Ao todo foram geradas 792 redes e ainda preciso fazer a estatística de todos os dados. Havia feito uma análise com dados de cerca de 160 pessoas e foi possível obter uma rede completa (juntando tais redes em uma só) com quase 90 mil vértices e pouco mais de 2 milhões de conexões (ou 4 milhões, se contar as duas direções). Como exemplo, a imagem abaixo é o resultado da união de redes de 7 perfis diferentes.

Este projeto poderá ser bem útil para a análise de, por exemplo, modelos epidêmicos em redes complexas reais, tendo agora um banco de dados próprio. Aliás, copio aqui uma breve explicação do que é uma Rede Complexa, que pode ser encontrada na página do visualizador: http://fb.wesleycota.com/

Uma rede de amizades no Facebook é um tipo de Rede Complexa. Numa rede, temos os elementos (aqui representados por círculos) e as arestas (aqui representadas por linhas conectando dois elementos). Nessa rede, cada elemento é um perfil do Facebook e cada aresta corresponde a uma amizade entre tais perfis.

Assim, cada círculo é um de seus amigos (você também está representado!) e as linhas apresentam uma relação de amizade entre seus amigos. Dependendo da forma com a qual você se relaciona, podem ser vistos grupos distintos de amigos — do seu trabalho, da universidade, da academia, entre outros.

Uma Rede Complexa é simplesmente uma forma de representar relações entre elementos. Podemos construir redes de aeroportos, de pessoas, de estradas, de cadeia alimentar, de computadores (como a internet) e de muitas outras coisas! A imagem superior desta página, por exemplo, é uma rede de eletricidade dos Estados Unidos, com cada elemento representando um gerador, um transformador ou uma sub-estação.

http://fb.wesleycota.com/

Enfim. O Facebook simplesmente resolveu não permitir mais a coleta da lista de amigos completa de qualquer usuário por meio de aplicativos, obrigando todos eles a utilizaram as novas versões da plataforma de desenvolvimento — é o que permite ao aplicativo comunicar com os servidores do Facebook e obter os dados. Somente os aplicativos com a versão antiga da plataforma poderiam obter a lista de amigos completa. Porém, havia um prazo: 30 de abril de 2015. Esse dia chegou e pronto: já não é mais possível coletar os dados completamente.

Agora só é possível obter na lista de amigos aqueles amigos que também utilizaram o aplicativo. Para ter uma ideia do que isso significa, pense no exemplo que dei de 160 redes. Essas 160 redes significam que 160 pessoas utilizaram o aplicativo. As únicas conexões que seriam possíveis de serem visualizadas seriam entre essas 160 pessoas. Seria impossível obter uma rede com quase 90 mil vértices, como foi o caso. Pensando em um caso ainda mais simples: para a imagem acima, só seria possível visualizar 7 bolinhas!

Pois bem, chegou o fim! Só tenho a agradecer a todas as pessoas que divulgaram o site, permitindo chegar em 792 redes geradas. Não pensei que chegaria a esse número. Inclusive, tinham sido geradas apenas 320 redes quando divulguei no grupo da Física – UFV no Facebook, no dia 31 de Março. Em pouco tempo o número de acessos aumentou consideravelmente. No dia 3 de Abril, por exemplo, foram 171 acessos. Sério, muito obrigado a todos!

Já de Dezembro de 2014 para cá:

E… é isso. Devo fazer uma análise de todas as redes geradas e conectá-las em uma só. Quando eu tiver um tempo, farei isso e compartilho por aqui qualquer novidade. Se precisar, podem mandar um email para wesl…@ufv.br (clique para ver o endereço) ou entrar em contato pelo Facebook (está disponível aqui no blog).

Até mais e obrigado pelos peixes (com redes fica bem mais fácil!)!

• Fibonacci, Parte 1: A sequência de Fibonacci e os coelhos.
• Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea.
• Fibonacci, Parte 3 (final): Programação, o universo e tudo mais.

A Proporção Áurea

Como observado por Johannes Kepler (mais um do legislativo), a divisão entre um elemento da sequência de Fibonacci e seu antecessor tende a se aproximar da Proporção Áurea ($\varphi$). Assim como 8 está para 5, 13 está para 8, 21 está para 13 e $F(n+1)$ está para $F(n)$. Por exemplo: utilizando o 42° elemento, a divisão seria: $\frac{F(41)}{F(40)}$. Porém, a Proporção Áurea pode ser calculada algebricamente, como explicarei abaixo.

Como é calculada?

