 33 & 25 & 20 & 5 \\ \hline \end{array} \]

A. $2{,}53$.
B. $5{,}32$.
C. $3{,}52$.
D. $5{,}23$.

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số mũ

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2026^x$ là

A. $\dfrac{2026^{x+1}}{\ln 2026}+C$.
B. $\dfrac{2026^x}{\ln 2026}+C$.
C. $2026^{x+1}+C$.
D. $2026^x+C$.

Hình ảnh đề thi

Hình ảnh lời giải

Tải file đề và lời giải

[Download ##download##]

Trắc nghiệm đúng sai: Bài toán chuyển động của hai Flycam trong không gian Oxyz

2026-05-05T07:49:02.621+07:00

Bài toán chuyển động của hai Flycam trong không gian Oxyz - Trắc nghiệm đúng sai

Đề bài: Chuyển động của hai Flycam

[Đề thi thử toán 2026 THPT Thọ Xuân 5 - Thanh Hoá]

Có hai chiếc Flycam bay lên từ cùng một thời điểm. Chiếc thứ nhất từ $A(5;0;1)$, chiếc thứ hai từ $B(0;-30;1)$ trong hệ trục $Oxyz$ (đơn vị mét).

Sau 2 phút, chúng lần lượt ở $M(-5;-10;6)$ và $N(-12;-10;10)$. Các Flycam chuyển động thẳng đều.

a) Quãng đường Flycam thứ nhất sau 2 phút là $15m$.

b) Quãng đường Flycam thứ hai sau 5 phút là $62m$.

c) Vị trí Flycam thứ nhất tại thời điểm $t$ là $P(-5t+5;-5t;\frac{5t}{2}+1)$.

d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai Flycam với $0 \le t \le 20$ là $44,6m$.

Đáp án đúng/sai và lời giải

a) Đúng.

$AM=\sqrt{(-10)^2+(-10)^2+5^2}=\sqrt{100+100+25}=15.$

b) Sai.

$BN=\sqrt{(-12)^2+20^2+9^2}=\sqrt{144+400+81}=25.$

Sau 5 phút: $S=\frac{5}{2}\cdot 25=62,5 \ne 62$.

c) Đúng.

$\overrightarrow{AM}=(-10;-10;5)$.

$\overrightarrow{AP}=\frac{t}{2}\overrightarrow{AM}=(-5t;-5t;\frac{5t}{2})$.

Suy ra: $P=(-5t+5;-5t;\frac{5t}{2}+1)$.

d) Sai.

$\overrightarrow{BN}=(-12;20;9)$.

$Q=(-6t;10t-30;\frac{9t}{2}+1)$.

Khoảng cách: \[PQ=\sqrt{(t+5)^2+(15t-30)^2+(2t)^2}\]

\[=\sqrt{230t^2-890t+925}.\]

Giá trị nhỏ nhất của $PQ$ đạt khoảng $64,2$ (m), tại $t=890/460=89/46$.

Không phải $44,6m$ ⇒ Sai.

Sở GD-ĐT Tuyên Quang - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 lần 2 môn Toán

2026-05-04T19:34:20.695+07:00

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 lần 2 môn Toán – Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Thông tin kì thi

Kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 – lần 2

Môn thi: Toán

Đơn vị ra đề: Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Mã đề: 0118

Trích dẫn đề thi

Câu 1. Diện tích hình phẳng từ đồ thị hàm số

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1, x=2$ (xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $S=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx - \int_{1}^{2} f(x)\,dx.$
B. $S=-\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx - \int_{1}^{2} f(x)\,dx.$
C. $S=-\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx.$
D. $S=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx.$

Câu 2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $AB=a, SA=a$, $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ (xem hình dưới).

Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{2}a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}a}{5}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.