Algebricamente, calculamos a Proporção Áurea tomando como base duas medidas: a e b. Utilizando dois segmentos de retas, podemos obter a seguinte imagem:

As razões $\frac{a+b}{a}$ e $\frac{a}{b}$ são iguais e constantes, e chamamos esse valor de Proporção Áurea (símbolo: $\varphi$). A equação obtida é:

$$\begin{equation} \tag{1}\label{eq:simples}
\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi
\end{equation}$$

Para encontramos o valor de $\varphi$, devemos simplificar a primeira parte da equação: $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$. Além disso, a partir da equação \eqref{eq:simples}, temos: $\frac{b}{a}=\frac{1}{\varphi}$ (o inverso). Substituindo os novos valores em \eqref{eq:simples}, obtemos:

$$\begin{equation} \tag{2}\label{eq:propaurea1}
1+\frac{1}{\varphi} = \varphi
\end{equation}$$

Podemos simplificá-la ainda mais: igualando os denominadores (multiplicando todos os itens por $\varphi$), obtendo $\varphi+1=\varphi^2$. Podemos organizá-la passando $\varphi^2$ para o lado esquerdo (ou “adicionando $-\varphi^2$ aos dois lados da equação”) e multiplicando toda a equação por $-1$, obtendo uma equação quadrática (de Segundo Grau):

$$\begin{equation} \tag{3}\label{eq:propaureaQ}
\varphi^2-\varphi-1=0
\end{equation}$$

Para obtermos o valor de $\varphi$ basta apenas usar a queridíssima Fórmula de Bhaskara, utilizando os valores $a=1$, $b=-1$ e $c=-1$:

\[\varphi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \]
\[\varphi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}\ \]
\[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}\ \]
\[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\ \]

Como só nos interessa o valor positivo – você não vai querer ter uma medida negativa, vai? –, o resultado é:

$$\begin{equation} \tag{4}\label{eq:propaurea}
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\, \approx 1.618033988749895
\end{equation}$$

O valor colocado acima é exatamente o arredondamento utilizando o tipo float em programação: $1.618033988749895$. Agora você está pronto para utilizá-la! Se você quer uma medida maior, basta multiplicar por $\approx 1.618$, se quiser uma menor, por $\approx 0.618$, como mostrado na imagem a seguir:

Onde podemos vê-la?

Como visto no vídeo acima, a proporção áurea pode ser encontrada em diversos locais na natureza, como em plantas, caracóis (espirais), abacaxis e corpo humano. A seguir, apresento uma galeria de imagens nas quais podemos ver a proporção áurea e os números de Fibonacci em ação. Divirta-se!

A Proporção Áurea no Web Design

Como mostrado na galeria acima, o Twitter fez uso da Proporção Áurea para o design de sua página. Como em qualquer outra arte visual, no Web Design também é possível fazer uso dela, utilizando o mesmo princípio de divisão em média e extrema razão. Caso esteja interessado, dê uma olhada nesses dois artigos:

• Applying Divine Proportion To Your Web Designs (Smashing Magazine)
• The Golden Ratio in Web Design (Nettuts+)

Na terceira parte desta série darei detalhes de como gerar você mesmo a sequência de Fibonacci e a proporção áurea com Javascript, dando detalhes sobre alguns tipos de algaritmos. Além disso, encontrei algo interessante (ou não) sobre o número 42.

Então, não entre em pânico e aguarde a próxima parte! Você pode acompanhar pelo Twitter, Facebook ou pelo RSS.

Atualização: Não sei se a terceira parte irá sair, talvez um dia. Se eu conseguir um tempo extra e paciência, eu posto.

Atualização 2 (20/06/2014): Mais de dois anos depois e ainda não sei se terá terceira parte. Pelo jeito não. A esperança é a última que morre!

• Fibonacci, Parte 1: A sequência de Fibonacci e os coelhos.
• Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea.
• Fibonacci, Parte 3 (final): Programação, o universo e tudo mais.

O número de Fibonacci e a população de coelhos

Não, eu não vou passar o número do telefone de Fibonacci. Até porque seu nome mesmo era Leonardo Pisano no Bigollo e viveu entre os anos 1170 e 1250 — tempo que não havia números de telefone. É também conhecido (ou não) como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, ou simplesmente, Fibonacci. A sequência de números foi apresentada em sua obra “Liber Abaci“, de 1202, na qual ele apresentava os chamados modus Indorum (método dos indianos), hoje conhecidos como Algarismos Arábicos. Tais números já eram conhecidos pela matemática indiana lá pelo século VI, mas foi Fibonacci o responsável por apresentá-los ao Ocidente.

O problema utilizado por Fibonacci em Liber Abaci foi sobre o crescimento idealizado de uma população de coelhos. Para isso, era necessário que: um casal de coelhos fosse colocado num campo; cada casal amadurecesse sexualmente (e se reproduzisse) apenas após o segundo mês de vida; não houvesse problemas genéticos ou algo que impossibilitasse a fertilidade de cada casal; e que os casais nunca morressem, dando luz a um novo casal a cada mês, a partir do segundo mês de vida. O problema era: quantos pares (casais) de coelhos haveria ao final de um ano? A solução apresentada era a seguinte:

• no primeiro mês, haveria apenas um casal: o primeiro casal ainda não poderia se reproduzir.
• no segundo mês, o primeiro casal se reproduziria, havendo dois casais.
• no terceiro mês, o primeiro casal se reproduziria novamente, mas não o outro, havendo três casais.
• no quarto mês, os dois primeiros casais se reproduziriam, mas não o terceiro, havendo cinco casais.
• no n° mês, o número de casais seria a soma dos casais do mês $n-2$ com os casais do mês $n-1$.

À essa solução foi dada o nome de Sequência de Fibonacci pelo matemático francês Édouard Lucas. Para obtê-la, basta utilizar o mesmo raciocínio do problema apresentado:

Como a sequência de Fibonacci é obtida?

Para obtermos a sequência de Fibonacci, utilizamos a função $F(n)$, representada abaixo:

\[
F(n) =
\left\{
\begin{matrix}
0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{se }n=0\,;\ \ \\
1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{se }n=1;\ \ \,\\
F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{outros casos.}
\end{matrix}
\right.
\]

Importante: Antes de mais nada, gostaria de relembrar algo para não confundirmos: Em listas e funções, geralmente, nos referimos a seus elementos a partir do número 0.
Exemplo: para a sequência de Fibonacci [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…], o elemento F(0) é o primeiro, F(1) é o segundo e F(n) é o (n+1)° item da sequência. Parece um pouco complicado, mas logo você se acostuma.

Com isso, uma sequência gerada com n variando de 0 até 8, por exemplo, obtemos uma sequência com 9 itens!

Nós começamos a sequência de Fibonacci, por definição, com os números 0 e 1. O próximo elemento será, então, a soma do elemento anterior $(F(n-1))$ com o elemento anterior a ele $(F(n-2))$, ou seja, o terceiro elemento da sequência será $1+0=1$, o quarto será $1+1=2$, o quinto $2+1 = 3$ e assim por diante. Trata-se, então, de uma função recursiva. Para facilitar, uma imagem dos 11 primeiros elementos de $F(n)$:

No problema dos coelhos citado acima, a sequência descreve perfeitamente a quantidade de coelhos gerados em cada mês: no primeiro, seriam gerados $F(0)$ casal, ou seja, 0. No segundo, apenas $F(1)$ casal, ou seja, 1. No terceiro, 1. No quarto, 2. Já no quinto mês, por exemplo, seriam gerados $F(4)$ casais, ou seja, 3 casais, resultando em 8 casais (lembre-se do primeiro casal!):

Outras aplicações dos números de Fibonacci

Podemos aplicar os números de Fibonacci em diversas áreas, como na Matemática, na Ciência da Computação (falarei na terceira parte) e na Biologia. Algumas dessas aplicações interessantes são:

• No Triângulo de Pascal (utilizado para o estudo do Binômio de Newton), passando uma diagonal em cada linha, a soma dos números é equivalente a um elemento da sequência de Fibonacci:
  
• Podemos utilizar a sequência de Fibonacci para a conversão de milhas para quilômetros: se a medida estiver em milhas e está na sequência, basta convertê-lo utilizando o próximo número da sequência: 5 milhas $\approx$ 8 quilômetros, 8 milhas $\approx$ 13 quilômetros e assim por diante. De quilômetros para milhas, basta utilizar o elemento anterior. Isso ocorre pois o fator de conversão de Milha para Quilômetros (1.609) é aproximadamente igual à Proporção Áurea (1.618).
• Tais números podem também ser utilizados na Música (Fibonacci.ogg, na Wikipédia) e nas Artes Visuais.

Os números de Fibonacci estão em todos os locais da natureza (até mesmo no seu corpo) sob a forma da Proporção Áurea. Vou falar sobre ela na próxima parte, aguarde!

Ah, e se você sabe de alguma outra aplicação dos números de Fibonacci, deixe seu comentário! Enquanto isso, você pode me acompanhar pelo Twitter, Facebook ou pelo RSS para ler as próximas partes. A segunda parte já está praticamente pronta, logo eu a publico.