Câu 3. Tính tích phân kết hợp

Cho $\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx = -3$ và $\displaystyle \int_1^2 g(x)\,dx = 4$. Giá trị của tích phân \[ \int_1^2 [f(x)+2g(x)]\,dx \] bằng

A. $5$.
B. $-2$.
C. $2$.
D. $1$.

Câu 4. Phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;0)$ và $B(2;3;-1)$. Mặt phẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có phương trình là

A. $x+y-z-3=0$.
B. $2x+y-z-3=0$.
C. $x-y-z-3=0$.
D. $x+y-z+3=0$.

Câu 5. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các học sinh tổ 1 lớp 12A, được cho như bảng sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [0;10) & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 6 & 12 & 8 & 10 \\ \hline \end{array} \]

Phương sai của mẫu số liệu trên bằng

A. $13{,}15$.
B. $28{,}5$.
C. $162{,}75$.
D. $160$.

Có lời giải chi tiết

Ảnh 1 trang lời giải đề Sở Tuyên Quang lần 2.

Tải file PDF

[Download ##download##]

Tính thể tích bức tường cong parabol trong sân trượt patin bằng tích phân

2026-05-04T09:47:53.871+07:00

Tính thể tích tường cong parabol trong sân trượt patin

Bài toán: Thể tích khối tường cong parabol

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao $3,5\,m$.

Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=4\,m$. Thiết diện vuông góc với $AB$ tại $A$ là một tam giác vuông cong $ACE$ với: $AC=4\,m,\; CE=3,5\,m$, cạnh cong $AE$ là một parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất.

Tại trung điểm $M$ của $AC$, chiều cao tường là $1\,m$. Tính thể tích bê tông cần sử dụng.

Lời giải và đáp số

Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho $A \equiv O$ và các trục toạ độ như hình vẽ.

Khi đó cạnh cong $AE$ thuộc parabol: $y=ax^2+bx+c$.

Parabol đi qua các điểm: $(0;0), (2;1), (4;3,5)$.

Thay số và giải hệ 3 ẩn $a,b,c$ ta được: \[y=\frac{3}{16}x^2+\frac{1}{8}x.\]

Diện tích thiết diện cong: \[S=\int_0^4 \left(\frac{3}{16}x^2+\frac{1}{8}x\right)dx=5\,m^2.\]

Thể tích khối bê tông: $V=S\cdot AB=5\cdot 4=20\,m^3$.

Đáp số: $20\,m^3$

Trắc nghiệm đúng sai: Bài toán cổng parabol và chi phí trang trí

2026-05-03T20:03:47.447+07:00

Bài toán cổng parabol và chi phí trang trí - Trắc nghiệm đúng sai

Đề bài: Cổng parabol và bài toán tối ưu chi phí

[Đề thi thử lần 3 năm 2026 THPT Bá Thước - tỉnh Thanh Hoá]

Một chiếc cổng có dạng là một parabol $ (P) $. Biết chiều cao cổng bằng chiều rộng và bằng $4m$. Người ta thiết kế cửa đi là hình chữ nhật $CDEF$, phần còn lại dùng để trang trí. Chi phí phần tô đậm là $1.000.000$ đồng/$m^2$.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ bên phải. Khi đó:

a) Phương trình của parabol là $y=-x^2+4$.

b) Nếu $CD=2m$ thì $CF=2\sqrt{2}m$.

c) Nếu $CD=2m$ thì chi phí trang trí là khoảng $4,5$ triệu đồng.

d) Chi phí nhỏ nhất (làm tròn đến hàng nghìn đồng) để trang trí là $4.508.000$ đồng.

Lời giải chi tiết

a) Đúng.

Parabol có dạng $y=ax^2+bx+c$.

Do đỉnh là $ (0;4) \Rightarrow b=0, c=4$.

Đi qua $ (2;0) \Rightarrow 4a+4=0 \Rightarrow a=-1$.

Suy ra phương trình: $y=-x^2+4$.

b) Đúng.

Giải $ -x^2+4=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$.

Suy ra chiều rộng: $CF=2\sqrt{2}\,m$.

c) Sai.

Diện tích phần parabol:

\[S=\int_{-2}^{2}(-x^2+4)dx=\frac{32}{3}\,m^2.\]

Diện tích hình chữ nhật: $S_{CDEF}=4\sqrt{2}$.

Diện tích trang trí:

\[S_1=\frac{32}{3}-4\sqrt{2}\approx 5,01\,m^2.\]

Chi phí trang trí: $\approx 5,01$ triệu đồng (không phải $4,5$).

d) Đúng.

Gọi $C(a;0)\Rightarrow D(a;-a^2+4)$.

Diện tích hình chữ nhật:

$S=2a(4-a^2)=8a-2a^3$.

Xét $g(a)=4a-a^3.$

Ta có $g'(a)=4-3a^2=0 \Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Bảng biến thiên:

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: $\frac{32\sqrt{3}}{9}$.

Diện tích trang trí nhỏ nhất: $\frac{96-32\sqrt{3}}{9}\approx 4,508\,m^2$.

Chi phí nhỏ nhất (làm tròn đến hàng nghìn đồng): $4.508.000$ đồng.

THPT Thọ Xuân 5 - Đề toán KSCL lớp 12 năm 2026 có lời giải chi tiết (.docx)

2026-05-03T08:18:09.443+07:00

Đề môn Toán có lời giải - khảo sát chất lượng lớp 12 tốt nghiệp THPT năm 2026 - THPT Thọ Xuân 5

Trích dẫn một số câu thuộc phần II (đúng sai) và phần III (trả lời ngắn) của đề thi thử toán trường THPT Thọ Xuân 5 tỉnh Thanh Hoá chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT năm 2026.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Câu 2. Xác suất hai mặt hàng có lãi

Một cửa hàng kinh doanh 2 mặt hàng là $A$ và $B$. Xác suất có lãi của mặt hàng $A$ là $0,6$ và xác suất có lãi của mặt hàng $B$ là $0,7$. Xác suất chỉ có mặt hàng $A$ có lãi là $0,2$.

Gọi $A$: “Mặt hàng $A$ có lãi”, $B$: “Mặt hàng $B$ có lãi”.

a) $P(A\overline{B}) = 0,2$.

b) Xác suất để cả hai mặt hàng đều có lãi là $0,5$.

c) Xác suất để có đúng một mặt hàng có lãi là $0,5$.

d) Xác suất để $B$ có lãi biết $A$ không có lãi là $0,25$.

Câu 3. Bài toán chuyển động có gia tốc thay đổi

Một chất điểm chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_0$. Sau $4$ giây, chất điểm gặp chướng ngại vật và giảm tốc theo quy luật: $v(t) = -\frac{5}{2}t + a \, (m/s),\; (t \ge 4)$ cho đến khi dừng hẳn.

Tổng quãng đường đi được là $80m$. Xét các khẳng định:

a) Quãng đường sau $4$ giây là $S(4) = 4v_0$.

b) Quãng đường sau $5$ giây là $S(5) = \int_{0}^{5} v(t)\,dt$.

c) Giá trị của $a = v_0 + 10$.

d) $v_0 < 8 \, (m/s)$.

Câu 4. Chuyển động của hai Flycam trong không gian

Hai chiếc Flycam bay lên cùng thời điểm từ các điểm $A(5;0;1)$ và $B(0;-30;1)$ trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị mét).

Sau 2 phút, chúng lần lượt ở các vị trí $M(-5;-10;6)$ và $N(-12;-10;10)$. Các Flycam chuyển động thẳng đều.

a) Quãng đường Flycam thứ nhất đi sau 2 phút là $15m$.

b) Quãng đường Flycam thứ hai đi sau 5 phút là $62m$.

c) Vị trí Flycam thứ nhất tại thời điểm $t$ là $P(-5t+5; -5t; \frac{5t}{2}+1)$.

d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai Flycam với $0 \le t \le 20$ là $44,6m$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Khoảng cách trong mô hình sân vận động

Một sân vận động có dạng hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ với hai đáy song song. Mặt đáy $OAGD$ là hình chữ nhật và gắn hệ trục $Oxyz$.

Biết $OA = 100m$, $OD = 60m$, và tọa độ điểm $B(10;10;8)$.

Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 2. Bài toán tối ưu năng lượng của cá

Một con cá bơi ngược dòng qua quãng đường $100km$, vận tốc dòng nước là $5km/h$.

Nếu vận tốc của cá khi nước đứng yên là $v > 5$, thì năng lượng tiêu hao: $E(v) = c \cdot v^3 \cdot t$, với $c > 0$.

Biết rằng khi $v \in (a;b)$ thì năng lượng giảm. Tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Hình ảnh đề và lời giải

Tải file word (.docx)

[Download ##download##]